Нестационарные решения уравнений гидродинамики с постоянной функцией Бернулли тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат наук Ершков, Сергей Владимирович

• Ершков, Сергей Владимирович
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Ершков, Сергей Владимирович

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

ГЛАВА 1. Исследование уравнений Навье-Стокса

(несжимаемая жидкость)

1.1. Введение в методологию и методы поиска точных решений

1.2. Общий обзор, ретроспектива именных точных решений

в механике сплошных сред

1.3. Система уравнений Навье-Стокса (случай несжимаемой жидкости)

1.4. Производящая система уравнений в частных производных

для уравнений Навье-Стокса

1.5. Безвихревая у^. вихревая компонента (поля скорости)

1.6. Безвихревая составляющая поля скорости

1.7. Решения для безвихревых компонент поля скорости {и, V, Ж]

1.8. Соленоидальная компонента поля скорости (переменный вихрь)

1.9. Обсуждение представления точного нестационарного

3Б решения

ГЛАВА 2. Нестационарные решения типа Риккати для уравнений

Навье-Стокса (несжимаемая жидкость)

2.1. Общее представление компонент безвихревой части

решения {и, V, Ж]

2.2. Производящая система уравнений в частных производных,

для {и, V, Ж]

2.3. Точные решения системы уравнений для компонент {и, V, Ж]

2.4. Переменный вихрь, винтовой тип течения

2.5. Обсуждение, финальное представление решения

2.6. Резюмирующие замечания

2.7. Проверка представленного нестационарного решения для безвихревых компонент поля скорости {и, V, Ж]

2.8. Заключение

2.8.1.Решение уравнений Пуассона (система Эйлера-Пуассона, уравнения динамики вращения твёрдого тела вокруг неподвижной точки)

2.8.2.Решение уравнения движения заряженной частицы в поле

с заданным потенциалом V

ГЛАВА 3. Новый тип нестационарных винтовых течений, уравнения

Навье-Стокса вязкой несжимаемой жидкости

3.1. Система уравнений Навье-Стокса для винтовых течений (вязкая несжимаемая жидкость)

3.2. Представление нестационарных винтовых течений

3.3. Нестационарная часть решения для поля скоростей

3.4. Резюмирующие замечания

3.5. Контр-пример, показывающий неэквивалентность уравнения импульсов Навье-Стокса и уравнения эволюции вихря

ГЛАВА 4. Исследование уравнений Эйлера (несжимаемая жидкость)

4.1. Система уравнений Эйлера (идеальная, несжимаемая жидкость)

4.2. Производящая система уравнений в частных производных,

для уравнений Эйлера

4.3. Представление нестационарной части решения

для поля скоростей

4.4. Финальное представление решения, пример

приближенного решения

4.5. Резюмирующие замечания

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нестационарные решения уравнений гидродинамики с постоянной функцией Бернулли»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы диссертации

Построение точных решений уравнений гидродинамики имеет весьма важное значение, поскольку, во-первых, позволяет лучше понять структуру решений нелинейных уравнений гидродинамики, а, во-вторых, подобные решения могут служить в качестве теста (объекта) для проверки точности используемых методов численного моделирования. При этом наиболее важным является именно случай нестационарных решений. Таким образом, тема диссертации остается актуальной в контексте разработки новых методов точных решений уравнений механики, и степень её разработанности обеспечивается актуализацией этих методов в отношении известных на данный момент техник поиска точных решений (например, на основе разделения переменных).

В данной диссертационной работе получено представление общего вида для нового класса нестационарных трехмерных решений уравнений Навье-Стокса (вязкая несжимаемая жидкость), сохраняющих интеграл Бернулли (закон, функцию или уравнение Бернулли) для течения во всем пространстве.

Существование подобных решений было установлено ранее для случая стационарного безвихревого или потенциального течения вязкой несжимаемой жидкости (классический интеграл Коши-Лагранжа). Менее известным является случай существования интеграла Бернулли для потока плоскопараллельных течений вязкой несжимаемой жидкости [1] (характерный признак плоскопараллельных течений - вихрь строго перпендикулярен полю скорости). Также следует упомянуть работы [2] и [3].

В литературе по гидродинамике часто можно встретить следующее рассуждение: 1) рассмотрим уравнение импульсов Навье-Стокса; 2) применим ротацию к обеим частям, и будем решать уже получившееся уравнение.

Контрпример, представленный в разделе 3.5 (глава 3) в рассматриваемой диссертационной работе, показывает, что при переходе от 1) к 2) выше теряется часть решений. То есть, решая уравнение эволюции вихря из 2) выше, мы конечно

получим решения исходного уравнения импульсов Навье-Стокса. Но не все, часть решений при этом будет потеряна.

Для случая 2D, однако, была показана эквивалентность перехода от 1) к 2) выше - например, в работе Gresho [4].

В случае 3D это до сих пор не сделано, и как показывает контрпример выше, сделано быть не может. Таким образом, тема диссертации является востребованной в контексте актуализации привычных схем и теоретических подходов к пониманию свойств решений уравнений гидродинамики.

Цели диссертационной работы

Целью данной работы является построение новых точных, нестационарных решений в гидродинамике на основе уравнений Навье-Стокса и Эйлера несжимаемой жидкости, и последующий анализ полученных решений.

Научная новизна результатов работы

Научная новизна диссертационной работы определяется следующими полученными оригинальными результатами исследований:

1. Предложен новый метод решения нестационарных уравнений Навье-Стокса для вязких течений несжимаемой жидкости, сохраняющих интеграл или функцию Бернулли для течения во всем пространстве.

2. В соответствии с предложенным методом, получены новые классы точных нестационарных решений, допускаемых уравнениями Навье-Стокса.

3. Получено представление нового точного решения уравнений Навье-Стокса (из класса нестационарных винтовых течений), отличительной особенностью которого является пространственная зависимость коэффициента пропорциональности а между полем скорости и завихренностью в потоке жидкости. Получен новый инвариант, отвечающий данному типу течений -градиент функции Бернулли УБ должен быть перпендикулярен вектору Уа в таком потоке, где:

1 ?

В =— (и ) + р + ф

для нестационарного решения {р, и} уравнений Навье-Стокса, здесь ф это потенциал внешней силы, действующей на жидкость

4. Построен пример винтовых течений, опровергающий как контрпример утверждение о том, что уравнение импульсов Навье-Стокса эквивалентно уравнению эволюции вихря в смысле множества допускаемых 3Э нестационарных решений.

5. Получено новое точное решение уравнений Эйлера (несжимаемая жидкость) в соответствии с предложенным методом построения нестационарных решений уравнений Навье-Стокса.

6. Выявлены общие закономерности для всех классов изученных решений, базисом являются особенности общих решений уравнений типа Риккати (с финитными областями существования непрерывного решения).

Теоретическая значимость результатов работы

В диссертации впервые представлен новый класс нестационарных течений на основе уравнений Навье-Стокса и Эйлера для несжимаемой жидкости (включая новые результаты по винтовым течениям в главе 3), сохраняющих инвариантным интеграл или функцию Бернулли. До сих пор - в классических учебниках по гидродинамике - данное свойство традиционно рассматривалось только для стационарных, безвихревых течений вязкой несжимаемой жидкости (классический интеграл Коши-Лагранжа).

Все решения и алгоритмы поиска решений, предложенные в диссертации, объединены уникальным подходом (актуальность и работоспособность которого доказывается при поиске новых решений уравнений Эйлера несжимаемой жидкости в главе 4). Данный теоретический подход, или метод построения точных решений уравнений гидродинамики, заключается в комбинации известных методов, которые обычно не применяют вместе - метод поиска точных решений и метод дифференциальных связей, МДС. Целью является редукция

определяющих уравнений к какому-либо варианту уравнений типа Риккати или Абеля, но допускается редукция к другим типам уравнений. При этом разделение производится по классическому методу поиска точных решений, в варианте разделения общего объекта исследований на суммирующиеся части (а не в виде разделения на фактор-множители - метод разделения переменных). Для каждой из отделенных частей ищутся нетривиальные решения, исследуются возникшие дополнительные дифференциальные связи на совместность.

Таким образом, при исследовании уравнений Навье-Стокса в практическом плане решена задача построения системы инвариантов, определяющих общий вид и характер нового класса решений, сохраняющих интеграл Бернулли (закон, функцию или уравнение Бернулли). Роль указанных инвариантов играет аналитическое представление для трех компонент безвихревой составляющей поля скорости в виде формул (2.3).

Практическая значимость результатов работы

Практическая значимость результатов работы определяется возможностью проверки точности численных методов, применяемых в гидродинамике, при помощи полученных в работе точных, нестационарных 3Э решений.

Кроме того, возможность существования нестационарных режимов течений, сохраняющих функцию Бернулли, может означать способность быстро оценивать параметры изменения потока (скорость, давление) без их непосредственного измерения, только при помощи визуального наблюдения характеристик (например, определять давление через скорость, поскольку они связаны между собой в инварианте или функции Бернулли). Это может быть важно для технических областей (например, в нефтепроводах, где наблюдаются достаточно большие скачки давления на маршевых магистральных участках) или в области астрофизики, где непосредственные измерения невозможны (например, при изучении динамики приливных течений на поверхности планет в экваториальной зоне, влияющих на орбиту спутников планет).

Положения, выносимые на защиту

1. Новый метод решения нестационарных уравнений Навье-Стокса для вязких течений несжимаемой жидкости, сохраняющих интеграл или функцию Бернулли для течения во всем пространстве.

2. Алгоритм построения нового класса точных нестационарных решений, допускаемых уравнениями Навье-Стокса.

3. Новое точное решение уравнений Навье-Стокса (из класса нестационарных винтовых течений).

4. Простой и наглядный пример винтовых течений, опровергающий как контрпример утверждение о том, что уравнение импульсов Навье-Стокса эквивалентно уравнению эволюции вихря в смысле множества допускаемых 3D нестационарных решений.

5. Новое точное решение уравнений Эйлера (несжимаемая жидкость) в соответствии с предложенным алгоритмом.

6. Алгоритм решения уравнения динамики движения заряженной частицы под воздействием силы Лоренца в нерелятивистском приближении (во внешнем магнитном поле с заданным потенциалом V).

Достоверность результатов

Достоверность результатов работы обоснована выбором апробированных моделей механики жидкости, математической корректностью постановок гидродинамических задач, строгим использованием аналитических и численных методов, сопоставлением с натурными результатами.

Апробация работы

Основные результаты диссертации представлялись на Третьем совещании по магнитной и плазменной аэродинамике в аэро-космических приложениях «Conically self-similar solutions of the Maxwell's equations with an electromagnetic field torsion» (Москва, 2001), а также докладывались на семинарах в Нижегородском государственном техническом университете им. Р.Е.Алексеева

(Нижний Новгород), Санкт-Петербургском государственном университете (кафедра гидроаэромеханики, математико-механический факультет, Санкт-Петербург), Московском Государственном Университете им. М.В.Ломоносова (Институт механики МГУ, Москва), Институте проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН (Москва), РГУ нефти и газа им. И.М.Губкина (кафедра нефтяной и подземной гидромеханики, Москва), Институте вычислительного моделирования СО РАН (Красноярск).

Полученные результаты используются в российских исследовательских проектах, выполняемых при участии автора диссертации:

• Научно-исследовательские работы в рамках проектной части государственного задания в сфере научной деятельности (задание № 5.5176.2017/8.9);

• грант Президента Российской Федерации по государственной поддержке научных исследований ведущих научных школ Российской Федерации НШ-2685.2018.5.

Публикации и личный вклад автора

По теме диссертации опубликовано 12 печатных работ, включая 11 статей в изданиях, рекомендованных ВАК и/или входящих в международные базы цитирования WoS и Scopus и 1 статью в трудах всероссийской конференции. При этом 8 работ опубликовано без соавторов.

Статьи в изданиях, рекомендованных ВАК и/или входящих в международные базы цитирования WoS и Scopus:

P1. Ershkov S.V., Giniyatullin A.R., and Shamin R.V. (2018). On a new type of non-

stationary helical flows for incompressible 3D Navier-Stokes equations, Journal of King

Saud University - Science (in Press), DOI: 10.1016/i.iksus.2018.07.006

P2. Ershkov S.V., Shamin R.V. (2018). A Riccati-type solution of 3D Euler equations

for incompressible flow. Journal of King Saud University - Science (in Press),

https://www.sciencedirect.cOm/science/article/pii/S 1018364718302349

P3. Ershkov S.V. (2017). Non-stationary creeping flows for incompressible 3D Navier-

Stokes equations. European Journal of Mechanics, B/Fluids, vol. 61(1), pp. 154-159.

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0997754616300127 P4. Ershkov S.V. (2016). A procedure for the construction of non-stationary Riccati-type flows for incompressible 3D Navier-Stokes equations. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, vol. 65, no. 1, pp. 73-85. http: //link.springer.com/article/10.1007%2Fs12215-015-0219-5

P5. Ershkov S.V. (2016). Non-stationary Riccati-type flows for incompressible 3D Navier-Stokes equations. Computers and Mathematics with Applications, vol. 71, no. 7, pp. 1392-1404.

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0898122116300542

P6. Ershkov S.V. (2016). Non-stationary helical flows for incompressible 3D Navier-

Stokes equations. Applied Mathematics and Computation, vol. 274, pp. 611-614.

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0096300315015295

P7. Ershkov S.V. (2015). On existence of general solution of the Navier-Stokes

equations for 3D non-stationary incompressible flow. International Journal of Fluid

Mechanics Research, vol. 42, no. 3, pp. 206-213, 2015. Begell House.

http://www.dl.begellhouse.com/ru/journals/71cb29ca5b40f8f8,669062760250c799,0679e

1964365ade8.html

P8. Ershkov S.V., Schennikov V.V. (2001). Self-similar solutions to the complete system of Navier-Stokes equations for axially symmetric swirling flows of a viscous compressible gas. Computational Mathematics and Mathematical Physics, vol. 41, no. 7, pp. 1064-1071.

http: //www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&irnid=zvmmf&paperid= 1319& option lang=eng

В совместных работах соавторам принадлежат следующие результаты: первая статья в списке выше (2018 г.) опубликована в соавторстве с Шаминым Романом Вячеславовичем, доктором физико-математических наук, профессором, и Айратом Рафаэлевичем Гиниятуллиным, аспирантом Нижегородского государственного технического университета имени Р.Е.Алексеева. В данной работе, Р.В.Шамин осуществлял общее научное руководство направлением творческого научного поиска; С.В.Ершкову принадлежит реализация замысла,

поиск точных решений, вычисления, представление общего вида решений, аппроксимация и поиск приближенных решений; А.Р.Гиниятуллин отвечал за построение графиков, графическое представление решений при подготовке публикации.

Вторая статья в списке выше (2018 г.) опубликована в соавторстве с Шаминым Романом Вячеславовичем, доктором физико-математических наук, профессором. В данной работе, С.В.Ершкову также принадлежит реализация замысла, поиск точных решений, вычисления, представление общего вида решений, аппроксимация и поиск приближенных решений.

Последняя статья в списке (2001 г.) опубликована в соавторстве с Щенниковым Владимиром Вениаминовичем, доктором физико-математических наук (ИАП РАН). В данной работе, В.В.Шенникову принадлежит идея поиска решений, инвариантных относительно уравнения состояния газа (переход к его наиболее общему виду, включающему все известные спецификации - совершенный, несовершенный, политропный, нормальный, аномальный газы). С.В.Ершкову принадлежит реализация замысла, поиск решений, вычисления, представление общего вида решений на основе метода разделения переменных, редукция фактор-системы обыкновенных дифференциальных уравнений к системе двух уравнений Риккати.

Кроме того, в трёх работах используется разработанный автором подход к построению точных решений уравнений в механике сплошных сред и волновой механике:

P9. Ershkov S.V. (2016). About existence of stationary points for the Arnold-Beltrami-Childress (ABC) flow. Applied Mathematics and Computation, vol. 276, pp. 379-383.

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0096300315300266 P10. Ershkov S.V. (2015). Quasi-periodic non-stationary solutions of 3D Euler equations for incompressible flow. Journal of King Saud University - Science, vol. 27, no. 4, pp. 369-374.

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S 1018364715000488

P11. Ershkov S.V. (2015). Exact solution of Helmholtz equation for the case of non-paraxial Gaussian beams. Journal of King Saud University - Science, vol. 27, no. 3, pp. 198-203, 2015.

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S 1018364715000117

Все работы, цитируемые в материалах настоящей диссертации, можно найти в глобальной информационной сети Internet по адресам, указанным выше. Методика решений уравнений магнитной гидродинамики была опробована автором в докладе на конференции:

«Conically self-similar solutions of the Maxwell's equations with an electromagnetic field torsion», 3-е совещание по магнитной и плазменной аэродинамике в аэрокосмических приложениях. 24-26 апреля 2001, Секция 11, № 74.

Доклад опубликован в сборнике трудов конференции: Тезисы докладов. 3-е совещание по магнитной и плазменной аэродинамике в аэро-космических приложениях. 24-26 апреля 2001. Москва, ОИВТ РАН. С. 377380. Соавторы: Ершков С.В. (ИАП РАН), Быркин А.П. (ЦАГИ), Щенников В.В. (ИАП РАН).

Выражаю огромную благодарность научному руководителю д.ф.-м.н., Р.В.Шамину, а также руководителю кафедры «Прикладная математика» и научно-исследовательской лаборатории «Моделирования природных и техногенных катастроф в интересах устойчивого промышленного развития страны и региона» Нижегородского государственного технического университета им. Р.Е. Алексеева, д.ф.-м.н., профессору А.А.Куркину, за их большую помощь, отзывчивость и безграничное терпение, проявленное при обсуждении настоящей диссертации. Благодарю всех своих соавторов за плодотворную совместную работу.

Также искренне благодарю своих оппонентов, д.ф.-м.н., профессора В.И.Семёнова, к.ф.-м.н., доцента А.В.Коптева, а также эксперта Ведущей организации, д.ф.-м.н., профессора Г.В.Алексеева (и многих других профессиональных учёных, обсуждавших диссертацию): - за проявленные безграничное терпение, отзывчивость, внимательность к деталям, и высказанные

критические замечания, позволившие автору эффективно подготовиться к процессу защиты диссертации. Благодарю всех неизвестных рецензентов, высказавших многочисленные полезные, конструктивные и критические замечания при публикации печатных работ (статей).

Выражаю огромную любовь и безмерную благодарность всей моей семье, и отдельно супруге - за терпение и поддержку. Особенно я признателен моей 2-летней дочери Миллане, благословенное рождение которой послужило толчком или внутренним мотивирующим фактором для принятия решения о подготовке к защите диссертации.

ГЛАВА 1. Исследование уравнений Навье-Стокса (несжимаемая жидкость)

1.1. Введение в методологию и методы поиска точных решений

К настоящему времени выполнено довольно много работ, посвященных актуальному для приложений поиску классов частных решений, на которых исходные дифференциальные уравнения существенно упрощаются [5-64]. Подобные исследования ранее (обычно) выполнялись либо на основании «соображений симметрии», либо с помощью теории подобия и размерностей [89]. Вместе с тем, эта проблема давно привлекала внимание исследователей, обращавших внимание на ее групповую природу.

Особенно убедительно настаивал на использовании теории групп в гидродинамике и других прикладных дисциплинах Г. Биркгоф [8]. Позже активность в этой области резко возросла, и был выполнен ряд интересных работ по отысканию групповыми методами инвариантных решений в разных конкретных прикладных задачах [10]-[23]. Классификации инвариантных решений уравнений двумерного нестационарного движения газа и построению оптимальных систем подгрупп посвящена работа [24].

Представляют интерес исследования [25] и [26], посвященные трехмерному пограничному слою. Также основополагающие уравнения газовой динамики изучались в работе [27]. Работа [28] посвящена вопросам автомодельности и разделения переменных. Выделение специального класса (типа) конических течений (применительно к невязкому сжимаемому газу) связано с результатами Буземана [29], относящимися к сверзвуковым режимам течений.

По проблеме инвариантности краевых задач работ не очень немного. Инвариантность условий на свободной границе исследована в работе [30]. Стоит

также отметить основополагающую работу Э. Нётер [31], посвященную инвариантным решениям (в том числе, инвариантам динамических систем и связанными с ними законами сохранения), а также дополняющую ее работу [32].

Что касается понятия автомодельных точных решений, то впервые достаточно глубоко оно было ассоциировано с общей теорией подобия в работах знаменитого в области механики советского ученого Леонида Ивановича Седова [9]. При этом в его работах автомодельность понимается, прежде всего, как свойство глобальной топологической инвариантности этих решений: при изменении масштаба они отображаются сами на себя.

В трудах академика Седова уже тогда прослеживалась тенденция использования аппарата теории групп преобразований для анализа (выявления) инвариантных решений, допускаемых системой уравнений газовой динамики, но в полной мере исследование автомодельности (самоподобия) провел Лев Васильевич Овсянников в конце 70-х годов прошлого столетия, использовав для этого последние достижения в области алгебры и теории групп Ли [33].

Особенно убедительно настаивал на использовании теории групп в гидродинамике и других прикладных дисциплинах Гаррет Биркгоф [11]. В этой же работе он сформулировал наиболее интересные и значимые гидродинамические парадоксы, оказавшие значительное влияние на развитие газовой динамики в конце прошлого века: парадокс Эйлера-Даламбера (о распределении давлений по поверхности сферы, движущейся в установившемся потоке жидкости); парадокс обратимости; парадоксы теории крыла (о подъемной силе и лобовом сопротивлении), и многие другие. При этом под парадоксом им понимался такой вывод из теории, который расходится с физическими наблюдениями, создавая кажущееся противоречие.

Гаррет Биркгоф настаивал на том, что большинство этих парадоксов имеют топологическую природу. Следуя идеям Г.Биркгофа, мы можем с уверенностью сказать, что наиболее часто встречающиеся (характерные) гидрогазодинамические парадоксы - это парадоксы топологического переупрощения полевых представлений в механике сплошных сред.

В нашем случае это означает, что для эффективного поиска точных нестационарных решений в механике сплошных сред необходимо учитывать топологическое подобие полевых характеристик возможных решений (поля скорости, давления), а именно - взаимное подобие нестационарных решений, например, в смысле резкого нарастания амплитуды решения в течение короткого промежутка параметрического времени. Тем самым, в данной работе ставится задача поиска нового класса точных, нестационарных решений в различных областях физики, механики и динамики, в том числе гидродинамики, и последующий анализ полученных решений. В области механики жидкости и газа данная задача находит решение для уравнений Навье-Стокса в виде нового класса нестационарных 3Э решений, сохраняющих интеграл Бернулли (закон, функцию или уравнение Бернулли). Получены также новые результаты для винтовых течений несжимаемой жидкости (уравнения Навье-Стокса) и новые нестационарные 3Э решения уравнений Эйлера для случая несжимаемой невязкой жидкости.

1.2. Общий обзор, ретроспектива именных точных решений в механике сплошных сред

К настоящему времени существует довольно обширный список именных течений, оказавших значительное влияние на развитие механики сплошных сред, гидро-газодинамики в целом и, кроме того, представляющих интерес с точки зрения истории данного вопроса (включая краткий экскурс):

Течение Описание Автор решения

Beltrami flow Течение, в котором скорость и завихренность параллельны друг другу Eugenio Beltrami

Blasius flow Решение Блазиуса уравнений пограничного слоя при обтекании плоской пластины Heinrich Blasius

Couette flow Ламинарное течение между двумя параллельными плоскими пластинами Maurice Couette

Falkner-Skan Решение уравнений пограничного слоя с V. M. Falkner and S.

flow градиентом давления W. Skan

Fanno flow Адиабатическое течение сжимаемой жидкости с трением Gino Girolamo Fanno

Hagen- Ламинарное течение через трубы Gotthilf Hagen and

Poiseuille Jean Léonard Marie

flow Poiseuille

Hele-Shaw Вязкое течение вокруг тонкого объекта, погруженного в узкий зазор между 2 параллельными пластинами Henry Selby Hele-

flow Shaw

Hiemenz flow Плоское течение с неподвижной точкой -точное решение уравнений Навье-Стокса K. Hiemenz

Jeffery- Поток между двумя плоскостями, сходящимися под определённым углом George Barker Jeffery

Hamel flow and Georg Hamel

Marangoni Течение, порождённое градиентом поверхностного натяжения Carlo Marangoni

flow

Oseen flow Течение вокруг сферы при небольших значениях чисел Рейнольдса Carl Wilhelm Oseen

Prandtl- Изэнтропическое течение сжимаемого газа вдоль отражающей стенки Ludwig Prandtl and

Meyer flow Theodor Meyer

Rayleigh flow Невязкое течение сжимаемого газа с теплопередачей (теплообменом) Lord Rayleigh

Sampson flow Течение через тонкое круглое отверстие в плоской бесконечной стене R. A. Sampson

Stokes flow Ползучие (или тягучие) течения - очень медленные потоки жидкостей/газов George Gabriel Stokes

Taylor- Течение в бесконечно малом зазоре между двумя вращающимися цилиндрами Sir G. I. Taylor and

Couette flow Maurice Couette

1) Течение Громеки-Бельтрами

Течение, при котором вектор вихря и вектор скорости совпадают по направлению и прямо пропорциональны, называется винтовым [35], [37], [45].

Винтовое движение наблюдается в так называемых «свободных» вихрях, сходящих с крыловых профилей конечного размера, лопастей пропеллеров, гребных винтов, некоторых типов турбин, при ветровом обтекании сооружений. Если коэффициент пропорциональности совпадает во всей области течения, то его называют однородно-винтовым, или течением Громеки (1881) - Бельтрами (1889).

2) Течение Блазиуса (пограничный слой)

Решение Блазиуса уравнений пограничного слоя при стационарном обтекании плоской (тонкой, полу-бесконечной) пластины потоком вязкой несжимаемой жидкости, с постоянной скоростью [34-36].

Примерно 100 лет назад Прандтль и Блазиус создали теорию пограничного слоя на полу-бесконечной пластине в стационарном потоке вязкой несжимаемой жидкости. Впоследствии оказалось, что решение Блазиуса применимо также к толстым пластинам с закругленной кромкой, к заостренным пластинам и к конечной пластине (кроме обеих ее кромок). Гольдштейном (1933) было рассмотрено течение за пластиной, эти результаты позднее уточнил Стюартсон (1957). В 1970 г. Ван де Воореном и Дикстрой был изучен пограничный слой на всей длине пластины, в том числе вблизи передней кромки. Маклахлан (1991) построил математическую модель обтекания тонкой конечной пластины, в которой пограничный слой является трехслойным.

3) Течение Куэтта

Ламинарное течение между двумя параллельными стенками (не обязательно прямолинейными), одна из которых движется относительно другой. Течение происходит под действием сил вязкого трения, действующих на жидкость и сдвигового напряжения, параллельного стенкам. Этот тип течений назван в честь Мориса Мари Альфреда Куэтта в конце XIX века. Важной особенностью этой модели является постоянство касательного напряжения во всей области, занимаемой жидкостью; скорость жидкости линейно меняется по высоте (расстоянию между пластинами).

4) Течение Фолкнера-Скана (пограничный слой)

Стационарное автомодельное решение уравнений 2D ламинарного пограничного слоя, при степенной зависимости скорости во внешнем потоке (с показателем степени т) и градиентом давления. Является обобщением решения Блазиуса при ненулевом угле атаки кромки пограничного слоя. При этом угол атаки равен 2т/(т+1). Дуглас Хартри (1937) обнаружил, что физические решения существуют только лишь в диапазоне значений - 0.0905 < т < 2. Здесь, случай т < 0 отвечает неблагоприятному градиенту давления (часто приводящему к

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ершков, Сергей Владимирович, 2018 год

Список использованной литературы

1. Голубкин В.Н., Сизых Г.Б. (1987). О некоторых общих свойствах плоскопараллельных течений вязкой жидкости. Изв. АН СССР. МЖГ. № 3. С. 176-178.

2. Дынникова Г.Я. (2000). Аналог интегралов Бернулли и Коши-Лагранжа для нестационарного вихревого течения идеальной несжимаемой жидкости. Известия Российской академии наук. Механика жидкости и газа, № 1, с. 31-41.

3. Y.A. STEPANYANTS and E.I. YAKUBOVICH (2015). The Bernoulli Integral for a Certain Class of Non-Stationary Viscous Vortical Flows of Incompressible Fluid. STUDIES IN APPLIED MATHEMATICS 135:295-309, Wiley Periodicals, Inc., DOI: 10.1111/sapm.12087.

4. Gresho P.M. (1991). Incompessible fluid dynamics: some fundamental formulation issues. Annual Review of Fluid Mechanics. Vol.23, pp 413-453.

5. Arnold V.I . (1992). Catastrophe Theory (3rd ed.). Berlin: Springer-Verlag.

6. Arnold V. (1978). Mathematical Methods of Classical Mechanics. Springer, New York.

7. Arnold V. (1963). Small Divisor Problems in Classical and Celestial Mechanics. Russ. Math. Surveys № 18, pp. 85-191.

8. Birkhoff G. (1948). Dimensional analysis of partial differential equations. Electr. Enging. № 67, pp. 1185-1188.

9. Седов Л.И. (1967). Методы подобия и размерности в механике. Москва: Наука.

10. Коробейников В.П., Мельникова Н.С., Рязанов Е.В. (1961). Теория точечного взрыва. Москва: Физматгиз.

11. Биркгоф Г. (1963). Гидродинамика. Москва: ИЛ.

12. Катков В.Л. (1965). Один класс точных решений уравнений прогноза геопотенциала. Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана 1. № 10. С. 1088-1090.

13. Катков В.Л. (1965). Групповая классификация решений уравнения Хопфа. Ж. прикл. мех. и техн. физ. № 6. С. 105-106.

14. Катков В.Л. (1968). Точные решения некоторых задач конвекции. Прикл. матем. и техн. 32. № 3. С. 482-486.

15. Сыровой В.А. (1963). Инвариантно-групповые решения уравнений пространственного и стационарного пучка заряженных частиц. Ж. прикл. мех. и техн. физ. № 3. С. 26-35.

16. Сыровой В.А. (1965). О некоторых новых решениях, полученных при помощи инвариантных преобразований. Ж. прикл. мех. и техн. физ. № 3. С. 56-62.

17. Сухарев М.Г. (1967). Инвариантные решения уравнений, описывающие движение жидкости и газа в длинных трубопроводах. ДАН СССР 175. № 4. С. 781-784.

18. Фалькович А.И. (1968). Инвариантно-групповые решения гидродинамической модели циркуляции атмосферы для экваториальной области. Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана 4. № 6. С. 579-585.

19. Филиппов Ю.Г. (1968). Применение инвариантно-группового метода к решению задачи определения течений неоднородного океана. Метеорол. и гидрология. № 9. С. 53-62.

20. Хабиров С.В. (1969). Одно инвариантное решение уравнений мелкой воды. В сб. «Динамика сплошной среды», вып. 3, Новосибирск. С. 82-90.

21. Хабиров С.В. (1967). О структуре псевдогруппы, допускаемой уравнениями идеальной несжимаемой жидкости. В сб. «Динамика сплошной среды», вып. 24, Новосибирск. С. 105-114.

22. Жмудский А.А., Таранов В.Б. (1975). О симметрии движения двух-компонентной плазмы. ЖТФ. № 45. С. 158-161.

23. Таранов В.Б. (1976). О симметрии одномерных высокочастотных движений бесстолкновительной плазмы. ЖТФ. № 46. С. 1271-1277.

24. Ибрагимов Н.Х. (1966). Классификация инвариантных решений уравнений двумерного нестационарного движения газа. Ж. прикл. мех. и техн. физ. № 4. С. 19-22.

25. Павловский Ю.Н. (1961). Исследование некоторых инвариантных решений уравнений пограничного слоя. Ж. вычисл. мат. и мат. физ. Вып. 1(2). С. 280294.

26. Каплан В.С. (1972). Условия существования инвариантных решений уравнений трехмерного ламинарного пограничного слоя на развертывающихся поверхностях. Уч. зап. ЦАГИ 3. № 3. С. 36-44.

27. Суровихин К.П. (1964). Групповая классификация уравнений, описывающих одномерные нестационарные течения газа. ДАН СССР 156. № 3. С. 533-536.

28. Шаповалов В.Н. (1968). К групповым свойствам линейных уравнений. Известия вузов, Физика. № 6. С. 75-80.

29. Буземан А. (1950). Осесимметричное коническое сверхзвуковое течение. Сб. переводов. Газовая динамика. Москва: ИЛ.

30. Пухначев В.В. (1972). Инвариантные решения уравнений Навье-Стокса, описывающие движения со свободной границей. ДАН СССР 202. № 2. С. 302305.

31. Нётер Э. (1959). Инвариантные вариационные задачи. В сб. «Вариационные принципы механики». Москва: Физматгиз. С. 611-630.

32. Ибрагимов Н.Х. (1969). Об инвариантности уравнений Дирака. ДАН СССР 185. № 6. С. 1226-1228.

33. Овсянников Л.В. (1978). Групповой анализ дифференциальных уравнений. Москва: Наука.

34. Ladyzhenskaya O.A. (1969). The Mathematical Theory of viscous Incompressible Flow (2nd ed.). Gordon and Breach, New York.

35. Landau L.D. and Lifshitz E.M. (1987). Fluid mechanics, Course of Theoretical Physics 6 (2nd revised ed.). Pergamon Press, ISBN 0-08-033932-8. Под интегралом Бернулли (уравнение Бернулли, закон Бернулли) понимается то, что указано в ссылке ниже:

https://www. encyclopediaofmath. org/index.php/Bernoulli integral

36. Lighthill M.J. (1986). An Informal Introduction to Theoretical Fluid Mechanics. Oxford University Press, ISBN 0-19-853630-5.

37. Saffman P.G. (1995). Vortex Dynamics. Cambridge University Press, ISBN 0-521-42058-X.

38. Milne-Thomson L.M. (1950). Theoretical hydrodynamics. Macmillan.

39. Kamke E. (1971). Hand-book for Ordinary Differential Eq. Moscow: Science.

40. Tsyganov E. (2013). Space-time holomorphic solutions of Navier-Stokes equations. http: //arxiv.org/abs/1309.0229

41. Li D. and Sinai Y.G. (2008). Blow ups of complex solutions of the 3D Navier-Stokes system and renormalization group method. J.Europ.Math.Soc., 10(2), pp.267-313.

42. Polyanin A.D. (2004). Hand-book for Ordinary Differential Eq. Moscow.

43. Kamke E. (1966). Hand-book for Partial Differential Eq. Moscow: Science.

44. Thambynayagam R.K.M. (2011). The Diffusion Handbook: Applied Solutions for Engineers. McGraw-Hill Professional, ISBN 978-0-07-175184-1.

45. Drazin P.G. and Riley N. (2006). The Navier-Stokes Equations: A Classification of Flows and Exact Solutions. Cambridge, Cambridge University Press.

46. Ершков С.В., Щенников В.В. (2001). Об автомодельных решениях системы полных уравнений Навье-Стокса для случая осесимметричных закрученных течений вязкого сжимаемого газа. Журнал вычислительной математики и математической физики. Т.41. №7. С. 1117-1124.

47. Thambynayagam R.K.M. (2013). Classical analytic solutions of the non-stationary Navier-Stokes equation in two, three and higher dimensions. См. также: http://arxiv.org/pdf/1307.7632.pdf

48. Lawden D. (1989). Elliptic Functions and Applications. Springer-Verlag.

49. Ershkov S.V. (2015). Quasi-periodic non-stationary solutions of 3D Euler equations for incompressible flow. Journal of King Saud University - Science, vol. 27, no. 4, pp. 369-374. Elsevier, DOI: 10.1016/j.jksus.2015.05.005.

50. Ershkov S.V. (2015). Exact solution of Helmholtz equation for the case of non-paraxial Gaussian beams. Journal of King Saud University - Science, vol. 27, no. 3, pp. 198-203. Elsevier, DOI: 10.1016/j.jksus.2015.02.005.

51. Ershkov S.V. (2015). On Existence of General Solution of the Navier-Stokes Equations for 3D Non-Stationary Incompressible Flow. International Journal of Fluid Mechanics Research, 06, 42(3), pp. 206-213. Begell House.

52. Carl M. Bender, Steven A. Orszag (1999). Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers. Originaly published by McGraw Hill, 1978, XIV, pp.2022.

53. Rosu H.C., Cornejo-Pérez O., and Ojeda-May P. (2012). Traveling kinks in cubic nonlinear Ginzburg-Landau equations. Phys. Rev. E 85, 037102.

54. Christianto V., Smarandache F. (2008). An Exact Mapping from Navier-Stokes Equation to Schroedinger Equation. Progress in Physics, 1, pp. 38-39.

55. Чупахин А.П. (2002). Гидродинамика с квадратичным давлением. 1. Общие результаты. Прикладная механика и техническая физика, 43(1), С. 27-35.

56. Риман Б. (1948). Сочинения. Москва: Гостехтеоретиздат.

57. Овсянников Л.В. (1967). Задача о неустановившемся движении жидкости со свободной границей. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, С. 575.

58. Ershkov S.V. (2017). Non-stationary creeping flows for incompressible 3D Navier-Stokes equations. European Journal of Mechanics, B/Fluids, vol. 61(1), pp. 154— 159.

59. Ershkov S.V. (2016). A procedure for the construction of non-stationary Riccati-type flows for incompressible 3D Navier-Stokes equations. Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, vol. 65, no. 1, pp. 73-85.

60. Galdi G.P. and Rionero S. (1979). The weight function approach to uniqueness of viscous flows in unbounded domains. Archive for Rational Mechanics and Analysis, vol. 69(1), pp. 37-52.

61. Ershkov S.V. (2016). Non-stationary Riccati-type flows for incompressible 3D Navier-Stokes equations. Computers and Mathematics with Applications, vol. 71, no. 7, pp. 1392-1404.

62. Шапеев В.П. (2012). Как развивались научные направления. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике. Виртуальный музей Н.Н.Яненко, ММЦ НГУ:

http: //yanenko. vixpo. nsu. ru/?int=VIEW&el=83&templ=VIEW

63. Ershkov S.V. (2017). A Riccati-type solution of Euler-Poisson equations of rigid body rotation over the fixed point. Acta Mechanica, vol. 228, no. 7, pp. 2719-2723.

64. Клюшников Г.Н. (2017). Некоторые задачи динамики заряженных частиц техногенного происхождения в геомагнитном поле. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы, Диссертационный совет Д 212.232.30 на базе Санкт-Петербургского государственного университета: https://disser.spbu.ru/disser/dissertatsii-dopushchennye-k-zashchite-i-svedeniya-o-zashchite/detail s/12/1337. html

65. Пухначев В.В. (1975). К теории катящихся волн. Прикл. мех. и техн. Физика. № 5. С. 47-58.

66. Пухначев В.В. (1980). Возникновение особенности в решении одной задачи стефановского типа. Дифференц. Уравнения. № 3. С. 492-500.

67. Пухначев В.В. (1987). Преобразования эквивалентности и скрытая симметрия эволюционных уравнений. Докл. АН СССР. 294(3). С. 555-558.

68. Пухначев В.В. (1998). Квазистационарное приближение в задаче о движении изолированного объема вязкой несжимаемой капиллярной жидкости. ПММ. 62(6). С. 1002-1013.

69. Pukhnachov V.V. (1999). On a problem of viscous strip deformation with a free boundary. C. R. Acad. Sci. Paris, 328(1), pp. 357-362.

70. Коробков М.В., Пилецкас К., Пухначев В.В., Руссо Р. (2014). Задача протекания для уравнений Навье-Стокса. УМН. T.69. № 6. C. 115-176.

71. Юдович В.И. (1963). Нестационарные течения идеальной несжимаемой жидкости. ЖВМ и МФ. Т.3, № 6. С.1032-1066.

72. Юдович В.И. (1974). О потере гладкости решения уравнений Эйлера со временем. Динамика сплошной среды. Вып. 16. Новосибирск: Институт гидродинамики СО АН СССР. C. 71-78.

73. Бабский В.Г., Жуков М.Ю., Юдович В.И. (1983). Математическая теория электрофореза: применение к методам фракционирования биополимеров. Киев: Наукова думка.

74. Юдович В.И. (1984). Метод линеаризации в гидродинамической теории устойчивости. Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ.

75. Юдович В.И. (1991). Косимметрия, вырождение решений операторных уравнений, возникновение фильтрационной конвекции. Матем. заметки. Т.49, вып. 5. С.142-148.

76. Yudovich V.I. (2000). On the loss of smoothness of the solutions of the Euler equations and the inherent instability offlows of an ideal fluid. Chaos. Vol.10(3). pp. 705-719.

77. Юдович В.И. (2001). Периодические дифференциальные уравнения с самосопряженным оператором монодромии. Математический сборник. Т.192, № 3. С.137-160.

78. Юдович В.И. (2002). О проблемах и перспективах современной математической гидродинамики. Успехи механики. Т. 1. № 1. C. 61-102.

79. Моргулис А.Б. (1999). Разрешимость трехмерной стационарной задачи протекания. Сиб. матем. журн. Т.40. № 1. С.142-158.

80. Моргулис А.Б., Юдович В.И. (2001). Асимптотическая устойчивость стационарного течения идеальной несжимаемой жидкости сквозь заданную область. Доклады Академии наук. Т. 380. № 5. C.623-626.

81. Моргулис А.Б., Юдович В.И. (2002). Асимптотическая устойчивость стационарного режима протекания идеальной несжимаемой жидкости. Сиб. матем. журн. Т.43. № 4. C. 840-857.

82. Morgulis A. and Yudovich V. (2002). Arnold's method for asymptotic stability of steady inviscid incompressible flow through a fixed domain with permeable boundary. Chaos. Vol. 12(2). pp. 356-371.

83. Morgulis A.B. (2005). High-frequency asymptotic for the forced periodical flows of an inviscid fluid through a given domain. J. Math. Fluid Mech. Vol. 7. pp. S94 -S109.

84. Говорухин В.Н., Моргулис А.Б., Юдович В.И. (2007). Расчёт двумерных режимов протекания идеальной несжимаемой жидкости сквозь конечный канал. Доклады Академии Наук. Т.412. № 4. С.480-484.

85. Morgulis A., Shnirelman A. and Yudovich V. (2008). Loss of Smoothness and Inherent Instability of 2D Inviscid Fluid Flows. Communications in Partial Differential Equations. Vol. 33(6). pp. 943-968.

86. Моргулис А.Б., Говорухин В.Н., Владимиров В.А. (2009). Динамика течений идеальной несжимаемой жидкости с граничными условиями Юдовича. Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. Спецвыпуск. Актуальные проблемы математической гидродинамики. С. 51-72.

87. Govorukhin V.N., Morgulis A.B. and Vladimirov V.A. (2010). Planar inviscid flows in a channel of finite length: washout, trapping and self-oscillations of vorticity. J. Fluid Mech. Vol. 659. pp. 420-472.

88. Morgulis A.B. (2010). Non-linear Asymptotic Stability for the Through-Passing Flows of Inviscid Incompressible Fluid. Asymptotic Analysis. Vol. 66. pp. 229-247.

89. Morgulis A.B., Ilin K.I. (2013). Instability of an inviscid flow between porous cylinders with radial inflow. J. Fluid Mech. Vol. 730. pp. 364-378.

90. Моргулис А.Б., Владимиров В.А. (2014). Относительные равновесия в задаче Бьеркнеса. Сиб. матем. журн. Т. 55(1). C. 44-60.

91. Моргулис А.Б. (2014). Гидродинамическая характеризация шара. Математические заметки. Т. 96(5). C. 732-737.

92. Алексеев Г.В. (1972). Исчезающая вязкость в двумерной стационарной задаче динамики несжимаемой жидкости. Динамика сплошной среды. Вып. 10. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР. С. 5-28.

93. Алексеев Г.В., Мокин Ю.А. (1972). Класс точных решений уравнений гидродинамики и магнитной гидродинамики идеальной жидкости. Динамика

сплошной среды. Вып. 12. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР. С. 5-13.

94. Алексеев Г.В. (1973). Единственность и гладкость вихревых течений идеальной несжимаемой жидкости. Динамика сплошной среды. Вып. 15. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР. С. 7-18.

95. Алексеев Г.В. (1976). О разрешимости неоднородной краевой задачи для двумерных нестационарных уравнений динамики идеальной жидкости. Динамика жидкости со свободными границами. Динамика сплошной среды. Вып. 24. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР. С. 15-35.

96. Алексеев Г.В. (1977). О стабилизации решений двумерных уравнений динамики идеальной жидкости. Прикл. мех. техн. физ. № 2(102). С. 85-92.

97. Андреев В.К., Бублик В.В., Бытев В.О. (2003). Симметрии неклассических моделей гидродинамики. Новосибирск: Наука. 352 с.

98. Андреев В.К., Степанова И.В. (2016). Плоскопараллельное адвективное течение в горизонтальном слое несжимаемой жидкости с твёрдыми границами. Известия Российской Академии Наук. Механика жидкости и газа. № 2. С. 13-24.

99. Аристов С.Н. (1995). Точное решение задачи о точечном источнике. Доклады Академии Наук. Т. 343. № 1. С. 50-52.

100. Аристов С.Н. (1998). Трехмерные конические течения в вязкой несжимаемой жидкости. Известия Российской Академии Наук. Механика жидкости и газа. № 6. С. 144-148.

101. Аристов С.Н., Пухначев В.В. (2004). Об уравнениях вращательно-симметричного движения вязкой несжимаемой жидкости. Доклады Академии Наук. Т. 334. № 5. С. 611-614.

102. Аристов С.Н., Полянин А.Д. (2008). Новые классы точных решений уравнений Эйлера. Доклады Академии Наук. Т. 419. № 3. С. 328-333.

103. Аристов С.Н., Полянин А.Д. (2009). Точные решения трехмерных нестационарных уравнений Навье-Стокса. Доклады Академии Наук. Т. 427. № 1. С. 35-40.

104. Аристов С.Н., Князев Д.В., Полянин А.Д. (2009). Точные решения уравнений Навье-Стокса с линейной зависимостью компонент скорости от двух пространственных переменных. Теоретические основы химической технологии. Т. 43. № 5. С. 547-566.

105. Аристов С.Н., Князев Д.В. (2012). Течения вязкой жидкости между двумя подвижными параллельными плоскостями. Известия Российской Академии Наук. Механика жидкости и газа. № 4. С. 55-61.

106. Коптев А.В. (2012). Первый интеграл и пути дальнейшего интегрирования уравнений Навье - Стокса. Известия Российского государственного педагогического университета им. А. И. Герцена. Серия: Естественные и точные науки. № 147. C. 7-17.

107. Koptev A.V. (2013). Nonlinear Effects in Poiseuille Problem. Journal of Siberian Federal University - Mathematics and Physics. № 6(3). pp. 308-314.

108. Коптев А.В. (2014). Решение начально-краевой задачи для 3D уравнений Навье - Стокса и его особенности. Изв. Российского государственного педагогического университета им. А. И. Герцена. Серия: Естественные и точные науки. № 165. C. 7-18.

109. Коптев А.В. (2014). Динамические реакции подводного трубопровода на морские течения. Вестник государственного университета морского и речного флота им. адмирала С.О. Макарова. № 4(26). C. 107-114.

110. Koptev A.V. (2014). Structure of solutions of 3D Navier-Stokes equations. Дифференциальные уравнения и динамические системы: материалы Междунар. конф., Математический ин-т им. В.А.Стеклова РАН. С. 212-214.

111. ^ptev А^. (2014). The Structure of Solution of the Navier-Stokes Equations. Вестник национального исследовательского ядерного университета «Московский инженерно-физический институт». Вып. 3 (6). С. 656-660.

112. Koptev A.V. (2014). Generator of solutions for 2D Navier - Stokes equations. Journal of Siberian Federal University. Mathematics & Physics. Issue 7(3). pp. 324330.

113. Коптев А.В. (2015). Исследование влияния подводного течения на динамику корабля. Вестник Государственного университета морского и речного флота имени адмирала С.О.Макарова. №2(30). C. 16-23.

114. Семенов В.И. (2007). О свойстве гладкости решений уравнений Навье-Стокса в нелинейной нестационарной задаче Коши в пространстве. Препринт, Кузбассвузиздат, Кемерово, 40 с.

115. Semenov V.I. (2014). Some new identities for solenoidal fields and applications. Mathematics. Issue 2. pp. 29-36; doi:3390/math2010029; www. mdpi. com/j ournal/mathematics

116. Борисов А.В., Мамаев И.С., Рамоданов С.М. (2005). Взаимодействие двух круговых цилиндров в идеальной жидкости. Нелинейная динамика. Т. 1. № 1. С. 3-21.

117. Гольдштик М.А. (1962). Математическая модель отрывных течений несжимаемой жидкости. Докл. АН СССР. Т.147. № 6. С. 1310-1313.

118. Гольдштик М.А. (1981). Вихревые потоки. Новосибирск: Наука. 365 с.

119. Goldshtik M., Hussain F., Stern V. (1991). Symmetry breaking in vortex-source and Jeffery—Hamelflows. J. Fluid Mech. Vol. 232. pp. 521-566.

120. Старовойтов В.Н. (2006). Задача о дрейфе твердого тела в вязкой жидкости. Вестн. НГУ. Сер. матем., мех., информ. T.6. No.2. C. 88-102.

121. Korobkov M., Pileckas K. and Russo R. (2013). On the Flux Problem in the Theory of Steady Navier-Stokes Equations with Nonhomogeneous Boundary Condition. Archive for Rational Mechanics and Analysis. Vol. 207. Issue 1. pp. 185-213.

122. Ershkov S.V., Giniyatullin A.R., and Shamin R.V. (2018). On a new type of non-stationary helical flows for incompressible 3D Navier-Stokes equations, Journal of King Saud University - Science (in Press), DOI: 10.1016/j.jksus.2018.07.006.

123. Ershkov S.V., Shamin R.V. (2018). A Riccati-type solution of 3D Euler equations for incompressible flow, Journal of King Saud University - Science (in Press), DOI: 10.1016/j.jksus.2018.03.010.