Нелинейный изгиб упругой пластинки с распределенными дисклинациями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Фам Тан Хунг

• Фам Тан Хунг
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Фам Тан Хунг

Введение.

Глава 1. Модифицированные уравнения Кармана.

1.1. Уравнение несовместности для плоского линейного тензора деформации.

1.2. Уравнения равновесия и несовместности для гибких пластинок.

Глава 2. Равновесие многосвязной пластинки с дислокациями Вольтерры.

2.1. Постановка задачи о равновесии гибкой многосвязной пластинки с изолированными дефектами.

2.2. Вариационная постановка задачи о деформации многосвязной пластинки.

2.3. Вариационный метод перехода от дискретного набора дислокаций и дисклинаций к их непрерывному распределению.

Глава 3. Сильный изгиб круглой пластинки с распределенными дисклинациями и поперечной нагрузкой.

3.1. Численный метод решения краевой задачи изгиба пластинки.

3.2. Влияние дисклинаций на прогиб круглой пластинки, нагруженной равномерным давлением.

3.3. Устойчивость плоского напряженного состояния пластинки с распределенными дисклинациями.

3.3.1. Осесимметричная неустойчивость пластинки.

3.3.2. Неосесимметричная неустойчивость пластинки.

3.4. Закритическое поведение пластинки с внутренними напряжениями.

3.5. Послекритическое поведение при осесимметричном выпучивании упругой пластинки с распределенными дисклинациями.

3.6. Неосесимметричное послекритическое поведение пластинки с распределенными дисклинациями.

Глава 4. Осесимметричный изгиб нелинейно упругой кольцевой пластинки с распределенными дисклинациями.

4.1. Граничные условия.

4.2. Влияние дисклинаций на прогиб кольцевой пластинки, нагруженной равномерным поперечным давлением.

4.3. Устойчивость плоского напряженного состояния кольцевой пластинки с дисклинациями.

4.4. Закритическое поведение кольцевой пластинки с внутренними напряжениями.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейный изгиб упругой пластинки с распределенными дисклинациями»

В рамках линейной теории упругости математическая теория дислокаций и дисклинаций возникла в работах В. Вольтерры [131], Г. Вейнгартена [141], А. Лява [64] и К. Сомильяны в начале 20-го столетия.

Развитие и становление линейной теории изолированных (дискретных) и непрерывно распределенных дислокаций, т.е. чисто трансляционных дефектов связано с именами Дж. Эшелби [83, 98, 99, 100], Э. Кренера [58], А. Зеегера [23, 24], Р. Де Вита [19], В. Л. Инденбома и А. Н. Орлова [46], А. М. Косевича [53, 54], Дж. Хирта и Л. Лоте [80], А. Коттрела [55, 56], Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица [60], А. А. Вакуленко [5], А. А. Вакуленко и И. Ю. Ка-дашевич [6] и др.

Нелинейная теория непрерывно распределенных дислокаций, основанная на представлениях дифференциальной геометрии, была развита Б. Билби [86, 87], К. Кондо [113], Э. Кренером [58], И. А. Куниным [59], В. Л. Берди-чевским и Л. И. Седовым [2] др.

Начиная с 1970-х годов большое распространение получили экспериментальные и теоретические исследования в области ротационных дефектов, названных дисклинациями. Если говорить об изолированном дефекте, то дисклинация — частный случай дислокации Вольтерры, которая, вообще говоря, состоит из трансляционной дислокации и дисклинации и описывается двумя векторными параметрами — вектором Бюргерса и вектором Франка.

Теория дисклинаций разрабатывалась А. Е. Романовым [123], В. И. Владимировым и А. Е. Романовым [8], А. Л. Колесниковой и А. Е. Романовым [50, 124], Р. Де Витом [19], В. А. Лихачевым [61, 62], Д. В. Колесниковым и В. А. Осиповым [49], М. Ю. Гуткиным и И. А. Овидько [15, 16, 17, 18] и др. Нелинейная калибровочная теория дислокаций и дисклинаций развита Д. Эделеным [96, 97], А. Кадич и Д. Эделеным [47] и др.

Современное состояние теории дислокаций и дисклинаций отражено в монографиях К. Теодосиу [75], В. И. Владимирова и А. Е. Романова [8], В. Е. Панина, В. А. Лихачева и Ю. В. Гриняева [71], А. Кадич и Д. Эделена [47],

Б. в. В. Ес1е1еп и Б. Lagoudas [97], М. Ю. Гуткина и И. А. Овидько [16, 17], в обзорной статье А. Е. Романова [123].

Нелинейная теория изолированных дислокаций и дисклинаций развита Л. М. Зубовым, М. И. Карякиным и др.

В современной континуальной теории дислокаций и дисклинаций недостаточно разработан случай двумерных систем, который имеет свои особенности. В частности, в силу того, что дефекты распределены не по объему, а по двумерному многообразию — поверхности, плотности дислокаций и дисклинаций в пластинках и оболочках являются векторными величинами, а не тензорами второго ранга, как в трехмерном случае. Кроме того, в двумерных системах плотности дислокаций и дисклинаций не обязаны удовлетворять никаким дифференциальным уравнениям, в то время как в трехмерном теле, например, тензор плотности дислокаций должен быть соленоидальным.

В работах [32, 33] введено понятие изолированного дефекта - дислокации Вольтерры в нелинейно упругой среде. Получено обобщение известной теоремы Вейнгартена на случай конечных деформаций. Показано, что векторы Бюргерса и Франка изолированного дефекта выражаются через поле тензора конечных деформаций при помощи не обычного, а мультипликативного криволинейного интеграла. В [26, 33] впервые найдены в строгой нелинейной постановке точные решения сингулярных задач о клиновой дисклинации и винтовой дислокации в бесконечной среде. Эти решения показывают, что точный учет нелинейности качественно меняет характер сингулярности напряжений на оси дислокации и дисклинации по сравнению с линейной теорией упругости. В частности, установлено, что для широкого класса нелинейно упругих материалов энергия винтовой дислокации оказывается конечной, в то время как в линейной теории упругости она бесконечна. В работе [37] изучены дислокации Вольтерры в плоской нелинейной теории упругости. В плоской задаче удалось избежать использования мультипликативных интегралов и записать выражения векторов Бюргерса и Франка через обычные контурные интегралы. В статьях [25, 38, 45] на основе трехмерных линеаризованных уравнений предварительно напряженной среды исследовано влияние изолированных дислокаций и дисклинаций на распространение волн деформации и устойчивость равновесия упругого тела. В статье [21] решены сингулярные задачи нелинейной теории упругости об образовании цилиндрических полостей вокруг оси клиновой, дисклинации и винтовой дислокации. В работе [39] найдено точное решение задачи о краевой дислокации в нелинейно-упругой среде, которое удалось построить при помощи комплексных потенциалов нелинейной теории упругости для гармонического (полулинейного) материала. В [36] построена теория изолированных дислокаций и дисклинаций в упругих средах, обладающих моментными напряжениями и испытывающих большие деформации. Доказано существование дефектов типа дислокации Вольтерры в нелинейно упругом континууме Коссера. В «рамках моментной нелинейной теории упругости найдены точные решения задач о винтовой дислокации и клиновой дисклинации.

Описанные выше результаты по нелинейной теории изолированных дефектов подытожены в докладе [137] и подробно изложены в монографии [135].

Теория изолированных дислокаций в нелинейно упругих оболочках типа Лява и типа Коссера представлена в [28]. Здесь введено понятие дислокации Вольтерры в многосвязной оболочке, получены выражение векторов Бюргерса и Франка через поле тензоров метрических и изгибных деформаций. В [20] предложен способ перехода от дискретного набора дислокаций и дисклинаций к их непрерывному распределению в плоской задаче нелинейной теории. Дано дифференциально-геометрическое истолкование плоской среды с распределенными дефектами. Доказано, что риманова кривизна двумерного пространства метрической связности, моделирующего упругую среду с дефектами в случае плоской деформации, пропорциональна плотности клиновых дисклинаций. В работах [31, 43, 44, 136] представлены варианты линейных и нелинейных математических моделей упругих оболочек с непрерывно распределенными дислокациями и дисклинациями. Статья [14] посвящена линейной теории кручения призматических упругих стержней, содержащих винтовые дислокации, оси которых параллельны оси стержня. Рассмотрены как сосредоточенные (изолированные), так и непрерывно распределенные винтовые дислокации. Предложена модификация мембранной аналогия проблемы кручения, учитывающая присутствие дислокаций. Выведена эффективная формула для угла закручивания бруса, обусловленного заданным распределением дислокаций. Решен ряд задач о винтовых дислокациях в стержнях различных поперечных сечений. Нелинейное поведение призматических тел с винтовыми дислокациями, параллельными оси стержня, исследовано в [35]. В [27, 30, 110] результаты работ [20, 21] распространены на случай упругой среды с моментными напряжениями. В [48] найдено точное решение задачи об изгибе круглой мембраны, обусловленном клиновой дисклинацией, сосредоточенной в центре мембраны.

В [34] предложена модификация уравнений Кармана для гибких упругих пластинок, учитывающая наличие плоского поля дислокаций и дискли-наций, а также других источников собственных напряжений. В случае весьма тонкой пластинки (мембраны), свободной от внешних нагрузок, исследована задача об ее изгибе вследствие релаксации внутренних напряжений, обусловленных дефектами. Эта задача сведена к уравнению Монжа-Ампера. Найдено несколько точных решений о форме поверхности мембраны, содержащей распределенные дисклинации. Нелинейное влияние дислокаций и дисклина-ций на изгиб мембран и пластинок исследовалось также в работах [94, 127].

В работе [125] приводится анализ и корректировка некоторых известных решений, которые даёт калибровочная теория дефектов. Так, показано, что решения Кадич и Эделена [47] убывают экспоненциально вдали от источника, в то время как классические решения убывают как —. Утверждается, г что для краевой дислокации пока не существует приемлемого решения и в рамках калибровочной теории. М. Лазар в работе [114] получил некое решение, используя аппроксимацию функций напряжений. В рамках теории Кадич и Эделена задача о краевой дислокации вообще не имеет решения. Авторами [114] в рамках калибровочной-теории решена задача о взаимодействии двух винтовых дислокаций.

Вфаботе [124] представлено введение в теорию дисклинаций, а1 также обзор некоторых последних достижений в рамках дисклинационного подхода в физике и механике твёрдотельных структур.

В работе [50] даётся приложение теории дисклинаций к двумерным углеродным наноструктурам — фуллеренам. Отмечается; что уже в самом» начальном периоде развития дисклинационного подхода была рассмотрена возможность появления дисклинаций в двумерных кристаллах, что было инициировано наблюдениями особенностей структуры вирусов и биологических мембран. Появление в шестизвенном монослое пятизвенных колец соответствует введению положительных клиновых дисклинаций. Показывается, как напряжения и искажения вблизи локализованного пятизвенного кольца в плоском графитовом слое могут быть рассчитаны с использованием результатов теории дисклинаций. Из этих результатов следует, что введение дисклинаций в твердое тело приводит к чрезвычайно высокой плотности упругой энергии. В трёхмерном твердом теле упругая энергия может быть понижена только в результате введения дополнительных экранирующих дефектов, например, дисклинаций противоположного знака. В двумерном кристалле имеется дополнительная возможность снижения упругой энергии дисклинаций, связанная с потерей устойчивости деформированного тонкого слоя. В этом случае происходит выпучивание графитового слоя с образованием конической поверхности. Появление в шестизвенном монослое семизвенных колец соответствует введению отрицательных клиновых дисклинаций. Релаксация упругой энергии отрицательных дисклинаций происходит при этом путем преобразования плоского монослоя в седловидный.

Авторы [50] предполагают, что теоретически возможно введение более мощных положительных и отрицательных дисклинаций в графитовый монослой, а значит, появление соответственно четырех-, трех-, восьми- и девятизвенных колец. Отмечается, что многозвенные углеродные кольца часто рассматриваются при моделировании процессов зарождения фуллеренов.

Для всего семейства углеродных наноструктур (УНС) базовой структурой является графитовая плоскость (графен). Другие типы углеродных наноструктур, такие как фуллерены, открытые и закрытые нанотрубки, нанокону-сы и нанохорны, могут рассматриваться как модификация базовой структуры, полученная введением в неё топологических дефектов (дисклинаций) [49]. Однослойная углеродная наноструктура состоит из атомов углерода, каждый из которых соединен с тремя другими (таким образом, локально решётка УНС представляет из себя двумерную шестиугольную решётку); помимо шестиугольных колец УНС может содержать и другие, например, пятиугольные и семиугольные кольца; УНС имеет один атомный слой, которому можно сопоставить поверхность с определённой метрикой. Любая УНС может быть описана как искривлённая двумерная поверхность с топологическими дефектами — дисклинациями, соответствующими пятиугольникам и семиугольникам.

Авторы [49] отмечают, что калибровочная теория дисклинаций не может быть использована вблизи ядра дисклинации, хотя это ограничение для релаксирующей из-за изгиба двумерной поверхности, является, по-видимому, более слабым.

Углеродные наноконусы — это УНС, образованные введением в графитовую плоскость от одной до пяти близко расположенных положительных дисклинаций (пятиугольных колец). Такое число дисклинаций приводит к появлению структуры с почти конической геометрией, у которой положительная гауссова кривизна сосредоточена вблизи вершины, а при удалении от вершины она стремится к нулю. Изначально в работе [49] предполагается, что поверхность будет представлять собой одну из частей двухполо'стного гиперболоида. В случае пяти дисклинаций наноконусы имеют специальное название — нанохорны. Для нанохорнов реализуется геометрия гиперболоида.

Введение положительных дисклинаций приводит, к релаксации графитовой плоскости и появлению положительной кривизны. Однако помимо простых выпуклых структур могут существовать и структуры с отрицательной гауссовой кривизной; Такие структуры наблюдались впервые при синтезе одностеночных углеродных нанотрубок. Поверхность с отрицательными дисклинациями с хорошей точностью является однополостным гиперболоидом (в специальном случае чётного количества дисклинацищ расположенных симметрично).

Фуллеренами. называются УНС сферической или сфероидальной формы, содержащие на поверхности ровно 12 пятиугольников. Сферические фуллерены имеют икосаэдральную симметрию, тождественно преобразующую решётку фуллеренов в себя при повороте вокруг любого из двенадцати дефектов.

Нелинейная теория изгиба пластин разработана в работах А. Föppl [102], Th. Karman [108, 109], J. J. Vincent [130], S. Way [139], L. X. Gox [93], W. Z. Chien [90, 91, 92], S. Levy [118], К. О. Friedrichs и J. J: Stoker [103, 104] и др.

Уравнения равновесия нелинейной упругой пластинки впервые даны в работах [109]. После этого S. Way успешно применил эти уравнения для решения задачи об изгибе круглых пластин под действием равномерного давления методом степенных рядов. Дальше в работе [118] S. Levy получил решение задачи об изгибе опертой прямоугольной пластины при равномерной нагрузке по методу двойных тригонометрических рядов.

Нелинейная задача осесимметричного выпучивания пластины при радиальном сжатии, впервые сформулирована в [103] на основе системы уравнений Кармана. Решение задачи было найдено методом разложения в степенные ряды по независимой переменной.

Развитие и становление нелинейной теории изгиба пластин связано с именами А. С. Вольмира [9,10], К. Y. Yeh [133], Е. Bromberg [88], И. И. Во-ровича [11, 12], В. Н. Крачуна и Н. Ф. Морозова [57], Н. Ф. Морозова [65, 66,

67, 68], S. Way [139], С. П. Тимошенко, С. Войновского-Кригера [77], R. W. Dickey [95], Р. К, Sarker [126], В. P. Garfoot [105], П. А. Жилина [22], H. Ghien [89]; Jli M. Зубова [34] и других.

В книге [76] рассматриваются задачи о больших прогибов тонких пластин. Эти задачи решаются на основе теории Кармана разными методами.

В работе [51] решается задача' о больших прогибах равномерно нагруженной круглой пластины с жестко заделанными краями методом конечных разностей повышенной точности и методом коллокации.

В работе [13] рассматривается задача о больших прогибах круглой защемленной пластины при помощи применения метода наименьших квадратов. При этом предполагается, что изгиб является симметричным.

В работе [22] XI: А. Жилин исследовал осесимметричный изгиб круглой пластинки при больших перемещениях. Он построил асимптотическое решение краевой задачи для круглой защемленной пластинки под действием поперечного давления. Он показал, что задача разбивается на безмоментную и краевой эффект.

Современное состояние нелинейной теории пластин отражено в статьях: Ь. S. Ma, T. J. Wang [120], J. H. Не [106], Л. И. Шкутина [82], X. Z. Wang [138], Y. H. Su, S. M. Spearing [128, 129], M. D. Williams, B. Griffm, B; Homei-fer [140].

Задача о нелинейном осесимметричном изгибе функционально-градиентной пластинки при механических, тепловых и комбинированных температурно-механических воздействиях исследована в [120] на основе классической нелинейной теории пластин Кармана. Механические и температурные свойства функционально-градиентных материалов предполагаются непрерывно-меняющимися по толщине пластины. Авторы выводят определяющие уравнения задачи, а затем метод стрельбы используется для численного решения уравнений.

В работе [82] решается задача осесимметричного выпучивания ради-ально-сжатой пластины. Нелинейные краевые задачи осесимметричного выпучивания пластины сформулированы для систем шести обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которая решена методом стрельбы с контролируемой точностью. Автор также нашел критические значения сжимающего усилия и формы меридиана пластины в выпученных состояниях.

Плоское напряженное состояние двумерных структур, имеющих форму тонких пластинок и содержащих распределенные дефекты и другие источники несовместных деформаций, может оказаться неустойчивым. Это приводит к необходимости исследовать изгибные формы равновесия пластинок, возникающие после потери устойчивости. Задачи устойчивости и закритического поведения упругих пластинок, содержащих в плоском состоянии распределенные дефекты, до настоящего времени не были исследованы. Кроме того, значительный интерес представляет влияние плоского поля внутренних напряжений, обусловленных дефектами, на прогиб пластинок под действием поперечной нагрузки. Это влияние можно выявить только на основе нелинейных уравнений.

Сказанным определяется актуальность темы диссертации, посвященной нелинейному изгибу упругих пластинок с дислокациями и дисклинация-ми.

Содержание работы изложено в четырех главах.

В первой главе формулируются модифицированные уравнения Кармана для упругой пластинки с распределенными дислокациями и дисклинация-ми.

В п. 1.1 дается вывод уравнения несовместности для плоского линейного тензора деформации. При наличии в плоском состоянии пластинки распределенных дислокаций и дисклинаций уравнения несовместности получены путем предельного перехода от дискретного набора дислокаций Вольтер-ры к непрерывному распределению дислокаций и дисклинаций.

В п. 1.2 выведена система дифференциальных уравнений для функции прогиба и функции напряжений Эри.

Во второй главе рассматривается равновесие многосвязной пластинки с дислокациями Вольтерры.

В п. 2.1 исследуется задача о равновесии многосвязной пластинки с изолированными дефектами. Получены интегральные соотношения для определения вектора Бюргерса и угла Франка дислокации Вольтерры через тензор линейных деформаций.

В п. 2.2 дана вариационная постановка задачи о деформации многосвязной пластинки. Из вариационного принципа минимума потенциальной энергии получены уравнения совместности и равновесия упругой пластинки с дислокациями и дисклинациями и интегральное соотношение для вектора Бюргерса и угла Франка.

В п. 2.3 представлен вариационный переход от дискретного набора дислокаций и дисклинаций к их непрерывному распределению.

Третья глава посвящена изгибу круглой упругой пластинки с распределенными дисклинациями. На основе уравнений Кармана, полученных в разд. 1.2 решаются задачи нелинейного изгиба круглой пластинки с различными видами нагружения.

В п. 3.1 описывается численный метод пристрелки для решения краевой задачи системы дифференциальных уравнений Кармана.

В п. 3.2 решается задача о сильном изгибе круглой пластинки с дисклинациями под действием поперечной нагрузки. Установлено, что прогиб пластинки увеличивается с увеличением плотности дисклинаций независимо от знака дисклинаций.

В п. 3.3 рассматривается задача об устойчивости пластинки, содержащей дисклинации под действием боковой нормальной нагрузки. Для исследования устойчивости плоского напряженного состояния применен статический бифуркационный метод. Задача состоит в отыскании критического значения бокового давления и также плотности дисклинаций, при которых пластинка потеряет устойчивость.

В п. 3.4 исследуется закритическое поведение пластинки с дисклина-циями. Поверхность пластинки свободна от напряжений. Если плотность дисклинаций превышает критическое значение, то кроме решения Ж = 0, имеется другое, в котором прогиб Ж отличен от нуля. При достаточно большой плотности дисклинаций найдено несколько форм равновесия пластинки, которые могут существовать в закритическом состоянии.

В п. 3.5, 3.6 задачи о закритическом поведении при осесимметричной и неосесимметричной пластинки решаются методом Ритца. Показано, что результаты, полученные методом Ритца, хорошо согласуются с результатами, полученными методом пристрелки в осесимметричной задаче.

Четвертая глава посвящена осесимметричному изгибу нелинейно упругой кольцевой пластинки. Кольцевая пластинка содержит не только распределенные дисклинации, но и изолированную дисклинацию с заданным углом Франка.

В п. 4.1 выведены граничные условия для кольцевой пластинки, учитывающие наличие изолированной дисклинации.

В п. 4.2 исследовано влияние дисклинаций на прогиб кольцевой пластинки, нагруженной равномерным поперечным давлением. Показано, что распределенные и изолированная дисклинации увеличивают прогиб пластинки.

В п. 4.3 решается задача об устойчивости кольцевой пластинки-с дис-клинациями бифуркационым методом. Критическое значение бокового давления уменьшается при увеличении плотности дисклинаций независимо от ее знака. Присутствие изолированной дисклинации также уменьшает критическое значение внешних нагрузок.

В п. 4.4 исследовано закритическое поведение кольцевой пластинки с внутренними напряжениями, обусловленными распределенными и изолированной дисклинациями. Аналогично случаю сплошной пластинки, для кольцевой пластинки при отсутствии внешних нагрузок найдены формы выпучивания в закритической стадии.

В заключении формулируются основные результаты, полученные в диссертационной работе.

Основные результаты диссертационной работе докладывались на XIII и XIV международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2009, 2010); а также на Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, 2011).

Результаты диссертации опубликованы в 4 статьях, список которых приведен в конце автореферата. Из них статьи [3, 4] помещены в журналах из «Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук», утвержденного ВАК РФ

По теме диссертации опубликованы статьи [41, 42, 78, 79]. Из них статьи [41, 42] помещены в журналах из «Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук», утвержденного ВАК РФ.

В совместных работах научному руководителю Л. М. Зубову принадлежат постановки задач и рекомендации по выбору метода решения. Вывод разрешающих систем уравнений, разработка и реализация численных методов, численные результаты принадлежат автору диссертационной работы.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Фам Тан Хунг

Основные результаты диссертационной работы

1. Сформулирован вариационный; принцип равновесия нелинейно упругой многосвязной пластинки, содержащей изолированные дислокации и дисклинации: Путем; предельного перехода от дискретного набора изолированных дефектов к их непрерывному распределению в: функционале энергии выведены модифицированные уравнения Кармана сильного изгиба пластинки с непрерывно распределенными дислокациями и дисклинациями;

2. Путем численного решения нелинейных модифицированных уравнений Кармана исследовано влияние распределенных дисклйнаций или источников тепла на прогибы и напряженное состояние круглой гибкой пластинки, нагруженной поперечным давлением. Выявлен нелинейный эффект увеличения прогиба из-за наличия дисклинаций.

3. Решены задачи устойчивости и послекритического поведения круглой пластинки, содержащей непрерывно распределенные дисклинации и нагруженной контурным давлением, действующим в плоскости пластинки. Найдены; осесимметричные закритические формы изгиба пластинки;, обусловленные дисклинациями и существующие при отсутствии внешних нагрузок. Установлено, что переход пластинки из плоского состояния в изогнутую форму уменьшает величину внутренних напряжений. .

4. Вариационным методом Ритца найдена неосесимметричная форма равновесия гибкой круглой пластинки, обусловленная равномерно распределенными дисклинациями.

5. В случае кольцевой формы плиты исследовано влияние как непрерывно распределенных, так и изолированной дисклинаций на изгиб,. устойчивость и послекритическое поведение пластинки.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Фам Тан Хунг, 2011 год

1. Аитова Ф. С. Большие прогибы гибких пластинок опертых на гибкие нерастяжимые ребра // Исслед. по теор. пластин и оболочек. Изд-во. Казанского ун-та. Казань. 1966. №4. С. 242-252.

2. Бердичевский В. Д Седов Л. И. Динамическая теория непрерывно распределенных дислокаций. Связь с теорией пластичности //ПММ. 1967. Т. 31. №6. С. 981-1000.

3. Бердичевский В. Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983. 448с.

4. Бережкова Г. В. Нитевидные кристаллы. М.: Наука, 1969. 158с.

5. Вакуленко А. А. Связь микро- и макросвойств в упругопластнческих средах // Итоги науки и техники. Сер. Механика деформируемого твердого тела. М.: ВИНИТИ, 1991. Т. 22. С. 3-54.

6. Вакуленко А. А., Кадашевич И. Ю. Эффект Баушингера и аналогичные по микроприроде эффекты при деформации металлов // Изв. вузов. Се-веро-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2000. Спецвыпуск «Нелинейные проблемы механики сплошных сред». С. 16—23.

7. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987. 542с.

8. Владимиров В. И., Романов А. Е. Дисклинации в кристаллах. JL: Наука, 1986.224с.

9. ВолъмирА. С. Гибкие пластины и оболочки. М.: Гостехиздат, 1956. 419с.

10. Волъмир A.C. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. 984с.

11. Ворович И. И. О поведении круглой плиты после потери устойчивости // Учен. зап. Ростов, ун-та. 1955. Т. 32. Вып. 4. С. 55-60.

12. Ворович И. И. О поведении пластин произвольной формы после потери устойчивости. В кн.: Проблемы механики твердого деформированного тела. JL: Судостроение. 1970. С. 113-119.

13. Ганиев Н. С. Применение метода наименьших квадратов к нелинейной задаче изгиба круглой пластины постоянной и переменной толщины // Исслед. Теор. Пластин и оболочек. Изд-во Казанского ун-та. Казань. 1970. Вып. 6-7. С. 207-212.

14. Губа А. В., Зубов Л. М. О кручении призматических упругих тел, содержащих винтовые дислокации // ПММ. 2002. Т. 66. Вып. 2. С. 316-324.

15. Гуткин М. Ю., Овидъко И. А. Дефекты и механизмы пластичности в на-ноструктурных и некристаллических материалах. СПб.: «Янус», 2001. 180с.

16. Гуткин М. Ю., Овидько И. А. Зарождение дислокационных петель и пластическая деформация нанокристалличсских материалов // Изв. РАН. МТТ. 2007. №2. С. 123-136.

17. Гуткин М. Ю., Овидъко И. А. Физическая механика деформируемых наноструктур. Т. 1. Нанокристаллические материалы. СПб.: «Янус», 2003. 194с.

18. Гуткин М. Ю., Овидько И. А. Физическая механика деформируемых наноструктур. Т. 2. Нанослойные структуры. СПб.: «Янус». 2005. 352с.

19. Де Вит Р. Континуальная теория дисклинаций. М.: Мир, 1977. 208с.

20. Церезин С. В., Зубов Л. М. Уравнения нелинейно упругой среды с непрерывно распределенными дислокациями и дисклинациями //Доклады РАН. 1999. Т. 366. № 6. С. 762-765.

21. Еремеев В. А., Зубов Л. М., Карякин М. И., Чернега Н. Я. Образование полостей в нелинейно-упругих телах с дислокациями и дисклинациями // Доклады РАН. 1992. Т. 326. № 6. С. 968-971.

22. Жилин П. А. Осесимметричный изгиб гибкой круглой пластинки при больших перемещениях // Изв. АН СССР. МТТ. 1984. №3. С. 138-144.

23. Зеегер А. Некоторые нелинейные упругие эффекты вблизи дислокации // Дислокации и механические свойства кристаллов. М.: Изд-во ИЛ, 1960. С. 353-356.

24. Зубов Л. М. Континуальная» теория, дислокаций и дисклинаций в нелинейно упругих микрополярных средах // Изв. РАН. МТТ. 2011. № 3. С. 18-28. ' •■''.'■■ ■■ '

25. Зубов Л. М. Нелинейная, теория изолированных дислокаций и дисклинаций в упругих оболочках // Изв. АН СССР. МТТ. 1989;.№4. С. 139-145.

26. Зубов Л. М Нелинейная теория упругих оболочек с непрерывно распределенными дислокациями // Изв. РАН. МТТ. 2001. №2. С. 139-147.

27. Зубов Л. М. Непрерывно распределенные дислокации и дисклинации в нелинейно-упругих микрополярных средах // Доклады РАН. 2004. Т. 396: № Г. С.52—55:

28. Зубов Л. М. Непрерывно распределенные дислокации и дисклинации в упругих оболочках // Изв. РАН. МТТ. 1996. № 6.С. 102-110.

29. Зубов Л. М. О дислокациях Вольтерра в нелинейно упругих телах // Доклады АН СССР. 1986. Т. 287. № 3. С. 579-582.

30. Зубов Л. М. Теория дислокаций Вольтерра в нелинейно-упругих телах // Изв. АН СССР. МТТ. 1987. № 5. С. 140-147.

31. Зубов Л. М. Уравнения Кармана для упругой пластинки с дислокациями и дисклинациями//Доклады РАН; 2007. Т. 412. № 3. С. 343-346:

32. Зубов Л> М:, Корякин М: И Многозначные смещения и дислокации; Вольтерра в плоской нелинейной* теоришупругости.// ПМТФ. 1987. № 6. С. 146-152.

33. Зубов Л. Mi, Моисеенко С. И О влияниш винтовой дислокации на; распространение волн в упругом цилиндре //ПМТФ: 1984'. №2. С. 140-1441

34. Зубов Л. М., Фам Т. X Сильный, изгиб круглой пластинки с непрерывно распределенными дисклинациями. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2010. №4. С. 28-33.

35. Зубов Л. М, Филиппова Л. М. Континуальная теория дислокаций в нелинейно-упругих мембранах // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды 2-й международной конференции. Т. 2. Ростов-на-Дону. МП «Книга». 1996. С. 77-81.

36. Зубов Л. М, Чернега Н. Я. О влиянии винтовой дислокации на устойчивость упругого цилиндра // Фундаментальные и прикладные проблемы механики деформируемых сред и конструкций. Н. Новгород. Изд-во. унта. 1995. Вып. 2. С. 178-186.

37. Инденбом В. Л., Орлов А: Н. Физическая теория пластичности'и прочности // УФН: 1962. Т. 26. С. 559-591'.

38. Кадич А., Эделен Д. Калибровочная теория дислокаций и дисклинаций. М.": Мир, 1987. 168с.

39. Корякин М. И. Равновесие и устойчивость круговой» пластинки, с клиновой дисклинацией»// ПМТФ: 1992. № 3. С. 157-163.

40. Колесников Д. В:, Осипов В! А. Теоретико-полевой подход к описанию электронных свойств углеродных наноструктур // Физика элементарных частиц и атомного ядра. Т. 40. Вып. 4. 2009. С. 967-1011.

41. Колесникова А. Л., Романов А. Е. О дисклинационном подходе при; описании структуры фуллеренов // ФТТ. 1998. Т. 40. № 6. С. 1178 -1180:

42. Корнишин М. С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения. М1: Наука, 1964. 192с.

43. Корнишин М. С., Столяров Н. Н., Дедов Н. И: Большие прогибы прямоугольных в плане пластин и пологих оболочек из нелинейно упругого материала// Исслед. по теор. пластин и оболочек. Изд-во Казанского унта. Казань. Вып. 9. 1972. С. 157-168.

44. Косевич А. М. Дислокации в теории упругости. Киев: Наукова думка, 1978.219с.

45. Косевич А. М., Токий В. В., Стрельцов 3. А. Дислокации и точечные дефекты в гидростатически сжатом кристалле // Физ. металлов* и металловед. 1978. Т. 45. №16. С. 1135-1144.

46. Коттрел А. X. Дислокации и-пластическое течение в кристаллах. М.: Металлургиздат, 1958. 268с.

47. Коттрел А. X. Теория дислокаций. М.: Мир, 1969. 96с.

48. Крачун В. Н., Морозов Н. Ф. О неустойчивости симметричного решения круглой симметрично загруженной пластины, свободной от усилий на контуре // Изв. вузов. Матем. 1967. №11. С. 31-34.

49. Кренер Э. Общая континуальная теория дислокаций и собственных напряжений. М.: Мир, 1965. 103 с.

50. КуниыИ. А. Теория упругих сред с микроструктурой. М.: Наука, 1975.i416с.

51. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: в 10-ти т. Т. VII. Теория упругости. М.: Наука, 1987. 248с.

52. Лихачев В. А:, Волков- А. Е., Шудегов В. Е. Континуальная.теория* дефектов. Л.: Изд-во.ЛГУ, 1986. 232с.

53. Лихачев В. А., Хайров Р. Ю. Введение втеорию дисклинаций. JI.: Изд-во. ЛГУ, 1975. 183с.

54. Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 939с.

55. ЛявА. Математическая теория упругости: М.,Л.: ОНТИ, 1935. 647с.

56. Морозов Н. Ф. Исследование круглой симметрично сжимаемой-пластинки при большой краевой нагрузке // Изв.- вузов. Матем. 1963. № 3; С. 9598.

57. Морозов Н. Ф. К вопросу о существовании несимметричного решения в. задаче о больших прогибах круглой пластинки, загруженной симметричной нагрузкой //Изв. вузов. Матем. 1961. №2. С. 126-129

58. Морозов Н.Ф. К нелинейной теории тонких пластин // ДАН СССР. 1957. Т. 114. №5. С. 968-971.

59. Морозов Н. Ф. О приближениях Галеркина к решению нелинейной задачи о равновесии круглой симметрично загруженной пластины // Изв. вузов. Матем. 1967. №6. С. 97-100.

60. Нехотяев В. В., Рожков А. Н. Большие прогибы круглой пластины с отверстием // Исслед. по теор. пластин и оболочек, 15, Изд-во Казанского ун-та. Казань. 1980. С. 162-166.

61. Нехотяев В. В., Саченков А. В. Большие прогибы тонких упругих пластин // Исследования по теории пластин и оболочек. Изд-во Казанск. унта. Казань. 1972. С. 42-76.

62. Панин В. Е.} Лихачев В. А., Гриняев Ю. В. Структурные уровни деформации твердых тел. Новосибирск.: Наука, 1985. 230с.

63. Панов Ю. В., Феодосъев В. И. О равновесии и потере устойчивости пологих оболочек при больших прогибах // ПММ. 1948. Т. 7. №4. С. 389406.

64. Седов Л. И. Механика сплошной среды: в 2-х т. Т. 1. М.: Наука, 1983. 528с.

65. Съярле Ф., Рабье П. Уравнения Кармана. М.: Мир, 1983. 172с.

66. Теодосиу К. Упругие модели дефектов в кристаллах. М.: Мир, 1985. 352с.

67. Теория гибких пластинок. Перевод с китайского под редакцией Вольми-ра А. С. М.: Наука, 1956. 207с.

68. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластины и оболочки. М.: Наука, 1966. 636с.

69. Фам Т. X. Большие прогибы круглой пластинки с распределенными дис-клинациями // Труды XIII Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды». Ростов-на-Дону. Изд-во ЮФУ. 2009. Т. 1. С. 209-212.

70. Фам Т. X. Осесимметричный изгиб нелинейно упругой кольцевой пластинки с распределенными дисклинациями II Труды XIV Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды». Ростов-на-Дону. Изд-во ЮФУ. 2010. Т. 2. С. 299-303.

71. ХиртДж., Лоте Л. Теория дислокаций. М.: Атомиздат, 1972. —600с.

72. Черевацкий А. С., Мухамбетжанов С. Г. Выхлоп тонкой круговой пластины как элемента диска с начальной неправильностью формы // Проблемы прочности. 1987. №2. С. 29-32.

73. Шкутин Л. И\ Численный анализ осесимметричных форм выпучивания пластин при радиальном сжатии // ПМТФ. 2004. Т. 45. № 1. С. 107-114.

74. ЭшелбиДж. Континуальная теория дислокаций. М.: ИЛ; 1963. 247с.

75. Banerjee В. Large deflection of a semicircular plate under a uniform load // Bull. Acad. Polon. Sei. Ser. Scitech. 1967. V. 15, N. 3.

76. Banerjee M. M., Sarker P. K., Kapoor P. On the non-linear vibration of circular plates of variable tHickness elastically restrained along the edges // J. Sound. Vib., 1976. V. 74. Issue 4. P. 589-596.

77. Bilby B., Bullough'R. Continuous distributions of dislocations III // Proc. Roy. Soc. London. 1956. A236. P. 481-505.

78. Bilby B., Bullough R., Smith E. Continuous distributions of dislocations: a new application of the methods of non-Riemanian geometry // Proc. Roy. Soc. London. 1955. A231 P. 264-273.

79. Bromberg E. Non-linear bending of a circular plate under normal pressure // Comm. Pure. Appl. Math. 1956. V. 9. P. 633-659.

80. Chien H. Large deflection of circular plate under compound load // Appl. Math. Mech. (English edition). 1983. V. 4. N. 5. P. 791-804.

81. Chien W. Z. Large deflection of a circular clamped plate under uniform pressure // Chinese Journal of Physics. 1947. V. 7. P. 102-113.

82. Chien W. Z, Chen S. L. The solution of large deflection problem of thin circular plate by the method of composite expansion // Appl. Math. Mech. 1985. V. 6, N. l.P. 25-49.

83. Chien W.Z., Yeh K.Y. On the large deflection of a circular plate // Acta Scien-tia Sinica. 1954. Vol. 2. P. 405^136.

84. Cox H. L. Buckling of thin plates in compression. // ARC R&M. 1934. N. 1554.

85. Dervaux J., Ciarletta P., Ben Amar M. Morphogenesis of thin hyperelastic plates: A constitutive theory of biological growth in the Fôppl-von Karman limit. J. Mech. Phys. 2009. Sol. 57. P. 458-471.

86. Dickey R. W. Nonlinear bending of circular plates 11 SIAM J. Appl. Math. 1976. V. 30. N. l.P. 1-9.

87. Edelen D. G. B. A correct, globally defined solution of a screw dislocation problem in the gauge theory of defects // Int. J. En. Sci. 1996. V. 34. P. 8186.

88. Edelen D. G. B., Lagoudas D. C. Gauge theory and defects in solids. Amsterdam. North-Holland. 1988.

89. Eshelby J. D. Boundary problems // Dislocations in Solids. Amsterdam e.a. 1979. V. 1. P. 223-342.

90. Eshelby J. D. The force on an elastic singularity // Phil. Trans. Royal. Soc. London. 1951. A244. P. 87-112.

91. Eshelby J. D. The elastic energy-momentum tensor // J. Elasticity. 1975. V. 5. №4. P. 321-335.

92. Fife P. Nonlinear deflection of thin elastic plates under tension // Comm. Pure. Appl. Math. 1961. V. 14. P. 81-112.

93. Fóppl A. Vorlesungen über technische Mechanik. 1907. Bd. 5. S. 132-144.

94. Friedrichs K. O., Stoker J. J. Buckling of the circular plate beyond the critical thrust // J. Appl. Mech. 1942. V. 9. P. A7-A14.

95. Friedrichs K. O., Stoker J. J. The non-linear boundary value problem of the buckled plate // American Journal of Mathematics. 1941. V. 63. P. 839-888.

96. Garfoot B. P. Nonlinear symmetric bending of circular elastic plates // Journal of the Australian Mathematical Society (Series A). 1975. V. 19. P. 481-504.

97. He. J. H. A Lagrangian for von Karman equations of large deflection problem of thin circular plate // Applied Mathematics and Computation. 2003. V. 143. P. 543-549.

98. Juillard J., Colinet E. Modelling of nonlinear circular plates using modal analysis: simulation and model validation // J. Micromech. Microeng. 2006. V. 16. P. 448-456.

99. Karman Th. Festigkeitsprobleme im Maschinenbau. // Encyclopaedie der Mathematischen Wissenschañen. 1910. V. 4. N. 349. S. 314-385.

100. Karman Th., Sechler E. E., Donnell L. H. The strength of thin plates in compression// Trans. A.S.M.E. 1932. V. 54. P. 53-57.

101. Karyakin M. I., Zubov L. M. Theory of isolated and continuosly distributed disclinations and dislocations in micropolar media. In: H. Altenbach, G. A.

102. Lazar M. A nonsingular solution of the edge dislocation in the gauge theory of dislocations; // JlPhysiA: Math; Gen; 2003;'V. 36?.P: M15-W37C/

103. Bazan M:, McmgimG: A Defects im gradient micropolar* elasticity — I:rscrew dislocation!// J* Mech. Phys. Soil 2004; V;.52r P. 2263-2284;

104. EazmMI, MaugimG'i A, Aifantis E. G. Dislocations in^ second^strainigradient elasticity // Inti Ji Solids. Struct. 2006;.V. 43; PI 1787—1817

105. Liu R: Nonlinear bending ofcircular sandwich plate 11 J. Appl. Math. Mech. (English Edition). 1981. V. 2. N. 2. P: 173-190.

106. Ma L. S., Wang T. J. Nonlinear bending and post-buckling of a functionally graded circular plate under mechanical and thermal loadings // Int. J. Solids Struct. 2003. V. 40. P. 3311-3330.

107. Mihagawa Si Elastic fields of dislocations: and disclinations in am isotropic micropolar continuum // Appl. Eng. Sci. Lett. 1977. 5. P. 85-94.

108. Su Y. H, Chen K. S., Roberts D. C., Spearing S. M. Large deflection analysis of a pre stressed annular plate with a rigid boss ,under J. Micromech. Microeng. 2001. V. 11. P. 645-653.

109. Su Y. H, Spearing Si M. Nonlinear buckling of micro fabricated thin annular plates // Thin-Walled Structures. 2003. V. 42. N. 11. P. 1543-1565.

110. Vincent J. J. The bending of a thin circular plate // Phil. Mag. 1931. V. 12. P. 185-196.

111. Volterra V. Sur l'equilibre des corps e'lastiques multiplement connexes // Ann. de 1 'Ecole Norm. Sup: Ser. 1907. 3. V. 24. N.3.P. 401-517.

112. Yeo Mill., Lee W. K. Corrected solvability conditions for non-linear asymmetric vibrations ofa circular plate III. Sound. Vib: 2002. V. 257. P. 653-665.

113. Zubov L. M. Nonlinear theory of dislocations and disclinations in elastic bodies II Berlin, Heidelberg, New-York et al. Springer-Verlag. 1997. 205p.

114. Zubov L. M. Nonlinear theory of isolated and continuously distributed dislocations in elastic shells I I Archives of Civil Engineering. 1999. XLV. N. 2. P. 385-396.

115. Wang X. Z., Zhao Y. G., Ju X, et al. Unsymmetrical nonlinear bending problem of circular thin plate with variable thickness. // J. Appl. Math. Mech. (English Edition). 2005. V. 26. N. 4. P. 423^130.

116. Way S. Bending of circular plates with large deflection // ASME J. Appl. Mech. 1934. V. 56. P. 627-636.

117. Williams M. D., Griffin B., Homeijer B., Sankar B. V., Sheplak M. The nonlinear behavior of a post-buckled circular plate. Sensors. 2007. 6th IEEE Conference. P. 349-352.

118. Weingarten G. Sulle superficic di discontinuita nella teoria della elasticila dei corpi solidi // Atti Accad. Naz. Lincei. Rend., CI. Sci. fis., mat., natur. 1901. T. 5. P. 57-60.j