Собственные напряжения в нелинейно упругих телах с дислокациями и дисклинациями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Дерезин, Святослав Викторович

• Дерезин, Святослав Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Дерезин, Святослав Викторович

Введение

1 Собственные напряжения в трёхмерных нелинейно упругих телах с дислокациями и дисклинациями

1.1 Непрерывное распределение дислокаций.

1.2 Непрерывное распределение дисклинаций. Теорема о гауссовой кривизне

1.3 Собственные напряжения в упругом диске, обусловленные заданной плотностью дисклинаций.

2 Дислокации и дисклинации в упругих оболочках

2.1 Выпучивание пластинки с дисклинациями.

2.2 Дислокации в нелинейной теории оболочек.

3 Дислокации и дисклинации в упругих пластинках

3.1 Теория Кармана-Рейсснера.

3.2 Точные решения для теории Рейсснера.

3.3 Решение задачи о сосредоточенном дефекте в пластинке

Рейсснера при помощи комплексных потенциалов.

3.4 Вариационный метод построения теории пластинок с распределёнными дефектами

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Собственные напряжения в нелинейно упругих телах с дислокациями и дисклинациями»

Понятие дислокации стало одним из основных в современной физике твёрдого тела. При помощи дислокационных моделей и механизмов могут быть объяснены такие сложные явления как пластическое течение, внутреннее трение, хрупкость, усталость, фазовые переходы и т. д.

Математическая теория дислокаций возникла в работах В. Вольтер-ры [206], Ю. Вейнгартена [210] и К- Сомильяны [197,198] в самом начале 20-го столетия. Вольтерра, используя идеи и представления Вейнгартена из теории поверхностей, анализировал поведение решений уравнений линейной теории упругости в многосвязных областях: В частности, известные теоремы Вейнгартена о характере неоднозначности решений, он интерпретировал как существование в упругом теле собственных (внутренних) напряжений при всяком отсутствии приложенной внешней нагрузки. Геометрически это означает, что если разрезать такое тело по некой поверхности и превратить его в объект меньшей связности (например, кольцо разрезать вдоль радиуса) и тем самым «освободить» от собственных напряжений, то края разреза разойдутся друг относительно друга, причём перемещение краёв будет соответствовать перемещению тела как абсолютно твёрдого. Вольтерра называл такие состояния многосвязных тел упругими дисторсиями. Позже А. Ляв [73] ввёл для них термин дислокации,, который и является ныне общепризнанным.

Долгое время работы Вольтерры носили исключительно теоретический, даже, можно сказать, умозрительный характер, хотя доподлинно известно [63], что на практике на многих заводах о наличии в теле собственных напряжений судят именно по расстоянию, на которое расходятся края разрезанного кольца. Только тридцать лет спустя предмет исследования Вольтерры приобрёл практическое значение в свете изучения дискретной кристаллической решётки. Дислокации перестали быть математическим курьёзом, когда Э. Орован [178] и М. Поляни [180], а также Дж. Тейлор [201] обнаружили существование неидеальных кристаллов, конфигурационно соответствующих дислокациям. В 1934-м году они независимо друг от друга ввели в физику твёрдого тела понятие краевой дисло-' кации — линейного дефекта кристаллической решётки. Спустя пять лет Й. М. Бюргере [117] открыл второй фундаментальный тип дислокаций — винтовые дислокации — и развил для случая изотропной и анизотропной сред теорию, в которой определил напряжения, создаваемые этими дислокациями.« В честь Бюргерса главная характеристика, дислокации, т. е. постоянный вектор, на который разойдутся края разреза при краевой и винтовой дислокациях, был назван вектором Бюргерса.

Развитие и становление линейной теории изолированных и непрерывно распределённых дислокаций трансляционного типа получило отражение в работах Дж. Эшелби [105], Э. Крёнера [61], Р. де Вита [19], В. JI. Инденбома и А. Н. Орлова [46], А. М. Косевича [57,58], Дж. Хирта и Л. Лоте [101], А. Коттрела [59,60], Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица [64], Ж- Фриделя [100], А. А. Вакуленко [8], В. П. Мясникова и М. А. Гузе-ва [79] и др.

Э. Картаном [119] под влиянием работы братьев Э. и Ф. Коссера [127], с дислокациями возникла в пятидесятые годы практически одновременно в нескольких странах (Япония, Великобритания, ФРГ) и связана с работами К. Кондо [156—158], Дж. Ная [176], Б. Билби, Р. Баллофа и Э. Смита [113,114], Э. Крёнера [61]. Основные принципы динамической теории непрерывно распределённых дислокаций были заложены в работе В. Л. Бердичевского и Л. И. Седова [3]: Позднее Бердичевский вернулся к проблематике теории дислокаций и дал новые интересные термодинамические интерпретации этой- теории [5, 111 ]. Благодаря тесной связи теории дислокаций с дифференциальной-геометрией-в семидесятые годы прошлого века появилась т. н. калибровочная теория дислокаций, нашедшая своё отражение в монографиях А. Кддич и Д. Эделена [47] и Д. Эделена и Д. Лагоудаса [Д35]. Пространство с дефектами в^ случае их непрерывного распределения имеет естественную структуру расслоения с группой* голономии; индуцированной кривизной калибровочной группы теории упругости, равной полупрямому произведению подгруппы вращений на подгруппу трансляций. Позднее, в работах И-: В. Воловича и М. О. Катанаева [53,150] возникла геометрическая теория дефектов, сочетающая в себе многие аспекты калибровочной теории с классической теорией упругости. К. Кондо в статье [1*59] указал, что непротиворечивый учёт различных несовершенств структуры требует применения более общих геометрий Финслера и Кавагучи [89].

Однако другой тип дефекта, рассмотренный Вольтеррой, — когда края разреза расходятся, испытывая при этом вращение друг относительно друга, оставался по-прежнему исключительно математической абстракцией. И только в 1951-м году Дж. Франк [141] установил существование дисклинаций в жидких кристаллах. В честь этого открытия векторная характеристика, описывающая вращение берегов разреза, была названа вектором Франка.,

Развитие теории дисклинадий в твёрдых телах можно проследить по монографиям и обзорам В. А. Лихачёва и Р.Ю. Хайрова [65], Р. де Вита [19]* В. И. Владимирова и А. Е. Романова [12], А. Л. Колесниковой и

А. Е. Романова [56,188], А. Е. Романова [187], К--Н. Anthony [110] и др.

Теория собственных напряжений (Eigenspannungen, Selbstspannungen) как особое направление механики деформированного тела появилась в Германии в начале 20-го века. В её становлении участвовали такие известные учёные, как Ф. Клейн, Л. Прандтль, А. Фёппль. Сам термин собственные напряжения вошёл в научный обиход после статей X. Рейс-снера [185] и П. Неменьи [174]. Использование этого понятия позволяет абстрагироваться от природы возникновения той или иной несовместной деформации, вызывающей уравновешенное напряжённое состояние твёрдого тела при отсутствии приложенной внешней нагрузки. Причиной возникновения собственных напряжений помимо дислокаций могут быть температурные, пьезоэлектрические, пластические, ростовые, фазовые и другие деформации. Отличие собственных напряжений от упругих напряжений, вызванных внешними силами, состоит в том, что последние исчезают, если снимается внешняя нагрузка (т. е. тело переходит в естественное состояние), в то время как устранение собственных напряжений может быть осуществлено путём разрезания тела на элементы. Однако, в двумерном случае существует возможность релаксации собственных напряжений путём потери устойчивости плоского состояния упругой системы и её «побегу в третье измерение».

В рамках линейной аппроксимации теория получила своё развитие в работах И. А. Кунина [62], Т. Муры [172] и др. О некоторых современных аспектах этой теории можно прочитать в статье [175].

Успешное применение линейно упругих моделей дислокаций и дискли-наций в физике твёрдого тела связано с тем, что они хорошо описывают искажения кристаллической решётки, создаваемые дефектом, по крайней мере на достаточно больших расстояниях от дефекта. Однако, вблизи оси дефекта деформации и напряжения, вычисляемые по линейной теории, неограниченно возрастают, что противоречит основным положениям линейной теории. Основы нелинейной теории собственных напряжений были заложены в работе Э. Крёнера и А. Зеегера [160]. Возможность устранения сингулярностей напряжений и деформаций на оси дефекта в рамках нелинейной теории упругости была показана Л. М. Зубовым в статьях [30,31]. Отметим, что похожие эффекты,дают и различные линейные моментные и градиентные теории упругости [151,163—165], однако в них особенности часто переходят в напряжения более высокого порядка (гипернапряжения). Нелинейная теория изолированных дислокаций и дисклинаций получила своё дальнейшее развитие в работах Л. М. Зубова [33,215], Л.М. Зубова и М.И. Карякина [32], М.И. Карякина [51], К- Теодосиу [96], J. D. Clayton [124].

Согласно [90,146,161] процесс плавления в двумерных системах представляет из себя разрушение кристаллического порядка путём размножения (распространения) топологических дефектов. М. КостерлициД. Тау-лес [161] предложили теоретическую модель плавления двумерных тел, согласно которой плавление происходит за счёт высвобождения пар дислокаций. Двумерная модель Костерлица-Таулеса не учитывает ориентационной анизотропии треугольной решётки. Этот недостаток был устранён в работе Б. Гальперина и Д. Нельсона [146]. Если температура превышает критическую температуру плавления, дислокации начинают размножаться и кристалл переходит в т. н. гексатическую фазу. Система не может больше сопротивляться сдвиговым усилиям, поскольку сдвиговые напряжения просто вызывают движение свободных дислокаций. Соответственно при плавлении кристалла его модули упругости скачком падают практически до нуля. В гексатической фазе геометрическая картина, определяемая ближайшими соседями данной молекулы в слое, сохраняет свою ориентацию при переходе от одной молекулярной позиции к другой, хотя в кристалле уже нет правильной кристаллической решётки. Деформация в плоскости определяется всего двумя упругими модулями, как и для изотропного тела, т. е. в плоскости, перпендикулярной к гексагональной оси, упругие свойства гексагонального кристалла изотропны. Однако^при ещё более высокой температуре имеет место второй переход. Он происходит за счёт распада дисклинационных пар в фазе с ориентационным порядком связей и приводит к образованию двумерной жидкости [146]. При этом линейные дефекты могут выходить из плоскости ориентационного упорядочения и «ускользать в третье измерение». Центральная область или кор (core) дисклинации представляет собой тонкую нить, тянущуюся сквозь вещество.' На оси нити имеется изотропная область кора, поскольку плотность упругой энергии возрастает обратно пропорционально квадрату расстояния. Дефекты ускользают в третье измерение, сняв тем самым возможность образования кора. В работе [168] теория неустойчивости дисклинаций в двумерных кристаллах применялась к близким с математической точки зрения задачам изучения формы оболочек биологических вирусов. Топологические дефекты типа дислокаций и дисклинаций интересны с точки зрения астрофизики и космологии, т. к. представляют из себя объекты, сформировавшиеся в результате фазовых переходов во время охлаждения ранней Вселенной. Они могут играть важную роль в формировании крупномасштабной структуры Вселенной посредством гравитационного взаимодействия [184,208].

В недавно опубликованном обзоре [ 154] М. Клеман и Ж- Фридель подчёркивают, что механизмы релаксации, связанные с дисклинацией при её зарождении, движении, изменении формы, включают в себя взаимодействие с непрерывно распределёнными или изолированными дислокациями и дисклинациями. Авторы вводят понятие расширенного процесса Вольтерры, учитывающего это взаимодействие. Проводится сравнительный анализ двух основных подходов к проблеме классификации линейных дефектов, а именно — процесса Вольтерры.и теории топологической* устойчивости. В статье отмечается, что уже Вольтерра в классической работе [206] рассматривал непрерывное распределение дефектов бесконечно малой мощности. Авторы показывают, что такие дефекты, как дис-клинации, чьи-характеристические инварианты принадлежат некоммутативным группам, нельзя естественным образом «размазать» по некоторому множеству (поверхности).

Согласно современным представлениям, дефектами, которые обусловливают потерю в средах типа стёкол или аморфных телах дальнего кристаллического порядка, могут являться распределённые с большой плотностью линейные дефекты типа дисклинаций [74, 155, 189]. Эта модель исходит из предположения, что аморфное тело можно описать как тело с упорядоченной структурой в искривлённом пространстве. Разупорядоченность возникает после отображения кристалла из искривлённого пространства в реальное евклидово. Это отображение невозможно осуществить без искажений, приводящих к потери порядка. Но искажениями не будут произвольные нарушения упорядоченности — они возникают по вполне определённым законам, а именно за счёт появления линейных дефектов поворотного типа — дисклинадий.

Благодаря современным технологическим достижениям возник новый класс материалов — устойчивые (даже без подложки) двумерные мембраны (например, нитрид бора). В. связи с созданием новых материалов на основе углеродных наноструктур и их практическом применении в реальных устройствах существует проблема адекватного математического моделирования этих материалов и конструкций с позиций механики сплошной среды и теории оболочек [56,88,138]. Во многих экспериментах материалы наподобие графена демонстрирует ярко выраженные нелинейно упругие свойства. Некоторые модели нелинейно упругих материалов для описания графеновых структур предложены в работе [118]. Углеродные наноструктуры привлекли внимание исследователей благодаря своим уникальным физическим свойствам, которые непосредственно связаны с их экзотической геометрией. Углерод известен своей способностью принимать разнообразные поверхности (листы). Внутриплоскостные связи в графене экстремально сильны, модуль Юнга графена один из самых больших, известных для любых материалов. По различным оценкам графен приблизительно в 200 раз прочнее стали. Поэтому эти листы достаточно устойчивы как изолированные объекты, так и будучи искривлёнными в объекты цилиндрической геометрии (нанотрубки) или квази-сферической геометрии (фуллерены). Экспериментально было установлено [208], что графен всегда искривлён и покрыт неровностями, которые могут иметь внутренний характер или быть вызванными жёсткостью подложки; Понимание поведения дефектов в различных тонкостенных конструкциях вроде тонких плёнок особенно важно для улучшения устойчивости многих микро-электро-механических систем [179].

Естественный способ, который приводит к появлению локальной кривизны в гексагональной графеновой решётке, это замена некоторых шестиугольников на! пятиугольники (положительные дисклинации) или се-миугольники^отрицательные дисклинации); Подобные виды .топологических дефектов наблюдались, во всех существующих на данный момент графитовых структурах. Кривизна графитовой поверхности с.дисклина-цией в непрерывном пределе имеет дельта-образную сингулярность в центре дефектного кольца: Краевая дислокация (по крайней мере; в линейном приближении) может быть.образована пятиугольником и семиугольником по линии, которая представляет.вектор Бюргерса дислокации. Отметим, .что топологические дефекты (в частности, комбинированный дефект 5-7, см. рис. 1) играют важную роль в образовании соединений углеродных нанотр'убок. Посредством; таких дефектов обеспечиваются изгиб и стыковка нанотрубок [ 147].

Несмотря на: то, что феномен дислокации возникает из дискретной структуры кристаллической решётки^ континуальная- теория доказала свою эффективность при моделировании несовершенств в тонких плёнках [142]. Она позволяет сглаживать сингулярности,.производимые изолированными дефектами, которые превращают упругую энергию в неин-тегрируемую функцию. Между плёнкой и подложкой напряжения обычно появляются из-за несовместности или несоответствия (misfit), вызван

А)

Рис. 1. Две нанотрубки с различной хиральностью: А) Идеальная агшсЬа1г-нанотрубка; В) 21^га5-наиотрубка с дисклинациями противоположных знаков, (комбинированный дефект 5-7) , ных разными свойствами материалов.

Одним из первых авторов, изучавшим дислокации в обол очечных структурах, был К-Ф- Черных [102]. Он построил линейную теорию упругих оболочек с изолированными дефектами. Некоторые вопросы, касающиеся дислокаций и дисклинаций в упругих оболочках в рамках теории Кос-сера, были рассмотрены в работе Ю. 3. Повстенко [86]. Проблематикой дислокаций в оболочках активно занимается Л. М. Зубов [34,35,37,41 ].

Идея прямого подхода к теории оболочек, в котором оболочка с самого начала рассматривается как двумерный континуум с определённой структурой, получила своё развитие в работах П. А. Жилина [25], Л. М. Зубова [29], В. А. Еремеева и Л.М. Зубова [23]. Нелинейная теория пологих оболочек со строгой-математической точки зрения изложена в монографии И. И. Воровича [15], представленные в ней топологические методы исследования вопросов разрешимости краевых задач теории оболочек имеют тесную связь с современным математическим аппаратом теории дислокаций [148].

Исторически теории оболочек предшествовала линейная теория изгиба плоских пластинок, разработанная главным образом Г. Кирхгофом. Нелинейная теория пластинок начала своё развитие с работ А. Фёпп-ля [139] и Т. фон Кармана [207]. Изгиб пластинок, учитывающий деформации поперечного сдвига, в рамках законченной теории рассматривался Э. Рейсснером [186] и Р. Д. Миндлиным [170]. Подробнее об истории развития теории пластин можно прочитать в обзорах П. А. Жилина [26] и

В. В. Васильева [10]. Анализ теории толстых плит в сравнении с трёхмерной теорией упругости был осуществлён А. И. Лурье [68,69]. Применённый им символический операционный метод получил дальнейшее развитие в работах школы И. И. Воровича [1,14,99].

Смешанная модель Кармана-Рейсснера, учитывающая вместе с нелинейными составляющими поперечные сдвиги, хорошо известна в литературе [13], вюсновном при исследовании задач динамики пластин и оболочек. Низкочастотные и высокочастотные колебания пластинок Рейсснера изучались Е. А. Ивановой [43—45]. Вопросы концентрации напряжений в пластинках и оболочках, обладающих конечной жёсткостью поперечного сдвига, рассматривались в том числе Г. Н. Савиным [93], Ю. Н. Немишем и Б. Л. Пелехом [81 ], Б. Л. Пелехом [85], А. Г. Угодчиковым и В. А. Соболевой [98].

Применение комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили [78] для задач изгиба пластин по аналогии с плоской задачей теории упругости началось с статьи А. И. Лурье [66]. В дальнейшем этод метод нашёл своё применение в задачах определения параметров дефектов типа трещин в пластинках, весьма важных с практической точки зрения [6,92—94,98].

В настоящее время теория Рейсснера наряду с теорией Кирхгофа являются основными в инженерных расчётах. С вычислительной точки зрения теория Рейсснера обладает несомненными достоинствами, т. к. позволяет использовать конечные элементы низкого порядка, однако наличие в функционале энергии величин разного асимптотического порядка и погранслойных составляющих часто приводит к эффекту запирания (locking) [115]. Модифицированный функционал энергии для пластин Рейсснера, позволяющий в явном виде учитывать характер пограничного слоя, был предложен в работе П. А. Жилина и Е. А. Ивановой [27].

В последнее время получила распространение так называемая теория неевклидовых пластинок [136], т. е. таких плоских двумерных упругих систем, которые не имеют свободной от собственных напряжений или остаточных деформаций отсчётной конфигурации. Примерами подобных объектов могут служить различные полимерные гели и биологические структуры [121,133,152].

Следует отметить, что дислокационные представления находят применение в геомеханике [173], где возникновение трещин в земной коре пытаются объяснить при помощи «освобождения» от внутренних напряжений дислокационного типа, а также в вычислительной математике [116] при построении нерегулярных сеток.

Из приведённого обзора следует, что задачи определения напряжений, обусловленных дислокациями и дисклинациями, являются актуальными в современной механике сплошной среды и требуют зачастую привлечения представлений и методов из других областей естествознания и математического моделирования. Некоторые из этих задач будут рассмотрены в настоящей диссертации.

Содержание работы изложено в трёх главах.

Первая глава посвящена общей проблеме определения собственных напряжений, вызванных наличием изолированных и непрерывно распределённых дислокаций и дисклинаций, в трёхмерной нелинейно упругой среде.

В п. 1.1 рассматривается задача об определении положения точки деформированного упругого тела по заданному в многосвязной области непрерывно дифференцируемому и однозначному полю тензора дистор-сии. Возможная неоднозначность решения означает наличие в теле трансляционных'дислокаций. Суммарный вектор Бюргерса дискретного набора дислокаций выражается контурным интегралом по замкнутой кривой, охватывающей линии всех дислокаций из данного набора. При переходе к непрерывному распределению вводится плотность дислокаций как тензорное поле, поток которого'через любую поверхность внутри тела даёт суммарный вектор Бюргерса всех дислокаций, пересекающих эту поверхность. Введение локального материального репера, связанного с дистор-сией, позволяет трактовать деформированную конфигурацию упругого тела с непрерывно распределёнными дислокациями как пространство метрической связности. Тензор кручения этого пространства выражается через плотность дислокаций.

Далее ставится задача определения поля дисторсии по заданным метрическому тензору деформированной конфигурации и плотности дислокаций. Показано, что необходимое и достаточное условие разрешимости последней задачи заключается в равенстве нулю тензора кривизны пространства метрической связности. Если предположить, что отсчётная конфигурация представляет собой многосвязную область и отказаться от условия однозначности дисторсии, то возможная неоднозначность поля дисторсии может быть вызвана наличием изолированных дисклинаций в многосвязном теле. Из-за некоммутативности конечных поворотов вектор Франка каждой дисклинации выражается через метрику и плотность дислокаций при помощи не простого (обычного) контурного интеграла, а; мультипликативного криволинейного интеграла по замкнутому контуру, охватывающему линию данной дисклинации. Сложные свойства мультипликативного интеграла в общем случае затрудняют введение физически обоснованного понятия плотности дисклинаций в трёхмерной среде при произвольных деформациях. - .

В п. 1.2 осуществлён переход к непрерывному распределению дискли-наций в условиях плоской деформации материальной среды. В этом случае суммарный;вектор Франка набора клиновых дисклинаций выражается через метрику и плотность дислокаций при помощи обычного контурного интеграла, который можно преобразовать в интеграл по площади. Это даёт возможность ввести плотность дисклинаций и сформулировать полную систему, полевых уравнений, определяющих собственные напряжения в двумерной среде с непрерывно распределёнными дислокациями и дисклинациями. В отличие от линейной континуальной теории дисклинаций представленная здесь теория не накладывает никаких ограничений на малость деформаций в упругом теле. Выведена: явная формула, связывающая плотность дисклинаций с дифференциально-геометрическим инвариантом двумерного пространства метрической связности — гауссовой кривизной; .

В п. 1.3 построенная общая теория проиллюстрирована решением задачи о собственных напряжениях в упругом диске из полулинейного материала, обусловленных заданной плотностью клиновых дисклинаций. Показано, что в осесимметричном случае задача может быть сведена к квадратурам при любой функции плотности дисклинаций. Для постоянной плотности дисклинаций приводится решение в явном виде.

Во второй главе рассматривается теория собственных напряжений дислокационного типа в двумерных системах, моделируемых упругими оболочками.

В п. 2.1 в рамках общей нелинейной теории оболочек типа Кирхгофа-Лява рассматривается задача сильного изгиба упругой пластинки, содержащей в плоском состоянии непрерывно распределённые поля краевых дислокаций и клиновых дисклинаций, а также другие источники собственных (внутренних) напряжений. В отличие от модели пластинок Кармана деформации в плоском напряжённом состоянии не считаются малыми. Выведена система нелинейных уравнений, содержащая в качестве неизвестных функций нормальный прогиб пластинки и коэффициенты первой квадратичной формы деформированной срединной поверхности пластинки; Кроме уравнений равновесия данная система включает нелинейное условие несовместности деформаций, содержащее плотности дислокаций и дисклинаций. Полученная система уравнений описывает, в частности, изгиб пластинки при отсутствии внешних нагрузок за счёт релаксации внутренних напряжений, обуславливающих плоское напряжённое состояние. В случае весьма тонкой пластинки (мембраны), не сопротивляющейся изгибу, неположительной плотности дисклинаций доказано существование, наряду с плоским напряжённым состоянием, также и изогнутой формы равновесия, переходя в которую мембрана полностью освобождается от внутренних напряжений. Для приближения Кармана построено точное решение задачи об осесимметричном изгибе тонкой мембраны круглой формы под влиянием собственных напряжений, обусловленных распределёнными дисклинациями.

В п. 2.2 рассматривается теория линейных дефектов в тонких плёнках и нанотрубках в предположении, что напряжения являются исключительно упругими, т. е. учитывается только упругая энергия деформации, зависящая от двух фундаментальных форм деформированной оболочки. Таким образом, не учитываются слагаемые, отвечающие за энергию са-модействия образованных дефектов и энергию взаимодействия между приложенным напряжением и плотностью дислокаций. Особое внимание уделено геометрической стороне вопроса, а именно уравнениям типа Гаусса-Кодацци совместности (несовместности) деформаций, которые определяют в общем случае наличие в теле собственных деформаций и напряжений. Получены эквивалентные бескоординатная и ковариантная формулировки этих уравнений. Рассмотрены некоторые особые случаи неголо-номных преобразований плоскости в поверхность с дефектами, моделирующими квазипластический или некогерентный изгиб. Проведена аналогия с уравнениями, описывающими стационарные течения идеальной несжимаемой жидкости с заданной завихрённостью.

Третья глава посвящена развитию теории дислокаций и дисклинаций в линейно и нелинейно упругих пластинках.

В п. 3.1 для гибких упругих пластинок, описываемых теорией Кармана с учётом поперечного сдвига, развита теория дислокаций Вольтерры. Решена задача определения полей перемещений и поворотов многосвязной пластинки по заданным однозначным полям тангенциальных, сдвиговых и изгибных деформаций. Получены формулы для скачков перемещений и поворотов, возникающих при переходе через разрезы, превращающие многосвязную область в односвязную. Дано выражение характеристик дислокаций и дисклинаций через тензорные поля деформаций в виде контурных интегралов.

В п. 3.2 в рамках линейной теории Рейсснера решена задача об определении напряжённо-деформированного состояния кольцевой пластинки, содержащей винтовую дислокацию и дисклинацию кручения с использованием разложений в ряды Фурье компонент упругой деформации. Решение содержит модифицированные функции Бесселя, асимптотические свойства которых позволили определить характеры сингулярностей, производимые изолированными винтовой дислокацией и дисклинацией кручения.

В п. 3.3 дана постановка задачи об изгибе пластинки Рейсснера с дислокациями и дисклинациями в терминах комплексных потенциалов. Многозначность полей поворотов и перемещений, вызванная наличием дислокаций и дисклинаций, определяет характеры многозначности аналитических функций в многосвязной области.

В’ п. 3.4 предложен модифицированный вариационный принцип минимума дополнительной энергии для пластинки Рейсснера, позволяющий получить основные уравнения для изолированных дислокаций и дисклинаций, а также перейти к их непрерывному распределению. Сформулировано условие несовместности общего типа, определяющее наличие в пластинке собственных напряжений. Показано, что, в отличие от теории пластинок Кирхгофа, теории, учитывающие поперечный сдвиг, позволяют корректно определить плотность винтовых дислокаций. Известная статико-геометрическая аналогия между растяжением и изгибом пластинок с учётом дислокаций и сосредоточенных воздействий обобщена на случай теории Рейсснера и плоской моментной теории упругости со стеснённым вращением.

В заключении формулируются ключевые результаты, полученные в работе.

Основные положения диссертации докладывались на IV и XIV международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 1998; Азов, 2010), 37th Solid Mechanics Conference (Варшава, 2010), Euromech Colloquium «Shell-like Structures — Non-classical Theories and Applications» (Виттенберг, 2011), а также на • семинаре кафедры теории упругости факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ.

Результаты диссертации опубликованы в статьях [20—22,130—132]. В совместных работах научному руководителю JL М. Зубову принадлежат постановки задач и рекомендации по выбору методов их решения. Вывод основных уравнений, решение краевых задач и анализ результатов принадлежат автору диссертационной работы.

Автор выражает искреннюю благодарность профессору Л. М. Зубову за внимание, неоценимую помощь и поддержку в работе.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Дерезин, Святослав Викторович

Основные результаты, полученные в диссертации, заключаются в следующем.

1. В рамках нелинейной теории упругости путём предельного перехода от изолированного набора дислокаций к их непрерывному распределению получена полная система уравнений, определяющих собственные напряжения в теле с распределёнными дислокациями и изолированными дисклинациями. В случае плоской деформации введено физически обоснованное понятие плотности дисклинаций и установлена его связь с гауссовой кривизной многообразия с дефектами. Получено точное решение задачи о собственных напряжениях в круглом диске из нелинейно упругого материала, обусловленных заданной плотностью дисклинаций.

2.В рамках общей нелинейной теории оболочек типа Кирхгофа - Ля-ва рассмотрена задача сильного изгиба упругой пластинки, содержащей в плоском состоянии непрерывно распределённые поля краевых дислокаций и клиновых дисклинаций, а также другие источники собственных I напряжений. В случае весьма тонкой пластинки (мембраны), не сопротивляющейся изгибу, и положительной плотности дисклинаций доказано существование, наряду с плоским напряжённым состоянием, также и изогнутой формы равновесия, переходя в которую мембрана освобождается от внутренних напряжений. Получена инвариантная формулировка модифицированных уравнений несовместности деформаций типа Гаусса - Кодацци с учётом непрерывно распределённых краевых и винтовых дислокаций в оболочке. Рассмотрена задача о квазипластическом (некогерентном) изгибе тонкой плёнки, содержащей дислокации, установлена гидродинамическая аналогия с уравнениями, описывающими стационарные течения идеальной несжимаемой жидкости с заданной завихрённо-стью. •

3. Для гибких упругих пластинок; описываемых теорией Кармана с учётом поперечного сдвига, развита теория дислокаций’Вольтерры. Решена задача.определения'полей перемещений и поворотов многосвязной пластинки по заданным однозначным полям тангенциальных, сдвиговых и изгибных деформаций. Получены формулы для скачков перемещений и-поворотов, возникающих при переходе через разрезы, превращающие многосвязную область в односвязную. Дано-выражение характеристик дислокаций и дисклинаций через тензорные поля деформаций в виде контурных интегралов.

4. В рамках линейной теории- Рейсснера с использованием разложения в ряды Фурье, а также комплексных потенциалов в духе Колосова-Мусхелишвили, решена задача об изгибе кольцевой и неограниченной пластинок, содержащих изолированный дефект. Решение содержит модифицированные функции Бесселя, асимптотические свойства которых позволили определить характеры сингулярностей, производимые изолированными винтовой дислокацией и дисклинацией кручения.

5. С помощью модифицированного принципа минимума дополнительной энергии типа Кастильяно для пластинок Рейсснера введены плотности непрерывно распределённых дефектов. Показано, что, в отличие от теории пластинок Кирхгофа, теории, учитывающие поперечный сдвиг, позволяют корректно определить плотность винтовых дислокаций. Известная статико-геометрическая аналогия между растяжением и изгибом пластинок с учётом дислокаций и внешних нагрузок обобщена на случай теории Рейсснера и плоской моментной теории упругости со стеснённым вращением.

Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при расчётах многосвязных тонкостенных конструкций, в механике разрушения, а также при моделировании двумерных углеродных наноструктур, нанотрубок, оболочек вирусов и биологических мембран.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Дерезин, Святослав Викторович, 2011 год

1. Аксентян 0.К-, Ворович И. И. Напряжённое состояние плиты малой толщины// ПММ. 1963. Т. 27. Вып. 6. С. 1057—1074.

2. Барбашов Б. М., Нестеренко В. В. Модель релятивистской струны в физике адронов. М.: Энергоатомиздат, 1987. 176 с.

3. Бердичевский В. Л., Седов Л. И. Динамическая теория непрерывно распределённых дислокаций. Связь с теорией пластичности // ПММ. 1967. Т. 31. Вып. 6. С. 981-1000.

4. Бердичевский В. Л. Функции напряжений и некоторые априорные оценки в теории изгиба пластин // ПММ. 1976. Т. 40. Вып. 3. С. 528-535.

5. Бережницкий Л. Т., Делявский М. В., Панасюк В. В. Изгиб тонких пластин с дефектами типа трещин. Киев: Наук, думка, 1979. 400 с.

6. Булыгин A. H., Кувшинский E. В. Плоская деформация в асимметрической теории упругости // ПММ. 1967. Т. 31. Вып. 3. С. 543-547.

7. Вакуленко А. А. Связь микро и макросвойств в упругопластических средах / Итоги науки и техники. Сер. Механика деформируемого твердого тела. М.: ВИНИТИ, 1991. Т. 22. С. 3—54.

8. Васидзу /С Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987. 542 с.

9. Васильев В. В. Классическая теория пластин — история и современный анализ // Изв. РАН. МТТ. 1998. № 3. С. 46—58.

10. Владимиров В. И., Колесникова А. Л., Романов А.Е. Клиновые дисклинации в упругой пластине // Физ. металлов и металловед. 1985. Т. 60. № 6. С. 1106-1115.

11. Владимиров В. И., Романов А.Е. Дисклинации в кристаллах. Л.: Наука, 1986. 224 с.

12. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972. 432 с.

13. Ворович И. И., Малкина О. С. Напряжённое состояние толстой плиты // ПММ. 1967. Т. 31. Вып. 2. С. 230—241.

14. Ворович И. И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек. М.: Наука, 1989. 376 с.

15. Габескирия М. А. Представления типа Лакса для вложения многообразий в объемлющие неримановы пространства // ТМФ. 1985. Т. 65. №2. С. 176-180.

16. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. 576 с.

17. Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1964. 228 с.19. де Вит Р. Континуальная теория дисклинаций. М.: Мир, 1977. 208 с.

18. Дерезин С. В., Зубов Л. М. Дислокации и дисклинации в упругих пластинках// Труды IV Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды». Ростов-на-Дону. 1998. С. 128-132.

19. Дерезин С. В., Зубов Л. М. Уравнения нелинейно упругой среды с непрерывно распределёнными дислокациями и дисклинациями // ДАН. 1999. Т. 366. № 6. С. 762-765.

20. Дерезин С. В., Зубов Л. М. Равновесие нелинейно упругой пластинки с распределёнными дислокациями и дисклинациями // Труды XIV Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды». Ростов-на-Дону. 2010. Т. 1. С. 130-134.

21. Еремеев В. А., Зубов Л. М. Механика упругих оболочек. М.: Наука, 2008. 280 с.

22. Ефимов Н. В. Возникновение особенностей на поверхностях отрицательной кривизны // Мат. сб. 1964. Т. 64. № 2. С. 286—320.

23. Жилин П. А. Основные уравнения неклассической теории упругих оболочек//Труды Ленингр. политехи, инст. 1982. № 386. С 29—46.

24. Жилин П. А. О теориях пластин Пуассона и Кирхгофа с позиций современной теории пластин // Изв. РАН. МТТ. 1992. № 3. С. 48-64.

25. Жилин П. А., Иванова Е. А. Модифицированный функционал энергии в теории пластин типа Рейсснера // Изв. РАН. МТТ. 1995. №2. С. 120-128.

26. Зак М.А. Обобщение формулы Чезаро // Изв. АН СССР. МТТ 1976. №4. С. 171-173.

27. Зубов Л. М. Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек. Ростов н/Д: Изд-во Рост, ун-та, 1982. 144 с.

28. Зубов Л. М. Теория изолированных дефектов в нелинейно-упругих телах // Вопросы нелинейной механики сплошной среды. Таллин: Валгус, 1985. С. 73-87.

29. Зубов Л.М. Изолированная дисклинация в нелинейно-упругом сжимаемом теле// Изв. АН СССР. МТТ 1986. № 1. С. 69—73.

30. Зубов Л. М., Карякин М. И. Многозначные смещения и дислокации Вольтерра в плоской нелинейной теории упругости // ПМТФ. 1987. №6. С. 146-152.

31. Зубов Л. М. Теория дислокаций Вольтерра в нелинейно упругих телах //Изв. АН СССР. МТТ. 1987. № 5. С. 140-147.

32. Зубов Л. М. Нелинейная теория изолированных дислокаций и дис-клинаций в упругих оболочках// Изв. АН СССР. МТТ. 1989. № 4. С. 139-145.

33. Зубов Л. М. Непрерывно распределенные дислокации и дискли-нации в упругих оболочках // Изв. РАН. МТТ. 1996. № 6. С. 102-110.

34. Зубов Л. М. Новая форма уравнений совместности деформаций в нелинейной теории упругих оболочек// Изв. Вузов. Сев.-Кав. регион. Ест. науки. 2000. № 3. С. 64—65.

35. Зубов Л. М. Нелинейная теория упругих оболочек с непрерывнораспределёнными дислокациями // Изв. РАН. МТТ. 2001. № 2. С. 139-147.

36. Зубов Л. М. Уравнения Кармана для упругой пластинки с дислокациями и дисклинациями // ДАН. 2007. Т. 412. № 3. С. 343—346.

37. Зубов Л. М., Столповсшй А. В. Теория дислокаций и дискли-наций в упругих пластинках // ПММ. 2008. Т. 72. Вып. 6. С. 989-1006.

38. Зубов Л. М., Фам T. X. Сильный изгиб круглой пластинки с непрерывно распределенными дисклинациями// Изв. Вузов. Сев.-Кав. регион. Ест. науки. 2010. № 4. С. 28—33.

39. Иванова Е. А. Приближённые функционалы Гамильтона в задачахо низкочастотных и высокочастотных сбободных колебаниях пластины Рейсснера// Изв. РАН. МТТ. 1995. № 4. С. 181—190.

40. Иванова Е. А. Сравнительный анализ низкочастотных свободных колебаний прямоугольных пластин // Изв. РАН. МТТ. 1997. № 6. С. 148-159.

41. Иванова Е.А. Асимптотический и численный анализ высокочастотных свободных колебаний прямоугольных пластин // Изв. РАН. МТТ. 1998. № 2. С. 163-174.

42. Инденбом В. ЛОрлов А. И. Физическая теория пластичности и прочности// УФН. 1962. Т. 76. № 3. С.559—591.

43. Кадич А., ЭделенД. Калибровочная теория дислокаций и дисклинаций. М.: Мир, 1987. 168 с.

44. Каландия А. И. Математические методы двумерной упругости. М.: Наука, 1973. 304 с.

45. Карасев М. В., Мосолова М. В. Бесконечные произведения и Т произведения экспонент // ТМФ. 1976. Т. 28. № 2. С. 189—200.

46. Картан Э. Риманова геометрия в ортогональном репере. М.: Изд-во МГУ, 1960. 307 с.

47. Карякин М. И. Нелинейные эффекты в теорий дислокаций Вольтерра. Диссертация на соискание учёной степени канд. физ.-мат. наук. Ростов н/Д, 1989. 129 с. '

48. Карякин М. И. Равновесие и устойчивость нелинейно упругой пластинки с клиновой дисклинацией // ПМТФ. 1992. № 3. С. 157-163.

49. Катанаев М. О. Геометрическая теория дефектов // УФН. 2005. Т. 175. №7. pp. 705-733.

50. Катанаев М. О. Полиномиальная гамильтонова форма общей теории относительности//ТМФ. 2006. Т. 148. № 3. С. 459—494.

51. Колесников Д. В., Осипов В. А. Теоретико-полевой подход к описанию электронных свойств углеродных наноструктур // Физика элементарных частиц и атомного ядра. 2009. Т. 40. Вып. 4. С. 967-1011.

52. Колесникова А. Л., Романов А. Е. О дисклинационном подходе при описании структуры фуллеренов // ФТТ. 1998. Т.40. № 6. С. 1178-1180.

53. Косевич А. М. Как течёт кристалл // УФН. 1974. Т. 114. № 3. С. 509-532.

54. Косевич А. М. Основы механики кристаллической решетки. М.: Наука, 1972. 280 с.

55. Коттрел А. X. Дислокации и пластическое течение в кристаллах. М.: Металлургиздат, 1958. 268 с.

56. Коттрел А. X. Теория дислокаций. М.: Мир, 1969. 96 с.

57. Крёнер Э. Общая континуальная теория дислокаций и собственных напряжений. М.: Мир, 1965. 103 с.

58. Кунин И. А. Внутренние напряжения в анизотропной упругой среде//ПММ. 1964. Т. 28. Вып. 4. С. 612-621.

59. Кунин И. А. Теория дислокаций / Схоутен Я. А. Тензорный анализ для физиков. М.: Наука, 1965. 456 с. С. 373—442.

60. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: в 10-ти томах. Т. VII. Теория упругости. М.: Наука, 1987. 248 с.

61. Лихачёв В. А., Хайров Р. Ю. Введение в теорию дисклинаций. JL: Изд-во ЛГУ, 1975. 183 с.

62. Лурье А. И. К задаче равновесия пластинки с опёртыми краями // Изв. Ленингр. политехнического института. 1928. Т. 31. С. 305-320.

63. Лурье А. И. Определение перемещения по заданному тензору деформации // ПММ. 1940. Т. 4. Вып. 1. С. 135—138. •

64. Лурье А. И. К теории толстых плит // ПММ. 1942. Т. 6. Вып. 2. С. 151-168.

65. Лурье А. И. Пространственные задачи теории упругости. М.: ГИТТЛ, 1955. 491 с.

66. Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 939 с.

67. Лурье А. И. Статико-геометрическая аналогия в теории плит / Успехи механики деформируемых сред. М.: Наука, 1975. С. 355-359.

68. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.

69. Ляв А. Математическая теория упругости. М., Л.: ОНТИ, 1935. 647 с.

70. Малиновский В. К- Неупорядоченные твёрдые тела: универсальные закономерности в структуре, динамике и явлениях переноса // ФТТ. 1999. Т. 41. Вып. 5. С. 805-808.

71. Мантуров О. В. Мультипликативный интеграл / Итоги науки и техники. Сер. Проблемы геометрии. 1990. Т. 22. С. 167—215.

72. Морозов Н. Ф. Избранные двумерные задачи теории упругости. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1978. 182 с.

73. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин. М.: Наука, 1984. 256 с.

74. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.

75. Мясников В. П., Гузев М. А. Геометрическая модель дефектной структуры//ПМТФ. 1999. Т. 40. № 2. С. 163—173.

76. НорденА. П. Пространства аффинной связности. М.: Наука, 1976. 432 с.

77. Пальмов В. А. Плоская задача теории несимметричной упругости// ПММ. 1964. Т. 28. № 6. С. 1117-1120.

78. Панин В.Е., Лихачёв В. А., Гриняев ІО.В. Структурные уровни деформации твёрдых тел. Новосибирск: Наука, 1985. 230 с.

79. Пелех Б. Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. Киев: Наук, думка, 1973. 248 с.

80. Повстенко Ю. 3. Континуальная теория дислокаций и дисклина-ций в двумерной среде// ПММ. 1985. Т. 49. № 6. С. 1026—1031.

81. Погорелое А. В. Многомерное уравнение Монжа-АмперасМ \\zij¡1 = і,Zn, 2, х\,., хп). М.: Наука, 1988. 96 с.

82. Романов А. Е., Шейнерман А. Г. Энергия деформируемых и дефектных углеродных кластеров // ФТТ. 2000. Т. 42. № 8. С. 1525-1530.

83. Рунд X. Дифференциальная геометрия финслеровых пространств. М.: Наука, 1981. 504 с.

84. Рыжов В. Н. Дисклинационное плавление двумерных решёток // ТМФ. 1991. Т. 88. № 1. С. 449-468.

85. Савельев М. В. Задача классификации точно интегрируемых вложений двумерных многообразий и коэффициенты третьих фундаментальных форм//ТМФ. 1984. Т. 60. № 1. С.9—23.

86. Савин Г. Н., Флейшман Н. П. Пластинки и оболочки с рёбрами жёсткости. Киев: Наук, думка, 1964. 384 с.

87. Савин Г. Н. Распределение напряжений вокруг отверстий. Киев: Наук, думка, 1-968. 888 с.

88. Саврук М. П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами. Киев: Наук, думка, 1981. 324 с.

89. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами (Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган). М.: Наука, 1979. 832 с.

90. Теодосиу К. Упругие модели дефектов в кристаллах. М.: Мир, 1985. 352 с.

91. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Физматгиз, 1963. 636 с.

92. Угодников А. Г., Соболева В. А. Концентрация напряжений около отверстий в плитах по теории Рейсснера // Прикл. мех. 1972. Т. 8. №6. С. 58-66.

93. Устинов Ю. А. Математическая теория поперечно-неоднородных плит. Ростов н/Д: Изд-во ООО «ЦВВР», 2006. 257 с.

94. Фридель Ж< Дислокации. М.: Мир, 1967. 643 с.

95. Хирт Дж., Лоте Л. Теория дислокаций. М.: Атомиздат, 1972. 600 с.

96. Черных КФ. Связь между дислокациями и сосредоточенными воздействиями в теории оболочек // ПММ. 1959. Т. 23. № 2. С. 249-257.

97. Шамина В. А. Об определении вектора перемещения по компонентам тензора деформации в нелинейной механике сплошной среды//Изв. АН СССР. МТТ. 1974. № 1. С. 14-22.

98. Шардаков И.Н., Кулеш М. А. Построение и анализ некоторых точных аналитических решений двумерных упругих задач в рамках континуума Коссера // Математическое моделирование систем и процессов. 2001. № 9. С. 187—201.

99. Эшелби Дж. Континуальная теория дислокаций. М.: ИЛ, 1963. 247 с.

100. Altenbach Н., Eremeyev V.A. On the linear theory of micropolar plates // Z. Angew. Math. Mech. 2009. V. 89. No 4. pp. 242—256.

101. Altenbach J., Altenbach H., Eremeyev V.A. On generalized Cosserat-type theories of plates and shells: a short review and bibliography// Arch. Appl. Mech. 2010. V. 80. pp. 73—92.

102. Antes H. Basic geometrical singularities in Reissner’s plate theory // Mech. Res. Comm. 1985. V. 12. № 5. pp. 295—301.

103. Antes H. Dual complementary variational principles in Reissner’s plate theory // Acta Mechanica. 1986. V. 65. pp. 13—25.

104. Anthony K-H. Die Theorie der Disklinationen // Arch. Rat. Mech. Anal. V. 39. № 1. pp. 43-88.

105. Berdichevsky V.L. Continuum theory of dislocations revisited // Continuum Mech. Thermodyn. 2006. V. 18. pp. 185—222.

106. Bilby B.A., Smith E. Continuous distributions of dislocations III // Proc. R. Soc. London A. 1956. V. 236. pp. 481—505.

107. Braess D. Finite Elements. Cambridge: Cambridge University Press,2007. 363 p.

108. Bunin G. A continuum theory for unstructured mesh generation in two dimensions // Computer Aided Geometric Design. 2008. V. 25. pp. 14—40.

109. Burgers J. M. Some considerations on the fields of stress connected with dislocations in a regular crystal lattice // Proc. Kon. Nederl. Acad. Wetensch. 1939. V. 42. pp. 293-378.

110. Cadelatio E., Palla P.L., Giordano S., Colombo L. Nonlinear elasticity of monolayer graphene // Phys. Rev. Lett. 2009. V. 102. 235502.

111. Cartan E. Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativité généralisée// Ann. Sc. École Norm. Sup. 1923. 3 ser. T. 40. pp. 325-412.

112. Casey J. On Volterra dislocations of finitely deforming continua // Math. Mech. Sol. 2004. V. 9. pp. 473—492.

113. Cerda EMahadevan L. Geometry and physics of wrinkling // Phys.

114. Rev. Lett. 2003. Vol. 90. No. 7. 074302. .

115. Cermelli PGurtin M. On the characterization of geometrically necessary dislocations in finite plasticity// J. Mech. Phys. Sol. 2001. V. 49. №7. pp. 1539-1568.

116. Cesâro E. Sulle formole del Volterra fondamentali nella teoria delle distorsioni elastiche // Rend, della R. Accademia delle Scienze Fisiche e Matematiche di Napoli. 1906. V. 12. pp. 143—154.

117. Clayton J.D. Nonlinear Mechanics of Crystals. Springer, 2011. 700 p.

118. Cleja-Tigoiu S., Fortuné D., Vallée C. Torsion equation in anisotropic elasto-plastic materials with continuously distributed dislocations//Math. Mech. Sol. 2008. V. 13. pp. 667—689.

119. Constanda C. A Mathematical Analysis of Bending of Plates with Transverse Shear Deformation. Harlow-New York: Longman/Wiley,1990. 169 p.

120. Cosserat E., Cosserat F. Théorie des Corps Déformables. Paris: A. Hermann, 1909. 241 p.

121. Darboux G. Leçons sur la Théorie Générale des Surfaces et les Applications Géométriques du Calcul Infinitésimal. In 4 vol. Paris: Gauthier-Villars, 1887- 1896.

122. Davini C., Huo Y.Z. On certain surfaces with given Gaussian curvature in the theory of defects in crystals // Journal of Elasticity.1991. V. 26. pp. 1-22.

123. Dereziti S. V., Zubov L. M. Dislocations and disclinations in Mindlin-Reissner plates: Further development of the slab analogy // Proceedings of 37th Solid Mechanics Conference. Warsaw. 2010. pp. 306—307.

124. Derezin S. V., Zubov L.M. Disclinations in nonlinear elasticity // Z. Angew. Math. Mech. 2011. V. 91. No 6. pp. 433-442.

125. Derezin S. V. Gauss-Codazzi equations for thin films and nanotubes containing defects // Shell-like Structures — Non-classical Theories and Applications (Ed. H. Altenbach, V. A. Eremeyev). Berlin: Springer, 2011. pp. 531—548.

126. Edelen D.G.B., Lagoudas D.C. Gauge Theory and Defects in Solids. Amsterdam: North Holland, 1988. 427 p.

127. Efrati E., Sharon E., Kupferman R. Elastic theory of unconstrained non-Euclidean plates // J. Mech. Phys. Sol. 2009. V. 57. pp. 762-775.

128. Eisenhart L. P. Non-Riemannian Geometry. New York: AMS, 1927. 184 p.

129. Favata A., Podio-Guidugli P. What shell theory fits carbon nanotubes? // Shell-like Structures — Non-classical Theories and Applications (Ed. H. Altenbach, V. A. Eremeyev). Berlin: Springer, 2011. pp. 561-570.

130. Föppl A. Vorlesungen über technische Mechanik. Bd. 5. Leipzig: Teubner, 1907. S. 132—144.

131. Fraeijs de Veubeke B. M. A Course in Elasticity. New York: Springer, 1979. 330 p.141 . Frank F. C. Crystal dislocations. Elementary concepts and definitions // Phil. Mag. 1951. V. 42. P. 809.

132. Freund L.B., Suresh S. Thin Film Materials: Stress, Defect Formation and Surface Evolution. Cambridge: Cambridge University Press, 2003. 802 p.

133. Green A. E., Zerna W. Theoretical Elasticity. New York: Dover, 1992. 457 p.

134. Haggblad B., Bathe K--J- Specifications of boundary conditions for Reissner/Mindlin plate bending finite elements // Int. J. Numer. Meth. Engng. 1990. V. 30. pp. 981-1011.

135. Halperin B. I., Nelson D. R. Theory of two-dimensional melting // Phys. Rev. Lett. 1978. V. 41. № 2. pp. 121—124.

136. Hay as hi M. Differential geometry and morphology of graphitic carbon materials // Phys. Lett. A. 2005. V. 342. pp. 237-246.

137. HolzA. Topological properties of linked disclinations and dislocations in solid continua// J. Phys. A: Math. Gen. 1992. V. 92. pp. 1—10.

138. John F. Plane strain problems for a prefectly elastic material of harmonic type // Comm. Pure Appl. Math. 1960. V. XIII. pp. 239—290.

139. Katanaev M. O., Volovich I. V. Theory of defects in solids and threedimensional gravity// Ann. Phys. (NewYork). 1992. V. 216. pp. 1—28.

140. Kioseoglou J., Dimitrakopulos G.P., Komninou Ph., Karakostas Th., Aifantis E. C. Dislocation core investigation by geometric phase analysis and the dislocation density tensor // J. Phys. D: Appl. Phys. 2008. V. 41. 2008. pp. 1-8.

141. Klarbring A., Olssoti T. On compatible strain with reference to biomechanics of soft tissues. // Z. Angew. Math. Mech. 2005. V. 85. No. 6. pp. 440—448.

142. Kleinert H. Multivalued Fields in Condensed Matter, Electromagnetism,' and Gravitation. Singapore: World Scientific,2008. 500 p.

143. Kleman M., Friedel J. Disclinations, dislocations and continuous defects: a reappraisal // Rev. Mod. Phys. 2008. V. 80. pp. 61—115.

144. Klimanek P., Klemm V., Romanov A. E., Seefeldt M. Disclinations in plastically deformed metallic materials // Adv. Engng. Mater. 2001. V. 3. № 11. pp. 877-884.

145. Kondo K. On the geometrical and physical foundations of the theory of yielding // Proceedings of the 2nd Japan National Congress of Applied Mechanics. Tokyo. 1952. pp. 41—47.

146. Kondo K Geometry of elastic deformation and incompatibility // RAAG Memories. V. 1. Division C. Gakujutsu Bunken Fukyu-kai. Tokyo. 1955. pp. 361—373.

147. Kondo K Non-holonomic geometiy of plasticity and yielding // Memoirs of the unifuing study of the basic problems in engineering sciences by means of geometry. V. 1. Gakujutsu Bunken Fukyu-kai. Tokyo. 1955. P. 453.

148. Kondo K On the analytical and physical foundations of the theory of dislocations and yielding by the differential geometry of continua // Int. J. Engng. Sci. 1964. Vol. 2. pp. 219—251.

149. Kroner E., Seeger A. Nicht-lineare Elastizitâtstheorie der Versetzungen und Eigenspannungen // Arch. Rat. Mech. Anal. 1959. V.3. pp. 97-119.

150. Kosterlitz J.M., Thouless D.J. Ordering, metastability and phase transitions in two-dimensional systems // J. Phys. C: Solid State Phys. 1973. V. 6. pp. 1181-1203.

151. Kulesh M. A., Matveenko V. P., Shardakov L N. Parametric analysis of analytical solutions to one- and two-dimensional problems in couple-stress theory of elasticity // Z. Angew. Math. Mech. 2003. V. 83. No. 4. pp. 238-248.

152. Lazar M., Maugin G. A. Defects in gradient micropolar elasticity — I: screw dislocation // J. Mech. Phys. Sol. 2004. V. 52. pp. 2263—2284.

153. Lazar M., Maugin G.A. Defects in gradient micropolar elasticity — II: edge dislocation and wedge disclination // J. Mech. Phys. Sol. 2004. V. 52. pp. 2285-2307.

154. Lazar M., Maugin G. A., Aifantis E. C. Dislocations in second strain gradient elasticity// Int. J. Sol. Sruct. 2006. V. 43. pp. 1787—1817.

155. Léonard-Fortuné D. Conditions de compatibilité en mécanique des solides — Méthode de Darboux. Thèse. L’Université de Poitiers, 2008. 253 p.

156. Li S. On the micromechanics theory of Reissner-Mindlin plates // Acta Mechanica. 2000. V. 142. pp. 47—99.

157. Lidmar JMirny L., Nelson D.R. Virus shapes and buckling transitions in spherical shells // Phys. Rev. E. 2003. V. 68. 051910.

158. Majda A.J., Bertozzi A.L. Vorticity and Incompressible Flow. Cambridge: Cambridge University Press, 2002. 545 p.

159. Mindlin R.D. Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions of isotropic, elastic plates // J. Appl. Mech. 1951. V. 18. pp. 31-38.

160. Mura T., Otsuka A., Zienkiewicz O.C. Application of the slab analogy to the study of stress fields induced by imperfections in crystals//Int. J. Solids Structures. 1965. V. 1. pp. 179—188.

161. Mura T. Micromechanics of Defects in Solids. Dordrecht: Nijhoff, 1987. 587 p.

162. Nagahama H. Non-Riemannian and fractal geometries of fracturing in geomaterials // Geol. Rundsch. 1996. V. 85. pp. 96—102.

163. Nemenyi P. Selbstspannungen elastischer Gebilde // Z. Angew. Math. Mech. 1931. B. ll.H. 1. S. 59-70.

164. Nyashin Y., Lokhov V., Ziegler F. Decomposition method in linear elastic problems with eigenstrain // Z. Angew. Math. Mech. 2005. V. 85. No. 8. pp. 557-570.

165. Nye J.F. Some geometrical relations in dislocated crystals // Acta Metallurgica. 1953. V. I. № 2. pp. 153—162.

166. Ogden R. W. Non-linear Elastic Deformations. New York: Dover, 1997.

167. Orowan E. Zur Kristallplastizität. I // Z. Phys. 1934. B. 89.1. S. 605-613.

168. Oswald J., Gracie R., Khare R., Belytschko T. An extended finite element method for dislocations in complex geometries: Thin films and nano-tubes // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 2009. V. 198. pp. 1872-1886.

169. Polanyi M. Über eine Art Gitterstörung, die einen Kristall plastisch machen könnte // Z. Phys. 1934. B. 89. S. 660—664.

170. Pietraszkiewicz W., Badur J. Finite rotations in the description of continuum deformation // Int. J. Engng Sei. 1983. V. 21. № 9. pp. 1097-1115.

171. Pietraszkiewicz W., Vallée C. A method of shell theory in determination of the surface from components of its two fundamental forms // Z. Angew. Math. Mech. 2007. V. 87. No. 8-9. pp. 603—615.

172. Pietraszkiewicz W., Szwabowicz M. L., Vallée C. Determination of the midsurface of a deformed shell from prescribed surface strains and bendings via the polar decomposition // Int. J. Non-Lin. Mech. 2008. V. 43. pp. 579-587.

173. PuntigamR.A., SolengH. Volterra distorsions, spinning strings, and cosmic defects // Class. Quantum Grav. 1997. V. 14. pp. 1129—1149.

174. Reißner H. Eigenspannungen und Eigenspannungsquellen // Z. Angew. Math. Mech. 1931. B. ll.H. 1. S. 1-8.

175. Reissner E. The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates // J. Appl. Mech. 1945. V. 12. № 1. pp. 69—77.

176. Romanov A.E. Mechanics and physics of disclinations in solids // European J. Mech. A/Solids. 2003. V. 22. pp. 727—741.

177. Romanov A. E., Kolesnikova A.L. Application of disclination concept to solid structures // Progress in Materials Science. 2009. V. 54. pp. 740-769.

178. Sadoc J.F., Mosseri R. Disclination density in atomic structures described in curved spaces // J. Physique. 1984. V. 45. pp. 1025-1032.

179. Schaefer H. Die Spannungsfunktionen der Plattenbiegung // Ing. Arch. 1969. B. 38. S. 241-253.

180. Schlesinger L. Parallelverschiebung und Krümmungstensor // Math. Ann. 1928. B. 99. S. 413-434.

181. Seung H. S., Nelson D. R. Defects in flexible membranes with crystalline order// Phys. Rev. A. 1988. V. 38. № 2. P. 1005—1018.

182. Shield R. T. The rotation associated with large strains // SIAM J. Appl. Math. 1973. V. 25. № 3. pp. 483-491.

183. Signorini A. Trasformazioni termoelastiche finite // Ann. Mat. Pura Appl. 1943. V. 22. pp. 33-143.

184. Skalak R., Zargaryan S., Jain R., Netti P., Hoger A. Compatibility and the genesis of residual stress by volumetric growth // J. Math. Biol. 1996. V. 34. pp. 889-914.

185. Slavik A. Product Integration, Its History and Applications. Prague: Matfyzpress, 2007. 147 p.

186. Somigliana C. Sulla teoria delle distorsioni elastiche. Note I // Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. fis., mat., natur. 1914. Ser. 5. V. 23. 1 sem. pp. 463—472.

187. Somigliana C. Sulla teoria delle distorsioni elastiche. Note II // Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. fis., mat., natur. 1915. Ser. 5. V. 24.1 sem. pp. 655—666.

188. Srolovitz D.J., Safran S.A., Tenne R. Elastic equilibriun of curved thin films // Phys. Rev. E. 1994. V. 49. № 6. pp. 5260—5270.

189. Szwabowicz M. L., Pietraszkiewicz W. Determination of the deformed position of a thin shell from surface strains and height function// Int. J. Non-Lin. Mech. 2004. V. 39. pp. 1251—1263.

190. Taylor G. I. The mechanism of plastic deformation of ciystals. Part I. Theoretical., Part II. Comparison with observations// Proc. Roy. Soc. A. 1934. V. 145. pp. 362-387, pp. 388-404.

191. Tonti E. On the mathematical structure of a large class of physical theories // Rend. Accad. Lincei, Clas. Sci. fis. mat. e nat. 1972. V. 52. pp. 48—56.

192. Vallée C. Compatibility equations for large deformations // Int. J. EngngSci. 1992. V. 30. № 12. pp. 1753-1757.

193. Vallée C., Fortuné D. Compatibility equations in shell theory// Int. J. Engng Sci. 1996. V. 34. № 5. pp. 495—499.

194. Van der Weeën F. Application of the boundary integral equation method to Reissner’s plate model // Int. J. Numer. Meth. Engng. 1982. V. 18. pp. 1-10.

195. Vozmediano M. A. H., Katsnelson M. I., Guinea F. Gauge fields in graphene // Physics Reports. 2010. V. 496. pp. 109—148.

196. Wang C. M., Reddy J. NLee K H. Shear Deformable Beams and Plates. Relationships with Classical Solutions. Amsterdam: Elsevier, 2000. 296 p.

197. Weingarten J. Sulle superficie di discontinuité nella teoria della élasticité dei софі solidi // Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sei. fis., mat., natur. 1901. t. 5. pp. 57—60.

198. Weitsman Y. A note on singularities in a Cosserat continuum // Quart. Appl. Math. 1967. V. 25. No. 2. pp. 213-217.

199. Wood R.D. Finite element analysis of plane couple-stress problems using first order stress functions // Int. J. Numer. Meth. Engng. 1988. V. 26. Issue 2. pp. 489—509.

200. Yamasaki K., Yajima T., Iwayama T. Differential geometric structures of stream functions: incompressible two-dimensional flow and curvatures // J. Phys. A: Math. Theor. 2011. V. 44. 155501.

201. Zastrow U. Basic geometrical singularities in plane-elasticity and plate-bending theory// Int. J. Solids Structures. 1985. V. 21. № 10. pp. 1047-1067.

202. Zubov L.M. Nonlinear Theory of Dislocations and Disclinations in Elastic Bodies. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 1997. 205 p.