Волновые процессы в распределенных системах, взаимодействующих с сосредоточенными объектами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.06, кандидат физико-математических наук Кажаев, Владимир Владимирович

• Кажаев, Владимир Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кажаев, Владимир Владимирович

Оглавление

стр.

Введение

Глава 1. Фрикционные автоколебания одномерных распределенных

систем

1.1. Крутильные автоколебания вращающегося вала

1.1.1 Релаксационные автоколебания

1.1.2. "Двухпериодические" автоколебания

1.1.3. Квазигармонические автоколебания

1.1.4. Устойчивость

1.2. Сдвиговые автоколебания в круглой шайбе

1.2.1. Постановка задачи

1.2.2. Статические напряжения в шайбе

1.2.3. Сдвиговые динамические напряжения

1.2.4. Собственные функции и собственные значения динамической задачи

1.2.5. Энергетические оценки ширины спектра автоколебаний

1.2.6. Амплитуда стационарных автоколебаний

1.3. Сдвиговые автоколебания в упругом слое, скользящем по жесткому

основанию

Выводы

Глава 2.Нелинейные динамические процессы в системах содержащих звено запаздывания

2.1.Сведение краевых задач в частных производных к решению задачи

Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом

2.2. Метод моделирования переменного и постоянного запаздывания на аналого-цифровом комплексе

2.3. Нестационарные волны в стержне с нелинейно-упругим закреплением

2.4. Исследование динамических характеристик объектов механики зондирующим импульсом

2.5. Исследование переходных процессов в периодовой автоподстройке частоты

Выводы

Глава 3. Динамическое гашение колебаний в распределенных системах с

подвижными объектами

3.1. Волновой импульс и давление упругих волн

3.2. Движение массы вдоль струны под действием сил давления

волн

3.3. Гашение колебаний струны движущимися сосредоточенными объектами

3.3.1. Гаситель - движущаяся масса

3.3.1. Гаситель - движущийся осциллятор

3.4. Гашение вибраций балки свободно скользящей массой

Выводы

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Волновые процессы в распределенных системах, взаимодействующих с сосредоточенными объектами»

Введение

Диссертация посвящена исследованию волновых процессов в одномерных распределенных системах с нелинейными граничными контактами и закреплениями.

В последнее время большое внимание уделяется анализу волновых процессов в распределенных системах с учетом нелинейных эффектов. Нелинейность может быть как распределенной, так и дискретной, сосредоточенной в отдельных точках системы. Волновые процессы в дискретно-континуальных системах с нелинейными взаимодействиями на границах в настоящее время, изученны не достаточно. Однако спектр прикладных и технических задач о волновых процессах в распределенных системах с дискретными нелинейными элементами достаточно широк. Это колебательные системы с фрикционным взаимодействием на границах, системы с нелинейно-упругими граничными закреплениями, волноводные системы с дискретными элементами. Аналогичными математическими моделями описываются также системы управления, информационные сети и сети вычислительных машин.

Большинство математических моделей» описывающих динамику подобных систем, могут быть сведены к нелинейным интегро-дифференциальным уравнениям с отклоняющимися аргументами, которые в последнее время интенсивно изучаются в различных разделах математики и физики.

Цель диссертации заключается в разработке методов математического моделирования волновых явлений в одномерных распределенных системах с

нелинейным взаимодействием на границах. Исследования динамических явлений во фрикционных автоколебательных системах и в системах с нелинейно-упругими граничными закреплениями. А так же изучение динамического взаимодействия дискретной и распределенной систем с учетом сил волнового давления.

Диссертация состоит из введения и трех глав.

В первой главе рассмотрены фрикционные автоколебания во вращающимся стержне, в цилиндрической шайбе и слое конечной толщены скользящем по твердому основанию.

В разделе 1.1. исследована задача о крутильных автоколебаниях круглого стержня, один конец которого вращается с постоянной угловой скоростью, на другом конце стержня прикреплен диск, находящийся в непрерывном контакте с неподвижной шероховатой поверхностью. Момент силы трения в паре диск-поверхность зависит от относительной скорости проскальзывания, имеет "падающий участок" и вблизи точки перегиба аппроксимируется рядом Тейлора по степеням скорости вращения диска. В зависимости от величины инерции диска система стержень-диск имеет три качественно различных вида спектра собственных частот.

Для каждого случая построено приближенное аналитическое решение, описывающее установившейся процесс, подтвержденное расчетами на аналого-цифровом вычислительном комплексе.

Так при "малой" инерции диска ^«1), спектр собственных частот близок к эквидистантному, что приводит к эффективному энергообмену между

гармониками. В конечном итоге устанавливаются релаксационные автоколебания типа меандр.

При "большой" инерции диска ^>1), спектр эквидистантен начиная со второй собственной частоты. В этом случае система участвует в "быстрых и медленных" движениях, связанных с различными участками спектра. В зависимости от параметров фрикционного взаимодействия медленные движения могут быть трех типов: квазигармоническщго; релаксационного и переходного (Томсоновского) типа. Быстрые движения всегда имеют релаксационный характер.

В промежуточном случае (и=0,1 ;0,3) спектр неэквидистантен энергообмен между отдельными спектральными составляющими динамического процесса отсутствует, поэтому спектр установившихся автоколебаний определяется спектром начального возмущения.

В разделе 1.2 исследуются автоколебания в круглой шайбе взаимодействующей с вращающемся стержнем. Собственные частоты системы неэквидистантны, а в материале шайбы внутреннее трение в материале шайбы описывающееся моделью Фойхта, ограничивает спектр частот возбуждаемых колебаний. За счет фрикционного механизма в шайбе возбуждаются многочастотные квазигармонические автоколебания с ограниченным спектром.

В разделе 1.3 рассматриваются сдвиговые автоколебания в упругом слое движущемся по шероховатой поверхности. В этом случае спектр эквидистантен и приближенное аналитическое решение может быть получено методом описанным в 1.1 .

Отличительная черта этой модельной задачи состоит, в том, что осциллограмма автоколебаний слоя может быть легко построена методом точечного отображения. Поэтому ее можно использовать для изучения различных нелинейных эффектов, обусловленных лишь характеристикой трения: эффект умножения периода, стахастизация динамического поведения системы и п.т.

Рассмотренные в главе 1 задачи показывают, что автоколебания распределенных систем могут быть далеки от гармонических с большим числом высокочастотных составляющих, которые могут приводить к увеличению шумности работы механизмов, к усталостным и ударным разрушениям материала конструкций, и их ( автоколебания) необходимо детально изучать для нужд практики, при проектировании быстроходных механизмов.

Во второй главе излагается метод моделирования переменного и постоянного запаздывания на аналого-цифровом вычислительном комплексе. В этой главе приведено решение ряда конкретных задач из различных областей, демонстрирующих возможности применения описываемого метода для решения функциональных (п.п.2.3), интегральных (п.п. 2.4) и дифференциальных (п.п. 2.5) уравнений с отклоняющимися аргументами.

В разделе 2.1 с помощью метода бегущих волн начально-краевая задача в частных производных сводится к задаче Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами. Показано, что это возможно сделать практически для любых граничных условий,если распределенная система описывается линейным волновым уравнением без

дисперсии и потерь. Полученные дифференциальные уравнения не имеют достаточно общего подхода к отысканию аналитических решений, поэтому обычно они решаются с помощью вычислительной техники. Применение же вычислительной техники требует наличия методики моделирования переменного ( или постоянного ) запаздывания, которая и обсуждается в разделе 2.2. Идея метода состоит в запоминании входного сигнала в оперативном запоминающем устройстве ЭВМ и воспроизведении его в нужный момент, взависимости от величины управляющего сигнала, моделирующего время задержки.

С помощью описанного выше метода промоделированы нестационарные волновые явления в стержне с нелинейно-упругим закреплением (п. 2.3). Так при квадратичной нелинейности границы начальное возмущение распадалось на последовательность илпульсов, которые "взаимодействуют" между собой подобно солитонам уравнения КОУ. По истечению некоторого времяни " взаимодействия " наблюдалось явление возврата, т.е. последовательность импульсов вновь трансформировалась в синусоидальное возмущение. Подобное явление было обнаружено в 1955 году при численных эксперементах с системой нелинейных маятников и получило название эффекта Ферми-Пасте-Улама

В 2.4 излагается методика идентификации и прогнозирования динамического поведения сложных механических систем, по результатам эксперементальных исследований отклика обьекта на заданное (тестовое) нагружение. Изучаемая система нагружается зондирующим сигналом заданной формы и определяется передаточная функция между входным и выходным

сигналами снимаемыми с различных точек системы. Прогноз динамического поведения при реальном нагружении сводится к решению интегрального уравнения ольтера 1-ого рода, ядром которого является переходная функция полученная при решении задачи идентификации. Приведена и описана структурная схема автоматизированной системы прогнозирования. Приведен тестовый пример демонстрирующий ее функциональные возможности.

В разделе 2.5 изучается динамика переходных процессов в системе периодовой автоподстройки частоты. Показана возможность применения метода моделирования переменного запаздывания для исследования различных систем управления. Математическое описание таких систем приводит к уравнениям с запаздыванием, что является следствием наличия звена, работающего много медленней всех остальных звеньев системы. В системе периодовой автоподстройки частоты таким звеном является цифровой измеритель периода, в котором время задержки равно или кратно полупериоду подстраиваемого генератора. Получены осцилограммы процессов переключения частоты и на плоскости обобщенных параметров системы ( крутизна характеристики варикапа - коэффициент усиления ) построены области с качественно различным характером устойчивости.

Третья глава посвящена разработке теории динамического гашения колебаний распределенных систем, основанного на саморегулирующем действии сил волнового давления. Теоретически показана возможность создания регулятора вибраций волнового принципа действия. В (п.3.3) и (п.3.4) решен ряд задач, описывающих динамику одномерных систем, снабженных регулятором вибраций.

В разделе 3.1 обсуждаются вопросы, связанные с наличием волнового импульса и волнового давления при колебаниях распределенных механических систем. Приведен вывод выражения волнового импульса и силы волнового давления для поперечных колебаний одномерных систем, описываемых моделями струны и балки.

В 3.2 исследуется движение сосредоточенной массы вдоль колеблющейся струны под действием сил волнового давления, что приводит к уравнениям в частных производных с нелинейными условиями на подвижной границе, закон движения которой находится в процессе решения. Эта задача относится к новому классу задач математической физики, для которого еще нет достаточно общих методов аналитического решения. Методами, изложенными в (2.1), она сведена к сисиеме обыкновенных дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами и исследована с помощью вычислительной техники. Результаты численного моделирования показали, что в такой системе сосредоточенная масса совершает колебательные движения вдоль струны около точки, совпадающей с положением пучности смещения струны в начальный момент времени. Построено приближенное аналитическое решение, описывающее движение массы, если начальные условия близки к первой собственной форме колебаний струны. Аналитическое решение хорошо согласуется с численными расчетами.

В разделе 3.3 выявлен и теоретически обоснован эффект уменьшениявибраций упругой направляющей , вдоль которой под действием сил давления волн движется сосредоточенный объект. Силы волнового

давления заставляют обьект занять такое равновесное положением котором уровень вибраций минимален.

Для простейших моделей: струна со свободно скользящей по ней массой или осциллятором, найдены положения равновесия, исследована их устойчивость и для установившихся режимов, когда обьект находится в устойчивых положениях равновесия, определены максимальные амплитуды колебаний струны в зависимости от частоты возбуждения.

В 3.4 решена задача о гащении вибраций балки, свободно скользящей массой. Определены устойчивые положения равновесия массы. Построена амплитудно частотная характеристика рассматриваемой системы. Показано, что у этой системы даже при отсутствии диссипации все резонансные пики ограничены, за исключением резонанса на наинизшей частоте.

Научная новизна. В работе исследованы различные классы задач, решение которых сводится в общем случае к решению интегро-дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами.

1. Разработана методика моделирования переменного и постоянного запаздывания, применимая, как к цифровым так и к гибридным вычислительным средствам.

2. Исследованы фрикционные автоколебания во вращающемся стержне и в цилиндрической шайбе.

3. Обнаружен эффект трансформации начального синусоидального возмущения в последовательность солитоно-подобных импульсов, которые через некоторое время ретранслируются в синусоидальную волну, близкую к первоначальной (так называемое явление возврата или рекуренции ).

4. Впервые проведено численное моделирование самосогласованного движения струны и скользящей по ней сосредоточенной массы. Выявлено, что масса под действием сил давления волн совершает колебательные движения вдоль струны в окрестности ближайщей пучности начального профиля струны.

5. Аналитическими методами показана и численно подтверждена возможность использования сил волнового давления для создания автоматических регуляторов вибраций одномерных упругих обьектов.

Все результаты, составляющие основу диссертации, получены впервые, что и определяет их научную новизну. Исследования фрикционных автоколебаний распределенных систем представляют интерес для прогнозирования режимов работы и расчетов динамических напряжений бурильных колонн, сверл, червячных передач (суппоров) металлобрабатывающих станков и пар трения в тормозных механизмах. Методика моделирования запаздывания может быть использована для создания технических средств исследования динамических характеристик механических обьектов с помощью зондирующих импульсов, а так же для исследования процессов в системах управления. Теоретические исследования движения тел под действием сил давления волн могут быть положенны в основу разработки пассивных динамических гасителей колебаний распределенных систем в широком диапазоне частот.

4. Впервые проведено численное моделирование самосогласованного движения струны и скользящей по ней сосредоточенной массы. Выявлено, что масса под действием сил давления волн совершает колебательные движения вдоль струны в окрестности ближайщей пучности начального профиля струны.

5. Аналитическими методами показана и численно подтверждена возможность использования сил волнового давления для создания автоматических регуляторов вибраций одномерных урругих обьектов.

Все результаты, составляющие основу диссертации, получены впервые, что и определяет их научную новизну. Исследования фрикционных автоколебаний распределенных систем представляют интерес для прогнозирования режимов работы и расчетов динамических напряжений бурильных колонн, сверл, червячнах передач (суппоров) металлобрабатывающих станков и пар трения в тормозных механизмах. Методика моделирования запаздывания может быть использована для создания технических средств исследования динамических характеристик механических обьектов с помощью зондирующих импульсов, а так же для исследования процессов в системах управления. Теоретические исследования движения тел под действием сил давления волн могут бать положенны в основу разработки пассивнах динамических гасителей колебаний распределенных систем в широком диапазоне частот.

Заключение диссертации по теме «Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры», Кажаев, Владимир Владимирович

Основные результаты диссертации состоят в следующем:

1. Исследованы различные режимы генерации автоколебаний распределенной системы с помощью фрикционного механизма. Показано, что в зависимости от характера спектра собственных частот, волны деформации могут быть квазигармоническими, релаксационными или представлять собой совокупность "быстрых" и "медленных" движений.

2. Выявлены эффекты стохастизации динамического поведения системы при больших интенсивностях фрикционного механизма и построена бифуркационная диаграмма процесса удвоения периода автоколебаний от интенсивности механизма.

3. Разработана методика моделирования переменного и постоянного запаздывания, применимая, как к цифровым так и к гибридным вычислительным средствам. С ее помощью исследованы нестационарные волновые явления в стержне с нелинейно-упругим закреплением. Обнаружен эффект трансформации начального синусоидального возмущения в последовательность соли-тоно-подобных импульсов, которые через некоторое время ретранслируются в синусоидальную волну близкую к первоначальной.

4. Изучена динамика переходных процессов в системе периодовой автоподстройки частоты. Показана возможность применения метода моделирования переменного запаздывания для исследования различных систем управления.

5. На основе точных аналитических решений выявлен и теоретически обоснован эффект уменьшения вибраций упругой направляющей, вдоль которой под действием сил давления волн движется сосредоточенный объект.

6. Решена задача о гашении вибраций балки, свободно скользящей массой. Показано, что даже при отсутствии диссипации все резонансы ограничены, за исключением резонанса на наинизшей собственной частоте объединенной системы.

Автор выражает благодарность научному руководителю А.И.Потапову и профессору А.И.Весницкому за внимание к работе, обсуждения результатов и полезные замечания. Автор признателен также своим соавторам Е.В.Прокофьеву, Л.Л.Сибиряковой, В.П.Болдину, Г.А.Уткину, В.И.Ерофееву, Е.Е.Лисенковой, Н.П.Семериковой в работах с которыми получены результаты вошедшие в диссертацию.

Заключение

В основе настоящей работы лежат результаты теоретических исследований выполненных автором в Нижегородском филиале института Машиноведения РАН им. A.A. Благонравова (Нф ИМАШ РАН) и в вычислительном центре научно исследовательского института Механики при Нижегородском (Горьковском) госуниверситете.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кажаев, Владимир Владимирович, 1998 год

Литература

1. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. .М.: Наука, 1971, С.230.

2. Вибрация в технике. -М.: Машиностроение, т1, 1977, С.350.

3. Мигулин В.В., Медведев В.И. и др. Основы теории колебаний. -М.: Наука, 1978, С.392.

4. Камке Э. Справочник про обыкновенным дифференциальным уравнениям. -М.: Наука, 1971, С.576.

5. Кажаев В.В., Прокофьев Е.В., Сибирякова Л.Л. Аналого-цифровое моделирование переменного запаздывания. // Электронное моделирование, 1984, т.6, №4, с.116-118.

6. Кажаев В.В. и др. Авторское свидетельство № 1599875 А1, 1988.

7. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. -М.: Наука, 1980, С.359.

8. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. -М.: Наука, 1969, С.380.

9. Амензаде Ю.А. Теория упругости. -М.: Высшая школа, 1976, С.274.

10. Кажаев В.В., Потапов А.И. Крутильные автоколебания упругого стержня. -Межвуз. сб.: Динамика систем. Динамика и управление. / Горьк. ун-т, 1986.

11. Кажаев В.В. Сдвиговые автоколебания в круглой шайбе, сб.: научн. трудов Нф ИМАШ РАН Испытания материалов и конструкций. Н.Новгород, 1996, С.157-165.

12. Витт A.A. К теории скрипичной струны. -ЖТФ, 1936, т.6, С. 1459.

13. Постников B.C. Внутреннее трение в металлах. -М.: Металлургия, 1974, С.351.

14. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. ч.1 и 2, ИЛ.,1949.

15. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. Пер. с англ. -М.: Мир, 1967.

16. Найфэ А. Введение в методы возмущений. -М.: Мир,1984, С.536.

17. Rowson D.M. An analysis of stichslip motion. //Wear. 1975. Vol. 31, N2, p.213.

18. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. 1965.

19. Кажаев В.В. Крутильные автоколебания вращающегося стержня, сб. научн. трудов Нф ИМАШ РАН Н.Новгород, 1994, С.145-162.

20. Доценко В.А. Изнашивание твердых тел. Москва, 1990, С. 192.

21. Крагельский И.В., Гитис Н.В. Фрикционные автоколебания. -М.: Наука, 1987, С.183.

22. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. -М.: Наука, 1987, С.424.

23. Мун Ф. Хаотические колебания. -М.: Мир, 1990, С.312.

24. Feigenbaum M.J. (1978). Qualitative Universality for a Class of Nonlinear Transformations. J. Stat. Phys. 19(1), 25-52.

25. Березовский A.A. Лекции по нелинейным краевым задачам математической физики, т. 1 -Киев: изв. АН УССР, 1974, С.452.

26. Весницкий А.И., Потапов А.И. Теория колебаний распределенных параметрических систем. ч.2 /Горьк. ун-т, 1980, С.88.

27. Годунов С.К. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1979, С.392.

28. Норкин С.Б.Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом. .М.: Наука, 1965

29. Островский Л.А., Попилов И.А., Сутин A.M. Параметрическая генерация и усиление акустических волн в кольцевом резонаторе на твердом теле. ЖТФ, 1973, т.43, №10, С.2213-2215.

30. Милосердова И.В. Многочастотные колебания в одномерных упругих нелинейных и параметрических системах. -Дисс. ... -канд.физ.-мат.наук. Горький, 1983. С.183.

31. Кирилов В.В., Моисеев B.C. Аналоговое моделирование динамических систем. -П.: Машиноведение, 1972.

32. Инженерный справочник по космической технике. / Под.ред. A.B. Солодова -М.: Воениздат, 1977.

33. Stone R.S., Dande R.A. Variable function delay for analogous computers. -JRE Trans., 1957, №6.

34. Прокофьев E.B., Хохлов Ю.А. Применение время-импульсной модуляции для моделирования переменного запаздывания на магнитной ленте. -Изв. вузов. Радиофизика, 1963, 6, №2.

35. Догановский С.А., Иванов В.А. Блоки регулируемого запаздывания. -М.: Горэнергоиздат, 1960.

36. Paul R.J., Steinberg М. Two ways to simulate deadtime digitally. -Control Engineering, 1962, 9, №8.

37. Солодов A.B., Солодова E.A. Системы с переменным запаздыванием. -М.: Наука, 1980, С.384.

38. Богатырев Ю.К., Горшков К.А. Взаимодействие волн и генерация солитонов в системе с нелинейной емкостной границей. -Радиофизика, 1978, т.23, №10, С.2159-2166.

39. Милосердова И.В., Новиков A.A., Потапов А.И. Импульсные волны в одномерной системе с нелинейными границами. -В кн.: Волны и дифракция., т.2, -М.: изд. ИРЭ АН СССР, 1981.

40. Милосердова И.В., Потапов А.И. Продольные колебания в стержне с нелинейно упругим закреплением. Изв. АН СССР МТТ, 1980, №6.

41. Островский Л.А. Ударные волны и солитоны. -Изв. вузов. Радиофизика, 1976, т. 19, №5-6.

42. Кадомцев Б.Б., Карпман В.И. Нелинейные волны. -УФН, 1971, т.103, №2, С.193-232.

43. Карпман В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. -М.: Наука, 1973, С.176.

44. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. -М.: Наука, 1972.

45. Баженов В.Г. Нелинейные задачи динамики тонкостенных конструкций при импульсных воздействиях. // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Статистика и динамика деформируемых систем. Всесоюзн. межвуз. сб. / Горьк. ун-т, 1981, С.57-66.

46. Ведерников В.В., Горюнов H.H. и др. Причины, механизмы отказов и надежность полупроводниковых приборов при механических воздействиях. -М.: Знание, 1977, Вып.1.

47. Журавлев В.М., Коваленко В.А., Ильясов Т.А. Исследование реакции изделий электронной техники на ударные воздействия методами моделирования на ЭВМ. //Изв. высш. учебн. заведений. Приборостроение. 1984, №12, С.38-43.

48. Кузмечев Д.А., Радневич И.А., Смирнов А.Д. Автоматизация экспериментальных исследований. -М.: Наука, 1983.

49. Волков В.В. Определение импульсной переходной функции объекта механики путем решения уравнения Вольтерра 1-ого рада. //Прикладные проблемы прочности и пластичности. /Методы решения. /Горький, 1986.

50. Ленк А., Рениту Ю. Механические испытания приборов и аппаратов. -М.: Мир, 1976.

51. Гетманов А.Г., Дектяренко П.И., и др. Автоматическое управление вибрационными испытаниями. -М.: Энергия, 1978.

52. Волков В.В., Кажаев В.В., Калинин В.В. Методика исследования динамических характеристик объектов механики зондирующим импульсом. // Прикладные проблемы прочности и пластичности. /Методы решения. Всесоюзн. межвуз. сб. / Горьк. ун-т, 1986, С. 134-144.

53. Ерусланов В.Н., Прокофьев Е.В., Сибирякова Л.Л. Периодовая автоподстройка частоты и перспективы ее применения. Тезисы доклада 40 Всесоюзной научной конференции. -М.: Радиосвязь, 1985.

54. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев H.A. Введение в теорию нелинейных колебаний. -М.: Наука, 1976.

55. Горяченко В.Д. Устойчивость систем с запаздыванием. Горький, 1975, С. 142.

56. Кажаев В.В. Исследования переходных процессов в периодовой автоподстройки частоты с учетом эффекта запаздывания. Труды семинара

"Стабилизация частоты", Иваново, 1986, С.132-143.

57. Гинзбург В.Л. Теоретические физика и астрофизика. М.:Наука, 1975.

58. Ландау Л.Л., Лифшиц Е.М. Краткий курс теоретической физики, кн.1. Механика. Электродинамика. М.:Наука,1969.

59. Весницкий А.И., Каплан Л.Э., Уткин Г.А. Законы изменения энергии и импульса для одномерных систем с движущимися закреплениями и нагрузками. // Прикл. матем. и механика. 1983, т.47, №5.

60. Euler L. Histoire de I Academic Royale de Berlin, 2, 1746, P.117.

61. Максвелл Дж. К. Избранные сочинения по теории электромагнитного поля. М.: Ил. 1954.

62. Стретт Дж. Теория звука. М.: ГИТТЛ, 1944, т.2.

63. Лебедев П.Н. Давление света. //Собр.соч. М.: Изд-во АН СССР, 1963.

64. Мак-Интайр М. Миф о "волновом импульсе" // Современная гидродинамика. Успехи и проблемы. М.: Мир, 1984.

65. Весницкий А.И., Каплан Л.Э., Крысов C.B., Уткин Г.А. Самосогласованные задачи динамики одномерных систем с движущимися нагрузками и закреплениями // Препринт НИРФИ №159, Горький, 1982.

66. Болдин В.П., Весницкий А.И., Кажаев В.В., Лисенкова Е.Е., Семерикова Н.П., Семенов А.Д. Некоторые задачи волновой динамики машин // Препринт Нф ИМАШ АН СССР, Горький, 1989.

67. Крысов C.B. Волновые процессы при контактных взаимодействиях подвижных сопряжений в упругих элементах машин и конструкций: Дис. ... доктора физ.-мат.наук / Москва, 1992.

68. Уткин Г.А. Теоретические основы динамики одномерных систем с движущимися по ним объектами: Дис. ... доктора физ.-мат. наук / Москва, 1991.

69. Весницкий А.И., Крысов C.B., Уткин Г.А. Постановка краевых задач динамики упругих систем, исходя из вариационного принципа Гамильтона -Остроградского // Горький, Изд-во Горьк. ун-та, 1983.

70. Лисенкова Е.Е. Движение объектов под действием давления упругих волн: Дис. ... канд. физ. -мат. наук /Донецк, 1992.

71. Романов Н.Д. Разработка волновых принципов гашения, преобразования и измерения вибраций: Дис. ... канд. физ. -мат. наук / Н.Новгород, 1995.

72. Болдин В.П. Машины и приборы волнового принципа действия / В кн.: Волновая динамика машин. М.: Наука, 1991.

73. Весницкий А.И., Романов Н.Д., Уткин Г.А. О коэффициенте полезного действия волнового движителя //ДАН СССР, 1989, т.308, №4, С.810-812.

74. Kazhayev V., Vesnitsky A. The effect of reducing vibratory live! in one-dimensional systems with an object traveling freely along the latter // Wave Processes in Machinery and Structures / Colloquium Euromech 295, 1992.

75. Кажаев В.В., Уткин Г.А. Движение массы вдоль струны под действием сил волнового давления // Дифференциальные и интегральные уравнения. / Межвуз. сб. Горький, 1989, С.112-117.

76. Кажаев В.В. и др. Авторское свидетельство №1768826, 15.10.1992, Бюл. №38.

77. Коренев Б.Г., Резников Л.М. Динамические гасители колебаний -М.: Наука, Гл. ред. физ. -мат. лит., 1988, С.304.

78. Вибрации в технике : Справочник в 6 томах, т.6. Защита от вибраций и ударов / Под ред. К.В.Фролова. -М.: Машиностроение, 1981.

79. Блехман И.И., Малахова О.З. О квазиравновесных положениях маятника Челомея //ДАН СССР, 1986, т.287, №3, С.289-294.

80. Асташев В.К., Бабицкий В.И., Веприк A.M., Крупенин В.Л. Гашение вынужденных колебаний струн и стержней подвижной шайбой // ДАН СССР, 1989, т.304, №1, С.50-54.

81. Кажаев В.В. Гашение вибраций струны скользящим осциллятором. // Волновые задачи механики., Горький, 1991, С.102-107.

82. Кажаев В.В. Гашение вибраций балки свободно скользящим объектом. // Волновые задачи механики., Горький, 1990, С.41-47.

83. Кажаев В.В. Фрикционные автоколебания упругого слоя, скользящего по жесткому основанию. // Прикладная механика и технологии машиностроения, сб.научн.трудов / Н.Новгород, Из-во "Интелсервис", 1997, Часть 2, С. 102-111.