Нелинейные N=4,8 супермультиплеты в низших измерениях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Щербаков, Андрей Валерьевич

• Щербаков, Андрей Валерьевич
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Щербаков, Андрей Валерьевич

Введение

1 N = 4 d = 1 гиперкэлеровые модели

1.1 Тензорный мультиплет.

1.1.1 Компонентный состав и действие.

1.1.2 Дуализация вспомогательной компоненты.

1.2 Дуализация константы связи.

1.2.1 N = 4 тензорный супермультинлет и его N = 2 описание

1.2.2 Действие.

1.2.3 Построение гиперкэлерового многообразия.

1.3 Нелинейный N = 4 гииермультиплет

1.3.1 Введение: гармоническое суперпространство.

1.3.2 Нелинейное представление суперсимметрии.

1.3.3 Сигма-модель Егучи-Хансона.

1.3.4 Калибровка Весса-Зумипо.

1.3.5 Сигма-модельное многообразие

1.3.6 Взаимосвязь калибровочных полей.

2 Суперсимметричные модели с восемью суперзарядами

2.1 Сигма-модель на основе линейного кирального супермультиплета

2.1.1 Линейный киральный супермультиплст

2.1.2 Построение действия.

2.1.3 Гамильтонов формализм.

2.1.4 Построение гиперкэлерового многообразия.

2.2 Сигма-модель на основе нелинейного кирального супермультиплета

2.2.1 Нелинейный киральный супермультинлет.

2.2.2 Построение действия

2.2.3 Гамильтонов формализм.

2.2.4 Построение гиперкэлерового многообразия.

2.3 Дуализация константы связи.

2.3.1 Супермультинлет (3,8,5).

2.3.2 Построение действия.

2.3.3 Построение гиперкэлерового многообразия.

2.4 Нелинейная N = 4 d = 3 электродинамика.

2.4.1 Нелинейный векторный супермультиплет .7G

2.4.2 Построение суперсимметричного действия.

3 Спонтанное нарушение суперсимметрии

3.1 Супер-З-брана в шестимерном пространстве.8G

3.1.1 Расширенный векторный N = 2 D = 4 супермультиплет.

3.1.2 Рекуррентное соотношение.

3.1.3 Бесконечномерный матричный N = 2 супермультиплет.

3.2 Спонтанное нарушение суперсимметрии в d = 1.

3.2.1 Универсальное действие

3.2.2 Действия суиерсимметричных частиц.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейные N=4,8 супермультиплеты в низших измерениях»

Суперсимметричная квантовая механика, сформулированная впервые в известной работе [1], и сейчас находит широкий спектр применения при изучении физических явлений, которые так или иначе связаны с непертурбативиыми эффектами и которым пока что не дано полного и исчерпывающего описания в рамках квантовой теории поля. Так, например, суперсимметричная квантовая механика применяется при описании одномерного варианта известного AdS/CFT соответствия [2, 3, 4, 5], связывающего свойства теории суперструн [6, 7] на пространстве AdS$ х S5 с N = 4 суперсимметричной теорией Янга-Миллса. Квантовая механика также используется при рассмотрении моделей со спонтанно нарушенной суперсимметрией [1, 8, 9, 10], при описании динамики движения частиц вблизи горизонта событий чёрных дыр, возникающих в теории супергравитации [6], при описании пространства модулей суперсимметричных монополей и черных дыр [11, 12, 13, 14]. Пространство модулей суперсимметричных черных дыр является сигма-модельным пространством суперсимметричной механики, которая описывает движение по геодезической в этом пространстве [11, 15, 16, 17J. Низкоэнергетическая динамика протяженных объектов на нетривиальных пространствах, таких как, например, движение DO-браны в поле £>4-браны [18], также описывается суперсимметричной квантовой механикой. Опять же, низкоэнергетические свойства загадочной Лf-теории, претендующей на главенствующую роль в объединении всех известных взаимодействий, также, вероятно, описываются суперсимметричной квантовой механикой [19]. Возникает она и при квантовании суперсимметричных теорий ноля в калибровке светового конуса [20, 21].

Конечно же, одномерные суперсимметричные модели анализировать проще, чем их многомерные аналоги. Однако, размерная редукция суперсимметричных действий, определенных в d > 1, не воспроизводит все возможные действия в d = 1, поскольку в многомерном случае правила отбора, связанные с группой Лоренца, накладывают дополнительные ограничения, которых, естественно, нет в d = 1. Например, в d = 1 три-форма кручения, модифицирующая связность, не обязана быть замкнутой. Если она будет замкнутой, то соответствующее действие может быть получено размерной редукцией из d > 1, в противном случае - нет. Отсутствие группы Лоренца сказывается и на таком фундаментальном свойстве суперсимметрии, как равенство числа бозонных и фермионных степеней свободы на массовой поверхности, которое не обязано выполняться в d = 1. Эти факты говорят о том, что нужно рассматривать одномерные суперсимметричные модели, основываясь на алгебре суперсимметрии в d = 1, не прибегая к размерной редукции.

Алгебра d = 1 суперсимметрии с N вещественными суперзарядами имеет вид

Линейные представления этой алгебры были построены и работах (22, 23]. Требования, чтобы, во-первых, преобразования полей, образующих представление, реализовывали алгебру суиерсимметрии, и, во-вторых, оставляли свободное действие инвариантным, приводят к следующим значениям на число бозонов d(, и фермионов df в зависимости от количества суиерсимметрии

N: 1 2 3 4 5 б 7 8 9 10 12 16 . db = df. 1 2 4 4 8 8 8 8 1G 32 64 128 .

Как и в четырехмерны, бозонные поля включают dph физических и daux вспомогательных полей, суммарное число которых и представлено в таблице

Поэтому каждый из представленных в таблице мультиплетов имеет версии с различным числом физических и вспомогательных полей. В d = 1, рассматривая алгебры суперсимметрии с N суперзарядами, удобно ввести обозначение для представления, содержащего п физических бозонов, N—п вспомогательных бозонов и N фермионов, число которых равно числу суиерсимметрии. Так, например, для N = 4 имеется пять вариантов линейных представлений: (0,4,4), (1,4,3), ., (4,4,0).

Анализ трансформационных свойств компонент линейных сунермультиилетов в одном измерении показывает, что имеются преобразования, которые превращают физические бозонные поля во вспомогательные и наоборот, оставляя их суммарное число неизменным. Например, супермультиплеты (3,4,1) и (4,4,0) связаны этими преобразованиями, которые основаны только лишь на трансформационных свойствах и не апеллируют к функционалу действия. Другой тип преобразований также меняет компонентную структуру супермультиплета, но применяется к функционалу действия. Проще всего его пояснить на примере конформно инвариантной механики

Условие постоянства д может быть истолковано, как решение условия g(t) = 0. Рассматривая это условие как связь, вставим его в действие с лагранжевым множителем ip(t) и исключим g(t):

Q\QJ} = SVP, [Q\P] = 0, i.j=l.A. dph daux — dbn, N, N - n) 2<p(t)g(t) ->S = Jdt Р2 + Р2Ф2 . 2

2-2

Таким образом, это преобразование превращает действие с одномерным сигма-модельным многообразием в действие с двумерным многообразием, что и является источником изменения компонентной структуры супермультиплета (глава 1).

Из таблицы видно, что случаи N = 1,2,4,8 являются выделенными, поскольку для этих значений число фермионных и бозонных полей, образующих супермультиплет, совпадает с числом суперсимметрий

N = db = df, при N = 1,2,4,8.

Мультиплеты с таким числом фермионов (и бозонов) удобны для описания супсрсим-метричных моделей с максимальным числом суперсимметрий, т.е., например, на су-иермультиплете с восемью фермионами можно реализовать суперсимметрию с числом супергенераторов, не превышающим восьми. Видно также, что при N > 8 число нолей быстро растет, что заметно усложняет анализ соответствующих таким мультиплетам теорий. Кроме того, взаимосвязь числа суперсимметрий N с геометриями соответствующих сигма-моделей [24], показывает, что случай N = 8 является максимально возможным, при котором геометрия не фиксируется полностью; при N > 8, например, сигма-модельное многообразие превращается в симметрическое пространство. К тому же, случай N = 8 соответствует редукции наиболее интересных четырехмерных N — 2 суперсимметричных теорий поля в d = 1.

Большое количество работ [25, 26, 27] было посвящено построению суперсимметричных механик с N = 1,2 для изучения вопросов спонтанного нарушения суперсимметрии и исследовании конформных свойств моделей [28, 29]. Поскольку и этом случае количество дополнительных условий, накладываемых суперсимметрией, невелико, то и серьезных ограничений на геометрию их многообразий не возникает - соответствующие сигма-модельные многообразия просто являются римановыми.

В первых работах по N — 4 суперсимметричной механике [30] также исследовались свойства, накладываемые суперсимметрией на сигма-модельное многообразие, и конформные аспекты суперсиммеуричпой механики [31]. Интересный результат получен в работе [32], в которой построено трехмерное сигма-модельное многообразие, основываясь на N — 4 d = 1 представлении суперсимметрии, у которого нет d > 1 аналога. Вообще говоря, этот факт есть отражение общего утверждения о том, что, как и в случае с действиями, размерная редукция из d > 1 не дает всего разнообразия d = 1 супермультиилетов. Кроме того, d > 1 супермультиплеты, которые определены только на массовой поверхности, могут иметь d — 1 аналоги, которые определены и вне массовой поверхности. Типичным примером может служить гипермультинлет Файе-Сонуиса [33, 34], определенный только лишь на массовой оболочке, одномерным аналогом которого есть мультиплет с составом (4,4,0), определенный вне массовой оболочки.

Несмотря на большой интерес к моделям с N = 4 суперсимметрией, систематическое исследование N = 4 мультиплетов было проведено лишь в недавней работе [35], в которой проклассифицированы все возможные представления наиболее общей в одномерии конформной супералгебры D(2,1; а) с четырьмя генераторами Пуанкаре.

Рассматривая нелинейные реализации этой супсралгебры, помимо известных представлений были найдены два новых - нелинейный киральный (2,4,2) и нелинейный тензорный (3,4,1) супермультинлеты, - которые описываются нелинейными суперполевыми условиями. Компонентный состав этих представлений не отличается от их линейных аналогов, однако с геометрической точки зрения эти представления являются совершенно различными, поскольку физические бозонные поля соответствующих су-пермультиплетов являются координатами совершенно различных фактор-нространств суперконформной алгебры .0(2,1; а). В нелинейном случае это сферы S2 и S3 для ки-рального и тензорного мультиплетов соответственно, тогда как в линейном случае -плоскости R2 и R3.

Для суперсимметричных одномерных моделей расширенная суперсимметрия накладывает более слабые условия на геометрию их сигма-модельного многообразия, чем в случае многомерных моделей с тем же числом суперсимметрий [11], поэтому можно ожидать наличие более широкого класса допустимых сигма-модельных геометрий.

В случае d = 4 ответ на вопрос о взаимосвязи геометрии суперсимметричных моделей и числа суперсимметрий был известен и заключался в том, что геометрии могут быть кэлеровыми [36], гиперюлеровыми [37] или кватерпион-кэлеровыми [38].

В работах [11, 39, 40] этот вопрос изучался для d = 1 суперсимметричных моделей. Было показано, что для N = 4 сигма-модельное м1югообразие является гиперкэлеровым с кручением (НКТ) и задается метрикой, тремя комплексными структурами, образующими алгебру кватернионов, и три-форхмой кручения. Если форма кручения замкнута, то говорят, что многообразие имеет "сильную" НКТ структуру.

Результат, полученный в работе [35] заключается в том, что наиболее общее суперсимметричное действие, построенное для d = 1 N = 4 супермультиплета, скажем, с четырьмя бозонными полями, которые мы обозначим q\ имеет вид

С точки зрения сигма-моделыюго подхода функции ql(t) задают отображение одномерного пространства на некоторое четырехмерное сигма-модельиое многообразие М. Поэтому они могут интерпретироваться, как координаты на М с метрикой которая, очевидно, является конформно плоской. II это свойство является общим для всех N = 4 суперсимметричных действий независимо от того, мультиплет с каким числом физических полей рассматривается. Заметим, что это построение совершенно не использовало размерную редукцию и, казалось бы, должно быть максимально общим, поскольку с самого начала было построено для одномерного случая, который, как уже

S = G(q) q\t)ql(t) + фермионы , г = 1,., 4. q: R1 —> М, dim М = 4 ds2 = G{q) dr/d^, говорилось, допускает более широкий класс сигма-модельных геометрий. Тем не менее, все, что можно получить - только лишь конформно плоские многообразия.

Проблема "конформной плоскостности" не является спецификой N = 4 алгебры сунсрсимметрии и имеет место и в случае N = 8. В этом случае [11, 39, 40] геометрия сигма-модельного многообразия является октонион-кэлеровой с кручением (ОКТ) и задается метрикой, семыо комплексными структурами, образующими алгебру окто-ипоиов, и три-формой кручения. Если, как и в случае НКТ, форма кручения замкнута, то говорят, что многообразие имеет "сильную" ОКТ структуру.

Представления алгебры сунсрсимметрии с восемью суперзарядами, как и в случае N = 4, могут быть, в принципе, получены, рассматривая нелинейные реализации d=l суперконформных групп с восемью Пуанкаре суперсимметриями, которых в этом случае четыре [42]

OSp( 4*|4), OSp(812), SU( 4|1,1), F°( 4),

Построение нелинейных реализаций этих супергрупп даст все возможные представления N = 8 супералгебры. Конечно, часть из них будут линейными, что даст представления, полученные в работах [22, 23, 56].

Действия, построенные для какого-либо представления из этих супергрупп, например, (8,8,0), будут иметь такой же вид, что и выписанные выше для (4,4,0), т.е. и в этом случае сигма-модельное многообразие будет конформно плоским.

С другой стороны, понятно, что размерная редукция d > 1 суперсимметричных действий ddx

VmnGij{q)dmqi{x)dnqj{x) + ферм.

S= dt

Gij{q)ql{x)q:'(x) +ферм. как бы нн влияла на число суперсимметрнй, не изменит геометрию сигма-модельного многообразия. Если она была кэлеровой или гиперкэлеровой, то она останется таковой и после размерной редукции.

Таким образом, возникает вопрос: можно ли получить нетривиальные сигма-модельные многообразия для представлений алгебры суперсимметрии в d = 1?

Ключевым моментом в решении этого вопроса является существование нелинейных представлений алгебры суперсимметрии. Так, например, в N = 4 законы преобразования построенного в данной диссертации (глава 1) нелинейного супермультипле-та с четырьмя физическими бозонными полями i>(nh'(£), Ф(£) и четырьмя фермионны-ми Xa(t), Xa(t) имеют вид

Sv™ = 2eHb> + 2&Xb\ 6Ф = ta (fXa + a(ab)Xb) + ? (fXa + a(ab)Xb),

SXa = (ф - \aabvab - 2idabfXaXb^j - k\ab), и определяются ([)упкциями / и а^аЬ\ зависящими от vab и связанными соотношениями дасась + 0bcaca = dabf dabdabf = 0.

Если функция f(vрання константе, то, очевидно, эти законы преобразования воспроизводят известные линейные преобразования компонент относительно преобразований суперсимметрии. Функция / является одной из тех, свойства которой определяют геометрию соответствующего сигма-модельного многообразия, которое, вообще говоря, не является конформно плоским, и при определенных дополнительных условиях становится гиперкэлеровым. В d > 1 ничего подобного не происходит, поскольку в этом случае нет супермультиплетов без вспомогательных полей и функции могут появляться в компонентных законах преобразования, заданных только на массовой оболочке, как результат исключения вспомогательных нолей, тогда как описанные выше d = 1 законы преобразования определены вне массовой оболочки.

Таким образом, нелинейные супермультинлеты играют важную роль в построении сигма-моделей с нетривиальной геометрией. Замечательным фактом является существование нелинейных супермультиплетов и в пространствах с d > 1. Такие мультипле-ты были, например, построены в [43, 44], которые использовались для построения N — 2 суперсимметричной теории гравитации и сигма-моделей. Предложенный в диссертации (глава 2) N = 4 d = 3 нелинейный векторный супермультинлет, описываемый суперполем Z

Dia Z = ZDia2, D?Djn Z = DiaD?Z содержит среди своих компонент тензор напряженности электромагнитного поля и обладает тем же составом, что и линейный векторный супермультинлет. Поэтому действие, построенное на его основе, описывает нелинейную суперсимметричную электродинамику. Соответствующее ему сигма-модельное многообразие является искривленным трехмерным пространством. Это значит, что предложенный вариант нелинейной электродинамики может служить альтернативой теории Борпа-Инфельда, некоммутативным теориям в ряду нелинейных обобщений теории электромагнитного поля.

Важность нелинейных супермультиплетов ярко проявляется и при изучении структуры теорий со спонтанным нарушением суперсимметрии [45, 46, 47,48]. Так, будучи изначально линейными, законы преобразования компонент супермультиплета становятся нелинейными при наложении подходящих условий, описывающих частичное спонтанное нарушение суперсимметрии. Появление неоднородного члена, пропорционального масштабу спонтанного нарушения, в законах преобразования является принципиальным для возникновения нелинейного супермультиплета. В этом случае, в отличие от упомянутых выше, компоненты супермультиплета приобретают нелинейности только при преобразованиях относительно части суперсимметрии - относительно спонтанно нарушенных.

Отличительной особенностью моделей с частично нарушенной суперсимметрией является то, что лагранжиан становится одной из компонент супермультиплета. Его зависимость от других компонент уменьшает число независимых компонент супермультиплета, что и делает его нелинейным. Так, например, в случае спонтанного нарушения N = 2 D = 4 суперсимметрии с двумя центральными зарядами до N = 1 D ~ 4 показано (глава 3), что имеется бесконечно-мерный супермультиплет Vmn, содержащий лагранжиан шестимерной суперсимметричной три-браны среди своих компонент: £ = Уп. Наложение подходящих условий приводит к тому, что Vn выражается через младшие компоненты Voi и Ум, тем самым, все компоненты могут быть выражены через них:

92(m+n-2) . .

Vmn = НХ-^С + 4(1 - шп)УХ).

Как уже говорилось выше, одномерные модели обладают более широкими свойствами. Поэтому помимо того, что лагранжиан является одной из компонент супермульти-плета, в одном ери и обнаружен интересный факт, связанный с тем, что имеется универсальное суперсимметричное действие, которое не имеет бозонного предела, однако из него можно получить действия, бозонные пределы которых описывают свободные суперсиммстричные релятивистские частицы!

Универсальное действие формулируется в терминах фермионпого N = 4 суперполя ¥

S = S[^,¥], г = 1,2, с компонентным составом (0,4,4). Это супсрполс не имеет бозонных физических компонент, что возможно только в одномерии! Суперполе Фг является голдстоуиовским фермионом и может быть выражено через голдстоуновский бозон. Однако в d = 1 эта взаимосвязь не единственна! Поэтому, выбирая различные варианты соотношения между голдстоуновскими фермионами и бозонами, из универсального действия можно получить действия частиц в пространстве различных измерений. Например, выражая голдстоуновский фермион через единственный голдстоуновский бозон = I DlX S = J dt(l - yjl -x2 + фермиопы^ , получим действие релятивистской частицы в d = 2, а если через триплет голдстоунов-ских бозонов - действие релятивистской частицы в d = 3 = i DjV(ij) S = Jdt(l - + фермионы^ .

Таким образом, нелинейные супермультиплеты находят очень широкое применение при построении суперсимметричных моделей. Это касается как, казалось бы, простых d = 1 моделей, с их проблемами "конформной плоскостности", с интересными аспектами спонтанного нарушения суперсимметрии, так и d > 1 моделей с альтернативными обобщениями линейной электродинамики.

Изучению, построению и анализу нелинейных супермультиплетов cN=4nN=8 суперсимметрией посвящена данная диссертация.

Диссертация содержит введение, три главы, заключение и список цитированной литературы.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Щербаков, Андрей Валерьевич

Заключение

Основной делыо проведенных в диссертации исследований было построение и изучение нелинейных супермультиплетов в применении к построению суперсимметричных сигма-моделей с четырьмя и восемью суперсимметриями и к моделям со спонтанно нарушенной суперсимметрией, когда четыре из них являются нарушенными, а другие четыре - явными.

Перечислим основные результаты, полученные в диссертации.

1. Построен нелинейный N = 4 d = 1 супермультиплет с компонентным составом (4,4,0) с законами преобразования, определенными вне массовой оболочки. Построено соответствующее ему суперсимметричное действие. Показано, что его сигма-модельное многообразие не является конформно плоским и при определенных условиях становится гиперкэлеровым.

2. Дано описание нелинейного, представления Лг = 4 d = 1 суперсимметрии в гармоническом суиерпростраистве и построено суперсимметричное действия на основе этого представления. Показано, что геометрия сигма-модельного многообразия является гииеркэлеровой геометрией типа Егучи-Хансона.

3. Построен лагранжев и гамильтонов формализм суперсимметричной механики с восемью суперзарядами, основанной па линейном и нелинейном киральном су-пермультинлете с двумя физическими бозонами. Изучены геометрии их сигма-модельных многообразий. Построены суперзаряды и найдена алгебра суперзарядов. Показано, что подходящая дуализация вспомогательных компонент приводит к гиперкэлеровым многообразиям.

4. Построен новый нелинейный N = 4 d = 3 векторный супермультиплет. Показано, что среди его компонент содержится тензор напряженности электромагнитного поля. Построено инвариантное суперсимметричное действие, которое описывает нелинейную d = 3 электродинамику с восемью суперзарядами. Найдено, что дуализация тождеств Бьянки приводит к гиперкэлеровому многообразию с одной изометрией.

5. Построено бесконечно-мерное матричное представление расширенной N = 2 d = 4 суперсимметрии спонтанно нарушенной до N = 1 d = 4. Показано, что лагранжиан суперсимметричной три-браны является одной из компонент этого ттредставления. Найдены явные выражения для всех компонент этого представления в терминах младшей компоненты.

G. Построено универсальное действие с N = 8 d = 1 суперсимметрией, спонтанно нарушенной до N = 4. Показано, что различный выбор связи между голдсто-уповскими бозонами и ферм ионами приводит к сунерсимметричным действиям свободной релятивистской частицы в D-мерном пространстве, D = 2,., 5.

Результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в статьях [93]-[104].

В заключении я хочу выразить свою признательность своим научным руководителям - Кривоиосу Сергею Олеговичу и безвременно ушедшему от нас Капустникову Александру Алексеевичу, Иванову Евгению Алексеевичу, Зуннику Борису Моисеевичу и Сутулину Антону за полезные и стимулирующие обсуждения, а также своей семье и друзьям за поддержку.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Щербаков, Андрей Валерьевич, 2007 год

1. Witten, "Dynamical Breaking Of Super symmetry", Nucl. Pliys. В 188 (1981) 513-534.

2. J. M. Maldacena, "The Large N Limit of Superconformal Field Theories and Superyravity", Adv. Theor. Math. Pliys. 2 (1998) 231-252.

3. S. S. Gubser, I. R. Klebanov, A. M. Polyakov, "Gauge Theory Correlators from Noncritical String Theory",Phys. Lett. В 428 (1998) 105-114.

4. E. Witten, "Anti-de Sitter Space and Holography", Adv. Theor. Math. Phys. 2 (1998) 253-291.

5. R. R. Metsaev, "Light-cone formulation of conformal field theory adapted to AdS/CFT correspondence", Phys. Lett. В 636 (2006) 227-233.

6. M. Грин, Дж. Шварц, Э. Виттен, Теория суперструн .т. 1, — М. Мир, 1990. —-518 с.

7. А. P. Isaev, Е. A. Ivanov, "Nonabelian N = 2 super strings", препринт IC-90-97, 1990, 27 е.,

8. A. P. Isaev, E. A. Ivanov, "Green-Schwarz Superstring As An Asymmetric Chiral Field Sigma Model", ТМФ 81 (1989) 420-433.

9. E. Ivanov, S. Krivonos, A. Pashnev, "Partial Supersymmetry Breaking in N = 4 Supersymmetrie Quantum Mechanics", Class. Quant. Grav. 8 (1991) 19; препринт JINR-E2-90-431, 1990, 24 с.

10. E. Donets, A. Pashnev, J. Rosales, M. Tsulaia, "Partial Supersymmet-ry Breaking in Multidimensional N = 4 SUSY QM", hep-th/0001194.

11. F. Delduc, E. Ivanov, S. Krivonos, "1/4 PBGS and Superparticle Actions", Сб. трудов: "New symmetries and integrable models", c. 131-142, Karpacz 1999.

12. G. W. Gibbons, G. Papadoponlos, K. S. Stelle, "HKT and OKT Geometries on Soliton Black Hole Moduli Spaces", Nucl. Phys. В 1997 (508) 623-658.

13. P. Claus, M. Derix, R. Kallosh, J. Kumar, P. Townsend, A. Van Proeyen, "Black Holes and Superconforrnal Mechanics", Phys. Rev. Lett. 81 (1998) 4553-4556.

14. A. Maloney, М. Spradlin, A. Strominger, "Superconformal МиШЫаск Hole Moduli Spaces in Four-Dimensions", JIIEP 0204 (2002) 003.

15. D. Bak, К. M. Lee, P. Yi, "Complete Supersymmetric Quantum Mechanics of Magnetic Monopoles in N = 4 SYM Theory", Pliys. Rev. D 02 (2000) 025009.

16. J. Michelson, A. Strominger, "Superconformal Multiblack Hole Quantum Mechanics", JHEP 9909 (1999) 005.

17. J. Michelson, A. Strominger, "The Geometry of (Super)Conformal Quantum Mechanics", Commun. Math. Pliys. 213 (2000) 1 17.

18. A. P. Isaev "Multiloop Feynman integrals and conformal quantum mechanics", Nucl. Phys. В 662 (2003) 461-475.

19. D.-E. Diaconescn, R. Entin, "A Nonrenormalization Theorem for the d = 1, N = 8 Vector Multiplet", Phys. Rev. D 56 (1997) 8045-8052.

20. E. Witten, "M Theory and Quantum Mechanics", Nucl. Phys. Proc. Suppl 62 (1998) 463-466.

21. R. R. Metsaev, "Eleven dimensional supergravity in light cone gauge", Phys. Rev. D 71 (085017) 2005. " "i

22. S. Hellerman, J. Polchinski, "Supersymmetric Quantum Mechanics from Light Cone Quantization", в сб.: The Many Faces of The Superworld (ed. M.A.Shifman), 142— 155.

23. A. Pashnev, F. Toppan, "On the Classification of N Extended Supersymmetric Quantum Mechanical Systems", J. Math. Phys. 42 (2001) 5257-5271.

24. S. J. Gates, Jr., L. Rana, "Ultramultiplets: a New Representation of Rigid 2 — d, N = 8 Supersymmetry", Phys. Lett. В 342 (1995) 132-137.

25. A. Van Proeyen, "Vector Multiplets in N = 2 Supersymmetry and its Associated Moduli Spaces", Trieste HEP Cosmology 1995: 256-295.

26. В. Акулов, А. Пашнев, "Квантовая суперконформная модель в пространстве (1,2)", ТМФ 56, №3 (1983) 344-349.

27. В. Акулов, А. Пашнев, "Суперсимметричная квантовая механика и спонтанное нарушение суперсимметрии на квантовом уровне", ТМФ 05, №1 (1985) 84-92.

28. А. Пашнев, "Одномерная суперсимметричная квантовая механика с N > 2", ТМФ 09, № 2 (1980) 311-315.

29. Е. Ivanov, S. Krivonos, V. Leviant, "Geometric Super-field Approach to Superconformal Mechanics", J. Phys. A. 22 (1989) 4201.

30. Е. Ivanov, S. Krivonos, V. Leviant, "Geometry of Conformal Mechanics", J. Phys. A. 22 (1989) 345-354.

31. M. de Crombrugghe, V. Rittenberg, "Supersymmetric Quantum Mechanics", Annals Phys. 151 (1983) 99.

32. S. Fubini, E. Rabinovici, "Superconformal Quantum MechanicsNucl. Phys. В 245 (1984) 17.

33. E. Ivanov, A. Sinilga, "Supersymmetric Gauge Quantum Mechanics: Superfield Description", Phys. Lett. В 257 (1991) 79-82.

34. P. Fayct, "Fermi-Bose HypersymmctryNucl. Phys. В 113 (197G) 135.

35. M. F. Sohnius, "Supersymmetry and Central Charges", Nucl. Phys. В 138 (1978) 109121.

36. E. Ivanov, S. Krivonos, 0. Lechtenfeld, "N = 4, d = 1 Supermultiplets from Nonlinear Realizations of D{2, l;a)", Class. Quant. Grav. 21 (2004) 1031-1050.

37. B. Zuinino, "Supersymmetry and Кahler Manifolds", Phys. Lett. В 87 (1979) 203-206. .

38. L. Alvarez-Gaume. D. Freedman, "Ricci-Flat К ahler Manifolds and Supersymmetry" < Phys. Lett. В 94 (1980) 171-173. I

39. J. Bagger, E. Witten, "Matter Couplings in 'N = 2'Svpergravity", Nucl: Phys. В 222 • (1983) 1-10. " " . ' ' '

40. R. A. Coles, G. Papadopoulos, "The Geometry of the One-Dimensional Supersymmetric Nonlinear Sigma Models", Class. Quant. Grav. 7 (1990) 427-438.

41. С. M. Hull, "The Geometry of Supersymmetric Quantum Mechanics", QMW-99-16, 1999, 35pp, hep-th/9910028.

42. G. Papadopoulos, "Conformal and Superconformal Mechanics", Class. Quant. Grav. 17 (2000) 3715-3741.

43. A. Van Proeyen, "Tools for Supersymmetry", Сб. трудов "Spring School on Quantum Field Theory: Supersymmetry and Superstrings", Калимаиссти, Румыния, 2430 аир. 1998, hep-th/9910030

44. В. de Wit, P. G. Lauwers, A. Van Proeyen, "Lagrangians of N = 2 Supergravity-Matter Systems", Nucl. Phys. В 255 (1985) 569-608.

45. В. de Wit, R. Philippe, A. Van Proeyen, "The Improved Tensor Multiplet In N = 2 Supergravity", Nucl. Phys. В 219 (1983) 143-166.

46. J. Bagger, A. Galperin, "Matter Couplings in Partially Broken Extended Supersymmetry", Phys. Lett. В 336 (1994) 25-31.46 47 [48 [49 [5051 52 [53 [54 [5556 57 [58 [59 [60

47. J. Bagger, A. Galperin, "Л New Goldstone Multiplet for Partially Broken Supersymrnetry", Phys. Rev. D 55 (1997) 1091.

48. J. Bagger, A. Galperin, "The Tensor Goldstone Multiplet for Partially Broken Supersymrnetry", Pliys. Lett. В 412 (1997) 296-300.

49. M. Rocek, A. A. Tseytlin, "Partial Breaking of Global D = 4 Super symmetry, Constrained Superfields, and Three-Brane Actions", Phys. Rev. D 59 (1999) 106001.

50. Весе, Дж. Беггер, Суперсимметрия и супергравитация, — М.: Мир, 1986. — 180 с.

51. В. И. Огиевецкий, Л. Мезинческу, "Симметрии между бозонами и ферм,ионами и суперполя", УФН 117, ЛЧ (1975) 637-683;

52. Mezincescu, V. I. Ogievetsky, "Action Principle in Superspace", препринт JINR-E2-8277, 1974, 8 с.

53. E. Ivanov, 0. Lechtenfeld, "N = 4 Supersymmetric Mechanics in Harmonic Superspace", hep-th/0307111.

54. V. P. Akulov, D. P. Sorokin, I. A. Bandos, "Particle Mechanics in Harmonic Superspace", .Modern Physics Letters A 3, № 17 (1988) ,1633-1645.

55. P. S. Howe, M. I. Leeming, "Harmonic Superspaces in Low Dimensions",' Class. Quant. Grav. 11 (1994) 2843'-2852. . . . ?

56. Л. Д. Ландау, E. M. Лифшиц, Теория поля, т. 2, М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. -536 с.

57. R. Britto-Pacumio, J. Michelson, A. Strominger, A. Volovich, "Lectures on Superconformal Quantum Mechanics and Multiblack Hole Moduli Spaces", in: "Cargese 1999, Progress in string theory and M-theory," p. 235-264.

58. S. Bellucci, E. Ivanov, S. Krivonos, O. Lechtenfeld, "ABC of N = 8 d = 1 Superrnultiplets", Nucl. Phys. В 699 (2004) 226-252.

59. E. Ivanov, S. Krivonos, O. Lechtenfeld, "Double Vector Multiplet and Partially Broken N = 4, d = 3 Supersymmetry", Phys. Lett. В 487 (2000) 192-200.

60. E. Ivanov, S. Krivonos, O. Lechtenfeld, B. Zupnik, "Partial Spontaneous Breaking of Two-Dimensional Supersymmetry", Nucl. Phys. В 600 (2001) 235-271.

61. V. Rittcnberg, E. Sokatchev "Decomposition of Extended Supcrfields into Irreducible Representations of Super symmetry", Nucl. Phys. В 193 (1981) 477-509.

62. M. Born, L. Infeld, "Foundations of the New Field Theory", Proc. Roy. Soc. Lond. A 144 (1934) 425-451.

63. JT. Мезинчсску, "О суперполевой формулировке 0(2) супер симметрии", препринт ОИЯИ Р2-12572, Дубна, 197962. см., например, Л. Райдер, Квантовая теория поля, — М.: Мир, 1987. — 512 с.

64. R. Grimm, М. Sohnius, J. \Vess, "Extended Supersymmetry and Gauge Theories", Nncl. Phys. В 133 (1978) 275.

65. E. Ivanov, "Diverse PBGS Patterns and Superbranes", в сб.: Karpacz 1999, New symmetries and integrable models, стр. 206-217.

66. J. Hughes, J. Polchinski, "Partially Broken Global Supersymmetry and the Superstring", Nncl. Phys. В 278 (1986) 147.

67. J. Hughes, J. Liu, J. Polchinski, "Supermembranes", Phys. Lett. В 180 (1986) 370.

68. П. Дирак, Лекции по квантовой механике, — М.: Мир, 1968. — 82 с.

69. A. Galperin, Е. Ivanov, S. Kalitzin, V. Ogievetsky, Е. Sokatchev, "Unconstrained N=2 Matter, Yang-Mills and Super-gravity Theories in Harmonic Superspace", Class. Quant. Grav. 1 (1984) 469-498.

70. A. Galperin,' E. Ivanov, V. Ogievetsky, E. Sokatchev, "Harmonic Superspace: Key to N = 2 Supersymmetry Theories", JETP Lett. 40 (1984) 912-916; Pisma Zh.Eksp.Teor.Fiz.40:155-l58,l984.

71. A. Galperin, E. Ivanov, V. Ogievetsky, E. Sokatchev, Harmonic Superspace, — Cambridge University Press, 2001. — 306 c.

72. A. Galperin, E. Ivanov, V. Ogievetsky, P. Townsend, "Eguchi-Hanson Type Metrics from Harmonic Superspace", Class. Quant. Grav. 3 (1986) 625.

73. V. P. Berezovoi, A. I. Pashnev, "Three-dimensional N=4 extended supersymmetrical quantum mechanics", препринт ХФТИ-91-21 (91/02), 1991.

74. S. Bellucci, S. Krivonos, A. Marrani, E. Orazi, "'Root' Action for N = 4 Supersymmetric Mechanics Theories", Phys. Rev. D 73 (2006) 025011.

75. F. Gonzalez-Rey, I. Y. Park, M. Rocek, "On Dual 3-Brane Actions with Partially Broken N = 2 Supersymmetry", Nucl. Phys. В 544 (1999) 243-264.

76. G. W. Gibbons, S. W. Hawking, "Gravitational Multi-Instantons", Phys. Lett. В 78 (1978) 430-432.

77. F. Delduc, E. Ivanov, "Gauging N = 4 Supersymmetric Mechanics", hep-th/0605211.

78. L. Brink, S. Deser, B. Zumino, P. Di Vecchia, P. S. Howe, "Local Supersymmetry for Spinning Particles", Phys. Lett. В 64 (1976) 435.7879 808186 878889 90 [9192

79. В. Д. Гершун, В. II. Ткач, "Описиние частиц со спином на основе локальной суперсимметрии", в сб.: Теоретико-групповые методы в физике. Т.2, — М.: Паука, 1980. 217-220 с.

80. S. Bellucci, Е. Ivanov, S. Krivonos, О. Lechtenfeld, "N = 8 Superconformal Mechanics", Nucl. Phys. В 684 (2004) 321-350.

81. A. Pashnev, D. Sorokin, "On n = 4 Superfield Description of Relativistic Spinning Particle Mechanics", Phys. Lett. В 253 (1991) 301-305.

82. D. S. Freed, "Special Kahler Manifolds", Commun. Math. Phys. 203 (1999) 31-52.

83. N. J. Hitchin, A. Karlhede, U. Lindstrom, M. Rocek, "Hyperkahler Metrics and Supersymmetry", Commun. Math. Phys. 108 (1987) 535-589.

84. U. Lindstrom, M. Rocek, "Scalar Tensor Duality and N = 1, N = 2 Nonlinear Sigma Models", Nucl. Phys. В 222 (285) 1983.

85. B. Zupnik, "Harmonic Superpotentials and Symmetries in Gauge theories with Eight Supercharges", Nucl. Phys. В 554 (1999) 365-390, erratum-ibid.B644:405-406, 2002.

86. A. Karlhede, U. Lindstrom, M. Rocek, "Selfinteracting Tensor Multiplets In N = 2 Super space" Phys. Lett. В 147 (1984) 297-300. • U. Lindstrom, M. Rocek, "New Hyperkahler Metrics and New Supermultiplets7', Commun. Math. Phys. 115 (1988) 21.

87. S. J. Gates, Jr., "Superspace Formulation of New Nonlinear Sigma Models", Nucl. Phys. В 238 (1984) 349-366.

88. N. Seiberg, E. Witten, "Monopoles, Duality and Chiral Symmetry Breaking in N = 2 Supersymmetric QCD", Nucl. Phys. В 431 (1994) 484-550.

89. N. Seiberg, E. Witten, "Electric-Magnetic Duality, Monopole Condensation, and Confinement in N = 2 Supersymmetric Yang-Mills Theory", Nucl. Phys. В 426 (1994) 19-52; erratum-ibid. ,B430:485-486,1994.

90. T. L. Curtright, D. Z. Freedman, "Nonlinear a-models with Extended Supersymmetry in Four Dimensions", Phys. Lett. В 176 (1986) 71-74.

91. S. Bellucci, A. Beylin, S. Krivonos, A. Nersessian, E. Orazi, "N = 4 Supersymmetric Mechanics with Nonlinear Chiral Supermultiplet", Phys. Lett. В 616 (2005) 228-232.

92. Т. Eguchi, A. Hanson, "Self-Dual Solutions to Euclidean Gravity", Annals Phys. 120 (1979) 82-106.

93. A. Kapustnikov, A. Shcherbakov, "Linear and Nonlinear Realizations of Superbranes", Nucl.Phys.Proc.Suppl. 102: 42-49, 2001.

94. A. Kapustnikov, A. Shcherbakov, "Matrix Supermultiplet of N = 2 D = 4 Supersymmetry and Supersymmetric 3-brane", Phys. Lett. В 552 (2003) 273-279.

95. S. Bellucci, S. Krivonos, A. Nersessian, A. Shcherbakov "2k-Dimensional N = 8 Super-syrnmetric Quantum Mechanics", Proceedings of the "XI International Conference on Symmetry Methods in Physics", Prague, Czech Republic, 2001, hep-th/0410073.

96. S. Bellucci, S. Krivonos, A. Shcherbakov, "Two-dimensional N = 8 Supersymmetric Mechanics in Superspace", Phys. Lett. В 612 (2005) 283- 292.

97. S. Bellucci, A. Beylin, S. Krivonos, A. Shcherbakov, "N = 8 Nonlinear Supersymmetric Mechanics", Phys. Lett. В 633 (2006) 382-388.

98. С. Burdik, S. Krivonos, A. Shcherbakov, "N = 4 Supersymmetric Eguchi-Hanson Sigma Model in d = 1", Czechoslovak Journal of Physics, v. 55, № 11, 2005, pp. 1357-1364.

99. S. Krivonos, A. Shcherbakov, "N = 4, d = 1 Tensor Multiplet and Ilyper-Kahler a-models", Phys. Lett. B637 (2006) 119-122.

100. S. Bellucci, S. Krivonos, A. Shcherbakov, "Hyper-Kahler Geometry and Dualization", Phys. Rev. D 73 (2006) 085014.

101. S. Bellucci, S. Krivonos, A. Shcherbakov, "Universal Superfield Action for N = 8 —> N — 4 Partial Breaking of Global Supersymmetry in D=l", принято к печати в Phys. Lett. В (2006) , hep-th/0604215.

102. S. Bellucci, S. Krivonos, A. Shcherbakov, "N = 4 d = 3 Nonlinear Electrodynamics", препринт LNF-06-15-P, hep-th/0606052.

103. С. Кривонос, А. Щербаков, "Гипер-кэлеровы многообразия и нелинейные супер-мультиплеты", Письма в ЭЧАЯ. 2007. Т.4, №1(137). С.91-98.