Нелинейные математические модели теплопроводности и разностные схемы для анализа и синтеза распределенных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Хлопин, Сергей Владимирович

• Хлопин, Сергей Владимирович
• кандидат технических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат технических наук Хлопин, Сергей Владимирович

ВВЕДЕНИЕ

1. Обзор исследований по проблемам теплопроводности и постановки

• задач исследования

1.1 Обзор и анализ нелинейных математических моделей теплопроводности

1.2. Постановки задач исследования моделей теплопроводности

1.3. Выводы

2. Обобщенные задачи теплопроводности и разностные схемы

2.1. Обобщенные математические модели и задачи теплопроводности щ для многослойных объектов

2.2. Кусочно-линейные и кусочно-квадратичные операторы и их свойства

2.3. Явные разностные схемы для одномерных кусочно-линейных уравнений теплопроводности

2.4. Частично-неявные разностные схемы для одномерных кусочно

9 линейных уравнений теплопроводности

2.5. Явные разностные схемы для двумерных кусочно-квадратичных и кусочно-линейных уравнений теплопроводности

2.6. Частично-неявные разностные схемы для двумерных кусочно-квадратичных уравнений теплопроводности

2.7. Моделирование тепловых процессов в сверхпроводящих элементах линий электропередач

• 2.8. Выводы

3. Анализ сходимости и исследование устойчивости разностных кусочно® линейных схем для обобщенных уравнений теплопроводности

3.1 Сходимость и устойчивость кусочно-линейных разностных схем

3.2. Устойчивость разностных схем по правой части

3.3. Методика анализа устойчивости разностных схем для нелинейных уравнений теплопроводности

3.4. Достаточные условия устойчивости частично-неявных разностных схем

3.5. Выводы

4. Синтез управлений для распределенных объектов и систем

4.1. Обзор методов и постановки задач синтеза

4.2. Синтез локально-оптимальных стабилизирующих управлений

4.3 Синтез управлений для теплопроводящих объектов

4.4. Выводы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейные математические модели теплопроводности и разностные схемы для анализа и синтеза распределенных систем»

Актуальность работы. Фундаментальные исследования в области математических, физических и технических наук требуют непрерывного совершенствования и разработки новых математических моделей для практической реализации сложных технических объектов. Фундаментальные результаты в области моделирования и исследования процессов распространения тепла получены в работах академиков РАН А.Н. Тихонова, А.А. Самарского, С.К. Годунова, Г.И Марчука, А.И. Леонтьева, А.Е. Шейндлина, О.Н. Фаворского, В.Е. Фортова и др., а также ведущих ученых Э.М. Карташева, Г.М. Кондратьева, В.А. Кудинова, А.В.Лыкова, С.Г. Михлина, Ю.Г. Назмеева, B.C. Рябенького и др.

Для объектов с тепловой природой процессов целесообразна модернизация и обобщение моделей теплопроводности, расширяющих границы их применения. При этом целесообразно обобщать модели на основе преобразования координат уравнений теплопроводности операторами, позволяющими учесть изменения тепловых свойств многослойных объектов в условиях идеального контакта.

В данной диссертационной работе разработан комплекс математических моделей многослойной теплопроводности в рамках применения кусочно-квадратичных (локально-сглаженных) и кусочно-линейных преобразований переменных, включая преобразование температуры и ее производных. Использование аппроксимирующих кусочно-линейных операторов позволяет разработать обобщенные разностные схемы распределенных многослойных систем. На основе описанных моделей в работе формулируются модифицированные методы моделирования, анализа и синтеза систем многослойной теплопроводности на основе явных и частично-неявных разностных схем.

Применение обобщенных моделей и разностных схем на этапах анализа и синтеза позволит расширить классы проектируемых объектов на основе методов математического моделирования. Поэтому модификация, обобщение моделей теплопроводности и разработка разностных схем для многослойных распределенных систем являются актуальными.

Цели и задачи работы. Цель работы состоит в обобщении и модификации моделей теплопроводности для анализа и синтеза систем управления тепловыми процессами на основе явных и частично-неявных разностных схем. В соответствии с целью работы необходимо сформулировать и решить ряд основных подзадач.

Методы исследования. В работе использовались методы математической физики, теории теплопроводности, теории управления распределенными процессами. Расчётные исследования выполнены с помощью метода сеток и программных сред: MathCAD, Mathematica, Microsoft Visual studio 6.0, Origin 7.0.

Научная новизна полученных в работе результатов состоит в следующем:

1. Разработаны обобщенные уравнения теплопроводности на основе преобразования переменных, учитывающие многослойную структуру объектов, а также явные и частично-неявные разностные схемы в условиях идеального контакта слоев.

2. Сформулированы условия устойчивости разработанных разностных схем на основе условий сжатия для операторов на временных слоях.

3. Выполнен комплекс исследований по математическому моделированию тепловых процессов в многослойных объектах с помощью разностных схем.

4. Предложена методика синтеза программных управлений на основе методов целевых неравенств и оптимизации для многослойных объектов теплопроводности.

Достоверность результатов, выводов и рекомендаций определяется корректным использованием математического аппарата, современных численных методов (сеточных методов), сравнительным анализом результатов, полученных в диссертационной работе и вычислительными экспериментами.

Практическая ценность. Результаты работы могут найти применение в процессе моделирования и расчета теплового состояния многослойных одномерных и двумерных объектов, а также при адаптации разработанных разностных схем для других классов задач.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Обобщенные математические модели теплопроводности для многослойных сред с идеальным контактом слоев на основе применение кусочно-квадратичных и кусочно-линейных преобразований переменных.

2. Методика формулировки явных и частично-неявных разностных схем для одномерных и двумерных обобщенных уравнений теплопроводности и условия их устойчивости.

3. Методика синтеза программных управлений на основе целевых неравенств и оптимизации для распределенных систем.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были представлены: на VII всероссийской конференции по проблемам науки и высшей школы «Фундаментальные исследования в технических университетах»; на X международной научно-методической конференции «Высокие интеллектуальные технологии образования и науки»; на VIII всероссийской конференции по проблемам науки и высшей школы «Фундаментальные исследования в технических университетах»; на XII международной научно-методической конференции «Высокие интеллектуальные технологии и генерация знаний в образования и науки»; на научно-техническом совещании «Современные наукоемкие технологии в промышленности России: Высокопроизводительные вычисления и CALS-технологии» (Уфа 2004г.); на научных семинарах кафедры «Системный анализ и управление» (2002-2005 гг.);

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы из 137 наименований. Работа содержит 135 стр., включая 25 рис. и 10 табл.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Хлопин, Сергей Владимирович

4.4. Выводы

1. Разработаны модифицированные модели синтеза, основанные на * сведении алгебраической задачи синтеза необходимых тепловых воздействий для обеспечения целевых условий типа равенств, неравенств и также для целевых условий интервального класса, а также на основе целевых неравенств.

2. Предложенные методики синтеза могут быть использованы для синтеза систем стабилизации на основе предложенных процедур программного синтеза.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. В работе предложены обобщенные математические модели нестационарной теплопроводности на основе нелинейных преобразований искомых функций (температуры) классических моделей теплопроводности, которые охватывают широкий класс прикладных задач. На основе обобщения выявлены эквивалентные формулировки задач теплопроводности, допускающие формулировки частично-неявных разностных схем.

2. Для обобщенных математических моделей нестационарной теплопроводности сформулирован комплекс явных и частично-неявных разностных схем для одномерной и двумерной задач теплопроводности, представленных в аналитической форме. Частично-неявные разностные схемы сформулированы на основе разностной аппроксимации дифференциальных операторов уравнений теплопроводности, обращения кусочно-линейных или кусочно-квадратичных операторов. Разработанные явные и частично-неявные разностные схемы качественно исследованы, для них сформулированы достаточные условия их устойчивости на основе введения «операторов на временных слоях» и условий их сжатия. Получены оценки на величины шагов по временному и координатным переменным для частично-неявных схем, позволяющих выполнить моделирование тепловых процессов с увеличенными шагами при сохранении устойчивости.

3. Разработаны математические модели синтеза программных тепловых воздействий на объекты, основанные на сведении задачи синтеза заданного теплового распределения по времени и пространству с помощью разработанных разностных схем. При синтезе использованы целевые условия типа неравенств и условия экстремального типа, допускающие их применение для широкого класса задач моделирования тепловых процессов. В результате задачи синтеза сведены к задачам математического программирования - решения систем линейных алгебраических неравенств, приближенного решения задач минимизации модульных или квадратичных функционалов на допустимых множествах, которые аппроксимированы пересечениями линейного многообразия и шара.

4. Проведены вычислительные эксперименты, подтверждающие основные теоретические положения, работоспособность и качественные свойства разностных схем явного и частично-неявного типов при исследовании нестационарных тепловых процессов в многослойных элементах энергетических систем для передачи энергии на основе явления сверхпроводимости, а также сопоставлением результатов моделирования с результатами, полученными методами конечных элементов.

5. Определены области применения разработанных математических моделей, разностных схем и методов синтеза для применения в широком классе задач управления тепловыми процессами.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Хлопин, Сергей Владимирович, 2006 год

1. Аббасов Г.М. Исследование устойчивости возмущенной задачи вытеснения одной жидкости другой в подвижных разножидкостных областях // Сб. «Средства математического моделирования».- СПб.: Изд. СПбГТУ, 2001.- с. 64.

2. Алексидзе М.А. Решение граничных задач методом разложения по неортогональным функциям.- Наука, Физматлит, 1978.-351 с.

3. Араманович И.Г., Гуттер Р.С., Люстерник Л.А., Раухваргер И.Л., Сканави М.И., Янпольский А.Р. Математический анализ дифференцирование и интегрирование. М.: Государственное издательство физико-математической литературы. 1961г. 352с.

4. Аминов Г.И., Магомедов К.А., Хамидов А.И. Термоэлектрический комплекс для трансфузиологии // Приборостроение 2000. т.43, №5. с.32-36.

5. Анатычук Л.И. Термоэлементы и термоэлектрические устройства. Справочник.-Киев, 1979.

6. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции.- М.: Наука, 1974.- 431 с.

7. Афанасьева В.И., Зимина О.В., Кириллов А.И. и др. Высшая математика. Специальные разделы.- М.: Физматлит, 2001.- 397 с.

8. Ахатов И.Ш., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Нелокальные симметрии. Эвристический подход / В кн. Современные проблемы математики, т. 34. Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР.- М.: 1989, с. 3-83.

9. Бабичев А.В., Бутковский А.Г., Сеппо Похьолайнен. К единой геометрической теории управления.- М.: Наука, 2001.-352 с.

10. Бакельман И.Я. Геометрические методы решения эллиптических уравнений.- М.: Наука, 1965.-340 с.

11. Бакулин В.Н., Образцов И.Ф., Потопахин В.А. Динамические задачи нелинейной теории многослойных оболочек. Действие интенсивных термосиловых нагрузок, концентрированных потоков энергии.- М.: Наука, 1998.- 463 с.

12. Барилович В. А., Смирнов Ю.А. Основы термогазодинамики двухфазных потоков и их численное моделирование.- СПб.: Изд. «Нестор», 2001.- 294 с.

13. Барилович В. А., Смирнов Ю.А. Основы технической термодинамики и теории тепло- и массообмена.- СПб.: Изд. «Нестор», 2001.-402 с.

14. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г;М. Численные методы.-М.: Лаборатория Базовых знаний, 2001.-632 с.

15. Беккер Р., Теория теплоты. Пер с нем. М.: Энергия 1974г. 504 с.

16. Белоцерковский О.М. Математическое моделирование на суперкомпьютерах // в кн. «Новое в численном моделировании. Алгоритмы, вычислительные эксперименты, результаты».- М.:1. Наука, 2000.- 247 с.

17. Белоцерковский О.М., Гущин В. А., Коньшин В.Н. Метод расщепления для исследования течений стратифицированной жидкости со свободной поверхностью // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1987, т.27, № 4, с. 594-609.

18. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М., Демьянов А.Ю. Взаимодействие мод возмущений при неустойчивости Рэлея-Тейлора // Докл. АН СССР. 1986. т. 288. с. 1071.

19. Бернштейн С.Н. Собрание сочинений, т. III (уравнения в частных производных), Изд. АН СССР, 1960.

20. Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики.- М.: Наука, Физматлит, 1977.-224 с.

21. Блихер А. Физика силовых биполярных и полевых транзисторов. Пер. с англ. под ред. И.В. Грехова Д.: Энергоатомиздат, 1986. -248 с.

22. Богомолов Д.Ю. Применение численных методов к решению задач течения рабочей среды в соединениях с учетом трехмерной топографии поверхности. Автореф. дисс. на соискание ученой степени канд. техн. наук. М.: 2002.- 19 с.

23. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами.- М.: Наука, 1965.

24. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных.- М.: изд. иностр. литер., 1963.-487 с.

25. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике.-М.: Наука, Физматлит, 1979.-320 с.

26. Владимиров B.C., Жаринов В.В. Уравнения математической физики.- М.: Физматлит, 2000.- 399 с.

27. Власова Е.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики.- М.: Изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.699 с.

28. Воднев В.Т., Наумович А.Ф., Наумович Н.Ф. Математический словарь высшей школы. М. Издательство МПИ, 1988г. 527с.

29. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. М.: Наука, 1967г. 416с.

30. Гавурин М.К. Лекции по методам вычислений, М.: Наука. 1971г. — 248с.

31. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. М.: Наука, 1973.

32. Годунов С. К., Рябенький В. С. Введение в теорию разностных схем. М.: Физматгиз, 1962г.

33. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1973г.

34. Гусев В.Г. Физические методы и технические средства для лечебных воздействий.- Уфа, изд. Уфимского гос. авиац. техн. унта, 2001.-126 с.

35. Гущин В.А., Лихачев А.П., Нечипоренко Н.Г., Павлюкова Е.Р. Применение гибридной аппроксимации в газодинамических приложениях // Сб. «Новое в численном моделировании. Алгоритмы, вычислительные эксперименты, результаты»,- М.: Наука, 2000.-с. 165-177.

36. Дегтярев Г. Л. Об оптимальном управлении процессами тепло- и массопереноса. Труды КАИ, вып. 97, 1968.

37. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. М.: Наука, - 1967г. - 368с.

38. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами.- М.: Наука, 1978.- 463 с.

39. Зино И.Е., Троп Э.А. Асимптотические методы в задачах теории теплопроводности и термоупругости.- Л.: изд. ЛГУ, 1978.

40. Калиткин Н.Н. Численные методы. Москва: Наука, 1978 г. 512с.

41. Карташев Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел.-М.: Высшая школа, 2001.-550 с.

42. Карташев Э.М. Аналитические методы решения краевых задач нестационарной теплопроводности в области с движущимися границами (обзор).- Инженерно-физический журнал, 2000, т.74, № 2, с. 1 24.

43. Карташев Э.М. Аналитические методы решения смешанных граничных задач теории теплопроводности (обзор). Изв. АН СССР, Энергетика и транспорт, 1986, № 6, с. 116 129.

44. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение: пер. с англ. М.: Мир, 2001г. 575с.

45. Ковалев О.Ф. Численно-экспериментальные методы моделирования магнитных и температурных полей в электромагнитных устройствах.- Автореферат диссертации на соискание ученой степени д.т.н.- Новочеркасск: Южн.- росс. гос. техн. ун-т, 2001.

46. Коздоба Л.А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности.- М.: 1975.

47. Козлов В.Н. Метод нелинейных операторов в автоматизированном проектировании динамических систем- Л.: Изд-во ЛГУ им. А.А.Жданова, 1986. 166 с.

48. Козлов В.Н., Куприянов В.Е., Заборовский B.C. Вычислительные методы синтеза систем автоматического управления Л.: Изд. ЛГУ им. А.А. Жданова, 1989.-232 с.

49. Козлов В.Н., Куприянов В.Е., Шашихин В.Н. Вычислительная математика и теория управления СПб, изд. СПбГТУ.- 1996- 170 с

50. Козлов В.Н., Магомедов К.А. Аддитивные кусочно-линейные разностные схемы для анализа электрических цепей // Известия

51. РАН «Энергетика», 2002, № 4. с.83 92.

52. Козлов В.Н., Магомедов К.А. Негладкие операторы и распределенные системы. Модели теплопроводности. СПб.: изд. СП6ГПУ,2003.- 196 с.

53. Козлов В.Н., Магомедов К.А. Негладкие операторы и электрические цепи, СПб.: изд. СПбГПУ.- 2003.-103 с.

54. Козлов В.Н., Магомедов К.А. Разностные схемы на основе принципа аддитивности для кусочно линейных систем// Сб. «Фундаментальные исследования в технических университетах».-СПб.: изд. СПбГТУ, 2001, с. 46-49.

55. Козлов В.Н., Магомедов К.А. Синтез управлений частотой и активной мощностью энергообъединений с учетом тепловых процессов // Известия РАН «Энергетика», 2003, № 2.- с. 158 169.

56. Козлов В.Н., Магомедов К.А., Кусочно-линейные задачи теплопроводности и разностные схемы.- Труды СПбГПУ «Высокие интеллектуальные технологии образования и науки», СПб.: изд. СПбГПУ,-2003.-е. 359-361.

57. Колешко С.Б. Попов Ф.Д. Механика жидкости и газа. Разностные схемы.: Учеб. Пособие. СПб.: Издательство СПбГТУ, 2001. 74с.

58. Кондратьев Г.М. Регулярный тепловой режим. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1954г. 408с.

59. Кораблев В.А., Тахистов Ф.Ю., Шарков А.В. Прикладная физика. Термоэлектрические модули и устройства на их основе. СПб.: изд. СПбГИТМО (ТУ), 2003.- 39 с.

60. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высшая школа, 1970г. -712с.

61. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырный П. И. Вычислительные методы.- Т. 1,2, М.: Наука, 1977,1978.

62. Кудинов В.А., Карташев Э.М. Техническая термодинамика, М.: Высшая школа.-2000.- 261 с.

63. Кулик JI.M., Шаповалов Г.Е. Неустановившаяся теплопередача через многослойную плоскую пластину. Известия АН СССР, серия «Энергетика и автоматика», 1971, № 2, с. 72 77.

64. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений.-М.: Физматлит, 2001.-608 с.

65. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные дифференциальные уравнения в частных производных.- М.: Наука, 1964.

66. Ландис Е.М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. М.: Физматлит, 1971.-287 с.

67. Лаптинский В.Н. К задаче представления решений нелинейных дифференциальных систем // Сб. «Средства математического моделирования».- СПб.: Изд. СПбГТУ, 2001.- с.98.

68. Латтес Р., Лионе Ж-Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.: «Мир», 1970. -336 с.

69. Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Физматлит, 2000г. 296с.

70. Леонтьев А.И. Теория тепломассопереноса.- М., 1997.

71. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями в частных производи ых, М.: Мир, 1972.

72. Лионе Ж.-Л. Управление нелинейными распределенными системами, М.: М ир, 2002.

73. Лурье К. А. Оптимальное управление в задачах математической физики. Наука, 1975.

74. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: 1967.

75. Лыков А.В. Тепломассообмен (справочник) 2-е изд. перераб. и дополн. М.: Энергия, 1978 г. - 480 с.

76. Магомедов К.А., Козлов В.Н. Разностные задачи для кусочно-линейных уравнений теплопроводности // Известия Северокавказского научного центра РАН. Технические науки. 2003,- № 2.-е. 68-73.

77. Магомедов К.А., Козлов В.Н. Синтез систем термостабилизации энергетических объектов //Труды международной научно-практической конференции «Теоретические и практические проблемы развития электроэнергетики России».- СПб.: Изд. СПбГПУ, 2002.- с. 262 270.

78. Магомедов К.М., Холодов А.С. Сеточно-характеристические численные методы.- М.: Наука, 1988.

79. Мартыненко Н.А., Пустыльников Л.М. Конечные интегральные преобразования и их применение к исследованию систем с распределенными параметрами.- М.: Наука, 1986.- 303 с.

80. Марчук Г.И. Методы расщепления. М.: Наука, 1998г. 264 с.

81. Марчук Г.И., Агошков В.И., Шутяев В.П. Сопряженные уравнения и методы возмущений в нелинейных задачах математической физики.- М.: Физматлит, 1993.-224 с.

82. Математическая физика. Энциклопедия / Гл. ред. Л.Д. Фаддеев.- М.: Большая Российская энциклопедия, 1998.- 691 с.

83. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике.- М.: Наука, 1970.-512 с.

84. Михлин С.Г., Смолицкий X.JI. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука, 1965г. -384с.

85. Назмеев Ю.Г. Теплообмен при ламинарном течении жидкости в дискретно-шероховатых каналах.- М.: Энергоатомиздат, 1998.- 372 с.

86. Несис Е.И. Методы математической физики. М.: Просвещение, 1977г.-199с.

87. Новиков И.И., Воскресенский К.И. Прикладная термодинамика и теплопередача. Изд. 2-е. М.: Атомиздат, 1977г. 352с.

88. Новое в численном моделировании: алгоритмы, вычислительные эксперименты, результаты.- М.: Наука, 2000.-247 с.

89. Олейник О.А. Краевые задачи для линейных уравнений эллиптического и параболического типа с разрывными коэффициентами. Изв. АН СССР, сер. матем., 25, 1961.

90. Остапенко В.В. О сильной монотонности нелинейных разностных схем.- «Журнал вычислительной математики и математической физики», 38, № 7,1170-1185.

91. Охотин А.С., Пушкарский А.С., Горбачев В.В. Теплофизические свойства полупроводников.- М., Атомиздат.-1972.

92. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1952г. 232с.

93. Петухов Л.В., Троицкий В.А. Вариационные задачи оптимизации для уравнений гиперболического типа, ПММ, т. 36, № 4, 1972.

94. Пикулин В.П., Похожаев С.И. Практический курс по уравнениям математической физики.- М.: Наука, 1995.- 224 с.

95. Полежаев Ю.В., Юркевич Б.В. Тепловая защита.- М., 1976.

96. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики.- М.: Физматлит, 2001.-576 с.

97. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: точные решения.- М.: Физматлит, 2002.432 с.

98. Рапопорт Э. Я. Оптимизация процессов индукционного нагрева металла.- М.: Металлургия, 1993.-279 с.

99. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике: пер. с англ.- М.: Мир.-590 с.

100. Русак В.Н. Математическая физика.- Минск: Изд. «Дизайн про», 1998.- 207 с.101102103104105106107108109110111112113114115116117118119120

101. Рябенький B.C. Введение в вычислительную математику.- М.: Физматлит, 2000.- 296 с.

102. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем.- М.: Наука, 1971.- 552 с.

103. Самарский А.А. Теория разностных схем. 3-е изд. Испр. М.: Наука, 1989 г.-616 с.

104. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы дляэллиптических уравнений.- М.: Наука, 1976.-352 с.

105. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Аддитивные схемы для задачматематической физики. М.: Наука, 1999. - 319 с.

106. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. —

107. М.: Едиториал УРСС, 2003 г. 784с.

108. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем.- М.: Наука, 1973.-415 с.

109. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование.-М.: Физматлит, 2002.- 320 с.

110. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточныхуравнений.- М.: Наука, Физматлит, 1977.-590 с.

111. Сапожников С.З., Китанин Э.Л. Техническая термодинамика итеплопередача.- СПб.: Изд. СП6ГТУ,2001.-319 с.

112. Саульев В.К. Интегрирование уравнений параболического типаметодом сеток.- М.: ГИФМЛ, 1960.-324 с.

113. Сиразетдинов Т.К. Устойчивость систем с распределенными параметрами.-Новосибирск: Наука, 1987.-231 с. Смольников Л.П. Бычков Ю.А., Гудкова Н.В. Расчет систем управления-Л.: 1981.-111 с.

114. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач: пер. с англ.- М.: Мир, 1980.- 352 с.

115. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука. — 1990г. 232с.

116. Тихонов А.Н., Леонов А.С., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. М.: Наука, 1995г. 312с.

117. Толстых А.И. Схемы заданного порядка, основанные на линейных комбинациях операторов компактного численного дифференцирования //Сб. Новое в численном моделировании. Алгоритмы, вычислительные эксперименты, результаты.- М.: Наука, 2000.-с. 100-120.

118. Фурсиков А.В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения.- Новосибирск, Научная книга,1999.-352 с.

119. Хесс П. Периодическо параболические граничные задачи и « положительность: Пер. с англ.- М.: Мир, 2001.-176 с.

120. Хёрмандер JI. К теории общих дифференциальных операторов в частных производных. М.: Издательство иностранной литературы.• 1959г.-132с.

121. Холодов А.С. Монотонные разностные схемы на нерегулярных сетках для эллиптических уравнений в области со многими несвязными границами. Журнал «Математическое моделирование». 1991, т. 3, № 9. с. 104-113.

122. Холодов А.С. О построении разностных схем с положительной аппроксимацией для уравнений параболического типа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1978. т.24, № 9. с. 1646-1358.

123. Алгоритмы и вычислительные методы / пер. с англ. — М.: Энергия, 1980.

124. Ши. Д. Численные методы в задачах теплообмена. Пер. с англ. М.: Мир,- 1988г. 544с.

125. Гельфонд О.А. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1978г.

126. Козлов В.Н., Магомедов К.А. Управление энергетическими системами. Часть 3: модели теплопроводности. СПб.: Изд-во Политехнического университета, 2006. 196 с.

127. Основные публикации по материалам диссертационной работы:

128. Козлов В.Н., Магомедов К.А., Хлопин С.В. Негладкие операторы и их применение // Известия ВУЗов. Северо-кавказский регион. Серия «Технические науки», специальный выпуск, 2004. с. 82-84.