Численный метод решения уравнений магнитной газодинамики с учетом теплопроводности и диффузии магнитного поля в произвольной подвижной системе координат тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Диянков, Олег Владимирович

• Диянков, Олег Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Диянков, Олег Владимирович

Оглавление

Введение

1 Математическая модель для описания двумерных маг-нитогазодинамических течений с учетом трех компонент векторных величин в произвольной подвижной системе координат

1.1 Основные уравнения 2-мерной МГД модели с учетом трех компонент векторных величин

1.2 Расщепление полученной двумерной

МГД системы уравнений по физическим процессам

1.3 Подвижная система координат

1.4 Граничные условия

2 Разностная ТУЮ схема для одномерных уравнений газовой динамики в лагранжевой системе координат

2.1 Анализ одномерных лагранжевых уравнений газовой динамики

2.2 Разностная схема типа ТУБ первого порядка аппроксимации

2.3 ТУБ схема второго порядка точности

2.4 Расчеты тестовых задач

2.5 Явная полностью консервативная схема с TVD вязкостью

для лагранжевых уравнений газовой динамики

2.6 Подавление энтропийного следа в лагранжевых одномерных TVD схемах

2.7 Выводы

3 Разностная TVD схема для двумерных гиперболических

систем уравнений в лагранжевой системе координат

3.1 TVD схема для двумерных лагранжевых уравнений газовой динамики

3.2 Оценка спектрального радиуса произвольной матрицы

3.3 Исследование устойчивости разностной схемы TVD для двумерных уравнений газовой динамики

3.4 Разностная схема типа TVD для консервативной лагранжевой МГД системы уравнений

3.5 Устойчивость разностной схемы TVD типа для многомерной гиперболической системы уравнений

3.6 Подвижная система координат

3.7 Численные примеры

4 Решение диффузионной системы уравнений

4.1 Разностная схема для численного решения одного квазилинейного уравнения теплопроводности

4.2 Аппроксимация и устойчивость разностной схемы

4.3 Разностная схема для диффузионной системы уравнений

4.4 Численные примеры

5 Численное моделирование газодинамических и магнито-газодинамических течений

5.1 Моделирование разлета пластины под воздействием лазерного излучения

5.2 Моделирование неустойчивостей

в Z-пинчe

Заключение

Благодарности

Приложение А.Вычисление коэффициентов для линейной системы уравнений в приграничных ячейках

Приложение Б. 1С С в метод для решения систем линейных уравнений

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численный метод решения уравнений магнитной газодинамики с учетом теплопроводности и диффузии магнитного поля в произвольной подвижной системе координат»

Введение.

Численное моделирование многомерных магнито-газодинамических течений высокотемпературной плазмы является актуальной задачей современной вычислительной математики. Оно необходимо при изучении различных кумулирующих систем: Z-пинчeй [1], взрыво-магнитных генераторов [2], физических установок типа " Токамак" [3].

Интерес к этой теме привел к появлению целого ряда методов моделирования одномерных и многомерных МГД течений: [4], [5], [6], [7],

И, М-

В первой из перечисленных работ ([4]) предложена одномерная неявная полностью консервативная разностная схема и численный метод для ее решения.

Вторая работа ([5]) описывает метод решения двумерных МГД уравнений в подвижных сетках с учетом одной компоненты вектора магнитного поля и двух компонент вектора скорости.

В третьей работе ([6]) предложена разностная схема для решения двумерных идеальных МГД уравнений (т.е. без учета теплопроводности и диффузии магнитного поля) в лагранжевой системе координат, полученная вариационным методом [10],[11],[12]. При этом рассматриваются все три компоненты векторов массовой скорости и магнитного поля.

В четвертой работе ([7]) предложен численный метод решения двумерных МГД уравнений с учетом теплопроводности и диффузии магнитного поля. Рассматриваются три компоненты массовой скорости и одна (</>-овая) или две (г-ая и г-ая) компоненты магнитного поля. Этот метод является эйлерово-лагранжевым, то есть одно семейство координатных линий является лагранжевым, а второе - эйлеровым. Данное обстоятельство и накладывает основные ограничения на класс течений, которые могут моделироваться этим методом.

В работе ([8]) предложен метод решения двумерных эйлеровых МГД уравнений с учетом теплопроводности и диффузии магнитного поля.

В работе ([9]) предложена ТУБ схема для решения трехмерных идеальных МГД уравнений в эйлеровой системе координат.

В данной работе предлагается подход, который, в некотором смысле, дополняет и объединяет перечисленные подходы к моделированию многомерных МГД течений, а именно: моделировать течения в произвольной подвижной системе координат.

Обсудим основные достоинства и недостатки перечисленных подходов.

Эйлеров подход. Методы, основанные на этом подходе, позволяют моделировать течения с большими деформациями, это их преимущество. Основной недостаток данных методов - сложности с описанием контактных разрывов, поэтому моделирование течений в реальных устройствах, имеющих достаточно сложную структуру, с использованием таких методов затруднено.

Лагранжев подход. Основное преимущество - простота описания

контактных разрывов. Серьезным недостатком являются значительные трудности, возникающие при попытках моделировать течения с большими деформациями. При моделировании таких течений возникают так называемые "перехлесты" сетки, что приводит к ручному вмешательству в счет, и, как следствие, результаты расчета зависят в значительной мере от искусства специалиста, проводящего расчет.

Эйлерово—лагранжев подход. Попытки преодолеть недостатки лагранжевых методик при сохранении их преимуществ привели к возникновению так называемых "эйлерово- лагранжевых" методов [7],[13],[14], в которых одно семейство координатных линий является лагранжевым, а второе - эйлеровым. При моделировании течений плазмы, в которых контактные границы движутся преимущественно в каком-либо направлении, эти методы очень хорошо себя зарекомендовали. В то же время, когда такого направления движения не существует, эти методы имеют ограниченное применение.

Методы, использующие произвольную подвижную систему координат. Впервые метод такого типа был применен для численного моделирования двумерных газодинамических течений [15]. За прошедшие 25 лет появилось много методов такого типа (например [16], [17],[18], и много других), и они хорошо себя зарекомендовали. В данной работе такой подход применен для решения системы уравнений МГД.

Полномасштабная (трехмерная с учетом теплопроводности и диффузии магнитного поля) система уравнений, описывающая МГД течения, не может быть решена с удовлетворительной точностью на доступных нам современных ЭВМ. Для ее численного решения необходимо использовать

современные суперкомпьютеры. Одномерное же моделирование, которое может производиться на современных персональных компьютерах, не дает ответа на многие вопросы, так как реальные течения практически всегда неодномерны. Следовательно, здесь необходим разумный компромисс между имеющимися потребностями моделирования МГД течений плазмы и доступными нам вычислительными возможностями. Таким компромиссом, по нашему мнению, является представленная в данной работе модель, в которой все величины зависят от двух пространственных переменных, а векторные величины (массовая скорость и магнитное поле) имеют три компоненты.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и двух приложений, в которых изложен вспомогательный материал.

Первая глава посвящена формулированию двумерной МГД модели с учетом трех компонент векторных величин, а также явлений теплопроводности и диффузии магнитного поля. За основу была взята модель, предложенная в работе [19] (ее однотемпературный вариант).

Она была записана в декартовой и цилиндрической системах координат, после этого мы отбросили зависимость от третьей переменной (ъ в плоском случае и с/? в цилиндрическом), а затем перешли к системе уравнений, зависящей от параметра г/, при V = О система совпадает с плоской, а при р = 1 - с цилиндрической. Полученные уравнения были записаны в произвольной подвижной системе координат.

Уравнения для х и у компонент магнитного поля были записаны в форме векторного потенциала: Вх = —х~и • Ву = х~и • Здесь А -г-компонента векторного потенциала.

Полученная система уравнений имеет достаточно сложный вид, и, так как она содержит диффузионные члены, то для ее решения нецелесообразно использовать какую-либо явную разностную схему. Если же использовать для численного решения столь сложной системы уравнений неявную схему, то затраты на решение получающихся систем линейных уравнений будут непомерно велики. Поэтому, был применен хорошо известный метод расщепления по физическим процессам.

Сначала была отщеплена система уравнений диффузионного типа. Эта система уравнений состоит из трех уравнений диффузионного типа: для энергии, г (или </?)■-компоненты поля и г (или 99)-компоненты векторного потенциала. Так как в эту систему уравнений не входят уравнения для координат и массовых скоростей, можно считать, что система координат неподвижна, таким образом, мы получаем обычные квазилинейные уравнения диффузионного типа в произвольной неподвижной системе координат.

Оставшаяся система уравнений представляет собой гиперболическую систему уравнений, описывающую идеальные МГД течения в произвольной подвижной системе координат.

В четвертом разделе первой главы рассматриваются граничные условия для полученных систем уравнений.

Во второй главе на примере одномерных уравнений газовой динамики проведено обобщение метода построения явных ТУБ схем, предложенного в [20], с эйлерового на лагранжев случай.

Эти методы хорошо зарекомендовали себя в последнее десятилетие, прежде всего благодаря тому, что получаемая вязкость является мини-

мальной и, следовательно, разрывы размазываются слабо (сильные разрывы, при применении ТУБ схем повышенного порядка точности, размазываются на 2-3 интервала).

Суть проблемы, возникающей при этом обобщении, состоит в том, что лагранжева система уравнений газовой динамики (а также магнитной газовой динамики), включающая в себя уравнения для координат, является нелинейной, поэтому применить технику вывода разностных схем, предложенную в [20], к этой системе уравнений напрямую весьма затруднительно.

Поэтому, для получения разностной схемы был применен следующий прием: получена замкнутая гиперболическая квазилинейная система уравнений, эквивалентная исходной системе, и для нее выведена разностная схема ТУБ типа. Затем уравнения для координат аппроксимировались таким образом, чтобы полученная ранее разностная схема была эквивалентна разностной схеме для исходной системы уравнений с выведенной аппроксимацией уравнений для координат.

В полученную таким образом разностную аппроксимацию уравнений для координат входят вязкие члены, что является особенностью, принципиально отличающей данную схему от других явных разностных схем для уравнений газовой динамики в лагранжевых координатах.

Было рассмотрено несколько вариантов разностных схем типа ТУБ: первого порядка, второго порядка, полностью консервативная ТУБ схема. На численных примерах показано качество получаемых решений. Рассмотрен вопрос подавления энтропийных следов в местах распада разрывов. Эти следы возникают в любой лагранжевой разностной схеме как

следствие ошибок аппроксимации энтропии. Данный вопрос изучался в работе [21]. В настоящей работе показано, что, применяя дополнительные вязкие члены (также предложенные в [20]), удается уменьшить эти следы на порядок, не теряя качества описания разрывов.

Третья глава посвящена выводу и обоснованию сходимости ТУБ схем первого порядка аппроксимации для двумерных уравнений газовой динамики и магнитной газовой динамики в лагранжевой системе координат. В основу обобщения одномерных ТУБ схем на двумерный случай положена простая идея, встречающаяся, например, в [22] ив [9]. Она заключается в следующем. Пусть имеется двумерная гиперболическая система уравнений:

дЬ дх ду

Тогда явную разностную ТУБ схему на прямоугольной сетке для нее можно записать в виде:

птп+1 _ ,,,П Т (т?п ттт А Т /р„ рп А

где ^+1/2 ^ и ^+1/2 - одномерные ТУБ потоки в соответствующих направлениях.

Так как в нашем случае подвижной лагранжевой системы координат исходная область отображается на прямоугольник, этот прием здесь применим. Единственная сложность заключается снова в подборе согласованной аппроксимации уравнений для координат.

Получение явной разностной схемы ТУБ типа для уравнений газовой

динамики в лагранжевой системе координат было целью первого раздела третьей главы.

Во втором разделе данной главы приведены некоторые оценки спектрального радиуса произвольной комплекснозначной матрицы. Для получения этих оценок были использованы экстремальные свойства собственных чисел матрицы, изучена соответствующая задача нахождения экстремума и в результате получены искомые оценки.

В третьем разделе, опираясь на результаты предыдущего раздела, с использованием метода Неймана проведено исследование устойчивости явной разностной ТУБ схемы для двумерных уравнений газовой динамики, полученной в первом разделе этой главы.

В четвертом разделе получена явная разностная схема типа ТУБ для двумерных лагранжевых МГД уравнений.

В пятом разделе методом Неймана проведено исследование устойчивости многомерных ТУБ схем для произвольных линейных систем гиперболических уравнений, полученное условие является очень сильным и может быть ослаблено для конкретных систем. Опираясь на результаты этого раздела, нами сделан вывод об устойчивости полученной в четвертом разделе разностной схемы ТУБ для системы уравнений магнитной акустики.

Шестой раздел посвящен получению разностных схем для двумерных систем уравнений газовой динамики и магнитной газовой динамики в произвольной подвижной системе координат. Эти схемы строятся следующим образом. Исходная система уравнений расщепляется на две. Первая система уравнений представляет из себя соответствующую систему

уравнений в лагранжевой системе координат, вторая система уравнений является квазилинейной системой уравнений переноса, скорость переноса равна разности скорости движения системы координат и массовой скорости вещества. Для решения первой системы уравнений применяется ТУБ схема, полученная в предыдущей главе, вторая система уравнений аппроксимируется разностной схемой типа донор-акцептор.

Скорость движения системы координат определяется так же, как в работе [15]. На каждом временном шаге по полученным в результате решения первой системы уравнений координатам выделенных лагранже-вых линий строится новая сетка. Скорость движения соответствующего координатного узла при этом равна просто разности его новых и старых координат, поделенной на шаг по времени.

Первый параграф раздела посвящен описанию применяемых алгоритмов построения сеток. Нами применяется три алгоритма: алгебраический, описанный в работе [23]; локальный; и алгоритм, описанный в работе [24].

Второй параграф посвящен описанию расщепления исходной системы уравнений и разностной схемы, примененной для решения полученной квазилинейной системы уравнений переноса.

В седьмом разделе полученный метод иллюстрируется тестовыми одномерными и двумерными расчетами.

Четвертая глава посвящена выводу и обоснованию сходимости разностной схемы для полученной в первой главе диффузионной системы уравнений. Как уже обсуждалось ранее, эта система уравнений состоит из трех слабо связанных между собой уравнений, каждое из кото-

рых является обычным двумерным уравнением диффузии, отличающимся только коэффициентом диффузии и коэффициентом при производной по времени. Для решения одного уравнения диффузии применяется схема, предложенная Кершоу в работе [25].

В первом разделе этой главы подробно рассматривается вывод разностной схемы для одного уравнения диффузии.

Второй раздел посвящен исследованию ее аппроксимации и устойчивости для случая постоянных коэффициентов.

Во третьем разделе обсуждаются вопросы, связанные с аппроксимацией полной системы трех уравнений.

В четвертом разделе рассматриваемой главы свойства разностной схемы иллюстрируются численными расчетами тестовых одномерных и двумерных задач.

Описанный в первых четырех главах данной работы численный метод реализован в программе MAG. Программа написана на языке С. Объем программы - около 50 тысяч предложений.

В пятой главе полученная численная методика иллюстрируется расчетами двух классов задач.

В первом разделе приводятся результаты моделирования взаимодействия лазерного излучения с веществом.

Во втором разделе приведены результаты моделирования развития возмущений при сжатии цилиндрического лайнера магнитным полем. Приводятся графики, иллюстрирующие динамику развития возмущений в лайнере.

В заключении полученные новые результаты обобщены. К ним

относятся следующие:

• Получена система уравнений магнитной газовой динамики в произвольной подвижной системе координат.

• ТУБ подход к построению монотонных разностных схем распространен с гиперболических квазилинейных систем уравнений в неподвижных (эйлеровых) координатах на нелинейные системы уравнений в лагранжевых координатах.

• Получена монотонная разностная схема для двумерных систем уравнений газовой динамики и магнитной газовой динамики в лагран-жевой системе координат на основе ТУБ подхода.

• Исследована устойчивость произвольной явной ТУБ схемы для многомерной линейной гиперболической системы уравнений, получено достаточное условие устойчивости для случая периодических граничных условий.

• На основе полученных схем для лагранжевых систем уравнений предложена схема для решения систем уравнений газовой динамики и магнитной газовой динамики в произвольной подвижной системе координат.

• На основе предложенной в [25] разностной схемы получена разностная схема для диффузионной системы уравнений, исследована аппроксимация и устойчивость полученной схемы.

• Полученный в данной работе метод решения системы уравнений магнитной газовой динамики с учетом теплопроводности и диффу-

зии магнитного поля применен для численного моделирования двух классов задач.

Основные положения диссертации опубликованы в 19 статьях и материалах конференций ([26]-[44]), и докладывались на Забабахинских научных чтениях (г.Кыштым, 1992г., г.Снежинск, 1995 г.), на 3 международной конференции по плотным 2-пинчам (Лондон, 1993 г.), на ХХШ-ХХУ конференциях по физике плазмы в г. Звенигороде (1996-1998 гг.), на конференции ВЕАМБ'96 (Прага, 1996 г.), на 4 конференции международной конференции по плотным Z-пинчaм (Ванкувер, 1997 г.) и на конференции ВЕАМБ'Эв (Хайфа, 1998 г.).

На защиту выносятся следующие положения:

1. Вывод нестационарной двумерной системы уравнений магнитной газовой динамики с учетом теплопроводности и диффузии магнитного поля, содержащей уравнения для трех компонент массовой скорости и магнитного поля, в произвольной подвижной системе координат для случаев цилиндрической и плоской симметрии.

2. Распространение ТУБ подхода, применяемого для вывода разностных схем для гиперболических систем уравнений в эйлеровых координатах, на случай систем уравнений в лагранжевых координатах.

3. Вывод разностных схем ТУБ типа для двумерных систем уравнений газовой динамики и магнитной газовой динамики в лагранже-вой системе координат.

4. Вывод условия устойчивости для ТУБ схем для многомерных гиперболических систем уравнений.

5. Вывод и численное обоснование метода решения двумерных систем уравнений газовой динамики и магнитной газовой динамики в произвольной подвижной системе координат.

6. Вывод и обоснование разностной схемы для решения диффузионной системы уравнений в произвольной системе координат.

7. Применение численного метода решения уравнений магнитной газовой динамики с учетом теплопроводности и диффузии магнитного поля в произвольной подвижной системе координат, предложенного в данной работе, к исследованию нелинейной стадии развития возмущений в Z-пинчe.

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Диянков, Олег Владимирович

Выводы

В данной главе приведены примеры двух классов задач, которые моделировались с использованием описанного в данной работе метода. Они иллюстрируют работоспособность предложенного метода при моделировании течений высокотемпературной плазмы в сильных магнитных полях.

Заключение.

Основными итогами данной работы являются следующие результаты.

Сформулирована 2-мерная МГД модель, в которой учитываются три компоненты векторных величин, в произвольной подвижной системе координат, получен критерий, которому должна удовлетворять система координат, чтобы в ней было возможно сформулировать такую 2-мерную модель, найдены две системы координат: плоская и цилиндрическая, удовлетворяющие этому критерию. Произведено расщепление полученной системы уравнений на две: гиперболического и параболического типа. Для них сформулированы граничные условия.

Проведено обобщение ТУБ подхода к построению явных разностных схем на системы уравнений в лагранжевых координатах. Проведено численное исследование качественных характеристик полученных разностных схем. Исследован вопрос подавления энтропийных следов в этих схемах. Предложен и опробован метод их подавления.

Построены и исследованы на сходимость разностные схемы для двумерных уравнений газовой динамики и магнитной газовой динамики. Разработан математический аппарат, позволяющий более точно, чем ранее, исследовать спектральные радиусы комплекснозначных матриц. Исследована устойчивость разностных схем типа ТУБ для многомерных гиперболических систем уравнений.

Построен метод решения двумерных систем газовой динамики и магнитной газовой динамики в произвольной подвижной системе координат. Рассмотрены и изучены различные алгоритмы построения сеток. Проведены двумерные расчеты, иллюстрирующие качественные характеристики созданного численного метода.

Для решения системы диффузионных уравнений построена неявная разностная схема, проведено исследование ее сходимости, приведены результаты расчета тестовых задач.

Проведена отработка расчетов 2 классов задач: моделирования разлета пластины под воздействием лазерного излучения, моделирования развития нелинейных возмущений в плазме Z-пинчa, приведены результаты соответствующих расчетов.

Благодарности

Автор благодарен прежде всего С.А.Терехову, который инициировал эти работы и внес большой вклад в разработку модели и создание программы. Я благодарю В.А.Лыкова за постоянный дружественный интерес к моей работе над этой задачей и многочисленные полезные обсуждения и замечения. Данная работа не приобрела бы столь законченный вид, особенно в части анализа и представления результатов, без дружеской помощи и поддержки моих коллег: И.В.Глазырина, С.В.Кошелева, А.Н.Слесаревой, И.В.Красногорова, Р.А.Котова. Всем им я искренне благодарен. Я также благодарен А.Д.Зубову, М.Ю.Козманову, В.Д.Фролову за многочисленные ценные замечания как по существу, так и по тексту данной работы.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Диянков, Олег Владимирович, 1998 год

Список литературы

[1] Dense Z-pinches, ed. by M.Haines and A.Knight (AIP Conference Proceedings 299, New York, 1994), pp. 121-129.

[2] A.I.Pavlovsky, N.F.Popkov, E.A.Ryaslov et al. Investigations of high-current discharges supplied from magnetic cumulation generators. Proc. Megagauss-V. Int. Conf. Nova Science Publ., NY, 1990. - p.679.

[3] ITER conceptual design report. ITER documental series. No 18. Viena: IAEA, 1991.

[4] В.А.Гасилов, В.Я.Карпов, А.Ю.Круковский. Об алгоритмах численного решения одномерных нестационарных задач магнитной гидродинамики. Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша N 54, 1984.

[5] С.М.Бахрах, Е.В.Губков. Применение метода расщепления к расчету двумерных магнитогазодинамических течений. Магнитная гидродинамика, 2, 9-15. Рига, 1975.

[6] В.М.Головизин, Т.К.Коршия, А.А.Самарский, А.П.Фаворский, Двумерные вариационно-разностные схемы магнитной газодинамики с тремя компонентами скоростей и магнитного поля, Препринт ИПМ N 41, 1978.

[7] A.D.Zoubov, G.A.Adamkevich, I.V.Glazyring, and A.A.Kondrat'ev. Two-Dimensional Numeric Simulation of an Imploding Double GasPuff Plasma. 3-rd Int. Conf. on Dense Z-Pinches, London, UK, 1993, pp.180-191.

[8] I.Lindemuth, Phys. Rev. Letters,65,179(1990).

[9] T.Tanaka. Finite volume TCD scheme on an unstructured grid system for three-dimensional MHD simulation of inhomogeneous systems including strong background potential fields. Journal of Сотр. Phys. Ill, 381-389(1994).

[10] Головизин B.M., Самарский А.А., Фаворский А.П. "Вариационный подход к построению конечно-разностных математических моделей в гидродинамике". Доклады АН СССР, 1977, том 235, N 6.

[11] Головизин В.М., Самарский А.А., Фаворский А.П. "Вариационный метод получения разностных схем для уравнений мангитной гидродинамики". Препринт ИПМ АН СССР, N 65, 1976.

[12] Головизин В.М., Самарский А.А., Фаворский А.П. "Об аппроксимации вариационно-разностных уравнений гидродинамики". Препринт ИПМ АН СССР, N 34, 1977.

[13] Н.Н.Яненко, В.Д.Фролов, В.Е.Неуважаев, О применении метода расщепления для численного расчета движения теплопроводного газа в криволинейных координатах, Изв. СОАН ССС: серия техн. наук, 1967, в.2, N8, 74-82.

[14] А.Ю.Бисярин, В.М.Грибов, А.Д.Зубов и др., Комплекс ТИГР для расчета двумерных задач математической физики, ВАНТ, сер. Методики и программы численного решения задач математической физики, 1984, вып.3(17), 34-41.

[15] С.К.Годунов, А.В.Забродин, М.Я.Иванов, А.Н.Крайко, Г.П.Прокопов. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М. Наука, 1976.

[16] C.W.Hirt, A.A.Amsden, J.L.Cook. "An Arbitrary Lagrangian-Eulerian Computing Method for all Flow Speed. J. of Сотр. Physics 14, 3, 1974.

[17] N.N.Anuchina, V.I.Volkov, N.S.Es'kov. Numerical Modeling of Multi -Dimensional Flows with Large Deformations. Russian/U.S. Weapons Laboratories introductory technical exchange in computational and computer science. Livermore, 1992.

[18] С.К.Годунов, А.В.Забродин, Г.П.Прокопов. Разностная схема для двумерных нестационарных задач газовой динамики и расчет обтекания с отошедшей ударной волной. ЖВМиМФ, 1961 1, N6, 10201050.

[19] С.И.Брагинский, Явления переноса в плазме. В кн. Вопросы теории плазмы, М.: Атомиздат, 1963, стр. 183-250.

[20] Ami Harten, High Resolution Schemes for Hyperbolic Conservation Laws, Journal of Computational Physics 49, 357-393 (1983).

[21] В.Ф.Куропатенко. О точности вычисления энтропии в разностных схемах для уравнений газовой динамики, Численные методы механики сплошной среды, том 9, N 7, 1978.

[22] Phillip Colella. Multidimensional Upwind Methods for Hyperbolic Conservation Laws. Journal of Сотр. Phys. 87, 171-200(1990).

[23] Joe F. Thompson, Zahir U.A. Warsi, C. Wayne Mastin, Boundary-Fitted, Coordinate Systems for Numerical Solution of Partial Differential Equations - A Review, Journal of Computational Physics, 47, 1-108 (1982).

[24] Stephen A. Jordan, Malcolm L. Spaulding. A Fast Algorithm for Grid Generation. Journal of Сотр. Phys. 104, 118-128(1993).

[25] David S.Kershaw, Differencing of the Diffusion Equation in Lagrangian HydroDynamic Codes, Journal of Computational Physics, 39, 375-395 (1981)

[26] О.В.Диянков. Об одной оценке спектрального радиуса произвольной матрицы. ВАНТ, серия Мат. моделирование физ. проц. 1991, вып. 2, стр. 63-66.

[27] О.В.Диянков, С.А.Терехов. Комплекс программ MAG. Методика решения двумерных задач теплопроводности. Препринт РФЯЦ-ВНИИТФ N 23, 1992г.

[28] Численный метод решения уравнений магнитной газовой динамики в подвижной системе координат. О.В.Диянков, С.А.Терехов. III

Забабахинские научные чтения, 14-17 января 1992 г. Кыштым. Тезисы докладов, стр. 42.

[29] O.V.Diyankov and S.A.Terekhoff "Method for Numerical Solving of 2.5 MHD Equations in Moving Coordinate System" in Dense Z-pinches, ed. by M.Haines and A.Knight (AIP Conference Proceedings 299, New York, 1994), pp.121-129.

[30] Глазырин И.В., Диянков О.В., Котов P.A., Кошелев C.B. Моделирование физических процессов в перетяжке Z-пинча. Изв. ВУЗов. Физика, 1995, т.38, №12, стр.23-27.

[31] И.В.Глазырин, О.В.Диянков, С.В.Кошелев, Ю.И.Матвеенко Двумерное численное моделирование Взаимодействия плазмы со стенкой Токамака. XXXIII конференция по физике плазмы, г. Звенигород.

[32] И.В.Глазырин, О.В.Диянков, Н.Г.Карлыханов, Р.А.Котов, С.В.Кошелев. Моделирование неустойчивостей в перетяжке Z-пинча. XXXIII конференция по физике плазмы, г. Звенигород.

[33] О.В.Диянков. Метод решения 2.5-мерных МГД уравнений с учетом диффузии магнитного поля в произвольной подвижной системе координат для численного моделирования Z-пинчей. XXXIII конференция по физике плазмы, г.Звенигород.

[34] О.В.Диянков. Применение TVD подхода к получению разностных схем повышенного порядка точности для лагранжевых уравнений газовой динамики. Препринт РФЯЦ-ВНИИТФ N 96, 1996г.

[35] О.В.Диянков. Исследование устойчивости разностных схем типа TVD для многомерных линейных гиперболических систем уравнений. Препринт РФЯЦ-ВНИИТФ N 97, 1996г.

[36] О.В.Диянков. Численный метод решения 2.5-мерных МГД уравнений в произвольной подвижной системе координат. Препринт РФЯЦ-ВНИИТФ N 98, 1996г.

[37] Oleg V. Diyankov, Igor V.Glazyrin, Serge V.Koshelev. MAG - two-dimensional resistive MHD code using an arbitrary moving coordinate system. Computer Physics Communications 106 (1997) pp.76-94.

[38] Vasiliy I. Afonin, Oleg V.Diyankov, Igor V. Glazyrin, Serge V. Koshelev. On the ionization-temperature instability role in Z-pinch hot spot generating. BEAMS-96 Proceedings, Prague, 1996, pp. 697-701.

[39] Oleg V.Diyankov, Igor V. Glazyrin, Serge V. Koshelev . 2.5D numerical method for MHD equation with magnetic diffusion in arbitrary moving coordinate system for Z-pinch plasma simulation. BEAMS-96 Proceedings, Prague, 1996, pp. 713- 716.

[40] Igor V. Glazyrin, Oleg V.Diyankov, Nikolay G. Karlykhanov, Serge V. Koshelev. Numerical modeling of MHD instabilities in Z-pinch hot spot. BEAMS-96 Proceedings, Prague, 1996, pp. 717-720.

[41] Nikolay G. Karlykhanov , Igor V. Glazyrin, Oleg V.Diyankov. Numerical analysis of cold core formation during wire electroexplosion. BEAMS-96 Proceedings, Prague, 1996, pp. 725-728.

[42] Igor V. Glazyrin, Oleg V.Diyankov, Nikolay G. Karlykhanov, Serge V. Koshelev. Numerical analyses of MHD instability suppression in a double gas puff. Dense Z- pinches IV int. conf. Proc. Vancouver, Canada, 1997.

[43] O.V.Diyankov, I.V.Glazyrin, S.V.Koshelev, V.A.Lykov. Numerical Simulation of Spontaneous Magnetic Fields in Laser Produced Plasma Jets Using MAG Code. Laser Interaction and Related Plasma Phenomena. Monterey, CA, 1997, p.p. 547- 554.

[44] R.B. Baksht, A.V. Fedunin, A.Yu. Labetsky, A.G. Russkikh, A.V. Shishlov, O.V. Diyankov, I.V. Glazyrin, S.V. Koshelev. On Stabilization of Gas - Puff Implosion: Experiment and Simulation. IEEE Transactions on Plasma Science v.26, N 4, p.p. 1259-1266, 1998.

[45] 9-th Int. Conf. on High-Power Part. Beams, BEAMS'92, Washington, DC, May 25-29, 1992; 10-th Int. Conf. on High-Power Part. Beams, BEAMS'94, San Diego, CA, June 20-24, 1994; 11-th Int. Conf. on HighPower Part. Beams, BEAMS'96, Prague, Chech Rep., June, 1996; 12-th Int. Conf. on High-Power Part. Beams, BEAMS'98, Haifa, Israel, June, 1998; Abstracts.

[46] S.A.Sorokin and S.A.Chaikovsky. Imploding Liner Stabilization Experiments on the SNOP-3 Generator, in Dense Z-pinches, ed. by

M.Haines and A.Knight (AIP Conference Proceedings 299, New York, 1994), pp. 83-92.

[47] J.W.Nuckolls, J.D.Lindl, W.C.Mead, A.Thiessen, L.Wood, and G.B.Zimmerman, "Laser Driven Implosion of Hollow Pellets", Plasma Phys. Controlled Fusion Res., II, 535-542(1974).

[48] Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц, Электродинамика сплошных сред, M.-.Наука, 1982.

[49] А.Спитцер. Физика полностью ионизованного газа. "МИР" ,М.1965.

[50] Л.И.Седов. Механика сплошной среды, т.1,2, М. Наука, 1983.

[51] Г.Корн, Т.Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.Наука, 1973.

[52] В.Г.Левич. Курс теоретической физики, т.т. 1,2. М. Физматгиз, 1962.

[53] А.А.Самарский, Ю.П.Попов, Разностные схемы газовой динамики, Москва, 1975.

[54] К.В.Вязников, В.Ф.Тишкин, А.П.Фаворский. Построение монотонных разностных схем повышенного порядка аппроксимации для систем уравнений гиперболического типа. Математическое моделирование 1989, Т.1, N 5, стр.95-120.

[55] Ю.П.Попов, А.А.Самарский. Полностью консервативные разностные схемы для уравнений магнитной гидродинамики, ЖВМиМФ 10, N4 (1970), 990-998.

[56] В.Ф.Куропатенко, Т.Е.Еськова, Г.В.Коваленко и др. Комплекс программ Волна и неоднородный разностный метод для расчета неустановившихся движений сжимаемых сплошных сред. // ВАНТ. Сер. Мат.Модел.Физ.Проц. - Вып. 2. - 1989

[57] Н.Н.Анучина, О методах расчета течений сжимаемой жидкости с большими деформациями, ЧММСС, т.1, N4 -1970.

[58] W.P.Crowley, Computer Physics Communications, 48(1988) 51.

[59] Глаголева Ю.П., Жогов Б.M., Кирьянов Ю.Ф., Малыпаков В.Д., Нестеренко J1.B., Софронов И.Д. Основы методики "Медуза". ЧММСС, Новосибирск, 1972, 3,2.

[60] О.М.Белоцерковский, Ю.М.Давыдов. Метод крупных частиц в газовой динамике. М.Наука, 1982.

[61] В.Ф.Дьяченко. Об одной модели сплошной среды. ДАН СССР, 1967, 174, 4.

[62] В.В.Рассказова, В.Г.Рогачев, Н.Ф.Свидинская. Двумерные газодинамические эффекты при движении оболочки в конической термоядерной мишени. ВАНТ, серия методики и программы численного решения задач математической физики, 1985, вып.З, стр. 39-47.

[63] Софронов И.Д., Дмитриев Н.А., Дмитриева Л.В., Малиновская Е.В. Методика расчёта двумерных нестационарных задач газодинамики в переменных Лагранжа. // Препринт ИПМ АН СССР N59. -М.:1976.

[64] Н.Я.Моисеев. Об одной модификации разностной схемы С.К.Годунова. ВАНТ, серия Методики и программы численного решения задач математической физики, 1986, вып.З, стр. 35.

[65] М.Пароди. Локализация характеристических чисел матрицы и ее применения. М.:Изд-во иностр. лит. 1960.

[66] Р.Хорн, Ч.Джонсон. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.

[67] С.Г.Михлин. Курс математической физики. Наука, Москва, 1968.

[68] А.А.Самарский, А.В.Гулин. Устойчивость разностных схем. М. "Наука". 1973.

[69] В.Т.Жуков, О.В.Феодоритова. Интерполяционные схемы для численного решения уравнения теплопроводности. Препринт ИПМ N 80.- 1988.

[70] Т.А.Ратникова. Схема Годунова в МГД задачах с поперечным магнитным полем. Математическое моделирование, т.9, №8, 1997.

[71] А.А.Кондратьев. Программа ZENIT. Препринт ВНИИТФ № ,1998.

[72] Шульц У.Д. Двумерные конечно-разностные гидродинамические уравнения в переменных Лагранжа. Вычислительные методы в гидродинамике. М. Мир, 1967. с. 9-54.

[73] Ю.А.Бондаренко, Б.Л.Воронин, В.И.Делов, Е.Н.Зубов, Н.П.Ковалев, С.С.Соколов, В.Е.Шемарулин. Описание системы тестов для двумерных газодинамических методик и программ. 4.2. Тесты 8-15.

[74] Вихрев В.В., Иванов В.В., Розанова Г.А. Развитие перетяжек при наличии коротковолнового возмущения границы Z-пинча. Физика плазмы, т. 15, вып.1, 1989, стр. 77.

[75] К. Jach, М. Mroczkowski and W. Stepnievski (Warszawa). Ideal and Nonideal MHD Simulation of the M=0 Mode Instability Development. Journal of Technical Physics, 32, 1, 125-136, 1991.

[76] W.H.Bennet, Phys.Rev. 45, 890(1934).

[77] David S. Kershaw, The Incomplete Cholesky-Conjugate Gradient Method for the Iterative Solution of System of Linear Equations, Journal of Computational Physics 26, 43-65 (1978).

[78] Гаджиев А.Д., Писарев B.H., Рыкованова В.В., Шестаков А.А. Методика и программа ТОМ для решения двумерного уравнения теплопроводности. ВАНТ, серия Методики и программы численного решения задач математической физики. 1985, т.1, стр. 53.

[79] Alan S.Wan, Juan C.Moreno, Brian J.MacGowan. Charaterization of Germanium Stripe X-Ray Lasers. Optical Engineering/July 1994/Vol. 33, No 7. pp. 2436-2440.

[80] Лыков В.А., Фролов В.Д., Шушлебин A.H. Численное моделирование двумерных газодинамических течений в трехтемпературном приближении. Сб." Вычислительные технологии" т 4, N 13, Новосибирск 1995г.

[81] J.P.Carter and F.Schwirzke. Magnetic field generation in shock waves. AIP conference proceedings, 318, 1994, p.p.117-127.

[82] Р.Б.Бакшт, А.В.Федюнин и др. Устойчивость и излучение в К-оболочке Z-пинчей. Труды 4-ой международной конференции по Z-пинчам, Ванкувер, стр. 555 (1997).

[83] О.В.Диянков, И.В.Глазырин, С.В.Кошелев. О стабилизации магнитного сжатия лайнера путем вращения. Представлена на конференцию Beams98, Haifa, 1998.

[84] J.Н.Hammer, D.D.Ryutov. Generation of rotation and shear flow in an imploding liner. Beams96 Proc. Prague, 1996, p.p. 178-181.

[85] D.L.Peterson, R.L.Bowers и др. Application of 2-D simulations to hollow Z-pinch implosions. Proc. of the 4-th Int. Conf. on Dense Z-pinches. AIP Conf. Proc. Vol.409, p.209.

[86] A.D.Zoubov, G.A.Adamkevich, I.V.Glazyrin Twodimensional Numerical Simulation of Imploding Plasma Liners./ Proc. 10th Int. Conf. of High Power Part. Beams, BEAMS'94, June 20-24, 1994, San Diego, USA, Paper 4-3.