Нелинейные эффекты в динамике волнового твердотельного и микромеханического гироскопов в условиях медленно меняющихся параметров тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.06, кандидат технических наук Астахов, Сергей Владимирович

• Астахов, Сергей Владимирович
• кандидат технических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат технических наук Астахов, Сергей Владимирович

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Глава 1. Динамика волнового твердотельного гироскопа в режиме свободных

колебаний в нелинейной постановке задачи

§ 1.1. Уравнения малых колебаний резонатора в виде тонкой оболочки вращения

§ 1.2. Полусферический резонатор

§ 1.3. Динамика резонатора, вращающегося с постоянной скоростью при наличии силы диссипации

§ 1.4. Динамика резонатора, вращающегося с медленно меняющейся во времени скоростью при наличии силы диссипации

§ 1.5. Динамика резонатора, на подвижном основании в случае медленного

роста температуры среды

§ 1.6. Влияние неравномерной толщины резонатора на динамику волнового

твердотельного гироскопа в одномодовом приближении

Глава 2. Динамика волнового твердотельного гироскопа в режиме вынужденных колебаний в нелинейной постановке задачи

§2.1. Вывод уравнений динамики в режиме вынужденных колебаний в нелинейной постановке задачи

§ 2.2. Динамика волнового твердотельного гироскопа в режиме вынужденных колебаний в линейной постановке задачи

§ 2.3. Динамика волнового твердотельного гироскопа в режиме вынужденных колебаний в нелинейной постановке задачи

§ 2.4. Экспериментальная часть

Глава 3. Влияние конечных деформаций резонатора на динамику и точность

микромеханического гироскопа стержневого типа

§3.1. Вывод уравнений движения

§ 3.2. Решение линейной нестационарной системы

§3.3. Влияние геометрической нелинейности на измерения гироскопа

Заключение Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейные эффекты в динамике волнового твердотельного и микромеханического гироскопов в условиях медленно меняющихся параметров»

ВВЕДЕНИЕ

Первое известное описание прибора подобного гироскопу было опубликовано в 1817 г. германским ученым Йоханом Боненбергером, главной частью этого устройства была массивная сфера в кардановом подвесе. Позже, в 1832 г. американец Р. Джонсон разработал похожее устройство, основанное на вращающемся диске. Французский математик Пьер-Симон Лаплас, работавший в парижской Политехнической школе, рекомендовал данные устройства для использования в качестве учебного пособия, и таким образом этим привлек внимание французского учёного Леона Фуко [116]. В 1852 г. Фуко усовершенствовал устройство и впервые использовал его как прибор, показывающий изменение направления (в данном случае — Земли), через год после изобретения маятника Фуко, как и Боненбергер, использовал карданов подвес. Именно Фуко придумал название «гироскоп». В настоящее время известны сотни разнообразных конструкторских схем гироскопов и технических решений, которые позволяют определить угловое движение подвижного объекта.

В последние десятилетия наиболее интенсивно и динамично развивающимся направлением была признана микросистемная техника, в состав которой входят миниатюрные датчики инерциальной и внешней информации, микродвигатели и преобразователи. Из них особо стоит выделить микромеханические гироскопы (ММГ), волновые твердотельные гироскопы (ВТГ) и акселерометры, как наиболее перспективные датчики инерциальной информации.

Исследования ВТГ ведутся уже более тридцати лет, интересом к нему послужило сочетание ряда его уникальных свойств, а именно: небольшие габаритные размеры и энергопотребление, практически неограниченный технический ресурс, простота конструкции и изготовления, а также высокая потенциальная точность, малое энергопотребление, малые требования к обслуживанию вследствие отсутствия вращающихся частей и т.д.. Стоит отметить,

что уже много лет существуют экспериментальные образцы ВТГ, однако стадия их исследования слишком затянулась и не завершена до настоящего времени. Отметим также, что в США компания Litton, входящая в состав Northrop Grumman Corporation начала промышленный выпуск, который

Рис. 1 Гироскоп G - 2000 компании Litton Corp

а) б)

Рис. 2 Резонатор а) и ВТГ HRG 130Р компании Northrop Grumman

Corporation

нашел применение в авиа и космической аппаратуре, а также в инклинометрах. Гироскоп HRG 130Рмногократно использовался в миссиях HACA, в ча-

стности при полетах к Сатурну и Меркурию, проработав при этом 12 млн. часов в космосе. Волновой твердотельный гироскоп относится к приборам высокой и средней точности - уходы 5-10"4 - 10"1 °/ч. В последнее время происходит миниатюризация ВТГ и их приближение к размерам микромеханических гироскопов, уже увидели свет новые сверхкомпактные приборы (рис. 3), точность этих приборов пока невелика, но прогнозируется ее рост. В России активное исследование и разработку ведут ЦНИИ

Рис. 3 Волновой твердотельный гироскоп с кольцевым резонатором

«Электроприбор», ЗАО НЛП «Медикон», ФНПЦ ОАО «Раменское Приборостроительное конструкторское Бюро».

Другим перспективным датчиком является ММГ, разработка этих датчиков ведется уже более четверти века, когда были начаты интенсивные поиски путей создания недорогих, миниатюрных и пригодных для выпуска крупными сериями гироскопов. Во Франции компания Sagem разработала гироскоп, представляющий собой четыре вибрирующих стержня, сделанных из кварца. Данный прибор выпускается крупными сериями. В настоящее время лидерами в серийном производстве являются компании Analog Devices, InvenSense, Kionix, Panasonic, Robert Bosch GmbH, Seiko Epson, STMicroelectronics и другие. Класс точности выпускаемых ими приборами составляет 0,05 - 0,1 °/ч. Лидером в разработке ММГ является Лаборатория

им. Ч. Дрейпеа, которая занимается созданием микромеханических датчиков с конца прошлого века. Отметим, что данная лаборатория развила также и другое направление - микромеханические вибрационные гироскопы, которые уже сейчас выпускаются миллионами штук. Группа норвежских ученых разработала ММГ 8АК-500, который построен по схеме «бабочка» из двух идентичных вибрационных систем. Заявленные характеристики гироскопа: стабильность нуля в пуске 0,04 °/ч при диапазоне измеряемых угловых скоростей ± 500 °/с. Это достижение позволяет рассчитывать, что ММГ потеснят низкоточные механические и оптические волновые гироскопы.

а) б)

Рис. 4 Современный ММГ ADXRS649 компании Analog Devices в корпусе а) и на плате б)

Основными достоинствами ММГ являются:

• малые габариты (единицы миллиметров и микрометров) и сверхмалая масса (доли граммов);

• низкая себестоимость производства;

• малое энергопотребление;

• высокая устойчивость к механическим нагрузкам и тепловым воздействиям;

• прогнозируемая высокая точность.

Для освоения промышленного выпуска ММГ и ВТГ необходимо решить следующие задачи:

о

• создать и поддерживать непрерывно вакуум не хуже 10 мм рт. ст. в объеме, где будет расположена микромеханическая часть;

• освоить технологию изготовления микромеханической части гироскопа с характерными размера менее 10 мкм, зазорами в конструкции порядка 2 мкм, соотношением размеров 1:100, точностью изготовления 0,1 мкм и шероховатостью поверхности менее 0,02 мкм;

• обеспечить измерение емкости между вибраторами и основанием величиной порядка 1 пФ с погрешностью измерения не более 10"4 пФ;

• спроектировать и изготовить специальную интегральную микросхему, размещаемую в корпусе объемом менее 1 см" вместе с микромеханической частью.

а) б)

Рис. 5 Современный ММГ 182-1315 компании 1пуеп8епзе в корпусе а) и на плате б) (выделено)

Области применения волновых твердотельных (ВТГ) и микромеханических (ММГ) гироскопов в качестве датчиков параметров движения обширны: •Авиация и судоходство. Приборы широко используются в навигации и ориентации в качестве компаса, датчиков поворота и направления, автопилота, указателя горизонта, тахометра и др.

•Автомобильная промышленность. Гироскопические датчики используются в системах безопасности, управления и навигации, примером их служат тормозная антиблокировочная система, подушки безопасности, системы автомобильной навигации и др.

• Бытовая техника и электроника. Современные гироскопы широко применяются для стабилизации в новейших образцах фото и видеотехники, для создания индивидуальной навигации, практически все флагманские

Рис. 6 ММГ L3G3200D компании STMicroelectronics, используемые в современной электронике

модели мобильных телефонов оснащены датчиками перемещения в пространстве, позволяющие значительно поднять чувствительность телефона в распознавании жестов владельца телефона; примером использования гироскопов в потребительской технике служат контролеры управления игровыми консолями, таких как: Sixaxis для Sony PlayStation 3 и Wii Motion Plus для Nintendo Wii; гироскопы широко используются при создании тренажеров и игрушек.

•Военная техника. Приборы успешно применяются в стабилизации спутниковых антенн и дул орудий, управлении беспилотных летательных аппаратов и других подвижных объектов, наведении ракет и орудий на цель и др.

•Медицина. Микрогироскопы можно использовать для стабилизации и управления микроинструментами во время проведения операций и лечения пациентов, в том числе и на больших расстояниях, а также в медицинской технике и диагностической аппаратуре.

•Нефтегазовая промышленность и добыча полезных ископаемых. Приборы используются для измерения траектории бурения скважин, в качестве инклинометров, применение в этой сфере объясняется необходимость непрерывного контроля траектории бурения, из-за длительности процесса бурения, а также вращения Земли есть вероятность отклонения бура от вертикальной оси.

•Робототехника. Устройства используются в навигации и управлении роботами, манипуляторами различного назначения, автоматизации промышленного производства и заводского станочного оборудования.

• Транспорт. Гироскопы широко используются в железнодорожной промышленности в составе системы за контролем деформации рельсов, основной целью которой является определение угла деформации рельса и относительного положения стрелы прогиба каждой нити рельсового полотна.

В исследовании [129] предлагается создание переносной подушки безопасности для пожилых людей на основе встроенных ММГ, которые будут входить в систему защиты человека от падения и специального модуля, отслеживающего и распознающего движения человека. С помощью гироскопов планируется анализировать движения человека и защищать его от падений.

Одной из основных особенностей современных микрогироскопов является использование при их производстве материалов и технологий современной твердотельной электроники. С помощью фотолитографии, изотропного

травления, диффузионной сварки и др. методов формируют электромеханические узлы из неметаллических материалов, например плавленого кварца и монокристаллического кремния. Другой особенностью можно считать групповой метод изготовления и интеграцию механических и электрических компонентов гироскопов. Используется технология группового изготовления механической части датчиков совместно с элементами электроники (датчики съема информации, возбуждения и преобразования сигнала) создавая при этом завершенные электромеханические узлы, при этом происходит повторяемость параметров образцов, что обеспечивает массовое производство, а также снижение издержек производства и стоимости продукции.

Однако не стоит забывать про ряд обширных проблем как технологического, так научно-исследовательского плана, которые требуют решения для дальнейшего увеличения точности приборов и снижению их стоимости. В последнее время в датчик инерциальной информации началось внедрение системы повышения точности (алгоритмическая компенсация погрешностей, терморегуляция внутреннего объема, защита от внешних воздействий и т.д.)

Основами для проектирования и дальнейшего увеличения точности современных гироскопов при их минитюаризации являются математические модели движения чувствительных элементов приборов, которые учитывают нелинейные упругие свойства конструкционного материала и медленно изменяющиеся условия функционирования гироскопа. Микрометровые размеры датчиков вызывают новые эффекты и явления, затрудняющие распространение на данные гироскопы законов и соотношений, справедливых для макроэлементов, поэтому требуется применение аппарата нелинейной теории упругости и уход от линейных моделей.

Аналитические зависимости, учитывающие технологические погрешности, неточности геометрических размеров, влияния нелинейных эффектов и внешней среды, получаемые в результате исследований, позволяют выработать требования к точности технологических операций и существенно увели-

чить точность приборов за счет алгоритмической компенсации погрешностей.

Поэтому, актуальной является проблема создания новых математических моделей чувствительных элементов, которые позволять повысить точность гироскопических датчиков и систем управления на их основе, а также разработки новых алгоритмов компенсации погрешностей и программного обеспечения для стендовых испытаний производимых датчиков.

Обзор предшествующих исследований. Во второй половине прошлого столетия теория инерциальной навигации развивалась наиболее интенсивно, среди ученых внесших значительный вклад в развитие теории необходимо особо отметить Андреева В.Д., Девянина Е.А., Журавлева В.Ф., Ишлинского А.Ю., Климова Д.М., Парусникова H.A. и многих других.

В работе[47] В.Ф. Журавлева было показано, что практически все принципиальные вопросы теории датчиков инерциальной информации могут рассматриваться в рамках одних и тех же уравнений, которые аналогичны уравнениям классического маятника Фуко, поэтому весь класс гироскопических приборов назван обобщенным маятником Фуко.

История развития микросистемной техники коротка, но весьма динамична, по теме волновых твердотельных и микромеханических гироскопов можно найти достаточно большое количество литературы. Подробные исследования по вибрационным гироскопам даны в следующих работах.

В работе [73] Ю.Г. Мартыненко описано множество явлений и физических принципов, используемых при решении гироскопических задач. Эффект, описанный Дж. Брайаном [110] в конце XIX века, был использован учеными компании General Motors в 60-х годах прошлого столетия при разработке гироскопа с резонатором в виде тонкой полусферы.

В работе Журавлева В.Ф и Д.М. Климова [43-46], [49] проведено теоретическое описание эффекта инертности волн в упругих осесимметричных системах (кольце, оболочке вращения), который лежит в основе работы ВТГ. Позже в работах Журавлевым В.Ф. и Климовым Д.М. были заложены основы

теории ВТГ [48]. В монографии особое внимание уделено погрешностям и уходам, возникающих при работе прибора, в результате нелинейных эффектов, вызванных нелинейными деформациями резонатора, а также указаны принципиальные источники ошибок гироскопа и способы борьбы с ними. В работе сделан вывод о том, что резонатор ВТГ можно рассматривать как тонкое упругое кольцо, имеющее возможность совершать изгибные колебания в своей плоскости. Это связано с тем, что поведение полусферической оболочки в краевой области очень близко к поведению кольца, поэтому во многих задачах можно использовать модель упругого кольца. В монографии было показано, что погрешности изготовления резонатора вызывают разночастот-ность, иными словами расщепление собственной частоты изгибных колебаний по второй рабочей форме на две близкие частоты. Данный эффект получил название динамической неоднородностью резонатора и приводит при произвольной ориентации стоячей волны к ее распаду на бегущие волны, из-за чего прибор становится неисправным.

В исследовании [134] получена новая аналитическая зависимость для потенциальной энергии торсионов резонатора вибрационного кольцевого гироскопа.

В работе [123] получены нелинейные математические модели приборов, позволяющие производить анализ в медленных переменных орбиты, ошибки в работе микрогироскопов, возникающие из-за нелинейной динамики чувствительного элемента.

Для исследования динамики ВТГ и ММГ применяют методы осреднения и малого параметра подробно описанные в трудах Боголюбова H.H., Митро-польского А.Ю. [28], Найфе А. [81], которые позволяют учесть различный масштаб движения основания прибора и колебаний чувствительного элемента.

Следует отметить работы Акуленко Л.Д. и Нестерова С.В. [1-8], которые посвящены изучению пространственных нелинейных колебаний струны в квазилинейной одномодовой постановке методами малого параметра и ус-

реднения Боголюбова - Митропольского. В данных работах было показано, что геометрическая природа нелинейности, имеющая кубическую характеристику приводит к взаимосвязи колебаний струны в разных плоскостях и неустойчивости плоских колебаний, а также, что в режиме вынужденных колебаний в окрестности главного резонанса, что при определенной частотной расстройке, в плоскости, которая ортогональна действию вынуждающей силы, возникают устойчивые параметрические колебания. В работе [4] рассмотрена аномальную зависимость частоты собственных колебаний стержня в сильно неоднородной упругой среде с разными граничными условиями, которая возникает благодаря наличию внешней упругой среды, описываемой моделью Винклера. Было установлено, что при непрерывном увеличении длины стержня происходит увеличение собственных частот низших мод колебаний. В работе [5] исследованы содержательные задачи об оценке времени переворота внутреннего кольца гироскопа, а также достижения заданного уровня или потенциального барьера многомерной колебательной системой, обладающей центральной симметрией, и выхода нелинейной системы с двумя степенями свободы для потенциала типа Хенона-Хейлиса за пределы потенциального барьера. В исследовании было доказано полное вырождение мод колебаний с четными номерами, т.е. совпадение частот нечетных и четных форм собственных колебаний для допустимых значений параметра модуляции.

В работах Егармина Н.Е. [40-43] рассмотрены нелинейные эффекты, возникающие в динамике вращающегося кольца, данные эффекты обусловлены геометрическими обстоятельствами. В данных работах был установлен ряд нелинейных эффектов, проявляющихся в эволюции волновой картины колебаний, в частности было показано, что волновая картина прецессирует относительно резонатора даже при отсутствии вращения основания, что также является погрешностью прибора. В работе [43] была выведена формула для определения угловой скорости прецессии стоячей волны колебаний произвольной идеальной осесимметричной оболочки, установленной на вра-

щающееся основание, а в работе была получена формула для угловой скорости прецессии стоячей волны колебаний для оболочек, имеющих форму поверхности второго порядка положительной кривизны.

В работах Паймушина В.Н. [87-89] проведен анализ уравнений геометрически нелинейной теории упругости при конечных перемещениях и деформациях и получены непротиворечивые уравнениям теории упругости и пластичности при малых деформациях и конечных перемещениях, которые можно рекомендовать к практическому применению при получении математических моделей.

В исследовании Куницына А.Л. [63]показано, что неустойчивую при учете нелинейных членов систему можно сделать асимптотически устойчивой, настроив ее в резонанс четвертого порядка.

В работах [65-68] Лестева М.А. рассмотрено влияние нелинейности упругих элементов подвеса на динамику и точность ММГ, вызванная нелинейными упругими свойствами материала, так называемая физическая нелинейность, чем было объяснено явление срыва колебаний чувствительного элемента, при которых амплитуда колебаний чувствительного элемента переходит на новый уровень, а также появление неустойчивых ветвей резонансных кривых. В работе [114] также рассматривается нелинейная динамика ММГ.

Ряд исследований посвящен [61, 67, 72] явлению влияния вибрации на динамику гироскопов. В работе показано, что вибрация существенным образом меняет волновую картину чувствительного элемента гироскопа, поэтому необходимо создавать специальные системы защиты прибора от вибраций. В работах рассмотрена динамика прибора с неидеальным полусферическим резонатором при наличии вибрации основания. Было показано, что при разработке устройства необходима балансировка дефектов резонатора и его виброзащита. В исследовании показано, что наибольшая опасность связана с вибрацией, действующей на половинной частоте вторичных колебаний, а также на частоте разности первичных и вторичных колебаний, показано явление срыва колебаний из-за касания чувствительного элемента микрогиро-

скопа подложки, описаны меры позволяющие избавиться от этого явления. В [9] сформированы алгоритмы, позволяющие воспроизвести точные показания идеальных гироскопических датчиков и точные показания идеальных акселерометров в условиях работы системы на стенде при угловом движении, имитирующим эволюцию ориентации объекта и возможную угловую вибрацию.

В работе Амелькина Н.И. [10] построены эффективные оценки для уходов уравновешенного гироскопа, обусловленных нутационными колебаниями. Показано, что при амплитудах колебаний не более одного градуса для большинства возмущенных движений гироскопа относительная погрешность вычисления скорости ухода на основе полученных оценок не превышает десятых долей процента. По результатам численных расчетов установлено, что погрешность формулы Магнуса не превышает построенных оценок.

В исследовании изучается влияние электрических процессов в резонаторе и электродах управления, съема информации и возбуждения стоячих волн в гироскопе, при этом электрические и механические колебания взаимосвязаны. В работе Журавлева В.Ф. [50] рассмотрены алгоритмы управления квадратурой ВТГ с помощью регулирования электростатических сил, прикладываемых к резонатору. А в работе приводится анализ влияния обратной связи по деформации и скорости на динамику резонатора ВТГ. В работах Щадрина Ю.В. и Лестева М.А. проведена оценка резонансных частот микрогироскопа при наличии дополнительных электрических связей в режиме вынужденных колебаний в нелинейной постановке задачи. В работах сформулированы принципы и методы, позволяющие уменьшить расщепление частот колебаний до необходимо уровня, посредством электрических сил, с помощью них амплитуду колебаний поддерживают на постоянном уровне и регулируют динамическую неоднородность резонатора (расщепление собственных частот резонатора).

Работы [27, 70] посвящены колебаниям струн и стержней.

В работе [112] рассматриваются методы компенсации дрейфов гироскопа путем специального параметрического управления отдельными электродами. Компенсация дрейфов достигается посредством управления амплитудами и фазами напряжения на отдельных электродах. Обсуждается побочный эффект этого управления, заключающийся в фиктивном расщеплении частот вибрирующей структуры. В работе [121] предлагается использовать нейронную сеть для компенсации случайного дрейфа в микромеханическом гироскопе.

В работах [51, 56] предложена модифицированная схема модели управления микромеханическим гироскопом, позволяющая успешно в режиме реального времени оценивать угловую скорость вращения, а также коэффициенты жесткости и демпфирования, проводя быстрые компенсации нежелательных процессов, обеспечивая оценки необходимых параметров. В работе [54, 66] предложена новая нелинейная устойчивая система и алгоритм адаптивного управления вибрационных микрогироскопов.

В работах Евстифеева М.И., Лестева А.М., Пешехонова О.И. [36-39, 64, 92, 94] рассмотрено современное состояние в области разработки основных типы вибрационных, ВТГ и ММГ, а также описаны способы их изготовления, погрешности в работе и пути их дальнейшего развития.

В работе [21, 22] рассмотрено поведение гироскопических систем и выявлен квазиустойчивый режим, вызванный действием сухого трения на кольце.

В работах [18-19] получены зависимости параметров прибора от механических воздействии и определены пути снижения влияния вибрации и ударов на характеристики ММГ как датчика угловой скорости. Было показано, что основным параметром ударного воздействия следует считать произведение низшей собственной частоты ММГ на длительность ударного импульса, а также, что при больших значениях этого произведения в расчетах можно использовать модель квазистатического нагружения, а длительность ударного импульса во время испытаний можно значительно сокращать при сохра-

нении пиковых значений нагрузок, что снижает требования к ударным стендам.

Работы [23, 35] посвящены погрешностям гироскопов возникающих из-за температурных воздействий. В работе [119] предложен метод компенсации температурных ошибок, вызванных ускорениями микроэлектромеханических систем.

Особое внимание в исследованиях [55, 90, 95] Казакова В.И., Петренко С.Ф. и Погалова А.И., а также [55] уделено технологическим аспектам изготовления ММГ и ВТГ. В этих работах описаны процессы прецизионного травления и технологии скрытых масок, применяемые при изготовлении современных устройств, проблемы связанные с производством из-за малых размеров и габаритов, а также пути дальнейшего развития методов производства приборов. Из зарубежных исследований данной проблемы можно выделить работу [120].

Новые методы обработки сигналов и подавления помех в гироскопах посвящены работы [27, 108, 112, 115].

В исследовании [125] предлагается новая методика изготовления изотропных резонаторов, основанная на выдувании. Новый подход позволил изготовить из стекла Pyrex сферический резонатор радиусом 500 мкм и средней толщиной стенки 10 мкм.

Работы Павловского A.M., Сарапулова С.А. [83-86,] посвящены влиянию погрешностей изготовления резонатора, геометрических размеров чувствительного элемента, вибрации основания прибора, неоднородности в диссипации энергии упругих колебаний, а также нелинейности колебательной системы на возбуждаемые в оболочке стоячие волны. В работах показано, что все выше перечисленное приводит к дрейфу стоячей волны как к случайному, так и систематическому и требует алгоритмической корректировки с помощью систем управления. В монографии [86] изучено влияние тепловых полей и дефектов изготовления резонатора на точность ВТГ с помощью теории функций Рвачева и атомарной аппроксимации.

В работе Матвеева В.А. [75] изложена теория вибрационных гироскопов, проведен анализ методических погрешностей, а также рассмотрены вопросы, связанные с выбором параметров гироскопов.

В работах [51-54] исследуется нелинейная динамика в различных типах гироскопов.

В монографии Брозгуля Л.И. и Смирнова Е.Л. [30] изложены вопросы теории вибрационных гироскопов, рассмотрены различные схемы их построения, а также описано влияние погрешностей изготовления, потерь за счет внешнего трения и рассеяния энергии внутри материала.

В работе Каленова Н.В. [56] показано, что поступательное смещение полусферы может сопровождаться ее поворотом вокруг оси, перпендикулярной линии смещения, поэтому для устранения взаимосвязи колебаний требуется более тщательная балансировка резонатора.

Теории ММГ и ВТГ, а также обобщению опыта их разработки посвящены монографии и исследования ряда, российских и зарубежных ученых, среди них особенно хочется выделить Подалкова В.В., Меркурьева И.В., Распо-пова В.Я., Басараба М.А., Матвеева В.А., Кравченко В.Ф., Джашитова В.Э., Панкротова В.М., Хромова Б.В., Geiger W., Shkel A., Trusov A., Barbour N., Geen J, Lynch D. [24, 25, 82,99,106,107, 117, 127, 128, 130-133].

Большой вклад в развитие теории и создание ММГ и ВТГ также внесли целая плеяда российских исследователей и ученых, к их числу принадлежат: Пешехонов В.Г., Лестев A.M., Лукьянов Д.П., Кучерков С.Г., Жбанов Ю.К., Северов Л.А., Мезенцев А.П. [92-94].

В работах Подалкова В.В. и Меркурьева И.В. [73, 76-80, 96-98] были получены совершенно новые математические модели ММГ и ВТГ, а также заложены новые теоретические основы проектирования приборов, которые учитывают нелинейные и неизотропные упругие свойства конструкционных материалов. Были получены алгоритмы и методы повышения точности за счет цифровой обработки первичной измерительной информации с алгоритмической компенсацией погрешностей. Были получены новые аналитические

зависимости, связывающие измерения датчиков с инструментальными погрешностями изготовления резонаторов и упругими модулями вызкоупругой анизотропии конструкционного материала.

В работе [109] рассматривается применение трех ММГ в качестве основной части для новых инерциальной навигационной систем современных самолетов, а также ракет.

Продолжению исследований в области оболочек посвящены работы [32, 33,59, 62, 64, 69].

Работа [107] направлена на создание надежного микромеханического гироскопа для автомобильной промышленности, работа связана с жесткими условиями природы, в которых зачастую приходится работать автомобилю.

В работе [118, 126] предложены новые типы микромеханических гироскопов с двумя и тремя степенями свободы, представлены их математические модели, а также некоторые решения в их работе, в частности в увеличении тактовой частоты одноосного ММГ.

Много исследований посвящено управлению колебаниями подавлению помех [12, 27, 58, 59, 71, 108, 115, 121, 124] ММГ. Цели диссертации состоят в

•определении влияния упругой и геометрической нелинейности на динамику волнового твердотельного и микромеханического гироскопов,

•исследовании влияния медленно изменяющихся условий функционирования приборов,

•разработке новых математических моделей колебаний чувствительных элементов ММГ и ВТГ,

•исследовании влияния температуры и неравномерной толщины резонатора на динамику прибора.

Цели диссертационной работы соответствуют «Приоритетным направлениям развития науки, технологий и техники Российской Федерации», работа направлена на развитие технологий, входящих в «Перечень критических

технологий Российской Федерации» по направлению «Технологии наноуст-ройств и микросистемной техники».

Методы исследования определялись спецификой изучаемых объектов и их математических моделей. В работе были использованы методы классической механики, теории упругости, математическая теория устойчивости, асимптотические методы нелинейной механики, теория дифференциальных уравнений, методы математического моделирования и аналитических вычислений, методы малых параметров и возмущений.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректным применением методов теоретической механики, теории упругости, методов малого параметра и теории дифференциальных уравнений, а также сравнением полученных результатов с экспериментальными данными и результатами, полученными другими исследователями.

Научная новизна результатов, полученных в диссертационной работе, заключается в следующем:

• решен комплекс фундаментальных задач, определяющих динамические свойства ММГ и ВТГ, получены новые математические модели, описывающие динамику приборов в условиях медленно изменяющихся параметров функционирования приборов (медленное изменение скорости вращения основания, на которое установлен прибор, амплитуды и частоты вынуждающей силы, также собственной частоты колебания резонатора),

• исследовано влияние медленного равномерного роста температуры среды, в которой функционирует прибор, а также нелинейных упругих свойств резонатора ВТГ на его динамику и точность,

• изучено влияние геометрической нелинейности на динамику микромеханического гироскопа стержневого типа, а также неравномерной толщины резонатора на поведение ВТГ в нелинейной постановке задачи,

• исследовано влияние диссипативных сил на динамику ММГ и ВТГ, изучено влияние скорости изменения частотной настройки прибора в режиме вынужденных колебаний на амплитудно-частотные характеристики.

Практическая значимость результатов работы заключается в разработке методики экспериментальных испытаний ММГ с кольцевым резонатором в целях повышения точностных характеристик и определения влияния нелинейных слагаемых, медленно изменяющихся параметров системы, температуры, неравномерной толщины резонатора на динамику прибора. Полученные результаты могут быть использованы в разработке новых моделей, методов, алгоритмов и программных средств, позволяющих решать задачи проектирования новых типов датчиков инерциальной информации, а также доработке уже существующих приборов в ЗАО «Инерциальные технологии Технокомплекса» (г. Раменское, Моск. обл.).

Апробация работы и публикации. Результаты работы докладывались и обсуждались на:

•заседаниях научного семинара кафедры теоретической механики и ме-хатроники МЭИ (Москва, 2009 - 2012 г.г.),

•заседании научного семинара кафедры теоретической механики и ме-хатроники МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством чл. - корр. РАН, проф. Белецкого В.В., проф. Голубева Ю.Ф. (Москва, 2010 г.),

•XXXIV академических чтений по космонавтике «Актуальные проблемы российской космонавтики» (Москва, 2010 г.),

•XVI международной научно-технической конференции «Радиотехника, электроника и энергетика» (Москва, 2010 г.),

•международной молодежной научно-практической конференции МГУ им. Ломоносова (Москва, 2011 г.),

•XXXVI академических чтениях по космонавтике «Актуальные проблемы российской космонавтики» (Москва, 2012 г.),

•XVIII международной научно-технической конференции «Радиотехника, электроника и энергетика». (Москва, 2012 г.).

Публикации. По результатам работы опубликовано 8 работ, в том числе 3 статьи в журналах, рекомендованных ВАКом Минобрнауки РФ и 5 тезисов докладов.

Личный вклад автора в совместных публикациях заключается в разработке новых математических моделей движения чувствительных элементов, постановке натурных экспериментов и проведении численных расчетов.

Основные результаты опубликованы в работах [13-20].

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, включающего наименований 136. Общий объем работы составляет 157 страниц и содержит 71 иллюстрацию.

В первой главе рассмотрены свободные колебания волнового твердотельного гироскопа в виде оболочки вращения. Для нелинейных упругих свойств материала получена система дифференциальных уравнений, описывающая динамику прибора в нелинейной постановке задачи при наличии силы диссипации и медленно меняющихся параметров прибора. Получены формулы для расчета параметров прибора с резонатором в виде полусферической оболочки. Рассмотрены случаи, когда прибор установлен на основание, вращающееся с постоянной и медленно изменяющейся скоростью вращения. Проведена численная оценка влияния нелинейных эффектов и вращения основания на точность прибора. Далее, рассмотрена задача влияния равномерно изменяющейся температуры среды на динамику прибора, было показано, что в данной постановке задачи температура на точность не влияет. В конце главы рассмотрено влияние неравномерной толщины резонатора на поведение гироскопа, выявлено, что даже в линейной постановке неравномерная толщина оказывает влияние на точность работы гироскопа.

Вторая глава посвящена вынужденным колебаниям волнового твердотельного гироскопа. Были получены уравнения динамики прибора и рассмотрены два случая: в линейной и нелинейной постановке. Для медленно

изменяющейся частотной настройки были построены амплитудно-частотные характеристики и сделаны выводы о влиянии медленно меняющихся параметров на динамику прибора.

г» V с/ V

В третьей главе рассматривается влияние геометрической нелинейности на динамику микромеханического гироскопа стержневого типа. Были получены нелинейные уравнения динамики и показано, что при геометрической нелинейности погрешность гироскопа пропорционально нарастает с увеличением угловой скорости основания и увеличивается пропорционально квадрату начальной амплитуды колебаний.

В заключении сделаны основные выводы по работе.

Работа выполнена на кафедре теоретической механики и мехатроники Московского Энергетического Института.

Автор выражает чувство глубокой признательности и уважения профессору В.В. Подалкову за неизменное внимание, доброжелательное отношение и постановку интересных задач.

Моя благодарность всему коллективу кафедры в особенности ее заведующему Меркурьеву И.В.

Заключение диссертации по теме «Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры», Астахов, Сергей Владимирович

Основные результаты, полученные в работе, заключаются в следующем:

1. Получены новые математические модели описывающие влияние нелинейных упругих свойств резонатора на динамику ВТГ, было показано, что нелинейная упругость материала оказывает существенное влияние на прецессию волновой картины колебаний резонатора, установленного на основание, вращающегося даже с постоянной скоростью.

2. Медленное изменение угловой скорости вращения основания приводит к дополнительным погрешностям в измерении угла прецессии прибора.

3. Медленный равномерный рост температуры среды не оказывает влияние на точность прибора, а приводит только к изменению фазы колебаний, с ростом температуры она увеличивается, с уменьшением температуры она снижается.

4. Неравномерная толщина резонатора сильно влияет на масштабный коэффициента, а также частоты собственных колебаний резонатора и приводит к дополнительным погрешностям в измерение угла прецессии прибора и увеличении фазы колебаний даже в линейной задачи. При геометрической неоднородности материала резонатора происходит расщепление частот изгибных колебаний по заданной форме на две близких, разность между которыми пропорциональна малому параметру, характеризующему неоднородность материала.

5. В режиме вынужденных колебаний вблизи резонанса скорость изменения частотной настройки существенно влияет на амплитудно-частотную характеристику, как в линейной, так и нелинейной постановках задачи. Было показано, что для линейной задачи максимум амплитуды имеет место не в момент совпадения частоты возбуждающей силы с частотой собственных колебаний, а позже; после достижения первого максимума наблюдается биение амплитуд, чем выше скорость прохождения через резонанс, тем меньше выражены после первого максимума максимумы меньшей величины; при увеличении скорости изменения частотной настройки максимум амплитуды снижается, а также острота первого максимума резонансной кривой становится меньше остроты стационарной резонансной кривой, и при этом тем меньше, чем выше скорость прохождения через резонанс. В нелинейной задаче, наоборот, отсутствует симметрия резонансных кривых, наблюдаемая в линейных системах, при увеличении частотной настройки графики значительно отличается от тех, которые получаются при прохождении в обратную сторону, не наблюдается явление максимума амплитуды не в момент совпадения частоты вынуждающей силы с собственной частотой, а позже. При этом в нелинейной задаче, как и линейной Вид зависимостей существенно зависит от скорости изменения частотной настройки, и чем она выше, тем график более прижимается к стационарному графику.

6. Полученная в ходе эксперимента характеристика (амплитудно-частотная) показывает, что существуют срывы колебаний и скачки амплитуд при работе гироскопа, что объясняется нелинейными эффектами динамики гироскопа.

7. Было показано, что при геометрической нелинейности погрешность гироскопа пропорционально нарастает с увеличением угловой скорости основания и увеличивается пропорционально квадрату начальной амплитуды колебаний. Приведенные числовые данные свидетельствуют о существенном влиянии нелинейных амплитуд колебаний резонатора на динамику и точность гироскопа. В нелинейном случае колебания вдоль большой и малой полуосей эллипса имеют разные полупериоды. И невозможно существование траектории средней точки стержня в виде эллипса, неизменно ориентированного в инерциальном пространстве.

8. В работе было показано, что нелинейность существенно влияет на динамику приборов и вносит дополнительную погрешность в измерениях.

141 ~ ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей диссертации изложены научно-обоснованные решения, имеющие существенное значение для проектирования и создания новых типов датчиков инерциальной информации, а также повышении технических и эксплуатационных характеристик систем на их основе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Астахов, Сергей Владимирович, 2012 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Акуленко Л.Д., Нестеров C.B. Аномальная зависимость от длины частот колебаний стержня в упругой среде // Изв. РАН. МТТ. 2010. № 2. С. 126133.

2. Акуленко Л.Д., Нестеров C.B. Анализ пространственных нелинейных колебаний струны //ПММ. 1996. Т. 60. Вып. 1 С. 88-101

3. Акуленко Л.Д., Нестеров C.B. Вынужденные нелинейные колебания струны // Изв. РАН. МТТ. 1996. № 1. С. 17-24.

4. Акуленко Л.Д., Нестеров C.B. Изгибные колебания движущегося стержня // ПММ. 2008. Т. 72. Вып. 5. С. 759-774.

5. Акуленко Л.Д., Ковалева A.C. Оценка времени удержания возмущенной лагранжевой системы в заданной области // ПММ. 2009. Т. 73. Вып. 2. С. 163-175.

6. Акуленко Л.Д., Коровина Л.И., Нестеров C.B. Собственные колебания участка трубопровода // Изв. РАН. МТТ. 2011. № 1. С. 172-187.

7. Акуленко Л.Д., Костин Г.В., Нестеров C.B. Влияние диссипации на пространственные нелинейные колебания струны // Изв. РАН. МТТ. 1997. № 1. С. 19-28.

8. Акуленко Л.Д., Нестеров C.B. Устойчивость равновесия маятника переменной длины // ПММ. 2009. Т. 73. Вып. 6. С. 893-901.

9. Алехова Е.Ю. Математическая модель блока чувствительных элементов для отработки бортовых алгоритмов навигационных систем // Изв. РАН. МТТ. 2008. № 3. С. 42-47.

10. Амелькин H.H. Об оценках уходов уравновешенного гироскопа и погрешностях формулы Магнуса // Изв. РАН. МТТ. 2009. № 6. С. 9-20.

11. Антонов И.Л. О влиянии инерционных свойств элементов карданова подвеса на динамику твердого тела // ПММ. 2009. Т. 73. Вып. 6. С. 878885.

12. Анциферов С.А., Кондратов Д.В., Могилевич Л.И. Возмущающие моменты в поплавковом гороскопе с упругим корпусом прибора на вибри-

рующем основании при несимметричном торцевом истечении // Изв. РАН. МТТ. 2009. № з. с. 25-35.

13. Астахов C.B., Меркурьев И.В., Подалков В.В. Влияние конечных деформаций резонатора на динамику и точность микромеханического гироскопа камертонного типа//Вестник МЭИ. 2010. №4. С. 148-154

14. Астахов C.B., Меркурьев И.В., Подалков В.В. Влияние конечных деформаций упругой стержневой системы на точность микромеханического гироскопа камертонного типа // XVI межд. науч.-техн. конф. «Радиотехника, электроника и энергетика»: Тез. Докл. В 3-х т. М: МЭИ. 2010. Т.З. С. 325-326

15. Астахов C.B., Меркурьев И.В., Подалков В.В. Влияние нелинейных упругих свойств конструкционного материала на динамику и уходы волнового твердотельного гироскопа // Материалы XXXIV академических чтений по космонавтике «Актуальные проблемы российской космонавтики»: Труды. М.: Комиссия РАН по разработке научного наследия пионеров освоения космического пространства. 2010. С. 609-610.

16. Астахов C.B., Меркурьев И.В., Подалков В.В. Влияние нелинейных упругих свойств резонатора на динамику волнового твердотельного гироскопа // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. №4 (2). С.47-49

17. Астахов C.B., Меркурьев И.В., Подалков В.В. Исследование динамики волнового твердотельного гироскопа в условиях медленно изменяющихся условиях функционирования // межд. молодеж. науч.-практ. конф.: Тез. Докл. М.: Изд. МГУ. 2011. С.35-36.

18. Астахов C.B., Меркурьев И.В., Подалков В.В. Погрешности волнового твердотельного гироскопа при учете нелинейных упругих свойств материала резонатора // Вестник МЭИ. 2011. №4. С.5-11

19. Астахов C.B. Поведение волнового твердотельного гироскопа с учетом нелинейной упругости материала резонатора в режиме вынужденных ко-

лебаний// XVIII межд. науч.-техн. конф. «Радиотехника, электроника и энергетика». 2012. Тез. Докл. В 4-х т. М: МЭИ. 2012. Т.4. С. 314-315

20. Астахов C.B. Динамика волнового твердотельного гироскопа в режимах свободных и вынужденных колебаний при условии медленно изменяющихся параметрах функционирования // Материалы XXXVI академических чтений по космонавтике «Актуальные проблемы российской космонавтики»: Труды. М.: Комиссия РАН по разработке научного наследия пионеров освоения космического пространства. 2012. С. 614-615.

21. Банах Л.Я., Никифоров А.Н. Динамическое гашение колебаний быстроходных роторов плавающими уплотнительными кольцами // Научный вестник МГТУ ГА, 2006, №109. С. 125-127.

22. Банах Л.Я., Никифоров А.Н. Воздействие аэрогидродинамических сил на быстровращающиеся роторные системы // Изв. РАН. МТТ. 2006. № 5.

23. Барулина М.А., Джашитов В.Э., Панкратов В.М., Калинин М.А., Папко A.A. Математическая модель микромеханического акселерометра с учетом температурных воздействий, термоупругого напряженно-деформированного состояния и динамических эффектов // Гироскопия и навигация. 2008. №1. С. 55-70

24. Басараб Л.Д., Кравченко В.Ф., Матвеев В.А. Математическое моделирование физических процессов в гироскопии. - М.: Радиотехника, 2005. 176 с.

25. Басараб Л.Д., Кравченко В.Ф., Матвеев В.А. Методы моделирования и цифровая обработка сигналов в гироскопии. - М.: Физматлит, 2008. 248 с.

26. Белоцерковский П.М. Неустановившиеся колебания бесконечной струны, несущей сосредоточенную массу и поддерживаемой упруговязкими подвесками // ПММ. 2011. Т. 75. Вып. 5. С. 791-800.

27. Беляева Т.А., Некрасов Я.А., Беляев Я.В., Багаева C.B. Подавление квадратурной помехи в микромеханическом гироскопе RR-типа с помощью электродов, расположенных над зубцовой зоной // Гироскопия и навигация. 2008. №1. С. 82-89

28. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. -М.: Наука, 1974. 503 с.

29. Болотин В.В.Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. -М. :Физматлит, 1961

30. Брозгуль Л.И., Смирнов Е.Л. Вибрационные гироскопы. — М.: Машиностроение, 1970.-213 с.

31. Васильев В.В. К задаче устойчивости цилиндрической оболочки при осевом сжатии // Изв. РАН. МТТ. 2011. № 2. С. 5-15.

32. Воробель В.М., Попов Г.Я., Реут В.В. Вынужденные колебания коробчатой оболочки квадратного сечения // Изв. РАН. МТТ. 2009. № 6. С. 115123.

33. Гулгазарян Г.Р., Гулгазарян Л.Г., Саакян Р.Д. Колебания тонкой упругой ортотропной круговой цилиндрической оболочки сосвободным и шарнирно закрепленным краями // ПММ. 2008. Т. 72. Вып. 3. С. 453-465.

34. Гурченков A.A., Корнеев В.В., Носов М.В. Динамика слабовозмущен-ногодвижения заполненного жидкостью гироскопа и задача управления // ПММ. 2008. Т. 72. Вып. 6. С. 904-911.

35. Джашитов В.Э., Панкратов В.М., Барулина М.А. Температурные и технологические погрешности волновых твердотельных гироскопов //Гироскопия и навигация. 2010. № 1. С. 47-62.

36. Евстифеев М.И.Погрешности микромеханического гироскопа на вибрирующем основании //Гироскопия и навигация. 2002. № 2. С. 19-25.

37. Евстифеев М.И.Упругие подвесы инерционных тел в точном приборостроении // Гироскопия и навигация. 2007. № 2. С. 63-67.

38. Евстифеев М.И., Елисеев Д.П., Розенцвейн Д.В., Челпанов И. Б. Особенности испытаний микромеханических гироскопов на ударные воздействия // Гироскопия и навигация. 2011. № 3. С. 88-95.

39. Евстифеев М.И., Елисеев Д.П., Ковалев A.C., Розенцвейн Д.В. Результаты испытаний микромеханических гироскопов при механических воздействиях // Гироскопия и навигация. 2011. № 1. С. 49-58.

40. Егармин Н.Е. Динамика неидеальной оболочки и управление ее колебаниями // Изв. РАН МТТ. 1993. №4. С. 49-59.

41. Егармин Н.Е. Нелинейные эффекты в динамике вращающегося кругового кольца//МТТ.- 1993. №3.- С. 50-59.

42. Егармин Н.Е. О прецессии стоячих волн колебаний вращающейся осе-симметричной оболочки //Изв. АН СССР. МТТ. 1986. №1. - С. 142-148.

43. Егармин Н.Е. Свободные и вынужденные колебания вращающегося вяз-коупругого кольца // Изв. АН. МТТ. 1986. №2. - С. 150-154.

44.Журавлев В. Ф. Исследование нелинейных колебаний составного маятника//МТТ.- 1996. № 3. С. 160-166.

45.Журавлев В. Ф. О глобальных эволюциях состояния обобщенного маятника Фуко // Изв. РАН. МТТ. 1998. №6. - С. 5-11.

46.Журавлев В. Ф.Теоретические основы волнового твердотельного гироскопа (ВТГ) // Изв. РАН. МТТ. 1993. №3.

47.Журавлев В.Ф. Управляемый маятник Фуко как модель одного класса свободных гироскопов // МТТ. 1997. № 6. - С. 27-35.

48.Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Волновой твердотельный гироскоп. М.: Наука, 1985. - 125 с.

49.Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. -М.: Наука, 1988.- 238 с.

50.Журавлев В.Ф., Линч Д.Д. Электрическая модель волнового твердотельного гироскопа // МТТ. 1995. № 5.

51. Збруцкий A.B., Апостолюк В.А. Динамика чувствительного элемента микромеханического гироскопа с дополнительной рамкой // Гироскопия и навигация. 1998. №3(22). - С. 13-23.

52. Збруцкий A.B., Мареил В.Р., Балабанова Т.В. Исследование динамики гироскопов с упругим подвесом // Механика гироскопических систем. — 1991. № Ю.-С. 15-18.

53. Збруцкий A.B., Сарапулов С.А., Локоть Н.М. О динамике интегрирующего твердотельного волнового гироскопа с неидеальным резонатором // Механика гироскопических систем. 1990. № 9. - С. 20 - 23.

54. Збруцкий A.B., Сарапулов С.А., Павловский A.M. Влияние геометрической нелинейности на прецессию форм колебаний вращающейся кон-сольнойполусферической оболочки // Механика гироскопических систем. 1988. № 7.-С. 17-20.

55. Казаков В.И., Горнев Е.С., Кальнов В.А., Волосов A.B., Селецкий В.К. Технологии изготовления микроакселерометрических датчиков // Нано и микросистемная техника. 2001. №6. С. 5-8

56. Калёнова Н.В. Влияние угловых перемещений резонатора волнового твердотельного гироскопа на взаимосвязь рабочих колебаний с балочными // Изв. РАН. МТТ. 2009. № 5. С. 36-41.

57. Каудерер Г. Нелинейная механика. -М.: Изд. иностр. лит., 1961. 777 с.

58. Коновалов С.Ф., Подчезерцев В.П., Майоров Д.В., Пономарев Ю.А., А.Г.Сидоров, Парк Х.В., Квон Т.Н., Ли Г.С., Сео Дж. Б. Двухкоорди-натный микромеханический ДУС с магнитоэлектрическими датчиками обратной связи по каналам возбуждения и измерения.. - Гироскопия и навигация. 2010. № 3. С. 61-71.

59. Кробка Н.И. Методы идентификации структуры шумов гироскопов //Гироскопия и навигация. 2011. № 1. С. 59-77.

60. Крысько В.А., Папкова И.В., Солдатов В.В. Анализ нелинейных хаотических колебаний пологих оболочек вращения с помощью вейвлет-преобразования // Изв. РАН. МТТ. 2010. № 1. С. 107-117.

61. Кубышкин Е.П., Федотов Н.Б. Особенности влияния вибрации на поведение волновой картины кольцевого резонатора // Изв. РАН. МТТ. — 1995. №5.

62. Кукуджанов С.Н. Об устойчивости длинных оболочек вращения, близких по форме к цилиндрическим // Изв. РАН. МТТ. 2009. № 4. С. 59-69.

63. Куницын A.JI. О резонансной стабилизации одного класса неустойчивых систем // ПММ. 2011. Т. 75. Вып. 5. С. 727-730.

64. Лейзерович Г.С., Тарануха H.A. Неочевидные особенности динамики круговых цилиндрических оболочек // Изв. РАН. МТТ. 2008. № 2. С. 96105.

65. Лестев A.M., Попова К.В. Современное состояние теории и практических результатов разработки микромеханических гироскопов // Гироскопия и навигация. 1998. №3(22). - С. 81-93.

66. Лестев A.M., Попова И.В., Евстифеев М.И., Пятышев E.H., Лурье М.С., Семенов A.A. Особенности микромеханических гироскопов // На-но и микросистемная техника. 2000. № 4. - С. 16-18.

67. Лестев М. А. Нелинейный параметрический резонанс в динамике микромеханического гироскопа // Известия вузов. Приборостроение. 2004. Т. 47,N2.-С. 36-42.

68. Лестев М.А. Влияние нелинейностей упругих элементов подвеса на динамику и точность микромеханических гироскопов // Сб. докл. V научн.-технич. конф. молодых ученых «Навигация и управление движением».-Спб.: ГНЦ РФ- ЦНИИ «Электроприбор».- 2003.

69. Лопаницын Е.А., Матвеев Е.А. Устойчивость цилиндрических оболочек с начальными несовершенствами под действием внешнего давления // Изв. РАН. МТТ. 2011. № 2. С. 16-25.

70. Малашин A.A. Волны и колебания в витых струнах // ПММ. 2011. Т. 75. Вып. 1.С. 101-105.

71. Манита Л.А. Оптимальный особый режим и режим с учащающимися переключениями в задаче управления колебаниями струны с закрепленными концами // ПММ. 2010. Т. 74. Вып. 5. С. 856-863.

72. Маркеев А.П. Об уравнениях приближенной теории движения твердого тела с вибрирующей точкой подвеса // ПММ. 2011. Т. 75. Вып. 2. С. 193203.

73. Мартыненко Ю.Г. Движение твердого тела в электрических и магнитных полях. - М.: Наука, 1988. 368 с.

74. Мартыненко Ю.Г., Меркурьев И.В., Подалков В.В. Управление нелинейными колебаниями вибрационного кольцевого микрогироскопа // Изв. РАН. МТТ. 2008. № 3. С. 77-89.

75. Матвеев В.А., Липатннков В.И., Алехин A.B. Проектирование волнового твердотельного гироскопа. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э, Баумана, 1998.

76. Меркурьев И.В., Подалков В.В. Влияние нелинейной упругости материала кольцевого резонатора на динамику микромеханического гироскопа // Вестник МЭИ. 2008. №3. С.5-10.

77. Меркурьев И.В., Подалков В.В. Динамика микромеханического и волнового твердотельного гироскопов // М.: Физматлит, 2009. 228 с.

78. Меркурьев И.В. Исследование стационарных режимов колебаний ротора микромеханического гироскопа при наличии параметрического возбуждения // Изв. ВУЗов. Приборостроение. 2006. Т.49. №3. С. 37-42.

79. Меркурьев И.В., Подалков В.В. Нелинейные эффекты в динамике микромеханического гироскопа // Всетник МЭИ. 2004. №2. С. 5-10.

80. Меркурьев И.В., Подалков В.В. Определение погрешностей волнового твердотельного гироскопа с резонатором в виде тонкой оболочки вращения переменной толщины // Вестник МЭИ. 2005. №5. С.5-11.

81. Найфе А. Методы возмущений. - М.: Мир, 1976. 456 с.

82. Неаполитанский A.C., Хромов Б.В. Микромеханические вибрационные гироскопы. -М.: «Когито-центр», 2002. - 122 с.

83. Павловский A.M., Збруцкий A.B. Динамика роторных вибрационных гироскопов. - К.: Вища школа, 1984. 191 с.

84. Павловский А.М. Влияние поступательной вибрации основания на колебания полусферического резонатора // Механика гироскоп.систем. 1990. Вып. №9. С.57-61.

85. Павловский М.А. Теория гироскопов. - К.: Вища школа, 1986. 303 с.

86. Павловский А.М., Сарапулов С.А. Погрешности волнового твердотельного гироскопа при вибрации основания // Механика гироскоп.систем. 1991. Вып. №10. С.37-42.

87. Паймушин В.Н. Исследование уравнений теории упругости и пластичности при произвольных перемещениях и деформациях // Изв. РАН. МТТ. 2011. №2. С. 67-80.

88. Паймушин В.Н. Об уравнениях геометрически нелинейной теории упругости и безмоментных оболочек при произвольных перемещениях // ПММ. 2008. Т. 72. Вып. 5. С. 822-841.

89. Паймушин В.Н. Теория тонких оболочек при конечных перемещениях и деформациях, основанная на модифицированной модели Кирхгофа-Лява //ПММ. 2011. Т. 75. Вып. 5. С. 813-829.

90. Петренко С.Ф., Яценко Ю.А., Вовк В.В., Чиковани В.В. Технологические аспекты создания полусферических резонаторов для малогабаритных волновых твердотельных гироскопов // Гироскопия и навигация. 2000. №1(28).- С. 88-93.

91. Петров А.Г., Шундерюк М.М. О нелинейных колебаниях тяжелой материальной точки на пружине // Изв. РАН. МТТ. 2010. № 2. С. 27-40.

92. Пешехонов В.Г. Гироскопы начала ХХ1века // Гироскопия и навигация. 2003. № 1(28). С. 88-93.

93. Пешехонов В.Г. Ключевые задачи современной автономной навигации // Гироскопия и навигация. 1996. №1(12). - С. 48-54.

94. Пешехонов В.Г. Современное состояние и перспективы развития гироскопических систем // Гироскопия и навигация. -2011.-№1.-С.З-16.

95. Погалов А.И., Тимошенков В.П., Тимошенков С.П., Чаплыгин Ю.А. Разработка микрогироскопов на основе многослойных структур кремния и стекла // Нано и микросистемная техника. 1999. № 1. - С. 36-41.

96. Пода л ков В.В. Влияние геометрической нелинейности на работу волнового твердотельного гироскопа // Гироскопия и навигация. 1998.

97.Подалков В.В. Влияние технологии изготовления и эксплуатационных условий на динамические свойства новых типов датчиков систем ориентации подвижных объектов: Дисс. на соиск. уч. ст. докт. техн. наук. М.: МЭИ. 1998.-234 с.

98. Подалков В.В., Александров A.M., Повторайко В.И. Погрешности волнового твердотельного гироскопа с анизотропным резонатором // Известия вузов. Приборостроение. Т. XXXIII. 1990. №8. - С. 33-36.

99. Распопов В.Я. Микромеханические приборы: Учебное пособие. 2-е изд., перераб. и доп. Тула.: Гриф и К, 2004. - 476 с.

100. Сейранян А.А., Сейранян А.П. Задача Челомея о стабилизации статически неустойчивого стержня с помощью вибрации // ПММ. 2008. Т. 72. Вып. 6. С. 898-903.

101. Стретт Дж.В. (лорд Релей) Теория звука. - М.: ГИТТЛ, 1955. Т. 1. 484 с.

102. Филин А.П. Элементы теории оболочек. - Л.: Стройиздат., 1987. 384 с.

103. Холостова О.В. О нелинейных колебаниях гамильтоновой системы с двумя степенями свободы при резонансе третьего порядка // ПММ. 2010. Т. 74. Вып. 5. С. 789-811.

104. Шаталов М., Кетце Ш., Джуберт С.В. Динамика неидеального полусферического волнового твердотельного гироскопа // Гироскопия и навигация. 2010. №2. С. 16-28.

105. ЭшматовБ.Х. Нелинейные колебания и динамическая устойчивость вязкоупругой круговой цилиндрической оболочки с учетом деформации сдвига и инерции вращения // Изв. РАН. МТТ. 2009. № 3. С. 102-117.

106. Асаг С., Shkel А.М. MEMS vibratory gyroscopes: structural approaches to improve robustness.NYC.Springer Science + Business Media. 2009. 256 p.

107. Acar C., Schofield A.R., Trusov A.A., Costlow L.E., Shkel A.M. Environmentally robust MEMS vibratory gyroscopes for automotive applications // IEEE Sensors Journal. 2009. Volume 9, Number 12, Pages 1895-1906

108. BekkengJ.K. Calibration of a novel MEMS inertial reference unit// IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement. 2009. Volume 58, Issue6, Pages 1967-1974

109. Blixhaven B., Lapadatu D., Holm R., Kvisterfy T. SAR-500-A novel high-precision gyroscope symposium gyro technology. Karlsruhe, Germany, 2010.

110. Bryan G.H. On the beats in the vibrations of a revolving cylinder or bell. -Proc. Camb. Phil. Soc. Math. Phys Sci. 1890. Volume 7. Pages 101-111.

111. Chang H., Zhang Y., Xie J., Zhou Z., Yuan W. Integrated behavior simulation and verification for a MEMS vibratory gyroscope using parametric model order reduction // Journal of Microelectromechanical Systems. 2010. Volume^, Issue 2, Pages 282-293

112. Dong L., Avanesian D. Drive-mode control for vibration MEMS gyroscopes// IEEE Transactions on Industrial Electronics. 2009. Volume 56, Issue 4, Pages 956 - 963

113. Eklund J., Shkel A.M., Knappe S., Donley E., Kitching J. Glass-blown spherical microcells for chip-scale atomic devices // Sensors and Actuators A: Physical. 2008. Volume 143, Issue 1, Pages 175-180

114. Elshurafa A.M., Khirallah K., Tawfik H.H., Emira A., Abdel Aziz A.K.S., Sedky S.M. Nonlinear dynamics of spring softening and hardening in folded-MEMS comb drive resonators // Journal of Microelectromechanical Systems. 2011 .Volume20, Issue4,Pages 943 - 958

115. Fei J., BaturC. Robust adaptive control for a MEMS vibratory gyroscope // The International Journal of Advanced Manufacturing Technology. 2009. Volume 42, Numbers 3-4, Pages 293-300

116. Foucault J. B. L. Demonstration physique au movement de rotation de la Terre au moyen du pendule // C. R. Acad. Sel. Paris. - 1851. Volume 32. Pages 135-138.

117. Ghodssi R., Lin P. MEMS materials and processes handbook. NYC. Springer Science+Business Media. 2011. 1224 p.

118. Huang X., Sun P., Wang Z. 3-DOF MEMS gyroscope modeling and design // International Conference on Electronic and Mechanical Engineering and Information Technology (EMEIT). 12-14 Aug. 2011. Volume 2, Pages 849 -852

119. Jiancheng F., Jianli L. Integrated model and compensation of thermal errors of silicon microelectromechanical gyroscope // IEEE Instrumentation and Measurement Society. 2009. Volume 58, Issue:9, Pages 2923 - 2930

120. Lau J. H., Lee C., Premachandran C. S., Aibin Y. Advanced MEMS packaging. TheMcGraw-HillCompanies, Inc.. 2010. 577 p.

121. Liu Q., Xu J., Han B., Wu M.Random drift modeling for MEMS gyroscope based on lifting wavelet and wavelet neural network // International Conference on Electric Information and Control Engineering (ICEICE). 2011. Pages 3454 - 3456

122. Li W., Lan T., Lin W. The nonliner control of the drive axis for a vibrating MEMS gyroscope // 5th International Conference on Computer Science and Education (ICCSE),24-27 Aug. 2010, Pages 1198 - 1203

123. Martynenko Yu. G., Merkuryev I. V., Podalkov V. V. Nonlinear dynamics of MEMS turning fork gyroscope // Science China Technological Sciences. 2011. Volume 54, Number 5, Pages 1078-1083.

124. Mehran Z., Sahel S. A modified model reference adaptive control with application to MEMSgyroscope //Journal of Mechanical Science and Technology. 2011. Volume 25, Number 8, Pages 2061-2066

125. Prikhodko I.P., Zotov S.A., Trusov A.A., Shkel A.M. Microscale glass-blown three-dimensional spherical shell resonators // IEEE Journal of Micro-electromechanical Systems. 2011.Volume 20, Number 3, Pages 691-701

126. Saleem M. M., Bazaz S.A. Design and robustness analysis of structurally decoupled 3-DOF MEMSgyroscope in the presence of worst-case process tolerances // Microsystem Technologies. 2011. Volume 17, Number 8, Pages 1381-1391

127. Schofield A.R., Trusov A.A., Shkel A.M. Effects of operational frequency scaling in multi-degree of freedom MEMS gyroscopes // IEEE Sensors Journal. 2008. Volume 8, Number 10, Pages 1672-1680

128. Schofield A.R., Trusov A.A., Shkel A.M. Micromachined gyroscope concept allowing interchangeable operation in both robust and precision modes // Sensors and Actuators A 165. 2011. Pages 35-42.

129. Shi G., Chan C. S., Li J. W., Kwok-Sui Leung, Zou Y., JinY. Mobile human airbag system for fall protection using MEMS sensors and embedded SVM classifier // IEEE Sensors Journal. 2009. Volume9, Issue 5, Pages 495 -503

130. Trusov A.A., Prikhodko I.P., Zotov S.A., Shkel, A.M. Low-dissipation silicon tuning fork gyroscopes for rate and whole angle measurements // IEEE Sensors Journal. 2011. Volume 11. Issue 11. Pages 2763 - 2770

131. Trusov A.A., Schofield A.R., Shkel A.M. Performance characterization of a new temperature-robust gain-bandwidth improved MEMS gyroscope operated in air // Sensors and Actuators A: Physical. 2009. Vol. 155, Issue 1, Pages 16-22

132. Yong Woo Kim, Hong Hee Yoo Design of a vibrating MEMSgyroscope considering design variable uncertainties // Journal of Mechanical Science and Technology. 2010. Volume 24, Number 11, Pages 2175-2180

133. Younis M. I. MEMS linear and nonlinear statics and dynamics. NYC. Springer Science+Business Media. 2011. 470 p.

134. Wei S., Wan S. A new calculation of potential energy of supporting spring in MEMS VRG // IEEE Sensors Journal. 2009. Volume9, Issue 3, Pages 231 -232

135. Van Thanh Dau, Dzung Viet Dao, Shiozawa T., Sugiyama Stimulation and fabrication of a convective gyroscope // IEEE Sensors Journal. 2008.Volume 8, Issue 9, Pages 1530 - 1538

136. Vittoz E. Low-power crystal and MEMS oscillators. NYC. Springer Science+Business Media. 2010. 223 p.