Нелинейные эффекты в динамике микромеханических гироскопов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат технических наук Воробьев, Владимир Алексеевич

• Воробьев, Владимир Алексеевич
• кандидат технических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат технических наук Воробьев, Владимир Алексеевич

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ МИКРОМЕХАНИЧЕСКОГО ВИБРАЦИОННОГО ГИРОСКОПА С УГЛОВЫМ ДВИЖЕНИЕМ ПО ДВУМ КООРДИНАТАМ

1.1. Конструктивные схемы микромеханических гироскопов

1.2. Уравнения движения микромеханического гироскопа

1.3. Нелинейные эффекты в динамике микромеханического гироскопа II - Я типа

1.4. Исследование устойчивости стационарных колебаний нелинейной системы

Выводы к главе

Глава 2. ДИНАМИКА КОЛЬЦЕВОГО ВИБРАЦИОННОГО

ГИРОСКОПА

2.1. Конструкция микромеханического кольцевого вибрационного гироскопа

2.2. Уравнения движения кольцевого гироскопа

2.3. Влияние нелинейной упругости материала кольца на динамику вибрационного гироскопа

2.4. Исследование устойчивости стационарных колебаний нелинейной системы

Выводы к главе

Глава 3. ВЛИЯНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ И ВЯЗКОГО

ТРЕНИЯ НА ДИНАМИКУ ОБОЛОЧКИ

ВРАЩЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ

3.1. Динамика оболочки вращения произвольной формы при отсутствии диссипации

3.2. Динамика оболочки вращения произвольной формы при наличии диссипативных сил

Выводы к главе

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейные эффекты в динамике микромеханических гироскопов»

Актуальность проблемы. В последние годы одним из наиболее интенсивно и динамично развивающихся направлений является микросистемная техника. Устройства, входящие в этот обширный класс, изначально создавались для применения в военной технике, но в последние годы нашли широкое применение и изделиях гражданского назначения. Одним из направлений микросистемной техники является создание миниатюрных гироскопических приборов, к которым относятся микромеханические и волновые твердотельные гироскопы.

Микромеханические и волновые твердотельные гироскопы относятся к области средних и низких точностей (скорость ухода 10"3 -10~2 °!час для волновых твердотельных гироскопов и Ю-1 -1 7час для микромеханических гироскопов) [45]. Поэтому гироскопы данных типов предназначены, прежде всего, для применения в тех устройствах, где интервалы автономной работы гироскопа достаточно малы, т.е. коррекция производится достаточно часто и непрерывно. Угловые скорости, измеряемые ММГ и ВТГ также достаточно невелики (0,1-3507сек). Однако в последнее время в печати все больше появляются сообщения о достижении скоростей ухода порядка Ю-4 7час для ММГ и Ю-2 °1час для ВТГ [43] и измеряемых угловых скоростей достигающих 1000 7 сек [45].

Тем не менее, несмотря на меньшую в сравнении с прочими гироскопами точность и измеряемую угловую скорость, микромеханические и волновые твердотельные гироскопы обладают целым рядом уникальных достоинств, что делает их незаменимыми для многих применений.

Основными достоинствами ММГ являются:

• сверхмалая масса (доли граммов) и габариты (единицы миллиметров);

• низкая себестоимость;

• малое энергопотребление (5-10 В);

• высокая устойчивость к механическим (до 105 §) и тепловым воздействиям (от -40 до +85 0 С );

• достаточная точность.

Среди возможных областей применения микромеханических (ММГ) и волновых твердотельных (ВТГ) гироскопов в качестве датчиков параметров движения можно выделить следующие:

• Автомобильная промышленность. Индустрия автомобильной промышленности является основным «двигателем» развития ММГ. По данным [48] с 1990 года по 2005 доля таких устройств в автомобильной технике увеличилась почти в 3 раза, и в дальнейшем также имеет тенденцию к увеличению. В современных автомобилях используются 50 - 85 датчиков для создания различных систем безопасности, управления и навигации, таких как подушки безопасности, тормозная антиблокировочная система, навигационная и другие;

• Робототехника. Среди возможных применений - задачи навигации мобильных роботов, управление манипуляторами различного назначения, автоматизация заводского станочного оборудования;

• Военная техника. Высокая надежность и малые габариты послужили основными причинами широкого применения ММГ и ВТГ в системах вооружения и военной технике. Они могут успешно применяться для стабилизации спутниковых антенн, управления беспилотными летательными аппаратами и другой аппаратуры подвижных объектов;

• Медицина. Микрогироскопы могут быть использованы для стабилизации микроинструментов, в медицинской электронике и диагностической аппаратуре;

• Товары народного потребления. Широко применяются в видео и фото камерах для стабилизации изображения, для создания индивидуальной навигации, а также в новых разработках компьютерной техники.

Несмотря на разнообразие конструктивных схем, микромеханические чувствительные элементы имеют общие отличительные признаки, объединяющие их в единый класс устройств.

Одной из основных особенностей микрогироскопов является использование при их производстве материалов и технологий современной твердотельной электроники. Электромеханические узлы формируются из неметаллических материалов (монокристаллический кремний, плавленый кварц, карбид кремния) методами фотолитографии, изотропного и анизотропного травления, диффузионной сварки.

Отличительным признаком является интеграция механических и электрических компонентов, изготавливаемых одновременно и с использованием однообразных технологических процессов. Механическая часть датчиков изготавливается совместно с элементами электроники возбуждения, датчиками съема и преобразования полезного сигнала и позволяет создавать законченные электромеханические узлы.

Следующим отличительным признаком является групповой метод изготовления ММГ. Используемая технология микроэлектроники характеризуется коротким циклом группового изготовления, высокой повторяемостью параметров от образца к образцу и обеспечивает массовое производство, что влечет за собой уникально низкую стоимость и высокие темпы развития данных устройств.

Несмотря уже на достаточно большой мировой опыт проектирования микромеханических устройств на данный момент существует обширный ряд проблем, которые условно можно разделить на проблемы технологического характера и проблемы научно-исследовательского плана. Все эти проблемы требуют решения весьма разнообразных задач механики, электроники, конструирования, метрологии, технологии и материаловедения и в основном направлены на увеличение точности гироскопов и снижению их себестоимости.

К технологическим проблемам относятся, прежде всего, неточности выполнения подвижной части гироскопа, такие как статический и динамический дисбаланс подвижной части, неравножесткость упругих элементов. Все это вызвано сложностью обеспечения высокой точности геометрических размеров упругой системы ММГ ввиду ее малых габаритов. К технологическим проблемам можно отнести и требуемый высокий коэффициент добротности, величина и стабильность которого зависит от многих причин. Реализация высокой добротности возможна только при вакуумировании объема чувствительного элемента, что требует решения сложных конструкторских задач.

Технологические погрешности и неточности геометрических размеров влекут за собой и проблемы иного характера, такие как проблемы подбора частоты внешнего возбуждения колебаний. В данном случае неправильный подбор соотношения между собственными частотами системы и частотой внешнего возбуждения влечет за собой уменьшение амплитуд вынужденных колебаний, что приводит к сниженияю точности показаний гироскопа.

Однако не только проблемы технологического плана стоят перед разработчиками микромеханических устройств. При миниатюризации ММГ отношение поверхности к объему подвижных компонентов много больше, чем в макрообласти. Как следствие, поверхностные эффекты могут стать доминирующими факторами, определяющими характеристики ММГ. Микрометровые размеры датчиков вызывают новые эффекты, затрудняющие распространение на компоненты ММГ законов и отношений, справедливых для макроэлементов. Требуется уход от исследования линейных моделей и как следствие применения аппарата нелинейной теории упругости. Данный факт подтверждается также и экспериментальными исследованиями, показывающими присутствие в динамике ММГ эффектов, характерных для нелинейных динамических систем: неустойчивые ветви резонансных кривых, срывы колебаний и скачки амплитуд чувствительных элементов [36], [59].

Части из перечисленных выше проблем и посвящена данная работа, как весьма актуальным и интересным с научной и практической точки зрения. ф Следует также отметить, что объединение весьма разных по принципу своей работы приборов, таких как ММГ и ВТГ, в один класс гироскопических приборов оправдано в том смысле, что в последнее время наблюдается тенденция к уменьшению массогабаритных показателей ВТГ и их приближение к размерам микромеханических гироскопов. Также, в данном классе устройств наблюдаются и схожие процессы при рассмотрении нелинейных моделей, что позволяет проводить их исследование, используя схожий математический аппарат. ф Цель работы состоит в:

- поиске новых возможностей применения микромеханического гироскопа с угловым движением по двум координатам;

- определении частоты внешнего возбуждения вынужденных колебаний микромеханических гироскопов, обеспечивающей максимальные значении амплитуд первичных и вторичных колебаний во всем диапазоне измеряемых угловых скоростей;

- разработке новых способов обработки данных микромеханических гироскопов, в основе которых лежит условие обеспечения максимальных значений амплитуд вынужденных колебаний;

- исследовании влияния нелинейной упругости материала чувствительных # элементов и резонатора на динамику микромеханических гироскопов;

- определении влияния геометрической нелинейности и диссипативных сил на динамику оболочки вращения произвольной формы;

Методы исследования определялись спецификой изучаемого объекта и его математических моделей. В работе использовались методы классической механики, математическая теория устойчивости, асимптотические методы нелинейной механики и теории упругости в форме общей схемы усреднения, методы компьютерной алгебры в задачах механики.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректным применением методов теоретической механики, теории упругости, теории дифференциальных уравнений в частных производных, а также использованием современных экспериментальных данных в процессе численного решения и анализа полученных результатов.

Обзор литературы. История развития микросистемной техники относительно коротка, но весьма динамична и теме вибрационных, волновых твердотельных и микромеханических гироскопов посвящено достаточно большое количество литературы.

В книге Л.И. Брозгуля, Е.А. Смирнова [6] систематизировано излагаются вопросы теории и некоторые технические приложения вибрационных гироскопов. Рассмотрены различные схемы построения таких гироскопов, влияние инструментальных погрешностей изготовления, линейного ускорения и потерь за счет внешнего трения и рассеяния энергии внутри материала. Показаны возможности практического использования вибрационного гироскопа в качестве датчика угловой скорости, а также гироскопа -акселерометра.

В книге М.А. Павловского [41], в большей степени посвященной элементарной теории механических гироскопов, затронуты вибрационные и динамически настраиваемые гироскопы. Рассмотрены основные их погрешности, такие как погрешности из-за угловой скорости вибрации основания, погрешности, порождаемые статическим дисбалансом и вызванные неравножесткостью подвеса. Кратко описано влияние нелинейностей на амплитуды колебаний динамически настраиваемого гироскопа.

В учебном пособии В.Я. Распопова [45] приведены сведения об основных технологических процессах изготовления микромеханических структур, рассмотрены особенности конструкции, теория и расчет динамических характеристик акселерометров, датчиков давления и микромеханических гироскопов.

Книга A.C. Неаполитанского и Б.В. Хромова [39], написанная по результатам работ НПК «Вектор», содержит материал по выбору наиболее рациональной конструктивной схемы ММГ, позволяющей повысить чувствительность прибора. Рассматривается рамочный гироскоп, работающий в режиме вынужденных колебаний как датчик угловой скорости, дается описание его основных погрешностей. Также показано, что в случае свободных колебаний существует возможность использования ММГ в качестве датчика угла поворота объекта вращающегося с постоянной угловой скоростью при отсутствии демпфирования.

В монографии В.Ф. Журавлева, Д.М. Климова [23] приведены основные математические модели волнового твердотельного гироскопа. Построена теория принципиального функционирования идеального гироскопа. Рассмотрены различные способы возбуждения вынужденных колебаний в резонаторе кольцевого типа с учетом разнообразных инструментальных погрешностей, и показано влияние этих погрешностей на точность снимаемой с прибора инерциальной информации. Также рассмотрены некоторые нелинейные эффекты.

В работах В.Г.Вильке [7] и Н.Е. Егармина [17], [18], [19] показаны нелинейные эффекты, возникающие в динамике вращающегося кольца. В обеих работах свойства материала кольца являются линейными, а исследуемые нелинейности обусловлены чисто геометрическими обстоятельствами. Установлен ряд нелинейных эффектов, проявляющихся в эволюции волновой картины колебаний. Основной из них заключается в том, что общем случае волновая картина прецессирует относительно резонатора даже при отсутствии вращения основания, что является погрешностью прибора.

Следует отметить работы Л.Д. Акуленко, C.B. Нестерова [1], [2], [3], посвященные изучению вынужденных нелинейных колебаний струны при наличии, а также при отсутствии диссипации. Теоретическое исследование проводится в квазилинейной постановке методами малого параметра и усреднения Крылова - Боголюбова. Подробно изучены условия существования стационарных колебаний и их устойчивость.

Нельзя не отметить работы В.Ф. Журавлева [20], [21], [22] посвященные исследованию нелинейных эффектов, имеющих место в маятнике Фуко. Показаны основные нелинейные эффекты, заключающиеся в зависимости частоты от амплитуды вынужденных колебаний и наличии погрешности определения угловой скорости Земли, в случае использования маятника Фуко как измерителя угловой скорости. Важным является тот факт, что эта погрешность присуща всем без исключения гироскопическим приборам, реализующим идею маятника Фуко, таким как кольцевой гироскоп, а также волновой твердотельный гироскоп.

Отдельно отметим работу М.А. Лестева [36] в которой рассмотрено влияние нелинейностей упругих элементов подвеса на динамику и точность микромеханических гироскопов. В данной работе, рассмотрена не геометрическая нелинейность резонатора, а так называемая физическая нелинейность, вызванная нелинейными упругими свойствами материала. Объясняется явление срыва колебаний, обусловленное нелинейностью, скачки амплитуд колебаний чувствительного элемента, появление неустойчивых ветвей резонансных кривых.

Интересной представляется работа A.B. Збруцкого [26] в которой показано явление зависимости собственных частот микромеханического гироскопа от переносной угловой скорости объекта. Также в ней рассмотрено влияние поступательных ускорений и вибраций на динамику чувствительного элемента.

Из работ, отражающих современное состояние разработок, необходимо выделить публикации М.И. Евстифеева [15], A.M. Лестева, И.В. Поповой [33], [34], О.И. Пешехонова [43] в которых рассмотрены основные типы микромеханических, вибрационных и волновых твердотельных гироскопов, описаны способы их изготовления, основные погрешности и пути дальнейшего развития.

В публикации М.И. Евстифеева [16] исследуется поведение чувствительного элемента ММГ на вибрирующем основании. Показано, что наибольшую опасность представляет вибрация, действующая на половинной частоте вторичных колебаний и на частоте разности первичных и вторичных колебаний. Также показаны меры, позволяющие избавиться от срывов колебаний, обусловленных касанием чувствительного элемента о подложку ММГ.

В работе В.М. Ачильдиева [4] рассмотрен микромеханический гироскоп -акселерометр, разработанный HI III «Регуста». Описан принцип его работы, технология изготовления а также принцип формирования выходного сигнала.

В публикации Э. Гая [13] рассмотрена возможность практического применения микромеханических инерциальных датчиков в самонаводящихся снарядах. Показана возможность совместного применения микромеханических гироскопов совместно с приемником GPS, что позволяет повысить точность наведения снарядов, а также существенно снизить их стоимость.

Нелинейная модель гироскопа с упругим подвесом рассмотрена в работе A.B. Збруцкого и др. [27]. В ней авторы отмечают, что существует необходимость исследовать динамику гироскопа с целью выявления особенностей нелинейных колебаний, чтобы оценить работоспособность и выбрать наиболее приемлемую схему упругого подвеса для обеспечения требуемой точности измерений.

В статьях Ю.В. Шадрина [51] и М.А. Лестева [35] рассмотрены вынужденные колебания микромеханического гироскопа, а также проведена оценка его резонансных частот при наличии дополнительных электрических связей. В работе [35] задача решается в нелинейной постановке.

Нельзя обойти вниманием работы В.И. Казакова [30], С.Ф. Петренко [42], А.И. Погалова [44], JI.A. Северова [47] и С.П. Тимошенкова [50] в которых описаны технологические аспекты создания структур ММГ и резонаторов ВТГ. Описаны процессы прецизионного травления и технологии скрытых масок, а также пути дальнейшего развития методов изготовлений микромеханических устройств.

Далее остановимся на ряде публикаций посвященных волновым твердотельным гироскопам.

В публикации В.Ф. Журавлева [25] изучается влияние электрических процессов в резонаторе и электродах управления, съема информации и возбуждения на эволюцию стоячих волн в ВТГ. Показано, что в результате подобной связи стоячие волны в идеальном приборе претерпевают все виды эволюций: разрушение, прецессия, изменение амплитуды и частоты.

В ряде работ рассмотрен вопрос о возникновении дрейфа стоячей волны в ВТГ и причинах его вызывающих. К ним относятся геометрическая нелинейность резонатора, описанная в работах A.B. Збруцкого [29] и JI.A. Шаповалова [52], неоднородность инерционных, геометрических, жесткостных и демпфирующих характеристик, требующая, как показано в работе A.B. Збруцкого [28], подбора соответствующих управляющих воздействий для их устранения.

В работах С.А. Сарапулова [46], A.M. Павловского [40] и Б.С. Лунина [37] рассмотрено влияние погрешностей изготовления полусферического резонатора и его геометрических размеров, нелинейности колебательной системы, вибрации его основания, а также неоднородности диссипации энергии упругих колебаний на возбуждаемые в оболочки стоячие волны при наличии малой угловой скорости вращения резонатора. Показано, что всё вышеперечисленное приводит как к случайному, так и к систематическому дрейфу стоячей волны и требует корректировки с помощью системы управления, а также разработка системы виброзащиты.

В заключении обзора публикаций посвященных ВТГ отметим работы посвященные исследованию устойчивости колебаний ВТГ [54], а также влиянию внутренних напряжений на их динамику [53]. Из них следует, что колебания в виде стоячей волны, возбуждаемые в ВТГ, обладают свойствами устойчивости, асимптотической устойчивости, а также устойчивости при постоянно действующих возмущениях по отношению к требуемой части фазовых переменных.

Далее отметим ряд работ зарубежных авторов.

Так в работах [56], [59], [60], [61] описано явление возникновения параметрического резонанса в микромеханических устройствах, влияние кубической нелинейности в законе упругости и внешней возбуждающей силе на упругие колебания, объяснено явление срыва колебаний.

В работе [58] описывается технологический процесс получения сложных структур, применяемых в микросистемной техники, позволяющий получать структуры с весьма сложной геометрией и высокой точностью.

В заключении отметим работу [55] и патент [57]. В первой из них рассматривается конструкция, технология изготовления и принцип работы вибрационного кольцевого гироскопа, рассмотренного во второй главе данной диссертации, а вторая посвящена микромеханическому гироскопу Я-Я типа, исследуемому в первой главе диссертации.

Из приведенного обзора следует, что в настоящей момент не достаточно полно рассмотрены вопросы, связанные с изучением динамики микромеханических и вибрационных гироскопов, учитывающие нелинейный закон упругости материала чувствительного элемента. Также мало внимания уделяется проблеме выбора частоты внешнего возбуждения ММГ, для обеспечения максимальных значений амплитуд вынужденных колебаний. Недостаточно рассмотрен и вопрос о влиянии геометрической нелинейности и вязкого трения на динамику оболочек вращения произвольной формы.

Научная новизна результатов, полученных в диссертации, заключается в том, что:

• показана возможность применения микромеханического гироскопа Я

Я типа в качестве датчика угла поворота объекта вращающегося с переменной угловой скоростью при наличии диссипации в материале;

• получен способ задания частоты внешнего возбуждения вынужденных колебаний, обеспечивающий максимальные значения амплитуд первичных и вторичных колебаний. Данный способ может быть использован как для ММГ с угловым движением по двум координатам, так и для вибрационного кольцевого гироскопа, а с небольшими поправками, и для любого другого гироскопа, относящегося к данному классу;

• разработана методика определения угловой скорости, посредством кольцевого вибрационного и микромеханического гироскопа Я-Я типа, обеспечивающая высокую точность измерения, в основе которой лежит условие обеспечения максимальных величин амплитуд вторичных колебаний;

• влияние нелинейной упругости материала чувствительного элемента и его торсионов на динамику ММГ Я-Я типа и кольцевого вибрационного гироскопа;

• исследовано влияние геометрической нелинейности и диссипативных сил на динамику оболочки вращения произвольной формы.

Практическая ценность работы заключается в возможности повышения точностных характеристик существующих на данный момент приборов, и лучшем понимании нелинейных процессов, имеющих в них место. Полученные в работе результаты могут быть использованы в дальнейшем при разработке новых гироскопических устройств, а также при доработке уже существующих гироскопов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на: • международной конференции «Информационные средства и технологии» (Москва, МЭИ, 2004 г.);

• международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, ТулГу, 2005 г.); ф • межотраслевой научно-технической конференции, посвященной памяти

H.H. Острякова (Санкт - Петербург, ЦНИИ «Электроприбор», 2004 г.);

• заседаниях научного семинара кафедры теоретической механики и мехатроники МЭИ (2004 - 2006 г.г.);

• заседании научного семинара кафедры теоретической механики и мехатроники МГУ им. М.В. Ломоносова под руководством чл.-корр. РАН, проф. Белецкого В.В., проф. Голубева Ю.Ф., доц. Якимова К.Е. и доц. Меркуловой Е.В. (Москва, 2006 г.). ф Тезисы 3 докладов опубликованы.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, сводки основных результатов и списка используемой литературы. Общий объем работы 119 стр., включая 28 рисунков, 7 стр. списка литературы, насчитывающего 61 наименование и 5 стр. приложения. Основное содержание работы изложено в трех главах.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Воробьев, Владимир Алексеевич

Основные результаты можно сформулировать следующим образом:

• показана возможность применения микромеханического гироскопа Я-Я типа в качестве датчика угла поворота объекта вращающегося с переменной угловой скоростью при наличии диссипации в материале;

• получен способ задания внешней частоты возбуждения вынужденных колебаний, обеспечивающий максимальные значения амплитуд первичных и вторичных колебаний. Данный способ может быть использован как для ММГ Я-Я типа, так и для вибрационного кольцевого гироскопа, а с небольшими поправками, и для любого другого гироскопа, относящегося к данному классу;

• разработана методика определения угловой скорости объекта, посредством кольцевого вибрационного и микромеханического гироскопа Я-Я типа, обеспечивающая высокую точность измерения, в основе которой лежит условие обеспечения максимальных величин амплитуд первичных и вторичных колебаний;

• изучено влияние нелинейной упругости материала чувствительного элемента и его торсионов на динамику ММГ Я-Я типа и кольцевого вибрационного гироскопа. Показано, что характерной особенностью данного режима колебаний является появления множества стационарных решений системы часть из которых является неустойчивыми;

• исследовано влияние геометрической нелинейности и диссипативных сил на динамику осесиметричного резонатора произвольной формы. Основной нелинейный эффект, состоит в том, что при измерении угловой скорости объекта нелинейные слагаемые вносят погрешность в показания прибора. Наличие диссипативных сил приводит к затуханию этой погрешности, однако скорость ее затухания ввиду большой добротности весьма мала.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Воробьев, Владимир Алексеевич, 2006 год

1. Акулепко Л.Д., Костин Г.В., Нестеров C.B. Влияние диссипации на пространственные нелинейные колебания струны // МТТ. - 1997. № 1. - С. 19-28.

2. Акулепко Л.Д., Нестеров C.B. Анализ пространственных нелинейных колебаний струны // Прикладная математика и механика. 1996. том 60, вып. 1. - С. 88-101.

3. Акуленко Л.Д., Нестеров C.B. Вынужденные нелинейные колебания струны // МТТ. 1996. № 1. - С. 17-24.

4. Ачильдиев В.М., Дрофа В.Н., Рублев В.М. Микромеханический вибрационный гироскоп акселерометр // Нано и микросистемная техника. -2001. №5.-С. 8-10.

5. Боголюбов Н.Н, Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. - 503с.

6. Брозгуль Л.И., Смирнов Е.Л. Вибрационные гироскопы. — М.: Машиностроение, 1970.-213 с.

7. Вильке В.Г. Нелинейные колебания упругого растяжимого вращающегося кольца // Вестник московского университета, серия 1, математика, механика.- 1988. №5.- С. 31-35.

8. Воробьев В. А., Донник A.C., Меркурьев ИВ. Динамика волнового твердотельного гироскопа при учете переменной толщины резонатора // Материалы XXIV конференции памяти Н.Н.Острякова, Гироскопия и навигация. 2004. №4 (47). - С. 90.

9. Воробьев В.А., Меркурьев И.В., Подалков В.В. Погрешности волнового твердотельного гироскопа при учете нелинейных колебаний резонатора // Гироскопия и навигация. 2005. №1(48). - С. 15-21.

10. Гай Э. Наводящиеся снаряды с инерциальной навигационной системой на микромеханических датчиках, интегрированной с GPS // Гироскопия и навигация. 1998. №3(22). - С. 72-81.

11. А. Добронравов В.В. Основы аналитической механики. Учеб. Пособие для вузов. М: Высшая школа, 1976. - 264 с.

12. Егармин Н.Е. Нелинейные эффекты в динамике вращающегося кругового кольца//МТТ.- 1993. №3.- С. 50-59.-i lois. Егармин H.E. О прецессии стоячих волн колебаний вращающейся осесимметричной оболочки // Изв. АН СССР. МТТ. 1986. №1. - С. 142148.

13. Егармин Н.Е. Свободные и вынужденные колебания вращающегося вязкоупругого кольца // Изв. АН. МТТ. 1986. №2. - С. 150-154.

14. Журавлев В. Ф. Исследование нелинейных колебаний составного маятника //МТТ.- 1996. № 3. С. 160-166.

15. Журавлев В. Ф. О глобальных эволюциях состояния обобщенного маятника Фуко // Изв. АН. МТТ. 1998. №6. - С. 5-11.

16. Журавлев В.Ф. Управляемый маятник Фуко как модель одного класса свободных гироскопов // МТТ. 1997. № 6. - С. 27-35.

17. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Волновой твердотельный гироскоп. М.: Наука, 1985. - 125 с.

18. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. -М.: Наука, 1988.- 238 с.

19. Журавлев В.Ф., Линч Д.Д. Электрическая модель волнового твердотельного гироскопа // МТТ. 1995. № 5.

20. Збруцкий A.B., Апостолюк В.А. Динамика чувствительного элемента микромеханического гироскопа с дополнительной рамкой // Гироскопия и навигация. 1998. №3(22). - С. 13-23.

21. Збруцкий A.B., Мареил В.Р., Балабанова Т.В. Исследование динамики гироскопов с упругим подвесом // Механика гироскопических систем. — 1991. № 10.-С. 15-18.

22. Збруцкий A.B., Сарапулов С.А., Локоть Н.М. О динамике интегрирующего твердотельного волнового гироскопа с неидеальным резонатором // Механика гироскопических систем. 1990. № 9. - С. 20 - 23.

23. Збруцкий A.B., Сарапулов С.А., Павловский А.М. Влияние геометрической нелинейности на прецессию форм колебаний вращающейся консольнойполусферической оболочки // Механика гироскопических систем. 1988. № 7.-С. 17-20.

24. Казаков В.И., Горнее Е.С., Кальнов В.А., Волосов A.B., Селецкий В.К. Технология изготовления микроакселерометрических датчиков // Нано и микросистемная техника. 2001. № 6. - С. 5-8.

25. Каудерер Г. Нелинейная механика. М.: Изд.иностр. лит, 1961. 777с.

26. Крюков Б.И. Вынужденные колебания существенно нелинейных систем. — М.: Машиностроение, 1984. 216 с.

27. Лестев A.M., Попова КВ. Современное состояние теории и практических результатов разработки микромеханических гироскопов // Гироскопия и навигация. 1998. №3(22). - С. 81-93.

28. Лестев A.M., Попова И.В., Евстифеев М.И., Пятышев E.H., Лурье М.С., Семенов A.A. Особенности микромеханических гироскопов // Нано и микросистемная техника. 2000. № 4. - С. 16-18.

29. Лестев М. А. Нелинейный параметрический резонанс в динамике микромеханического гироскопа // Известия вузов. Приборостроение. 2004. Т. 47, N 2. - С. 36-42.

30. Лестев М.А. Влияние нелинейностей упругих элементов подвеса на динамику и точность микромеханических гироскопов // Сб. докл. V научн.-технич. конф. молодых ученых «Навигация и управление движением».-Спб.: ГНЦ РФ- ЦНИИ «Электроприбор».- 2003.

31. Лунин B.C. Влияние параметров полусферического резонатора на дрейф волнового твердотельного гироскопа // Изв. вузов, приборостроение. -2004. т. 47, № 2. С. 31 -35.

32. МуштариХ.Ы. Нелинейная теория оболочек.-М.: Наука, 1990. 223 с.

33. Павловский М.А. Теория гироскопов. К.: Вища шк. Головное изд-во, 1986.-303 с.

34. Петренко С.Ф., Яценко Ю.А., Вовк В.В., Чиковани В.В. Технологические аспекты создания полусферических резонаторов для малогабаритных волновых твердотельных гироскопов // Гироскопия и навигация. 2000. №1(28).- С. 88-93.

35. Пешехонов О.И. Ключевые задачи современной автономной навигации // Гироскопия и навигация. 1996. №1(12). - С. 48-54.

36. Погалов А.И., Тгшошенков В.П., Тимошенков С.П., Чаплыгин Ю.А. Разработка микрогироскопов на основе многослойных структур кремния и стекла // Нано и микросистемная техника. 1999. № 1. - С. 36-41.

37. Распопов В.Я. Микромеханические приборы: Учебное пособие. 2-е изд., перераб. и доп. Тула.: Гриф и К, 2004. - 476 с.

38. Сарапулов С.А., Кисилеико С.П., Иосифов А.О. Влияние вращения на динамику неидеального полусферического резонатора // Механика гироскопических систем. 1988. № 7. - С. 59 - 66.

39. Северов Л.А., Пономарев В.К, Панферов А.И. и др. Микромеханические гироскопы: конструкции, характеристики, технологии, пути развития // Изв. вузов, Приборостроение. 1998. Т.41. № 1 - 2. С. 57-73.

40. Степанов Ю.И. Применение технологий МЭМС и МСТ в автомобильной технике // Микросистемная техника. 2003. №12. - С. 23-28.

41. Стретт Дж.В.(лорд Релей) Теория звука.-М.: ГИТТЛ, 1955. т.1 484 с.

42. Шаповалов JI.A. Об одном простейшем варианте уравнений геометрически нелинейной теории тонких оболочек // МТТ. 1968. № 1. - С. 56-62.

43. Шаталов М.Ю., Лунин Б.С. Влияние внутренних напряжений на динамику волновых твердотельных гироскопов // Гироскопия и навигация. 2000. №1(28).- С. 78-87.

44. Юрин В.Е. Устойчивость колебаний волновогго твердотельного гироскопа //МТТ.- 1993. №3.

45. Ayazi F., Najafi К. A HARPSS polysilicon vibrating ring gyroscope // Journal of microelectromechanical systems. 2001. - Vol. 10, № 2. - P. 169 - 178.

46. Baskaran R., Turner K.L. Mechanical domain coupled mode parametric resonance and amplification in a torsional mode micro electro mechanical oscillator // Journal of micromechanics and microengineering. 2003. - JSf® 13. -P. 701 -707.

47. Boxenhorn B. Planar inertial sensor. United States Patent № 4,598,585. July 8, 1986. Intern'l Class: G01P 015/02.

48. Northen M.T., Turner K.L. Single high aspect ratio pillar support structures: multi-scale chip integrated conformal structures // ASME international mechanical engineering congress and exposition. 2004. Anaheim, California USA.