Разработка методов расчёта расщепления спектра частот неидеального упругого чувствительного элемента волнового твердотельного гироскопа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.06, кандидат наук Козубняк Светлана Аркадьевна

• Козубняк Светлана Аркадьевна
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Козубняк Светлана Аркадьевна

Введение

Глава 1. Современное состояние проблемы точности работы оболочечных чувствительных элементов волновых твердотельных гироскопов и основные задачи, рассматриваемые в работе

1.1. Применение волновых твердотельных гироскопов. Режимы работы их чувствительных элементов в условиях эксплуатации

1.2. Современные требования к точности работы оболочечных чувствительных элементов волновых твердотельных гироскопов

1.3. Обзор и анализ исследований в области точности работы и надёжности оболочечных чувствительных элементов волновых твердотельных гироскопов

1.4. Цели работы

1.5. Основные задачи, рассматриваемые в работе

1.6. Выводы по Главе

Глава 2. Математическая модель неидеального оболочечного упругого чувствительного элемента волнового твердотельного гироскопа

2.1. Асимптотический подход к вычислению расщепления частот

2.1.1. Основные исходные положения

2.1.2. Расщепление собственных значений системы обыкновенных дифференциальных уравнений в задачах динамики

2.2. Возмущённый матричный оператор тонкостенной оболочки с малыми отклонениями формы срединной поверхности от осевой

симметрии

2.2.1. Некоторые особенности структуры системы уравнений,

описывающих колебания оболочки с малыми

отклонениями от осевой симметрии

2.2.2. Потенциальная энергия деформации и кинетическая

энергия оболочки

2.2.3. Геометрия возмущённой поверхности

2.2.4. Функционал Гамильтона неидеальной оболочки и уравнения движения оболочки

2.3. Возмущённый матричный оператор тонкостенной оболочки в случае малых неосесимметричных возмущений толщины

2.4. Верификация динамической модели неидеального оболочечного упругого чувствительного элемента волнового твердотельного гироскопа

2.4.2. Кольцевая модель волнового твердотельного гироскопа

2.4.3. Некруговой цилиндр с граничными условиями Навье

2.5. Алгоритм расчёта расщепления частот свободных колебаний неидеального оболочечного чувствительного элемента волнового твердотельного гироскопа, имеющего случайные отклонения параметров геометрии и случайный разброс характеристик

материала

2.6. Выводы по Главе

Глава 3. Анализ влияния основных конструктивных параметров оболочечных чувствительных элементов на расщепление их частот

3.1. Спектр частот оболочечных упругих чувствительных элементов с малыми отклонениями формы срединной поверхности от осевой симметрии

3.2. Влияние на спектр частот оболочечных упругих чувствительных элементов малой неосесимметричной разнотолщинности

3.3. Влияние технологического разброса характеристик материала на величину расщепления частот

3.4. Вероятностные характеристики частот свободных колебаний упругих чувствительных элементов со случайными

отклонениями параметров геометрии

3.5. Методика проектирования упругого чувствительного элемента волнового твердотельного гироскопа с учётом технологических разбросов параметров их геометрии

3.6. Выводы по Главе

Глава 4. Экспериментальное исследование расщепления частот

резонаторов волновых твердотельных гироскопов

4.1. Цель и задачи экспериментального исследования

4.2. Методика проведения эксперимента по определению расщепления частот чувствительного элемента волнового твердотельного гироскопа

4.3. Сравнение результатов расчётов с данными экспериментов

4.4. Выводы по Главе

Заключение. Общие выводы по работе

Список литературы

Перечень сокращений и условных обозначений

Приложение

ВВЕДЕНИЕ

Прогресс техники, в первую очередь, всё большая автоматизация и интеллектуализация технических систем, их усложнение при одновременном росте требований к надёжности и безопасности функционирования обусловливают постоянное увеличение насыщенности технических объектов разнообразными информационно-измерительными системами (ИИС). Непрерывное совершенствование вычислительной техники формирует благоприятные условия для создания всё более совершенных и точных ИИС, способных удовлетворить постоянно растущие потребности науки и техники.

Важнейшими элементами любой информационно-измерительной системы являются первичные датчики или измерительные преобразователи (ИП), которые непосредственно воспринимают измеряемую величину и вырабатывают сигнал измерительной информации.

При современном уровне развития электроники именно качество первичных ИП определяет эффективность любой информационно-измерительной системы.

Среди всего многообразия измерительных преобразователей одно из главных мест принадлежит датчикам механических величин: перемещения, скорости, ускорения, силы, давления и т.д. Они являются неотъемлемой частью практически всех навигационных систем, применяемых на объектах, действующих в различных условиях - от подводных лодок до космических аппаратов. Без использования датчиков механических величин невозможно решение задач технической диагностики, идентификации, управления производственными процессами.

Основным функциональным узлом измерительного преобразователя, служащим для непосредственного восприятия измеряемой механической величины - входного сигнала, и её преобразования в другую физическую величину - выходной сигнал, является чувствительный элемент, от качества

которого в решающей степени зависят точность и надёжность прибора. В датчиках механических величин наиболее широко применяются упругие чувствительные элементы: пружины, струны, пластинки, цилиндрические и сферические оболочки, плоские и гофрированные мембраны, сильфоны и т.п.

Одним из наиболее перспективных классов датчиков механических величин, прежде всего, для инерциальной навигации, являются волновые твердотельные гироскопы (ВТГ).

Интерес к ВТГ вызван уникальным сочетанием ряда его свойств: небольшие габаритные размеры и масса, высокий ресурс, низкое время готовности, устойчивость к кратковременным отключениям электропитания, малое энергопотребление, низкие требования к обслуживанию благодаря отсутствию вращающихся частей и т.д., а также оптимальным соотношением цены и точности получаемой информации.

В качестве упругого чувствительного элемента (УЧЭ) волнового твердотельного гироскопа чаще всего используется тонкостенная полусферическая оболочка, жёстко соединенная в вершине с основанием. Принцип действия этих датчиков основан на явлении прецессии стоячих упругих волн: при вращении оболочки, колеблющейся по одной из собственных форм, картина стоячих волн поворачивается относительно неё с некоторой угловой скоростью, зависящей от скорости вращения резонатора.

Сфера использования ВТГ чрезвычайно широка - бортовые навигационные системы (космические, авиационные, судовые), системы безопасности наземных транспортных средств, информационно-измерительные комплексы для диагностики сложных технологических и энергетических установок (нефтегазовая промышленность и добыча полезных ископаемых), робототехнические системы различного назначения, медицинская техника, бытовая техника и электроника и т.д.

Таким образом, упругие чувствительные элементы типа оболочек вращения, выполняя важнейшие функции первичных измерительных

преобразователей ВТГ, определяют точность многих ответственных информационно-измерительных и управляющих систем.

Говоря о точности того или иного объекта, необходимо, прежде всего, установить критерии оценки этой характеристики - критерии качества объекта. Очевидно, что указанные критерии определяются, в первую очередь, функциональным назначением объекта и характером возмущающих факторов внешней среды, действующих на него в условиях эксплуатации. Отсюда следует, что критерии качества упругих чувствительных элементов первичных датчиков механических величин должны устанавливаться в зависимости от характера измеряемой величины и типа внешних возмущающих воздействий.

Входной сигнал, воспринимаемый резонатором ВТГ, является динамическим, поэтому проблема повышения качества ВТГ должна рассматриваться как проблема разработки и создания оболочечных упругих чувствительных элементов, имеющих заданные значения характеристик точности в динамических режимах работы - характеристик динамической точности.

Следует заметить, что понятие точности (динамической точности) имеет практический смысл только применительно к тем или иным конкретным условиям эксплуатации. То есть, по существу, задача обеспечения требуемого уровня динамической точности эквивалентна задаче обеспечения метрологической надёжности, которая определяется как способность элемента сохранять требуемый уровень точности в данных условиях эксплуатации.

При этом необходимо иметь в виду, что характеристики динамической точности существенно зависят от конструктивных параметров, прежде всего, параметров геометрии и материала резонатора.

У нас в стране и за рубежом непрерывно ведётся работа по совершенствованию технологии изготовления упругих чувствительных элементов с целью повышения их точности и надежности. Однако ни одна из существующих технологий не может обеспечить идеальные (номинальные), точно соответствующие проектным, параметры геометрии и материала УЧЭ.

Поэтому решение задачи проектирования и создания УЧЭ с заданными характеристиками динамической точности требует глубокого теоретического анализа динамики тонкостенных оболочек, характеристики материала которых имеют разброс относительно номинальных значений, а параметры геометрии -отклонения от идеальных, в первую очередь, неосесимметричные, т.е. зависящие от окружной координаты. Это обусловлено тем, что такого рода отклонения качественно изменяют рабочие характеристики ВТГ, вызывая эффект расщепления спектра частот чувствительного элемента. Величина расщепления собственных частот УЧЭ является одной из важнейших характеристик точности волнового твердотельного гироскопа.

Кроме того, учитывая, что технологические отклонения параметров геометрии и разброс характеристик материала упругих чувствительных элементов носят случайный характер, необходим вероятностный анализ их влияния на характеристики динамической точности ВТГ.

Это, в свою очередь, возможно только при наличии эффективных методов решения задач динамики произвольных, в первую очередь, неосесимметричных, оболочек в детерминированной и вероятностной постановках.

В настоящее время такие методы, применительно к УЧЭ ВТГ в виде тонкостенных неосесимметричных оболочек, мало отличающихся от оболочек вращения, развиты недостаточно для того, чтобы удовлетворить потребности практики проектирования.

Таким образом, разработка методов расчёта расщепления собственных частот упругих чувствительных элементов волнового твердотельного гироскопа при наличии неосесимметричных несовершенств параметров их геометрии и разброса характеристик материала в детерминированной и вероятностной постановках является весьма актуальной.

Цель работы состоит в повышении точности и метрологической надёжности волновых твердотельных гироскопов различного назначения.

Указанная цель достигается путём решения комплекса следующих задач:

- разработка методов расчёта расщепления собственных частот оболочечных упругих чувствительных элементов ВТГ, имеющих детерминированные и случайные несовершенства геометрии, зависящие от окружной координаты, и разбросы характеристик материала;

- создание комплекса алгоритмов и программ для расчёта спектра частот УЧЭ с учётом разброса характеристик их материала и несовершенств геометрии в детерминированной и вероятностной постановках;

- верификация разработанного программно-алгоритмического обеспечения;

- проведение теоретического анализа и выявление основных закономерностей влияния важнейших конструктивных параметров неидеальных оболочечных УЧЭ на расщепление спектра частот их свободных колебаний;

- применение разработанного программно-алгоритмического обеспечения к расчёту и проектированию резонаторов ВТГ.

Цель диссертационной работы соответствует приоритетным направлениям развития науки, технологий и техники в Российской Федерации «Индустрия наносистем», «Информационно-телекоммуникационные системы»,

«Перспективные виды вооружения, военной и специальной техники», «Транспортные и космические системы», работа направлена на развитие критических технологий «Технологии наноустройств и микросистемной техники», «Технологии информационных, управляющих, навигационных систем», «Базовые и критические военные и промышленные технологии для создания перспективных видов вооружения, военной и специальной техники», «Технологии создания высокоскоростных транспортных средств и интеллектуальных систем управления новыми видами транспорта», «Технологии создания ракетно-космической и транспортной техники нового поколения», «Технологии создания электронной компонентной базы и энергоэффективных световых устройств».

Методы исследования основаны на фундаментальных положениях классической механики, механики деформируемого твёрдого тела и вычислительной механики. В работе использован аппарат нелинейной

механики (асимптотические методы, метод малого параметра), методы прямого тензорного исчисления, компьютерной алгебры и теории вероятностей.

Научная новизна работы состоит в том, что в ней получены новые научные результаты:

- методики расчёта расщепления собственных частот резонаторов ВТГ, позволяющие учесть детерминированные и случайные неосесимметричные несовершенства формы срединной поверхности и разнотолщинность, а также разброс характеристик материала (плотности, коэффициента Пуассона, модуля Юнга);

- зависимости расщепления частот (вероятностных характеристик расщепления частот) от конструктивных параметров резонаторов ВТГ с несовершенствами указанных типов;

- закономерности и степень влияния различных конструктивных параметров резонаторов с несовершенствами указанных типов на расщепление спектра их частот.

Практическая значимость работы

Разработанное программно-алгоритмическое обеспечение доведено до уровня, позволяющего применять его в расчётно-проектировочной практике и используется при проектировании перспективных приборов, что подтверждается актом о внедрении. Его применение позволило повысить характеристики резонаторов волновых твердотельных гироскопов и ускорить процесс их проектирования.

Изложенные в диссертации методы, алгоритмы и программное обеспечение могут быть использованы для расчёта и проектирования широкого класса УЧЭ оболочечного типа.

Достоверность результатов, полученных с использованием разработанных методик, подтверждена их хорошим совпадением с данными проведённых экспериментов, с результатами других исследователей и проверкой на модельных и тестовых задачах.

На защиту выносятся следующие основные положения:

- методики расчёта расщепления собственных частот упругих чувствительных элементов ВТГ, имеющих детерминированные и случайные несовершенства геометрии, зависящие от окружной координаты, и разбросы характеристик материала;

- результаты теоретического анализа и основные закономерности влияния конструктивных параметров УЧЭ ВТГ, имеющих детерминированные и случайные неосесимметричные несовершенства геометрии (форма срединной поверхности, толщина) и технологические разбросы характеристик материала (плотность, коэффициент Пуассона, модуль Юнга), на расщепление спектра их частот.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка методов расчёта расщепления спектра частот неидеального упругого чувствительного элемента волнового твердотельного гироскопа»

Апробация работы

Основные положения работы докладывались на:

- Всероссийской научно-технической конференции, посвящённой 170-летию МГТУ им. Н.Э. Баумана (Москва, Россия, 2000 г.);

- 5th Russian-Bavarian Conference on Biomedical Engineering (Мюнхен, Германия, 2009 г.);

- IV Международной школе-конференции молодых учёных «Нелинейная динамика машин» (Москва, Россия, 2017 г.);

- научном семинаре кафедры прикладной механики МГТУ им. Н.Э. Баумана (Москва, Россия, 2017 г.).

Реализация работы. Результаты работы внедрены в практику проектирования волновых твердотельных гироскопов в АО «Инерциальные технологии «Технокомплекса», а также используются в учебном процессе на кафедре прикладной механики МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Публикации. Содержание диссертации отражено в 6 научных работах, 3 из которых опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК Минобрнауки России.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы и приложения. Общий объём работы

156 страниц, включая 137 страниц основного текста, содержащего 37 рисунков, 3 таблицы. Список литературы включает 149 наименований.

В первой главе представлено описание современного состояния проблемы точности работы оболочечных упругих чувствительных элементов волновых твердотельных гироскопов. Дан обзор и анализ исследований в области точности работы оболочечных упругих чувствительных элементов волновых твердотельных гироскопов. Обоснована актуальность работы. Сформулированы цель и основные задачи работы.

Вторая глава посвящена разработке и обоснованию математической модели неосесимметричного оболочечного упругого чувствительного элемента волнового твердотельного гироскопа. Обоснован асимптотический подход к вычислению расщепления собственных частот оболочечного упругого чувствительного элемента с малыми отклонениями от осевой симметрии. На основе вариационного подхода построены возмущённые матричные операторы тонкостенной оболочки с малыми отклонениями формы срединной поверхности от осевой симметрии и неосесимметричной разнотолщинностью. На модельных задачах осуществлена верификация разработанной динамической модели. Представлен алгоритм расчёта расщепления частот свободных колебаний оболочечного чувствительного элемента волнового твердотельного гироскопа, имеющего малые случайные неосесимметричные отклонения параметров геометрии и случайный разброс характеристик материала.

В третьей главе приведены результаты численного расчёта расщепления (вероятностных характеристик расщепления) собственных частот оболочечных упругих чувствительных элементов с детерминированными и случайными малыми отклонениями формы срединной поверхности от осевой симметрии, детерминированной и случайной малой неосесимметричной разнотолщинностью. Приведены также результаты расчёта расщепления частот при наличии детерминированного разброса характеристик материала. Представлены зависимости расщепления (вероятностных характеристик

расщепления) собственных частот от основных конструктивных параметров упругих чувствительных элементов. На основе анализа указанных зависимостей установлены основные закономерности влияния конструктивных параметров резонаторов на расщепление (вероятностные характеристики расщепления) их собственных частот. Выявлены параметры резонаторов, оказывающие наиболее существенное влияние на величину расщепления (проектные параметры). Изложена методика построения в пространстве проектных параметров областей работоспособности резонаторов волновых твердотельных гироскопов по критерию величины расщепления собственной частоты. Использование областей работоспособности позволяет получать рациональные проектные решения при существенном сокращении времени проектирования.

В четвёртой главе приведены результаты экспериментального исследования расщепления частот резонаторов волновых твердотельных гироскопов. Экспериментально определены значения расщепления собственной частоты для партии серийно выпускаемых полусферических резонаторов волнового твердотельного гироскопа. Сравнение результатов экспериментов с расчётными данными показало хорошее соответствие разработанной математической модели упругих чувствительных элементов волнового твердотельного гироскопа реальным объектам данного класса и адекватность предложенных методов её численного анализа.

В заключении даны основные выводы по работе.

Работа выполнена на кафедре прикладной механики МГТУ им. Н.Э. Баумана.

ГЛАВА 1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ ТОЧНОСТИ РАБОТЫ ОБОЛОЧЕЧНЫХ ЧУВСТВИТЕЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ВОЛНОВЫХ ТВЕРДОТЕЛЬНЫХ ГИРОСКОПОВ И ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ, РАССМАТРИВАЕМЫЕ В РАБОТЕ

1.1. Применение волновых твердотельных гироскопов. Режимы

работы их чувствительных элементов в условиях эксплуатации

Как отмечалось во введении, область применения волновых твердотельных гироскопов весьма широка. Условия работы упругих чувствительных элементов ВТГ, критерии оценки их точности, а также требования, предъявляемые к этим критериям, существенно зависят от функционального назначения и конструктивных особенностей устройств, в которых они устанавливаются.

По мере насыщения производства, транспортных, энергетических и других систем вычислительной и микропроцессорной техникой возрастают не только объёмы первичной измерительной информации, но и требования к её качеству и, в первую очередь, к её точности и надёжности. Постоянно происходит обновление элементной базы информационно-измерительных систем, замена старых датчиков первичной информации новыми, обладающими значительно более высокими метрологическими показателями и удовлетворяющими целому комплексу сложных и иногда противоречивых требований (точность, надежность, малая масса и габаритные размеры, малое энергопотребление, низкая стоимость, возможность дальнейшей миниатюризации и др.).

Волновые твердотельные гироскопы на основе полусферических чувствительных элементов удовлетворяют большинству из перечисленных требований.

В основе функционирования волнового твердотельного гироскопа лежит физическое явление прецессии стоячих упругих волн в осесимметричном упругом теле, вращающемся вокруг оси симметрии.

Если возбудить стоячие волны в осесимметричном резонаторе, то вращение основания, на котором установлен резонатор, вызывает поворот стоячей волны на меньший, но известный угол.

Соответствующее движение волны как целого называется прецессией. Скорость прецессии стоячей волны пропорциональна проекции угловой скорости вращения основания на ось симметрии резонатора.

Самое раннее исследование влияния вращения на колебания оболочек, по-видимому, принадлежит G.H.Bryan [1]. Он исследовал явление биения, которое происходит из-за малых различий скоростей прямой и обратной бегущих волн в оболочке, вращающейся с малой угловой скоростью. В работе описан эффект запаздывания формы колебаний относительно корпуса кольца и цилиндра при вращении их со скоростью Q (Рисунок 1.1). Показано, что в кольце скорость прецессии составляет:

к2 -1 у* = ——

к +1

где к - количество волн или узловых меридианов (номер формы колебаний). При к = 2 скорость прецессии в кольце = 0,6Q [2].

Рисунок 1.1

Этот эффект в конце 60-х - начале 70-х годов прошлого века использовали исследователи из General Motors, разрабатывая гироскоп с резонатором в виде тонкой полусферической оболочки [3, 4]. С 70-х годов прошлого века ВТГ в

США разрабатывали в филиале General Motors под руководством D.D. Lynch. Позднее это подразделение последовательно принадлежало Delco Electronics, Litton, Hughes Electronics и Northrop Grumman Со. В настоящее время разработкой ВТГ занимается созданный на базе указанного подразделения «David D. Lynch Hemispherical Resonator Gyro Manufacturing Center» [5].

Был зарегистрирован ряд патентов, описывающих множество усовершенствований конструкции ВТГ. Первые патенты описывали прибор как датчик угловой скорости. В более поздних патентах [6, 7] предлагается интегрирующий датчик угловой скорости на базе ВТГ, то есть датчик угла поворота. При этом важной особенностью предлагаемого прибора является то, что он будет продолжать интегрировать угловую скорость поворота даже во время короткого прерывания электропитания, что является его уникальным преимуществом.

Существуют различные возможные конструктивные решения УЧЭ ВТГ (Рисунок 1.2, а - е) [8 - 13].

г) д) е)

Рисунок 1.2. Типы резонаторов ВТГ

В реальных ВТГ резонатор, как правило, представляет собой либо стержень кольцевой формы, либо тонкостенную упругую оболочку вращения, изготовленные из плавленого кварца, сапфира или другого материала, имеющего малый коэффициент потерь при колебаниях [1, 13]. На Рисунке 1.3 дана схема одного из вариантов ВТГ, представляющего собой полусферический кварцевый резонатор 1, закреплённый в корпусе на ножке 4 в полюсе оболочки [8, 14]. Внутренняя и внешняя поверхности резонатора покрыты тонким слоем хрома и являются ответными частями системы электростатического возбуждения 2, поддержания колебаний 5 и системы ёмкостного съёма 3, электроды которых располагаются по окружности вдоль свободного края резонатора. Свободная кромка полусферы является рабочей областью ВТГ. Таким образом, совместно с системой самовозбуждения резонатор составляет электромеханическую автоколебательную систему, частота колебаний которой равна одной из его собственных частот (как правило, низшей).

Рисунок 1.3. Схема ВТГ: 1 - резонатор, 2 - система электростатического возбуждения, 3 - система съёма сигналов колебаний, 4 - ножка резонатора, 5 - система поддержания колебаний

В качестве примера на Рисунке 1.4 представлен микромеханический гироскоп (ММГ) CRS03 фирмы Silicon Sensing Systems (SSS), Япония -Великобритания [15].

а) б) в)

Рисунок 1.4. Микромеханический гироскоп фирмы SSS: а) - внешний вид датчика; б) - фрагмент кольцевого упругого чувствительного элемента ММГ; в) - датчик без внешней крышки, чувствительный элемент

Чувствительный элемент этого прибора представляет собой микромеханическую систему в виде упругого кольца на гибких изогнутых стержнях. Для возбуждения первичных колебаний используется миниатюрный магнит (цилиндр в верхней части на Рисунке 1.4, в). Чувствительный элемент выполнен из монокристаллического кремния методом фотолитографии и имеет толщину 100 мкм.

На Рисунке 1.5, а, б показаны фотография и конструкция одной из последних разработок ВТГ французской фирмы Sagem [16].

Конструктивное исполнение волнового твердотельного гироскопа с одной осью, разработанного ОАО «Раменское приборостроительное конструкторское бюро» [2, 13], приведено на Рисунке 1.6. Прибор состоит из полусферического резонатора 7, наружного 6 и внутреннего 3 корпусов с расположенными на них системами электродов возбуждения 4 и 8 и съёма информации 5, основания с вакуумной колодкой и установленными в ней коаксиальными 10 и одинарными 2 гермовводами, кожуха 9 с ниппелем и

встроенного нераспыляемого геттерного насоса 1, предназначенного для поддержания глубокого вакуума в полости прибора.

1 2 3

а) б)

Рисунок 1.5. Волновой твердотельный гироскоп фирмы Sagem: 1 - электрическое соединение, 2 - вал, 3 - крышка, 4 - верхняя сторона, 5 - герметичная камера, б - резонатор, 7 - электрод, 8 - торцевая сторона,

9 - боковая сторона, 10 - нижняя сторона, 11 - инерциальный блок, 12 - электро до держатель, 13 - электрический соединитель, 14 - верхняя сторона, 15 - стержни, 16 - электрическое соединение, 17 - нижняя сторона,

18 - электронная карта, 19 - корпус, 20 - электрический соединитель, 21 - заслонка, 22 - шпилька, 23 - пружина, 24 - ппырь, 255 - электрическое

соединение, 26 - рамка, 27 - основа

На наружном корпусе 6 имеются 1(3 отдельных и один кольцевой электроды, предназначенных для возбуждения и поддержания колебаний резонатора в рабочем режиме; на внутреннем корпусе 3 - восемь электродов системы съёма информации, формирующих два измерительных канала, которые расположены под углом 45° по отношению друг к другу.

С помощью системы возбуждения в резонаторе устанавливают так называемую вторую форму колебаний, у которой стоячая волна имеет четыре пучности через каждые 90 градусов.

Рисунок 1.6. Конструкция волнового твердотельного гироскопа разработки ОАО «Раменское приборостроительное конструкторское бюро»: 1 - встроенный насос; 2 - одинарный гермоввод; 3 - внутренний корпус;

4, 8 - электроды возбуждения; 5 - электроды для считывания информации;

6 - наружный корпус; 7 - резонатор; 9 - кожух; 10 - коаксиальный гермоввод

Электроды системы съёма информации служат датчиками положения пучностей стоячей волны на резонаторе. Соответствующая обработка сигналов этих датчиков позволяет получать информацию о вращательном движении основания резонатора.

При вращении оболочки картина стоячих волн поворачивается относительно неё с некоторой угловой скоростью, которая является функцией скорости вращения резонатора. Зная время, за которое произошёл поворот, можно вычислить угол поворота, скорость и ускорение вращения объекта. В соответствии с этим в различных гироскопических системах ВТГ работают как в режиме измерения угловой скорости (ВТГ-ДУС), так и в режиме интегрирующего гироскопа (ВТГ-ИГ).

От различных типов вибрационных гироскопов ВТГ отличает тот факт, что для выработки сигнала измерительной информации используется не тот

или иной отдельный параметр колебательного процесса чувствительного элемента (например, амплитуда колебаний), а свойства волн в целом, и, в отличие от волн электромагнитного характера, используемых в лазерных гироскопах, эти волны возникают в упругом теле [17].

Важным преимуществом ВТГ перед механическими гироскопами является то, что ему не требуется времени на раскрутку чувствительного элемента. При этом, поскольку сам УЧЭ волнового твердотельного гироскопа не вращается, не происходит затрат энергии на преодоление трения в опоре. Также, благодаря высокой добротности УЧЭ, он способен сохранять инерциальную информацию о поведении объекта в течение нескольких минут в случае аварийного отключения системы возбуждения.

Преимущества ВТГ обусловили их чрезвычайно широкое применение, прежде всего, в космических исследованиях [18 - 28]. В частности, ВТГ используются в качестве датчиков угловой скорости в прецизионной системе управления космическим телескопом Hubble [28], в бортовых навигационных комплексах межпланетного аппарата CASSINI (полёт к Сатурну) [28], MESSENGER (полёт к Меркурию) и спутников связи [28]. По данным Northrop Grumman Co. [29], волновые твердотельные гироскопы успешно эксплуатируются в системах более 145 космических аппаратов различного назначения, наработав без отказов 30 млн гиро-часов в условиях космического пространства, в том числе Дальнего космоса.

В целом, всё более широкое применение ВТГ обусловлено следующими его основными достоинствами:

- низкие требования к обслуживанию вследствие отсутствия вращающихся частей;

- малая чувствительность к линейным перегрузкам;

- компактность и малый вес;

- низкое энергопотребление;

- малое время готовности;

- широкий диапазон рабочих температур;

- устойчивость к прерыванию подачи электропитания;

- высокая надёжность;

- высокая радиационная стойкость;

- высокое отношение точность/стоимость.

Эти качества весьма востребованы, например, в морских приложениях, где также чрезвычайно большое значение имеет долгий срок службы приборов, не требующих специального техобслуживания. В морской навигации ВТГ может применяться в следующих устройствах [16]:

- компасы (спецификации Международной гидрографической организации),

- гирогоризонткомпасы разных классов точности,

- инерциальные навигационные системы разных классов точности.

Область применения волновых твердотельных гироскопов постоянно

расширяется. Так, в последние годы в России и других странах увеличивается объём бурения горизонтальных и наклонных газовых и нефтяных скважин, проходка которых требует периодических замеров их кривизны. Измерение траектории скважины кабельными инклинометрами трудоёмко и требует нескольких часов на их спуск и подъём. Использование встроенного в буровую колонну инклинометра позволяет определять траекторию скважины, не прерывая процесс бурения [30 - 32]. Измерение угловой ориентации скважины осуществляется периодически, во время остановок буровой колонны при установке наращивающей длину трубы. Применение ВТГ в составе гироскопического инклинометра обеспечивает выполнение измерений в условиях относительно высоких перегрузок, температур, сильных вибраций (включая случайные) и ограниченного пространства (прибор должен помещаться в трубу диаметром 38 - 42 мм) [30 - 37]. Также, в отличие от феррозондовых преобразователей, измеряющих проекции вектора магнитного поля Земли, волновой твердотельный гироскоп не чувствителен к его искажению, вызванному использованием труб из магнитомягких материалов, ферромагнитными аномалиями и т. п.

Развитие скоростного железнодорожного транспорта сделало необходимым применение инерциальных систем в составе аппаратуры вагонов-путеизмерителей [38]. Цель системы контроля деформации рельс состоит в определении угла деформации рельс и относительного положения стрелы прогиба каждой рельсовой нити. Система безопасности для предотвращения аварий на железной дороге может быть основана на системе спутниковой навигации, устанавливаемой на локомотивах. Однако точность работы комбинированной системы (спутниковой и ВТГ) выше, чем точность каждой из них по отдельности. Также ВТГ является единственным источником информации в зонах, где теряется сигнал, получаемый от спутников (тоннели и глубокие выемки) [38].

Из приведённых примеров видно, что волновой твердотельный гироскоп, обладающий рядом преимуществ перед другими типами гироскопов, находит всё более широкое применение в самых высокотехнологичных и ответственных технических системах. В связи с этим ужесточаются требования к динамическим рабочим характеристикам ВТГ. Эти требования тем более высоки, что при современном состоянии электронной техники преобразование информации, выдаваемой чувствительным элементом, может быть выполнено практически с любой степенью точности, следовательно, качество всей системы (прибора) ограничивается, главным образом, качеством упругих элементов датчиков первичной информации.

1.2. Современные требования к точности работы оболочечных

чувствительных элементов волновых твердотельных гироскопов

Из приведённых выше примеров видно, что волновые твердотельные гироскопы используются, как правило, в весьма ответственных системах, работающих, к тому же, в тяжёлых внешних условиях.

По данным американских источников ВТГ широко применяются для навигации воздушных судов, стратегических ракет, подземной навигации при бурении скважин, стабилизации коммуникационных спутников, прецизионного

целеуказания и навигации при полётах в Дальний космос [28, 39, 40]. Унифицированные инерциальные навигационные блоки на базе ВТГ стали датчиками «предпочтительного выбора» для всех наиболее сложных и дорогостоящих космических полётов [28, 41, 42].

Это определяет чрезвычайно высокий уровень требований к качеству ВТГ, важнейшим показателем которого является точность. При этом, как уже отмечалось, само понятие точности измерительного преобразователя имеет практический смысл только в связи с теми или иными конкретными условиями эксплуатации. Другими словами, задача достижения требуемого уровня точности, в сущности, эквивалентна задаче обеспечения так называемой метрологической надёжности, которая определяется как способность элемента сохранять требуемый уровень точности в данных условиях эксплуатации [43 -45].

Рассмотрим несколько примеров, наглядно характеризующих уровень современных требований к точности ответственных информационно-измерительных систем на базе ВТГ.

Чрезвычайно высокими метрологическими характеристиками должны обладать чувствительные элементы ВТГ, используемых в ракетной и космической технике. Так, погрешность наведения на объект уже упоминавшегося комического телескопа Hubble не должна превышать ±0,01" [28, 46]. При этом, азимутальное отклонение оси телескопа от направления на объект не должно выходить за пределы ±0,007" в течение 24 часов [28].

При осуществлении полёта к Марсу зонда планеты, запускаемого с пролётного космического корабля, среднеквадратичное значение ошибки определения направления вектора скорости аппарата не должно превосходить 5" [47].

Важно заметить, что от точности навигации космического аппарата зависит не только выполнение программы полёта, а в случае пилотируемого аппарата - и безопасность экипажа, но и материальные затраты на осуществление полёта. Повышение точности навигации может существенно

сказаться, например, на расходе энергии бортовых источников космического аппарата, не говоря об экономии топлива за счёт возможного сокращения времени работы двигательной установки при выполнении коррекции. Это особенно важно при осуществлении полётов в Дальний космос. Так, при уменьшении ошибки ориентации антенны космического аппарата с 0,5° до 0,1° достигается усиление 3,3 дБ, что эквивалентно снижению потребления энергии в 2,1 раза. Разумеется, указанное уменьшение ошибки ориентации связано со значительными затратами, которые, однако, окупаются за счёт существенной экономии бортовых энергоресурсов. Вообще, следует отметить, что эффективность капитальных вложений, направляемых на совершенствование первичных датчиков навигационных систем, весьма высока [48]. С этим в немалой степени связан опережающий рост требований к точности и надёжности таких датчиков.

Таким образом, современная техника предъявляет чрезвычайно высокие требования к точности информационно-измерительных систем на базе ВТГ.

Суммируя эти требования применительно к упругим чувствительным элементам ВТГ, можно утверждать, что такие элементы в наиболее ответственных и дорогостоящих навигационных системах при весьма сложных условиях эксплуатации должны обеспечивать точность порядка 10-3 - 10-4 градуса в час (°/час) и вероятность отказа не более одной тысячной при непрерывной работе в течение не менее 15 лет [28, 49, 50].

Для того, чтобы устанавливать объективные количественные требования к точности резонаторов в динамических режимах работы, необходимо формализовать сами эти понятия, ввести систему количественных характеристик (критериев) динамической точности гироскопа.

Как отмечалось выше, практический смысл понятий точности и метрологической надёжности, по существу, одинаков, следовательно такие характеристики могут одновременно служить критериями метрологической надёжности измерительных преобразователей.

Упругий чувствительный элемент волнового твердотельного гироскопа

осуществляет измерительное преобразование, в результате которого устанавливается взаимно однозначное соответствие между входным сигналом (угол или угловая скорость поворота основания) и выходным сигналом измерительной информации, в качестве которого выступает угол или угловая скорость поворота упругой волны. Функциональная зависимость, связывающая входной и выходной сигналы, является, по существу, своеобразной тарировочной характеристикой измерительного преобразователя, определяющей в решающей мере его метрологические характеристики.

Важнейшая задача проектирования УЧЭ ВТГ состоит в обеспечении стабильности его тарировочной характеристики и минимизации влияния на неё различных технологических и эксплуатационных факторов. К числу наиболее значимых из них относятся технологические погрешности геометрии и материала резонатора, его добротность, температурный режим эксплуатации, влияние радиационного воздействия, вибрации и ряд других [28, 32, 35, 40, 51 - 57].

Что касается эксплуатационных факторов, таких как температурные воздействия, вибрации, радиация, они хорошо изучены, и выработана система мер, в достаточной степени компенсирующих их негативное влияние [28, 35, 40]. Это не означает, разумеется, отсутствия необходимости дальнейшего совершенствования УЧЭ ВТГ в направлении повышения их устойчивости к указанным воздействиям.

Однако, наиболее сложной и в настоящее время не решённой в полном объёме является задача проектирования резонаторов ВТГ с учётом реальных погрешностей параметров их геометрии и материала, возникающих в силу несовершенства технологий изготовления [56 - 60].

Для решения этой задачи необходимо, в первую очередь, совершенствовать процессы изготовления чувствительных элементов ВТГ, добиваясь минимизации технологических погрешностей их конструктивных параметров. Вместе с тем, ни одна технология не может обеспечить идеальные (номинальные), точно соответствующие проектным, параметры геометрии и

материала УЧЭ [56 - 60]. Поэтому совершенствование технологий изготовления должно сопровождаться развитием методов математического моделирования и проектирования элементов указанного класса, позволяющих с максимальной полнотой учитывать при проектировании реальные характеристики их геометрии и материала. Отсюда вытекает, что решение задачи проектирования и создания УЧЭ с заданными характеристиками динамической точности требует глубокого теоретического анализа динамики тонкостенных оболочек, характеристики материала которых имеют разбросы относительно номинальных значений, а параметры геометрии - малые отклонения от идеальных, в первую очередь, неосесимметричные, т.е. зависящие от окружной координаты. Это обусловлено тем, что такого рода отклонения вызывают эффект расщепления спектра частот чувствительного элемента, что, в свою очередь, приводит к нарушению взаимно однозначного соответствия между входным и выходным сигналами ВТГ. В связи с этим величина расщепления собственных частот УЧЭ рассматривается как одна из важнейших характеристик точности волнового твердотельного гироскопа.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Козубняк Светлана Аркадьевна, 2017 год

и - И

5 0

Ек

2(1 - )2)

Бр(е) - 2(1 - ))

£

+

В + —

2

+а

Бр(ж) - 2(1 - ))

ж

+

- 12 ■ (Ухи) }АВвтхЛяйц).

(2.34)

2.2.3. Геометрия возмущённой поверхности

Как следует из (2.23) и (2.34), для построения функционала Гамильтона П = Т — и оболочки необходимо определить дифференциальные операторы на возмущённой срединной поверхности и параметры её геометрии.

Исследуем геометрические характеристики возмущённой срединной поверхности, исходя из её близости к поверхности вращения.

Без ущерба для общности примем, что положение точек срединной поверхности возмущённой оболочки определяется радиусом-вектором

Г = Г0 + С\ Б

По, (2.35)

где г0, п0 - радиус-вектор и вектор нормали срединной поверхности идеальной оболочки вращения, соответственно;

- малое отклонение возмущённой срединной поверхности от

осесимметричной формы (Рисунок 2.1).

Учитывая малость возмущений во всех последующих выкладках будем удерживать только линейные слагаемые по %.

Проводя с учётом вышесказанного вычисления, получим следующие выражения для характеристик геометрии возмущённой срединной поверхности в линейном приближении:

А =

дг

г

В =

д8 дг

д(^0 )

Л2

*10 + д*

V

1 +

Я

д(^П0 )

2

дф 41 = А д*

t2 = 4"

2 В дф

420Г0 + дф V У

г

10

1 +

% ЯШ 00

V

Г

0

д(Ч)

+ д*

V

1 *

А " 410 + Э7П0;

(2.36)

У

/

д(Ч )

+ дф

V У

1 + 1 _~ 4 +---- п •

В 20 + Г дф 0'

п =

Ч Х

д£ 1

Х

4 + п •

д* ~10 г дф 20 0'

соя х = ^ ■ 42 « 0, где Ь20, п0 - орты срединной поверхности идеальной оболочки;

^ Ь2, п, А, В - орты и параметры Ламе возмущенной срединной поверхности, соответственно;

г0 - радиус параллельного круга срединной поверхности идеальной оболочки (Рисунок 2.1);

60 - угол между нормалью к идеальной срединной поверхности и осью её симметрии (Рисунок 2.1);

- радиус кривизны меридионального сечения идеальной срединной поверхности.

Как видно из (2.36), с точностью до малых 2-го порядка (в линейном приближении) координатные линии на возмущённой поверхности можно считать ортогональными.

Для дифференцирования единичных векторов возмущённой поверхности

необходимо получить выражения «геометрических» угловых скоростей О^ О

[66]:

(2.37)

О = ^ + Ю12Ь2 + Ю^п;

° = ^А + ©22*2 + Ю23п-

Проводя вычисления по формулам [66], получим для компонентов векторов О следующие выражения:

1 Э10

© =---

11 А дз

п

Г \

ес80о д§ + 1 д2§

V

Г

о

др г0 дз др

©12 =

©^ =

13

1 д1 А дз

1 д1,

А дз ' 2

п

§ д2§

Я1о Я

1о

дз2

Яп гп дР'

©21 =

©22 =

©23 =

1

В др

-1 д1 В др

1

В др

п

1о о ятв

о

яш2 в

+

г

§ +

д2§

соя

+

во д§

п

соя

г0 го р

во д§ д2§

г

дз

(2.38)

• ^

г 2

о

соя в

г

/

др г дз др

81п 2во § + 81пво д§

2г2

г

дз

В выражение для потенциальной энергии деформации (2.34) входят градиенты и роторы векторов и, А, (А X п). Эти дифференциальные операции на возмущённой поверхности определим следующим образом:

1

Vf = t

df

57 Л f

A da

+ Q1x f

+1

9f

V x f = t x

9f

+ Q1x f

B эр

+ 12 X

+ a2 x f

df

(2.39)

B эр

+ О, x f

да

Контроль правильности полученных геометрических величин осуществлялся непосредственной проверкой тензорного тождества, справедливого для произвольной криволинейной поверхности [132, 133]:

Ух К = п х (К • К), (2.40)

где К = Уп - тензор кривизны возмущённой поверхности [133].

В выражении (2.40) ротор тензора кривизны вычисляется следующим образом

УхK = t х

+12 х

ЭК

A да

ЭК

B Эв

+ Q1x К - К xQ1 + 02 х К - К xQ2

+

(2.41)

При вычислении правой и левой частей (2.40) используются все геометрические величины, найденные выше, что позволяет выявить возможные ошибки в описании геометрии.

2.2.4. Функционал Гамильтона неидеальной оболочки и уравнения движения оболочки

Как было показано выше, в линейном приближении расщепление собственной частоты, соответствующей волновому числу k , может быть вызвано лишь гармониками возмущения формы оболочки с номером 2k. В соответствии с этим выражение для функции возмущения формы принимает вид

= (s) cos 2к(ф-аф), (2.42)

nj

где аф =—, j = 0, 1, 2, 3, .... ф 2k

Подставляя в (2.23) и (2.34) выражение (2.30) для вектора перемещений и

используя выражения (2.36), (2.38) и (2.42), можно записать функционалы потенциальной энергии деформации и кинетической энергии оболочки следующим образом

и = |фи (*, пк, ук, шк , п', V', ^ ^ ¿2к )<Ь, (2.43)

Т = я|фг ик,^,^¿2k)ds.

(2.44)

Здесь и далее штрихом обозначена производная по в .

Объединяя (2.43) и (2.44), получим для функционала действия по Гамильтону оболочки [134]

п = \ь (8, ик, ук, К Ак, ик, \, Кк ¿2к , (245)

(2.46)

где

L = Шт (s, ик, vk, wk ¿2к)-

~Фи (s, ик, vk, wk Ak, ик, vk, wk Ak Q к ¿2 к ) •

Подынтегральное выражение (2.46) весьма громоздко. Для его вычисления был разработан специальный программный комплекс «Operator», позволяющий с использованием компьютерного пакета Wolfram Mathematica осуществлять в аналитическом виде все необходимые преобразования.

Система уравнений Эйлера для функционала (2.46) имеет вид

d (d L " Э L

ds duk

d Э L " д L

ds dvk

d 3 L | д L

ds dw' V k J dwk

d ( 3L " Э L

ds J ^ik

dL = 0.

= 0;

(2.47)

Последнее уравнение в (2.47) является геометрическим и выражает собой гипотезу Кирхгоффа.

Для преобразования системы (2.47) к стандартной форме Коши введём новые переменные, имеющие смысл внутренних силовых факторов:

ТВ =-; Б* В =-;

1к Э< 1к Э< '

к к (2.48)

* — ЭЬ , „ ЭЬ

Q*B = —; M^kB =

dw'J lk Э&'

k lk

Аналитически разрешая с помощью комплекса «Operator» систему (2.47) - (2.48) относительно производных основных неизвестных и исключая

дополнительную переменную Q к, получим разрешающую систему уравнений в стандартной форме

^ = Ay - ЯБу, (2.49)

ds

где у = («t' vk' тк. . TlkB, s'lkB, Q'lkB, MlkB)T.

Операторы A0 и B0 идеальной оболочки получаются из A и B

подстановкой = 0. Соответствующие возмущения AA и AB операторов A0

и B0 вычисляются как

AA = A - A0; AB = B - B0.

Для контроля матрицы AA используется условие симметрии (2.10). Контроль матрицы AB осуществляется с использованием выражения для кинетической энергии

T = yT • By ds. (2.50)

2 J

s

Из равенства выражений (2.23) и (2.50) вытекает, что все элементы матрицы B нулевые, кроме трёх, которые связаны с перемещениями

B5,1 =

60

д2 Ф

т.

duk

д2 Ф

6,2

dv 2

(2.51)

д2 Ф

в73 = ^^

Приведём ненулевые элементы матрицы B для р = const, разделив их на идеальную и возмущённую составляющие.

(В0 L =( В0 =( В0 L = hP (2.52)

sin 0„

\R10

+

r

0 J

(2.53)

'5,1

(Лв)5Д = («) Р

(Лв),2=- (Чд; (ЛЧ,=( Ч

Компоненты матриц А0 и а1 (Аа = еа1) приведены в Приложении П.1.

Полученные матрицы а0, Аа, в0, Ав являются основой для

нахождения расщепления частоты произвольной оболочки вращения с возмущённой геометрией срединной поверхности (2.16).

2.3. Возмущённый матричный оператор тонкостенной оболочки в случае малых неосесимметричных возмущений толщины

Применительно к малым неосесимметричным возмущениям толщины оболочки результаты проведённого выше анализа сохраняют силу.

В соответствии с этим возмущённая величина представляется в виде:

h(s,p) = h0 + h2k (s)cos2k(ф-аф), (2.54)

где индексом ' ' 0" обозначены величины, соответствующие идеальной оболочке

вращения, индексом ' ' 2к" - малые возмущения соответствующих параметров; К!

аф = , ! = 0, 1, 2, .... ф 2к

По методическим соображениям каждый раз рассматривается возмущение одного параметра, хотя расчёт УЧЭ при одновременном возмущении нескольких характеристик не вызывает каких бы то ни было дополнительных затруднений.

Например, в случае возмущения толщины ненулевые элементы матрицы

В0 имеют вид (2.52), а ненулевые элементы матрицы АБ выглядят следующим образом:

( ДВ)5д = 2 () V. (2 55)

(ДЧ,2=- (ДВ)5Д; (ДВ),,3=( ДВ)5Д •

Элементы матриц А0 и Ах (АА = еА1) (идеальная и возмущённая части)

приведены в Приложении П.2.

Таким образом, разработанный алгоритм позволяет проводить численный расчёт расщепления собственных частот оболочечного УЧЭ, имеющего произвольные малые погрешности параметров геометрии, зависящие от окружной координаты.

2.4. Верификация динамической модели неидеального оболочечного упругого чувствительного элемента волнового твердотельного гироскопа

2.4.1. Кольцевая модель волнового твердотельного гироскопа

Как отмечалось выше, в некоторых реальных ВТГ резонатор выполнен в виде упругого кольца [2, 13, 51]. Адекватной моделью такого УЧЭ является стержень кольцевой формы.

Относительная простота этой модели, допускающей получение ряда результатов в аналитической форме, позволяет использовать её как тестовую для проверки состоятельности предлагаемого подхода. В частности, кольцевая модель позволяет исследовать влияние на частоты и формы свободных колебаний резонатора отклонений его осевой линии от идеальной окружности [135], неравномерности распределения плотности [13].

Для расчёта частот и форм свободных колебаний неидеального кольцевого резонатора воспользуемся известными уравнениями малых свободных колебаний плоского криволинейного стержня (ось стержня -произвольная плоская кривая) в собственной плоскости [136].

dQ1 ГЛ 2 г,

—1 = &3Q2 - p pFu

ds 32 1

о

= -ж Q - p pFu ;

dQ22

dM,

M = -Q2;

du1 _ (2.56)

H ~ X3U2;

du

—2 _ u + ;

ds

3 1 3

Мз_ мз

ЕУ3

где е1 - единичный вектор, направленный по касательной к осевой линии резонатора (Рисунки 2.2, 2.3);

е2, е3 - единичные векторы, ортогональные е1 и друг другу, направленные по главным центральным осям сечения резонатора (Рисунки 2.2, 2.3);

(, (2, М3 - проекции главного вектора Q и главного момента м

внутренних сил в произвольном сечении резонатора на оси е1, е е3 локальной системы координат (Рисунки 2.2, 2.3);

и , и , - проекции на оси е е е3 вектора и перемещения центра

тяжести и вектора А поворота относительно центра тяжести произвольного сечения резонатора;

аг3 - кривизна осевой линии резонатора;

Е, р - модуль Юнга и плотность материала резонатора;

У"3 - момент инерции поперечного сечения резонатора относительно оси

Е - площадь поперечного сечения резонатора; р2 - квадрат собственной частоты колебаний стержня. В этом случае собственный вектор у имеет вид

где (р - угловая координата произвольного сечения резонатора (Рисунок 2.2).

(2.57)

\

/

\

/

Рисунок 2.2. Форма оси кольца в идеальном и возмущённом состоянии: _ идеальная форма кольца______возмущённая форма кольца

Рисунок 2.3

Матрицы А и В записываются в виде

А = Ь

В = LpF

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 -1 0 0 0 0

0 0 0 0 жз 0

0 0 0 -ав3 0 1

0 0 l/EY3 0 0 0

/ 0 0 0 1 0 \ 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 ?

0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 J

(2.58)

где L = ds/dcp - параметр Ламе - масштаб, связывающий дугу s и угловую координату (р (Рисунки 2.2, 2.3).

Переход к угловой координате производится для того, чтобы зафиксировать интервал интегрирования в (2.16) - иначе пришлось бы

(2.59)

привлекать более сложную технику вычислений, связанную с возмущением границ области [123].

В общем случае все геометрические параметры, а также матрицы А и в представим асимптотическими рядами по степеням малого параметра £

Ь(ср) = Ь0 + еЬг (<р) + £2Ь2 (<?) + ...;

А (<р) = А0 (<р) + еА1 (<р) + £2А2 (<р) + • ■ ■■'

в((р) = В0((Р) + £В1((Р) + £2В2((Р) + ... . где ~ радиальное отклонение точек осевой линии неидеального

резонатора от идеального кольца (функция несовершенства);

«ф - угол взаимного расположения главной оси формы колебаний и

отсчётной оси формы несовершенства (Рисунок 2.4).

X.......г: /

Рисунок 2.4:

- форма идеального кольца;_- форма неидеального кольца;

_ - форма колебаний

Рассмотрим сначала идеальный кольцевой резонатор, для которого имеем

Ь0=К'

_ 1 32. — —.

3 В

(2.60)

где R - радиус осевой линии кольцевого резонатора.

Приняв в силу замкнутости кольца перемещение и пропорциональным

о

cosкф [137], находим из (2.56) с учётом (2.60) собственный вектор и собственную частоту для идеального кольца.

Собственный вектор y0 и вектор v0 сопряжённого решения для идеального кольца имеют вид:

У,

2EY3 k2 (k2 - l) R3 (k2 +1)

cos ky

EY

3 k 2

R3

EY

R2

(k2 - l)sin ky 3(k2 -1)cosky

sin ky

k

cos ky

(k2 -

v.

(y) = ^

kR

sin ky

k

cos ky

sin ky

kR

22

sin ky

2EY3 k2 (k2 - l) R3 (k2 +1)

cos ky

EY

R3

EY

3 k 2

R2

(k2 - l) sin ky 3(k2 -1)cosky

(2.61)

где к - номер гармоники.

1

Выражение для квадрата к -й собственной частоты идеального кольца записывается следующим образом [137]

/ \2

2 / 7.2

= Еуз к2 (к2 - 1)

К =—---Г-Г" • (2-62)

0к рЕЯ4 (к2

к2 +1

Для вычисления ДА в соответствии с (2.16) необходимо найти возмущения Ал = ел1 и АБ = еБ1 матриц а и В. Согласно (2.58) для этого