Гладкость решений краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Неверова Дарья Андреевна

• Неверова Дарья Андреевна
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Неверова Дарья Андреевна

1.3 Гладкость обобщенных решений второй и третьей краевых задач

1.3.1 Связь между обобщенными и классическими решениями. Случай в =

1.3.2 Связь между обобщенными и классическими решениями. Случай в <

2 Гладкость обобщенных решений задачи Дирихле для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений в пространствах Гельдера

2.1 Постановка задачи. Свойства разностных операторов

2.2 Случай сохранения гладкости обобщенных решений внутри подобластей

2.3 Связь между обобщенными и классическими решениями

2.4 Газрешимость в пространствах Гельдера некоторого класса краевых задач для дифференциально-разностных уравнений

3 Гладкость обобщенных решений второй и третьей краевых

задач для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений

3.1 Постановка задачи. Определения. Вспомогательные результаты

3.2 Гладкость обобщенных решений вблизи границ

подобластей в шкале пространств W2k

3.3 Гладкость обобщенных решений на границе соседних подобластей в пространствах Гельдера

Литература

129

Введение

Актуальность темы исследования

В настоящей работе изучаются вопросы гладкости обобщенных решений краевых задач для линейных эллиптических функционально-дифференциальных уравнений. Рассматриваются уравнения второго порядка, содержащие, кроме дифференциальных операторов, операторы сдвига. Подобные задачи принадлежат к классу нелокальных задач, изучение которых было начато в классических работах [58,62,72,73].

Современная теория функционально-дифференциальных уравнений началась с работ А.Д. Мышкиса [28,29]. Развитием этой теории занимались также такие математики, как Л.Э. Эльсгольц [11, 61], H.H. Красовский [20-22], Ю.С. Осипов [71], Г.А. Каменский [14,65], Р. Беллман и К. Кук [3], Дж. Хейл [59] и др. В указанных выше работах, помимо изложения качественной теории, рассматривались приложения дифференциально-разностных уравнений к исследованию вариационных задач и задач оптимального управления системами с последействием.

В отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений, функционально-дифференциальные уравнения могут обладать рядом новых свойств. Одним из них является нарушение гладкости обобщенных решений этих задач даже для случая бесконечно дифференцируемой правой части [15,16], при этом гладкость решения может сохраняться на некоторых подынтервалах. В работах [17,77] были получены достаточные условия на правые части дифференциально-разностного уравнения, при которых обобщенное решение будет непрерывно дифференцируемым на ограниченном интервале. Однако вопрос существования классического решения краевых

задач для дифференциально-разностных уравнений при любой непрерывной правой части на ограниченном интервале ранее не рассматривался.

Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения рассматривались в работах многих математиков: Ф. Хартмана и Г. Стампакья [64], А.Б. Антоневича [2], B.C. Рабиновича [41] и др. Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения со сдвигами по пространственным переменным в ограниченных областях рассматривались А. Л. Скубачев-ским в работах [23, 46, 47,49, 53, 55, 56, 75-78] и др. Им были созданы основы теории краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений: в частности, были получены необходимые и достаточные условия выполнения неравенства Гординга, исследованы вопросы однозначной и фредгольмовой разрешимости в пространствах Соболева, показано, что наличие сдвигов аргументов в старших производных, отображающих точки границы внутрь области, приводит к появлению решений, гладкость которых может нарушаться внутри области, а также ряду других принципиально новых свойств. В дальнейшем развитие теории краевых задач для дифференциально-разностных уравнений продолжилось в работах его учеников [12,13,38-40,52,60], изучавших спектральную асимптотику сильно эллиптических дифференциально-разностных операторов, дифференциально-разностные уравнения с вырождением, вторую и третью краевые задачи для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений, краевые задачи для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений с несоизмеримыми сдвигами и пр.

Изучаемые задачи имеют также приложения в теории эллиптических дифференциальных уравнений с нелокальными условиями, связывающими значения искомой функции и ее производных в точках границы со значениями в некоторых внутренних точках области. Нелокальная краевая задача для эллиптического дифференциального уравнения, возникающая в теории плазмы, была сформулирована в известной работе A.B. Бицадзе и A.A. Самарского [5]. Эта статья положила начало развития общей теории нелокальных краевых задач, нашедшей приложения в теории упругости [37,69,70,77], теории многомерных диффузионных процессов [50,77], в

современной нелинейной оптике при построении оптических систем с вращением поля в контуре обратной связи [6,54,76,80].

Основные результаты теории краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений последних лет приведены ниже. Существенно нелинейные эллиптические дифференциально-разностные уравнения рассматривались в [57,79], где были получены достаточные условия коэрци-тивности и псевдомонотонности соответствующего функционально-дифференциального оператора, доказано существование обобщенного решения задачи Дирихле. Теория эллиптических функционально-дифференциальных уравнений с преобразованиями переменных, отображающими область в себя, получила дальнейшее развитие в [74], где для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений на замкнутых гладких многообразиях доказана фредгольмова разрешимость и получены формулы индекса. Общая теория краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений с растяжениями и сжатиями переменных как в одномерном, так и в эллиптическом случае была построена в [42]. Смешанные задачи для эллиптических и параболических дифференциально-разностных уравнений второго порядка со сдвигами по пространственным переменным в старших производных рассматривались в [24,44,45,51]. Задача Коши для параболических дифференциально-разностных уравнений со сдвигами пространственных аргументов в старших членах рассматривалась в [27]. Систематическое исследование широкого класса эволюционных функционально-дифференциальных уравнений с запаздыванием по времени методами спектральной теории рассматривалось в [7-9].

В диссертации основное место уделяется изучению гладкости решений краевых задач для дифференциально-разностных уравнений в шкале пространств непрерывно-дифференцируемых функций и пространств Гельде-ра.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гладкость решений краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений»

Цель работы

Целью работы является исследование гладкости обобщенных решений краевых задач для дифференциально-разностных уравнений, рассматриваемых на интервале и в ограниченной области. Одним из наиболее важных и

принципиальных моментов, отличающих упомянутые постановки, является наличие негладких решений. Типично нарушение гладкости обобщенных решений вдоль сдвигов границы внутрь области, а также появление множества «особых» точек К (как на границе, так и внутри области), вблизи которого обобщенные решения могут иметь степенные сингулярности. В то же время, в некоторых подобластях обобщенные решения по-прежнему обладают естественной для подобных задач гладкостью. Предмет диссертационного исследования составляет получение условий на коэффициенты разностных операторов, гарантирующих гладкость решений на всем интервале (в одномерном случае) или в некоторых подобластях, а также на границе этих подобластей (в эллиптическом случае).

Методика исследования В случае краевых задач для обыкновенных дифференциально-разностных уравнений исследование существования классических решений основано на использовании теории функциональных пространств и условий сопряжения на границах соответствующих подынтервалов.

Изучение гладкости обобщенных решений краевых задач для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений со сдвигами аргументов в старших производных в подобластях опирается на сведение исходной задачи к эллиптическим системам дифференциальных уравнений. Для случая второй и третьей краевых задач использовалась модификация метода, основанного на анализе поведения конечных разностей, позволяющая доказать принадлежность обобщенного решения пространствам \ К) в предположении, что правая часть уравнения принадлежит пространству \ К£) для любо го £ > 0, где множество К = {х е Мп : р(х, К) < е}.

Критерий гладкости обобщенных решений краевых задач для сильно эллиптического дифференциально-разностного уравнения на границе соседних подобластей представляет собой ряд алгебраических условий на коэффициенты разностных операторов. Как был отмечено выше, при изучении подобных задач применяется переход от краевой задачи для дифференциально-разностного уравнения к системе дифференциальных уравнений.

Используя этот подход, из системы полученных уравнений мы имеем лишь сохранение следов разностных операторов, примененных к производным решения. Добавляя условие на совпадение следов производных решения, мы получаем переопределенную систему уравнений, разрешимость которой определяется условием вырожденности некоторых матриц.

Новизна результатов В диссертации получены новые результаты об условиях существования классических решений краевых задач для дифференциально-разностных уравнений, рассматриваемых на конечном интервале.

Для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений с краевыми условиями первого, второго и третьего рода сформулированы условия сохранения в пространстве Гельдера гладкости обобщенных решений внутри некоторых подобластей и на границе соседних подобластей. Подобласти здесь определяются как связные компоненты множества, полученного из 5 выбрасыванием всевозможных сдвигов границы д(5 на векторы некоторой группы, порожденной сдвигами, входящими в разностные операторы.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Сформулированы условия на коэффициенты разностных операторов, гарантирующие совпадение обобщенного и классического решений первой краевой задачи для дифференциально-разностного уравнения на ограниченном интервале с непрерывной правой частью. Для этой задачи рассмотрена дивергентная форма записи дифференциально-разностного уравнения, которая может быть получена из вариационной задачи для интегрального функционала.

2. Для второй и третьей краевых задач для дифференциально-разностного уравнения второго порядка получены необходимые и, не совпадающие с ними, достаточные условия существования классического решения.

3. Рассмотрен частный случай сильно эллиптического дифференциально-разностного уравнения, для которого сохраняется гладкость внут-

ри подобластей. Исследована гладкость обобщенных решений задачи Дирихле для сильно эллиптического дифференциально-разностного уравнения на границе соседних подобластей.

4. Доказана теорема о гладкости обобщенных решений второй и третьей краевых задач для сильно эллиптического дифференциально-разностного уравнения внутри подобластей в шкале пространств Соболева. Получен критерий гладкости обобщенных решений соответствующих задач на границе соседних подобластей.

Теоретическая значимость

Диссертация имеет теоретический характер и оказывает влияние на развитие общей теории нелокальных краевых задач, а ее результаты могут быть использованы для анализа результатов численного моделирования решений подобных задач и найти продолжение в дальнейших исследованиях.

Содержание работы Диссертация состоит из введения, 3 глав и списка литературы. Полный объем диссертации составляет 137 страниц с 6 рисунками. Список литературы содержит 80 наименований.

Глава 1 состоит из 3 разделов и посвящена теории краевых задач для дифференциально-разностных уравнений, когда искомая функция зависит от одной переменной.

В Разделе 1.1 описана постановка задачи, классификация краевых задач для дифференциально-разностных уравнений, а также вводятся используемые функциональные пространства и определения решений. Кроме того, в этом разделе рассматриваются свойства разностных операторов, которые необходимы для формулировки необходимых результатов о разрешимости и исследования гладкости обобщенных решений краевых задач для линейных дифференциально-разностных уравнений. Важным результатом, использованном в дальнейших рассуждениях, является теорема об изоморфизме (доказательство в [77]), который осуществляет разностный оператор

0 1 1

между пространством \¥^(0, () и подпростраснтвом функций из ^^(0, () с

нелокальными краевыми условиями.

В Разделе 1.2 исследован вопрос о том, при каких условиях задача Дирихле для дифференциально-разностного уравнения будет иметь классическое решение для любых непрерывных правых частей. Доказано, что необходимым и достаточным условием существования классического решения является равенство нулю некоторых коэффициентов разностных операторов и их производных на орбитах, порожденных сдвигами граничных точек. Подпункт 1.2.1 посвящен постановке первой краевой задачи в дивергентном виде, сформулирована теорема о существовании классического решения данной задачи, указана взаимосвязь с постановкой в недивергентном виде.

Раздел 1.3 содержит условия существования классического решения в предположении, что рассматриваемая вторая (третья) краевая задача для дифференциально-разностного уравнения имеет обобщенное решение при непрерывной правой части. Кроме того, показано, что, в отличие от первой краевой задачи (см. Раздел 1.2), необходимое условие существования классического решения не совпадает с достаточным. Приведены примеры. Отдельно рассмотрены случаи целой и нецелой длины интервала (см. пп. 1.3.1 и 1.3.2).

В Главе 2 излагается гладкость обобщенных решений задачи Дирихле для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений в пространствах Гельдера.

В Разделе 2.1 приводятся некоторые геометрические построения, дается разбиение области на классы а также вводится множество К «особых» точек, которое будет использоваться при доказательстве теорем о гладкости обобщенных решений. Рассматриваются свойства разностных операторов в пространстве Ь2(5) в терминах конечного числа матриц, элементами которых являются коэффициенты разностных операторов и нули. Вводятся определения сильно эллиптического дифференциально-разностного оператора, обобщенного и классического решений, приведены теоремы о разрешимости задачи Дирихле.

В Разделе 2.2 рассматривается вопрос о сохранении внутри подобластей гладкости обобщенных решений первой краевой задачи для сильно эллип-

тического дифференциально-разностного уравнения с правой частью из пространства Гельдера для случая, когда дифференциально-разностный оператор Ад равен произведению разностного оператора и сильно эллиптического дифференциального оператора второго порядка. Доказано, что для правой части уравнения из пространства Гельдера Саобобщенное решение задачи Дирихле принадлежит пространству С2+а\ Ке) для любого £ > 0.

В Разделе 2.3 установлены необходимые и достаточные условия гладкости обобщенных решений эллиптических дифференциально-разностных уравнений на границе соседних подобластей в пространстве Гельдера. Приведены примеры сохранения и нарушения гладкости обобщенных решений на границе соседних подобластей.

Раздел 2.4 посвящен частному случаю дифференциально-разностного уравнения, для которого установлена разрешимость задачи Дирихле в пространстве Гельдера.

В главе 3 исследуется гладкость обобщенных решений второй и третьей краевых задач для сильно эллиптического дифференциально-разностного уравнения второго порядка.

В Разделе 3.1 приведена постановка задачи, изложены необходимые определения и вспомогательные утверждения, необходимые для доказательства теорем о гладкости. Решение задачи определяется посредством определенной на пространстве W21(Q) полуторалинейной формы. Относительно структуры оператора делается предположение, обеспечивающее ко-эрцитивность этой формы.

Для второй (третьей) краевой задачи в Разделе 3.2 доказана принадлежность обобщенного решения пространствам Wk¿+2(Q а1 \К£) в предположении, что правая часть уравнения / е W| (к ^ 0). Используя теоремы вложения, можно показать принадлежность обобщенного решения краевой задачи пространству Гельдера с соответствующим показателем гладкости.

В Разделе 3.3 показано, что нормальная производная обобщенного решения может иметь разрывы на границе соседних подобластей, ввиду чего для сохранения гладкости решения требуются дополнительные условия на

коэффициенты разностных операторов. Получены необходимые и достаточные условия сохранения гладкости решений на границе подобластей в пространстве Гельдера. Приведены примеры, в которых условия гладкости обобщенного решения на границе соседних подобластей в шкале пространств Гельдера автоматически выполняются, если решение сохраняется гладкость на этой границе в пространстве Соболева, и где это не так.

Степень достоверности результатов полученных в диссертации, обеспечивается строгостью приведенных доказательств, многочисленными выступлениями на семинарах, конференциях и школах, а также имеющимися публикациями в изданиях, которые индексируются международными базами данных.

Апробация работы Результаты, представленные в диссертационной работе, излагались в Российском университете дружбы народов на семинаре по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям под руководством А.Л. Скубачевского; на семинаре механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова «Функционально-дифференциальные и интег-ро-дифференциальные уравнения в гильбертовом пространстве и их приложения» под руководством профессора В.В. Власова и доцента Н.А. Ра-утиан; на научно-исследовательском семинаре факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова «Спектральная теория дифференциальных операторов и актуальные вопросы математической физики» под руководством Е.И. Моисеева и И.С. Ломова; на научном семинаре факультета математики и компьютерных наук СПбГУ «Индустриальная математика» под руководством C.B. Тихомирова; в Свободном университете Берлина на семинаре по нелинейной динамике под руководством Б. Фидлера; на XXI Крымской Осенней Математической Школе-симпозиуме по спектральным и эволюционным задачам (Севастополь, 2010); на XLVI Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии (Москва, 2010); на XXII Крымской Осенней Математической Школе-симпозиуме по спектральным и эволюционным задачам (Севастополь, 2011); на Международной конфе-

ренции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной 110 годовщине И. Г. Петровского (XXIII совм. Заседание ММ О и сем. им. И.Г. Петровского) (Москва, 2011); на Шестой международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (Москва, 2011); на Международной студенческой конференции «Science and progress» (Санкт-Петербург, 2011); на Воронежской зимней школе С.Г. Крейна (Воронеж, 2012); на Международной конференции «Days on Diffraction» (Санкт-Петербург, 2012); на XXIII Крымской Осенней Математической Школе-симпозиуме по спектральным и эволюционным задачам (Севастополь, 2012); на Четвертой Международной конференции молодых математиков по дифференциальным уравнениям и приложениям, посвященной Я.Б. Лопатинскому (Донецк, 2012); на Международной студенческой конференции «Science and progress» (Санкт-Петербург,

2012); на Четвертой Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН, академика Европейской академии наук Л. Д. Кудрявцева (Москва, 2013); на Всероссийской научно-практической конференции «Дифференциальные уравнения, теория функций, нелинейный анализ и оптимизация» (Москва, 2013); на Международной студенческой конференции «Science and progress» (Санкт-Петербург,

2013); на Седьмой международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (Москва, 2014); на Международной конференции «Бесконечномерный анализ, стохастика, математическое моделирование: новые задачи и методы» (Москва, 2014); на XXVI Крымской Осенней Математической Школе-симпозиуме по спектральным и эволюционным задачам (Севастополь, 2015); на XXXI Крымской Осенней Математической Школе-симпозиуме по спектральным и эволюционным задачам (Севастополь, 2020); на Международной конференции «Frontier in mathematics and computer science» (Ташкент, 2020).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [31,33-36,6668] из списка литературы, а также в следующих тезисах конференций.

1. Неверова Д. А. Разностные операторы с несоизмеримыми сдвигами

XLVI Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии: Тезисы докладов. Секции математики и информатики М., 2010, 19-23 апреля, С.25

2. Неверова Д. А. Дифференциально-разностные операторы с несоизмеримыми сдвигами. Крымская Осенняя Математическая Школа-Симпозиум (КРОМШ-2010). 21-я ежегодная межд. Конф. Симферополь: издательство КНЦ НАНУ, 2010, С.33-34

3. Неверова Д. А. Разрешимость в пространствах Гельдера краевых задач для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений со сдвигами в младших членах. Международная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», поев. 110 годовщине И.Г. Петровского (XXIII совм. Заседание ММО и сем. им. И.Г. Петровского): Тезисы докладов, 2011, с. 264-265.

4. Неверова Д. А. Пространства Гельдера: о разрешимости краевых задач для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений со сдвигами в младших членах. Крымская Осенняя Математическая Школа-Симпозиум (КРОМШ-2011). 22-я ежегодная межд. Конф.. Тезисы докл., Симферополь, 2011, с. 38.

5. Neverova D.A. On solvability of some class of boundary value problems for strongly elliptic differential-difference equations. Abstracts of the 6th International Conference on Differential and Functional Differential Equations, Moscow, August 14-21, 2011, p. 48-49.

6. Neverova D.A. Solvability of some class of boundary value problems for differential-difference equations. Abstracts of international student conference "Science and progress", 2011, p. 54.

7. Неверова Д. А. Разрешимость в пространствах Гельдера некоторого класса краевых задач для дифференциально-разностных уравнений. Воронежская зимняя школа С.Г. Крейна - 2012: материалы международной конференции , 2012, с. 158-161.

8. Neverova D.A. Generalized and classical solutions of boundary value problem for differential-difference equations. Abstracts of International conference "Days on Diffraction", Saint Petersburg, May 28-June 1, 2012, p. 88-89.

9. Неверова Д. А. Обобщенные h классические решения краевых задач для дифференциально-разностных уравнений. Крымская Осенняя Математическая Школа-Симпозиум (КРОМШ-2012). Двадцать третья ежегодная международная конференция. Тезисы докладов, Изд-во КНЦ НАНУ, Симферополь, 2012, с.44-45.

10. Неверова Д. А. О классических и обобщенных решениях краевых задач для дифференциально-разностных уравнений с переменными коэффициентами. Fourth International Conference for Young Mathematicians on Differential Equations and Applications dedicated to Ya. B. Lopatinskii. BOOK OF ABSTRACTS, Донецкий Национальный университет, Донецк, 2012, с. 56-57.

11. Neverova D.A. Generalized and classical solutions of boundary value problem for differential-difference equation (variable coefficients). Conference abstracts. International student conference "Science and Progress". Издательство SOLO, Санкт-Петербург, 2012, с. 61

12. Neverova D.A. Solvability of the first boundary-value problem for functional differential equations. Тезисы докладов Четвертой Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН, академика Европейской академии наук Л. Д. Кудрявцева, 2013 pp.157-158.

13. Неверова Д. А. Классические решения краевых задач для дифференциально-разностных уравнений в недивергентном виде. Дифференциальные уравнения, теория функций, нелинейный анализ и оптимизация: труды Всероссийской научно-практической конференции. Москва, РУДН, 23-26 апреля 2013 г. - М.: РУДН, 2013. С. 6-7.

14. Neverova D.A. Regularity of solutions to functional differential equations. Science and progress, 2013.

15. Neverova D.A. Regularity of Solutions to the Second (Third) Boundary-Value Problem for Differential-Difference Equations. Abstracts of the 7th International Conference on Differential and Functional Differential Equations, Moscow, August 22-29 and International Workshop "Spatio-temporal dynamical systems" Moscow, Russia, August 26-28, 2014, p. 88.

16. Неверова Д. А. О гладкости обобщенных решений краевых задач для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений. Тезисы Международной конференции «Бесконечномерный анализ, стохастика, математическое моделирование: новые задачи и методы», с. 2

17. Неверова Д. А. Гладкость обобщенных решений краевой задачи для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений. Международная конференция «XXVI Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам» (КРОМШ-2015). Сборник тезисов, Изд-во ООО Форма, Симферополь, 2015, с.55

Глава 1

Гладкость обобщенных решений краевых задач для дифференциально-разностных уравнений в одномерном случае

В данной главе исследуется вопрос о существовании классического решения первой, второй и третьей краевых задач для дифференциально-разностного уравнения на ограниченном интервале. Сформулированы условия на коэффициенты разностных операторов, устанавливающие связь обобщенного и классического решений рассматриваемых задач. Также глава содержит ряд определений и вспомогательных результатов, используемых в диссертации. Основные результаты этой главы опубликованы в статьях [31,34,66,68].

1.1 Постановка задачи. Определения. Вспомогательные результаты

Рассмотрим интервал Q = (0,й). Пусть й = N + В, где 0 < В ^ 1, N — натуральное число.

Введем ограниченные линейные операторы Щ : Ь2(Ш) ^ Ь2(Ш) (г =

0,1, 2), определенные по формулам

Яги(ж) = ^^ Ъц (ж)и(ж + ]) (г = 0,1, 2),

j = —Ш

где т — натуральное число, Ъц (ж) € Сто(М)^комплекснозначные функции.

Введем также линейные операторы /д, Рд, Ягд. Оператор /д : Ь2(0,ё) ^ Ь2(Ш) — оператор продолжения функций нулем вне интервала (0,(); оператор Рд : Ь2(М) ^ Ь2(0,() — оператор сужения функций на интервал (0, (); операторы Ягд : Ь2(0,() ^ Ь2(0,() действуют по формуле Ягд = РдЯг1д (г = 0,1, 2).

Рассмотрим дифференциально-разностное уравнение

-(Я2ди)''(ж) + (Я\ди)'(х) + Яоди(ж) = /(ж) (ж € (0, ()). (1.1)

с краевыми условиями

и(ж)

=0

х=0

и(ж)

=0

с=(,

(1.2)

(-(Я,ди)'(х) + ^и(ж)) =0, ((Я2ди)'(х) + ^Цж)) =0, (1.3)

х=0 х=(

где а1, а2 ^ 0.

Не ограничивая общности, будем предполагать, что т = N. Действительно, если т < N можно считать, что Ъц (ж) = 0 при ^ | > т. В случае, если т > N оператор Ягд с краевым условием (1.2) не зависит от коэффициентов Ъгj (ж) при ^ | > N.

Отметим также, что сдвиги на ^ могут отобразить точки интервала (0, () в точки множества М\ (0, (), поэтому краевые условия для дифференциально-разностного уравнения (1.1) следует задавать не только в точках {0}, {(}, то и вне интервала (0, (). Это учтено в определении операторов Ягд.

Определение 1.1. Задачей Дирихле (или первой краевой задачей) будем называть краевую задачу (1.1), (1.2). Краевую задачу (1.1), (1.3) будем называть задачей Неймана (или второй краевой задачей) для дифференциально-разностного уравнения, если а1 = а2 = 0, и третьей краевой задачей, если а1 = 0 или а2 = 0.

В общем случае решение и(х) задачи (1.1), (1.3) может иметь скачки в точках границы, т.е. и(0 — 0) = и(0 + 0) и — 0) = + 0). Сдвиги в разностных операторах переносят особенности внутрь интервала, поэтому естественно ожидать, что решения имеют особенности в точках орбит, порожденных сдвигами. Но, как известно (см. [77]) гладкость решений сохраняется на некоторых подынтервалах.

В случае нецелой длины интервала d = N + 0, т.е. 0 < в < 1, обозначим Qll = (I — 1,1 — 1 + в) (/ = 1, . . . , N + 1) и = (I — 1 + в, I) (/ = 1, . . . , N. Если в = 1, обозначим Qll = (I — 1,1) (/ = 1,..., N +1). Таким образом, мы получим два класса непересекающихся интервалов ^и} и ^21} в случае 0 < в < 1, и один класс ^и}, если в = 1. Очевидно, любые два интервала из одного класса могут быть получены друг из друга сдвигом на некоторое целое число.

В дальнейшем будем обозначать подобласти через Qsl, где 5 —номер класса (в = 1, 2), а I — порядковый номер данной подобласти в 5-м классе. Очевидно, каждый класс состоит из конечного числа N (в) ^ (в) = N + 1, если 5 = 1; N (в) = N если 5 = 2) подобластей Qsl.

Приведем примеры разбиения интервала Q = (0, d) на описанные выше классы.

Пример 1.1. Пусть d = 3. Тогда N = 2, в = 1. Мы имеем один класс интервалов Q1l = (I — 1,1) (I = 1, 2, 3), см. Рис. 1.1.

Рис. 1.1: Разбиение интервала Q = (0, 3).

Пример 1.2. Пусть d = 21. Тогда N = 2, в = 23 — 2 = Мы имеем два класса интервалов: Q1l = (I — 1,1 — 3) (I = 1, 2, 3) и Q2l = (I — |, I) (I = 1, 2), см. Рис. 1.1.

В дальнейшем нам понадобятся некоторые свойства разностных операторов Д^д в пространстве Ь2(0^), доказательства которых можно найти

Рис. 1.2: Разбиение О = (0, 23).

в [77, Гл. 1]. Мы покажем, что эти свойства тесно связаны со свойствами конечного числа матриц, элементами которых являются коэффициенты разностных операторов Ягд и нули.

Обозначим через Ь2(У ) подпространство функций в Ь2(0, (), равных

нулю вне \JQsi, а чер ез Рв : Ь2 (0,() — Ь2 (У )—оператор ортогонального проектирования функций из Ь2 (0, () на Ь2 (У ) (1 = 1,...^ (в)),

где Ь2(У ) = |и € Ь2(0,() : и(ж) = 0 при ж € (0,() \ и 1. Заметим, что оператор Р1 является единичным оператором при в = 1. Очевидно,

¿2(0,()= 0 ¿2 (У О").

2

в 1

Из определений разностных операторов и интервалов вытекает следующее утверждение.

Лемма 1.1. Ь2(У )—инвариантное подпространство операторов Ягд (г = 0,1, 2).

Введем изометрический изоморфизм гильбертовых пространств

Ц, : ¿2 (У Ов1) - ^(в) (О.1),

I

следующим равенством

(Ц,и) (ж) = и(ж + 1 - 1) (ж € , 1 = 1,..., N(в)), (1.4)

N (в)

2 1=1

если в = 2 (см. Рис. 1.1).

где LN(в) (Ов1) = П ¿2 (Ов1 ), здесь N (в) = N + 1, если в = 1 N (в) = N,

Рис. 1.3: Действие оператора и8.

Обозначим через Яг1 = Яг1(ж) (ж Е М) матрицы порядка ^+1) х (N+1) с элементами

,(ж) = Ьа—,(ж + ] — 1) (г = 0,1,2; = 1,..., N + 1).

(1.5)

Яг1 =

(

Ь,о(ж)

Ьг, —1(Ж + 1)

Ьг,1(ж)

Ьг,о(ж + 1)

Ьг (ж) Ь N—1(ж + 1)

\

у Ьг,—N (ж + N) Ьг,—ж+1(ж + N) ... Ь ,о(ж + N) у

Обозначим через Яг2 = Яг2(ж) (ж Е М) матрицы порядка N х N5 полученные из Яг 1 вычеркиванием последней строки и последнего столбца. Другими словами, матрицы Яг2 имеют вид

(

Яг 2 =

Ьг ,о(ж) Ьг, —1(Ж + 1)

Ьг ,1(ж) Ьг ,о(ж + 1)

... Ьг —1 (ж) ... Ьг —2(ж + 1)

\

у Ьг,—Ж+1(ж + N — 1) Ьг,—Ж+2(ж + N — 1) ... Ьг,о(ж + N — 1) )

Всюду в дальнейшем мы будем рассматривать матрицы Яг 1(ж) при ж Е [0,в], а матрицы Яг2(ж) при ж Е [в, 1], если в < 1. В случае целой длины интервала при в = 1 матрицы Яг 1(ж) и Яг2(ж) рассматриваются при ж Е [0,1].

Лемма 1.2. Оператор ЯгQs : ^ (s»(Q sl) ^ ^^1), определенный по формуле

Яг Qs = Q и—1, (1.6)

является оператором, умножения на квадратную матрицу ЯгДж) порядка, N (в) х N (в) (г = 0,1, 2; в = 1, 2).

Пусть А : Н — Неограниченный самосопряженный линейный оператор в гильбертовом пространстве Н. Оператор А : Н — Н мы назовем

() (Аж, ж) > 0 ((Аж, ж) ^ 0) для всех 0 = ж € Л(А). Оператор А : Н — Н назовем положительно определенным, если (Аж,ж) ^ с(ж,ж) для всех ж € Л (А), где с > 0 не зависит ж

таким образом понятия положительности и положительной определенности совпадают.

Из Леммы 1.2 следует

Лемма 1.3. Оператор Ягд + Я*д является положительно определенным тогда и только тогда, когда матрицы Ягв(ж)+Я*в(ж) положительно определены для всех ж € (в = 1, 2, если в < 1; в = 1, если в = 1; г = 0,1, 2), где Я*3 — эрмитово сопряженные матрицы.

Через (0,() обозначим пространство Соболева комплекснозначных функций, состоящее из функций, которые абсолютно непрерывны вместе со всеми своими производными вплоть до (к — 1)-го порядка и имеют к-ую производную из ¿2(0, (). В пространстве (0,(), вводится скалярное произведение по формуле

к ( к л

(и,^ж* (0,() = ^ иЫ(ж)^)(ж)(ж. (1.7)

j=о0

Дополнительно введем обозначение (0,() = {V € (0,() : ,и(-7')(0) = )(() = 0, ; = 0,1,... ,к — 1}.

Лемма 1.4. Оператор Ягд непрерывно отображает, (0,() в (0,().

о

Если и € ^2(0, (), то

(Ягди)' = Я'ди + Ягди', (1.8)

N

где Я' = Е ЪЦ (ж)и(ж + ;), Я^ = РдЯ^/д (г = 0,1, 2).

j=—N

Доказательство. Действительно, равенство (1.8) выполнено для любой и € С7ТО(0,(). Используя это равенство к-раз, из ограниченности опера-

торов Ríq R/q : L2(0,d) ^ L2(0,d) получим

||RiQu||Wk(Q) ^ c||u||w2fc(Q)> (!-9)

для любой u E ÓTO(0, d). В силу того, что ÓTO(0,d) плотно в W"2(0,d), из (1.9) следует ограниченность оператора R¿q : W"2(0, d) ^ W2k(0,d) и

о

справедливость равенства (1.8) для Bcexu E W2" (0, d). □

Для определения обобщенного решения введем неограниченный оператор Ад : L2(0,d) D D(Ar) ^ L2(0,d), заданный по формуле

Añv = -(R2qV)/; + (RIqV) + ROqV (V E D(Añ)), (1.10)

где для случая задачи Дирихле (1.1), (1-2) область определения оператора имеет вид

D(Añ) = {v E W1(0,d) : R2qv E W2(0,d)},

а для случая краевой задачи (1.1), (1.3) D(AR) = {v E W2(0,d) : R2QV E W|(0,d), (-(R2QV)/ + aiv)|x=o = ((R2QV)/ + ^V= 0}.

Определение 1.2. Функцию u E D(AR) назовем обобщенным, решением задачи (1.1), (1.2) или (1.1), (1.3), если

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Неверова Дарья Андреевна, 2020 год

Литература

[1] Адхамова А. Ш., Скубачевский А. Л. Об одной задаче успокоения нестационарной системы управления с последействием, СМФН, 2019.

Сю. \""4. О. 547-556

2] Антоневич А. Б. Об индексе и нормальной разрешимости общей эллиптической краевой задачи с конечной группой сдвигов на границе, Дифф. уравн., 1972. — 8, №2.- С. 309-317.

3] Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения, Мир, М., 1967.

4] Бесов О. В. О некоторых свойствах пространств Hprb'"'rm, Известия ВУЗов. Серия Математика, 1960. \""1. О. 16-23.

5] Бицадзе А. В., Самарский A.A. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач, Докл. АН СССР, 1969. — 185, \""4. С. 739-740.

6] Варфоломеев Е. М. О некоторых свойствах эллиптических и параболических функционально-дифференциальных операторов, возникающих в нелинейной оптике, Соврем, мат. Фундам. направл., 2007. — 21.— С. 5-36.

7] Власов В. В. О разрешимости и свойствах решений функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве, Матем. сб., 1995. - 186, №8. - С.67-92;

8] Власов В. В., Раутиан H.A. Спектральный анализ функционально-дифференциальных уравнений, МАКС Пресс, М., 2016.

[9] Власов В. В., Раутиан H.A. Исследование функционально-дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами, Докл. РАН, 2017. 477. \~"6. С. 641-645.

[10] Гилбарг Д., Трудингер М. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка, М.: Наука, 1989.

[11] Зверкин А М., Каменский Г. А., Норкин С. В., Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом, Успехи математических наук, 1962— 17, \""2. С. 77-164.

[12] Иванова Е. П. О коэрцитивности дифференциально-разностных уравнений с несоизмеримыми сдвигами аргументов, Труды, семинара по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям, в РУДЕ под руководством А. Л. Скубачевского.// Современная математика. Фундаментальные направления, 2016. — 62.— С. 85-99.

[13] Иванова Е. П. О гладких решениях дифференциально-разностных уравнений с несоизмеримыми сдвигами аргументов Математические заметки, 2019. - 105, Х°1. С. 145-148.

[14] Каменский Г. А., Хвилон Е.А., Необходимое условие оптимального управления для систем с отклоняющимся аргументом нейтрального типа, Автоматика и телемеханика, 1969. \""3. С. 20-32.

[15] Каменский Г. А., Мышкис А. Д. Постановка краевых задач для дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами в старших членах. Дифференциальные уравнения, 1974. 10. С. 409-418.

[16] Каменский А. Г. Краевые задачи для уравнений с формально симметричными дифференциально-разностными операторами. Дифференциальные уравнения, 1976. — 12 — С. 815-824.

[17] Каменский Г. А., Мышкис А. Д., Скубачевский А. Л. О гладких решениях краевой задачи для дифференциально-разностного уравнения нейтрального типа, Укр. матем. ж-л, 1985.— 37, \""5. С. 581-585.

[18] Каменский Г. А., Скубачевский А. Л. Линейные краевые задачи для дифференциально-разностных уравнений, Изд-во МАИ, М., 1992.

[19] Като Т. Теория возмущений линейных операторов, Мир, М., 1972.

[20] Красовский H.H. , О периодических решениях дифференциальных уравнений с запаздыванием времени, Докл. АН СССР, 1957. 114. №2. - С. 252-255

[21] Красовский H.H. ,06 устойчивости квазилинейных систем с последействием, Докл. АН СССР, 1958.— 119. №3. - С. 435-438.

[22] Красовский H.H. Теория управления движения. М.:Науки. 1968.

[23] Кук К., Россовский Л.Е., Скубачевский А. Л. Краевая задача для функционально-дифференциального уравнения с линейно преобразованным аргументом, Дифференц. уравнения, 1995. Л/..\"8. С. 1348-1352.

[24] .Infiко В. В., Скубачевский А. Л. Сильно эллиптические дифференциально-разностные уравнения со смешанными краевыми условиями в цилиндрической области, Труды, Математического института им. С.М. Никольского РУДН, СМФН, 2019. — 65, №4.— С. 635-654

[25] Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.:Мир, 1971.

[26] Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. Наука, М., 1976.

[27] Муравник А. Б. Функционально-дифференциальные параболические уравнения: интегральные представления и качественные свойства решений задачи Коши,Соврем,, мат. Фундам. направл., 2014. 52. С. 3-141.

[28] Мышкис А. Д. Общая теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, УМН, 1949. 4. №5 (33). С. 99-141.

[29] Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. Гостехиздат, М.-Л., 1951.

[30] Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, Наука, М. 1972.

[31] Неверова Д.А., Скубачевский А.Л. Обобщенные и классические решения краевых задач для дифференциально-разностных уравнений, Доклады академии наук. Серия "Математика" 2012. 447. \""2. С. 143-146.

[32] Неверова Д.А. Разрешимость в пространствах Гельдера некоторого класса краевых задач для дифференциально-разностных уравнений, Воронежская зимняя школа С. Г. Крейна - 2012: материалы международной конференции, 2012.— с. 158-161.

[33] Неверова Д.А., Скубачевский А.Л. Классические решения краевых задач для дифференциально-разностных уравнений, Дифференциальные уравнения, 2013. 49. \"(,3. С. 300-309.

[34] Неверова Д.А., Скубачевский А.Л. О классических и обобщенных решениях краевых задач для дифференциально-разностных уравнений с переменными коэффициентами, Математические заметки, 2013.— 94, №5.— С. 702-719.

[35] Неверова Д. А. Гладкость обобщенных решений второй и третьей краевых задач для сильно эллиптических дифференциально-разностных уравнений, Соврем,, мат. Фундам. направл., 2019.— 65, \""4. С. 655671.

[36] Неверова Д. А. Гладкость обобщенных решений задачи Неймана для сильно эллиптического дифференциально-разностного уравнения на границе соседних подобластей, Соврем,, мат. Фундам. направл., 2020.— 66, №2.—с. 272-291.

[37] Онанов Г. Г., Скубачевский А. Л. Дифференциальные уравнения с отклоняющимися аргументами в стационарных задачах механики деформируемого тела, Прикл. мех., 1979.— 15, \~"5. С. 39-47.

[38] Подъяпольский В. В., Скубачевский А. Л. Спектральная асимптотика сильно эллиптических дифференциально-разностных операторов, Дифф. уравн., 1999. ^35.- С. 793-800.

[39] Попов В. А., Скубачевский А. Л. Априорные оценки для эллиптических дифференциально разностных операторов с вырождением, Соврем. мат. Фундам. направл., 2010.— 36.^ С. 125-142.

[40] Попов В. А., Скубачевский А. Л. Гладкость обобщенных решений эллиптических дифференциально разностных уравнений с вырождением, Соврем,, мат. Фундам. направл., 2011.—39.—С. 130-140.

[41] Рабинович В. С. О разрешимости дифференциально-разностных уравнений на Rn и в полупространстве, Докл. АН СССР, 1978. 243. №5.— С. 1134-1137.

[42] Россовский Л.Е. Эллиптические функционально-дифференциальные уравнения со сжатием и растяжением аргументов неизвестной функции, Соврем,, мат. Фундам. направл., 2014. 54. С. 31-38.

[43] Самарский А. А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений, Дифференциальные уравнения, 1980.—16, \""11. С. 1925-1935.

[44] Селицкий А. М., Скубачевский А. Л. Вторая краевая задача для параболического дифференциально-разностного уравнения, Тр. сем. им. И. Г. Петровского, 2007. -26.- С. 324-347.

[45] Селицкий A.M. Третья краевая задача для параболического дифференциально-разностного уравнения, Соврем,, мат. Фундам. направл., 2007. -21.- С. 114-132.

[46] Скубачевский А. Л. О спектре некоторых нелокальных эллиптических краевых задач", Матем. сб., 1982 — 117, \""4. С. 548-558.

[47] Скубачевский А. Л. О некоторых нелокальных эллиптических краевых задачах, Дифф. ура,вн., Ш2.-18, №9- С. 1590-1599.

[48] Скубачевский А. Л. Нелокальные эллиптические краевые задачи с вырождением, Дифф. уравн., 1983 — 19, \"1. С. 457-470.

[49] Скубачевский А. Л. Эллиптические задачи с нелокальными условиями вблизи границы, Мат,ем,, сб., 1986. —129(171), №2. — С. 279-302

[50] Скубачевский А. Л. О собственных значениях и собственных функциях некоторых нелокальных краевых задач, Дифф. уравн., 1989 —25, №1.— С. 127-136.

[51] Скубачевский А. Л. , Шамин Р. В. Первая смешанная задача для параболиче- ского дифференциально-разностного уравнения, Матем. заметки, 1999. - 66, Х°1. С. 145-153;

[52] Скубачевский А. Л., Цветков Е.Л. Вторая краевая задача для эллиптических дифференциально-разностных уравнений, Дифф. уравн., 1989^25, №10— С. 1766-1776.

[53] Скубачевский А.Л., Цветков Е.Л. Общие краевые задачи для эллиптических дифференциальноразностных уравнений, Тр. Санкт-Петербург. мат. об-ва., 1998. — 5. — С. 223-288

[54] Скубачевский А. Л., О нормальности некоторых эллиптических функционально-дифференциальных операторов, Функц. анализ и его прил., 1997.-31, №4. — С. 60-65.

[55] Скубачевский А. Л. Эллиптические диффренциально-разностные уравнения с вырождением, Труды, ММО, 1998. 59. С. 240-285.

[56] Скубачевский А. Л. Краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений и их приложения, Усп. мат. наук, 1Ш.-71, №5— С. 3-112.

[57] Солонуха О. В. Об одном классе существенно нелинейных эллиптических дифференциально-разностных уравнений, Теория функций и

уравнения ма- тематической физики, Сборник статей. К 90-летию со дня рождения члена- корреспондента РАН Льва Дмитриевича Кудрявцева, Тр. МИАН, 2013. ^ 283.- С. 233-251.

[58] Тамаркин Я. Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды, Петроград, 1917.

[59] Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений, Мир, М., 1984.

[60] Цветков Е. Л. О гладкости обобщенных решений третьей краевой задачи для эллиптического дифференциально-разностного уравнения, Укр. мат. ж., 1993.-45, №8— С. 1140-1150.

[61] Эльсгольц Л. Э., Устойчивость решений дифференциально-разностных уравнений, Успехи Мат,, наук, 1954. 9, \""4 (62).— С. 95-112.

[62] Carleman Т. Sur la theorie des equations integrales et ses applications Verhandlungen des Internat. Math. Kongr., Zurich, 1932. \""1. P. 138-151.

[63] Gurevich P. L. Solvability of the boundary value problem for some differential-difference equations, Functional Differentia.i Equations, 1998.^ 5 —P. 139-157.

[64] Hartman F., Stampacchia G. On some nonlinear elliptic differential-functional equations, Acta Math., 1966.—115.—P. 271-310.

[65] G. Kamenskii, Extrema of Nonlocal Functionals and Boundary Value Problems for Functional Differential Equations, Nova Science Publishers, New York, 2007.

[66] Neverova D. A. Smoothness of generalized solutions of the boundary-value for differential-difference equations with incommensurable shifts, Functional Differential Equations, 2012.— 14.— P. 151-162.

[67] Neverova D.A., Skubachevskii A. L. On the smoothness of generalized solutions to boundary value problems for strongly elliptic differential-difference equations on a boundary of neighboring subdomains, Russ. J. Math. Phys., 2015.— 22, №4.— P. 504-517.

[68] Neverova D. A. Generalized and classical solutions to the Second and third boundary value problem for difference-differential equations, Fund. Differ. Equ., 2014. 21. P. 47-65.

[69] Onanov G.G., Cvetkov E. L. On the minimum of the energy functional with respect to functions with deviating argument in a stationary problem of elasticity theory, Russian J. Math. Phys., 1996-3, №4- P. 491-500.

[70] Onanov G. G., Skubachevskii A. L. Nonlocal Problems in the Mechanics of Three-Layer Shells, Math. Model. Nat. Phenom., 2017.-12.-P. 192-207.

[71] Osipov Yu. S,. Stabilization of control systems with delays, DifferentsiaVnye Uravneniya, 1965.—1.— P. 605-618.

[72] Picone M. I teoremi d'esistenza per gl'integrale di una equazione differenziale lineare ordinaria soddisfacenti ad una nuova classe di condizioni, Rend. Accad. Lincei., 1908.^ 17 — P. 340-347.

[73] Picone M. Equazione integrale traducente il piu generale problema lineare per le equation differential! lineari ordinarie di qualsivoglia ordine, Accad. Naz. Lincei. Atti Convegni. Roma., 1932.^ 15, X°6. P. 942-948.

[74] Nazaikinskii V. E. , Savin A.Yu. , Sternin B.Yu. Elliptic theory and noncommutative geometry. Nonlocal elliptic operators,Oper. Theory Adv. Appl, 2008.-183, Birkhauser Verlag, Basel - P.xii-224 .

[75] Skubachevskii A. L. The first boundary value problem for strongly elliptic differential-difference equations, J. Differentiai Equations, 1986.^ 63, \"(,3. P. 332-361.

[76] Skubachevskii A. L. Bifurcation of periodic solutions for nonlinear parabolic functional differential equations arising in optoelectronics,

Nonlinear Analysis-Theory Methods & Applications, 1998.— 32, №2.— P. 261-278.

[77] Skubachevskii A. L. Elliptic functional differential equations and applications, Birkhauser, Basel^Boston^Berlin, 1997.

[78] Skubachevskii A. L. Elliptic differential-difference opera-tors with degeneration and the Kato square root problem, J. Mathematische Nachrichten., 2018. - 291.-?. 2660-2692.

[79] Solonukha O. V. On nonlinear and quasilinear elliptic functional differential equations, Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. S., 2016.-9, X".'). P. 869-893.

[80] Vorontsov M.A., Iroshnikov N.G., Abernathy R. L., Diffractive patterns in a nonlinear optical two-dimensional feedback system with field rotation, Chaos, Solitons, and Fractals, 1994. 4. P. 1701-1716.