Нелинейная теория взаимодействия резонансных частиц со спиральными потенциальными волнами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.08, кандидат физико-математических наук Елисеев, Юрий Николаевич

• Елисеев, Юрий Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Елисеев, Юрий Николаевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. НЕУСТОЙЧИВОСТИ ПЛАЗМЫ В СКРЕЩЕННЫХ ПОЛЯХ

1.1. Линейная теория устойчивости плазмы в скрещенных полях (обзор).

1.2. Ионная циклотронная неустойчивость вращающейся плазмы в скрещенных аксиальном магнитном и сильном радиальном электрическом полях.

1.3. Сравнение с экспериментом

ГЛАВА 2. НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ

ЧАСТИЦ СО СПИРАЛЬНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ВОЛНОЙ В

УСЛОВИЯХ ЧЕРЕНКОВСКОГО И ЦИКЛОТРОННЫХ РЕ30

НАНСОВ.

2.1. Точные интегралы уравнений движения

2.2. Уравнения дрейфового движения частицы в однородном магнитном поле под действием электрического поля спиральной потенциальной волны.

2.3. Интегралы уравнений дрейфового движения

2.4. Интегрирование дрейфовых уравнений по времени.

2.5. Картины фазовых траекторий частицы в случае малых kz.

2.6. Дрейфовое движение частицы в скрещенных полях и электрическом поле спиральной потенциальной волны

2.7. Некоторые вопросы удержания резонансных частиц в объеме плазмы

2.8. Уравнения для поперечной энергии и поперечного импульса частицы

2.9. Сравнение результатов дрейфовой теории взаимодействия частиц с волнами с результатами экспериментов

ГЛАВА 3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГРАВИТИРУЮЩЕЙ ЧАСТИЦЫ С БЕГУЩЕЙ ПО АЗИМУТУ ВОЛНОЙ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОТЕНЦИАЛА В УСЛОВИЯХ К0Р0ТАЦИ0НН0Г0 РЕЗОНАНСА

3.1. Модель галактики

3.2. Уравнения дрейфового движения

3.3. Потенциал эллипсоидального ядра

3.4. Интегрирование уравнений дрейфового движения по времени.

3.5. Картины дрейфовых траекторий в галактической плоскости

3.6. Сравнение с наблюдениями

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейная теория взаимодействия резонансных частиц со спиральными потенциальными волнами»

Проблема взаимодействия частиц с волнами является фундаментальной для многих разделов физики. Такие задачи возникают в физике плазмы и ее многочисленных приложениях, электронике СВЧ, физике уокорителей заряженных частиц. В них рассматривается взаимодействие заряженных частиц с электромагнитными волнами. Аналогичные задачи встречаются в астрофизике, где рассматривается взаимодействие гравитирующих частиц (или гравитирующей жидкости) с волнами гравитационного потенциала.

Задача о взаимодействии заряженных частиц с электромагнитными волнами рассматривалась во многих работах главным образом в связи с приложениями физики ускорителей, электроники СВЧ и физики плазмы.

Как известно [i], задача о движении релятивистской заряженной частицы в поле плоской и, в частности, плоокой монохроматической волны имеет точное аналитическое решение.

Движение релятивистской заряженной частицы в поле плоокой монохроматической волны, распространяющейся в вакууме и ореде вдоль внешнего магнитного поля [2-9] и под углом к нему [ю], рассматривалось в связи с задачей ускорения частиц в лабораторных и космических условиях.

Взаимодействие плоской монохроматической волны малой амплитуды, распространяющейся под углом к внешнему магнитному полю, о частицами плазмы в уоловиях черенковского и циклотронных резонансов, рассмотренное в работах [il-l^], играет важную роль в различных явлениях в физике плазмы. Это и нелинейное затухание Ландау с учетом захвата частиц продольной волной [15-17], и нелинейная стадия пучково-плазменной неустойчивости как в отсутствие [17], так и при наличии магнитного поля [18-20 и др.], и нелинейный циклотронный резонанс на полуцелых гармониках [21], и авторезонансное ускорение ионов в однородном [22,23], неоднородном (ом.[24-2б] и приведенные там ссылки) и нестационарном [27] магнитном поле, и скрещенных полях [28] и др.

При исследовании этого взаимодействия эффективным оказывается использование метода усреднения [29,30]. С его помощью удается существенно упростить точные уравнения движения, не поддающиеся в общем случае аналитическому решению, найти ряд интегралов для усредненных величин, определить качественную картину движения частицы на фазовой плоскости, и в неноторых случаях аналитически найти зависимость усредненных величин от времени.

Близкие вопросы рассматриваются в электронике СВЧ [3137] при исследовании нелинейной стадии усиления и генерации волн в приборах 0- и М-типов, в гирорезонансных и других приборах. Существенными особенностями этих исследований является то, что рассмотрение взаимодействия электронов проводится, во-первых, не с плоскими волнами (в приборах 0- и М-типов это поверхностные волны в замедляющих структурах, которые при сильном замедлении являются потенциальными, в гирорезонан-сных приборах это объемные или резонаторные моды ТЕ и ТМ типов, фазовая скорость которых больше скорости света) и, во-вторых, при условии, что ларморовский радиус частицы (электрона) мал по сравнению с характерным поперечным к внешнему магнитному полю масштабом изменения поля волны. Последнее условие существенно используется и при выводе усредненных уравнений движения [35-37], и при их анализе.

Рассмотрение взаимодействия частиц не с плоскими эле; тромагнитными волнами проводилось также и в связи с задача: физики плазмы и ускорителей. Так, задача о нелинейном взаи действии заряженной частицы (с произвольным ларморовским pi диусом) с поверхностной волной, распространяющейся вдоль плоской границы плазмы, была рассмотрена в работе [38]. От ние процесса ускорения релятивистских частиц поверхностной волной в диафрагмированном волноводе содержится, например, [39-41]. Здесь рассмотрение проводилось в предположении м; лости ларморовского радиуса частиц.

Во многих задачах физики плазмы необходимо ис с ледова: взаимодействие заряженных частиц с потенциальными (электростатическими) волнами в плазменном цилиндре. (Исследова' нию различных дисперсионных характеристик плазменных волноводов посвящена монография [42]). Такие волны могут возбуждаться как антенными устройствами [43] , так и в результате развития неустойчивостей, например, пучковых [44-47], цинл! тронных [48] или других неустойчивостей плазмы в магнитном поле и в скрещенных полях [49,50] . Их возбуждение на само) деле происходило во многих экспериментах, в которых плазма имела форму цилиндра: в прямых разрядах и плазменно-пучков) системах [51-54] , в разрядах о осциллирующими электронам] (см.,например, [55-65] ), в магнетронном диоде [66-67] , плазмохимических установках [б8], в Gt - машинах [54,69-' в установках для термоядерного синтеза [73], в ускорителя: [39-41,47] , в приборах СВЧ. Возбуждение колебаний сопрово: дается нагревом (ускорением) и аномальным переносом резона] сных частиц [48,70,7l] , что может привести к перераспредел* нию плотности плазмы по радиусу [70], появлению эффекта сепарации ионов разных сортов [54,бо] и других эффектов.

Следует подчеркнуть, что условие малости ларморовского радиуса в задачах физики плазмы в отличие от задач электроники СВЧ и физики ускорителей выполняется не всегда. Оно, например, не выполняется при взаимодействии частицы с мелкомасштабными волнами |<хр > 1 (где - поперечная составляющая волнового вектора, р - ларморовокий радиус частицы),в случае, когда величина ларморовского радиуса сравнима с диаметром самого волновода . Последний случай реализуется, например, для ионов плазмы, находящейся в сильном радиальном электрическом поле [61,62,74,75]. Кроме того, даже если ларморовский радиус мал в начале взаимодействия, то в процессе его он может возрасти настолько, что условие малости перестанет выполняться [7l]. В таких случаях для количественного описания взаимодействия необходим учет конечности ларморовского радиуса.

Таким образом, теория взаимодействия частиц, имеющих конечный ларморовский радиус, представляет неоомненный практический интерес.

В настоящей диссертационной работе проводится теоретическое исследование нелинейного взаимодействия нерелятивистских заряженных частиц с произвольным ларморовским радиусом, со спиральными потенциальными волнами малой амплитуды в условиях черенковского и циклотронных резонансов (глава 2). Частными случаями таких волн могут быть волны, бегущие только по азимуту или только вдоль оои цилиндра.

Рассматриваются также некоторые вопросы возбуждения потенциальных ионных циклотронных волн в плазме, находящейся в скрещенных продольном магнитном и радиальном электрическом полях в результате развития неустойчивостей (глава I). Основной целью здесь является объяснение тех особенностей спектра ионных циклотронных колебаний, обнаруженных и исследованных в экспериментах [55-60] в разряде Пеннинга, которые не нашли теоретического объяонения в предыдущих работах [76,77]. К этим особенностям относятся следующие:

1) само существование в скрещенных полях колебаний с частотами, близкими к ионным циклотронным^*) * »П = 12Д., О)^ = бВ0/Мс - циклотронная частота);

2) присутствие в спектре только колебаний с четными азимутальными волновыми числами Ш = -2п ;

3) большие, судя по результатам измерений [бб], величины инкрементов £ Gt)^ ;

4) пороговый характер возбуждения колебаний.

В оилу труднооти измерения электрического поля в разряде, его величина оставалась неизвестной. Предпринимавшиеся ранее попытки объяснения этих особенностей спектра [76,77] , основанные на предположении о слабом статическом радиальном поле Е0~Ев1 = еВог/4Мс2 предсказывали наличие в опектре колебаний как с четными, так и с нечетными значениями азимутального числа m . Кроме того, найденные инкременты нарастания этих колебаний jf , обусловленные относительным движением электронов и ионов, были малыми.

С целью объяснения особенностей спектра было сделано предположение о наличии в области, где развиваются колебания (внутри цилиндрического анода), сильного статического радиального электрического поля Е0 [78]. При этом предположении найден опект^) низкочастотных колебаний сх) Я. ~ =(<f/^)(cJBi-4eE0/Mt) I который имеет те же особенности, что и колебания, наблюдаемые в эксперименте.

Возбуждение ионных циклотронных колебаний в заведомо сильном радиальном электрическом поле наблюдалось в экспериментах [62,6?] , при этом спектр обладал указанными выше особенностями. Численные оценки показывают, что эти колебания могут быть обусловлены рассмотренной неустойчивостью вращающейся плазмы в оильном радиальном электрическом поле [78].

Решение задачи о движении нерелятивистской заряженной частицы в электрическом поле спиральной потенциальной волны малой амплитуды и однородном магнитном поле в условиях черен-ковского и циклотронных резонансов [?9] дано в главе 2. Как уже указывалось, взаимодействие частицы с волнами исследова-лооь с одной стороны при более общих допущениях, чем это сделано в настоящей работе (рассматривалась релятивистская частица и ее взаимодействие с непотенциальными волнами), но с другой стороны при ограничениях на величину ларморовского радиуса - он полагалоя малым по сравнению о поперечным к магнитному полю масштабом неоднородности поля волны [35-38]. Развитая в работе методика позволяет исоледовать взаимодействие частицы о волной при произвольной величине ларморовского радиуса частицы. Эта методика без изменения может быть перенесена на случай взаимодействия частиц с электромагнитными (непотенциальными) волнами в плазменных или вакуумных цилиндрических волноводах.

С помощью теоремы сложения Графа для цилиндрических функций [во] и метода усреднения [29,30] получены уравнения дрейфового движения для цилиндрических координат ведущего центра частицы (R,8 ), а также ларморовского радиуса р , фазы чаотицы на ларморовокой окружности 1Я , и резонансной фазы ф , в которых стоящие в правых частях оилы также выражены через эти переменные. При выводе уравнений было использовано только предположение о том, что взаимодействие происходит в цилиндрическом волноводе, ограниченном металлическим кожухом. Это предположение не является принципиальным и при необходимости от него можно отказаться. (В главе 3 выведены аналогичные уравнения без использования этого предположения). В остальном, полученные уравнения справедливы при произвольной зависимости потенциала волны от радиуса и фазы.

Найдены три первых интеграла системы дрейфовых уравнений. (В недавно вышедшей работе |^8з] с помощью такой же методики независимо от нас получены усредненные уравнения движения слаборелятивистского электрона с произвольной величиной ларморовского радиуса в поле бегущей по азимуту электромагнитной волны ТЕ-типа и найден один интеграл этих уравнений, который в нерелятивистском пределе совпадает с соответствующим интегралом, полученным нами). С их помощью в случае монохроматической волны найдены в квадратурах решения этих уравнений. Установлено, что в поле монохроматической волны, зависимость которой от радиуса выражается функцией Бесселя, движение частицы на плоскости Rp происходит по участку о о траектории, заключенному внутри ячеики, в которой она находилась в начальный момент. В рассматриваемом случае ячейки имеют форму прямоугольников. Максимально возможные перемещения частицы на плоскости Rp имеют место, когда волна распространяется перпендикулярно к магнитному полю ( ), а ее частота равна или кратна циклотронной частоте частицы.

Для этой же волны при уоловии построены картины фазовых траекторий на плоскости . Для того, чтобы выполнить это построение, в приложениях введены вспомогательные функции и исследовано их поведение вдоль дрейфовых траекторий на плоскости КР . С помощью этих функций установлено само существование, а также определены координаты точек экстремума, минимакса, перегиба гамильтониана Н(R,<p), в которых находятся особые точки дрейфовых уравнений и построены зависимости H(R,lx)при различных величинах расстройки резонанса. С их помощью построены картины фазовых траекторий и, таким образом, получено полное решение задачи о движении заряженной частицы в однородном магнитном поле и электрическом поле спиральной потенциальной волны малой амплитуды в условиях черен-ковского и циклотронных резонансов.

Сравнение полученных картин с картинами фазовых траекторий в поле плоской потенциальной монохроматической волны [й] (см.также [Зб] ) показывает во-первых, большее разнообразие картин в рассмотренном нами случае и, во-вторых, их большую сложность, обусловленную сосуществованием на фазовой плоско-оти большего числа особых точек.

Результаты, полученные для частицы, движущейся в однородном магнитном поле, обобщены на случай движения частицы в скрещенных полях, когда наряду с магнитным присутствует еще и радиальное электрическое поле, зависимость потенциала которого от радиуса близка к квадратичной jj31,82]. Этот случай представляет практический интерес, поснольку такое распределение потенциала реализуется в определенных режимах работы различных установок со скрещенными полями [б1,62,67,74,75]].

Известно, что при возбуждении ионных циклотронных колебаний в объеме плазмы одновременно с нагревом происходит и перенос резонансных частиц по радиусу. (Этим двум процессам соответствует дрейф частиц на плоскости Rp ). При этом вота-ет вопрос об удержании резонансных частиц в объеме плазмы и о величине потерь чаотиц на отенке. В этой связи на плоскости Rp определена линия, соответствующая положению стенки, и найдена граница ячейки при произвольной зависимости потенциала монохроматической волны от радиуоа. Последнее сделано для случая аксиально-симметричной волны ( m = Q ) и волны, воздействующей на частицу в уоловиях резонанса ПЛ + 2П50.

Получены выражения для энергии частицы £± и обобщенного импульса Рср через переменные R и р и составлены дрейфовые уравнения для скорости изменения во времени этих интегралов движения частицы, обусловленного волной.

Полученные в главе 2 теоретические результаты позволяют объяснить некоторые эффекты, наблюдавшиеся в двух группах экспериментов, в которых имело место нелинейное взаимодействие резонансных частиц с потенциальными ионными циклотронными волнами.

В первой группе [?l] возбуждение аксиально-симметричных (т=0 ) ионных циклотронных колебаний в плазме Q -машины, находящейся в однородном магнитном поле ( статическое радиальное элентричесное поле отсутствовало), приводило н нагреву резонансных ионов и появлению азимутального пучка ионов, находящихся в состоянии R~p . Согласно полученным результатам появление именно таких ионов как раз и следует ожидать в результате взаимодействия с такими волнами. Более того, максимальное значение параметров R и р частиц пучка хорошо согласуется с предсказываемым теоретически численным значением положения границы ячейни на плоскости Rp

Во второй группе экспериментов |^35] в разряде с осциллирующими электронами плазма находилась в скрещенных радиальном электричеоком и продольном магнитном полях. При возбуждении ионных циклотронных колебаний с четными азимутальными волновыми числами ГП наблюдалоя эффект пространственного разделения ионов разных сортов, вылетающих в торец установки вдоль магнитного поля [бо]. Эффект состоял в том, что поток ионов, циклотронная частота которых близка к частоте возбужденных нолебаний, обнаруживает резкий и узкий максимум на определенном радиусе, тогда как в отоутотвие колебаний этот поток является гладкой убывающей функцией радиуса.

Проведенное теоретическое исследование процесса взаимодействия частицы с волной позволяет понять саму возможность эффективного воздействия такой низкочастотной волны на чаоти-цу, движущуюся в скрещенных полях, за относительно малые времена ( Т - время нахождения иона в разряде) и предложить следующее объяснение эффекта разделения. Ионы, родившиеся в сильном радиальном электрическом поле, совершают быстрые радиальные колебания, проходя вблизи оси системы. В отсутствие колебаний азимутальное движение практически отсутствует. Такому движению соответствует состояние с R~p Ионы, которые выбрасываются из разряда в момент нахождения в точке поворота этого колебательного движения, будут двигаться вдоль магнитного поля и создавать наблюдаемый поток ионов.

При возбуждении колебаний ионы в поле волны приобретают угловой момент (азимутальную скорость) и после выброса в торец системы (даже если выброс происходит в точке поворота радиального колебательного движения ) будут двигаться под углом к магнитному полю. Двигаться вдоль магнитного поля омо-гут только ионы, которые при взаимодействии с волной не приобрели углового момента. Это могут быть только ионы, родившиеся вблизи оообых точек на фазовой плоскости Rt|j или вблизи границы ячейки на плоскости Rp . Вблизи состояния R , в котором рождаются ионы, особые точки и граница ячейки могут иметься только на какой-то определенной траектории в плоскооти Кр (причем для разных масс это разные траектории).

На радиусе, соответствующем ей, и будет наблюдаться поток ионов вдоль магнитного поля. Для ионов с близкими массами радиусы, на которых идут их потоки, будут близкими, но разными. Это и даст эффект пространственного разделения ионов разных сортов.

Следует отметить, что реальное распределение электрического поля в разряде намного сложнее, чем это предполагается в настоящей работе. Это может существенно усложнить рисуемую картину процесса разделения ионов по массам. лирующими электронами выявили факт резкого увеличения углового момента ионов при возбуждении ионных циклотронных колебаний. Причем ионы в результате взаимодействия о волной приобретают как положительный, так и отрицательный момент. Эти факты находятся в полном согласии с теоретическими результатами главы Z,

Как уже указывалось, взаимодействие частиц (вообще вещества) о волнами рассматривается и в ряде астрофизических задач. Здесь исследуют взаимодейотвие гравитирующих частиц с волнами гравитационного потенциала. Под последней имеется в виду переменный во времени гравитационный потенциал Ф , обусловленный источниками - гравитирующими массами вещества,удовлетворяющий уравнению Пуассона

Переменность потенциала может быть обусловлена вращением аксиально несимметричной системы, например, системы двойных звезд или аксиально несимметричного тела. В этом случае частота вращения волны потенциала совпадает с частотой вращения тел (тела), составляющих систему. Движение пробной ча

Проведенные недавно эксперименты разряде о осцил

А<Р = 4зcGp. стицы малой массы в гравитационном поле такой системы исследуется в ограниченной задаче трех тел [84—8б].

В бесстолнновительных системах, состоящих из большого числа гравитирующих частиц, возможно возбуждение коллективных мод колебаний аналогично тому, как это происходит в бео-столкновительной плазме при развитии неустойчивости [49,50, 87] . В этом случае волна потенциала порождается волной плотности частиц, обусловленной возмущением их функции распределения, и одновременно сама порождает ее.

Аналогия волн в таких гравитирующих системах с волнами в бесстолкновительной плазме обусловлена, во-первых, бесстол-кновительным характером взаимодействия гравитирующих частиц и, во~вторых, одинаковой зависимостью от расстояния силы взаимодействия заряженных (закон Кулона) и гравитирующих (закон Ньютона) частиц [87].

Примером систем с большим числом частиц, в которых могут возбуждаться коллективные моды колебаний, служат галактики. Их устойчивость по отношению к возбуждению малых колебаний стала исследоваться методами теории плазмы лишь в 60-х годах. Выяснилось, что аксиально оимметричные оистемы оказываются часто неустойчивыми по отношению к возмущениям, бегущим по азимуту и превращающим фигуру типа двухооного эллипсоида во вращающийся трехосный эллипсоид. Гравитационный потенциал такой системы имеет аксиально несимметричную часть, зависимость которой от координат и времени имеет вид волны, бегущей по азимуту. Взаимодействие пробной частицы, движущейся по окружности в экваториальной плоскости галактики, с такими волнами исследуется в главе 3.

Решение этой задачи представляет интерес в связи с проблемой спиральной структуры галактик - важнейшей проблемой внегалактической астрономии [87-90] . Теория этого явления должна объяснить два основных момента: I) почему некоторые галактики имеют отчетливо выраженный спиральный узор, простирающийся иногда по всему диоку галактики (проблема существования) и 2.) почему этот узор существует на протяжении многих оборотов галактики, несмотря на разрушающее действие дифференциального вращения (проблема выживания) |^88] .

Имеются две конкурирующие возможности для объяснения природы спиральных рукавов в галактиках: либо они представляют собой "материальные" образования, движущиеся в каждой точке с локальной скоростью вращения галактики, либо спиральные рукава суть волны плотности, вращающиеся твердотельно, независимо от дифференциального вращения галактики [87^.

В настоящее время наибольшее развитие получила волновая гипотеза [в7-90]. Вместе о тем были попытки развития представлений о спиральных рукавах как о "материальных" образованиях. Наблюдательной основой такого подхода можно считать работу [9l], в которой на основе морфологического анализа спиральных узоров колоссального числа галактик из Паломарско-го атласа неба сделан вывод о том, что "спиральные узоры возникают посредством каких-то течений внутри диска" [90]. В доказательство были приведены многочисленные примеры галактик, форма спиральных узоров в которых не укладывается в рамки существующих морфологических классификаций [88] и на объяснение происхождения которых ни волновая, ни какая другая теория не претендует. Между тем, нет основания считать эти узоры какими-то "особенными" в силу многочисленности отряда этих галактик. Кроме того, имеется плавный переход от этих узоров к обычным спиральным узорам. Этот факт может означать, что спиральные узоры разных морфологических типов образуются под действием какого-то одного механизма [92].

Если образование спиралей на самом деле происходит под действием каких-то течений в диске, то в рамках такого подхода возникают два вопроса:

1) Почему линии тона этих течений столь неоднородно заполнены веществом (газом и молодыми звездами, образовавшимися из газа), так что в ветвях плотность газа на порядок больше плотности между ветвями [88]. Этот вопрос представляет собой переформулировку в рамках "материального" подхода проблемы существования спирального узора.

2) Какова форма линий тока вещества в галактической плоскости и чем она обусловлена.

В настоящей работе исследуются картины течений вещества, вращающегося в экваториальной плоскости галактики [95], т.е. рассматривается второй вопрос. Первый вопрос не затрагивается.

Интерес ко второму вопросу обусловлен тем, что форма течений определяет форму спиральных ветвей и, соответственно, принадлежность галактик к тому или иному морфологическому типу.

В качестве модели рассматривается галактика, в центре которой расположено вращающееся аксиально-несимметричное образование, имеющее форму трехооного эллипсоида. Обычно его называют бароподобной структурой. Для краткооти мы будем называть его ядром. Остальные подоиотемы звезд галактики, расположенные снаружи ядра, очитаем аксиально симметричными.

Такая форма ядра обусловлена волной конечной амплитуды, бегущей по азимуту, и превращающей аксиально симметричное распределение плотности центральных областей галактики в аксиально несимметричное. Возбуждение такой волны можно рассматривать как проявление неустойчивости центральных областей галактики, причем частота вращения волны может не совпадать с частотой обращения вокруг центра галактики отдельных частиц-звезд, составляющих ядро [87].

Основанием к выбору именно такой модели для исследования течений вещеотва в спиральных галактиках может служить тот наблюдательный фант, что примерно у 2/3 спиральных галактик в центре наблюдается бароподобная структура [92] .

Рассмотрение проводится в области, где частоту обращения пробной частицы вокруг центра галактики можно считать близной н частоте обращения ядра. Здесь частица движется в условиях черенковского (коротационного) резонанса о волной потенциала, обусловленной вращающимся акоиально несимметричным ядром. Предполагается также, что аксиальная асимметрия ядра слабая.

При выполнении этих двух условий для опиоания движения частицы в экваториальной плоскости оказывается возможным применить методику, которая была развита в главе 2 при исследовании движения заряженной частицы в скрещенных полях и электрическом поле бегущей по азимуту волны.

Следует отметить, что исследование траекторий движения частиц в поле аксиально несимметричных фигур применительно к галактикам проводится достаточно интенсивно, начиная с работ [93,94] как аналитическими, так и чиоленными методами. В указанных работах, видимо, впервые было отмечено сходство сепаратрис на найденных там картинах траекторий с ветвями спиральных галактик типа

В настоящей работе движение частицы исоледуется аналитически методами качественной теории дифференциальных уравнений.

В связи со сказанным выше основное внимание уделено определению формы сепаратрис.

Получены уравнения дрейфового движения частицы в экваториальной плоскости галактики. В качестве невозмущенной траектории частицы выбирается эллипс и, в частности, круг. Найдены интегралы этих уравнений, аналогичные найденным в главе 2.

Определена аксиально несимметричная часть гравитационного потенциала галактики, обусловленная ядром. Предполагается, что ядро имеет форму трехосного эллипсоида с близкими по величине главными полуосями, лежащими в экваториальной плоскости. Плотность вещества внутри эллипсоида предполагается близкой к однородной. В этом случае волна потенциала, бегущая по азимуту, являетоя монохроматической, и дрейфовые уравнения удаетоя проинтегрировать по времени.

Для движения частицы близкого к круговому определены координаты особых точек дрейфовых уравнений (точек либрации) и типы зависимостей от радиуса гамильтониана частицы в зависимости от знака и величины отклонения аксиально симметричной части гравитационного потенциалаФ0(ъ) от центробежного СО 12/2 , а также от частоты вращения ядра сО . по этим зависимостям построены картины дрейфовых траекторий, совокупность которых дает в дрейфовом приближении полное решение задачи о близком к круговому движении частицы в экваториальной плоскости рассматриваемой галактики. Возможно, некоторые из полученных картин траекторий не реализуются из-за несовместимости в самосогласованной модели галактики выбранных значений частоты вращения ядра, распределения маоо и величины аксиальной асимметрии ядра.

Сравнение формы спирального узора некоторых типов галактик с сепаратрисами на полученных картинах обнаруживает имеющееся в некоторых случаях их хорошее сходство. Это свидетельствует в пользу того, что выбранная модель правильно отражает кинематические особенности по крайней мере некоторых типов спиральных галактик, содержащих в центре баропо-добную структуру, а также о том, что возникновение спирального узора в них на самом деле может быть обусловлено течениями внутри диска.

Материал диссертации расположен в следующем порядке.

Ионные циклотронные неустойчивости плазмы в окрещенных продольном магнитном и сильном радиальном элентричеоком полях рассматриваются в главе I. Найден спектр колебаний, имеющий те же особенности (прежде всего четность азимутальных волновых чиоел), что и наблюдаемый в экспериментах [55-6l],

В главе 2 исследуется дрейфовое движение заряженной частицы в электрическом поле спиральной потенциальной волны малой амплитуды и однородном магнитном поле (или окрещенных радиальном электрическом и продольном магнитном полях) в условиях черенковского или цинлотронного резонанса. Получены уравнения дрейфового движения, найдены их интегралы, с помощью которых для монохроматической волны эти уравнения проинтегрированы по времени. С помощью найденных решений проанализированы свойства движений. Построены картины фазовых траекторий. Проведено сравнение полученных результатов с результатами экспериментов.

В главе 3 рассмотрено дрейфовое движение пробной частицы в экваториальной плосности галактики, в центре которой расположена вращающаяся бароподобная структура (ядро), в условиях черенковского (коротационного) резонанса. Получены уравнения дрейфового движения, их интегралы, определен потенциал аксиально несимметричной части ядра и найдены решения уравнений дрейфового движения. Построены картины дрейфовых траекторий при различных распределениях масс, величине аксиальной асимметрии ядра и частоте его вращения, В своей совокупности эти картины дают в дрейфовом приближении полное решение задачи.

Проведено сравнение полученных картин со спиральными узорами некоторых типов галактик и продемонстрировано их сходство.

В заключении приведены основные результаты диссертационной работы.

В приложениях введены вспомогательные функции, необходимые для построения фазовых траекторий заряженной чаотицы, и определено их поведение на плоскости Rp вдоль дрейфовой траектории. Проведено также графическое построение зависимости гамильтониана частицы от радиуса при различных величинах расстройки резонанса и малом значении продольного волнового вектора к2 .

Основные положения, выносимые на защиту.

I, В скрещенных продольном магнитном и сильном радиальном электрическом полях, когда частота радиальных колебаний иона значительно превышает циклотронную частоту, а траектория не имеет ничего общего с ларморовской окружностью, возможно возникновение неустойчивых колебаний, частота которых равна или кратна циклотронной частоте, а азимутальные волновые числа отрицательные и четные. Этот результат позволяет объяснить наиболее существенные особенности ионной циклотронной неустойчивости плазмы в скрещенных полях, обнаруженной экспериментально ранее.

2. Методика и вывод уравнений дрейфового движения заряженной частицы с произвольной величиной ларморовского радиуса в электрическом поле спиральной потенциальной волны в условиях черенковского или циклотронного резонанса и обобщение этих уравнений на случай скрещенных полей.

3. Отыскание первых интегралов уравнений дрейфового движения и их аналитическое решение в случае монохроматической волны. Анализ свойств дрейфового движения.

Построение картин фазовых траекторий частиц с произвольным ларморовским радиусом в поле волны, бегущей по азимуту.

5. Объяснение с помощью результатов, указанных в п.п. 3,4, эксперимента [?l], в котором имело место нелинейное взаимодействие ионов с аксиально симметричными ионными циклотронными колебаниями. Появление модулированного во времени пучка ионов, вращающегося вокруг оси системы, образованного частицами, находящимися в состоянии R«rp , объясняется на основе развитой в диссертационной работе теории дрейфового движения заряженной частицы под действием ионной циклотронной волны. Максимальные значения R и р частиц пучка совпадают с предсказываемым теоретически значением координаты границы ячейки.

6. Возможность пространственного разделения ионов разных сортов при возбуждении ионных циклотронных колебаний.

7. Вывод и анализ уравнений дрейфового движения частицы в экваториальной плоскости галактики с вращающимся бароподоб-ным ядром. Определение полной совокупности картин дрейфовых траекторий частиц, совершающих близкое к круговому движение в экваториальной плоскости такой галактики в условиях черен-ковского (коротационного) резонанса, в зависимости от частоты вращения ядра, величины его аксиальной асимметрии и распределения масс в галактике.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [78,79,81,82,95] и докладывались на

- Ш Всесоюзной конференции "Взаимодействие электромагнитных излучений с плазмой" (Алма-Ата), 1982 г.;

- Всесоюзной конференции "Структура галактик и звездообразование" (Киев,1983);

На научных семинарах

- отдела плазменных явлений ФИАН СССР им.П.Н.Лебедева;

- отдела ВЧ нагрева и теории плазмы и отдела теоретической физики ХФТИ АН УССР;

- Государственного Астрономического института им. П.К.Штернберга;

- лаборатории плазменной астрофизики Абастуманской астрофизической обсерватории АН ГССР.

Заключение диссертации по теме «Физика плазмы», Елисеев, Юрий Николаевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приведем основные результаты, полученные в диссертационной работе.

1. В локальном приближении исследована устойчивость вращающегося плазменного цилиндра, находящегося в скрещенных продольном магнитном и сильном радиальном электрическом полях 1Е0|*>Есг.

В таких полях частота вращения иона cOj значительно превышает ионную циклотронную частоту с*)^ , а проекция траектории на плоскость, перпендикулярную к магнитному полю, в общем случае представляет собой эллипс, сравнительно медленно (с частотой-сО^/2 )прецессирующий в этой плоскости.

Исследование проведено для случая, когда модифицированный циклотронный радиус иона мал по сравнению с диаметром плазменного столба. В этом случае траектория частицы близка по форме к окружности.

Показано, что наряду с коротковолновыми высокочастотными неустойчивостями возможно возбуждение длинноволновой циклотронной (т.е. низкочастотной) неустойчивости с частотой одъПоО^ . Ее основные характеристики (прежде всего четность азимутальных чисел ГП ) и зависимости от параметров совпадают с особенностями ионных циклотронных колебаний, наблюдавшихся экспериментально [55-61]в разряде типа Пеннинга.

2. Решена задача о дрейфовом движении нерелятивистской заряженной частицы, находящейся в однородном магнитном поле, под действием электрического поля, спиральной потенциальной волны малой амплитуды в условиях черенковского и циклотронных резонансов. Развита методика, позволяющая исследовать это взаимодействие при произвольной величине ларморовского радиуса частицы.

Получены уравнения, описывающие дрейфовое движение координат ведущего центра частицы R , 8 , величины ларморовского радиуса р , фазы частицы на ларморовской окружности ^ и резонансной фазы Ср .

Найдены интегралы дрейфового движения частицы. В случае монохроматической волны получены в квадратурах решения дрейфовых уравнений.

Исследованы свойства дрейфовых движений частицы на плоскости Rp в поле монохроматической волны с зависимостью потенциала от радиуса вида ^m[pm,i • Установлено, что дрейф происходит в пределах ячейки, в которой частица находилась в начальный момент взаимодействия с волной. Определены форма и координаты границ ячеек. В случае малых kz построены картины фазовых траекторий на плоскости Rty

Проведено обобщение полученных результатов (уравнений, интегралов) на случай движения частицы в скрещенных электрическом и магнитном полях и поле волны в условиях черенковско-го или модифицированных циклотронных резонансов. Предполагается, что зависимость потенциала статического электрического поля от радиуса близка к квадратичной.

3. Результаты теоретического исследования нелинейного взаимодействия резонансных частиц со спиральными потенциальными волнами позволили дать объяснение некоторым эффектам, наблюдавшимся экспериментально.

В экспериментах [7l] на Gl -машине (плазма находилась в однородном магнитном поле, радиальное электрическое поле отсутствовало) возбуждение аксиально симметричных (ГШ=0 ) ионных циклотронных колебаний с малым kz приводило к появлению пучка ионов, вращавшегося в направлении ларморовского вращения ионов вокруг оси системы. Пучок был образован ионами, находящимися в состоянии R^p , величина их ларморовского радиуса существенно превосходила значение, соответствующее тепловой скорости.

Этот факт объясняется на основе развитой в диссертации теории дрейфового движения заряженных частиц в поле волны в условиях циклотронного резонанса, оогласно которой при взаимодействии с волной ГП = 0 и следует ожидать появления ионов в состоянии с R^p . Максимальное значение ларморовского радиуса частиц пучка совпадает с координатой границы ячейки.

В экспериментах [бо] в разряде типа Пеннинга (плазма находилась в скрещенных радиальном электрическом и продольном магнитном полях) при возбуждении бегущей по азимуту ионной циклотронной волны с ГП = -2, -4,. наблюдался эффект пространственного и энергетического разделения ионов разных сортов (разных маос), выбрасываемых в торец системы вдоль магнитного поля.

Предложено объяснение этого эффекта. Ионы совершают в скрещенных продольном магнитном и сильном радиальном электрическом полях быстрое колебательное движение по радиусу и находятся в резонансе с возбуждаемой волной. За время нахождения в разряде они успевают провзаимодействовать с ней (приобрести угловой момент), изменить свое начальное состояние и в результате после выброса уже не смогут двигаться вдоль магнитного поля.

Сохранить свое начальное состояние (и способность двигаться после выброса вдоль магнитного поля) могут только те ионы, которые родились вблизи особых точек в фазовом пространстве Rpcp или границ ячеек на плоскости Rp . Вблизи состояния R^p , в котором рождаются ионы, такие точки имеются только при определенных значениях R , причем для ионов с разными массами значения R будут разными. На радиусах в координатном пространстве, соответствующих им, и будут наблюдаться потоки ионов вдоль магнитного поля.

Определено дрейфовое движение пробной частицы (звезды) в экваториальной плоскости галактики, содержащей в центре вращающуюся бароподобную структуру (ядро). Рассмотрение проведено в области коротационного (черенковского) резонанса, где частота вращения ядра близка к частоте обращения частицы вокруг центра галактики.

Для случая, когда внутри галактики зависимость гравитационного потенциала от радиуса близка к квадратичной, получены уравнения дрейфового движения частицы, невозмущенной траекторией которой является эллипс. Определены интегралы дрейфового движения.

Для случая слабонеоднородного ядра, имеющего форму трехосного эллипсоида со слабой аксиальной асимметрией получены в квадратурах решения дрейфовых уравнений.

Для частицы, невозмущенной траекторией которой является окружность, определена совокупность картин дрейфовых траекторий в галактиках с различным распределением масс и частотой вращения ядра.

Сравнение формы сепаратрис на полученных картинах дрейфовых траекторий с формой спиральных рукавов в некоторых галактиках показывает их заметное сходство. Это свидетельствует в пользу того, что полученные решения, несмотря на ограниченную область применимости дрейфового приближения, качественно верно отражают особенности течений вещества в галактической плоскости, приводящих к образованию спиральных узоров в галантинах.

Исследования, результаты которых представлены в настоящей работе, были стимулированы экспериментами, проводимыми на кафедре физики плазмы физико-технического факультета ХГУ A.M.Рожковым с сотрудниками, которого хочу поблагодарить за постоянный интерес к работе, многочисленные обсуждения и дискуссии. Хочу поблагодарить также А.А.Лучанинова за плодотворное сотрудничество и за экспериментальную апробацию некоторых теоретических результатов настоящей работы.

Выражаю свою глубокую благодарность К.Н. Степанову за руководство работой, постоянное внимание и поддержку.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Елисеев, Юрий Николаевич, 1984 год

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. - М.: Наука, 1973. - 504 с.

2. Коломенский А.А., Лебедев А.Н. Авторезонанское движение частиц в плоской электромагнитной волне. ДАН СССР, 1962, т.145, № б, с.1259-1261.

3. Коломенский А.А., Лебедев А.Н. Резонансные явления при движении частицы в плоской электромагнитной волне. ЖЭТФ,1963, т.44, в.1, с.261 269.

4. Давыдовский В.Я. О возможности резонансного ускорения заряженных частиц электромагнитными волнами в постоянном магнитном поле. ЖЭТФ, 1962, т.43, в.З, с.886 - 888.

5. Воронин B.C., Коломенский А.А. Давление интенсивной плоской волны на свободный заряд и на заряд в магнитном поле. ЖЭТФ, .1964, т.47, в.4, с.1528 - 1535.

6. Roberts C.S., Buchsbaum S.J. Motion of Charged. Particle in a Constant Magnetic Field and a Transverse Electromagnetic Wave Propagating along the Field*- Phys. Rev.,1964, v. 135, NS2A, p. 381-389.

7. Laird M.J., Knox F.B. Exact Solution for Charged Particle Trajectories in an Electromagnetic Field.- Physics of PI.,1965, v.8, p.755-756.

8. Leer E. Exact Motion of a Charged Particle in an Arbitrary Plane Wave Propagating along a Constant Homogeneous Magnetic Field.- Physics of Fl., 1969, v.12, Ua 10,p.2206-2210.

9. Woolley M.L. Particle Orbits in a Constant Magnetic Field and Transverse Electromagnetic Wave.- Plasma Phys., 1970, v.12, и» 10, p.779-787.

10. Woolley M.L. The Motion of a Charged Particle Interacting with a Plane Electromagnetic Wave Propagating at an Arbitrary Angle to a Uniform Magnetic Field.- Plasma Phys., 1971, v.13, № 12, p.1141-1151.

11. Aamodt R.E. Particle Motion in Ргевепв of Three-Dimen-tional Finite Amplitude Harmonic Cyclotron Waves.-Physics of Fl., 1970, v.13, NS 19, p.2341-2347.

12. Palmadeeso P.J. Resonance, Particle Trapping, and Landau Damping in Finite Amplitude Obliquely Propagating Waves.-Physics of Fl., 1972, v.15, №11, p.2006-2013.

13. Киценко А.Б., Панкратов И.М., Степанов К.Н. Движение релятивистской заряженной частицы в поле электромагнитной волны и постоянном магнитном поле. ЖТФ, 1975, т.45,4, с.912-914.

14. Мазитов P.К. О затухании плазменных волн. ПМТФ, 1965, № I, с.27-31.

15. Галеев А.А., Сагдеев Р.З. Нелинейная теория плазмы. -В кн.: Вопросы теории плазмы, вып.7, М.: Атомиздат, 1973, с.3-145.

16. Киценко А.Б., Панкратов И.М., Степанов К.Н. Нелинейная стадия возбуждения монохроматических колебаний плазмы в магнитном поле потоком заряженных частиц. ЖЭТФ, 1974, т.66, в.1, с.166-175.

17. Абурджания Г.Д., Панкратов И.М. Эволюция нелинейной стадии пучковой неустойчивости плазмы в магнитном поле. -Физика плазмы, 1983, т.9,№2, с.273-277.

18. Kitsenko А.В., Pankratov I.M., Stepanov K.N. Instabilities of Finite Amplitude Oscillations of a Plasma in a Magnetic Field, in the Presens of Trapped Particles.-Plasma Phys., 1975, v. 17,. H® 2, p.173-187.

19. Киценко А.Б., Панкратов Й.М., Степанов К.Н. Нелинейный циклотронный резонанс в плазме. ЖЭТФ, 1974, т.67, в.5, с.1728-1737.

20. Файнберг Я.Б. Ускорение заряженных частиц в плазме. -УФН, 1967, т.93, № 4, с.617-631.

21. Индынул В.П., Панченко И.П., Шапиро В.Д., Шевченко В.И. Теория резонансного ускорения ионов в сильных релятивистских пучках. Физика плазмы, 1976, т.2, в.5, с.775-788.

22. Давыдовский В.Я., Уколов А.С. К нелинейному взаимодействию волн с захваченными частицами в неоднородных средах.- ЖТФ, 1983, т.53, № 6, с.1048-1054.

23. Милантьев В.П. Теория взаимодействия резонансных частиц замагниченной плазмы с высокочастотными волновыми пакетами. ЖЭТФ, 1983, т.85, в.1, с.132-140.

24. Лошков И.В., Шевченко В.И. Резонансное ускорение ионов волнами пространственного заряда электронного пучка. -Физика плазмы, 1983, т.9, в.З, с.461-468.

25. Голованивский К.С. Гиромагнитный авторезонанс и ускорение заряженных частиц. М.: Изд-во ун-та др.нар.,1982.- 84 с.

26. Киценко А.Б. Об одной возможности авторезонансного циклотронного ускорения зарядов в неоднородной плазме. Письма в ЖЭТФ, 1982, т.35, № 12, с.504-506.

27. Морозов А.И., Соловьев Л.С. Движение заряженных частиц в электромагнитных полях. В кн.: Вопросы теории плазмы, в.2, М.: Госатомиздат, 1963, с.177-261.

28. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. -504 с.

29. Вайнштейн Л.А., Солнцев В.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике. М.: Сов.радио, 1973. - 400 с.

30. Шевчик В.Н., Трубецков Д.И. Аналитические методы расчета в электронике СВЧ. М.: Сов.радио, 1970. - 584 с.

31. Роу Дж. Нелинейные явления в электронных приборах СВЧ. -М.: Сов.радио, 1969. 616 с.

32. Гайдук В.И., Палатов К.И., Петров Д.М. Физические основы электроники СВЧ. М.: Сов.радио, 1971. - 600 с.

33. Кураев А.А. Сверхвысокочастотные приборы с периодическими электронными потоками. Мн.: Наука и техн., 1971. -312 с.

34. Жураховсний В.А. Нелинейные колебания электронов в маг-нитонаправляемых потоках. Киев: Наук.думка, 1972. -304 с.

35. Кураев А.А. Теория и оптимизация электронных приборов СВЧ. -Мн.: Наука и техн., 1979. 336 с.

36. Киценко А.Б., Панкратов И.М., Степанов К.Н. О нелинейной стадии возбуждения монохроматических поверхностных волн потоком заряженных частиц в магнитном поле. ЖТФ, 1974, т.44, № II, с.2430-2432.

37. Вальднер С.А., Власов А.Д., Шальнов А.В. Линейные ускорители. М.: Атомиздат, 1969. - 248 с.

38. Коломенский А.А. Физические основы методов ускорения заряженных частиц. М.: йзд-во МГУ, 1980. - 302 с.

39. Лебедев А.И., Шальнов А.В. Основы физики и техники ускорителей, т.З. М.: Энергоатомиздат, 1983. - 200 с.

40. Кондратенко А.Н. Плазменные волноводы. М.: Атомиздат, 1976. - 232 с.

41. Бекефи Дж. Радиационные процессы в плазме. М.: Мир, 1971. - 437 с.

42. Рухадзе А.А., Богданкевич Л.С., Росинский С.Е., Рухлин В.Г. Физика сильноточных релятивистских пучков. М.: Атомиздат, 1980. - 168 с.

43. Ерохин Н.С., Кузелев М.В., Моисеев С.С. и др. Резонансные и нерезонансные процессы в плазменной радиофизике. М.: Наука, 1982. - 271 с.

44. Давидсон Р. Теория заряженной плазмы. М.: Мир,1978. -216 с.

45. Лоусон Дж. Физика пучков заряженных частиц. М.: Мир, 1980. - 440 с.

46. Ломинадзе Д.Г. Циклотронные волны в плазме. Тбилиси: Мецниереба, 1975, - 224 с.

47. Михайловский А.Б. Теория плазменных неустойчивостей. т.1. М.: Атомиздат, 1975. - 272 с.

48. Михайловский А.Б. Теория плазменных неустойчивостей, т.2. М.: Атомиздат, 1977. - 360 с.

49. Незлин М.В. Динамика пучков в плазме. М.: Энергоиздат, 1982. - 264 с.

50. Богданкевич Л.С., Рухадзе А.А. Устойчивость электронных пучков в плазме и проблема критических токов. УФН, 1971, т.103, № 4, с.609-640.

51. Ткач Ю.В., Файнберг Я.Б., Магда И.И. и др. Микроволновое излучение при взаимодействии сильноточного релятивистского пучка с замедляющей структурой, заполненной плазмой.

52. Физика плазмы, 1975, т.1, вЛ, с.81-87.

53. Dawson J.M., Kim Н.С., Amush D. et al. Isotope Separation by Use of Ion Cyclotron Resonanse.- Phys. Rev. Lett., 1976, v.33, № 23, p.1547-1550.

54. Рожков A.M., Степанов K.H., Супруненко Б.А. и др. Резонансное возбуждение ионно-циклотронных колебаний во вращающейся плазме. Письма в ЖЭТФ, 1969, т.Ю, № 2, с.71-75.

55. Рожков A.M., Степанов К.Н., Супруненко Б.А. и др. Резонансное возбуждение ионно-циклотронных колебаний в плазме, находящейся в скрещенных электрическом и магнитном полях. УФЖ, 1969, т.14, № II, с.1855-1862

56. RoshkovA.M., Stepanov K.N., Suprunenko V.A. et al. Cyclotron Resonanse Instability in Rotating Plasma.-Plasma Phys.,1970, v.12, N^7, p.519-527.

57. Фареник В.И., Власов В.В., Рожков A.M. и др. Изучение радиальной структуры колебаний плазменного столба, находящегося в скрещенных полях, при развитой резонансной циклотронной неустойчивости. УФЖ, 1973, т.18, № 3, с.394-396.

58. Власов В.В., Панченко В.И., Рожков A.M. и др. Параметрические неустойчивости неоднородной плазмы в скрещенных полях. ЖТФ, 1975, т.45, № 5, с.986-993.

59. Власов В.В., Залюбовский И.И., Кирочкин Ю.А. и др. Пространственное распределение и вывод ионных компонентов плазмы при развитой ионной циклотронной неустойчивости. -Письма в ЖЭТФ, 1978, т.27, № 5, с.264-267.

60. Лучанинов А.А., Елисеев Ю.Н., Рожков A.M., Соколов Н.П.

61. О движении ионов в разряде Пеннинга при низком давлении.-УФЖ, 1984, т.29, № I, с.147-149.

62. Маринин В.Г. Исследование нагрева ионов при развитии высокочастотной пу^ково-вдтробежной неустойчивости. -УФЖ, 1970, т.15, № 6, с.1031-1034.

63. Смирницкая Г.В., Рейхрудель Э*М., Егиазарян Г.А. О высокочастотном излучении разряда с осциллирующими электронами при низком давлении. Вестник МГУ, сер.Ш (физ., астрон.), 1970, т.14, № I, с.15-19.

64. Lenert Б. Rotating Plasmas.- Nucl. Fusion, 1972, v.11,5, p.485-533.

65. Рожков A.M. Экспериментальное исследование коллективных процессов во вращающейся плазме. Дис. канд.физ.-мат. наук. - Харьков, 1969. - 116 с.

66. Иванов А.А., Соболева Т.К. Неравновесная плазмохимия. -М.: Атомиздат, 1978. 264 с.

67. Д'Анджело Н. Исследование цезиевой плазмы. В кн.: Физика высокотемпературной плазмы. М.: Мир, 1972, с.214-261.

68. Stern R.A., Correl D.L., Bohmer H., Rynn N. Nonlocal Effects in the Electric Ion-Cyclotron Instability.-Phys. Rev. Lett., 1976, v.37, № 13, p.833-835.

69. Stern R.A., Hill D.N., Rynn N. Asimuthal Coherent Ion-Ring-Beam Generation in Unstable Magnetized Plasmas.-Phys. Rev. Lett.,1981, v.47, № 11, p. 792-795.

70. Бучельнинова H.C., Салимов P.А. Турбулентная диффузия и нагрев ионов при токовой неустойчивости. ЖЭТФ, 1969, т.56, в.4, C.II08-III9.

71. Тимофеев А.В. Теория циклотронного нагрева в длинных адиабатических ловушках. Физика плазмы, 1975, т.1, в.1, с.88-110.

72. Иванова Т.И., Пустовалов Г.Е. Расчет ионных траекторий в разрядном промежутке Пеннинга. ЖТФ, 1970, т.40, № 10, C.2II2-2II8.

73. Смирницкая Г.В., Баберцян Р.П. 0 кинетике положительных ионов в разряде типа Пеннинга. ЖТФ, 1966, т.36, с.1217-1225.

74. Долгополов В.В., Сизоненко В.Л., Степанов К.Н. Об устойчивости вращающейся плазмы, находящейся в скрещенных электрическом и магнитном полях. УФК, 1973, т.18, te I, с.18-28.

75. Кирочкин Ю.А., Сизоненко В.Л., Степанов К.Н. Ионная циклотронная неустойчивость вращающейся плазмы. УФЖ, 1973, т.18, № 4, с.621-629.

76. Елисеев Ю.Н., Рожнов A.M., Степанов К.Н. Ионная циклотронная неустойчивость вращающейся плазмы в скрещенных аксиальном магнитном и сильном радиальном электрическом полях. УФЖ, 1982, т.27, № 5, с.688-691.

77. Елисеев Ю.Н., Степанов К.Н. Дрейфовое движение частицы воднородном магнитном поле и электрическом поле бегущей по азимуту потенциальной волны. УФЕ, 1983, т.28, Иг 5, с.683-692.

78. Справочник по специальным функциям под ред. М.Абрамовича и И.Стигана. М.:Наука, 1979. 830 с.

79. Елисеев Ю.Н., Степанов К.Н. Дрейфовое движение заряженной частицы в скрещенных аксиальном магнитном и радиальном электрическом полях и электрическом поле бегущей по азимуту потенциальной волны. УФК, 1983, т.28, № 7,с.1010-1014.

80. Юлпатов В.К. Укороченные уравнения автоколебаний гиро-трона. В кн.: Гиротрон, Горький: Изд-во ИПФ АН СССР, 1981, с.26-41.

81. Субботин М.Ф. Введение в теоретическую астрономию. М: Наука, 1968. - 800 с.

82. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Аналитические и качественные методы. М.: Наука, 1964. - 560 с.

83. Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космо-динамике. М.: Наука, 1978. - 312 с.

84. Поляченко В.Л., Фридман A.M. Равновесие и устойчивость гравитирующих систем. М.: Наука, 1976. - 447 с.

85. Марочник Л.С., Сучков А.А. Проблема спиральной структуры галактик. УФН, 1974, т.112, № 2, с.275-308

86. Происхождение и эволюция галактик и звезд, под ред. Пикельнера С.Б. М.: Наука, 1976. - 408 с.

87. Воронцов-Вельяминов Б.А. Внегалактическая астрономия. -М.: Наука, 1978. 480 с.

88. Воронцов-Вельяминов Б.А. Свидетельства магнитоподобных явлений в структуре галактик. Астрон.журнал, 1964, т.46, № 5, с.814-822,

89. Vaucouleurs G. de, Freeman К.С. Structure and Dynamics of Barred Spiral Galaxies, in particular of the Magellanic Type.- Vistas in Asron., 1972, v. 14, p.163-294.

90. Антонов В.А. Фигуры равновесия вращающейся жидкости, обладающие особыми точками. Вестник ЛГУ, сер. матем., мех., астрон., 1961, в.З, № 13, с.157-160.

91. Danby J.M.A. The Formation of Arms in Barred Spirals.-Astron. J., 1965, v.70, № 7, p.501-512.

92. Елисеев Ю.Н., Степанов K.H. 0 происхождении спиральной структуры галактик. В кн.: Тез.докладов конф. "Структура галактик и звездообразование", Киев, июнь 1983 г., Киев, 1983, с.49-50.

93. Михайловский А.Б., Цыпин B.C. Высокочастотная неустойчивость плазмы, находящейся в радиальном электрическом и продольном магнитном полях. Письма в ЖЭТФ, 1966, т.З, № 6, с.247-250.

94. Электродинамика плазмы, под ред.А.И.Ахиезера, М.:, Наука, 1974, - 719 с.

95. Долгополов В.В. 0 циклотронном резонансе в холодной вращающейся плазме. ЖТФ, 1967, т.37, № I, с.23-27.

96. Курко О.В., Михайловский А.Б. К теории ионно-циклотрон-ных неустойчивостей столкновительной вращающейся плазмы.-Препринт ИАЭ-3619/6, М., 1982.- 28 с.

97. Елисеев Ю.Н., Лучанинов А.А., Рожков A.M., Соколов Н.П.

98. Влияние характера движения ионов на характеристики разряда низкого давления в скрещенных Е и Н полях. В кн.: Тез.докл. У Всесоюзн.конф. по плазменным ускорителям и ионным инжекторам. М., окт.1982 г. М.: Наука, 1982, с.85-86.

99. Морозов А.И., Соловьев Л.С. Движение заряженных частиц в электромагнитных полях. В кн.: Вопросы теории плазмы, в.2, М.: Госатомиздат, 1963, с.177-261.

100. Вайнштейн Л.А., Вакман Д.Е. Разделение частот в теории колебаний и волн. М.: Наука, 1983. - 288 с.

101. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1974. - 831 с.

102. Бейтмен Г., Эрдейи А. Выошие трансцендентные функции, т.2. М.: Наука, 1974. - 295 с.

103. Линдблад Б. Динамика галактики. В кн.: Строение звездных систем, М.: Изд-во Иностр. лит., 1962, с.39-132.

104. Stern R.A., Rynn N. Intense Ion Transport in Electrostatic Ion-Cyclotron Waves.- In; 1982 Intern, conf. plasma phys.: Proc. contributed papers Chalmers Univ. of Technol., Goteborg, June 15-19 1982. Goteborg, 1982, p. 10.

105. Combes P., Sanders R.H. Formation and Properties of Persisting Stellar Bars.- Astron. Astrophys., 1981, v.96,№ 1, p. 164-173.

106. Sellwood J.A. Bar Instability and Rotation Curves.-Astron. Astrophye., 1981, v.99, p. 362-374.

107. Vandervoort P.O. The Equilibrium of a Galactic Bar.-Astrophys. J., 1980, v.240, NS 2, pt.1, p.478-487.

108. Vandervoort P.O., Welty D.E. The Equilibrium of a Galactic Bar II.- Astrophys. J., 1982, v.263, Na 2, pt.1, p.654-672.

109. Binney J. Regular and Irregular Orbits in Galactic Bars.- Mon.Hot.Roy.Astron.Soc.,1982,v.201, p.1-14.

110. Сретенский Л.Н. Теория ньютоновского потенциала. М.; Л.: ОГИЗ, 1946. - 317 с.