Нелинейное взаимодействие ограниченного модулированного ядерного пучка с плазмой тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.04, кандидат физико-математических наук Дорофеенко, Виктор Геннадиевич

• Дорофеенко, Виктор Геннадиевич
• кандидат физико-математических наук
• 1983

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Дорофеенко, Виктор Геннадиевич

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ДИНАМИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ ГЛУБОКО ПРОМОДЕЛИРОВАННОГО ЭЛЕКТРОННОГО ПУЧКА В ПЛАЗМЕ

§ I. Уравнение для потенциала в плазме с модулированным пучком электронов

§ 2. Электростатическое равновесие больцмановских сгустков.

§ 3. Захваченные частицы с функцией распределения Бома и Гросса.

§ 4. Влияние продольного магнитного поля на электростатическое равновесие сгустков

§ 5. Учет диссипации в плазме вблизи резонанса

ГЛАВА П. НЕЛИНЕЙНЫЕ КВАЗИПОПЕРЕЧНЫЕ ЛЕНГМЮРОВСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В ПЛАЗМЕ С ОГРАНИЧЕННЫМ ПУЧКОМ ЭЛЕКТРОНОВ

§ 6. Дисперсионное уравнение магнитоактивной плазмы с релятивистским электронным пучком.

Приближение тонкого пучка

§ 7. Черенковский солитон

§ 8. Циклотронный солитон.

§ 9. Коллективная радиальная расходимость релятивистского электронного пучка в плазме

ГЛАВА Ш. СТАЦИОНАРНАЯ ИНЖЕКЦИЯ ОГРАНИЧЕННОГО ЭЛЕКТРОННОГО

ПУЧКА. В ПЛАЗМУ.

§ 10. Пространственное усиление квазипоперечных плазменных колебаний пучком электронов

§ II. Бессиловое равновесие пучка в плазме

§ 12. Высокочастотная радиальная фокусировка пучка

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейное взаимодействие ограниченного модулированного ядерного пучка с плазмой»

Обширные теоретические исследования явления коллективной неустойчивости пучка заряженных частиц в плазме, открытого в работах!^ * проведенные первоначально в линейном приближении (см. монографии!/^]), позволили найти области неустойчивости различных типов колебаний плазмы и соответствующие инкременты. Это, в свою очередь, стимулировало постановку экспериментов [6-Ю] 9 подтвердивших возможность цреобразования энергии направленного движения частиц пучка в энергию колебаний в плазме. Дальнейшие успехи в изучении явления плазменно-пучковой неустойчивости были достигнуты для пучков с широкой функцией распределения по скоростям, возбуждающих в плазме широкие спектры колебаний с хаотическими фазами. Построенная в этом приближении квазилинейная теорияпредсказала образование "плато" на усредненной функции распределения пучка из-за обратного воздействия большого числа гармоник поля и соответствующее уширение спектра колебаний в плазме с пучком. Выводы этой теории подтверждены специально поставленным экспериментом!.^®] . Расчет, проведенный в работеР^ , позволил установить, что около 30% энергии квазилинейного пучка преобразуется в энергию плазмы, и тем самым плазменно-пучковый механизм является эффективным средством турбулентного нагрева плазмыРЧ.

Еще одним важным практическим приложением плазменно-цучко-вой неустойчивости является метод коллективного ускорения заряженных частиц в плазме, основные положения которого были сформулированы в работер®]. Следует отметить, что еще в первых экспериментах по взаимодействию пучка с плазмойбыло отмечено появление группы быстрых электронов с энергией на порядок и более превосходивших энергию пучкар*1 22], что указывало на существование эффективного механизма ускорения в плаз-менно-пучковой системе, т.е. на существование мощных регулярных волн в плазме.

Первые теоретические работы!23» 241, учитывающие эффекты нелинейного (неквазилинейного) взаимодействия пучка с плазмой (замедляющей средой) были выполнены в предположении, что пучок возбуждает в плазме монохроматическую волну с фиксированной фазой и фазовой скоростью, так что все частицы пучка и плазмы взаимодействуют с одной гармоникой поля, а нелинейное насыщение амплитуды колебаний возникает из-за эффекта расфазировки пучка или плазмы с волной. Последующие машинные РЧ и лабораторные!2^] исследования установили важную роль процесса фазовой группировки электронов моноэнергетического пучка в плотные сгустки. Динамика этих сгустков (макрочастиц l2^) существенным образом определяет взаимодействие пучка с полем монохроматической волны (см. обзор С2®]).

Следует отметить важную роль теоретических!2^""3*] и экспериментальных

32] см. также обзор!22]) исследований по взаимодействию модулированных пучков с плазмой, показавших возможность подавления широких спектров колебаний в плазменно-пучко-вых системах 35\ Как указывается в работе!34], задание на вход плазменно-пучковой системы регулярного сигнала или первоначальная модуляция пучка приводят к практически полному подавлению Этот метод управления неустойчивостями был впервые предложен в работе!23"!. неустойчивости на всех частотах кроме модуляционной, если урол к вень мощности модуляции составляет ДО"4 * 10 от мощности возбуждаемых колебаний.

Таким образом, уже при наличии слабой модуляции пучок моноскоростных электронов возбуждает в плазме узкий спектр колебаний Р®1. Если, кроме того, плотность пучка мала по сравнению с плотностью плазмы, то в системе раскачивается монохроматическая волна с медленно меняющимися во времени или пространстве амплитудой и фазойР. 24' З5"42] . При этом следует отметить, что, несмотря на различную постановку задач, во всех случаях в среде без диссипации наблюдаются регулярные осцилляции амплитуды поля, обусловленные эффектами периодической расфазировки пучка как целогоР' 24> 42] или сгустков электроновс волной резонансного возмущения. Наличие в плазме уже достаточно малой диссипации сопровождается развалом образовавшихся сгустков из-за уменьшения амплитуды поля[^* * В условиях экспериментов осцилляции амплитуды поля наблюдались в работе!45].

Настоящая диссертация является дальнейшим продолжением и развитием исследований по изучению нелинейного взаимодействия пучков моноэнергетических электронов с узкими спектрами колебаний (монохроматическими волнами в плазме, начатых в работах Р^» и продолженных вР^""^], а также в работах других авторов (см. цитируемые выше обзоры). Однако по сравнению с этими работами, где плазма и пучок не ограничены по радиусур®» 24, 35-39, 42] иди Hax0|IyjTCJJ в сильном продольном магнитном поле, запрещающим поперечное движение электронов пучка и плазмы [40, 41] ^ ш рассматриваем случай, когда поперечное движение электронов ограниченного по радиусу пучка является принципиально важным для развития неустойчивости в плазменно-пучковых системах.

Такая ситуация возникает, если плазма неограничена, а радиус пучка мал по сравнению с плазменной длиной волны, так что имеет место раскачка квазипоперечных ленгмюровских колебаний в условиях черенковского* и аномальнодоплеровско-го [481 резонансов. Так как при этом продольная компонента электрического поля волны мала по сравнению с поперечной, то раскачка резонансных колебаний сопровождается, главным образом, радиальной фокусировкой (дефокусировкой) электронов пучка в зависимости от их фазы по отношению к волне без значительного х) продольного торможения частиц .

Существенно, что нелинейные самосогласованные системы уравнений, полученные в!44"46], в приближении линейной плазмы и нелинейного пучка не имеют неустойчивых решений, стабилизируемых нелинейностью. Поэтому проведенное в них исследование позволяет лишь проследить за временной динамикой неустойчивости (образованием выбросов и перетяжек образующей пучка) в рамках применимости модели тонкого пучка (радиус меньше длины волны), но не дает оценок максимальной плотности энергии поля. Найденные нами решения позволили устранить отмеченный недостаток работ [46-М]. Аналитические выражения для амплитуды поля и радиуса (огибающей) пучка, найденные для черенковской моды, подавленной про

Для релятивистского пучка этот эффект имеет место и в случае цучков, радиус которых сравним с длиной волны из-за наличия анизотропии масс t4^!. дольным магнитным полем,и циклотронной моды в плазме с нелинейной дисперсией, позволяют получить строгие количественные оценки и проанализировать характер возникающих в пучке нелинейных радиальных колебаний.

В условиях черенковской неустойчивости, когда скорость пучка близка к фазовой скорости волны в плазме, каждая группа электронов пучка в собственной системе отсчета находится практически в фиксированной фазе поля и по мере роста амплитуды дефокусируется или фокусируется квазистатическим электрическим полем* . Поэтому распространение тонкого электронного пучка в плазме сопровождается радиальной дефокусировкой половины его частиц из-за рассеяния на плазменных колебаниях. Ситуация изменяется, если пучок представляет собой цепочку электронных сгустков, расположенных в фокусирующих фазах поля, так что эффект дефокусировки автоматически исключается. Как показало исследование, проведенное в работе^], £ффект самофокусировки в этом случае возникает при с= т.е. когда частота модуляции пучка Сл)^ X^VJq/C ( VJq - скорость, ^ - пространственный период пучка) меньше частоты плазмы Oi^r^'irB Pp/m) плотность плазмы) и может быть качественно интерпретирован как изменение знака силы кулонов-ского взаимодействия в плазме с отрицательной диэлектрической проницаемостью.

Увеличение тока на оси электронного пучка, предварительно глубоко промодулированного на входе в плазму, наблюдалось в а в условиях инжекции ионного пучка в плазму в работеРЧ. Возможность использования этого способа радиального сжатия пучка для осуществления УТС отмечена вРЧ.

Уже в первой работе по возбуждению в плазме одномерных колебаний последовательностью заряженных электронно-ионных сгустков РЧ была показана возможность обращения знака силы кулоновекого взаимодействия (отталкивание электронного слоя от ионного) при частоте модуляции пучка меньшей частоты плазмы. С учетом этого эффекта при распространении в плазме чисто электронного пучка имеет место продольное равновесие сгустков, в условиях которого коллективное поле, возбуждаемое цучком в плазме, компенсирует силу кулоновекого расталкивания и градиент кинетического давления . По сравнению . с работами I50"54], где рассмотрено самосжатие электронных сгустков ширины Д2< Л^—ДЯГ^/о^ в пучках и используется когерентность излучения отдельных сгустков, усиливающая эффект самофокусировки каждого из них, в работе!?^ показана возможность самофокусировки отдельного сгустка с продольным размером ДН. превышающим плазменную длину волны Лр. Последнее обстоятельство указывает на возможность раскачки таким сгустком обычной пучковой неустойчивости, сопровождаемой модуляцией пучка с пространственным периодом порядка

Первая глава диссертации посвящена исследованию условий динамического равновесия глубоко промодулированных пучков (цепочек электронных сгустков) в плазме. Найденные пространственные (аксиальносимметричные) решения описывают объемное распределение потенциала в плазме с пучком и содержат в себе в качестве предельных случаев результаты работ 1501 и Щ. Следует отметить, что они могут быть интерпретированы как частный случай стационарных волн потенциала с захваченными частицамиР» 5б-58"\^ экспериментально реализованных вР^].

В § I уравнение для самосогласованного потенциала (T,Z) в плазме с электронным пучком преобразуется к интегродифферен-циальному уравнению дер = 4<гге дЭ(р(т,2)

А № оС = Сх>р/сЬ^, А - оператор Лапласа, ЗЛ»"^/ ^ » ось 2 цилиндрической системы координат выбрана вдоль скорости пучка), ядро которого учитывает наличие пространственного периода пучка В, определяемого внешней модуляцией.

Зависимость плотности пучка (Э (, 2) от потенциала <j(Z,2) конкретизируется § 2, где сгустки считаются максвеллов-скими, так что имеет место формула Больцмана l 'и

В отсутствие теплового разброса в пучке Trt= Тх= 0 и £) ( т, Z )£ = £>(Е) из (I) и (2) следует условие продольного равновесия электронных сгустков в плазме а =1Ъ,Ь = i - ot54» когда фокусирующее сгусток коллективное поле компенсирует силу вулоновского расталкивания. Однако цри произвольной функ^ ции (Т ) аналогичных решений не существует и тем самым отсутствует двухмерный аналог одномерной волны потенциала Р4] .

В предельном случае Ти= 0 и 0 нз(1)и(2) следует результат работы!50] .

О сгь о (1+— У2 тг= (3) плотность сгустка на оси пучка), обобщенный на случай^-диска конечной ширины.

При наличии продольного разброса по скоростям в сгустках (Т|(>0) вид решения качественно отличен от (3) и, строго говоря, не существует равновесных сгустков в виде дисков. Действительно, если обеспечить захват электронов в продольную коллективную потенциальную яму^^(О) на оси пучка, то в результате уменьшения плотности сгустка от центра к периферии эффективная глубина ямы также убывает что при фиксированной температуре Тц должно сопровождаться высыпанием электронов из ямы при t (где ^удовлетворяет уравнению Tv = "Ц(?J) и расплыванием сгустков в продольном направлении. Как показывает расчет, проведенный для случая Тц= Т^, форма сгустков напоминает двояковогнутую линзу с минимальной толщиной на оси пучка.

Указанное отличие формы сгустков от дисков является следствием выбора максвелловской функции распределения захваченных электронов, имеющей, по определению, "хвост" быстрых электронов, просачивающихся через потенциальный барьер. Этот недостаток решений может быть устранен (§3), если использовать в качестве исходной функцию распределения Бома и Гросса Н: которая более корректна для описания захваченных частиц, так как не содержит электронов с энергией yyi.\jl е<£ .В этом случае из уравнения (I) следует f = СДЛ ^ где

Svw^ • Оказывается, что уравнение (4) имеет солитонное решение, соответствующее наличию радиальной потенциальной ямы лишь при = 2,4, что соответствует максимуму потенциала

4)

5)

Подчеркнем, что независимо от выбора функции распределения от потенциала (что в общем случае определяется способом создания пучка) возникновение коллективной потенциальной ямы связано с возбуждением в плазме волны плотности заряда, синхронной с пучком, которая в условиях резонанса вытесняет электроны плазмы из объемов сгустков. Тем самым в силу зарядовой нейтральности плазмы обнажается ионный остов, поле которого фокусирует электронные сгустки и компенсирует силу куло-новского расталкивания за счет нерезонансных гармоник и градиент кинетического давления в сгустках.

Наличие продольного магнитного поля (§4) приводит к анизотропии коллективной потенциальной ямы, так как электроны плазмы вытесняются в основном вдоль силовых линий. Расчет показывает, что самосогласованный потенциал по-прежнему имеет вид (4), но изменяется пространственный масштаб

2j

1 = с^ .ч-ejk (6) в0- продольное магнитное поле).

При наличии вращения сгустка как целого магнитное поле изменяет не только свойства плазмы, но и оказывает фокусирующее воздействие на пучок, так что эффекты магнитной фокусировки конкурируют с рассмотренной выше коллективной самофокусировкой пучка.

В непосредственной близости от резонанса О £ (где \) - эффективная частота кулоновских столкновений в плазме) учет диссипации становится необходимым и приводит к уходу фазы волны Q (i). Система уравнений, обобщающая (4), имеет вид cJLi АХ d\ ^' ** ' ъ

Численное исследование , приведенное в § 5, поназывает,что эта система не имеет солитонного решения, однако при существует решение, асимптотически близкое к солитонному, так что это неравенство ограничивает глубину потенциальной ямы (5) со стороны малых § . Заметим, что уход фазы сгустков за счет диссипации можно устранить путем изменения длительности импульсов тока на входе в плазму.

Во второй главе исследовано взаимодействие ограниченного электронного пучка с полем возбуждаемых им квазипоперечных kj» k w ленгмюровских колебаний в плазме. На возможность раскачки таких колебаний в плазме пучком достаточно малого радиуса указано в работах[46-48]

Действительно, в неограниченной плазме с гг/чком единственным поперечным размером является радиус пучка R , так что характерное значение поперечного волнового числа R . Поскольку продольное волновое число определяется фазовым резонансом Wu = , то условие квази-поперечности потенциальных колебаний kL» ku выполняется для пучков достаточно малого радиуса R / ^ << (приближение тонкого пучка ).

Так как электрическое поле рассматриваемой моды направлено поперек скорости пучка, то эффекты нелинейного захвата электронов в продольные потенциальные ямыР®» играющие определяющую роль в одномерных пучках и требующие црименения численного счетаР^» оказываются малыми по сравнению с эффектами радиальной дефокусировки пучка полем неустойчивости, так что задача имеет аналитические решения, приведенные ниже в §§ 6-9.

В § 7 подробно анализируется линейная стадия взаимодействия ограниченного пучка электронов с плазмой в продольном магнитном поле. Так как в магнитном поле Е- и Н-волны связаны, то дисперсионное уравнение, полученное стандартным методом сшивки полей на границе пучка с плазмой 9 является достаточно громоздким и лишь при В -*• О распадается на Е-волну и Н-волну. Однако в пределе R-» О общее соотношение значительно упрощается, и колебания оказываются близкими к потенциальным т. Это обстоятельство облегчает построение нелинейной теории, так как во-первых, позволяет использовать уравнение Пуассона вместо системы уравнений Максвелла, а во-вторых, рассматривать поле лишь внутри пучка (^ R), пренебрегая эффектами излучения колебаний через границу пучка в плазму И

В качестве исходной системы нелинейных уравнений для самосогласованного потенциала Ф = (1^2) М {t ) - R^ ) и радиуса пучка R (t, 2 ) получена и используется следующая JS^ и ленгмюровская и циклотронная частоты электронов плазмы, ^о - гирочастота пучка» ^о ~ релятивистский фактор). Второе уравнение известно в электронной оптике как уравнение огибающей^* однако в отличие от этих работ, где оно получено путем анализа движения крайнего электрона пучка на фазовой плоскости, в нашем случае использована система уравнений гидродинамики для электронов пучка С46"48!.

В следующих параграфах решение системы (7) ищется в виде волны огибающей

Nit,я) - R«CA(S)e«p((At-ift.z)J,s-t-5. (8) с частотой & и продольным волновым числом к„ , удовлетворяющими условиям плазменного и пучкового (черенковского, цикло

Заметим, что в условиях эксперимента амплитуда колебаний за пределами пучка уменьшается на порядки величины li?^]. тронного) резонансов. Известно, что при распространении в неустойчивой плазме волновых пакетов рост амплитуды возмущения в каждой точке пространства зависит как от инкремента, так и от групповой скорости волны из-за эффекта конвекцииЕ^» ,причем в результате преимущественного роста гармоник с максимальными инкрементами волновой пакет монохроматизуется и, следовательно, расплывается в пространстве. В нелинейном приближении ситуация изменяется, и существуют стационарные решения типа уединенных волн, для которых линейный инкремент (по переменной % ) зависит от групповой скорости волны. Впервые решение такого типа - геликонный солитон огибающей в плазме с ионным пучком - получено в работе РЧ, а затем модифицировано с учетом захвата электронов полем импульсаРЧ и с учетом нелинейности плазмы Р^З . Интересно отметить, что в замагниченной плазме с электронным пучком существуют лишь периодические продольные волны огибающей типа (8), а солитонные решения отсутствуют Г73] .

В рассматриваемом случае квазипоперечных колебаний решение типа солитона огибающей в условиях черенковского резонанса (<Д= найдено в § 8 в условиях, когда линейный инкремент подавлен продольным магнитным полем

1/5

§ т.е. вблизи порога неустойчивости

Л/ = N cJL"1 ( 3 6)

Wb >

Нелинейным механизмом, ограничивающим амплитуду поля, в данном случае является уменьшение плотности пучка ^ ^ в максимуме волны из-за локальной дефокусировки пучка и как следствие расстройка по фазе волны с пучком.

В § 9 солитонное решение найдено для случая циклотронного резонанса в достаточно сильном продольном магнитном поле, когда инкремент S мал по сравнению с черенковским о^- о* - a ч

2 Л , №

И) ^^^ТГб^ф /ht^g - ленгмюровская частота пучка), а ограничение амплитуды поля возникает из-за фазовой расстройки пучка с волной, обусловленной нелинейной дисперсией плазмы.

Подчеркнем, что наши решения (10) и (II) получены, в отличие от[73* , для линейной плазмы и отражают собой конвективный характер плазменно-пучковой неустойчивости. По этой же причине двухмерные волновые пакеты не коллапсируют РЧ .

В заключении главы, в § 9, рассмотрено поперечное рассеяние электронов пучка в поле возбуждаемых им в плазме квазипоперечных плазменных колебаний. При этом начальное возмущение задается по всей длине пучка, а решение имеет вид монохроматической волны с зависящей от времени амплитудой. Для описания временной релаксации радиуса пучка в поле неустойчивости используются уравнения для медленных амплитуд и фаз, полученные в § 7 и § 8, при и-** •<=» . Существенно, что в условиях циклотронного резонанса неустойчивость имеет место лишь в условиях аномального эффекта Доплера k„VJ0 = - ^ [Щ.

В главе Ш на основе системы нелинейных уравнений (7) исследован процесс стационарной инжекции ограниченного по радиусу пучка в плазменное полупространство. Так как обычно характерное время инжекции пучка значительно превосходит обратный инкремент неустойчивости, то такая постановка задачи наиболее близка к условиям экспериментов

28] Пространственное усиление одномерных (продольных) ленгмюровских колебаний электронным пучком, модулированным на входе в плазму, рассмотрено в работе

38] Показано, что имеет место преимущественный рост основной гармоники, сопровождаемый возникновением пространственных осцилляций амплитуды поля.

Аналогичная задача для тонкого пучка, усиливающего в плазме квазипоперечные колебания, решена в § 10. Существенно, что в одномерном случае волна усиливается за счет быстрых частиц пучка vr ~ vJ0 , а перенос энергии осуществляется с групповой скоростью VJT / V30 (v?T « , - тепловая скорость электронов плазмы), так что имеет место накопление энергии колебаний в приграничном слое. В случае квазипоперечной моды

Я. с |-± vL \ 4-/2-1 teller1- ^ГЧ

12) имеет место равенство VJ0 , так что энергия колебаний переносится внутри плазмы самим пучком, а основным нелинейным эффектом является дефокусировка или фокусировка электронов пучка в зависимости от фазы по отношению к волне. Следует отметить, что, в отличие от временного случая § 8, где обратное воздействие колебаний на пучок сопровождается насыщением амплитуды поля, пространственный инкремент растет с ростом плотности энергии колебаний. Численное интегрирование уравнений (7) позволяет проанализировать распределение электронов по фазам (восстановить функцию R (Ф)) в каждом сечении пучка 2=couttt в зависимости от граничных условий в плоскостид= О.

В § II показано, что существует режим стационарной инжек-ции пучка в плазму, в условиях которого магнитное поле компенсирует действие поля неустойчивости в кавдом сечении пучка. В условиях этого радиального равновесия амплитуда поля М0 постоянна вдоль щгчка, а радиус равен где

К(х) И £(х)

- полные эллиптические интегралы.

При малых амплитудах поля формула (13) соответствует обращению в нуль линейного инкремента и имеет место равенство

К(Ф) = R^l + y-co^T), сх« 1 (14)

В более сильном магнитном поле , а также в случае положительных Ь > О , пространственная неустойчивость подавлена (Itoik^- 0 ), и плазма с цучком устойчива. Так как при этом фазовая скорость волны = ий//сн не совпадает со скоростью пучка , то поле в системе пучка является высокочастотным и нарастает от центра пучка к периферии. В результате на электроны действует фокусирующая сила Миллера Г^] , и имеет место пространственная фокусировка пучка полем, задаваемым на границе плазмы и возрастающим по мере сжатия пучка . Учет по сравнению с РТ продольного магнитного поля и поперечного градиента давления позволяет устранить точечные фокусы пучка, не имеющие физического смысла.

Таким образом, в диссертации развита нелинейная теория коллективного взаимодействия модулированных моноскоростных электронных пучков с плазмой, в рамках которой впервые получено пространственное (аксиальносимметричное) решение, описывающее динамическое равновесие глубоко промодулированного пучка в плазме; найдены аналитические решения, описывающие распространение квазипоперечных ленгмюровских (черенковских, циклотронных) со-литонов в плазме с ограниченным электронным пучком; найден максимальный радиус релятивистского электронного пучка в результате коллективного рассеяния на ленгмюровских колебаниях в условиях черенковского и аномальнодоплеровского резонансов. Кроме того рассмотрен процесс непрерывной инжекции ограниченного по радиусу электронного пучка в плазменное полупространство,и подробно исследованы различные режимы пространственного усиления колебаний в зависимости от параметров модуляции на входе в плазму. Показано, что предварительная модуляция существенным образом определяет пространственную радиальную фокусировку (дефокусировку) пучка в плазме.

Автор глубоко благодарен Валерию Борисовичу Красовицкому, под руководством которого выполнена настоящая диссертация, за постоянное внимание и помощь в работе.

Примечание. В диссертации использована независимая нумерация формул в каждой главе. Поэтому при ссылке в какой-либо главе на формулу,в ней не содержащуюся, перед номером формулы указывается (римскими цифрами) номер главы, где она цриведена. Например: (П.35) - формула (35) главы П.

Заключение диссертации по теме «Физическая электроника», Дорофеенко, Виктор Геннадиевич

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Впервые получено пространственное (аксиальносимметрич-ное) решение задачи о динамическом равновесии глубоко промоделированного самосфокусированного электронного пучка (последовательности сгустков) в плазме, имеющем:< место, если частота модуляции пучка близка к плазменной частоте иЬ^ , и диэлектрическая проницаемость плазмы отрицательна t - 1

2. 2,

- обр / < 0 . При этом коллективное поле возбуждаемой пучком электростатической волны фокусирует сгустки сучка в продольном и поперечном направлениях и уравновешивается тепловым давлением, а влияние кулоновского расталкивания в сгустках пренебрежимо мало. Показано, что в обратном случае, когда фокусирующее поле уравновешивается только кулоновским расталкиванием, пространственное решение отсутствует.

2. Для цучка с максвелловской функцией распределения по скоростям найдено решение, учитывающее продольное расширение сгустков по радиусу по мере уменьшения глубины продольной потенциальной ямы из-за убывания плотности частиц в сгустках. Также получено решение для полностью захваченных полем волны сгустков с функцией распределения Бома и ГроссаИ. Показано, что они имеют размеры порядка пространственного периода модуляции, а продольное расширение отсутствует.

3. Учтено двоякое влияние на фокусировку внешнего магнитного поля, приводящего, во-первых, к увеличению радиуса потенциальной ямы, захватившей сгустки, из-за появления анизотропии тензора диэлектрической проницаемости плазмы и, во-вторых, к магнитной фокусировке сгустков. Найдены условия преобладания каждого из этих эффектов и условия преобладания магнитной фокусировки над электростатической.

4. Показано, что учет столкновительной диссипации плазмы вблизи плазменного резонанса V ( V - эффективная частота столкновений в плазме) приводит к исчезновению физически корректных солитонных решений для потенциала равновесных сгустков. Однако достаточно далеко от точного резонанса существует решение, асимптотически близкое к солитонному.

5. Показано, что в системе плазма - тонкий модулированный релятивистский электронный пучок могут существовать квазипоперечные ленгмгоровские солитоны огибающей, несущие частота и волновое число которых удовлетворяют условиям черенковского резонанса. Соответствующее решение получено вблизи порога неустойчивости, когда инкремент почти подавлен магнитным полем. Нелинейность, обуславливающая существование солитонов, связана с уменьшением плотности пучка из-за его радиальной фокусировки и дефокусировки полем неустойчивости и, как следствие, расстройки по фазе волны с пучком.

6. Получено решение, описывающее аналогичные солитоны в условиях циклотронного резонанса. Нелинейный механизм, ограничивающий амплитуду солитонов, связан с зависимостью собственной частоты квазипоперечных колебаний плазменно-пучковой системы от радиуса пучка, приводящей к фазовой расстройке пучка с волной.

7. Решены задачи о рассеянии электронного пучка на квазипоперечных плазменных колебаниях в условиях черенковского и циклотронного (аномальнодоплеровского) резонансов, и найден максимальный радиус пучка в результате рассеяния.

8. Показано, что характер радиальной фокусировки или де-фо!$гсировки тонкого модулированного релятивистского электронного пучка, инжектируемого в плазменное полупространство, существенно зависит от параметров модуляции пучка в плоскости инжекции: частоты модуляции определяющей величину эффективной диэлектрической проницаемости плазмы ЪС^гЛ и амплитуды модулирующего поля. В неустойчивом случае t < О в отсутствие внешнего магнитного поля модуляция пучка полем неустойчивости приводит к образованию точечного фокуса радиуса пучка на конечном расстоянии от плоскости инжекции.

9. Исследовано влияние внешнего магнитного поля на процесс пространственного усиления колебаний таким пучком. Внешнее магнитное поле препятствует образованию точечных фокусов, и развитие неустойчивости приводит к образованию последовательности сгустков, расположенных в фокусирующих фазах волны, амплитуда которой совершает затухающие пространственные колебания около асимптотического значения, причем затухание связано с эффектом интерференции колебаний радиусов сечений сгустка, находящихся в различных фазах. За порогом устойчивости линейной теории процесс образования сгустков также имеет место для достаточно больших амплитуд начальной модуляции пучка.

10. Учет слабого теплового разброса в пучке приводит к качественной картине развития неустойчивости, аналогичной рассмотренной выше. Увеличение теплового разброса вызывает подавление неустойчивости и необратимый разлет пучка независимо от фазы.

11. Показана возможность существования равновесного состояния как сплошного тонкого электронного цучка, так и последовательности предварительно сформированных сгустков, инжектируемых в плазму. Равновесие достигается, так как воздействие на пучок линейной по амплитуде поля силы компенсируется силой Лоренца. Найдены соответствующая форма модуляции радиуса пучка и сгустков и зависимость ее амплитуды от величины внешнего магнитного поля.

12. Рассмотрено влияние внешнего магнитного поля на высокочастотную фокусировку инжектируемого в плазцу пучка под действием квадратичной по амплитуде поля силы (сила Миллера), имеющую место, если колебания устойчивы > О . Показано, что учет внешнего магнитного поля приводит к устранению точечных фокусов радиуса пучка. Найдены условия подавления высокочастотной фокусировки внешним магнитным полем.

РАКШ АВТОРА

1. Дорофеенко В.Г., Красовицкий В.Б. Нелинейная стабилизация бесстолкновительной радиальной расходимости релятивистского электронного пучка в плазме. Физика плазмы, 1983, т. 9, В 2, с. 357-365.

2. Дорофеенко В Л?., Красовицкий В.Б. Квазипоперечнне ленгмю-ровские солитоны в магнитоактивной плазме с релятивистским электронным пучком. Украинский физический журнал, 1983, т. 28, № I, с. 49-57.

3. Дорофеенко В .Г., Красовицкий В.Б. Самофокусировка модулированного электронного пучка в плазме. Украинский физический журнал, 1984, т. 29, № 3, с. 395-405.

4. Дорофеенко В.Г ., Красовицкий В.Б. Электростатическое равновесие модулированного электронного пучка в плазме. Известия вузов. Радиофизика, 1984, т. 27, № 8, с. 1043-1049.

5. Дорофеенко В.Г., Красовицкий В.Б. К нелинейной теории инжекции модулированного РЭП в плазму. Новости термоядерных исследований в СССР, 1984, $ 3 (33), с. 15.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Дорофеенко, Виктор Геннадиевич, 1983 год

1. Ахиезер А.И., Файнберг Я.Б. О взаимодействии пучков заряженных частиц с плазмой. ДА.Н СССР, 1949, т. 69, № 4,с. 555-556; 0 высокочастотных колебаниях электронной плазмы. ЖЭМ, 1951, т. 21, № II, с. 1262-1269.

2. ВоА^Ъ. , T^eot^ of. P-&t*vwGL ObcXllattoriA . /?еи., 19491 VJ. 7Sf N 12, p. 1&51-1&76.

3. Силин В.П., Рухадзе А.А. Электромагнитные свойства плазмы и плазмоподобных сред. М.: Гостехиздат, 1961.

4. Михайловский А.Б. Теория плазменных неустойчивостей, т. I, М.: Атомиздат, 1975; т. 2, М.: Атомиздат, 1977.

5. Ахиезер А.И., Ахиезер И.А., Половин Р.В. и др. Электродинамика плазмы. М.: Наука, 1974.

6. Харченко И.Ф., Файнберг Я.Б., Николаев P.M., Корнилов Е.А., Луценко Е.И., Педенко Н.С. Взаимодействие пучка электронов с плазмой в магнитном поле. Ядерный синтез, 1962, т. 2, Приложение, ч. 3, II0I-II06.

7. L. Ъ. , Gett^ W". Ъ., Generator о Hoi Ъ-е^д-е. Р£оа>упо. Ly. a CoUsLctive. В-еа+ъ- Рбалма. -iKtvubctcvb. Р&ул. tfeu. Lett, y 1962, vj. 9, Л/1, p. 3e.

8. A£e#e$ L, N*LoU%L R. V., Peed W. F., Shipley ED., Цсигч.1/ъ £. G. Hot -ЕЬььЫоъ РЯхлта. 8-e^m.-РЯалупси IycUwbcUob. Р&ул. R&j. L&bt. 9 ±96$, кгЛО, N7, p. 273-276.

9. Незлин М.В., Солнцев A.M. Ускорение ионов в плазменных пучках. ЖЭТФ, 1963, т. 45, № 10, с. 840-849.

10. Веденов А.А., Велихов В.П., Сагдеев Р.З. Нелинейные колебания разреженной плазмы. Ядерный синтез, 1961, т. I, № 2, с. 82-100; Квазилинейная теория колебаний плазмы. Ядерный синтез, 1962, т. 2, Приложение, ч. 2, с. 465-475.

11. Романов Ю.А., Филиппов Г.Ф. Взаимодействие потоков быстрых электронов с продольными плазменными волнами. ЖЭТФ, 1961, т. 40, № I, с. 123-132.

12. IWlwW W. £. , PcfUA Ъ. NovL-tiMATL StcL&L-tiiy. of Р£алупа. ОьоЦ£а±(Л>уъь. NlccMlcjx. FuaCdvl,196Z, v.Z, $>uLff>t. ?ал±.Ъ9 p.±049-±057.

13. Веденов А.А. Введение в теорию слаботурбулентной плазмы. -В кн.: Вопросы теории плазмы. М.: Атомиздат, 1963, т. 3, с. 203-244»

14. Шапиро В.Д. К нелинейной теории взаимодействия "моноэнергетических" пучков с плазмой. ЖЭТФ, 1963, т. 44, № 2,с. 613-626.

15. Иванов А.А., Рудаков Л.И. Динамика квазилинейной релаксации бесстолкновительной плазмы. ЖЭТФ, 1966, т. 51, № II, с. 1522-1535.

16. Иванов А.А. Физика сильнонеравновесной плазмы. М.: Атомиздат, 1977; Неравновесная плазма для химии. В кн.: Итоги науки и техники. Физика плазмы. М.: ВИНИТИ, 1982, т.З, с. 176-178.

17. RoС., К. W. , NttJtvu*. Р. ЕърмстеусЬаЛ Te&t о| QLUOU^UU^hjojc T&eot^ . РАу*. AM.9±97<L,v%ZG,N5, p.226-229.

18. Заславский E.K., Рудаков Л.И. Физика плазмы. М.: Знание, 1967, с. 13.

19. Файнберг Я.Б. Ускорение частиц в плазме. Атомная энергия, 1959, т. 6, № 4, с. 431-446.

20. Файнберг Я.Б. Ускорение заряженных частиц в плазме. УФН, 1967, т. 93, № 4. с. 617-632.

21. Файнберг Я.Б. Взаимодействие пучков заряженных частиц с плазмой. A So/итсиу of Р&апхуууцшо. ип. ЪсуиЛу^Ы- вал-сл. IA£A. Vfrpma,, 4.9G&, p.i49-i%2,

22. Красовицкий В.Б., Курилко В.И. К нелинейной теории пучковой неустойчивости в условиях аномального эффекта Доплера. ЮТФ, 1965, т. 49, № 12, с. I83I-I835.

23. Красовицкий В.Б., Курилко В,И. К теории усиления продольных волн пучком заряженных частиц в нелинейной плазме. ЖЭТФ, 1966, т. 51, № 8, с. 445-448.

24. Мо~сле R. Л., ЫсяЯлоп С. W. Ыш™i*uca£ Вс*ъи£а£соъ. о/

25. Two Рвал та. . Р-Ри^ь. Flu.cdU , ±969,утЛХ , N 11, р.24П-2425.

26. Габович М.Д., Коваленко В.П. Аномальное рассеяние и фазовая фокусировка модулированного электронного пучка в плазме. ЖЭТФ, 1969, т. 57, № 9, с. 716-724.

27. КохСогнШat в.в., О. P. LMLbLObJbus* ffefo/XCl--tCorv in, vwcfcfc, CouJLcevtJL h^utactum. РАд^ь.

28. Rexr. Z.eit., 1970, xx.25, Л/17, p. ll^-llS?; Кадомцев Б.Б. Современное состояние теории нелинейных и стохастических процессов в плазме. В кн.: Проблемы теории плазмы. Киев: ИТШ АН УССР, 1972, с. 271-277.

29. Коваленко В.П. Электронные сгустки в нелинейном коллективном взаимодействии пучков с плазмой. УФН, 1983, т. 139,1. Ш 2, с. 223-263.

30. Файнберг Я.В., Шапиро В.Д. Взаимодействие модулированного потока с плазмой. В кн.: Взаимодействие пучков заряженных частиц с плазмой. Киев: АН УССР, 1966, с. 143-155.

31. Шапиро В.Д. Волны плотности заряда в модулированных пучках, взаимодействующих с плазмой. ЖЙ, 1967, т. 37, № 8, с. 14221432.

32. Пашицкий Э.А. К теории взаимодействия модулированных пучков заряженных частиц с плазмой в магнитном поле. ЗШ, 1969, т. 39, № 2, с. 209-229.

33. Файнберг Я.Б. Взаимодействие заряженных частиц с плазмой. Атомная энергия, 1961, т. II, №4, с. 313-335.

34. Файнберг Я.Б. Ускорение частиц в плазме. Физика плазмы, 1977, т. 3, № 3, с. 442-449.

35. Красовицкий В.Б., Курилко В.И., Стржемечный М.А. Нелинейная теория взаимодействия модулированного пучка с плазмой. Атомная энергия, 1968, т. 24, № б, с. 545-549.

36. Шапиро В.Д., Шевченко В.И. Взаимодействие волна частица в неравновесных средах. Известия вузов. Радиофизика, 1976, т. 19, № 5-6, с. 767-791.

37. Киценко А.Б., Панкратов И,М., Степанов К.Н. Нелинейная стадия возбуждения моноэнергетических колебаний плазмы в магнитном поле потоком заряженных частиц. ЖЭТФ, 1974,т.66,

38. I, с. 166-175; Абурджания Х.Д., Киценко А.Б., Панкратов И.М. Нелинейная стадия взаимодействия потока заряженных частиц с плазмой в магнитном поле. Физика плазмы, 1978, т. 4, № I, с. 227-234.

39. Альтеркоп Б.А., Волокитин А.С., Росинский В.Е., Рухадзе А.А., Тараканов В.П. Нелинейная динамика пучковой неустойчивости в пространственно-ограниченной плазме. Физика плазмы, 1977, т. 3, № I, с. 173-175.

40. Лошков И.В. К нелинейной теории усиления электромагнитной волны при взаимодействии электронного пучка с плазменным волноводом. Физика плазмы, 1977, т. 3, № 3, с. 577-585.

41. Иванов А.А., Параил В.В., Соболева Т.К. Нелинейная теория взаимодействия моноэнергетического пучка с плотной плазмой. ЮТФ, 1972, т. 63, № II, с. 1678-1685.

42. Fu.-£u/ma/>ct О. у A-ie Н. 9 Jtatorvu. R. kwyvnaJbouA Е<£-^ect WeoJt C&£IU>low> СЖ tfa, ЫспЛииььж 1иЛтоис-Ыоп- Ст. cl Stnall- СсЫ-'В^еал^ у Wartw.-P^cu»»wfl. St^tan.

43. P-%6.«€AJ.Aett., NJ.40, A/6, p. 393-306.

44. McMu&vtg. J. \J&twbo<»L С. &. &рсМ<хЯ Сю^АЛ- of

45. W(CUCK<6 Ш- cc . Pivyb. UuLcLb,19G9 tvAZ^iZ , f>. 2GOO-2CO&.

46. Красовицкий В.Б. Возбуждение регулярных поперечных плазменных колебаний конечной амплитуды ограниченным релятивистским пучком электронов. Физика плазмы, 1977, т. 3, № I, с. I05-III.

47. Зинченко В.П., Красовицкий В.Б. Нелинейная стабилизация поперечной черенковской моды в плазме внешним магнитным полем. Известия вузов. Радиофизика, 1979, т. 22, № I, с. 51-54.

48. Красовицкий В.Б. Возбуждение квазипоперечных плазменных колебаний релятивистским ограниченным пучком электронов в условиях аномального эффекта Доплера. Физика плазмы, 1979, т. 5, № 2, с. 271-275.

49. Файнберг Я.Б., Шапиро В.Д., Шевченко В.И. К нелинейной теории взаимодействия с плазмой "монохроматического" пучка релятивистских электронов. ЖЭТФ, 1969, т. 57, № 9,с. 966-977.

50. Красовицкий В.Б. Нелинейная радиальная самофокусировка модулированного электронного пучка в плазме. Письма в ЖЭТФ, 1969, т. 9, № 12, с. 679-683.

51. Гладкий A.M., Коваленко В.П., Юшманов П.Н. Свойства нелинейных волн, возбуждающихся при инжекции в плазму электронных сгустков. Письма в ЖЭТФ, 1976, т. 24, № 10, с. 533537.

52. Симоненко Л.С., Солошенко И.А. Самофокусировка пучка отрицательных ионов при возбуждении им ионных колебаний плазмы. Физика плазмы, 1975, т. I, №4, с. 635-637.

53. F. Росилскд. of 1и±емы RdM&HA-Uc. EZtctxoTt, Ве<т>ь Ore ЪопЛ*. РСалилО. btovn&uuowJLnxtfxL9 19F3, BdL.ZZ, tffrl, S.i42-148.

54. Кондратенко А.Н., Куклин В.М., Репалов Н.С. Эволюция сгустка заряженных частиц в поле собственного излучения. Украинский физический я^урнал, 1982, т. 27, № 8, с. II59-II64.

55. B^rub^tu^L В., Gxetft J. М., К+иллкоЛ М. D. Eyouct А/опtuMjoju PJtoubHtcu O^cUJUvbuy**. v. ±08,1. N3 > p. 546-550.

56. Стикс Т. Теория плазменных волн. М.: Атомиздат, 1965, с. 156-163.

57. Арцимович Л.А., Сагдеев Р.З. Физика плазмы для физиков. М.: Атомиздат, 1979, с. 125-133.

58. Гладкий A.M., Коваленко В.П. Экспериментальное исследование квазистационарных волн, возбуждающихся при периодической инжекции электронных сгустков в плазму. ЖЭТФ, 1978,т. 74, № 3, с. 984-992.

59. Курилко В.И. Отражение электромагнитных волн от плазмы, движущейся в волноводе медленных волн. ЖТФ, 1961, т. 31, № 8, с. 899-906.

60. Горбатенко М.Ф. Взаимодействие электронного пучка с плазмой. Украинский физический журнал, 1962, т. 7, № 3, с.233-243; Взаимодействие электронного пучка с плазмой, находящейся в магнитном поле. ЖТФ, 1963, т. 33, № 9, с. 10701079.

61. TiAXtdLpliAjL A. W. SXovxT Woa*. Pxopo^fcecm. ovc

62. Р&ижа. . SOUK. Ptoavc. 1967.

63. Михайловский А.Б., Юнгвирт К. О роли конвективных эффектов при возбуждении электронных колебаний плазмы ограниченным пучком. ЖТФ, 1966, т. 36, № 5, с. 777-790.

64. Александров А.Ф., Богданкевич Л.С., Рухадзе А.А. Основы электродинамики плазмы. М.: Высшая школа, 1978, с. 292300.

65. Красовицкий В.Б. Радиационное давление на поверхность пучка когерентно излучающих электронов. ТО, 1977, т. 47, №1, с. 10-19.

66. Гинзбург В.Л., Рухадзе А.А. Волны в магнитоактивной плазме. М.: Наука, 1975, с. II3-II4.

67. Габович М.Д., Пасечник Л.Л. Аномальное рассеяние электронов и возбуждение плазменных колебаний. ЖЭТФ, 1959, т.36, № 4, с. I025-1033.

68. Капчинский И.М. Динамика частиц в линейных резонансных ускорителях. М.: Атомиздат, 1966, с. 61-63, 149-155.

69. Лоусон Дж. Физика пучков заряженных частиц. М.: Мир, 1980, с. 30-45, 124, 125, I5I-I54.

70. Бачин И.В., Красовицкий В.Б. Распространение электромагнитных солитонов в неравновесных средах с дисперсией. ЖЭТФ, 1980, т. 79, № 8, с. 472-477.

71. Бачин И.В., Красовицкий В.Б. Электромагнитные солитоны с захваченными частицами в ионно-цучковой плазме. Физика плазмы, 1983, т. 9, № 2, с. 278-281.

72. Бачин И.В. Уединенные геликонные волны в неравновесной нелинейной плазме. Украинский физический журнал, 1981, т. 26, №11, с. 1909-1911.

73. Рудаков Л.И. Торможение электронных пучков в плазме с высоким уровнем ленгмюровской турбулентности. ДАН СССР, 1972, т. 207, № 4, с. 821-823.

74. Горев В.В., Кингсеп А.С., Рудаков Л.И. Сильная ленгмюров-ская турбулентность плазмы. Известия вузов. Радиофизика, 1976, т. 19, № 5-6, с. 691-720.

75. Захаров В.Е. Коллапс ленгмюровских волн. ЖЭТФ, 1972, т.62, № 5, с. 1745-1759.

76. Миллер М.А. Движение заряженных частиц в высокочастотных электромагнитных полях. Известия вузов. Радиофизика,1958, т. I, № 3, с. II0-I23.

77. Корчагин П.И., Красовицкий В.Б. Пространственная фокусировка модулированного релятивистского пучка в плазме. Украинский физический журнал, 1978, т. 23, № 6, с. 892-897.

78. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука, 1981.

79. Справочник по специальным функциям. Под ред. Абрамовича М. и Стиган И. М.: Наука, 1979.

80. Кадомцев Б.Б. Коллективные явления в плазме. М.: Наука, 1976.

81. Янкаускас З.К. Радиальные распределения поля в самосфокусировавшемся пучке света. Известия вузов. Радиофизика, 1966, т. 9, № 2, с. 412-415.

82. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976.

83. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982, с. 58, 280.

84. Рис. I. Зависимость потенциала Ф от радиальной координаты X = T/to при разных значениях параметра р. .радиальной координаты ос. при разных значениях параметра (Д г/ь

85. Рис. 3. Эквипотенциальные поверхности вблизи центра сгустка при разных ; I |Л= 0,016; 2 - 0,125; 3 - 0,75; 4-1; 5 -1,95; ат, /X f*1. V№<)где ^«2,1л> f

86. Рис. 6. Зависимость средней плотности сгустка ^ и его ШИРИНЫ= 2) от радиальной координаты ^ при разныхзначениях R0/£ ; 1,1 В0/£ = 0,0013; 2,2 - 0,017со со0,50,05

87. Рис. 7. Зависимость глубины потенциальной ямы иширины сгустка на оси пучка Ci/E ==<f>0/^>0 ото1параметра

88. Рис. 8. Зависимость потенциала Я^ от радиальной координаты | = Zwx/e при разных значениях С|. . Солитонному решению соответствует = 2,4

89. Рис. 9. Эквипотенциальные поверхности в плоскости сечения, проходящей через ось пучка

90. Рис. 10. Зависимость » ПРИ которой имеют местосолитонные решенияактивной плазме. 1,2- потенциал ф ; i', 2'- средняя плотность сгустка; I, i'- = 5,3,4; 2, 2 0,5; (^=2,6

91. График зависимости<Р( в диссипативной плазме. 1 ^/Ь = 0; 2 - 0,04; 3 - 0,42;4.S=0; O^Y/S = I1. Иллюстрации к главе П-i .o i ^j/t^sc

92. Рис. I. Зависимость инкремента отмагнитного поля для черенковского резонанса kz\J0 = и>,djSnLf £ / g 3 ц ^ijd^Bc

93. Рис. 2. Зависимость инкремента от магнитного поля дляциклотронного резонанса в случае нормального эффекта Доплера с^ . Для аномального эффекта

94. Доплера =-с^ график симметричен относительно оси ординат8t

95. Рис. 4. Графики зависимости амплитуды временных колебаний радиуса пучка для черенковского резонанса при разных С

96. Рис. 5. Графики зависимости амплитуды временных колебаний радиуса пучка для циклотронного резонанса .Q.p-k2VJ0 = елЬ^ при разных , С . I - kR0 = 5, С = 0,5; 2 - kR0 = 0,8, С = 0,5; 3 -kRQ = 1,7, С = -I1. Иллюстрации к главе Ш1. ХГФ}Зо)1 —1. Х(Ф^о)1.