Математические модели детерминированного хаоса в скрещенных электрических и магнитных полях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Юдин, Андрей Витальевич

• Юдин, Андрей Витальевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Юдин, Андрей Витальевич

Введение

1. Анализ моделей системы «заряд в скрещенных электрических и магнитных полях»

1.1. Математическая постановка исследовательской задачи

1.2. Нелинейная динамика одномерного уравнения возмущённого осциллятора.

1.3'. Модель заряда в условиях магнитного поля Земли

1.4. Экспериментальное наблюдение хаотической динамики заряженных частиц в электронных приборах.

1.5. Выводы.

2. Двухмерные модели заряженных частиц в условиях переменного и постоянного неоднородного электрического поля и постоянного неоднородного магнитного поля

2.1. Случай постоянного однородного магнитного поля и электрического поля, имеющего вид стоячей волны.

2.2. Система в условиях постоянного радиально неоднородного магнитного поля.

2.3. Поведение заряда в схеме, эквивалентной схеме магнетронного диода с тонким анодом.

2.4. Выводы

3. Трёхмерная модель заряженной частицы в магнитном поле ловушки открытого типа 41 3.1'. Постановка задачи и исходные положения.

3.2. Траектории заряженных частиц в магнитном поле ловушки открытого типа.

3.3. Связь времени удержания заряда в магнитной ловушке со степенью хаотичности его траектории

3.4. Динамические режимы в условиях магнитных полей ловушки открытого типа.

3.5. Об оценке степени хаотичности траектории заряда в магнитной ловушке

3.6. Выводы

4. Разработка программного обеспечения для численного моделирования систем со скрещенными электромагнитными полями

4.1. Особенности численного моделирования систем со скрещенными электромагнитными полями на персональных компьютерах

4.2. Архитектура и описание возможностей разработанного программного обеспечения.

4.3. Работа в программе и проведение исследований

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математические модели детерминированного хаоса в скрещенных электрических и магнитных полях»

Особенности движения зарядов в скрещенных электрических и магнитных полях являются предметом анализа во многих областях математической физики: физике замагниченной плазмы, астрофизике, теории электронных приборов и др. Характер траекторий заряженных частиц, по существу, определяет параметры (энергетические, шумовые и др.) многих устройств: приборов магнетронного типа, магнитных плазменных ловушек и др. В связи с этим особое значение приобретают малоисследованные задачи анализа условий возникновения хаотических режимов динамической системы «заряд в скрещенных электромагнитных полях». Решение таких задач, с одной стороны, как представляется, будет содействовать более глубокому пониманию механизма физических процессов в отмеченных выше устройствах, а с другой имеет самостоятельный интерес как малоизученный объект теории динамических систем.

Одной из типичных задач нелинейной динамики гамильтоновых систем в виде движущихся зарядов в скрещенных электрических и магнитных полях является определение областей хаотичности в пространстве параметров и фазовых переменных. В классических работах Г. М. Заславского и Р. 3. Сагдеева [31-33] уравнения движения сводились к одномерному уравнению возмущенного осциллятора. Однако в таком случае остается неясным характер «реальных» траекторий зарядов и вид областей хаотичности в пространстве измеряемых физических параметров (частота, амплитуда возмущающего поля, начальные скорости и др.).

В работах С. В. Поршнев [напр. 51] был проведён анализ траекторий зарядов в условиях магнитного поля Земли. Хаотические режимы рассмотрены в экспериментальных работах [В. Г. Усыченко: 60, 64, 65 и другие: 39]. Вместе с тем в данных работах отсутствуют сведения о поведении траекторий зарядов в скрещенных полях в условиях различных видов неоднородностей действующих полей и при изменении их параметров.

Кроме того, в настоящее время активно исследуется идея магнитного удержания плазмы в ловушках [5, 6, 63, 68 и др.], в первую очередь применительно к осуществлению управляемой реакции термоядерного синтеза [напр. 25]. Сложный характер переноса частиц и энергии, приводящий к уходу заряженных частиц на стенки камеры до сих пор мало изучен и затрудняет осуществление самоподдерживающейся термоядерной реакции. Для магнитного удержания плазмы применяют так называемые «магнитные ловушки», которые обычно разделяют на открытые, область удержания в которых ограничена в направлении силовых линий магнитного поля, и замкнутые - где область удержания имеет форму тора. Традиционные достоинства открытых ловушек - простота геометрии, возможность получения высокого давления плазмы в умеренном магнитном поле, стационарность и др. [58]. Это позволило проводить исследования коллективных свойств плазмы в магнитных ловушках открытого типа. Однако малоизученным остаётся характер отдельных траекторий заряженных частиц в условиях удерживающего магнитного поля.

Таким образом, актуальной задачей является описание областей хаотичности систем со скрещенными полями, основанное на расчете траекторий зарядов (в том числе трёхмерных), с учётом различного вида неоднородностей действующих полей и их параметров.

Целью данной диссертационной работы является развитие и совершенствование математических методов и принципов моделирования хаотического поведения гамильтоновых систем со скрещенными электрическими и магнитными полями. Для достижения поставленной цели были решены следующие основные задачи:

1. Создание математической модели анализа регулярных и хаотических режимов в скрещенных полях и выбор эффективных алгоритмов и вычислительных схем численного решения уравнений движения в скрещенных полях.

2. Разработка программного обеспечения для решения уравнений движения в системах со скрещенными электромагнитными полями на основе полученных моделей и развитых алгоритмов и вычислительных схем.

3. Применение разработанной математической модели при исследовании хаотических режимов, в частности для построения карт динамических режимов в исследуемых системах, спектров мощности, траекторий заряженных частиц, и оценки времени удержания заряженных частиц в магнитной ловушке.

Научная новизна:

1. Предложены математические модели исследования хаотических и регулярных состояний системы «заряд в скрещенных полях», основанные на двух- и трёхмерных уравнениях движения в условиях нелинейных неоднородностей действующих полей.

2. На основании предложенных моделей получены рабочие алгоритмы и вычислительные схемы с использованием неявного метода и метода Рунге-Кутта, позволяющие проводить анализ фазовых траекторий с учётом переменных и постоянных пространственно неоднородных магнитных и электрических полей.

3. С применением предложенных математических моделей и алгоритмов показано, что в условиях переменного электрического поля степень хаотичности системы преимущественно зависит от соотношения частоты электрического поля и циклотронной частоты.

4. Показано, что радиально неоднородное магнитное поле оказывает существенное влияние на поведение траекторий заряженных частиц в скрещенных полях, определяя, в частности, такую их особенность, как смена хаотического вида траекторий на регулярный.

5. Показано, что в схеме магнетронного диода факторами, приводящими к

• хаотизации фазовых траекторий, являются: радиальная неоднородность магнитного поля, азимутальная неоднородность электрического поля, переменное анодное напряжение.

6. Показано, что в магнитной ловушке открытого типа возникают хаотические колебательные процессы, характерной особенностью которых является изменение параметров хаотической траектории (ларморовский радиус и траектория центра) в момент отражения заряженной частицы от магнитного зеркала.

7. Установлено, что продолжительность удержания заряженной частицы в

• ловушке связана со степенью хаотичности траектории частицы, а именно большей хаотичности траектории соответствует меньшее время удержания, и, следовательно, регуляризация траекторий способна увеличить время удержания в магнитной ловушке.

8. Получены карты динамических режимов для систем со скрещенными электромагнитными полями в плоскости различных параметров (амплитуд переменных полей, частот, начальных скоростей и др.).

9. Разработано программное обеспечение, реализующее численный анализ предложенных моделей, и интерфейс пользователя и архитектура

• программы, позволяющие оперативный ввод новых типов неоднородностей и параметров, вывод на экран динамики движения зарядов, карт динамических режимов и т.д.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту:

1. Предложенные модели и вычислительные схемы позволяют рассчитывать траектории заряженных частиц в условиях скрещенных электрических и магнитных полей различного вида (переменное электрическое поле, радиально изменяющееся магнитное поле, поля магнитных ловушек открытого типа) и проводить анализ полученных траекторий различными методами (расчёт ляпуновских показателей, спектров мощности, построение карт динамических режимов и др.).

2. Введение радиально возрастающего магнитного поля приводит к регуляризации траектории при попадании заряда в область сильных магнитных полей.

3. Время нахождения заряженной частицы в магнитной ловушке открытого типа зависит от степени хаотичности траектории частицы, а именно с увеличением степени хаотичности уменьшается время удержания частицы.

4. Полученные карты динамических режимов описывают зависимость режима функционирования системы от начальных условий и параметров действующих полей (амплитуды и частоты переменного электрического поля, величины магнитного поля, характера неоднородностей и пр.).

Достоверность и обоснованность полученных результатов определяется:

1. Корректностью и строгостью применяемых математических методов, предварительной оценкой допускаемых приближений и погрешностей и их физическим обоснованием.

2. Соответствием основных результатов и выводов экспериментальным данным и общефизическим представлениям о характере процессов в

• системах со скрещенными электромагнитными полями.

Практическая значимость диссертационной работы заключается в следующем:

1. На основе предложенных в диссертации моделей разработано

• программное обеспечение, предназначенное для решения задач анализа хаотических режимов в системах со скрещенными электромагнитными полями, включая, в частности, построение карт динамических режимов, спектров мощности и др.

2. Получены практические рекомендации по определению зависимости степени хаотичности систем со скрещенными электромагнитными полями от начальных условий и управляющих параметров.

3. Разработана модульная архитектура программного обеспечения, позволяющая адаптировать существующую программную среду при

• модификации исследовательских задач.

Краткое содержание и структура работы

Диссертация построена следующим образом. В главе 1 проведён анализ существующих моделей системы «заряд в скрещенных электрических и магнитных полях», сформулирована математическая постановка задачи.

В главе 2 проведены исследования поведения зарядов при пространственно однородном магнитном поле и переменном электрическом поле;радиально изменяющемся магнитном поле; неоднородном в пространстве (рассмотрены радиальная и фазовая неоднородности) электрическом поле в схеме магнетронного диода.

В главе 3 проведено численное моделирование поведения заряженной частицы в магнитном поле ловушки открытого типа. Показана связь между временем удержания заряженной частицы в ловушке и степенью хаотичности её траектории. На основе исследования Фурье-спектров представлены области существования хаотических колебательных режимов. Построены карты динамических режимов в плоскостях фазовых переменных системы.

В главе 4 приводится описание возможностей программного обеспечения, разработанного в рамках диссертационной работы, а также особенности численного моделирования систем со скрещенными полями на персональных компьютерах.

В конце диссертации приведено заключение и список использованной литературы.

Доклады и публикации

Основные положения и результаты диссертационного исследования опубликованы в 4-х печатных работах [73-75, 80] (3 статьи в центральных изданиях, 1 текст доклада). Также по материалам диссертации сделаны доклады на 2-х конференциях:

- Доклад «The complex dynamics of electrons in crossed EM fields» // Fourth • IEEE International Vacuum Electron Source Conference - Saratov, Russia,

July 15-19, 2002 (совместно с А. О. Мантуровым);

- Доклад «Хаотические траектории зарядов в магнитных ловушках открытого типа» // XIII Зимняя школа-семинар по СВЧ-электронике и радиофизике - Саратов: СГУ, 31 января - 5 февраля, 2006.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Юдин, Андрей Витальевич

Заключение

Таким образом, в результате проделанной работы, были получены математические модели детерминированного хаоса в скрещенных электрических и магнитных полях с учётом точного вычисления законов изменения координат частицы во времени и, как следствие, с возможностью детального описания особенностей движения заряженных частиц в исследованных системах.

Основными результатами диссертационной работы можно назвать следующие:

1. Предложены математические модели, рабочие алгоритмы и вычислительные схемы исследования хаотических и регулярных состояний систем «заряд в скрещенных полях» в условиях неоднородных нелинейных электрических и магнитных полей.

2. Показано, что в условиях переменного электрического поля степень хаотичности системы преимущественно зависит от соотношения частоты электрического поля и циклотронной частоты.

3. Показано, что существенное влияние на поведение траекторий заряженных частиц в скрещенных полях оказывает радиальная неоднородность магнитного поля, приводящая, в частности, к регуляризации траекторий заряда.

4. Показано, что в схеме магнетронного диода факторами, приводящими к хаотизации фазовых траекторий, являются: радиальная неоднородность

• магнитного поля, азимутальная неоднородность электрического поля, переменное анодное напряжение.

5. Показано, что время удержания заряженной частицы в магнитной ловушке зависит от степени хаотичности траектории частицы, а именно большей хаотичности траектории соответствует меньшее время удержания.

6. Получены карты динамических режимов для систем со скрещенными ' электромагнитными полями в плоскости различных параметров, рассчитанные на основе показателей Ляпунова и Фурье-спектров.

7. Разработано программное обеспечение для моделирования и исследования систем со скрещенными электромагнитными полями. Реализация алгоритмов выполнена на языке С++.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Юдин, Андрей Витальевич, 2006 год

1. Анищенко В. С. Детерминированный хаос // Соросовский образовательный журнал. 1997. - №7. - С. 70-76.

2. Анищенко В. С. Знакомство с нелинейной динамикой. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2000.

3. Анищенко В. С. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990.

4. Арнольд В. И. // Доклады АН СССР. 1962. - Т. 142. - С. 758.

5. Арцимович Л. А. Элементарная физика плазмы. М.: Атомиздат, 1969.

6. Арцимович Л. А., Сагдеев Р. 3. Физика плазмы для физиков. М.: Атомиздат, 1979.

7. Арцимович Л. А., Лукьянов С. Ю. Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях. М.: Наука, 1978.

8. Байбурин В. Б. Трёхмерное решение задачи о потенциале электронных сгустков в скрещенных полях // Радиотехника и электроника. 1984. - Т. 29,№4.-С. 751.

9. Байбурин В. Б., Терентьев А. А., Гаврилов М. В., Поваров А. Б. Трехмерные цилиндрические уравнения движения электронов в неоднородных скрещенных полях // Радиотехника и электроника. 2000. -Т. 45, №4.

10. Байбурин В. Б., Терентьев А. А. и др. «Нулевой» ток в риборах М-типа и самоподдерживающие электронные сгустки // Письма в ЖТФ. 1998. - Т. 24,№ 12.-С. 57-62.

11. Байбурин В. Б., Собалев Г. JI. К анализу нелинейного режима плоского многорезонаторного электрона с учётом пространственного заряда // Радиотехника и электроника. 1967. -№3.

12. Белащенко Д. К. Компьютерное моделирование некристаллических веществ методом молекулярной динамики // Соросовский образовательный журнал. 2001. - Т. 7, №8. - С. 44-50.

13. Берлин А. А., Балабаев Н. К. Имитация свойств твёрдых тел и жидкостей методами компьютерного моделирования // Соросовский образовательный журнал. 1997. - №11. - С. 85-92.

14. Берман Г. П., Коловский А. Р. Квантовый хаос при взаимодействии многоуровневых квантовых систем с полем когерентного излучения // Успехи физических наук. 1992. - Т. 162, №4. - С. 95-141.

15. Блевайс И.М., Моносов Г.Г., Соминский Г.Г., Хомич P.A. // Электронная техника. Сер. Электроника СВЧ. 1984. - №4. - С. 3.

16. Блевайс И. М. и др. Программа анализа и оптимизации магнитных систем // Электронная техника. Сер. Электроника СВЧ. 1986. -№1. - С. 71.

17. Богданкевич И. Л., Рухадзе А. А., Тараканов В. П. О проявлении нелинейности плазмы в плазменном релятивистском черенковском генераторе на кабельной волне // Прикладная физика. 2002. - №2. - С. 512.

18. Бойко В.И. Управляемый термоядерный синтез и проблемы инерциального термоядерного синтеза // Соросовский образовательный журнал. 1999. -№6.-С. 97-104.

19. Болотовский Б. М., Серов А. В. Особенности движения частиц в электромагнитной волне // Успехи физических наук. 2003. - Т. 173, №6. -С. 667-678.

20. Бондарцов Г. И., Соминский Г. Г. Исследование аксиальных колебаний пространственного заряда в усилителе со скрещенными полями // ЖТФ. -1975. Т. 45, №8. - С. 1664-1668.

21. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. Издание переработанное под ред. Гроше Г.; Циглера В. / Пер. с немецкого. - М.: Наука, 1980. - 976 с.

22. Вайнштейн Л. А., Солнцев В. А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике, М.: Советское радио, 1973.

23. Власов В. П., Трубников Б. А. О квазиустойчивости бицилиндра плазмы // Журнал технической физики. 2003. - Т. 73, №7. - С. 59-66.

24. Воронов Г. С. Штурм термоядерной крепости. М.: Наука, 1985. - 191 с.

25. Галаган А.В. // Радиотехника, Изд. «Выща школа», Харьков. 1989. - Т. 88.-С. 120.

26. Галеев А. А., Сагдеев Р. 3., О предельном давлении плазмы в токамаке // Письма в ЖЭТФ,-1971.-Т. 13.-С. 162-163.

27. Дегтярев Л. М. Численное моделирование двухмерной ленгмюровской турбулентности / Л. М. Дегтярев, И. М. Ибрагимов, Р. 3. Сагдеев и др. // Письма в ЖЭТФ. 1984. - Т. 40, № 11. - С. 455-459.

28. Джашитов А. Э., Джашитов В. Э., Панкратов В. М., Чеботаревский Ю. В. Хаотическая динамика периодически возбуждаемого математического маятника. Саратов: СГТУ, 1998.

29. Дыхне А. М., Снарский А. А., Женировский М. И. Устойчивость и хаос в двумерных случайно-неоднородных средах и ЬС-цепочках // Успехи физических наук. 2004. - Т. 174, №8. - С. 887-894.

30. Заславский Г. М., Сагдеев Р. 3. Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука, 1988.

31. Заславский Г. М., Сагдеев Р. 3., Усиков Д. А., Черников А. А. Слабый хаос и квазирегулярные структуры. М.: Наука, 1991. - 237 с.

32. Заславский Г. М., Сагдеев Р. 3., Усиков Д. А., Черников А. А. Минимальный хаос, стохастическая паутина и структуры с симметрией типа «квазикристалл» // Успехи физических наук. 1988. - Т. 156, №2. - С. 193-251.

33. Заславский Г. М., Моисеев С. С., Сагдеев Р. 3., Черников А. А. Излучение захваченных частиц в магнитном поле // Письма в ЖЭТФ. 1986. - Т. 43, №1.-С. 18-21.

34. Заславский Г. М., Чириков Б. В. Стохастическая неустойчивость нелинейных колебаний // Успехи физических наук. 1971. - Т. 105, №1. -С. 3-39.

35. Заславский Г. М., Натензон М. Я., Петровичев Б. А., Сагдеев Р. 3., Черников А. А. // ЖЭТФ. 1987. - Т. 93. - С. 881.

36. Зеленский К. X., Игнатенко В. Н., Коц А. П. Компьютерные методы прикладной матаматики. Киев.: Дизайн-В, 1999. - 352 с.

37. Кадомцев Б. Б. Коллективные явления в плазме. М.: Наука, Ф-МЛ, 1976. -238 с.

38. Кальянов Э. В. Хаотизация колебаний в митроне // Письма в ЖТФ. 2005. -Т. 31,№6.-С. 79-83.

39. Капица П. Л. Электроника больших мощностей. М.: Изд-во Академии наук СССР, 1962.,-196 с.

40. Карлов Н. В., Кириченко Н. А. Колебания, волны, структуры. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 496 с.

41. Каррерас Б. А., Ньюман Д., Линч В. Е., Даймонд П. X. Самоорганизованная критичность как парадигма для процесса переноса в плазме, удерживаемой магнитным полем // Физика плазмы. 1996. - Т. 22, №9. - С. 819-833.

42. Кингсеп А. С. Введение в нелинейную физику плазмы. М.: МФТИ, 1996.

43. Кингсеп А. С. Плазма как объект физических исследований // Соросовский образовательный журнал. 1996. - Т. 1, №2. - С. 98-104.

44. Климов О. В., Тельнихин А. А. Стохастический нагрев в плазменно-пучковой системе // Журнал технической физики. 1998. - Т. 68, №11. - С. 52-56.

45. Крюков С. В. Проект ИТЭР: Физическое обоснование и концепция // Атом, техника за рубежом. 1996.-№3.-С. 3-10.

46. Ленерт Б. Динамика заряженных частиц; пер. с англ. М.: Атомиздат, 1967.

47. Леонтович М. А., Кадомцев Б. Б. Вопросы теории плазмы. М.: Энергоиздат, 1982.

48. Мун Ф. Хаотические колебания: Пер. с англ. М.: Мир, 1990. - 312 с.

49. Писаренко В.М., Шадрин A.A. // Радиотехника, Изд. «Выща школа», Харьков. 1985. - Т. 75. - С. 71.

50. Поршнев С. В. Динамическая неустойчивость движения заряженных частиц в постоянном неоднородном магнитном поле // Журнал радиоэлектроники, №11, 2000.

51. Поттер Д. Вычислительные методы в физике. М.: Мир, 1975.

52. Пригожин И. Введение в термодинамику необратимых процессов. М.: Ижевск: РХД. - 2001. 160 с.

53. Родионов М. С. // Атомная энергия. 1959. - Т. 6. - С. 623.

54. Рожанский В. А. Удержание плазмы в магнитных ловушках // Соросовский образовательный журнал. 2000. - Т. 6, №10. - С. 80-86.

55. Рожанский В. А. Эволюция плазменных облаков в ионосфере // Соросовский образовательный журнал. 2001. - Т. 7, №9. - С. 109-114.

56. Романов П.В., Рошаль A.C., Галимулин В.Н. // Изв. ВУЗов. Радиофизика. -1970.-Т. 13, №10.-С. 1554.

57. Рютов Д. Д. Открытые ловушки // Успехи физических наук. 1988. - Т. 154,№4.-С. 565-614.

58. Сагдеев Р. 3., Шапиро В. Д., Влияние поперечного магнитного поля на затухание Ландау // Письма в ЖЭТФ. 1973. - Т. 17, №7. - С. 389-394.

59. Смирнов А. В., Усыченко В. Г. Возникновение хаоса и избыточного шума в магнетроне // Радиотехника и электроника. 1988. - Т. 33, №4. - С. 883.

60. Тарасов В. Е. Ходжаев К. Ш., Чирков А. Г. Каноническая форма усредненных уравнений движения заряженной частицы при наложении поля электромагнитной волны на слабонеоднородное магнитное поле // Физика твёрдого тела. 2002. - Т. 44, №1. - С. 6-8.

61. Терентьев А. А., Ильин Е. М., Байбурин В. Б. Многопериодная численная модель усилителей М-типа с распределённой эмиссией // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1986. - Т. 9, №10. - С. 72-79.

62. Трубников Б. А. Теория плазмы. М.: Наука, 1989. - 465 с.

63. Усыченко В. Г. Самоорганизация электронов в электронных приборах // Журнал технической физики. 2004. - Т. 74, №11. - С. 38-46

64. Усыченко В. Г. Самоорганизация электронов в электронных приборах в свете принципов механики и термодинамики // Журнал технической физики. 2006. - Т. 76, №4. - С. 17-25.

65. Филиппов М. М. // Изв. вузов. Радиофизика. 1958. - Т. 1, №3. - С. 143146.

66. Хвесюк В. И. Классические предельные значения производства энергии в плазме D-3He амбиполярного реактора / В. И. Хвесюк, Н. В. Шабров, Д. В. Семенов, А. Н. Ляхов // Журнал технической физики. 1998. - Т. 68, №7. -С. 37-43.

67. Чен Ф. Введение в физику плазмы. М.: Мир, 1987. - 299 с.

68. Чириков Б. В. // Вопросы теории плазмы. М.: Энергоатомиздат. - 1983. -Т. 13.-С. 3.

69. Шевчик В.Н., Шведов Г.Н., Соболева A.B. Волновые и колебательные явления в электронных потоках на сверхвысоких частотах. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1962. - 336 с.

70. Ширшин С. И., Байбурин В. Б. Анализ и моделирование динамического режима многорезонаторного магнетрона // Радиотехника и электроника. -1976.-Т. 21.

71. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988.

72. Юдин А. В. Влияние хаоса на время удержания заряженных частиц в магнитной ловушке / В. Б. Байбурин, А. В. Юдин // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2005. - Т. 13, №1-2. - С. 38-46.

73. Юдин А. В. Критерии оценки степени хаотичности траектории заряда в магнитной ловушке / В. Б. Байбурин, А. В. Юдин // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2005. - №3. - С. 100-104.

74. Юдин А. В. Хаотическое поведение зарядов в скрещенных полях / В. Б. Байбурин, А. О. Мантуров, А. В. Юдин // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2002. - Т. 10, №6. - С. 62-70.

75. Afraimovich V., Zaslavsky G. М. Fractal and multifractal properties of exit times and Poincare recurrences // Physical Review E. 1997. - Vol. 55. №5.

76. Lorenz E. N. // J. Atmos. Sci. 1963. - V. 20. - P. 130-141.

77. Marcus M. // Computers in Physics. 1980, - Sept.-Oct. - P.481.

78. Wolf A., Swift J.B., Swinney H.L., Vastano J.A. Determining Lyapunov exponents from a time series // Physica D. 1985. - Vol. 16. - P. 285.