Нелинейная гидродинамическая устойчивость в бесконечных областях и задачах с симметрией тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.03, доктор физико-математических наук Афендиков, Андрей Леонидович

• Афендиков, Андрей Леонидович
• доктор физико-математических наук
• 1995

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Афендиков, Андрей Леонидович

Оглавление

Глава i

Некоторые математические методы

гидродинамической теории устойчивости

I

§1. Начально-краевая задача для уравнений Навье-Стокса и основные функциональные пространства.

$

§2. Аттракторы начально-краевых задач для уравнений Навье-Стокса.

§3. Бифуркация рождения цикла в некоторых задачах с симметри-

§3. Метод Ляпунова-Шмидта в многопараметрических задачах.

§3а. Применения метода Ляпунова-Шмидта для изучения возникновения автоколебаний в жидкости.

§ЗЬ. Алгоритм построения рядов Ляпунова-Шмидта. §3с. Вырожденные бифуркации в задачах Колмогорова и Куэтта-Пуазейля.

Глава ii

Неустойчивость некоторых плоских течений

вязкой несжимаемой жидкости

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейная гидродинамическая устойчивость в бесконечных областях и задачах с симметрией»

§1. Введение.

§2. Постановка задачи о потере устойчивости и бифуркации плоского течения Пуазейля.

§3. Разложение автоколебательных решений в ряды по малому параметру.

§4. Бифуркация течения Пуазейля в окрестности точки вырождения.

ей.

I

- 3 -

§5. Численное решение спектральной и краевых задач. §6. Потеря устойчивости и бифуркация течения Колмогорова. Постановка задачи.

§7. Линейная задача об устойчивости.

§8. Бифуркация обобщенного течения Колмогорова.

9

Глава iii

Задача Куэтта-Тейлора §1. Спектральная задача об устойчивости течения Куэтта и ее дискретизация.

§2. О стационарной бифуркации течения Куэтта. §3. О бифуркации течения Куэтта на периодическое по времени течение.

§4. О вихрях Тейлора.

§5. Исследование устойчивости вихрей Тейлора. §6. О бифуркации вихрей Тейлора.

Глава iv

Пространственная динамика

течений вязкой несжимаемой жидкости. §1. Введение.

§2. Линейный пространственный оператор и его свойства. §3. Задача об устойчивости 3-D течения Пуазейля. §4. Редукция нелинейной задачи. §4а. Обсуждение.

1. Сравнение с амплитудным уравнением Дэви-

Стюартсона-Хокинга.

2. Бегущие и стоячие волны с нулевым расходом.

3. Бегущие волны с ненулевым расходом.

§5. Неустойчивость стоячих волн с большим пространственным периодом в задачах с 0(2) симметрией. §5а. Постановка задачи. ' §5Ь. Пространственная динамика.

Глава 1

Некоторые математические методы гидродинамической теории устойчивости

1.1 Начально-краевая задача для уравнений Навье-Стокса и основные функциональные пространства.

Имеется целый ряд задач математической физики и, в частности, гидродинамики, где рассматриваемая физическая система является столь протяженной, что неоднородные структуры (течения) обладают собственным характерным масштабом (напр. длинной волны), который много меньше размеров системы и практически не зависит от их вариации. В таких ситуациях область (течения) естественно считать неограниченной, чтобы исключить влияние удаленных границ. Поэтому многие гидродинамические задачи могут рассматриваться в подходящих координатах в области Q Е IR3 Q = Q х Мт с т = 1 или т = 2 неограниченными координатами, где Q ограниченное гладкое поперечное сечение размерности 1 или 2.

Одной из основных задач нелинейной теории гидродинамической устойчивости является описание структур около порога неустойчивости основного, максимально однородного течения. Эта, как её ино-

гда называют, слабо нелинейная теория является первым шагом в изучении процесса усложнения течений и перехода к турбулентности.

Классический подход к задаче состоит во введении условий периодичности по всем неограниченным направлениям и изучении задачи в фундаментальной области. Не претендуя на оригинальность, вве-

9

дем основные функциональные пространства и напомним ключевые факты из теории разрешимости начально-краевых задач для системы Навье-Стокса

С . 1 . .

— + (и ■ V)u + gradp = -Ли + /,

divv = О,

в области Q с граничным и начальным условиями

U\t=0 = u0i u\dQx[0,T] — (I-1-2)

Предположим теперь, что Q - цилиндрическая область Q = Q х 1R1, в которой существует стационарное и Не зависящее от z рещение V, Р уравнений Навье-Стокса. Область Q предполагается гладкой и ограниченной, а 2 направлено вдоль неограниченной координаты. Обезразмерив задачу, получим уравнения для возмущений основного течения

dv 1

di = rau ~ gradp "(у'"(и'v)y " '(i i з)

div v = О, с граничным условием:

ЩдПхИ = & (1-1-4)

Общий групповой анализ уравнений Навье-Стокса данный в [Овсянников [1978]] позволяет найти полную группу симметрий зада-

чи (1.1.1), (1.1.2), однако в дальнейшем будет существенно использоваться только инвариантность относительно группы Галилея. Инвариантность задачи относительно сдвигов и твердотельных вращений делает обычным появление в редуцированных конечномерных задачах инвариантности относительно подгрупп группы 0(2) х 0(2) х при условии, что по всем неограниченным направлениям введено

9

условие периодичности.

Наличие непрерывной группы симметрий оказывается особенно существенным при изучении редуцированной задачи на центральном многообразии.

Покажем теперь, как при наличии условия периодичности по всем неограниченным направлениям, начально-краевая задача для уравнений Навье-Стокса может быть сведена к эволюционному уравнению в некотором подходящем функциональном пространстве. Приведенные ниже результаты о разрешимости в целом не новы, однако условие периодичности требует некоторых уточнений в стандартных определениях и конструкциях. Стандартным источником для ссылок в этой области являются [Ладыженская [1972]], [Вишик, Фурсиков [1980]], [Темам [1981]], [Юдович [1984]].

Предположим для определенности т = 1 и будем рассматривать течения в фундаментальной области Qa = О х [0,27г/«]. Обозначим L^Qa) замыкание в метрике Li{Qa) множества непрерывных 2ж/а периодических по z функций. Положим

H(Qa) = [L%(Qa)f : divv = 0, (v ■ n) [о,2тг/с] = 0} ,

V{Qa) = {u e [Я1^)]3 : divv = 0, (v • n)|anx[0,2,r/or] = 0} ,

со скалярными произведениями индуцированными из [L^Qa)]3 и [Н1((^а)]3 соответственно. Пространство H(Qa) является ортого-

нальным дополнением пространства всех grad</>, ф £ Hl(Qa), где Н1 обычное обозначение соболевского пространства функций интегрируемых вместе с их первыми производными с квадратом. На пространстве [Lf^)]3 вводится ортогональный проектор Р на H(Qa) . Именно этот проектор позволяет исключить из задачи давление и

учесть условие divv =.0. В сущности указанная декомпозиция бази-

t

руется на справедливом для гладких функций тождестве Грина

/ (gradp • v)dx + / p(V • v)dx = / p(v • n)da,

JQa ' JQc, ' JdQx[0,2v/a]FK ' '

где n-внешняя нормаль к dfl х [0, 2к/а]. Практически, в частности, и при построении численных алгоритмов, проекция P(v), v 6 Hk(Qa)]'i строится

следующим образом [Ладыженская [1970]], [Юдович [1984]]; вектор v записывается в виде

v = и + gradp,

где v е Hk(Qa)Y и удовлетворяет divu = 0, (v • п)|сЮх[о,2тг/а] = 0. Поскольку и = Pv, получаем задачу для р

| Ар = divv eHk-\Qa), ^ =(fn)|№xWe] 6Я1%). (1Л,5)

I дп\дПх[0,2к/а] 1 1 ' ' 1

Тем самым р определяется с точностью до аддитивной постоянной из задачи Неймана.

Отметим, что данная декомпозиция предполагает наличие условия периодичности на давление. Тем самым для описания течений с ненулевым расходом через поперечное сечение канала

Q = L(v • n)ds

необходимо ввести в рассмотрение либо течения с условием периодичности не для давления, а для gradp, либо рассматривать течения, происходящие под действием (ненулевой) постоянной силы F = (/ь/2,/з)'- Этот вопрос будет подробнее рассмотрен в главе 2 на примере задачи о плоском течении Пуазейля. Построенная ортогональная проекция позволяет ввести (неограниченные) линейный Lp и квадратичный B^(v^v) операторы,

L^v = P(iA-.gradp-(V-V)v-(vV)V),-

<

где вектор представляет параметры задачи, и записать начально-краевую задачу для системы уравнений Навье-Стокса в виде dv

— = L^v + B^v^v), U|i=0 = v0eDa. (1.1.6)

Здесь через Da обозначена область определения оператора L^

Da = D{L= H(Qa) : и £ [H2(Qa)]\ umx[0^/a] = 0}. Известны следующие факты [Iooss [1984]], [Хенри [1985]]:

Утверждение 1.1 Оператор L^ обладает компактной резольвентой и его спектр расположен в секторе, симметричном относительно вещественной (отрицательной) полуоси; т.е. оператор Ьц ~ секториальный.

Утверждение 1.2 Оператор Ьц является генератором голоморфной, компактной полугруппы в H(Qa). Полугруппа exp(L^) анали-тична по t в некотором секторе, симметричном относительно положительной полуоси с углом полураствора не зависящем от ц.

Утверждение 1.3 Квадратичный оператор Вц(у,у) действует непрерывно из Da в Ка = (Е H(Qa) : v Е [ff^Qo,)]}.

Если ограничиться плоскими и трехмерными течениями, то по теореме Соболева вложения H2(Qa) в C°(Qa) и Hl(Qa) в L^(Qa) непрерывны. Поэтому для гладкого основного течения и фиксированного числа Рейнольдса выполняется неравенство

lB,(v,v)lKa<C(Qa)HDa.

Локальная теорема существования гласит [Ладыженская [1970]], [Вишик, Фурсиков [1980]],[Темам [1981]], [Юдович [1984]]:

Теорема 1.1 а) Для VT > 0, 3<5 такое, что для ||г>о||£>а < <5 задача (1.1.4) имеет на отрезке [0,Т] единственное решение, непрерывное по t в Da и дифференцируемое в H(Qa).

b) Для Vi> Е Da,3T > 0, такое, что решение v(t) существует и единственно на [0,Т].

c) Решение u(t,fiiVо) зависит от t,/,i,vо аналитически. Тем самым на Da определен полупоток Ft(vо) = v(t).

Устойчивость базисного потока, соответствующего решению v — 0 задачи (1.1.6) определяется расположением собственных значений линейного оператора LВ соответствии с принципом линеаризации [Юдович [1965а]], [Юдович [1984]] решение устойчиво в На, если все собственные значения имеют отрицательную вещественную часть и неустойчиво, если имеется хотя бы одно собственное значение с Л > 0. Очевидно, что если сг, и собственное значение и собственный вектор задачи

сг и — L^u,

то существует q такая, что grad q Е [.^(Qa)]3 и

а и = —Аи — gradp — (V • V)u — (и • V)V — (it ■ V)u,

R (1.1.7)

div v = 0,

и £ [H2(Qa)]3, с граничным условием:

■

I !

= (1.1.8)

I I

Это замечание показывает, что йереход от одной формы записи задачи к другой трудностей не вызывает и в разных ситуациях оказы-

|

вается удобным применять разные языки (см. глава 3, §6).

«

Рассмотрим случай, когда значение (векторного) параметра близко к критическому fj,Q = 0, лежащему на нейтральной поверхности R = R(a,---). Для — 0 собственные значения с максимальной вещественной частью удовлетворяют условию

Recrj(fj,0) = 0.

Обозначим Qn0 коммутирующий с Lц проектор на инвариантное пространство отвечающее критическому спектру. Тогда благодаря свойствам аналитической полугруппы exp L^t и свойствам нелинейных членов, можно получить следующее утверждение:

Теорема 1.2 (о центральном многообразии.)

Для Vs > 0 существует окрестность нуля (0, 0) I х О С JRq х Da в которой задано отображение Ф класса С3 такое, что его график у = х) задает локально инвариантное и локально притягивающее многообразие Мц в Da т.е.

1) Мо касается Q^0Da в начале координат,

2) Мц локально инвариантно относительно полупотока Ft^,

3)Мц является локально притягивающим; т.е. если начальные данные таковы, что решение Ft^vo Е G,\ft > 0; то dist (Ft^vо, Мр) — 0 при t —> со.

Из этой теоремы следует, что локальная рекуррентность в окрестности точки потери устойчивости определяется конечномерным уравнением на'центральном многообразии

^ = XeQo(O) (1.1.9)

Историю появления теоремы о ! центральном многообразии и об-

9

суждение различных методов доказательства можно найти в [Vanderbauwhede, Iooss [1992]]. В случае, если исходная задача обладает группой симметрий, то центральное многообразие можно выбрать симметричным и задача (1.1.9) будет обладать некоторой индуцированной группой симметрий [Ruelle [1973]].

1.2 Аттракторы начально-краевых задач для уравнений Навье-Стокса.

В 70 — 80е годы появился ряд работ объясняющих, что начально- ^ краевая задача для уравнений" Нав^е-Стокса, рассматриваемая на больших временах, является в некотором смысле конечномерной [Ладыженская [1972]], [Foias, Temam [1979]].

В сущности, речь идет об очень простых свойствах полупотока, порожденного в двумерном случае начально-краевой задачей для уравнений Навье-Стокса. Ниже, следуя [Афендиков, Бабенко [1987]], [Афендиков, Бабенко [1989]], показано, что, если не гнаться за предельными оценками, то конечность емкости (или метрического порядка), а значит и хаусдорфовой размерности, устанавливается крайне просто. Обсуждаются также принципиальные недостатки этой красивой математической теории с точки зрения гидродинамики.

Возвратимся к исследованию Полу потока Ft в двумерном случае для течений в ограниченных областях. У течений в каналах, даже если ограничится рассмотрением периодических вдоль оси канала течений, имеется некоторая специфика и ниже (см. глава 2, §1), на примере течения Пуазейля в плоском канале, этот вопрос будет

затронут. Известно, что задача (1.1.1),(1.1.2) имеет решение для лю-

«

бы£ начальных данных щ Е Н j- слабое решение Хопфа. Однако, если правая часть и границы области - гладкие, то и решение и(х, t) будет гладким при t > 0. Известны следующие классические неравенства (см.[Ладыженская.[1970]], [Ладыженская [1972]]):

К, < МОЬе-*1" + % = 1/Д, (1.2.1)

v л\

\

где | • |2 - норма в L2, a Ai - минимальное собственное значение расширения оператора —РА в H(Qa) до самосопряженного. В этом неравенстве отчетливо проявляется диссипативный характер уравнений Навье-Стокса. Через || • || обозначим норму в У; при t £ [е, сю] имеет место неравенство

IK.0II <С£(|/|2,^), (1.2.2)

где Ce(\f\2,v) ~ константа, зависящая только от |/|2, v. Поскольку пространство V вложено в Н компактно, то полутраектория -{и Е Н : и = u(x,t),0 < t < сю} будет устойчива по Лагранжу, т.е. множество её предельных точек будет компактным. Обозначим через ujUo - предельное множество точки щ. Это множество можно получить, взяв предельные точки всевозможных последовательностей {u(x,tj)}, tj | сю, где u(x,t) - полутраектория, начинающаяся в щ. Оно замкнуто, инвариантно относительно полупотока Ft ив

силу (1.2.1) лежит внутри шара

Sf = {и £ Н : \и\2 < l/b/i/Ai}. (1.2.3)

Важным свойством функции u(x,t) является её аналитичность по t в области {t : £ < Ret < 00, \lmt\ < <5}, причем <5 при фиксированном £ зависит только от v. Естественно, u(x,t) рассматривается как

*

аналитическая функция от t со значениями в Н. Если u(x,tj) —»■ й при j -и- со, то в области Dm = {t : — М < Re t < М, |Im<| < к последовательности {и(х, t + tj)}JLN, где N достаточно велико, можно применить теорему Монтеля о нормальных семействах, поскольку из оценки (1.2.1) следует равномерная ограниченность семейства -

\и(х, t + tj)\2 < с,

причем норма берется в комплексификации пространства Н. Поэтому можно считать, переходя, если это необходимо, к подпоследовательности, что limj_,oo и(х, t + tj) существует в Dm и является, в силу соответствующих теорем единственности [Ладыженская [1,970]], [Ладыженская [1972]], частью траектории потока Ft, проходящей через й. В силу произвольности М множество соио будет состоять из объединений полных траекторий.

Таким образом, начально-краевая задача (1.1.1), (1.1.2) на сиио корректна также в сторону отрицательных значений t, траектория неограниченно продолжима на (—оо,0) и является аналитической функцией в полосе {t : \lmt\ < <5}.

Пусть Т = {и Е V : и = «(•, t), —со < t < схэ} - траектория потока Ft, лежащая в множестве ojq. Замыкание траектории, очевидно, состоит из целых траекторий. Если Тп = {и G V : и = u(-,t), — п < t < п} и множество Т = [jnTn замкнуто, то его топологическая раз-

« i

мерность <1. В самом деле, топологическая размерность множества и поэтому по Tn,dimTn < 1 v поэтому но классической теореме

[ Гуревич, Волмен [1948]] dimX к 1. Итак, множество cjUo состоит

!

из набора множеств - целых траекторий потока Ft. Рассмотрим множество

А= U

иен

где черта сверху обозначает замыкание. Ясно, что множество А С 5/ i/L Л С V, т.е. А - компакт в Н, состоящий из полных траекторий потока Ft. Назовем его аттрактором полупотока Ft. При рассмотрении конкретных задач о течениях вязкой жидкости мы чаще всего интересуемся либо стационарными течениями, либо эволюцией течения на достаточно большом временном промежутке. Более того, отыскивая численно стационарное течение, часто используют метод установления, при котором стационарное течение отыскивается как предел нестационарных течений при неограниченном увеличении времени. Как разъяснено выше, решение начально-краевой задачи (1.1.1), (1.1.2) неизбежно стремится к аттрактору А, и поэтому он является тем объектом, который нужно изучать, в частности, pi в теории возникновения турбулентности. Точка зрения, что изучение динамических свойств потока Ft на аттракторе и является задачей теории турбулентности, по-видимому, впервые была четко высказана в [Ладыженская [1972]]. Отметим, что определение аттрактора, данное в [Ладыженская [1972]], отличается от вышеприведенного.

Целесообразно рассматривать минршальные подмножества аттрактора Л, т.е. непустые, замкнутые, инвариантные множества, не имеющие истинных подмножеств, обладающих этими тремя свойствами. Пусть Aq - минимальное подмножество (такие на А обяза-

тельно имеются). По теореме Н.М.Крылова и Н.Н.Боголюбова на Aq можно построить вероятностную меру /i, инвариантную относи-тельно потока Ft.

Измеримое подможество А С р4о называется fi - инвариантным, если ц((А \ Ft(A)) U(Ft{A) \ А)) =\ 0 для всех t.

Определение. Динамическая Система называется эргодической, если для любого ц - инвариантного подмножества А либо ц(А) = О, либо ц(А) = 1. \

Эргодические системы играют? роль простейших неразложимых объектов, и для них имеет место Ьдна из основных теорем эргодической теории - теорема Биркгофа-Хинчина, которая гарантирует, что для всех g £ L\(Aq, fi) и для почти всех и £ Ао

£ g{Ft4)dt=L^^-

Кратко эту теорему формулирует так: средние по пространству и по времени совпадают почти всю]цу.

Будем предполагать, что Ft эр^одична на Aq. Однако, когда «говорят о стохастическом поведении динамической системы, задаваемой системой Навье-Стокса, то имеют в виду свойство более сильное, чем эргодичность. Предполагается наличие в динамической системе перемешивания. Под перемешиванием понимают следующее. Пусть g,h - интегрируемые с квадратом по мере /i функции, определенные на Aq. Тогда, если

lim Г [g(Ftu -y][h(u) - h]dfi = 0, (1.2.4)

t—»-±oo •/•До

где через h обозначено среднее по мере ц значение функции /г, т.е.

7 = /до f(u)dp,

то динамическая система Ft - система с перемешиванием.

j

Заметим, что соотношение (1.2.4), по существу, является аналагом

i

известного в теории турбулентности условия убывания корреляционной функции пульсаций скорости

где' точка обозначает скалярное произведение векторов, х - произвольная точка О, а и(х, •) - элемент множества Aq, вычисленный в точке х. Усреднение по мере fi - это усреднение по ансамблю, которое используется в теории турбулентности, и(х) - средняя скорость в точке х.

Молено связать возникновение турбулентности в жидкости,

с появлением минимальной компоненты «До аттрактора Л, на ко-

!

торой динамическая система Ft является перемешивающей относительно некоторой инвариантной меры /1.

Заметим, что естественно потребовать, чтобы мера ц была неатомическая, т.е. каждое /^-измеримое подмножество Ло положительной меры содержало измеримое подмножество меньшей меры. Иначе возникают патологические ситуации; например, стационарная точка с единичной мерой, в ней сосредоточенной, удовлетворяет вышеприведенному определению турбулентного аттрактора.

В связи со сказанным сделаем следующее замечание. По известной теореме минимальное множество, состоящее из почти периодических движений, строго эргодично. Другими словами, в системе существует единственная инвариантная мера и все точки системы являются точками плотности относительно этой инвариантной меры. Однако, для таких динамических систем соотношение (1.2.4) не имеет места, и корреляционная функция пульсаций скорости не стремит-

ся к нулю. Согласно предположению Л.Д. Ландау, турбулентность возникает посредством механизма увеличения числа частот условно-периодического решения задачи (1.1.1), (1.1.2) с помощью последовательных бифуркаций, происходящих из-за потери устойчивости при росте числа Рейнольдса. Само турбулентное движение характеризуется как условно-периодическое с большим числом частот. Выше было разъяснено, что аттрактор системы с перемешиванием не может состоять из почти периодических движений.

^.И при попытке численного решения начально-краевой задачи (1.1.1), (1.1.2)^и^ при обработке результатов эксперимента важную роль играют ёмкостные свойства аттрактора А. Поскольку в большинстве работ эта величина характеризуется хаусдорфовой размерностью компакта, дадим определение этой величины. Пусть X -произвольный метрический компакт, и если X С Y, то через d(Y) обозначим диаметр множества Y. Пусть Xj, j = 1, 2, • • • - конечное или счетное покрытие X множествами диаметрами < 2е. Положим т£р(Х) = inf J2j[dXj]p, где нижняя грань берется по всем покрытиям диаметра < 2е, и положим

тр = s\ipmi(X).

£>0

Тогда хаусдорфова размерность компакта X по определению равна

h(X) = sup{p е 1R : т.р(Х) > 0}. Имеет место фундаментальное неравенство

h(X) > dim (Л"),

где dim (Л") - топологическая размерность компакта Л". В теории приближений под ёмкостными характеристиками аттрактора

имеют в виду величины, определяющие объем информации, необходимый для задания компакта с некоторой заданной точностью, и используют для этой цели понятия е-энтропии и е-ёмкости [Колмогоров, Тихомиров [1959]]. Обозначим через N(e,X) минимальную мощность покрытия компакта X замкнутыми множествами диаметра < 2е. Подмножество метрического пространства называется е- различимым, если любые две его точки лежат на расстоянии, большем е. Через М(е,Х) обозначим мощность максимального е-различимого подмножества множества X.

Двоичные логарифмы величин N(e,X) и М(е,Х) называют соответственно ^-энтропией и е-емкостью компакта и обозначают через Н(е,Х) и С(е,Х). Элементарно доказывается, что

С(е,Х) < Н(е,Х) < С(2е,Х).

Несложно показать, что если X - компакт в имеющий внутренние точки, то

H(e>X) = nlog2{lle) + 0{l). Если X - выпуклый бесконечномерный компакт, то

liminf Я(е, X)/log2(l/s) = оо.

Таким образом, грубо говоря, лишь для конечномерных компактов имеет место неравенство Н(е, X) < clog2(l/s) и по сложности задания конечномерные компакты - наиболее простые объекты после конечных множеств. Л.С.Понтрягин и Л.Г.Шнирельман в 1932 г. (см. [ Гуревич, Волмен [1948]] ) ввели понятие метрического порядка

к = \immiH(£,X)/log2(l/s).

В некоторых обзорах эту характеристику называют емкостью компакта X. Этот термин, может быть, и более выразителен, но сильно

перегружен. Например, в классической теории потенциала под этим термином фигурирует другое понятие. Очевидно неравенство

для тех компактов, для которых обе размерности определены. Оце-

«

ним сверху е-энтропию компакта А. С этой целью заметим, что оператор —РА|я - самосопряженный и положительно определенный. Пусть Лj = 1,2,-•• - его собственные значения и соответствующие им собственные функции. Собственные функции образуют полную ортонормированную систему в Н. Если dQ 6 С°°, то Е C°°(Q), j = 1,2,-•• . Собственные значения занумеруем так, чтобы Ai < Л2 < • • тогда Xj j 00 при j 00.

Обозначим через Ln подпространство в Н, натянутое на ф\, • • •, фп и пусть Vn - оператор ортогонального проектирования на Ln. О.А.Ладыженская установила важное неравенство, позволяющее элементарно оценить к(Л). Пусть u,v € Н, тогда существует .п такое, что

где cj < 1, а при достаточно большом п и фиксированном t, и < е, где £ - сколь угодно малое количество. В тоже время, если и, v две точки на аттракторе, то следуя [Ладыженская [1972]] несложно доказать, что

к(Х) > h{X)

\(Е - Vn){Ftu - Ftv)|2 < w|и - v\2

(1.2.5)

I(Ftu - Ftv)|2 < Iu- v\2expBt,

где В = Aq/4v, Ao = maxu^maxreg

Из неравенств (1.2.5) и (1.2.6) несложно получить, что

H(s,A) < alog2(l/e) + 0(i).

(1.2.6)

(1.2.7)

Приведенное в [Афендиков, Бабенко [1989]] доказательство использует некоторые идеи работы [Ладыженская [1982]]. Оно не зависит от специфики полупотока Ft и пространства Н. В качестве Н может быть взято любое сепарабельное банахово пространство, а в качестве А - любое ограниченное множество в Н, такое, что Ft(A) С А. От полупотока Ft достаточно потребовать выполнения неравенств (1.2.5) и (1.2.6) при некотором фиксированном tПоэтому неравенство (1.2.7) носит весьма общий характер.

Итак, пусть 8 таково, что rj = ю + б < 1. Пусть задано некоторое конечное покрытие Т[ = {О^р} ограниченного множества А замкнутыми множествами диаметра < 2г, d{0^) < 2г. Заведомо такое покрытие при некотором г < сю существует. Через Af(r) обозначим его мощность. Построим покрытие {(9'+1}, такое, что а его мощность удовлетворяет неравенству

A/V)<Af(r)(^)n, (1-2-8)

где 7 - некоторая константа, а А = exp Bt*.

Для этого положим Vj = AC\Oj . Ясно, что \JjVj = А. Пусть Wj = FttVj = {у £ Н : За; £ Vj, у = Ftt(x)}- В силу инвариантности А относительно Ft имеем Uj Wj = А, а из (1.2.5) следует, что VnWj С Sj, где Sj - некоторый шар в Ln, причем d(Sj) < 2Аг. По лемме Гаусса существует покрытие каждого из шаров Sj шарами Sjk радиуса ёг, имеющее мощность (7А/6)п, где 7 < 7ге. Тогда набор {Од1} = (P~l(Sjk) flWj) образует покрытие А с числом элементов -Я{г}г), удовлетворяющим (1.2.8), a d(Oljll) < 2цг, поскольку

< min{d(Sjt),d(P„W,-)} + mm{d(Q„PlSP;),d(QnWl)\ < 2Sr + 2wr,

где Qn = Е — Vn. Из (1.2.8) следует, что существует последовательность rs = rjsr I 0 при s оо, такая, что

Для s = l неравенство (1.2.9) можно удовлетворить за счёт выбора константы с. Если неравенство выполнено для s = m, то

поэтому, если выбрать а таким, что (7А/6)п = ц01, то неравенство выполняется и для s = т -f 1, причем а — п log2 (7А/6) / log2 77. Отсюда немедленно следует предкомпактность множества А и оценка

Оценки размерности а через определяющие параметры течения содержатся в целом ряде работ, из которых отметим [Бабин, Вишик [1982]]. Весь цикл работ по оценке хаусдорфовой размерности аттракторов хронологически начршается, по-видимому, с работы [Mallet-Paret [1976]]. "Для уравнений Навье-Стокса. первой в этом цикле была работа [Foias, Temarn [1979]], а затем последовали работы [Бабин, Вишик [1982]], [Ладыженская [1982]], [Бабин, Вишик [1983]], [Ладыженская [1987]] и ряд других.

Отметим, что численное моделирование нестационарных решений уравнений Навье-Стокса, если только рассматривать большие времена, неминуемо приводит к изучению эволюции на аттракторе. Поэтому расчеты, направленные на обнаружение "турбулентных", "вторичных" и т.д. режимов в смысле работ [Orszag, Patera [1971]], [Рождественский, Симакин [1985]] в самом деле проводятся для обнаружения нетривиального аттрактора. Здесь не место останавливаться на обсуждении вопросов корректности дискретизаций, ис-

X(rs,A) < crja.

(1.2.9)

(1.2.7).

пользованных в вычислительных работах. Остановимся лишь на вопросе интерпретации результатов полученных в результате численного или натурного эксперимента.

В этом анализе сразу становится ясным существенный изъян описанного в этом параграфе подхода, так как в нем аттрактор кодируется элементами пространства Н, а не последовательностью из нулей и единиц, что происходит при численном моделировании. Не умаляя его продуктивности, заметим, что этот подход полностью игнорирует пространственную структуру течений. Так, стационарное течение - это точка в фазовом пространстве, и, следовательно, требуется один бит информации, чтобы указать характер аттрактора. Аттрактор являющийся стационарной точкой векторного поля на М1 и стационарное решение задачи обтекания при таком подходе эквивалентны по сложности кодирования. Вместе с тем структура стационарных течений может быть крайне сложна. Например, в задаче обтекания имеется след за телом, область больших градиентов - погранслой, имеет место экспоненциальное убывание убывание вихря вне следа и области, примыкающей к следу и т.д. Отсюда возникает гипотеза, что информационная сложность множества функций, из которых состоит аттрактор (измеряемая опять-таки е -энтропией, но использующая кодирование функций в виде двоичных последовательностей), неизмеримо больше информационной сложности аттрактора, описанной выше, и поэтому при дискретизации на первый план выдвигается задача адекватного учета пространственной структуры течения.