Исследование устойчивости и бифуркаций косимметричных/некосимметричных равновесий динамических систем с косимметрией тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Курдоглян Айк Варужанович

• Курдоглян Айк Варужанович
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Курдоглян Айк Варужанович

1.2.1 Постановка задачи

1.2.2 Влияние косимметрии на вид исследуемой системы

1.2.3 Устойчивость равновесий

1.2.4 Модельные системы и принцип их классификации

1.2.5 Классификация системы (1.51) по коразмерности вырождения

1.2.5.1 Случай общего положения

1.2.5.2 Случай одного вырождения

1.2.5.3 Первый случай двух вырождений

1.2.5.4 Второй случай двух вырождений

Приложение. Доказательство леммы

Глава 2. Устойчивость граничных равновесий систем с двумя

косимметриями

2.1 Постановка задачи

2.2 Описание метода

2.3 Критерии устойчивости

2.3.1 Условные обозначения

2.3.2 Выбор исследуемых систем

2.3.3 Случай нейтрального спектра а0(А) = {02, 0}

2.3.4 Случай нейтрального спектра а0(А) = {0,0, ±г^>}

2.3.5 Случай нейтрального спектра а0(А) = {03, 0}

2.3.6 Случай нейтрального спектра а0(А) = {02, 02}

2.3.7 Случай нейтрального спектра а0(А) = {02, 0, ±г^>}

2.3.8 Случай нейтрального спектра а0(А) = {0,0, ±г^2}

Глава 3. Полуинвариантная форма критериев устойчивости

3.1 Постановка задачи и описание метода

3.2 Системы с одной косимметрией

3.2.1 Случай нейтрального спектра а0(А) = {03}

3.2.2 Случай нейтрального спектра а0(А) = {02, ±г^>}

3.2.3 Случай нейтрального спектра а0(А) = {0, ±г^>}

3.3 Системы с двумя косимметриями

3.3.1 Случай нейтрального спектра а0(А) = {02, 0}

3.3.2 Случай нейтрального спектра &о(А) = {0,0, ±г^}

3.3.3 Случай нейтрального спектра а0(А) = {03, 0}

3.3.4 Случай нейтрального спектра а0(А) = {02, 02}

3.3.5 Случай нейтрального спектра а0(А) = {02, 0, ±г^>}

3.3.6 Случай нейтрального спектра (А) = {0,0, ±г^1,

Заключение

Список литературы

Приложение

Введение

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования.

Теорию косимметрий основал и глубоко развил Юдович В. И. в своих многочисленных работах [19-21,69-80]. Само понятие косимметрии введено им [69] в связи с объяснением необычных бифуркаций, обнаруженных в задаче двумерной фильтрационной конвекции. Любимов Д. В. рассмотрел [56] движение жидкости в пористой среде, подогреваемой снизу и заполняющей горизонтальный цилиндр с поперечным сечением произвольной формы. Как оказалось, возникновение одномерного семейства устойчивых стационарных течений является результатом первого бифуркационного перехода при возникновении конвективных движений. Юдович В. И. доказал [69] существование этого семейства и показал, что причиной такого перехода является существование нетривиальной косимметрии соответствующего дифференциального уравнения.

Системы с косимметрией исследовались с разных точек зрения. Например: влияние косимметрии на вид рассматриваемого уравнения [45,69, 75], бифуркации в окрестности некосимметричного равновесия [8-11,46,47], селекция равновесий [2,5], ответвление периодического и квазипериодического режимов от семейства равновесий [3, 4], разрушение косимметрии [1,35,49,80].

К настоящему времени найден ряд систем с нетривиальной косиммет-рией в задачах математической физики и биологии. Среди них: фильтрационная конвекция жидкости, в частности, многокомпонентной и магнитной, системы классической механики с симметричной потенциальной энергией модели фазовых переходов антиферромагнетиков, задачи о волнах на поверхности раздела жидкостей, биологические системы типа хищник-жертва.

Помимо Юдовича В. И., развитию теории косимметрий посвятил свои работы ряд исследователей. В том числе: Брацун Д. А., Говорухин В. Н.,

Гуфан Ю. М., Карасезен Б., Куракин Л. Г., Любимов Д. В., Макаренко Н. И., Цибулин В. Г. и их ученики.

В теории косимметрий численный эксперимент и теория опережали друг друга попеременно. Например, бифуркация ответвления предельного цикла от непрерывного семейства равновесий была обнаружена сначала численно, а затем теоретически исследована методом Ляпунова-Шмидта и методом центрального многообразия. В то же время, бифуркация ответвления тора (двупериодического режима) от непрерывного семейства равновесий была сначала обнаружена теоретически, а затем уже в вычислительном эксперименте.

Данная диссертация посвящена развитию общей теории косимметрии. В совместных работах Юдовича В. И. и Куракина Л. Г. развита общая теория бифуркаций, сопровождающих монотонную потерю устойчивости некосимметричного равновесия. При этом, применены методы Ляпунова-Шмидта и центрального многообразия для анализа как бифуркаций семейства равновесий, так и внутренних бифуркаций: переходов типа фокус-узел, узел-седло и т. д. при движении вдоль равновесного семейства.

Актуальным продолжением этих исследований является развитие локальной теории бифуркаций, сопровождающих монотонную потерю устойчивости, в окрестности косимметричного равновесия. Юдович В. И. исследовал такие бифуркации методом Ляпунова-Шмидта в частном случае, достаточном для применения к задаче фильтрационной конвекции.

Юдович В. И. доказал косимметричную версию теоремы о неявной функции не только для одной косимметрии, но и для мультикосиммет-рии [75]. Согласно этой теореме, если косимметрий несколько, например, п, то в условиях общего положения семейства равновесий являются п - параметрическими поверхностями. В работах Куракина Л. Г. [45,48] получены критерии устойчивости граничных некосимметричных равновесий в случае систем с одной косимметрией в критическом случае. Актуальным продолжением этих работ является аналогичное исследование граничных равновесий динамических систем с п косимметриями, начиная с п = 2. Важность

такого исследования также подкрепляется найденными к настоящему времени двумя моделями двукосимметричных систем в работах [22,63]. Общей проблемой применения известных критериев устойчивости граничных равновесий является вычисление коэффициентов модельной системы. Это особенно трудно, если система имеет большую размерность, хотя количество критических переменных может быть мало. В качестве решения такой проблемы в случае изолированных равновесий было предложено представление этих критериев в полуинвариантной форме: критерии выражены через корневые векторы линеаризованной системы и ее сопряженной. Поэтому актуально решение аналогичной проблемы в случае двух и даже одной косимметрии.

Методы исследования. Для исследования локальных бифуркаций [23,26,61] применяются методы Ляпунова-Шмидта [32] и центрального многообразия [64]. Устойчивость равновесий изучается методом линеаризации, прямым методом Ляпунова [58, 65, 68] и, в частности, методом построения растущих решений Шноля Э. Э. [7]. Для построения полуинвариантных формул [43,44] для критериев устойчивости граничных равновесий используется теория нормальных форм [24,28].

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование устойчивости и бифуркаций косимметричных/некосимметричных равновесий динамических систем с косимметрией»

Цель работы.

1. Развить аналитическими методами локальную теорию бифуркаций динамических систем при монотонной потере устойчивости косимметрич-ного равновесия в предположении обратимости косимметрии.

2. Исследовать устойчивость граничных некосимметричных равновесий в системах с двумя косимметриями.

3. Представить в полуинвариантной форме критерии устойчивости граничных некосимметричных равновесий в системах с одной и двумя ко-симметриями.

Области исследований. Диссертация соответствует следующим пунктам паспорта специальности 1.1.2 «Дифференциальные уравнения и математическая физика»

1. Общая теория дифференциальных уравнений и систем дифферен-

циальных уравнений.

2. Начально-краевые и спектральные задачи для дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений.

4. Качественная теория дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений.

5. Динамические системы, дифференциальные уравнения на многообразиях.

6. Нелинейные дифференциальные уравнения и системы нелинейных дифференциальных уравнений.

8. Аналитическая теория дифференциальных уравнений.

12. Асимптотическая теория дифференциальных уравнений и систем.

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретических характер. Тем не менее, ее результаты имеют и практическое значение, так как могут быть применены при обнаружении новых моделей математической физики и биологии.

Степень достоверности. Достоверность результатов диссертационного исследования обеспечивается строгостью доказательств, использующих методы Ляпунова-Шмидта, центрального многообразия, прямой метод Ляпунова и др. Положения диссертации, выносимые на защиту, прошли апробацию на конференциях, опубликованы в рецензируемых журналах, относящихся к списку ВАК.

Апробация результатов.

Существенная часть результатов диссертационного исследования выполнена и апробирована автором в его выпускной работе аспиранта кафедры вычислительной математики и математической физики ИММиКН им. И. И. Воровича ЮФУ в 2019 году.

На разных этапах данная работа поддерживалась Южным федеральным университетом (гранты МинОбрНауки № 1.5139.2011, 213.01-24/201369, 1.5169.2017/8.9, ВнГр.2020-04-ИМ), Южным математическим институтом ВНЦ РАН, Северо-Кавказским центром математических исследований ВНЦ РАН.

Результаты диссертационного исследования были представлены на следующих конференциях:

1) Современные методы, проблемы и приложения теории операторов и гармонического анализа (OTHA 2014, 2021, 2022, 2023, 2024).

2) Международная научная конференция «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования, XVII: Теория операторов и дифференциальные уравнения» (2023).

3) Всероссийская школа «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете» (2023, 2024).

4) Международный научный семинар «Теория операторов, дифференциальные уравнения и их приложения» (OTDE 2022, 2024).

5) Владикавказская молодежная математическая школа (ВММШ 2023, 2024).

Личный вклад автора. В совместный работах [1 — 4] постановка задач, обсуждение и интерпретация результатов проводились совместно с научным руководителем. Автору принадлежат формулировки и доказательства основных теоретических результатов, представленных в диссертационной работе.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 10 печатных работах [1 - 10]. Статьи [1, 2, 3, 4] входят в перечень научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертаций, защищаемых в диссертационном совете ЮФУ801.01.02. Статья [4] опубликована в журнале, входящем в базу данных Wos. Статья [2] опубликована в журнале, входящем в базу данных Scopus. Статьи [1, 3] входят в базу данных RSCI. Тезисы [5 - 10] опубликованы в сборниках трудов конференций.

Благодарности. Автор благодарит своего научного руководителя Куракина Леонида Геннадиевича за приобщение к принципам научного исследования, помощь в постановке исследовательских задач, многочисленные советы и сопровождение диссертационной работы.

Автор также благодарит

о свою семью в лице своего брата Курдогляна Армена Варужановича за всестороннюю поддержку с самого начала научной деятельности.

о кафедру Вычислительной математики и математической физики ИМ-МиКН им. И. И. Воровича в лице ее заведующего Жукова Михаила Юрьевича за многолетнюю поддержку в научно-исследовательской работе.

о ИММиКН им. И. И. Воровича в лице его директора Карякина Михаила Игоревича за обучение базовым математическим навыкам и финансовую поддержку.

о ЮМИ ВНЦ РАН в лице заведующего его отделением дифференциальных уравнений Ватульяна Александра Ованесовича и СКЦМИ ВНЦ РАН в лице его руководителя Кусраева Анатолия Георгиевича за организационную и финансовую поддержку в научной работе.

Структура и объем диссертационной работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, состоящего из 80 наименований. Главы разделены на параграфы, которые разделены на пункты. При этом некоторые пункты разделены на подпункты. Объем диссертационной работы — 132 страницы.

Обозначения в параграфах 1.1 и 1.2, главе 2 и главе 3 независимы. В первой главе независимы обозначения пункта 1.1.2 от обозначений пунктов 1.1.3 — 1.1.5. Во второй главе независимы друг от друга обозначения в пунктах 2.3.3 — 2.3.8, а в третьей главе — в пунктах 3.2.1 — 3.3.6.

Содержание работы

Теорию косимметрии основал Юдович В. И. [69]. Согласно введенному им определению, отображение Ь : Н ^ Н в гильбертовом пространстве Н называется косимметрией отображения Р : Н ^ Н или дифференциального уравнения

и = Р(и), и Е Н,

если Р и Ь ортогональны в каждой точке.

Равновесие дифференциального уравнения с косимметрией называется косимметричным, если оно является нулем косимметрии.

В первой главе методами Ляпунова-Шмидта и центрального многообразия развита локальная теория бифуркаций в окрестности косиммет-ричного равновесия.

В параграфе 1.1 исследованы бифуркации в окрестности косиммет-ричного равновесия в предположении, что косимметрия является произвольным нелинейным обратимым оператором и зависит от вещественного параметра. Показано, что изолированность косимметричного равновесия зависит от четности размерности динамической системы.

В теореме 1.1 пункта 1.1.1 доказано, что размерность рассматриваемой динамической системы и ядра ее матрицы линеаризации А на косим-метричном равновесии имеют одинаковую четность. В теореме 1.2 пункта 1.1.2 доказана неизолированность косимметричного равновесия в нечет-номерном случае, а в теореме 1.3 пункта 1.1.3 — его изолированность в случае общего положения четномерной динамической системы.

В пунктах 1.1.4 и 1.1.5 развита общая теория локальных бифуркаций семейств равновесий в окрестности косимметричного равновесия в случае, когда ядро матрицы А двумерно. Методом Ляпунова-Шмидта изучение бифуркаций сведено к анализу уравнений разветвления. Описан ряд сценариев ветвления семейств равновесий.

В теореме 1.4 пункта 1.1.4 описаны бифуркации в случае невырожденной линейной части уравнений разветвления:

(a) Прохождение косимметричного равновесия через семейство некосим-метричных.

(b) Столкновение-расхождение косимметричного равновесия и семейства некосимметричных.

(c) Двусторонняя седловая бифуркация.

(й) Одностороннее формирование равновесного цикла из косимметрич-ного равновесия.

(е) Потеря гладкости семейством равновесий при прохождении через ко-симметричное равновесие.

Юдович В. И. исследовал [69] локальные бифуркации в окрестности косимметричного равновесия методом Ляпунова-Шмидта в случае, когда косимметрия кососимметрична и не зависит от параметра. Так, в его работе, обратимость косимметрии заведомо нарушена в нечетномерном случае. Но, и при этих условиях, им были описаны бифуркации (а), (с) и (й).

В теореме 1.5 пункта 1.1.5 описаны бифуркации в случае вырожденной линейной части уравнений разветвления:

1 Столкновение-расхождение пары семейств равновесий с потерей их гладкости (угловая точка).

2 Двустороннее формирование равновесного цикла из косимметричного

равновесия.

3 Косимметричное равновесие изолировано при всех значениях параметра

сиситемы (бифуркации отсутствуют).

В пункте 1.2.1 параграфа 1.2 рассматривается двумерная динамическая система с обратимой косимметрией и двумерным ядром линеаризации на косимметричном равновесии. Такая система возникает при применении метода центрального многообразия к исходным уравнениям параграфа 1.1, когда спектр устойчивости матрицы А лежит в замыкании левой полуплоскости, а его нейтральная часть состоит из двукратного нуля. Кроме того, в отличие от параграфа 1.1, в параграфе 1.2 параметр системы предполагается т-мерным (т ^ 1).

В пункте 1.2.2 изучается влияние косимметрии на вид исходного уравнения. В теореме 1.6 пункта 1.2.2 доказано, что, в случае общего положения, исходная двумерная система обладает однопараметрическим

семейством некосимметричных равновесий вблизи косимметричного равновесия. В пункте 1.2.3 сформулированы условия устойчивости равновесий этого семейства. В пункте 1.2.4, в предположении спрямляемости семейства некосимметричных равновесий, описан принцип классификации исходной системы по четырем свойствам:

1* Тип косимметричного равновесия.

2* Число интервалов и лучей на равновесной прямой, полностью состоящих или из устойчивых, или из неустойчивых равновесий.

3* Взаимное расположение косимметричного равновесия и равновесной прямой.

4* (Только в случае седлового равновесия)

Число пересечений каждой из сепаратрис седла с равновесной прямой.

Кроме того, две системы принадлежат одному классу, если они совпадают с точностью до обратимой аналитической замены переменных, времени, параметра и обращения времени.

В пункте 1.2.5 описана классификация исходной системы в случае спрямляемого семейства равновесий, когда коразмерность вырождения исходной системы не превышает двух. Все 28 непустых классов приведены в таблицах 2 — 7 и в соответствующих им фазовых портретах на Рис. 4, 6 — 10. В теоремах 1.7 и 1.8 доказана полнота указанных таблиц в тех случаях, когда этот факт не является тривиальным.

Результаты первой главы описаны в работах [14,53-55]. Вторая глава посвящена исследованию устойчивости граничных неко-симметричных равновесий динамических систем с двумя косимметриями.

В параграфе 2.1 описана постановка задачи и влияние косимметрий на вид исходного уравнения. Рассматривается динамическая система и = Р (и) в п-мерном евклидовом пространстве с двумя косимметриями Ь\ и ¿2.

Считаются выполненными следующие предположения:

Предположение 10: Исходные уравнения имеют некосимметричное равновесие и0.

Предположение 20: Система векторов {Ь\(и0), Ь2(и0)} является линейно независимой.

Предположение 30: Выполнено условие минимальности вырождения: ядро оператора А = Р'(и0) является двумерным.

Предположение 40: Спектр &(А) представляет собой объединение непересекающихся спектральных множеств &(А) = а0(А) и а-(А), причем а0(А) — нейтральный спектр, лежащий на мнимой оси, а &-(А) — устойчивый спектр, расположенный внутри левой полуплоскости.

При этих предположениях, исходная система обладает двумерным семейством равновесий $. К этой системе применяется метод центрального многообразия, а семейство $ приводится к плоскому виду.

В параграфе 2.2 описаны следующие этапы исследования устойчивости граничных равновесий.

1) Строится система, получившая название модельной. Для этого находится сужение исходной системы на нейтральное многообразие. Полученная система приводится к нормальной форме до некоторого порядка [24]. Сохраняется лишь конечное число слагаемых ряда Тейлора ее правой части.

2) Исследуется устойчивость равновесия модельной системы.

3) Условия устойчивости равновесий модельной системы переносятся на полное уравнение.

В случае, когда требуется доказать неустойчивость нулевого равновесия, всюду далее применяется метод, предложенный в работе [7]. Этот подход состоит в следующем:

1. Строится так называемая квазиоднородная модельная система.

2. Предъявляется отвечающее модельной системе растущее решение. Это решение доказывает неустойчивость нулевого равновесия модельной системы.

3. Выполняется проверка условий теоремы, предложенной Шнолем Э. Э.

(см. теорему 4.1). Эта теорема гарантирует возможность перенесения результата неустойчивости с модельной системы на исходную.

В параграфе 2.3 построены критерии устойчивости граничных равновесий системы на нейтральной поверхности. В пункте 2.3.1 введены краткие обозначения. В частности, жорданова форма сужения матрицы А на нейтральную поверхность описывается перечислением жордановых клеток нейтрального спектра устойчивости а"0(А). Например, нейтральному спектру а0(А) = {02,0, ±ш} соответствует следующая жорданова матрица на нейтральной поверхности:

/ 0 1 0 0 0 \

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 гш 0

\ 0 0 0 0 —гш /

В пункте 2.3.2 описан выбор шести исследуемых систем по коразмерности вырождения. Соответствующие нейтральные спектры имеют вид: {02, 0}, {03, 0}, {02, 0, ±ш},

{0, 0, ±^}, {02, 02}, {0, 0, ±г^х, ±г^}. С учетом двух параметров семейства некосимметричных равновесий рассматриваемых уравнений, выше перечислены все нейтральные спектры устойчивости, возникающие в случае общего положения в классе динамических систем с двумя косимметриями, за исключением тривиального случая &о(А) = {0,0}. Исследованию устойчивости нулевого равновесия в каждом из шести перечисленных случаев и посвящены шесть пунктов 2.3.3 — 2.3.8.

Результаты второй главы описаны в работах [50-52].

Третья глава посвящена построению полуинвариантной формы критериев устойчивости, полученных во второй главе и аналогичных критериев в случае систем с одной косимметрией [45,48], которым отвечают следующие нейтральные спектры устойчивости:

{03}, {02, ±ш}, {0,

В параграфе 3.1 введена изучаемая система и описан алгоритм построения полуинвариантных формул, предложенный в работе [43]. При этом принята следующая схема изложения результатов:

1) приводятся условия вырождения линейной части. Определяется нейтральный спектр а0 и вводится проектор Р0 на нейтральное подпространство;

2) приводится уравнение на нейтральном многообразии в нормальной форме.

3) приводится модельная система — уравнение на нейтральном многообразии, где выписываются лишь те члены разложения, которые участвуют в критерии устойчивости; приводится полуинвариантная форма критерия устойчивости.

В каждом из пунктов 3.2.1 — 3.2.3 параграфа 3.2, полуинвариантные формулы построены для систем с одной косимметрией, а в каждом из пунктов 3.3.1 — 3.3.6 параграфа 3.3 — для систем с двумя косим-метриями.

Результаты третьей главы описаны в работах [12,13,15].

В заключении приведены основные положения, выносимые на защиту.

Глава 1. Локальная теория бифуркаций динамических систем в окрестности косимметричного равновесия

1.1 Метод Ляпунова-Шмидта для системы с обратимой косим-метрией

1.1.1 Косимметрия. Основные понятия и теорема о ядре линеаризованной матрицы на косимметричном равновесии

Рассмотрим ОДУ в п-мерном евклидовом пространстве

0 = ^ (0,А) (1.1)

с вещественным параметром А € Л С К, определенным на интервале Л. Здесь ^ : х Л ^ — аналитический оператор, который допускает гладкую косимметрию Ь : х Л ^ : (0,А) ^ Ь(в, А), зависящую от параметра А. Это означает [8, 19,69], что при всех 0 € А € Л

выполняется следующее равенство:

(^(0,А), Ь(0,А)> =0, (1.2)

где (•, •> означает скалярное в евклидовом пространстве . Дифференцируя (1.2), приходим к тождеству

^'*(0, А) Цв, А) + ¿'*(0, А) ^(0, А) = 0. (1.3)

Здесь знак ' означает производную по переменной 0, а знак * означает сопряжение.

Предположим, что уравнение (1.1) при некоторых А = А0 имеет равновесие 0о, так что

^(0о, Ао) = 0.

Случай некосимметричного равновесия 0о (Ь(0о, Ао) = 0) изучен Юдо-вичем В. И. [8,19,69]. Он заметил, что вектор Ьо = Ь(0о, Ао) принадлежит ядру оператора А*, сопряженного к производной А = ^'(0о, Ао). Если ядро == кег А одномерно, то, локально, вблизи точки (0о,Ао) множество

равновесий уравнения (1.1) образует двумерную поверхность в Н0 х и, заданную равенством

0 = 00 + 5 + X (8,6),

где 6 = Л — А0 Е и С К, а в — произвольная точка прямой Н0 с достаточно малой нормой. Отображение X : Н0 х и ^ Н\, Н\ = 0 Н0 определено, аналитично в окрестности нуля в Н0 х и и удовлетворяет равенствам:

х (о, о) = 0, х; (0,0) = 0.

Рассмотрим случай, когда равновесие в0 косимметрично, так что оно является нулем как функции Г, так и косимметрии Ь:

Цв0,\0) = 0.

Пусть В = Ь'(90,\0). Из соотношения (1.3) вытекает равенство [20,69]:

А*В + В = 0. (1.4)

Всюду далее предполагается, что det В = 0.

Теорема 1.1. Пусть равновесие в0 косимметрично и det В = 0. Тогда, размерность п пространства и ядро Н0 = кег А имеют одинаковую четность.

Доказательство. Выражение А = —В *—1А*В

следует из равенства (1.4) и обратимости матрицы В. Следовательно:

det А = (—1)п det В*-1 det А* det В = (—1)п det А.

Так, матрица А вырождена при нечетном п: det А = 0.

Из тождества (1.4) следует, что матрица А*В кососимметрична, а поэтому имеет четный ранг [33]. Из неравенства det В = 0 следует, что ядра матриц А и А*В совпадают. Следовательно, ядро Н0 имеет нечетную размерность при нечетных п. В четномерном случае, если ноль является собственным значением матрицы А, то Н0 имеет четную размерность.

□

Замечание 1.1. Если Rn нечетномерное (четномерное) пространство, то в условиях общего положения dim Яо = 1 (Яо = {0}). Если Rn четно-мерное пространство, det А = 0 и нет дополнительных вырождений, то dim Яо = 2.

1.1.2 Случай нечетномерного пространства Жп

Следующая теорема обосновывает неизолированность косимметричного равновесия в условиях общего положения, когда пространство Rn нечетномер-но.

Теорема 1.2. Пусть евклидово пространство Rn имеет нечетную размерность и выполнены следующие предположения:

1. Отображения F и L определены в некоторой окрестности точки (0о, А0). Более того, F — аналитическое, а L — гладкое отображение.

2. Уравнение (1.1) имеет косимметричное равновесие 0о при всех А £ Л:

F(0о, А) = 0, (1.5)

L(0o,A) = O. (1.6)

3. det В = 0.

4. Ядро Яо одномерно.

5. Яо = #о, где Яо* =f ker А*.

Тогда, при всех А из некоторой окрестности точки Ао, косимметричное равновесие 0о не изолировано. Точнее, локально, вблизи точки (0о, Ао), множество решений уравнения

F (0,А) = 0 (1.7)

представляет собой двумерную поверхность в Но, заданную равенством:

в = Q(xo,5), Q(xo,6) == во + же + Т (хо,6), (1.8)

где 5 == X — Л0 G Q, х0 — произвольная точка прямой Н0 с достаточно малой нормой, а отображение Т : V0 ^ Н1 определено, аналитично в окрестности нуля в V0 С Н0 х Q и выполнены равенства:

Т (0,0) = 0, т'х о (0,0) = 0.

Замечание 1.2. Уравнения равновесий F(в,Х) =0 и MF(в,Х) = 0 эквивалентны, если М является постоянной обратимой n-мерной матрицей. Выбирая матрицу М, можно добиться выполнения условия 5 (см., например, [10, Proposition 2.2]).

Доказательство. Выберем р0 G Н0, ро = 0. Из равенства (1.4) и условий 3 — 5 теоремы 1.2 следует, что Вро G Н0 и {ро, Вро) = 0. Выберем

фо == r^h' (1.9)

так что {р0, Ф0) = 1.

Определим проектор Р0 : Н ^ Н0 и его дополнение Р\, полагая

Ров == {в, Фо) ifo, Pi == I — Ро. (1.10)

Далее мы следуем работе [10, section II]. Используя метод Ляпунова-Шмидта [32], будем искать решения уравнения (1.7) вблизи точки (0о,Хо) в форме:

в = в0 + х0 + х1, X = А0 + 5.

Полагая х0 == Р0(9 — 0е), х1 == Р1(9 — 0е), приводим уравнение

F (во + хо + xi,Xo + 5) = 0

к системе

РоР (во + Жо + Х1,\о + 6) = 0, (1.11)

PiF (во + жо + Х1,\о + 6) = 0. (1.12)

Сужение Р^ на является обратимым оператором, так что к уравнению (1.12) применима теорема о неявной функции [39] и ж1 можно выразить через жо:

Ж1 = Т (ж0,£). (1.13)

Отображение Т обладает свойствами, указанными в теореме 1.2. Подставляя (1.13) в (1.11) получаем уравнение разветвления:

й (®о,Я) = 0, (1.14)

где отображение : Ро ^ Щ имеет вид:

(®о, ¿) = Р5), А0 + 5) = Р0Р №о, ¿), А0 + ¿),

а отображение Q : Ро ^ записывается в виде:

д(Жо,£) = 0О + Жо + т (ж0,£).

Рассмотрим отображение ^ : Ро ^ :

^о : (ж0, ¿) ^ ^(ж0, ¿) = Р0Ь(д(жо, ^), А0 + ¿).

Оно является косимметрией уравнения разветвления (1.14). Действительно, подставляя (1.8) в косимметричное тождество (1.2), получаем:

0 = (Р(0, Л), Р(0, А)> = (Р(фОсо, 5), А0 + 5), Ь(д(жо, ¿), А0 + ¿)> =

= (р5), а0 + 5), Р0*Р(№0, А0 + ¿)> = (1.15)

= (50 (ж0,£ ),р0 (жо,£)>.

Учитывая (1.10) и (1.9), перепишем тождество (1.15) в виде

/(ж0,£) > = 0,

где

/(ж0,£) = (^(ж0,£), Фо>, = (Ро(жо,£), Фо>.

Величину жо € Ро можно записать в виде жо = , где и € К. Ввиду соотношения (1.9), в окрестности точки (и, £) = (0, 0) справедлива асимптотика:

¿) = (Яро, Фо>и + 0(м2 + Н) = > и + 0(и2 + 1) = 0.

Из косимметричности равновесия 90 при всех 6 £ Q следует, что

f (0,6) = д(0,6) = 0.

Функция д(ир0,6) отлична от нуля в окрестности точки (и, 6) = (0,0), за исключением прямой (0,£). Отсюда следует, что формула (1.8) определяет

непрерывное однопараметрическое семейство равновесий уравнения (1.7).

□

Заметим, что возникает вопрос об устойчивости неизолированного ко-симметричного равновесия. В случае некосимметричного равновесия этот вопрос изучен, в частности, в работах [12,45].

1.1.3 Метод Ляпунова-Шмидта в случае четномерного пространства Rn

Пусть выполнены следующие предположения.

1o. Отображение F и его косимметрия L аналитичны по переменным в, X в некоторой окрестности точки (0*,Хо).

2o. Равновесие в0 косимметрично при всех А £ Л, так что выполнены равенства (1.5) и (1.6). 3o. det В = 0.

4o. Ядра Но = ker А и Н* = ker А* двумерны. 5o. Но = Я**.

Далее для исследования бифуркаций в окрестности косимметричного равновесия 90 применяется метод Ляпунова-Шмидта. Аналогичное исследование бифуркаций в окрестности изолированного равновесия в случае двукратного нулевого собственного значения проведено в статьях [29,30]), а в случае простого нуля и пары чисто мнимых собственных значений — в статье [38]. При этом общие сведения о теории бифуркаций можно найти в лекциях [23] и книгах [26,32,61].

Заметим, что в [69] такие бифуркации изучены в частном случае, когда оператор А симметричен, а косимметрия L является линейной, косо-симметричной и не зависит от параметра.

Через

{^1, ^2}, {Ф1, Ф2} обозначим биортогональный базис в Яо:

(<£1, Ф1> = (^2, Ф2> = 1, (^1, Ф2> = (^2, Ф1> = 0.

Определим ортогональный проектор Р1 на подпространство Я1 = © Яо: Р^ = в -(0, Ф1 > ^ -(0, Ф2> ^2.

Обозначим через Л1 сужение оператора Р^ на Я1, а через Р — его обратный Р = А-1.

Аналогично теореме 1.2, получим формулу (1.8), где

жо = + ^2, и = (0 - 0о, Ф1> , V = (0 - 0о, Ф2> , (1.16)

а Т : Ро ^ Я1 — отображение, определенное и аналитичное в некоторой окрестности нуля в Ро С К3. Двумерная система уравнений разветвления, из которой находятся и, V € К, записывается в виде:

Л(«,М) = 0, /2(«,М) = 0. (1.17)

Здесь

£ (и, V, 5) = (Р(^(жо, 5), Ао + 5), Ф,> , з = 1, 2, где функция ф(жо,£) определена формулами (1.8), (1.16).

Уравнения разветвления (1.17) допускают косимметрию £ =

Р,= (Р(^(^о,^),Ао + 5), щ>, ; = 1,2, так что при всех и, -и, £ справедливо тождество: /1Р1 + /2 Р2 = 0.

Ввиду равенства (1.4) и det В = 0, векторы € Я*, и верны

соотношения

= «цФ1 + «12Ф2, = «2^1 + «22Ф2,

а:

при некоторых а^ £ К, удовлетворяющих неравенству:

аПа22 — ^12^22 = 0.

(1.18)

Из условия (1.6) следует, что

¿1(0,0,£) = ¿2(0,0,£) = 0

при всех 6 в малой окрестности нуля, а функции Ь1 и Ь2 при малых и, V и 6 имеют следующую асимптотику:

Ь1(и,у, 5) = (Фь Ф1> • (а11и + а21 V) + 0(и2 + V2 + \и,51 + |), Ь2(и,У, 6) = (Ф2, Ф2> • (®12и + «22 V) + 0(и2 + V2 + ^б | + И |). Из неравенства (1.18) следует, что функции /1 и /2 можно записать в

Здесь к = к(и,у,5) — аналитическая функция с разложением в ряд Тейлора:

где многоточие означает слагаемые третьей степени и выше. Запишем функции /1 и Ь2 в виде рядов:

виде:

¡1 = Ь2к, ¡2 = —Ь1к.

(1.19)

к(и,ю, 6) = кши + коюУ + коо1д + к2оои2 + Ы2№2+ + коо2$2 + кцоиу + кшид + Ьоцюб + ...,

(1.20)

00

¡\(и,у,6) = ^2азк1и3^й1, а1оо = аою = 0,

1=о

00

Ь2(и,У,6) = ^ ^2Сзк1^^б1.

1=о

Существенные далее коэффициенты ajki, Cjki задаются выражениями:

«200 = 2 (^0V2, Фх) , «110 = ), Ф1>,

«101 = <F0a^1, Ф1> ,

«011 = (^0л^2, Ф1> ,

«020 = 2 (*?'^2, Ф1> ,

«300 = 6(3F0'(^1,T'V2) + V3, Ф1> ,

«030 = 6 (3F0'(^2,TV2) + F0V2, Ф1>,

«210 = 1 (К(^V?) + 2F0')) + F0"((^2), Ф1) , «120 = 2 (^1,TV2) + 2^0'(^2,Т"(^2,^1)) + ^0>2,Ы, Ф1> ,

аш = ) + F0'+ ) + ), Ф1> ,

«201 = 2 (2F0'(<^,7» + ^ + F0AT'V1, Ф1) , «021 = 2 (2^0'(^2,1» + + F0AT'V2, Ф1> .

С100 = 1 (L0^1, Ф2> , С010 = 1 (^0^2, Ф2> ,

С200 = 2 (r'V2 + ¿0Pi, Ф2> , С110 = (Т%1,^) + (^1,^), Ф2>,

С101 = (1>1 + Ф2> , С011 = (1>2 + £>2, Ф2> ,

С020 = 2 (^'V2 + ¿0^2, Ф2> .

Здесь использованы формулы (j = 1, 2):

^ = -ДР^,, TV? = -ДР^2, Т' = (^1,^2).

В обозначении Р0, штрих означает дифференцирование по а индекс ноль означает, что производная вычислена в точке (00, А0).

Из невырожденности косимметрии L уравнения разветвления следует, что коэффициенты с100 и с010 не обращаются в ноль одновременно. Коэф-

(1.21)

фициенты \ijki разложения (1.20), при сюо — 0 имеют вид:

, а-200 , агог , апо — сою^юо

тоо —-, ^оог —-, пою —-■

сюо сюо сюо

, а-зоо — С2ооп1оо , &1о2 — сЮ1Поо1

п2оо — -, поо2 — -,

сгоо сюо

й2ог — сюгНюо — С2оопоог

п1о1 —-,

сгоо

Й2Ю — Союп2оо — Спо^Юо — С2ооПоЮ

П11о — -,

Сюо

О-Ш — Сою^По — Со2оп1оо — Сцо^оЮ

по2о — -,

Сюо

«111 — Союпю1 — СоцНюо — Сш^оЮ — СцоНоо1

по11 — -.

Сюо

В случае со1о — 0, все индексы jkl в формулах (1.21) заменяются индексами ^1.

Из предположений 2°, 3° и представления (1.19) следует, что уравнения разветвления (1.17) имеют нулевое решение при всех значениях параметра 5. Другие решения системы (1.17), (1.19) сводятся к одному уравнению

И(и,у,6) — 0. (1.22)

В случае Ноо1 — 0, решая уравнение (1.22) относительно 5, получим соотношение

б — g(u,v),

где д — аналитическая функция в окрестности нуля, однозначно определяемая условием д(0,0) — 0.

Из описанного выше следует теорема.

Теорема 1.3. Рассмотрим уравнение (1.1) с косимметрией Ь. Пусть выполнены условия 1° — 5°, пространство четномерно и коо1 — 0 (см. (1.21)).

Тогда, при малых 5, верны следующие утверждения: 1) Косимметричное равновесие 9о уравнения (1.1) изолировано, если 5 — 0. При 5 — 0, оно изолировано (не изолировано), если функция

в окрестности точки (м,^) = (0, 0) является знакоопределенной (знакопеременной).

2) Решения уравнения (1.22) образуют линии уровня аналитической функции g в некоторой окрестности нуля в плоскости переменных (и, v). Каждое малое решение (и, -и) уравнения (1.22) отвечает единственному равновесию уравнения (1.1). У системы (1.1) нет других равновесий, кроме равновесия в0, когда 5 = 0.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Курдоглян Айк Варужанович, 2025 год

Список литературы

[1] Bratsun, D. A. Co-symmetry breakdown in problems of thermal convection in porious medium / D. A. Bratsun, D. V. Lyubimov, B. Roux // Physica D. — 1995. V. 82, no. 4. P. 398 — 417.

[2] Govorukhin, V. N. Bifurcations and selection of equilibria in a simple cosymmetric model of filtrational convection / V. N. Govorukhin, V. I. Yudovich // Chaos. — 1999. — Vol. 9, no. 2. P. 403 — 412.

[3] Govorukhin, V. N. Scenarios Of The Onset Of Unsteady Regimes In The Problem Of Plane Convective Flow Through A Porous Medium / V. N. Govorukhin, I. V. Shevchenko // Fluid Dynamics. — 2006. — Vol. 41, no. 6. P. 967 — 975.

[4] Govorukhin, V. N. Multiple Equilibria, Bifurcations And Selection Scenarios In Cosymmetric Problem Of Thermal Convection In Porous Medium / V. N. Govorukhin, I. V. Shevchenko // Physica D: Nonlinear Phenomena. — 2017. — Vol. 361. P. 42 — 58.

[5] Govorukhin, V. N. Multistability, scattering and selection of equilibria in the mechanical system with constraint / V. N. Govorukhin, Tsybulin V. G. // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. — 2021. — Vol. 95. Article 105602.

[6] Govorukhin, V. N. Bifurcations phenomena and route to chaos via the cosymmetry breaking in the Darcy convection problem / V. N. Govorikhin // Physica D: Nonlinear Phenomena. — 2024. — Vol. 460. Article 134092.

[7] Khazin, L. G. Устойчивость критических положений равновесия / L.G.Khazin, E. E. Shnol. — Manchester University Press, 1991. — 208 p.

[8] Kurakin, L. G. Bifurcation of the branching of a cycle in n-parameter family of dynamic systems with cosymmetry / L. G. Kurakin, V. I. Yudovich // Chaos. — 1997. — Vol. 7, no. 3. P. 376 — 386.

[9] Kurakin, L. G. On the branching of 2D-tori off an equilibrium of a cosymmetric system (codimension-1 bifurcation) / L. G. Kurakin, V. I. Yudovich // Chaos. — 2001. — Vol. 11, no. 4. P. 780 — 794.

[10] Kurakin, L. G. Bifurcations accompanying monotonic instability of an equilibrium of a cosymmetric dynamical system / L. G. Kurakin, V.I.Yudovich // Chaos. — 2000. — Vol. 10. no. 2. P. 311 — 330.

[11] Kurakin, L. G. Bifurcations under monotone loss of stability of equilibrium in a cosymmetric dynamical system / L. G. Kurakin, V. I. Yudovich // Dokl. Math. — 2000. — Vol. 61, no. 3. P. 433 — 437.

[12] Kurakin, L. G. Semi-invariant form of equilibrium stability criteria for systems with one cosymmetry / L. G. Kurakin, A. V. Kurdoglyan // Russian Journal of Nonlinear Dynamics. — 2019. — Vol. 15, no. 4. P. 525 — 531.

[13] Kurakin, L. G. Semi-Invariant Form of Equilibrium Stability Criteria for Systems with One or Two Cosymmetries / L. G. Kurakin, A. V. Kurdoglyan // ANS Conference Series: Scientific Heritage of Sergey A. Chaplygin (Nonholonomic Mechanics, Vortex Structures and Hydrodynamics). Book of Abstracts. — 2019. — P. 119.

[14] Kurakin, L. G. On the Isolation/Nonisolation of a Cosymmetric Equilibrium and Bifurcations in its Neighborhood / L. G. Kurakin, A. V. Kurdoglyan // Regular and Chaotic Dynamics. — 2021. — Vol. 26, no. 3. P. 258 — 270.

[15] Kurakin, L. G. Semi-Invariant Form of Equilibrium Stability Criteria for Systems with Two Cosymmetries / L.G. Kurakin, A. V. Kurdoglyan // Physics and Mechanics of New Materials and Their Applications. Abstracts & Schedule. Kitakyushu, Japan. — 2021. — P. 160 — 161.

[16] Kuznetsov, Yu. A. Numerical Normalization Techniques For All Codim 2 Bifurcations Of Equilibria In Ode'S / Yu. A. Kuznetsov // Siam Journal On Numerical Analysis. — 1999. — Vol. 36, no. 4. P. 1104 — 1124.

[17] Milnor, J.W. Morse theory / J.W. Milnor. — Annals of Mathematics Studies no. 51, Princeton University Press, 1963. — 153 p.

[18] Saint Raymond, X. Elementary introduction to the theory of pseudodifferential operators / X. Saint Raimond. — Routledge, 1991. — 108 p.

[19] Yudovich, V. I. Secondary cycle of equilibria in a system with cosymmetry, its creation by bifurcation and impossibility of symmetric treatment of it / V.I.Yudovich // Chaos. — 1995. — Vol. 5, no. 2, P. 402 — 411.

[20] Yudovich, V. I. The cosymmetric version of the implicit function theorem / V.I.Yudovich // Linear topological spaces and complex analisis (METU-TUBITAK, Ankara). — 1995. — Vol. 2. P. 105 — 125.

[21] Yudovich, V. I. Cycle-creating bifurcation from a family of equilibria of a dynamical system and its delay / V. I. Yudovich // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. — 1998. — Vol. 62, no. 1. P. 19 — 29.

[22] Амитон, А.Д. Модель динамической системы с двумя косимметриями / А. Д. Амитон. — Деп. в ВИНИТИ 17.02.98, №465-B98, 1998. — 31 с.

[23] Арнольд, В. И. Лекции о бифуркациях и версальных семействах / В.И.Арнольд // Успехи мат. наук. — 1972. — Т. 27, №5. С. 119 — 184.

[24] Арнольд, В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений / В. И.Арнольд. — М.: Наука, 1978. — 304 с.

[25] Арнольд, В. И. Особенности дифференцируемых отображений. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов / В. И. Арнольд, А. Н. Варченко, С. М. Гусейн-Заде. — М.: Наука, 1982. — 304 с.

[26] Арнольд, В. И. Теория бифуркаций // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления / В.И.Арнольд, В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, Л. П. Шильников. — М.: ВИНИТИ, 1986. — Т. 5. С. 5 — 220.

[27] Баутин, Н. Н. Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости / Н.Н. Баутин. — М.-Л.: Наука, 1984. — 176 с.

[28] Белицкий, Г. Р. Нормальные формы, инварианты и локальные отображения / Г. Р. Белицкий. — Киев: Наукова думка. — 1979. — 176 с.

[29] Богданов, Р. И. Бифуркации предельного цикла одного семейства векторных полей на плоскости / Р. И. Богданов // Тр. семинаров им. И. Г. Петровского. — 1976. — №2. С. 23 — 36.

[30] Богданов, Р. И. Версальная деформация особой точки векторного поля на плоскости в случае нулевых собственных чисел / Р. И. Богданов // Тр. семинаров им. И. Г. Петровского. — 1976. — №2. С. 37 — 65.

[31] Брюно, А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений / А. Д. Брюно. — М.: Наука, 1979. — 253 с.

[32] Вайнберг, М. М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М.М.Вайнберг, В. А. Треногин. — М.: Наука, 1969. — 528 с.

[33] Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. 2-е издание, дополненное — М.: Наука, 1966. — 576 с.

[34] Говорухин, В. Н. Численное исследование потери устойчивости вторичными стационарными режимами в задаче плоской конвекции Дарси // Докл. РАН. — 1998. — Т. 363, №6. С. 772 — 774.

[35] Говорухин, В. Н. Мультистабильность и эффекты памяти в динамической системе с косимметричным потенциалом // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика / В.Н.Говорухин, В. Г. Цибулин, М.Ю.Тяглов. — 2020. — Т. 28, №3. С. 259 — 273.

[36] Демидович, Б. П. Лекции по математической теории устойчивости / Б. П. Демидович. — М.: Наука, 1967. — 472 с.

[37] Епифанов, А. В. О динамике косимметричных систем хищников и жертв / А.В.Епифанов, В. Г. Цибулин // Компьютерные исследования и моделирование. — 2017. — Т. 9, №5. С. 799 — 813.

[38] Жолондек, Х. О версальности одного семейства симметричных векторных полей на плоскости / Х. Жолондек // Мат. сб. — 1983. — Т. 120, №4. С. 473 — 499.

[39] Зорич, В. А. Математический анализ / В. А. Зорич. — Издательство МЦНМО, 2019. — 564 с.

[40] Каменков, Г. В. Устойчивость движения. Колебания. Аэродинамика // Избранные труды. Т. 1 / Г.В.Каменков. — М.: Наука, 1971. — 261 с.

[41] Каменков, Г. В. Устойчивость и колебания нелинейных систем // Избранные труды. Т. 2 / Г.В.Каменков. — М.: Наука, 1972. — 214 с.

[42] Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин. — М.: Наука, 1976. — 543 с.

[43] Куракин, Л. Г. Полуинвариантная форма критериев устойчивости равновесия в критических случаях / Л. Г. Куракин, В. И. Юдович // Прикладная математика и механика. — 1986. — Т. 50, №5. — С. 707 — 711.

[44] Куракин, Л. Г. Критические случаи устойчивости равновесий дифференциальных уравнений и отображений / Л. Г. Куракин — Дис. канд. физ.-мат. наук. Ростов н/Д: РГУ, 1991. — 140 стр.

[45] Куракин, Л. Г. Критические случаи устойчивости. Обращение теоремы о неявной функции для динамических систем с косимметрией / Л. Г. Куракин // Матем. заметки. — 1998. — Т. 63, №4. С. 572 — 578.

[46] Куракин, Л. Г. Бифуркация ответвления цикла от семейства равновесий динамической системы с мультикосимметрией / Л. Г. Куракин,

В.И.Юдович // Дифференц. уравнения. — 2000. — Т. 36, №10. С. 1315 — 1323.

[47] Куракин, Л. Г. Применение метода Ляпунова-Шмидта в задаче ответвления цикла от семейства равновесий системы с мультикосимметрией / Л.Г.Куракин, В.И.Юдович // Сиб. матем. журн. — 2000. — Т. 41, №1. С. 136 — 149.

[48] Куракин, Л. Г. Об устойчивости граничных равновесий в системах с косимметрией / Л.Г.Куракин // Сиб. матем. журн. — 2001. — Т. 42, №6. С. 1324 — 1334.

[49] Куракин, Л. Г. О бифуркациях равновесий при разрушении косиммет-рии динамической системы / Л. Г. Куракин, В. И. Юдович // Сибирский матем. журнал. — 2004. — Т. 45, №2. С. 356 — 374.

[50] Куракин, Л. Г. Исследование устойчивости равновесий дифференциальных уравнений с двумя косимметриями в критическом случае с жордановой клеткой / Л.Г.Куракин, А. В. Курдоглян // VIII международный симпозиум Ряды Фурье и их приложения. Секция 1. Дифференциальные уравнения. Тезисы докладов. Издательство СКНЦ ВШ ЮФУ. — 2014. — С. 58.

[51] Куракин, Л. Г. Критические случаи устойчивости равновесий в дифференциальных уравнениях с двумя косимметриями / Л. Г. Куракин, А. В. Курдоглян // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. — 2018. — №1. С. 26 — 32.

[52] Куракин, Л. Г. О применении критериев устойчивости равновесия для систем дифференциальных уравнений с двумя косимметриями в критических случаях / Л. Г. Куракин, А. В. Курдоглян // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. — 2020. — №1. С. 11 — 16.

[53] Куракин, Л. Г. Бифуркации в окрестности косимметричного равновесия системы с обратимой косимметрией / Л. Г. Куракин, А. В. Курдоглян // Математический форум (Итоги науки. Юг России). — 2023. — Т. 15. С. 189.

[54] Курдоглян, А. В. Исследование бифуркаций в окрестности косиммет-ричного равновесия динамической системы с обратимой косимметрией / А. В. Курдоглян, Л. Г. Куракин // В книге: Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов XVII Всероссийской школы. Ростов-на-Дону. — 2023. — С. 60.

[55] Курдоглян, А. В. Классификация динамических систем с обратимой косимметрией в окрестности их косимметричного равновесия в некоторых случаях коразмерности 2 / А. В. Курдоглян, Л. Г. Куракин //В книге: Математическое моделирование и биомеханика в современном университете. Тезисы докладов XVIII Всероссийской школы. Ростов-на-Дону. — 2024. — С. 59.

[56] Любимов, Д. В. О конвективных движениях в пористой среде, подогреваемой снизу / Д.В.Любимов // Журнал прикл. мех. и техн. физики. — 1975. — №2. С. 131 — 137.

[57] Ляпунов, А. М. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения / А. М. Ляпунов // Собр. сочинений. Т. 2. М.: АН СССР. — 1956. — С. 272 — 331.

[58] Ляпунов, А. М. Общая задача об устойчивости движения / А.М.Ляпунов. — Гостехиздат., 1950. — 471 с.

[59] Ляпунов, А. М. Исследование одного из особенных случаев задачи об устойчивости движения / А. М. Ляпунов. — Л.: издательство ЛГУ, 1963. — 116 с.

[60] Малкин, И. Г. Теория устойчивости движения / И. Г. Малкин. — М.: Наука, 1966. — 531 с.

[61] Марсден,Дж. Бифуркация рождения цикла и ее приложения / Дж.Марсден, М. Мак-Кракен. — М.: Мир, 1980. — 368 с.

[62] Мишина, А. П. Высшая алгебра, серия «Справочная математическая библиотека» / А.П.Мишина, И.В.Проскуряков. — М.: Физматгиз., 1962. — 301 с.

[63] Нгуен, Б.Х. Мультистабильность для системы трех конкурирующих видов / Б.Х. Нгуен, В. Г. Цибулин // Компьютерные исследования и моделирование. — 2022. — Т. 14, №6. С. 1325 — 1342.

[64] Плисс, В. А. Принцип сведения в теории устойчивости движения. /

B. А. Плисс // Изв. АН СССР, серия математическая. — 1964. — Т. 6.

C. 1297 — 1324.

[65] Румянцев, В. В. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных / В.В.Румянцев, А. С. Озиранер. — М.: Наука, 1987. — 254 с.

[66] Руш,Н. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости / Н.Руш, П. Абетс, М.Лалуа. — М.: Мир, 1980. — 300 с.

[67] Хазин,Л.Г. Об устойчивости положений равновесия в критических случаях и в случаях, близких к критическим / Л. Г. Хазин, Э. Э. Шноль // ПММ. — 1981. — Т. 45, №4. С. 595 — 604.

[68] Четаев, Н. Г. Устойчивость движения. 3-е изд. / Н. Г. Четаев. — М.: Наука, 1965. — 176 с.

[69] Юдович, В. И. Косимметрия, вырождение решений операторных уравнений, возникновение фильтрационной конвекции / В. И. Юдович // Матем. заметки. — 1991. — Т. 49, №5. С. 142 — 148.

[70] Юдович, В. И. Косимметрия и конвекция многокомпонентной жидкости в пористой среде / В. И. Юдович // РГУ. Ростов н/Д. — 1993. — 15 с. Деп. в ВИНИТИ 7.06.93, №1523-В93.

[71] Юдович, В. И. Косимметрия и фильтрационная конвекция с источниками тепла / В. И. Юдович // РГУ. Ростов н/Д. — 1993. — 29 с. Деп. в ВИНИТИ, №2057-B93.

[72] Юдович, В. И. Конечномерные модели плоской конвекции Дарси и косимметрия. Ч. I / В. И. Юдович // РГУ. Ростов н/Д. — 1993. — 28 с. Деп. в ВИНИТИ, №2871-B93.

[73] Юдович, В. И. Косимметрия и колебательная неустойчивость. I. Рождение предельного цикла из непрерывного семейства равновесий динамической системы с косимметрией / В. И. Юдович // РГУ. Ростов н/Д. — 1994. — 30 с. Деп. в ВИНИТИ, №2440-B94.

[74] Юдович, В. И. Косимметрия и колебательная неустойчивость. II. Пример затягивания бифуркации рождения цикла. Исследование устойчивости предельного цикла / В. И. Юдович // РГУ. Ростов н/Д. — 1995. — 25 с. Деп. в ВИНИТИ, №3187-B95.

[75] Юдович, В. И. Теорема о неявной функции для косимметрических уравнений / В. И. Юдович // Матем. заметки. — 1996. — Т. 60, №2. С. 313 — 317.

[76] Юдович, В. И. Косимметрия и магнитная конвекция жидкости в пористой среде / В. И. Юдович // РГУ. Ростов н/Д. — 1998. — 21 с. Деп. в ВИНИТИ 10.08.98, №366-B98.

[77] Юдович, В. И. Косимметрия и конвекция многокомпонентной жидкости в пористой среде / В. И. Юдович // Изв. Вузов. Сев-Кавказ. Регион. Естественные науки. Спец. Выпуск „Математическое моделирование" . — 2001. — С. 175 — 178.

[78] Юдович, В. И. Косимметрия и консервативные системы. Ч. III / В. И. Юдович // РГУ. Ростов н/Д. — 2002. — 44 с. Деп. в ВИНИТИ 09.12.02, №2140-B2002.

[79] Юдович, В. И. Универсальные и тривиальные косимметрии и симметрии / В. И. Юдович // Изв. Вузов. Сев-Кавказ. Регион. Естественные науки. Спец. Выпуск „Математика и механика сплошной среды". — 2004. — С. 224 — 237.

[80] Юдович, В. И. О бифуркациях при возмущениях, нарушающих косим-метрию / В. И. Юдович // Доклады академии наук. — 2004. — Т. 398, №1. С. 57 — 61.

Приложение

Теорема 4.1 (Э. Э. Шноль). Пусть система

и = Я(и), Я(0) = 0, и е Кта, (4.1)

при записи в обобщенных сферических координатах (Я, 0) имеет вид: Я = ЯтЛ(0) + Л(Я, 0), Л = о(Ят) (Я ^ 0), т > 0, (4.2)

0 = Я5#(0) + £(Я, 0), 0 = о(Я5) (Я ^ 0), й> 0, (4.3)

где Я ^ 0, 0 = (01,...,0П-1)Т пробегает некоторую окрестность точки 0 = 0* в п — 1-мерном пространстве.

Пусть при 0 = 0* выполняются условия: д(0*) = 0 и Л(0*) > 0. Если матрица М = д'(0*) не имеет собственных значений на мнимой оси, то нулевое равновесие системы ии = Я (и) неустойчиво.