Глобальный численный анализ полудинамических систем седлового типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, доктор физико-математических наук Корнев, Андрей Алексеевич

• Корнев, Андрей Алексеевич
• доктор физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Корнев, Андрей Алексеевич

Введение

Глава 1 Траекторный аналйз

1.1 Инвариантные многообразия

1.2 Окрестность стационарной точки.

1.2.1 Устойчивое многообразие в окрестности гиперболической точки.

1.2.2 Неустойчивое многообразие в окрестности гиперболической точки.

1.2.3 Устойчивое многообразие в окрестности седловой точки.

1.2.4 Неустойчивое многообразие в окрестности сед-ловой точки.

1.3 Окрестность нестационарной точки.

1.3.1 Устойчивое многообразие

1.3.2 Неустойчивое многообразие.

Глава 2 Глобальный анализ

2.1 Аттрактор

2.1.1 Полугруппы АК-класса.

2.2 Устойчивость.

2.2.1 Полу непрерывность сверху

2.2.2 Критерий полной непрерывности.

2.2.3 Полунепрерывность аттрактора для модифицированных уравнений Навье-Стокса.

2.2.4 Время притяжения.

Глава 3 Численные алгоритмы

3.1 Проектирование на устойчивое многообразие.

3.1.1 Классификация методов для неподвижной точки

3.1.2 Общий случай допустимых смещений.

3.1.3 Методы проектирования для нестационарной точки

3.1.4 Реализация для неподвижной точки.

3.1.5 Реализация для нестационарной точки.

3.2 Проектирование на неустойчивое многообразие.

3.2.1 Методы для неподвижной точки.

3.2.2 Методы для нестационарной точки.

3.2.3 Практическая реализация.

3.3 Аппроксимация глобального аттрактора.

Глава 4 Результаты расчетов

4.1 Устойчивое многообразие. Неподвижная точка

4.2 Нестационарная точка.

4.3 Неустойчивое многообразие. Неподвижная точка

4.4 Аппроксимация аттрактора.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Глобальный численный анализ полудинамических систем седлового типа»

Глобальное численное исследование нелинейного нестационарного процесса (полудинамической системы) предполагает изучение эволюции системы с конкретными начальными условиями (и близкими к ним), а также описание качественного поведения системы для некоторого достаточно широкого множества начальных условий. Эффективное решение данных задач имеет важное теоретическое и прикладное значение, так как позволяет не только анализировать и предсказывать динамику конкретной траектории, но и управлять динамикой, а также моделировать качественные глобальные изменения в случае возмущения оператора эволюции. Работа направлена на разработку теоретических и прикладных методов решения данных задач.

Изучение системы с известным оператором эволюции •) для конкретных начальных данных ао заключается в построении траектории ^ = 5(;£,ао) требуемой длины I Е [О,Г]. Будем считать, что рассматриваемый процесс точно определяется оператором •), т.е. найденное значение с^ точно соответствует состоянию системы в момент времени Ь. В этом случае появляется возможность не только предсказывать эволюцию системы для имеющегося начального условия ао, но и пытаться за счет некоторого изменения ао обеспечить требуемую динамику. Формально это означает, что для оператора 5, действующего в пространстве Н и задающего некоторый эволюционный процесс, требуется построить по заданным начальным условиям а о и такую поправку I 6 £ С Я, что траектория ао+1) сближается с траекторией 5(£, 2о) при 0 < £ < Т. По сути постановка задачи означает, что эволюционный процесс с начальным условием предпочтительнее, чем с имеющимся условием ао- Мы хотим изменить ао и обеспечить требуемую динамику. Конечномерное подпространство С задает вид допустимых смещений при изменении начальной точки ао- Если (^о — ао) £ А т0 можно выбрать и = ао + / = ^о- В этом случае — ¿>(£,го) = 0. Будем считать, что (^о — ао) ^ С. Наличие подпространства допустимых смещений С означает, что изменять начальные данные разрешается только в определенных пределах. Например, если ао является функцией, определенной в области Г2, то подпространство С может состоять из финитных функций, отличных от нуля в некоторой подобласти О' С О. В этом случае исходные данные ао будут изменяться только в О'. Если же (^о — ао) £ А но норма (го—ао) недопустимо велика, то, возможно, существенно меньшими по норме изменениями I можно достичь требуемой сходимости траекторий за счет внутренней устойчивости оператора задачи. Дело в том, что обычно неустойчивость оператора в сосредоточена на некотором конечномерном подпространстве пространства Н. Поэтому в имеющейся погрешности (^о — ао) достаточно исключить только неустойчивую составляющую. Убывание погрешности в устойчивом подпространстве обеспечивается разрешающим оператором 5 задачи. В некотором смысле, мы хотим достичь требуемого сближения траекторий, выбрав подходящие начальные данные с учетом внутренней структуры близких траекторий. Отметим, что метод асимптотической стабилизации по краевым условиям для нестационарных уравнений математической физики требует решения подобного рода задач. К такого рода задачам также относится инженерная проблема скорейшего вывода системы на требуемый режим (например, предварительный прогрев точного прибора), а также удержание механической системы в окрестности точки условно устойчивого равновесия. Конечномерность подпространства С не означает конечности числа его элементов, поэтому значение I даже теоретически невозможно найти полным перебором.

В работе (см. [55]-[58]) решение задачи строится на основе известных результатов теории устойчивых и неустойчивых многообразий, разработанных для динамических систем гиперболического типа. Если траектория ¿>(£,2о) является гиперболической (т.е. близкие к траектории качественно ведут себя как в окрестности седловой точки), то го) и ао) для почти всех ао локально расходятся. Однако, согласно обобщенной теореме Адамара-Перрона [1, 79, 88], при выполнении условий частичной гиперболичности в окрестности Ого существует так называемое локальное устойчивое многообразие задаваемое некоторой функцией /. Траектория каждой точки устойчивого многообразия сближается с траекторией точки ZQ при всех £ > 0. Поэтому решение рассматриваемой задачи можно сформулировать как приближенное проектирование на многообразие /)• Точность проектирования будет определять гарантированное время [0, Т] сближения траекторий. При этом для точек многообразия У\>~(го, /) значение Т может быть выбрано сколь угодно большим.

Теорема Адамара-Перрона также утверждает, что в окрестности 0Яо существует локальное неустойчивое многообразие УУ+(го,д). Все точки и из окрестности Ого притягиваются под действием оператора и) к Н;+(го, д)). Таким образом данное множество определяет качественную картину динамики на больших временах для близких к 5(£, го) траекторий. Более того, в терминах неустойчивых многообразий удается определить глобальный аттрактор М полудинамической системы ■), Н}. Множество М равномерно притягивает с течением времени все траектории с начальными данными из произвольного ограниченного подмножества Ва С Я.

Устойчивые и неустойчивые многообразия называют [68] "усами Адамара". Множества УУ^ локально определяют [79, 1, 64, 85] качественную картину динамики, то есть поведение траекторий вида {¿>(£,14)} для £ > 0 пока С Ог%, гг = Б (к, г о). Многообразие УУ-^,/) играет существенную роль в теории устойчивости Ляпунова [79], общей теории динамических систем [1], задачах асимптотической стабилизации неустойчивого [98] решения, в том числе для уравнений математической физики. Так как устойчивое многообразие составляют те точки и окрестности Ого, для которых и) С Ог1. при всех £ > 0, то процесс стабилизации по своей сути заключается в некотором проектировании начальных данных на о,/).

В терминах многообразия IV- (0, /) и "правильности по Ляпунову" [79] решается, например, вопрос об условной устойчивости тривиального решения х(£) = 0 системы дифференциальных уравнений ¿[х

- = А(£)ж + .Р(£, х), где ж, ^ - векторы, а А(1) - матрица, равномерно ограниченная и равномерно непрерывная. Отметим также, что многообразие УУ~ играет существенную роль в классической теории У-систем [1] и различных к ней дополнениях [86, 87, 88].

В терминах многообразия УУ+ строятся так называемые [68] глобально устойчивые аппроксимации - позволяющие получать обоснованные численные результаты при расчетах на формально бесконечном интервале времени. Сходимость в этом случае понимается в смысле близости аттракторов дифференциальной М и разностной Мн задач. Напомним, что глобальный аттрактор по сути представляет собой (см. [61]-[76], [3]-[6], [95]) некоторое предельное множество решений, реализуемых в системе при £ —> оос начальными данными из достаточно большого шара Ва. В рамках такого подхода основное внимание уделяется изучению структуры глобального аттрактора задачи, в том числе (см. [3]) его аппроксимации (см. [36], [37, 38, 39]) с требуемой точностью. Известно [4], что глобальный аттрактор представляет собой неустойчивое многообразие для окрестности Ва. Поэтому возможность нахождения с известной точностью точек W+ позволяет решить задачу аппроксимации нетривиальных траекторий глобального аттрактора с требуемой точностью. Это имеет важное практическое значение для обоснования (см. [45, 46, 50]) численных расчетов сильно неустойчивых нестационарных задач на больших интервалах времени. Например, при численном моделировании [14]-[18] климатической изменчивости.

Теория локальных устойчивых и неустойчивых многообразий для систем гиперболического типа активно развивается с 1960-х годов и на данный момент считается построенной. Имеется цикл работ отечественных и зарубежных авторов, где получены законченные результаты о существовании многообразий, выяснены их свойства, описана общая картина динамики отдельных траекторий. Основы данной теории в конечномерных пространствах были заложены в работах А.М. Ляпунова, А. Пуанкаре, Г. Дарбу, Ж. Адамара, О. Перрона (см. §4 и библиографию в [1]). Ключевое место принадлежит работам Д.В. Аносова [1]. Несколько позже соответствующие результаты были получены для банаховых пространств. Так в работах Юдовича обоснован (см. [104]) принцип линеаризации для уравнений Навье-Стокса. Отметим работу [64] O.A. Ладыженской и В.А. Солонникова, где соответствующая задача была решена для уравнений магнитной гидродинамики (предложенная в [64] техника активно применялась в данной работе.)

Далее, в цикле работ Я.Б. Лесина (см. [85]-[89]) результаты теории гиперболических систем были обобщены на частично неравномерно гиперболические системы (случай нестационарной траектории нами исследовался (см. [55]-[58]) на основе результатов Я.Б. Лесина).

В данной работе получено обобщение соответствующих результатов теории устойчивых и неустойчивых многообразий на траектории седлового типа. В окрестности седловой траектории локальное поведение качественно напоминает динамику гиперболической системы, но формально траектория не является ни гиперболической, ни частично гиперболической. Показано, что условие гиперболичности можно ослабить. Для существования достаточно, чтобы в окрестности стационарной точки (траектории) исходное пространство разлагалось в прямую сумму двух подпространств таких, что на одном подпространстве оператор задачи является слабо растягивающим, а на другом не растягивающим. При этом соответствующие условия проверяются для точек специального вида.

Отметим, что вопрос об устойчивости движений в негиперболическом случае рассматривался в диссертации и последующих работах A.M. Ляпунова [79], где были, в том числе, предложены методы решения данной задачи для некоторых систем подобного типа. Однако, применяемая техника функционально-аналитических рядов в этом случае требует исключительно кропотливого исследования. Дальнейшие ■исследования, проводимые различными авторами [94, 28, 36, 97, 5, 26], значительно расширили круг решенных задач, в том числе о существовании УУ^ для уравнений в частных производных. Нетривиальные результаты получены в работах А.И. Рей-зинь, С. Coleman, С.Ю. Пилюгина, И.Н. Костина (см. [92, 20, 91, 40]). Однако, рассматриваемые схемы доказательства существенно опирались либо на особенности конкретной задачи, либо на одномерность негиперболического подпространства разрешающего оператора.

В данной работе предложен общий метод исследования в окрестности седловой траектории. При этом сформулированные условия позволяют рассматривать задачи, для которых строго гиперболические подпространства отсутствуют, а главные члены оператора динамической системы имеют, например, следующий вид S±(to,u) =

Р±(и ± Ски2к+1 + .). Соответствующие результаты получены на основе известного метода сжимающих (экспоненциально) отображений, и его обобщении на случай слабо сжимающих (полиномиально) отображений. Отметим, что полиномиальный закон сжатия является известным, однако возможность его применения для решения данной задачи не является очевидной. Существование многообразий в седловом случае заложено в определении, поэтому проблема состояла в конструктивном описании соответствующего типа отображений. Полученные результаты асимптотически неулучшаемы, однако проверка требуемых условий для конкретных задач может оказаться отдельной проблемой.

Теоретические результаты о существовании локального устойчивого и неустойчивого многообразий в окрестности Ого изолированной неподвижной негиперболической точки ^о, а также в окрестности траектории седлового типа изложены в первом разделе работы. Предварительно приводятся известные результаты для гиперболической точки. На основе изложенных методов в третьем разделе строятся численные алгоритмы.

Теоретические результаты и практические алгоритмы для неустойчивого многообразия УУ+ не являются переформулировкой соответствующих теорем, полученных для многообразия >У~, хотя известно, что при формальном обращении времени устойчивое и неустойчивое многообразие меняются местами. Данный прием неприменим в случае полудинамических систем, т.к. оператор Я не имеет обратного, а также для седловых систем. Отметим, что эффективность численных алгоритмов также существенно зависит от реализации, так как практическое обращение оператора 5 может оказаться исключительно трудоемкой, либо некорректной вычислительной задачей. Полученные результаты для локально неустойчивых многообразий применяются во втором разделе, а также при построении численных алгоритмов.

Если основная задача первого раздела по сути сводится к исследованию устойчивости отдельной траектории, то во втором разделе рассматривается вопрос об устойчивости предельного (по времени) множества всех траекторий. Дело в том, что при решении практических задач исходный оператор S(t, •) и начальные данные üq заменяются на приближенные S\(t, ■) и a,Q. Параметр Л отвечает за точность приближения. Более того, обычно приходится рассматривать и новое приближенное пространство состояний Н\. В результате моделируемая = S\ (t, <2q) и истинная at — S(t, ao) траектории начинают с течением времени расходиться. При этом стандартная оценка локальной скорости расхождения имеет экспоненциальный вид: W^t—at1l ^ C\eat,a > 0, а коэффициент С\ стремится к нулю при повышении точности аппроксимаций оператора и начальных данных. Это приводит к тому, что точность моделирования \\at—< е можно гарантировать на некотором конечном отрезке времени [0,Т(е)].

Для многих реальных процессов суммарная погрешность модели, аппроксимации начальных данных, форсинга имеет практически неустранимый характер. В итоге время моделирования Т(е) с гарантированной точностью оказывается много меньше интересующего. Это верно, например, при моделировании неустойчивых течений жидкости, газа, в общей теории климата. Однако, для подобных задач наибольший интерес представляет не поведение конкретной траектории, а некоторое типичное состояние, которое может наблюдаться в системе. Строгое определение типичности зависит от задачи. В связи с этим возникает проблема описания всех возможных предельных состояний М, которые реализуются в системе при больших временах. Отметим, что данная постановка разумна только для систем с компактным множеством М. Для задач математической физики, описывающих различные физические процессы и действующих в некомпактных пространствах, существование М и, тем более, его компактность неочевидны.

За последние три десятилетия в теории динамических систем и дифференциальных уравнений были получены многочисленные факты, показывающие, что многие физические (химические, биологические, социальные) процессы являются диссипативными - все множество возможных событий (начальных данных) с течением времени сжимается к множеству реализуемых событий, которое составляет крохотную часть всего пространства событий. При этом предельное множество реализуемых событий компактно и, как следствие, может быть аппроксимировано с любой требуемой точностью конечным числом элементов. Такое предельное множество получило название глобальный аттрактор. Также стоит отметить цикл монографий И. Пригожина, где строится концепция физического понятия "стрелы времени". В данной теории показывается, что каждый нестационарный физический процесс эволюционирует к некоторому множеству предельных состояний.

К концу 40-х годов в основном была построена общая теория предельных множеств для полудинамических систем (ПДС) в локально компактных пространствах. Суть данной теории заключается в изучении минимальных множеств, притягивающих с течением времени ту или иную часть фазового пространства задачи. Первые результаты для ПДС, действующих в нелокально компактных пространствах, были получены в работах Дж. Хейла и его коллег [24, 25] при исследовании обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Приблизительно в это же время O.A. Ладыженская (см. [63]) для двумерных уравнений Навье-Стокса построила множество М, равномерно притягивающее произвольное ограниченное подмножество В исходного пространства Я. Была доказана минимальность данного множества среди всех, обладающих этим свойством, строгая инвариантность относительно разрешающего оператора задачи. Среди всех строго инвариантных подмножеств пространства множество М является максимальным. Само М компактно и связно. На нем исходная полугруппа S(t,-) продолжается до непрерывной группы. Каждая полная траектория из М определяется ее ортопроекцией на некоторое фиксированное конечномерное подпространство. Построенное множество было названо минимальным глобальным ß-аттрактором ПДС. В настоящий момент Л4 обычно называют [95] глобальным аттрактором.

Значение работы [63] стало понятно, когда в рамках предложенного подхода удалось исследовать класс компактных (/С-класс) полудинамических систем и обобщить его на асимптотически компактные (Л/С-класс) задачи. По рассмотренной схеме подробно исследованы уравнения Навье-Стокса, полулинейные параболические уравнения, уравнение Шредингера, волновое уравнение. При этом выяснилось, что Д/С-класс охватывает, в некотором смысле, все задачи с компактным глобальным аттрактором. Теория аттракторов эволюционных уравнений (теория глобальной устойчивости) формировалась в работах A.B. Бабина, М.И. Вишика [4], O.A. Ладыженской [68],[72], Р. Темама [95], Дж. Хейла [26] и других исследователей. Полученные к настоящему моменту результаты охватывают весьма широкий класс задач математической физики. Несколько иной подход [5] к решению данной задачи позволяет также построить общую теорию для уравнений с неединственными решениями и правой частью, зависящей от времени.

Таким образом, с течением времени остаются только точки глобального аттрактора (и близкие к ним). Так как динамика на аттракторе в общем случае продолжает оставаться сильно хаотичной, и мы не можем достаточно долго отслеживать отдельную траекторию движения, то естественно ограничиться изучением общего поведения динамической системы на аттракторе. В рамках данного подхода при моделировании нестационарных процессов выделяются несколько отдельных задач.

Существование М позволяет сформулировать условие близости исходной и возмущенной задач на бесконечном интервале времени в терминах близости аттракторов соответствующих задач. Если при малых возмущениях аттрактор Л4\ приближенной задачи находится в малой окрестности Л4, то множество М полунепрерывно сверху зависит от параметра Л. Такого рода аппроксимации O.A. Ладыженская предложила называть [68] глобально устойчивыми. В данном случае приближенная траектория всегда будет оставаться в некоторой малой окрестности предельного множества Л4. При этом, возможно, не существует точной траектории которая близка к моделируемой при всех t > 0. При этом считается, что разрешающий оператор возмущенной задачи аппроксимирует исходный оператор в стандартном смысле.

Проблема сходимости М\ к М. исследовалась, начиная с работ [35, 3, 68], многими авторами. Были получены условия, при выполнении которых аттрактор исходной задачи полунепрерывно сверху зависит от возмущающего параметра в разрешающем операторе задачи. То есть аттракторы М.\ семейства задач, аппроксимирующих данную, содержатся в е-окрестности исходного аттрактора М. Основные результаты подытожены в монографии [4]. Позднее вопрос о близости аттракторов двух полудинамических систем при условии близости в некотором смысле их разрешающих операторов рассматривался в работах [71, 27, 8, 33, 36, 96, 97, 105]. При достаточно общих предположениях для асимптотически компактных полугрупп доказана полунепрерывность сверху (глобальная устойчивость). Полная непрерывность доказана [4, 36] для полугрупп, аттракторы которых компактны и представляют собой объединение неустойчивых многообразий конечного числа гиперболических стационарных точек полупотоков. При этом необходимо, чтобы полудинамическая система принадлежала указанному классу равномерно по параметру. В работе [71] проведен детальный анализ некоторых конечно-разностных аппроксимаций для полулинейных параболических уравнений. В работах [73, 74, 75] аналогичные результаты получены для двумерных уравнений Навье-Стокса. Следует отметить, что в [75] были найдены новые априорные оценки, и дан принципиально новый метод их вывода. Дело в том, что существование компактного Л4 (Л4д) обусловлено двумя свойствами задачи: наличием ограниченного поглощающего множества в фазовом пространстве Н и компактностью в Н разрешающих операторов задачи ■) при t > 0. Первое свойство без особого труда выводится из уравнения баланса энергии, второе же обычно получают из некоторого интегрального соотношения с помощью неравенства Солонникова-Каттабрига, которое справедливо для областей с достаточно гладкой границей, например дС1 С С2. В работах [73, 74] для уравнений Навье-Стокса свойство компактности разрешающего оператора получено для ограниченных областей О С Л2 с негладкой границей. Основное достоинство такого подхода состоит в том, что он непосредственно переносится не только на аппроксимации типа Ротэ и Фаэдо-Галеркина [73], использующие в качестве базисных функций собственные функции оператора Сток-са и представляющие интерес с теоретической точки зрения, но и на метод конечных элементов и на большинство конечно-разностных схем. Аналогичные оценки [49] имеют место также и для модифицированных уравнений Навье-Стокса в смысле Ладыженской для трехмерного случая. Таким образом, в общем случае вопрос о полунепрерывности глобального аттрактора сверху подробно исследован.

Более сложной оказывается проблема описания всей динамики на аттракторе. Данная задача соответствует построению аппроксимаций, для которых имеет место полная непрерывность (непрерывность сверху и снизу) аттрактора Л4 по параметру аппроксимации, и нахождению е-сети для множества Л4. Отметим, что в общем случае данные задачи не эквивалентны.

Свойство компактности глобального аттрактора позволяет аппроксимировать его конечной е-сетью с любой интересующей точностью. Имеется по крайней мере два подхода к построению такой аппроксимации. Первый подход [38] основан на свойстве равномерного притяжения к аттрактору поглощающего множества Ва, т.е. на формуле М. — р|£>0[5(£, Ва)]#, второй — на возможности продолжить [97] на М исходную ПДС до непрерывной группы, т.е. на формуле М = УУ+{Ва).

Первая проблема, возникающая при этом, отмечалась еще в работе [63], где на простейшем примере было показано, что аттрактор конечного подмножества исходного пространства может существенно отличаться от глобального аттрактора задачи. Это означает, что полная непрерывность не достаточна для построения е-аппроксимации аттрактора. Далее, в большинстве случаев мы вынуждены заменять исходный оператор •) задачи на приближенный. Это приводит к тому, что в лучшем случае удается аппроксимировать аттрактор М\ возмущенной задачи.

В работе [38] И.Н. Костина предлагалось аппроксимировать исходный аттрактор специально построенными множествами, сходящимися к исходному аттрактору в хаусдорфовой метрике. Однако в рамках предложенного подхода неясно как именно оценивать скорость сходимости и, следовательно, получаемую точность аппроксимации. В данной работе показано, что полная непрерывность аттрактора и задача построения е-аппроксимации, в некотором смысле [47] , равносильны нахождению функции скорости притяжения к аттрактору. Это позволяет описать класс возмущений, для которых имеет место полная непрерывность аттрактора исходных ПДС, предложить конструктивный алгоритм аппроксимации аттрактора с произвольной точностью и оценить (в терминах Ф(£)) его сходимость.

Существование Ф (¿) следует из определения глобального аттрактора [68]. В терминах функции естественно формулируются [68, 4, 14, 8] и доказываются базовые утверждения общей теории глобальных аттракторов. Особое внимание развитию данного вопроса уделял в своих работах А.Н. Филатов [14].

Априорные оценки для Ф(£) удается построить [4, 40] на основе общей теории неустойчивых многообразий >У+ только для задач с хорошей функцией Ляпунова и конечным числом негиперболических точек. Отметим, что конструктивные оценки для и случай существенно негиперболических отображений рассматриваются впервые. При этом результаты о полной непрерывности аттрактора для такого типа задач в случае гиперболических точек, а также для задачи Чафе-Инфанта с одномерным негиперболическим подпространством, хорошо известны.

Однако, хорошая функция Ляпунова известна только для отдельного класса задач (хотя, формально, Ф(£) можно считать хорошей функцией Ляпунова), поэтому представляет интерес конструктивный алгоритм определения скорости притяжения к аттрактору. В работе (см. [54]) для двумерных уравнений Навье-Стокса, задача о каверне, рассматривается вопрос о численном нахождении оценки для функции Ф(£). В рассмотренном диапазоне параметров, как показывают результаты численных экспериментов, разрешающий оператор задачи является сжимающим. В этом случае несложно доказать, что аттрактор представляет собой единственную неподвижную точку в пространстве решений, соответствующую стационарному решению, которая притягивает равномерно любое ограниченное подмножество начальных данных. Скорость притяжения к аттрактору определяется параметром сжатия отдельных траекторий.

В общем случае в окрестности точек аттрактора существуют как устойчивые так и неустойчивые слои. Это приводит к тому, что близкие траектории с течением времени начинают расходиться. В этом случае асимптотическая скорость притяжения малой окрестности вдоль произвольной траектории аттрактора определяется скоростью притяжения к неустойчивому слою, построенному вдоль рассматриваемой траектории, т.е. глобальными показателями Ляпунова. Определяющее значение сходимости глобальных показателей Ляпунова по параметру дискретизации для глобальной устойчивости задач математической физики подчеркивалось в работах В.П. Дымникова, А. С. Грицуна [15, 16]. Сходимость глобальных показателей Ляпунова в общем случае является необходимым условием глобальной устойчивости полудинамических систем.

Общая теория глобальной устойчивости полудинамических систем в локально некомпактных пространствах является одним из основных методов обоснования результатов численного моделирования нестационарных неустойчивых диссипативных процессов. Изложенная в цикле работ [90] точка зрения на физическую основу реальных динамических процессов позволяет надеяться на универсальность теории глобальных аттракторов и теории глобальной устойчивости.

Третий раздел содержит численные алгоритмы аппроксимации локальных инвариантных многообразий, а также метод аппроксимации глобального аттрактора и его нетривиальных траекторий. Наличие формальных теорем существования многообразий УУ^ не обеспечивает решение задачи построения искомых множеств. Основное внимание в работе уделено разработке прикладных алгоритмов аппроксимации многообразий. При этом рассмотренные в работе методы, в том числе, могут применяться для конструктивного доказательства существования многообразий УУ^ в окрестности траектории гиперболического типа.

Отметим, что теоремы существования многообразий обычно доказываются именно конструктивным образом. Так в методе функционально - аналитических рядов формулируется правило построения коэффициентов ряда, задающего искомое многообразие; в методе сжимающих отображений - выписывается итерационный процесс в пространстве функций, сходящийся к искомому многообразию. Структура доказательства состовляет основу численных алгоритмов.

При численном решении задачи построения многообразий наибольшее развитие получил метод функционально-аналитических рядов, а также его некоторое обобщение [23]. Однако, реализация данных подходов для задач высокой размерности и, как следствие, для банаховых пространств затруднительна.

В данной работе за основу выбран метод сжимающих отображений. Показано, что многие известные методы решения данной задачи, в том числе и метод рядов, можно сформулировать как различные модификации итерационного процесса решения функционального уравнения, задающего многообразие. В рамках данного подхода удалось не только теоретически сравнить эффективность имеющихся алгоритмов, но также предложить новые методы решения рассмотренной задачи. Отметим, что наиболее универсальный и эффективный численный алгоритм построен на основе предложенного метода доказательства существования многообразий в седловом случае. Соответствующие алгоритмы могут быть реализованы в общем виде, в том числе [84] на слабо связанных вычислительных комплексах.

Если в случае неподвижной точки го = ¿о) имеются [21, 81, 23] прикладные алгоритмы аппроксимации многообразий, то для траекторий данная задача рассматривается и решается, видимо, впервые. Дело в том, что соответствующий переход не является формальным техническим обобщением, хотя имеется [88] аккуратное конструктивное доказательство существования устойчивого многообразия методом рядов. Дело в том, что, как известно [1, 79, 88], устойчивое многообразие зависит от свойств оператора 5 вдоль всей полутраектории ^о), Ь > 0. Это затрудняет применение имеющихся теоретических результатов о существовании устойчивого многообразия при практических расчетах. Отметим, однако, что рассматриваемый в данной работе подход для решения задачи проектирования в окрестности траектории весьма идейно близок к известному методу преобразования графика, изложенному, например, в работе [2].

Формулировка задачи проектирования на устойчивое многообразие вдоль подпространства Д а также теоретическое обоснование ее корректности имеется в работах A.B. Фурсикова [98], [99]. Численное решение соответствующей задачи для нестационарных уравнений математической физики методом "нулевого приближения" (а также численное решение задачи асимптотической стабилизации по краевым условиям) подробно исследовано и изложено в работах Е.В. Чижонкова [101, 102, 103].

Численные алгоритмы аппроксимации устойчивых многообразий рассматривались в работах Гукенхемера и Владимирского [23]. Однако, применение данных результатов для пространств высокой размерности и, в том числе, для уравнений математической физики, весьма проблематично. Также, видимо, остается открытым вопрос о строгом обосновании сходимости соответствующих алгоритмов.

В работе предлагается итерационный метод построения искомой проекции и = üq + обосновывается сходимость, проверяется эффективность для системы Лоренца, одно- и двумерного уравнения Чафе-Инфанта, одного уравнения и системы двух уравнений типа Бюргерса в одно- и двумерном случае, системы уравнений типа Навье-Стокса в двумерном случае. Широкий спектр рассматриваемых задач показал эффективность предложенных алгоритмов, а также позволил оценить область применимости разработанного подхода.

Отдельно рассматривается задача численного проектирования на неустойчивое многообразие. Предложенные алгоритмы позволяют построить искомую проекцию в том числе для уравнений в частных производных, что позволяет аппроксимировать с гарантированной точностью нетривиальные траектории глобального аттрактора уравнений типа Навье-Стокса, Бюргерса, Чафе-Инфанта. Численные расчеты по аппроксимации глобального аттрактора (либо его части) для задач большой размерности на данный момент практически отсутствуют. Отметим цикл работ В.П. Дымникова, A.C. Гри-цуна, Е.В. Казанцева (см. [15]-[18]) по аппроксимации аттракторов различных климатических моделей.

В работе далее также рассматривается метод полной аппроксимации глобального аттрактора, основанный на функции Ф(£) скорости притяжения к аттрактору. В общем случае данный подход требует решения очень большого числа нестационарных задач на единичном интервале времени с различными начальными данными и, как следствие, требует очень больших вычислительных ресурсов. Однако стоит отметить возможность его эффективной реализации на слабо связанных вычислительных комплексах, так как каждая из отдельных траекторий может вычисляться полностью автономно, а возможность обмена информацией требуется только в момент формирования начальных данных и в конечный момент построения аттрактора. Данный метод применялся (без строгого обоснования) для аппроксимации аттрактора уравнений Навье-Стокса в задаче о каверне, для уравнения Чафе-Инфанта, системы Лоренца.

Выделим главный результат диссертационной работы.

Предложен и строго обоснован метод глобального численного исследования динамики нестационарной системы с конкретными начальными условиями (и близкими к ним), а также метод изучения качественного поведения системы для некоторого достаточно широкого множества начальных условий.

Основу разработанного метода составляют следующие результаты: построение и математическое обоснование эффективных численных алгоритмов проектирования на устойчивые и неустойчивые многообразия в окрестности точки и траектории седлового типа для широкого класса задач, численное решение задачи асимптотической стабилизации по начальным данным и аппроксимации нетривиальных траекторий глобального аттрактора для нестационарных уравнений математической физики; обобщение теоремы Адамара-Перрона на случай существенно негиперболической точки и траектории, получение асимптотически неулуч-шаемых условий существования локальных устойчивых и неустойчивых многообразий, методика построения доказательства; сведение проблемы непрерывности глобального аттрактора и его аппроксимации к исследованию функции времени притяжения к аттрактору, критерий полной непрерывности аттрактора.

Получению результатов способствовало личное общение с большим количеством научных исследователей. Я искренне признателен каждому. Особо хочется поблагодарить Евгения Владимировича Чи-жонкова и Андрея Владимировича Фурсикова. Я глубоко благодарен Ольге Александровне Ладыженской за ее замечательные научные труды, руководителям семинара "Динамические процессы и системы" Дмитрию Викторовичу Аносову и Анатолию Михайловичу Степину за научное общение,

Валентину Павловичу Дымникову за конструктивное отношение к работе.

Я глубоко благодарен Николаю Сергеевичу Бахвалову за его удивительные человеческие качества.

Заключение диссертации по теме «Вычислительная математика», Корнев, Андрей Алексеевич

Заключение

В диссертационной работе предложен и строго обоснован метод глобального численного исследования динамики нестационарной системы с конкретными начальными условиями (и близкими к ним), а также метод изучения качественного поведения системы для некоторого достаточно широкого множества начальных условий.

Научную новизну диссертационной работы составляют:

1. Построение, математическое обоснование и практическая реализация на языке С/С++ эффективных численных алгоритмов проектирования на устойчивые и неустойчивые многообразия в окрестности точки и траектории седлового типа для широкого класса задач.

2. Обобщение теоремы Адамара-Перрона на случай существенно негиперболической точки и траектории, получение асимптотически неулучшаемых условий существования локальных устойчивых и неустойчивых многообразий, методика построения доказательства.

3. Сведение проблемы непрерывности глобального аттрактора и его аппроксимации к исследованию функции времени притяжения к аттрактору, критерий полной непрерывности аттрактора.

В прикладном аспекте новыми являются: получение априорных оценок, позволяющих доказать глобальную устойчивость широкого семейства разностных аппроксимаций для модифицированных (в смысле Ладыженской) уравнений Навье-Стокса в трехмерных областях, численное решение задачи проектирования на устойчивое и неустойчивое многообразия для системы Лоренца, многомерных уравнений типа Чафе-Инфанта, Бюргерса, Навье-Стокса, аппроксимация нетривиальных траекторий глобального аттрактора сложных многомерных ПДС, решение задачи асимптотической стабилизации по начальным данным в окрестности неподвижной точки и в окрестности траекторий седлового типа, численное исследование скорости притяжения к глобальному аттрактору для различных полудинамических систем.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Корнев, Андрей Алексеевич, 2005 год

1. Аносов Д. В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны. Труды матем. ин-та им. В.А. Стеклова, Т. 90, 1967.

2. Аносов Д.В. Многомерный аналог одной теоремы Адамара // Научн. докл. высш. шк., физ.-матем. науки. 1959. N.1. С. 3-12.

3. Бабин A.B. , Вишик М.И. Неустойчивые инвариантные множества полугрупп нелинейных операторов и их возмущение // Усп. Матем. Наук. 1986. Т. 41, N.4. С. 3-34.

4. Бабин A.B., Вишик М.И. Аттракторы эволюционных уравнений. М.: Наука, 1989.

5. Вишик М.И., Чепыжое В. В. Траекторный и глобальный аттрактор 3D системы Навье-Стокса // Матем. заметки. 2002. Т. 71, вып.2. С. 194-213.

6. Бабин A.B., Вишик М.И. Максимальные аттракторы полугрупп, соответствующих эволюционным дифференциальным уравнениям // Матем. сборник. 1985. Т. 126, N.3. С. 397-419.217

7. Вишик М.И., Фурсикое А.В. Математические задачи статистической гидромеханики. М.: Наука, 1980.

8. Бабин А.В., Пилюгин С.Ю. Непрерывность аттракторов от формы границы // Зап.научн.сем.ЛОМИ. 1995. Т. 26, N.221. С. 58-66.

9. Бахвалов П.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.

10. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988

11. Годунов С. К. Современные аспекты линейной алгебры. Новосибирск: Научная книга, 1997.

12. Годунов С. К. Лекции по современным аспектам линейной алгебры. Новосибирск: Научная книга, 2002.

13. Булгаков А.Я., Годунов С. К. Круговая дихотомия матричного спектра // Сибирский матем. журнал. 1988, Т. 29, N.5, С. 59-70.

14. Дымников В.П., Филатов А.Н. Основы математической теории климата. М.: ВИНИТИ, 1994.

15. Dymnikov V.P., Gritsoun A.S. Chaotic attractors of atmospheric models// Russ.J.Numer.Anal. Math. Modelling. 2002. V. 17, N.3. P. 249-281.

16. Dymnikov V.P., Gritsoun A.S. On the structure of the attractors of the finite-dimensional approximations of the barotropic vorticity equation on a rotating sphere / / Russ.J.Numer.Anal.Math.Modelling. 1997. V. 12, N.l. P. 1332.

17. Dymnikov V.P., Kazantsev Ch., Kazantsev E. On the "generic memory" of chaotic attractor of the barotropic ocean model // Chaos, Solitons and Fractals. 2000. N.ll. P. 507-532.

18. Дымников В.П., Казанцев Е.В. О структуре аттрактора, порождаемого системой уравнений баротропной атмосферы // Известия РАНб ФАиО. 1993. Т. 29, N.5. С. 581-595.

19. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. М.: Мир, 2001.

20. Coleman С. Growth and decay estimates near non-elementary stationary points // Can. J. Math. 1970. V. XXII, N.6. P. 11561167.

21. Dellnitz M., Hohmann A. A subdivision algorithm for the computation of unstabel manifolds and global attractors // Numer. Math. 1997. V. 75. P. 293-317.

22. Eckmann J.-P., Ruelle D. Ergodic theory of chaos and strange attractors // Reviews of Modern Physics. 1985. V. 57, N.3. P. 617655.

23. Guckenheimer JVladimirsky A. A fast method for approximating manifolds // SIAM Journal on Applied Dynamical Systems. 2004. V. 3, N.3. P. 232-260.

24. Hale J.K., La Salle J.P., Slemrod M. Theory of a general class of dissipative process // J. Math. Anal. Appl. 1972. V. 39. P. 177-191.

25. Hale J.K., La Salle J.P., Slemrod M. Theory of a general class of dissipative process // J. Math. Anal. Appl. 1972. V. 39. P. 177-191.

26. Hale J.K., Magalhaes L., Oliva W.M. An introduction to infinite dimensional Dynamical Systems Geometric theory. Appl. Math. Sci. V. 47, Springer-Verlag, 1984.

27. Hale J.К., Raugel G. Upper semicontinuity of the attractor for a singularly pertyrbed hyperbolic equation //J. Dif. Equ. 1988. V. 73. P. 197-214.

28. Hale J.K. Numerical Dynamics // Contemp. Math. 1994. V. 172. P. 1-29.

29. Hirsch M.j Pugh C. and Shub M. Invariant manifolds. Lectures notes in Math. V. 583. Springer. Berlin, 1977.

30. Humphries A.R., Stuart A.M. Runge-Kutta methods for dissipative and gradient dynamical systems // SIAM J. Numer. Anal. 1994. V. 31, N.5. P. 1452-1485.

31. Gunsburger M.D. Finite Element Method For Viscous Incompressible Flow. Academic Press, INC, London, 1989.

32. Ильяшенко Ю.С. Слабо сжимающие системы и аттракторы галеркинских приближений уравнений Навье-Стокса // Усп. Матем. Наук. 1981. Т. 36, N.3. С.243-244.

33. Ипатова В.М. Об аттракторах аппроксимаций неавтономных эволюционных уравнений // Матем. сборник. 1997. Т. 188, N.6. С.47-56.

34. Ilyashenko Yu.S., Weigu Li Nonlocal bifurcations // Mathematical Surways and Monographs, 66, AMS, Providens, 1999.

35. Камаев Д.А. Гиперболические предельные множества эволюционных уравнений и метод Галеркина // Усп. Матем. Наук. 1980. Т. 35, вып.З. С. 188-191.

36. Капитанский Л.В., Костин И.Н. Аттракторы нелинейных эволюционных уравнений и их аппроксимации // Алгебра и анализ. 1990. Т. 2, вып.1. С. 114-140.

37. Костин И.Н. Об одном способе аппроксимации аттракторов // Зап.научн.сем.ЛОМИ. 1991. Т. 188. С. 87-104.

38. Костин И.Н. Аппроксимация аттракторов эволюционных уравнений с помощью аттракторов конечных систем / / Зап.научн.сем.ЛОМИ. 1992. Т. 197. С. 71-86.

39. Костин И.Н. О численном построении аттрактора системы Навье-Стокса // Зап.научн.сем.ЛОМИ. 1992. Т. 19. С. 91-97.

40. Kostin I.N. Rate of attraction to a non-hyperbolic attractor // Asymptotic Analysis. 1998. N.16. P.203-222.

41. Костин И.Н., Пилюгин С.Ю. Равномерная экспоненциальная устойчивость аттракторов возмущенных уравнений // ДАН. 1999. Т. 369, N.4. С. 449-450.

42. Kostin I.N. Lower semicontinuity of non-hyperbolic attractor // J. London Math.Soc. 1995. V. 52, P. 568-582.

43. Колмогоров A.H., Фомин С.В. Элементы теории функциии и функционального анализа. М.: Наука, 1968.

44. Komech A., Spohn Н., Kunze М. Long-time asymptotics for a classical particle interacting with a scalar wave field // Communications in Partial Differential Equations. 1997. N.22. P. 307-335.

45. Kornev A.A. On New a priori Estimates for One Mathematical Model for Turbulence Flow and Their Applications in Numerical Simulation. Department of mathematics university of Nijmegen, The Netherlands, 1997. Report 9727. P. 1-13.

46. Kornev A.A. On the continuity property for an attractor of a semidynamical system with a parameter. Department ofmathematics university of Nijmegen, The Netherlands, 1999. Report 9917. P. 1-9.

47. Корпев А.А. Об одном критерии полной непрерывности аттрактора по параметру для некоторого класса полудинамических систем // ДАН. 1999. Т. 369, N.5. С. 597-599.

48. Корпев А.А. К вопросу об аппроксимации аттракторов полудинамических систем // Вестник МГУ. сер. матем. механика. 2000. N.3. С. 24-28.

49. Корпев А.А. О новых оценках для модифицированных уравнений Навье-Стокса в областях с негладкой границей в трехмерном пространстве // Фундаментальная и прикладная математика. 2000. Т. 6, вып.4. С. 1121-1129.

50. Корпев А.А. Об аппроксимации аттракторов полудинамических систем // Матем. сборник. 2001. Т. 192, N.10. С. 19-32.

51. Kornev A.A., Roganof V.A., Slepuhin A.F. On an unstable manifold and approximation attractor of a semidynamical system on a parallel computer under a T-system Department of mathematics university of Nijmegen, The Netherlands, 2001. Report 0104. R 1-14.

52. Корпев А.А. О неустойчивых многообразиях в окрестности существенно негиперболической точки // ДАН. 2001. Т. 377, N.6. С. 743-745.

53. Корпев А.А. К общей теории устойчивости полудинамических систем// Доклады РАН. 2002. Т. 387, N.1. С. 13-15.

54. Kornev A.A. On globally stable dynamical process // Russ.J.Numer.Anal.Math.Modelling. 2002. V. 17, N.5. P. 427-436.

55. Корпев A.A. Об устойчивости полудинамических систем / Труды математического центра им.Н.И. Лобачевского, N.20, Казань, 2003. С. 3-30.

56. Корпев A.A. Об итерационном методе построения "усов Ада-мара"// ЖВМиМФ. 2004. Т. 44, N.8. С. 1346-1355.

57. Корпев A.A. Классификация методов приближенного проектирования на устойчивое многообразие // Доклады РАН. 2005. Т. 400, N.6, С. 736-738.

58. Корпев A.A., Озерицкий A.B. О приближенном проектировании на устойчивое многообразие // ЖВМиМФ. 2005. Т. 45, N.9. С. 1580-1586.

59. Kuratovski К. Topology. Ac. Press, 1980.

60. Кроновер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. М: Постмаркет, 1999.

61. Ладыженская O.A. О модификациях уравнений Навье-Стокса для больших градиентов скоростей // Зап.научн.сем.ЛОМИ. 1968. Т. 7. С. 126-154.

62. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука. 1970.

63. Ладыженская O.A. О динамической системе, порождаемой уравнениями Навье-Стокса // Зап.научн.сем.ЛОМИ. 1972. Т. 27. С. 97-114.

64. Ладыженская O.A., Солонников В.А. О принципе линеаризации и инвариантных многообразиях для задач магнитной гидродинамики // Зап.научн.сем.ЛОМИ. 1973. Т. 38. С. 46-93.

65. Ладыженская О.А. О предельных режимах для модифицированных уравнений Навье-Стокса в трехмерном пространстве // Зап.научн.сем.ЛОМИ. 1979. Т. 84. С. 131-146.

66. Ладыженская О.А. О конечномерности ограниченных инвариантных множеств для системы Навье-Стокса и других диссипа-тивных систем. Зап.научн.сем.ЛОМИ. 1982. Т. 115. С. 137-155.

67. Ладыэюенская О.А. Об аттракторах нелинейных эволюционных задач с диссипацией // Зап.научн.сем.ЛОМИ. 1986. Т. 152. С. 72-85.

68. Ладыженская О.А. О нахождении глобальных минимальных аттракторов для уравнений Навье-Стокса и некоторых других уравнений в частных производных // Усп. Матем. Наук. 1987. Т. 42, N.6. С. 25-60.

69. Ладыженская О.А. Об оценках фрактальной размерности и числа определяющих мод для инвариантных множеств динамических систем // Зап.научн.сем.ЛОМИ. 1987. Т. 163. С. 7285.

70. Ладыженская О.А. Некоторые дополнения и уточнения к моим публикациям по теории аттракторов для абстрактных полугрупп // Зап.научн.сем.ЛОМИ. 1990. Т. 182. С. 102-112.

71. Ладыженская О.А. Глобально устойчивые разностные схемы и их аттракторы // Препринт ЛОМИ Р-5-91. Л. 1991.

72. Ladyzhenskaya О.A. Attractors for semi-group and evolution equations. Lezioni Lincei, Cambridge University Press, 1991.

73. Ладыженская О.А., О новых оценках для уравнений Навье-Стокса и глобально устойчивых аппроксимациях // Зап.научн.сем.ЛОМИ. 1992. Т. 200. С. 98-109.

74. Ladyzhenskaya 0. A. Some globally stable approximations for the Navie-Stokes equations and some other equations for viscous incompressible fluids // C.R.Acad.Sci. Paris. 1992. V. 315, Série I, P. 387-392.

75. Ladyzhenskaya O.A. First boundary value problem for the Navier-Stokes equation in domain with non smooth boundaries // C.R.Acad.Sci. Paris. 1992. V. 314, Serie I, P. 253-258.

76. Ладыженская О.А., Серегин Г.A. , Об одном способе приближенного решения начально-краевых задач для уравнений Навье-Стокса // Зап.научн.сем.ЛОМИ. 1992. Т. 197. С. 87-119.

77. Лебедев В.И. Разностные аналоги ортогональных разложений и основных дифференциальных операторов математической физики // ЖВМиМФ. 1964. Т. 6, N.3,4. С. 247-254, 12471254.

78. Лебедев В.И. Разностные аналоги ортогональных разложений, основных дифференциальных операторов и некоторых краевых задач математической физики // ЖВМиМФ. 1964. Т. 4, N.3,4. С. 449-465, 649-659.

79. Ляпунов A.M. , Общая задача об устойчивости движения. Собрание сочинений т. II, М.-. Изд.-во академии наук СССР, 1954.

80. Магницкий Н.А., Сидоров C.B. Новый взгляд на аттрактор Лоренца // Диф. уравн. 2001. Т. 37, N.11. С. 1494-1506.

81. Lorenz J. Numerics of Invariant Manifolds and Attractors // Contemporary Mathematics. 1994. V. 172. P. 185-202.

82. B. Mohammadi, 0. Pironneau. Analysis of the k — epsilon turbulence model. Wiley, 1994.

83. Литецки 3. Введение в дифференциальную динамику. М.: Мир, 1975.

84. Ozeritskij А. V. Efficient algorithms for stable manifolds // Russ.J.Numer.Anal. Math. Modelling. 2005. V. 20, N.2. R 209224.

85. Лесин Я. Б. О существовании инвариантных слоений для диффеоморфизма гладкого многообразия // Матем. сборник. 1973. Т. 91(133), N.2(6). С. 202-210.

86. Брин И.М., Лесин Я.Б., Частично гиперболические динамические системы // Изв. АН СССР, Сер. мат. 1974. Т. 38, N.1. С. 170-212.

87. Лесин Я.Б. Семейства инвариантных многообразий, отвечающие ненулевым характеристическим показателям // Изв. АН СССР, Сер. мат. 1976. Т. 40, N.6. С. 1332-1379,

88. Лесин Я. Б. Характеристические показатели Ляпунова и гладкая эргодическая теория. УМН. 1977. Т. 32, вып.4. С. 55-112.

89. Лесин Я. Б. Общая теория гладкихгиперболических динамических систем / В кн. Итоги науки и техники, Современные проблемы математики, фундаментальные направления, Динамические системы-2. 1985. С. 123-173.

90. Пригожин И. Конец определенности. РХД, 2000.

91. Пилюгин С.Ю. Отслеживание в задаче Чефи-Инфанте // Алгебра и Анализ. 2000. Т. 12, вып.4. С. 231-272.

92. Рейзинъ JI.E. Локальная топологическая эквивалентность систем дифференциальных уравнений //Дифф. ур. 1968. Т. 4. С. 199-214.

93. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

94. Temam R. Une methode d'approximation de lasolution des equations de Navier-Stokes // Bull. Soc. math. France. 1968. V. 96. P. 115-152.

95. Temam R. Infinite dimensional system in mechanics and physics. New York: Springer-Verlag, 1998.

96. Филатов A.H. О близости аттракторов исходных и усредненных нелинейных диссипативных систем // ДАН. 1996. Т. 347, N.5. С. 601-603.

97. Foias С., J oily M.S., Kukavica I. Localization of attractors by their analytic properties // Nonlinearity. 1996. N.9. P. 1565-1581.

98. Fursikov А.У. Stabilizability of two-dimensional Navier-Stokes equations with help of boundary feedback control // J. of Math. Fluid Mechanics. 2001. V. 3. P. 259-301.

99. Шилъников JI.П., Шильников А.Л., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качественной теории нелинейных систем, ч. 1// Москва-Ижевск: Институт Компьютерных Исследований, 2004.

100. Chizhonkov Е. У. Numerical aspects of one stabilization method // Russ.J.Numer.Anal.Math.Modelling. 2003. V. 18, N.5. P. 363-376.

101. Чижонков E.B. Об операторах проектирования для численной стабилизации // Вычислительные методы и программирование. 2004. N.5. С. 161-169.

102. Чижонков Е.В. Численные аспекты одного метода стабилизации / Труды математического центра им.Н.И. Лобачевского, N.22, Казань, 2005. С. 23-53.

103. Юдоеич В. И. Математическая теория устойчивости течений жидкости. Докт. диссертация, М.: Институт проблем механики АН СССР. 1972.

104. Yin Yan. Attractors and error estimates for discretizations of incompressible Navie-Stokes equations // SIAM J.Numer.Anal. 1996. V. 33, N.4. P. 1451-1472.