Исследование математических моделей движения несжимаемой жидкости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Воротников, Дмитрий Александрович

• Воротников, Дмитрий Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Воротников, Дмитрий Александрович

Введение

1 Существование и единственность сильных решений начальной задачи для системы уравнений движения нелинейной вязкоупругой среды

1.1 О моделях вязкоупругих сред.

4 1.2 Обозначения и основной результат главы.

1.3 Операторная трактовка задачи.

1.4 Вспомогательная задача.

1.5 Доказательство основных теорем главы.

1.6 Доказательство технических лемм.

2 Слабая разрешимость стационарной краевой задачи и эволюционной начально-краевой задачи для системы уравнений движения вязкоупругой среды

2.1 Модель Джеффриса вязкоупругой среды.

• 2.2 Обозначения и постановка задачи о слабых решениях

2.3 Стационарный случай.

2.4 Вспомогательные задачи для эволюционного случая

2.5 Существование слабого решения для модели Джеффриса в эволюционном случае и его оценка.

3 Некоторые результаты о свойствах решений уравнений движения несжимаемых сред

3.1 Непрерывная зависимость решений от данных начальной задачи для уравнений движения нелинейной вязко-упругой среды

3.2 О единственности слабого решения начально-краевой задачи для уравнений движения вязкоупругой среды

3.3 О бифуркациях рождения цикла одного периодического течения жидкости.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование математических моделей движения несжимаемой жидкости»

В окружающем мире повсеместно наблюдается движение разнообразных жидкостей и сред, во многом близких к жидкостям (газов, гелей, золей и других). Математическое описание этого движения является интересной и трудной задачей. Уже при исследовании самых простых уравнений движения жидкостей и сред, близких к жидкостям, возникло множество нерешенных до настоящего момента математических проблем.

Начала гидродинамики (науки о движении жидкостей) были заложены Блезом Паскалем, Даниилом Бернулли и Леонардом Эйлером. Развитие эта наука получила в трудах Лагранжа, Даламбера, Лапласа, Навье, Стокса и других. Обычной гидродинамической проблемой является вычисление различных характеристик жидкости ( таких, как скорость, давление, плотность) как функций от времени и точки пространства.

Объектом изучения классической гидродинамики являются идеальные жидкости (жидкости, у которых отсутствуют сдвиговые напряжения) и ньютоновские жидкости (у которых сдвиговые напряжения пропорциональны скорости* деформации). Основное математическое уравнение, описывающее движение идеальной жидкости, называется уравнением Эйлера, а основное математическое уравнение для ньютоновской жидкости называется уравнением Навье-Стокса.

Различные начальные, краевые и начально-краевые задачи для уравнений Навье-Стокса и Эйлера исследовались очень многими авторами. Наиболее известны работы Ж. Лере, О.А. Ладыженской, Т. Като, Р. Темама, Ж. Лионса и др. Тем не менее основной вопрос: проблема глобального по времени существования гладкого решения начально-краевой задачи при гладких начальных данных остается открытым. Пока существование такого решения доказано только для случая плоскопараллельных течений. В трехмерном случае для уравнения Навье-Стокса доказано существование решения при малых данных задачи.

Одним из возможных выходов из сложившейся ситуации стало применение обобщенной постановки начально-краевой задачи с использованием некоторого равенства функционалов. Решения такой задачи называют слабыми решениями, и любое обычное решение всегда является и слабым. Для уравнения Навье-Стокса доказано глобальное по времени существование слабого решения начально-краевой задачи. Однако проблема единственности этого решения остается открытой.

С другой стороны, давно было замечено, что многие реальные среды (битумы, кровь, полимеры, тесто, земная кора, бетон и другие) не описываются моделями классической гидродинамики, хотя по многим признакам близки к жидкостям. Такие объекты получили название "неньютоновские жидкости". Имеется большое число моделей, описывающих разные классы таких сред. Следует отметить, что эти объекты не столь подробно изучены с точки зрения математических постановок задач, в первую очередь из-за того, что они являются еще более сложными, чем задачи, порождаемые классической гидродинамикой.

Тем не менее, и здесь имеются десятки работ таких авторов, как О.А. Ладыженская, К. Гильопе, Ж. Со, М. Ренарди, В.Г. Литвинов, А.П. Осколков, П.Е. Соболевский, В.Г. Звягин, Ю.Я. Агранович, В.Т. Дмит-риенко (например, [1, 12, 13, 15, 17, 18, 25, 27, 28, 29, 34, 36]) и многих других.

Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию вопросов существования, единственности и некоторых свойств решений начальных, краевых и начально-краевых задач, описывающих движение различных несжимаемых жидкостей и сред, близких к жидкостям.

Вообще говоря, движение несжимаемой среды с постоянной плотностью р = const определяется системой дифференциальных уравнений в форме Коши [И] ди " ди р{-щ + Y1= Div Тн + А/о, («, х) е [О, Т] х Rn (0.0.1) г=1 1 div u = Q, (t, х) G [0, Т] х Еп (0.0.2)

Здесь и - вектор скорости точек среды, /о - плотность внешних сил, Тн - тензор напряжений (все они зависят от точки пространства х и момента времени t). Дивергенция div берется по переменной х. Диверп ^ генция Div от тензора это вектор с координатами (Div a)j = ^ i=i Xi

Без ограничения общности будем считать в дальнейшем плотность р равной единице. *

Тип рассматриваемой среды определяется выбором определяющего соотношения между Тн и тензором скоростей деформации S (и) = (Sij(u)), £ij(u) — К!ij+f^) • Так, один класс сред связан с постулатом Стокса о том, что девиатор тензора напряжения (т.е. тензор напряжений минус его изотропная компонента) в точке в данный момент времени полностью определяется тензором скоростей деформации в этой же точке в этот момент времени. Это концепция линейно- и нелинейно-вязкой жидкости [18]. Примерами моделей нелинейно-вязких жидкостей являются модели Прандтля и Эйринга [24]. Частным случаем этой концепции является также линейно-вязкая жидкость с определяющим соотношением

Тн = -pi + 2г)Е (0.0.3)

Здесь p(t, х) — скалярная функция давления, а коэффициент г] называется вязкостью. При 77 > 0 соотношение (0.0.3) определяет ньютоновскую жидкость, и, подставляя (0.0.3) в (0.0.1), можно получить уравнение Навье-Стокса. При г) = 0 соотношение (0.0.3) задает идеальную жидкость, и, подставляя (0.0.3) в (0.0.1), можно получить уравнение Эйлера.

Однако концепция нелинейно-вязкой жидкости не является удовлетворительной для всех сред. В частности, она не подходит для сред "с памятью": битумов, бетонов, разнообразных полимеров и растворов полимеров, земной коры и др. Один из способов учесть эффекты памяти - ввести в определяющее соотношение производные по времени. На этом пути возникли модели Максвелла, Джеффриса [20, 29], Олдрой-да [19, 33], Ларсона, Гизекуса, Фан-Тиена-Таннера [28, 29], Сприггса [3] и другие. Математическое исследование части этих моделей проводилось в [28, 34, 36]. Модели нелинейных вязкоупругих сред, т.е. сред, обладающих как нелинейной вязкостью, так и вязкоупругостью, исследовались в [1, 25].

Приведем обзор содержания диссертации по главам.

В первой главе исследуются уравнения движения для широкого класса нелинейных вязкоупругих сред. Этот класс содержит, в частности, модели Олдройда, Ларсона, Гизекуса, Фан-Тиена-Таннера, Спригг-са, Прандтля, Эйринга, ньютоновской и идеальной жидкости и их комбинации. и их комбинации. Рассматривается начальная задача для уравнений движения этого класса нелинейных вязкоупругих сред во всем пространстве En, п = 2,3: диь ^ ^

U + Л = Div Тн + /о' х) G Т1 х dt ^ дх 1=1 div и = 0, (г, х) е [О, Т) х Rn (0.0.5)

Тн = <ts + <тр (0.0.6) as = -pI + y{S(u)) (0.0.7) Г

7Р = ]Гу (0.0.8) к=1 тк + + S) = 2 щ£ (0.0.9)

Здесь и — вектор скорости, /о — поле внешних сил, Тн — тензор напряжений (все они зависят от точки х пространства R™, п = 2,3 и момента времени t), г — натуральное число, rk,as, сгр — составляющие тензора напряжений, £(и) = + VuT) - тензор скоростей деформации, р — давление, А^ > 0 - времена релаксации, щ > 0 - вязкости, к = 1,.,г. Выражение ^^ есть объективная (олдройдовская) производная тензора. Для функции A(x,t) со значениями во множестве матриц п х п она определяется по формуле ж = Ж+1-+ ^- - + (»«-10) г=1

В этом выражении IV = (W^), Wij = — - тензор завихренности, а - некоторое число. Кроме того, ФиДв (0.0.7) и (0.0.9) это известные нелинейные функции со значениями во множестве матриц п х п, которые имеют следующий вид:

Ф(£) =<pi € + Ц>2£2 (0.0.11)

3*(г, £) = ак1 + ак£ + ак2£2 + ак3т + + ак{£т + т£)+ +<4(£2г + т€2) + ак{£т2 + т2£) + ак{£2т2 + т2£2) (0.0.12) где <£>i, <р2 и а]1 суть произвольные скалярные функции следующих аргументов pi = ipi(Tr{£2),det£),i = 1,2 а* = ак(Тг£2, Тг£3, Тг(т),Тг(т2),Тг(т3),Тг(т£),

Тг(т2£),Тг(т£2) , Тг(т2£2)), к = 1,. = 0,. ,8

Давление р вообще может быть определено с точностью до константы. Для определенности накладывается условие

Jp(t,x)dx = 0 (0.0.13) п где - фиксированная ограниченная область в Rn. Начальные условия имеют вид: и(0,я) = а(ж), rfc(0,x) = т$(х), 1еГ,Ы,.,г (0.0.14)

Отметим, что К. Гильопе и Ж. Со [28] доказали локальное по времени существование и глобальное существование при малых данных решений начально-краевой задачи для системы уравнений движения вязкоупругой жидкости в ограниченной области в случае = const, f2 = 0, (3i = 0, i = 1,., г, а также для нескольких конкретных функций Д. Р. Талук [36] обобщил их результат о локальной разрешимости (при г = l,/?i = 0) на неограниченные области.

Уравнения движения нелинейной вязкоупругой жидкости исследовались в [1, 25] при условии замены производной по времени (0.0.10) в определяющих соотношениях на частную производную -щ, что существенно сужает класс сред, удовлетворяющих этой модели (см. по этому поводу [19]).

Первая глава состоит из шести пунктов. В первом пункте производится описание рассматриваемого класса сред и описывающих их уравнений.

Во втором пункте вводятся основные обозначения, производится постановка задачи и формулируется основной результат главы о существовании и единственности глобального по времени решения начальной задачи (0.0.4)-(0.0.14) при малых данных (теорема 1.2.1).

В третьем пункте производится операторная трактовка рассматриваемой задачи и формулируется результат о разрешимости этой операторной задачи (теорема 1.3.1).

В четвертом пункте вводится и исследуется вспомогательная задача, зависящая от параметра. Доказывается существование и единственность решения этой задачи (теорема 1.4.1) и единая априорная оценка (лемма 1.4.5).

В пятом пункте с помощью перехода к пределу по указанному параметру доказываются теоремы 1.3.1 и 1.2.1.

В шестом пункте доказываются некоторые технические леммы.

Во второй главе исследуется разрешимость в слабом смысле начально-краевой задачи в модели Джеффриса [20] движения вязко-упругой среды в произвольной области Q С Кп (п = 2,3), возможно и неограниченной. Соответствующее определяющее соотношение имеет вид

Тн = -pi + <г, а + хЛ<т = Ъ]{£ + А2^-£) (0.0.15) at at

Здесь Tj - вязкость среды, Ai - время релаксации, Л2 < Ai - время запаздывания, р - функция давления, а - тензор касательных напряжеп ний. Выражение ^ = щ + Щ-^: обозначает полную (субстанциональг=1 1 ную) производную по времени.

Пусть Г2 - произвольная область в пространстве En, п — 2,3. Начально-краевая задача, описывающая движение несжимаемой вяз-коупругой среды в модели Джеффриса, имеет вид: ди ^ ди + ^u~ + gradp=Div а + / (0.0.16) i—1 г .да v^ да. п , „ . ,д£ л a + А,(Ж + £ Щ-) = 2г,{£ + + (0.0.17) i=l i=1 div и = 0 (0.0.18) и =0 (0.0.19) д£1 u|t=o = a, (r\t=o = сто (0.0.20)

Отметим, что в ряде работ (например, [1, 15, 25, 27]) начально-краевая задача изучалась при условии замены полной производной ^ на частную производную что, как уже отмечалось, существенно сужает класс сред, удовлетворяющих этой модели [19]. В [13] рассматривалось соотношение Джеффриса (0.0.15) без такой линеаризации, но при выражении тензора напряжений через тензор скоростей деформации использовалась регуляризация поля скоростей с помощью усреднения по пространственной переменной. Отличие нашего подхода состоит в том, что такой регуляризации не делается.

Для доказательства разрешимости эволюционной задачи нами используется аппроксимационно-топологический метод исследования задач гидродинамики, который описан в книге В.Г. Звягина и В.Т. Дмит-риенко [14] на примере системы Навье-Стокса.

Вторая глава состоит из пяти пунктов. В первом пункте производится описание модели и производится постановка задач.

Во втором пункте вводятся основные обозначения и вводится определение слабых решений стационарной краевой задачи и эволюционной начально-краевой задачи, описывающих движение вязкоупругой среды в модели Джеффриса. Затем формулируются теоремы существования таких решений (теоремы 2.2.1 и 2.2.2).

В третьем пункте исследуется стационарная задача. С помощью априорной оценки (лемма 2.3.1) и теории степени доказывается сначала существование решения вспомогательной задачи (теорема 2.3.1), а затем и исходной задачи.

В четвертом пункте исследуются две вспомогательные задачи для эволюционного случая, зависящие от нескольких параметров. Их разрешимость (теоремы 2.4.1 и 2.4.2) показывается с помощью априорной оценки (лемма 2.4.1), теории степени и предельного перехода по параметру.

В пятом пункте доказывается существование слабого решения эволюционной задачи для модели Джеффриса и его оценка (теоремы 2.5.1 и 2.2.2). Кроме того, здесь доказывается, что построенное решение удовлетворяет специальному энергетическому неравенству (лемма 2.5.1).

В третьей главе рассматриваются некоторые проблемы, связанные со свойствами решений уравнений движения несжимаемых сред.

В первом пункте доказывается непрерывная зависимость решений начальной задачи (0.0.4)-(0.0.14) от данных задачи (теорема 3.1.1).

Во втором пункте рассматривается проблема единственности слабых решений задачи (0.0.16)-(0.0.20).

Вопрос о единственности слабых решений для большинства уравнений гидродинамики в общем случае остается открытым. Например, для уравнений Навье-Стокса в двумерном случае слабое решение единственно, а в трехмерном имеются лишь условные результаты, например, классический результат Сезера и Серрина (см. [22]) о том, что, если слабое решение является немного более регулярным, то оно единственно в классе слабых решений, удовлетворяющих энергетическому неравенству. В этом пункте получен аналог (теорема 3.2.1) этого утверждения для задачи (0.0.16)-(0.0.20).

В третьем пункте исследуется одна проблема, связанная с бифуркациями решений уравнений гидродинамики. Рассматривается периодическое течение жидкости, возмущаемой одномерной внешней силой специального типа, в трехмерном пространстве. Периодические течения такого типа рассматривались А.Н. Колмогоровым, Л.Д. Ме-шалкиным, Я. Г. Синаем, Ж. Ченом и другими авторами. Получены достаточные условия (теорема 3.3.1) существования точки бифуркации рождения цикла для этого течения; тем самым уточнен подобный результат Ж. Чена [26].

Суммируя вышеизложенное, отметим, что в диссертации получены следующие новые результаты:

1. Доказаны существование, единственность и непрерывная зависимость сильных решений от данных начальной задачи для системы уравнений движения широкого класса нелинейных вязкоупругих жидкостей и сред в всем двумерном или трехмерном пространстве при малых данных.

2. Получено существование слабого решения стационарной краевой задачи для системы уравнений движения для модели Джеффриса вяз-коупругой среды в произвольной области двумерного или трехмерного пространства.

3. Доказано существование слабого решения эволюционной начально-краевой задачи для системы уравнений движения для модели Джеффриса вязкоупругой среды в произвольной области двумерного или трехмерного пространства, удовлетворяющего энергетическому неравенству. Получено достаточное условие единственности этих решений.

4. Получены достаточные условия существования точки бифуркации рождения цикла для специального течения жидкости.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на международных конференциях "Topological and Variational Methods in Nonlinear Analysis" (Бендлево, Польша, 2000 и 2003), "Topological Methods in Nonlinear Analysis"(Бендлево, Польша, 2001), "Фундаментальные исследования и высшее образование"(Краснодар, 2002), "Mathematical Foundations of Viscous Turbulent Flows"(Мартина-Франка, Италия, 2003), Воронежских зимних математических школах (2000,2004), семинаре НОЦ ВГУ "Волновые процессы в неоднородных и нелинейных средах"(2003), семинаре под руководством профессора А.С. Шамаева (МГУ, 2004), научной сессии ВГУ (2000-2004).

Исследования, включенные в настоящую диссертацию, поддержаны грантом РФФИ N 04-01-00081, а также грантом для молодых участников проекта VZ-010 "Волновые процессы в неоднородных и нелинейных средах" Минобразования РФ и CRDF (США).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [4]-[9], [37, 38]. Из совместных работ [37, 38] в диссертацию вошли только принадлежащие Воротникову Д.А. результаты. V

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Воротников, Дмитрий Александрович, 2004 год

1. Агранович Ю.Я. Движение нелинейной вязкоупругой жидкости/ Ю.Я. Агранович, П.Е. Соболевский // ДАН СССР.- 1990.- Т. 314, № 3.- С. 521-525.

2. Арнольд В.И. Семинар А.Н. Колмогорова по избранным вопросам анализа (1958 1959)/ В.И. Арнольд, Л.Д. Мешалкин // УМН.-1960.- t.XV, т.- С. 247-250.

3. Астарита Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей/ Дж. Астарита, Дж. Маруччи.- М.: Мир, 1978. 309с.

4. Воротников Д.А. О задаче Навье-Стокса в подобластях Rn/ Д.А. Воротников // Вестник ВГУ. Серия физика, математика.- 2001.т.- С. 65-74.

5. Воротников Д.А. Бифуркации рождения цикла трехмерного течения Навье-Стокса при волноподобном внешнем возмущении/ Д.А. Воротников // Труды молодых ученых ВГУ.- 2002.- №2.- С. 11-13.

6. Воротников Д. А. О движении нелинейно-вязкой жидкости в Rn/ Д.А. Воротников // Вестник ВГУ. Серия физика, математика.-2002.- т.- С. 102-120.

7. Воротников Д.А. Об одном примере .рождения цикла вблизи стационарного течения жидкости/ Д.А. Воротников //Волновые процессы в нелинейных и неоднородных средах: материалы семинаров НОЦ ВГУ.- Воронеж, 2003.- С. 48-51.

8. Воротников Д.А. О существовании слабых стационарных решений краевой задачи в модели Джеффриса движения вязкоупругой среды/ Д.А. Воротников // Известия Вузов. Серия Математика.-2004.- т.- С. 17-21.

9. Воротников Д.А. Энергетическое неравенство и единственность слабого решения начально-краевой задачи для уравнений движения вязкоупругой среды/ Д.А. Воротников // Вестник ВГУ. Серия физика, математика.- 2004,- №1.- С. 96-102.

10. Гаевский X. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения/ X. Гаевский, К. Грегер, К. Захариас.- М.: Мир, 1978.- 336с.

11. Гольдштейн Р.В. Механика сплошных сред / Гольдштейн Р.В., Го-родцов В.А. 4.1: Основы и классические модели жидкостей. М.: Наука. Физматлит, 2000. - 256 с.

12. Звягин В.Г. О разрешимости некоторых начально-краевых задач для математических моделей движения нелинейно-вязких и вяз-коупругих жидкостей/ В.Г. Звягин// Современная математика. Фундаментальные направления.- 2003 Т. 2.- С. 57-69.

13. Звягин В.Г. О слабых решениях регуляризованной модели вязко-упругой жидкости/ В.Г. Звягин, В.Т. Дмитриенко //Дифференциальные уравнения,- 2002,- Т. 38, № 12,- С. 1633-1645.

14. Звягин В.Г. Аппроксимационно-топологический подход к исследованию задач гидродинамики. Система Навье-Стокса/ В.Г. Звягин, В.Т. Дмитриенко. -М.:УРСС, 2004. -112с.

15. Котсиолис А.А. О разрешимости фундаментальной начально-краевой задачи для уравнений движения жидкости Олдройда/ А.А. Котсиолис, А.П. Осколков// Зап. научн. сем. ЛОМИ.- 1986.Т. 150, № 6.- С. 48-52.

16. М.А. Красносельский. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций/ М.А. Красносельский, П.П. Забрейко, Е.И. Пустыльник, П.Е. Соболевский.- М.: Наука, 1966. -499с.

17. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости/ О.А. Ладыженская.- М.: ГИФМЛ, 1961. -204с.

18. Литвинов В.Г. Движение нелинейно-вязкой жидкости/ В.Г. Литвинов.- М.: Наука, 1982 376 с.

19. Олдройд Дж.Г. Неньютоновское течение жидкостей и твердых тел/ Дж.Г. Олдройд// Реология: теория и приложения.- М., 1962.-с. 757-793.

20. Рейнер М. Реология/ М. Рейнер,- М.: Физматгиз, 1965. 224 с.

21. Соболевский П.Е. Об уравнениях параболического типа в банаховом пространстве/ П.Е. Соболевский// Тр. Моск. Мат. Общ.-1961,- Т.Ю.- С. 297-350.

22. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса/ Р. Темам.- М.: Мир, 1981. -408с.

23. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред/ К. Трусделл. М.: Мир, 1975. -592с.

24. Уилкинсон У.Л. Неньютоновские жидкости/ У.Л. Уилкинсон.- М.: Мир, 1964. -216с.

25. Agranovich Yu.Ya. Motion of nonlinear viscoelastic fluid/ Yu.Ya. Agranovich, P.E. Sobolevskii// Nonlinear Anal. TMA.- 1998.- V. 32, №6.- P. 755-760.

26. Chen Z.M. Hopf bifurcation of the three-dimensional Navier-Stokes equations/ Z.M. Chen// J. of Math. Anal, and Appl.- 1999.- V.237.-P. 583-608.

27. Dmitrienko V.T. The topological degree method for equations of the Navier-Stokes type/ V.T. Dmitrienko, V.G. Zvyagin// Abstract and Applied Analysis.- 1997.- V.l/2.- P. 1-45.

28. СиШорё С. Existence results for the flow of viscoelastic fluids with a differential constitutive law/ C. Guillope, J.C. Saut// Nonlinear Anal. TMA.- 1990.- V.15, № 9.- P. 849-869.

29. Guillope C. Mathematical problems arising in differential models for viscoelastic fluids/ C. Guillope, J.C. Saut // Mathematical Topics in Fluid Mechanics.- Longman, Harlow, 1993.- P. 64-92.

30. Joseph D.D. Bifurcating time periodic solutions and their stability/ D.D. Joseph, D.H. Sattinger// Arch. Rational Mech. Anal.- 1972,- V. 45.- P. 75-109.

31. Kato T. Nonstationary flows of viscous and ideal fluids in R3/ T. Kato // J. Funct. Anal.- 1972.- V.9.- P. 296-305.

32. Meshalkin L.D. Investigation of the stability of a stationary solution of a system of equations for the plane movement of an incompressible viscous fluid/ L.D. Meshalkin, Y.G. Sinai// J. Math. Mech.- 1961.-V. 19.- P. 1700-1705.

33. Oldroyd J.G. On the formation of rheological equations of state/ J.G. Oldroyd // Proc. R. Soc. Lond.- 1950.- А200,- 523-541.

34. Renardy M. Existence of slow steady flows of viscoelastic fluids with differential constitutive equations/ M. Renardy// Z. angew. Math. Mech.- 1985.- V. 65, P. 449-451.

35. Simon J. Compact sets in the space 1^(0, T; B)/ J. Simon // Ann. Mat. Рига Appl.- 1987.- V. 146.- P. 65-96.

36. Talhouk R. Existence locale et unicite d'ecoulements de fluides viscoelastiques dans des domaines non bornes/ R. Talhouk// C.R. Acad. Sci. Paris. Serie I. 1999.- T.328.- P. 87-92.

37. Vorotnikov D.A. On the solvability of the initial-boundary value problem for the motion equations of nonlinear viscoelastic medium in the whole space/ D.A. Vorotnikov, V.G. Zvyagin// Nonlinear Anal. TMA.- 2004.- V.58.- P. 631-656.

38. Vorotnikov D.A. On the existence of weak solutions for the initial-boundary value problem in the Jeffreys model of motion of a viscoelastic medium/ D.A. Vorotnikov, V.G. Zvyagin// Abstract and Applied Analysis, 2004.- V. 2004.- P. 844-858.