Нелинейная динамика трехслойных пластин при периодических и нестационарных воздействиях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Юрченко, Алевтина Анатольевна

• Юрченко, Алевтина Анатольевна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Юрченко, Алевтина Анатольевна

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

ВВЕДЕНИЕ

1. АНАЛИЗ СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ В ОБЛАСТИ НЕЛИНЕЙНОЙ

ДИНАМИКИ СЛОИСТЫХ ПЛАСТИН

Введение

1.1. Нелинейные колебания неоднородных пластин при периодических воздействиях

1.2. Динамическая реакция слоистых пластин при импульсном нагружении

2. НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТРЕХСЛОЙНЫХ ПЛАСТИН КОНЕЧНОГО ПРОГИБА ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

2.1. Построение амплитудно - частотных характеристик шарнирно опертых трехслойных пластин

2.1.1. Решение методом гармонического баланса

2.1.2. Результаты расчетов

2.2. Построение амплитудно - частотных характеристик защемленных по контуру трехслойных пластин

2.2.1. Решение методом гармонического баланса

2.2.2. Результаты расчетов

2.3. Краткие выводы по главе

3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО - ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ СВОБОДНО ОПЕРТЫХ ТРЕХСЛОЙНЫХ ПЛАСТИН КОНЕЧНОГО ПРОГИБА ПРИ КРАТКОВРЕМЕННОМ ДИНАМИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ

3.1. Динамическая реакция свободно опертых прямоугольных трехслойных пластин при воздействии взрыва 73 3.1.1. Постановка задачи

3.1.2. Решение начально - краевой задачи

3.1.3. Определение силовых факторов

3.2 Воздействие кусочно - линейного импульса

3.3 Воздействие прямоугольного импульса

3.4 Краткие выводы по главе

4 НЕЛИНЕЙНОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ ЗАЩЕМЛЕННЫХ

ПО КОНТУРУ ТРЕХСЛОЙНЫХ ПЛАСТИН ПРИ

НЕСТАЦИОНАРНОМ НАГРУЖЕНИИ

4.1. О выборе аппроксимирующих функций

4.2. Построение определяющих соотношений нелинейной динамики трехслойных ортотропных пластин

4.3. Решение начально - краевой задачи

4.4. Анализ результатов расчетов

4.5. Краткие выводы по главе

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейная динамика трехслойных пластин при периодических и нестационарных воздействиях»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Задачи нелинейной динамики тонкостенных элементов конструкций, в частности, слоистых пластин и оболочек, представляют большой практический интерес для различных областей техники: авиационной и космической, машиностроения.

Разнообразие применяемых типов конструкций и условий их эксплуатации привело к существенному различию применяемых математических моделей и методов исследования нелинейного деформирования.

Вместе с тем, несмотря на значительные результаты, уже накопленные в области расчёта нелинейного деформирования конструкций при нестационарном нагружении, проблема создания и развития математических моделей, аналитических и численных методов их расчета продолжает оставаться весьма актуальной, в частности, вследствие появления новых типов конструкций и новых композитных материалов. Так, наряду с расчетом традиционных авиационных и аэрокосмических тонкостенных конструкций важными и актуальными в настоящее время являются задачи расчета прочности, несущей способности, разрушения элементов конструкций специальных автотранспортных средств, например, обитаемых кузовов - контейнеров многоцелевого назначения, изготавливаемых из трехслойных плоских панелей, при действии взрывных нагрузок. По задачам же, посвященным кратковременным нестационарным воздействиям на элементы конструкций автотранспортных средств, имеются пока лишь немногочисленные публикации.

Важным для оценки поведения систем при действии внешних возмущений того или иного характера является также изучение собственных и вынужденных нелинейных колебаний при периодических внешних воздействиях.

Анализ современного состояния исследований в области нелинейных колебаний слоистых пластин показывает, что большинство работ, особенно в последние годы, посвящено многослойным пластинам, выполненным из различных композиционных материалов.

При этом используются или расчетная схема, основанная на применении гипотез Кирхгоффа для всего пакета слоев или неклассические двумерные теории, учитывающие поперечный сдвиг на основе интегральных гипотез для всего пакета слоев, при применении которых порядок получающихся уравнений не зависит от числа слоев.

Трехслойные пластины в классическом исполнении (с тонкими несущими слоями и маложестким заполнителем) изучены относительно меньше, и данных о влиянии геометрических и жесткостных характеристик слоев и граничных условий на характер их нелинейных колебаний недостаточно.

Поэтому разработка математических моделей, методов и программ расчета трехслойных гибких пластин при периодических и нестационарных кратковременных воздействиях продолжает оставаться актуальной и своевременной.

Настоящая работа и посвящена исследованию нелинейного поведения трехслойных пластин конечного прогиба при периодических и нестационарных воздействиях.

В ней отражены исследования, проводившиеся в 2004-2011 годах на кафедре прикладной и вычислительной математики ФГБОУ ВПО МГТУ "МАМИ" и в НИИ механики МГУ им. М.В.Ломоносова.

Целью диссертационной работы является:

Решение задач о нелинейных колебаниях различным образом закрепленных по контуру прямоугольных трехслойных пластин, моделирующих панели некоторых автотранспортных средств, при гармонических и кратковременных нестационарных воздействиях; разработка соответствующих алгоритмов и программ расчета, исследование влияния геометрических, жест-костных и физических параметров на напряженно - деформированное состояние и амплитудно - частотные характеристики трехслойных пластин конечного прогиба.

Структура и объем диссертации. Результаты изложены на 150 страницах машинописного текста, иллюстрированного 41 рисунком.

Диссертация состоит из введения, 4-х глав с выводами по каждой главе, заключения и списка литературы.

В первой главе работы выполнен анализ состояния исследований в области нелинейной динамики слоистых пластин. Она состоит из двух частей, в которых последовательно рассмотрены работы, относящиеся к изучению нелинейных колебаний трёхслойных и многослойных пластин при периодических воздействиях и к изучению динамической реакции слоистых пластин при кратковременном нестационарном нагружении.

На основании анализа состояния вопроса были сформулированы цели работы, указанные выше.

Во второй главе исследованы нелинейные колебания трехслойных пластин конечного прогиба несимметричной структуры с изотропными несущими слоями и трансверсально изотропным жестким заполнителем. Рассмотрены прямоугольные пластины, шарнирно опертые и жестко защемленные по контуру, при действии на них периодически изменяющейся по времени поперечной нагрузки. Решение уравнений вынужденных колебаний в смешанной форме строится последовательным применением метода ортогонализа-ции Бубнова сначала по пространственным координатам, а затем по времени (по полному периоду колебаний).

Проведено параметрическое исследование влияния различных геометрических, физических и механических параметров в широком диапазоне их изменения на вид амплитудно - частотных характеристик шарнирно опертых и жестко защемленных по контуру трехслойных пластин несимметричной структуры при их свободных и вынужденных колебаниях.

В третьей главе работы разработан алгоритм решения задачи о динамической реакции трехслойных пластин конечного прогиба, шарнирно опертых по контуру, при нагружении различными нестационарными кратковременными воздействиями, базирующийся на многочленной аппроксимации искомых функций перемещений и усилий и методе ортогонализации Бубно-

ва. При проведении численных расчетов рассматривались два случая взрывного воздействия на пластину:

1). Кратковременная динамическая нагрузка, меняющаяся по времени по кусочно-линейному закону,

2) ступенчатый (прямоугольный) импульс малой интенсивности, но относительно большой длительности по времени.

Построено численное решение задачи путем сведения системы обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений к нормальной системе и интегрировании методом Кутта-Мерсона с решением на каждом шаге по времени системы алгебраических уравнений относительно амплитудного значения функции усилий, что позволяло формировать правые части уравнений нормальной системы и находить амплитудное значение функции перемещений в следующие моменты времени.

Проведено численное исследование напряженно - деформированного состояния трехслойных шарнирно опертых пластин, моделирующих панели некоторых автотранспортных средств, и проанализировано влияние геометрических и жесткостных параметров в широком диапазоне их изменения.

В четвертой главе работы дано построение варианта уточненной двумерной геометрически нелинейной теории трехслойных ортотропных пластин, в общем случае учитывающей поперечный сдвиг и поперечные нормальные напряжения в заполнителе. Рассматривались трехслойные прямоугольные пластины несимметричного строения по толщине с ортотропными несущими слоями, для которых полагались справедливыми гипотезы Кирх-гоффа о прямой недеформируемой нормали, и ортотропным податливым на сдвиг заполнителем, сжимаемым в поперечном направлении.

Предполагалось, что в заполнителе распределение нормальных перемещений по толщине аппроксимируется линейной функцией от поперечной координаты, использовались общие соотношения закона Гука для трехмерного случая.

На основе вариационного принципа Гамильтона - Остроградского дан вывод уравнений в усилиях - моментах, описывающих динамическое поведение трехслойных пластин конечного прогиба и получены естественные граничные условия. Далее рассмотрены различные частные случаи и построены системы уравнений в перемещениях трехслойных пластин несимметричной и симметричной структуры с изотропными несущими слоями и жестким несжимаемым трансверсально изотропным заполнителем.

На основе полученных уравнений решена задача о динамической реакции трехслойных пластин конечного прогиба, жестко защемленных по контуру, при действии нестационарных кратковременных нагрузок различного вида.

Решение нелинейной начально-краевой задачи строилось методом Бубнова с использованием многочленной аппроксимации искомых функций.

Граничные условия жесткого защемления удовлетворялись представлением компонент вектора перемещений в виде разложения в ряды по ортогональным системам фундаментальных балочных функций.

Выполнена оценка сходимости полученного решения и проведено численное исследование напряженно - деформированного состояния трехслойных жестко защемленных по контуру пластин. Проанализировано влияние формы импульсного воздействия, поперечной сдвиговой жесткости заполнителя, изгибной жесткости несущих слоев, относительных размеров пластин в плане, нелинейности на характер динамической реакции трехслойных пластин.

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

1. Предложен единый подход к решению задач о нелинейных колебаниях под действием периодически изменяющейся по времени поперечной нагрузки трехслойных пластин при различных условиях закрепления по контуру, состоящий в сведении исходных краевых задач к одинаковому по структуре обыкновенному нелинейному дифференциальному уравнению, описываю-

щему колебания систем с вязким трением и с кубической упругой характеристикой.

2. В геометрически нелинейной постановке вариационным методом построен новый вариант двумерной неклассической теории, описывающей динамическое деформирование ортотропных трехслойных пластин несимметричного строения по толщине с учетом поперечных сдвиговых и нормальных деформаций и напряжений в жестком заполнителе системой уравнений в перемещениях 16-го порядка.

3. Разработана методика численного решения новых задач определения напряженно - деформированного состояния трехслойных пластин конечного прогиба, шарнирно опертых и жестко защемленных по контуру при нагру-жении различными нестационарными воздействиями.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Разработанный подход и результаты численного исследования нелинейных свободных и вынужденных колебаний жестко защемленных и шарнирно опертых трехслойных пластин конечного прогиба при периодических воздействиях.

2. Вариант двумерной неклассической теории, описывающей нелинейное динамическое поведение ортотропных трехслойных пластин несимметричного строения по толщине с учетом сдвиговых поперечных и нормальных деформаций и напряжений в заполнителе, и различные частные случаи полученных уравнений в перемещениях.

3. Методика решения задач об исследовании напряженно - деформированного состояния трехслойных пластин конечного прогиба, шарнирно опертых и жестко защемленных по контуру, при нагружении различными нестационарными воздействиями, базирующаяся на многочленной аппроксимации искомых функций и методе ортогонализации Бубнова с последующим численным решением систем нелинейных обыкновенных дифференциальных и алгебраических уравнений.

4. Результаты численного исследования влияния геометрических, жесткост-ных параметров, характера нагружения при взрыве, граничных условий на динамическую реакцию трехслойных пластин конечного прогиба, моделирующих панели специальных автотранспортных средств, при нестационарных воздействиях.

Достоверность полученных результатов подтверждается корректным использованием известных методов механики деформируемого твердого тела и вычислительной математики; использованием апробированных уравнений трехслойных пластин конечного прогиба, соответствием полученных численных результатов имеющимся в литературе для частных случаев.

Практическая ценность работы: Методики решения и программы, реализованные в работе, могут быть использованы для расчета элементов реальных конструкций в проектной практике.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы доложены на научных конференциях и семинарах, в том числе: - на семинаре по механике деформируемого твердого тела под руководством чл.-корр. РАН Э.И.Григолюка (2004, 2005 гг., НИИ механики МГУ им. М.В.Ломоносова), на «Девятой международной научно - технической конференции по динамике и прочности автомобиля», 15-17 марта 2005 года (М.: МГТУ «МАМИ»), на «Международном научном симпозиуме, посвященном 140-летию МГТУ «МАМИ», 23-24 марта 2005 года (Россия, М.: МГТУ «МАМИ»), в трудах конференции - конкурсе молодых ученых. Октябрь 2006 года / Под ред. акад. РАН Г.Г.Черного, проф. В.А.Самсонова. М.: изд-во Моск. ун-та, 2007, на научных конференциях «Ломоносовские чтения», секция механики. 2004 - 2008 гг. М.: МГУ им. М.В.Ломоносова), на международном симпозиуме им. А.Г.Горшкова «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред». Ярополец, Москва, 1620 февраля 2009 года.

Публикации. Список научных трудов по диссертационной работе составляет 8 публикаций.

1. АНАЛИЗ СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ В ОБЛАСТИ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ

СЛОИСТЫХ ПЛАСТИН

Введение

Решение многих практических задач динамического расчета, особенно связанных с необходимостью исследования условий потери устойчивости, условий разрушения, с необходимостью оценки поведения конструкции при действии интенсивных потоков энергии, требует, как правило, решения геометрически и физически нелинейных уравнений динамики пластин и оболочек.

Геометрически нелинейная теория пластин стала интенсивно развиваться с начала XX столетия в связи с потребностями кораблестроения. Основополагающий вклад в эту теорию был внесен отечественным ученым - кораблестроителем И.Г.Бубновым [1,2]. Дальнейшее развитие теории было дано в трудах А.Фёппля [3], Т. Кармана [4] и К.Маргерра [5]. Наиболее существенные результаты, полученные в области нелинейной теории тонкостенных оболочек и пластин до середины 60-х годов, отражены в известных монографиях П.Ф.Папко-вича, Х.М.Муштари и К.З.Галимова, А.С.Вольмира, С.П.Тимошенко и С.Вой-новского-Кригера, М.С.Корнишина, Marguerre К., Woernle Н.Т., Chia С., Sliter'a G.E., Nikolai R.I., Boresi A.P., Koiter'a W.T.

На раннем этапе развития нелинейной теории пластин и оболочек применялись, в первую очередь, вариационные методы, главным образом, энергетический метод (метод Ритца), метод ортогонализации Бубнова и его модификация в форме метода Бубнова-Папковича, так как эти методы при удачном подборе аппроксимирующих функций позволяли ограничиться малым числом неизвестных параметров и приводили к нелинейным системам низкого порядка.

К настоящему времени в связи с важностью для приложений рассматриваемых задач получено много результатов, и разработано много различных методов решения геометрически нелинейных краевых задач, прежде всего, статики гибких однослойных оболочек и пластин.

Для одномерных задач (для систем обыкновенных дифференциальных уравнений) применяются: метод линеаризации (основанный на построении итерационного процесса, на каждом шаге которого решается линейная краевая задача для следующего приближения, использующая информацию предыдущего), метод продолжения по параметру, вариационные и асимптотические методы (Ритца, Бубнова, последовательных нагружений).

Для двумерных краевых задач (для систем дифференциальных уравнений в частных производных) используются метод прямых, метод Канторовича-Власова, метод конечных разностей, метод конечных элементов.

Обсуждение этих методов и решенных с их помощью задач содержится в многочисленных монографиях и обзорных статьях Н.А.Алумяэ, И.И.Воровича, А.Т.Василенко, Э.И.Григолюка, Я.М.Григоренко, В.Т.Койтера, В.А.Крысько, Г.М.Куликова, А.Н. Куцемако, В.П.Мальцева, В.И.Мамая, В.И.Мяченкова, Ю.В.Немировского, В.Н.Паймушина, В.И.Шалашилина, Л.А.Шаповалова и др.

Детальный анализ геометрически нелинейных задач статического изгиба ортотропных круговых, кольцевых и секториальных пластин содержится в обзорах Е.А.Лопаницына [6, 7]. Приближённый метод решения геометрически нелинейных задач теории прямоугольных и круговых пластин, основанный на пренебрежении вторым инвариантом тензора деформаций (гипотеза Бергера [8]), подробно рассмотрен в обзоре Э.И.Григолюка и Г.М.Куликова [9].

Важный резерв прочности и оптимизации конструкций был реализован, начиная с 40-х годов прошлого века, в связи с применением трехслойных и многослойных пластин и оболочек. Использование слоистых пластин и оболочек позволило при рациональном проектировании обеспечить достижение высокой жесткости и прочности конструкции при малом весе, повышенных по сравнению с традиционными однослойными конструкциями звуко-и теплоизоляционных свойств, вибропоглощающих характеристик.

К достоинствам трехслойных и многослойных панелей из композиционных материалов следует отнести также их высокую вязкость разрушения и

демпфирующую способность, что делает эффективным их применение в конструкциях, которые должны иметь высокую сопротивляемость акустическим и импульсным нагрузкам; они могут также успешно использоваться в качестве ударостойких демпфирующих покрытий [10].

Основной отличительной особенностью расчета трехслойных конструкций с маложестким промежуточным средним слоем (заполнителем) является необходимость учета явления поперечного сдвига и поперечных нормальных напряжений и деформаций в заполнителе. В конце 40-50-х годов, прежде всего, в работах А.Л.Рабиновича [И], Е.Рейсснера [12, 13] и Э.И.Григолюка [14, 15] были предложены эффективные расчетные схемы, основанные на удачном сочетании кинематических и статических гипотез, позволившие учесть деформации поперечного сдвига в заполнителе и неоднородность структуры трехслойного пакета.

В работах [11-13] впервые в теории трехслойных стержней и пластин было введено допущение о возможности пренебрежения в заполнителе нормальными и касательными напряжениями, параллельными несущим слоям. При этом, следовательно, продольные усилия и моменты воспринимаются лишь внешними слоями, а заполнитель работает только на сдвиг и поперечные нормальные деформации. В соответствии с установившейся терминологией такой заполнитель называется легким. При принятом допущении уравнения равновесия Коши для заполнителя легко могут быть проинтегрированы, что приводит к равномерному распределению поперечных касательных напряжений и, следовательно, деформаций поперечного сдвига по толщине среднего слоя.

В работах Е. Рейсснера [12, 13] были также введены допущения о том, что заполнитель можно считать несжимаемым в поперечном направлении, и внешние слои, толщина которых мала по сравнению с толщиной заполнителя, могут рассматриваться как мембраны, то есть можно пренебречь неравномерностью распределения напряжений в них.

В работах Э.И.Григолюка [14, 15] впервые в теории трехслойных оболочек была внесена гипотеза ломаной линии для всего пакета слоев, в соответствии с которой принималось, что касательные перемещения распределены по толщине заполнителя по линейному закону, а для тонких несущих слоев справедливы гипотезы Кирхгоффа-Лява о прямой недеформируемой нормали. Введенная гипотеза ломаной линии позволяет учесть работу заполнителя и на продольные силы и моменты, то есть рассматривать так называемый жесткий заполнитель, а при построении теории многослойных пластин и оболочек заранее не оговаривать относительное расположение несущих слоев и заполнителей.

Отмеченные работы в значительной мере определили направления дальнейших исследований в области теории трехслойных пластин и оболочек, а гипотезы, в них использованные, и полученные уравнения применялись впоследствии многими авторами и были распространены на нелинейную теорию трехслойных и позднее многослойных пластин и оболочек.

Первые работы в этой области принадлежат Э.Рейсснеру [12, 13], который рассмотрел конечные прогибы трехслойной пластины в предположении, что заполнитель испытывает только поперечный сдвиг и поперечное сжатие, а несущие слои являются мембранами, к срединным поверхностям которых присоединен заполнитель. Считалось, что перемещения в заполнителе можно полагать малыми, а в несущих слоях нужно учитывать сравнимость квадрата углов наклона нормали к срединной поверхности по сравнению с единицей. Пренебрегая далее поперечной сжимаемостью заполнителя, автор получил два уравнения относительно прогиба и функции Эри, которые для однородной пластины совпадают с известными уравнениями Кармана.

Основываясь на гипотезах Э.Рейсснера, Ван-Цзи-дэ [16] выписал зависимости для случая цилиндрической панели, но разрешающие уравнения им получены не были. Эти результаты приведены также в статьях Ван-Цзи-дэ [16, 17] Тейчмана и Ван-Цзи-дэ [18].

Основные результаты по общей теории трехслойных пластин и оболочек конечного прогиба с учетом эффекта поперечного сдвига в заполнителе были получены в конце 50-х и с начала 60-ых годов прошлого столетия. В этот период многими авторами при весьма общих предположениях относительно геометрических и механических свойств слоев были получены различные варианты двумерных теорий изотропных и ортотропных трехслойных гибких пластин и пологих оболочек [19]. Но, как правило, соответствующие уравнения статического равновесия в перемещениях представляли собой громоздкие системы пяти или шести (при учете сжимаемости заполнителя) связанных дифференциальных уравнений в частных производных высокого порядка, и систематические численные результаты исследования напряженно-деформированного состояния трехслойных пластин конечного прогиба, полученные на основе этих уравнений, практически отсутствуют. Отметим здесь некоторые работы последнего времени, в которых реализованы различные методы решения нелинейных дифференциальных уравнений статического изгиба трехслойных пластин и получены обширные численные результаты [20-22] и др.

Так, в [20] исследовано в геометрически нелинейной постановке напряженно-деформированное состояние и прочность многослойных ортотропных прямоугольных пластин, изготовленных из симметрично уложенных композитных слоев, подкрепленных по краям ребрами жесткости. Использовалась уточненная двумерная теория, в которой влияние поперечного сдвига учитывалось путем представления перемещений пластины в виде полиномов третьей степени относительно нормальной координаты. Граничные условия шарнирного опирания удовлетворялись представлением прогибов в виде двойных тригонометрических рядов. Для решения нелинейной задачи определения напряженно-деформированного состояния после интегрирования уравнений методом Бубнова строится итерационный процесс, сходимость которого оценивается по максимальным прогибам. Показано что учет поперечных сдвигов приводит к

существенному увеличению прогибов, деформаций и усилий по сравнению с классической теорией и уменьшению разрушающей нагрузки.

1.1. Нелинейные колебания неоднородных пластин при периодических воздействиях

Теория нелинейных колебаний начала развиваться ещё с конца 19-го века, начиная с классических работ А.М.Ляпунова и А.Пуанкаре.

Особую актуальность приобрели эти работы с конца 20-ых годов прошлого века в связи с развитием радиотехники. Существенный вклад был внесен отечественной школой физиков и связан, прежде всего, с работами Л.И.Мандельштама и А.А.Андронова.

Строгое исследование нелинейных колебаний и соответственно нелинейных дифференциальных уравнений приводит к большим математическим трудностям. Но существует широкий класс уравнений, для которых предложены приближённые, но достаточно эффективные методы. К ним, в частности, относятся методы исследования колебаний систем с малой нелинейностью при относительно малом затухании. Для этого случая в классической нелинейной механике разработано достаточно много точных и приближённых методов исследования: метод возмущений, метод гармонического баланса, метод медленно меняющихся амплитуд (метод Ван-дер-Поля, широко применяемый в радиотехнике), метод Крылова-Боголюбова [23-27] и др. Особенность колебаний при этом, как известно, связана с существованием области частот, при которых возможны два устойчивых периодических режима колебаний с большими и малыми амплитудами. В этой области при возрастании частоты возмущающей силы амплитуда вынужденных колебаний растёт до некоторого предельного зна-

СС

чения, при котором происходит срыв амплитуды, и при дальнейшем росте частоты система колеблется уже с малыми амплитудами.

Целесообразность подхода, связанного с исследованием колебаний в первом приближении, состоит в возможности получить аналитические решения

для резонансных частот и амплитуд, позволяющие проводить качественный и количественный анализ явления.

В таком приближении в значительном большинстве работ, как и для однослойных пластин, и исследуются колебания многослойных пластин и оболочек при различных кинематических и статических гипотезах и допущениях относительно структуры многослойного пакета по толщине.

Однородные однослойные пластины. В механике деформируемого твердого тела исследование нелинейных колебаний тонкостенных упругих элементов конструкций началось со второй половины 20-го века. Первые работы по колебаниям упругих однослойных пластин с большими амплитудами были выполнены Х.Чу и Дж. Германом [28], Н.Ямаки [29], В.А.Нэш'ем и И.Р.Модир [30]. В [28] исследовались свободные колебания шарнирно опёртых на несме-щаемый контур прямоугольных гибких пластин. В [29] были получены одночленные решения как для свободно опёртых, так и защемлённых пластин при их свободных и вынужденных колебаниях. Приближённый анализ свободных колебаний при конечных амплитудах круговых пластин на основе динамического аналога уравнений Бергера впервые был проведён в работе [30].

Систематическое изложение различных задач нелинейной динамики однослойных и двухслойных пластин, панелей и пологих оболочек было дано в известной монографии А.С.Вольмира 1972 года [31]. В ней были приведены решения задач динамической устойчивости, нелинейных колебаний (собственных, вынужденных, параметрических), описываемых уравнениями Фёппля-Кармана (для пластин) и Маргерра (для пологих оболочек). Решения получены, в основном, с использованием одночленной или (в некоторых случаях) двучленной аппроксимации прогиба и функции усилий и применением процедуры Бубнова - Папковича или методом конечных разностей.

Отметим также многочисленные работы В.А.Крысько и сотрудников по исследованию вынужденных колебаний гибких однослойных однородных и неоднородных пластин [32-37] и др. В них реализуется общая методология ис-

следования эволюции динамических режимов гибких пластин с позиций теории хаоса и катастроф. Создан комплекс программ на основе сведения системы уравнений Феппля-Кармана к системе обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка и затем первого порядка по времени и системе алгебраических уравнений и решения их методом конечных разностей с аппроксимацией

0(124) и 0(к2) по пространственным координатам. Отмечаются преимущества

и недостатки применения той или иной разностной аппроксимации.

Неоднородные пластины. Работы по исследованию динамического поведения кусочно-неоднородных по толщине слоистых пластин и оболочек в геометрически нелинейной постановке начали появляться с начала 60-ых годов прошлого века и были, прежде всего, посвящены собственным и вынужденным нелинейным колебаниям.

Чёткую классификацию работ по нелинейным колебаниям слоистых пластин в зависимости от характера колебаний (свободные или вынужденные), от характера неоднородности структуры по толщине, от формы пластин в плане, от условий закрепления на контуре, от применяемых моделей деформирования пластин, от методов решения, к сожалению, провести затруднительно, так как в большинстве работ одновременно учитываются (причем в разных сочетаниях) перечисленные факторы.

Трехслойные пластины. К числу первых работ в этой области относятся работы С.А.Амбарцумяна и В.Ц.Гнуни [38, 39], Н.КОш [40, 41], У.У.Уи [4244], А.И.Холода [45], Э.Н.Кваши [46].

В [38, 39] для ортотропных трёхслойных пластин прямоугольного очертания в плане, подверженных действию нормально приложенной нагрузки, выведено нелинейное дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и получена в первом приближении зависимость между амплитудой и частотой нелинейных колебаний. Для трансверсально изотропной однослойной пластины построены амплитудно-частотные зависимости собственных колебаний с учетом и без учета влияния поперечного сдвига, из которых следует, что при

учете поперечного сдвига частота нелинейных собственных колебаний может быть меньше частоты соответствующих малых колебаний, найденных без учета поперечных сдвигов [39].

В развитие работы Ю.И-юаня [43], в которой получено приближённое решение задачи о нелинейных осесимметричных колебаниях замкнутой круговой цилиндрической трёхслойной оболочки симметричного строения по толщине с легким несжимаемым заполнителем и мембранными внешними слоями, А.И.Холодом [45] при тех же деформационных гипотезах относительно заполнителя рассмотрена задача о нелинейных поперечных колебаниях трёхслойной цилиндрической шарнирно опёртой панели симметричного строения по толщине с жестким заполнителем и моментными несущими слоями на основе уравнений Э.И.Григолюка в перемещениях [15]. Применялся метод Бубнова с использованием одночленной аппроксимации искомых перемещений. Задача сведена к уравнению Дуффинга, для которого получено приближённое решение, и проанализирована зависимость нелинейной частоты колебаний от параметров пологости и тонкостенности панели.

Влияние деформаций поперечного сдвига на нелинейные колебания трёхслойных пластин и оболочек рассматривалось в работах [44], [46-50, 162, 163] и др. В [44] отмечается, что влияние поперечного сдвига не является пренебрежимо малым и должно учитываться при нелинейных колебаниях и исследовании динамической устойчивости свободно опёртых многослойных пластин и несомненно существенно для защемлённых многослойных пластин. В [46] показано, что оно растет с уменьшением кривизны оболочки.

В работе [47] исследовались собственные колебания и вынужденные колебания при гармоническом возбуждении без учета демпфирования шарнирно опертых прямоугольных пластин, составленных из произвольно расположенных по толщине слоев различной толщины, плотности и жесткости, на основе уточненной двумерной сдвиговой теории слоистых конструкций [48]. Система уравнений в смешанной форме относительно функции усилий и функций пере-

мещений и сдвигов интегрировалась методом Бубнова и сведена к одному нелинейному обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка с квадратичной нелинейностью. Численный анализ проведён для случая собственных нелинейных колебаний трёхслойных пластин различной структуры по толщине (с двумя несущими слоями одинаковой толщины, с одним средним несущим слоем) и двухслойных пластин. Варьировались отношения модулей сдвига несущих слоёв и заполнителя и относительная толщина заполнителя. Показано, что влияние деформации сдвига при низкомодульном заполнителе на вид амплитудно-частотных характеристик более существенно, чем изменение относительной толщины слоев. Получены оценки параметров, при которых необходимо учитывать влияние поперечного сдвига и нелинейности на частоты колебаний.

Нелинейные колебания нагретых трёхслойных свободно опёртых орто-тропных пластин и прямоугольных в плане пологих оболочек рассматривались в [50]. Определяющие уравнения относительно прогибов, функции напряжений и перемещений, обусловленных поперечным сдвигом, получены с использованием вариационных принципов Гамильтона и Рейсснера-Хеллингера и интегрировались методом Бубнова. Приведены примеры расчёта периодов и амплитуд колебаний трёхслойных пластин и оболочек.

С учетом демпфирования нелинейные свободные колебания трёхслойных прямоугольных свободно опёртых пластин, для которых использовалась гипотеза ломаной линии, исследовались методом Рунге - Кутта в [51].

Колебания трёхслойных круговых пластин исследовались в работах [52 -56]. В [52] решение уравнений вынужденных колебаний круговых пластин под действием осесимметричной гармонической поперечной нагрузки строилось с использованием полиномиальной аппроксимации и итерационной процедуры. Оценено численно влияние структуры пластины на частоты колебаний.

Свободные и вынужденные нелинейные изгибные колебания трёхслойных круговых пластин, защемлённых по контуру, рассматривались в [55, 56].

В [55] рассматривались пластины с вязкоупругим заполнителем. Прогиб пластины задавался в полиномиальной форме. Решение строилось с использованием метода Бубнова и метода возмущений. Исследовано влияние геометрических и вязкоупругих характеристик слоев на частоты и формы поперечных колебаний. В [56] численно проанализировано влияние структуры пластины и жесткости среднего слоя на частоты колебаний.

Задача о вынужденных нелинейных колебаниях защемлённых по обоим концам трехслойных стержней с мембранными внешними слоями и вязко-упругим заполнителем, демпфирующие свойства которого учитывались по модели Кельвина, решалась в [57] методом гармонического баланса.

Многослойные пластины. Нелинейные колебания многослойных пластин при различных допущениях рассматривались в большом числе работ [5888].

В классической постановке, когда для всего пакета слоев полагаются справедливыми гипотезы Кирхгоффа, нелинейные колебания слоистых прямоугольных шарнирно опертых пластин рассматривались в работах [60-65, 67-69, 86]. В работах [60-62] использовался метод Бубнова, что приводило к нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнениям второго порядка с кубической нелинейностью, которые интегрировались численно.

В [60] для случая собственных нелинейных колебаний шестислойной пластины несимметричного строения по толщине построены амплитудно - частотные диаграммы, в [61] - для анизотропных слоистых пластин из волокнистых композитов. В [62] при этом предполагалось, что пластины находятся на упругих основаниях типа Винклера и Пастернака.

В [63] рассматривались слоистые прямоугольные пластины с ортотроп-

о о

ными слоями, ориентированными у каждого слоя под углами 0 и 90 относительно осей симметрии пластины. Для двухслойной пластины с различной комбинацией материала слоев и ориентацией осей ортотропии приведены примеры расчёта параметра частоты.

В [64] слоистая пластина, армированная ортотропными слоями, приводилась к эквивалентной однослойной анизотропной пластине. Методом гармонического баланса получены амплитудно - частотные зависимости, и исследование устойчивости полученного решения сведено к построению границ устойчивости уравнения типа Матье - Хилла. Оценивалось влияние угла армирования на амплитудно - частотные характеристики пластины.

Колебания многослойных цилиндрических панелей из чередующихся анизотропных несущих и связующих слоев при больших прогибах рассматривались в работе [70]. Показано, что в зависимости от соотношения параметров может иметь место нелинейность как мягкого, так и жесткого типов.

Влияние граничных условий на параметры нелинейных колебаний толстых слоистых композитных пластин методом конечных элементов исследовалось в работах [73-77] и др. Так, в [73] использовались четырёхузловые прямоугольные конечные элементы с 14 степенями свободы. Дан вывод нелинейных конечно-элементных уравнений движения, которые сведены к системе двух нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и интегрируются численно.

Колебания гибких защемлённых по контуру прямоугольных слоистых пластин рассматривались в работах [65, 66, 76]. В [65] с использованием метода Бубнова получены аналитические зависимости для построения амплитудно -частотных характеристик для случаев, когда для всего пакета слоев справедливы гипотезы Кирхгоффа и интегрально учитывается поперечный сдвиг по всей толщине пакета слоев. На примере двух трех - и четырехслойных пластин проанализировано влияние изменения порядка расположения слоев по толщине на амплитуды и частоты собственных и вынужденных колебаний. Отмечается, что вид структуры по толщине существенно изменяет амплитудно - частотные характеристики.

Аналогичный вывод сделан в работе [66], в которой изучались собственные нелинейные колебания слоистых кусочно-неоднородных пластин и пла-

стин, имеющих непрерывную неоднородность по толщине, на основе уточненной сдвиговой теории. Порядок полученной системы уравнений не зависит ни от числа слоев, ни от их взаимного расположения и от физико-механических свойств. Отмечается, что для свободно опёртых и защемлённых пластин получены оценки размеров и расположения зон, в которых необходимо учитывать деформации поперечного сдвига и геометрической нелинейности.

Свободные нелинейные колебания ортотропных слоистых пластин с кратными частотами свободных колебаний исследовались на основе уравнений Феппля-Кармана методом Бубнова с использованием двучленной аппроксимации искомых функций [75]. Получены амплитудно-частотные зависимости для пластин с различной структурой пакета и для различных граничных условий.

Свободные и вынужденные нелинейные колебания многослойных транс-версально изотропных пластин со свободно смещающимися и с несмещающи-мися шарнирно опёртыми краями на основе уравнений в смешанной форме многослойных оболочек типа Тимошенко, полученных ранее Э.И.Григолюком и Г.М.Куликовым [80], рассмотрены в работе Г.М.Куликова и Ю.В.Кулешова [83]. Представлен общий вид скелетных кривых в зависимости от коэффициента, характеризующего неоднородность структуры слоистого пакета. Приведён также общий вид амплитудно-частотных кривых для вынужденных недемпфированных колебаний под действием поперечной нагрузки, распределённой по поверхности пластины по синусоидальному закону, и получены приближённые формулы для определения резонансных частот и амплитуд.

Вынужденные колебания с большой амплитудой слоистых прямоугольных композитных пластин симметричной структуры по толщине с учётом нелинейных деформаций сдвига в срединной плоскости пластин рассматривались методом конечных элементов в [84]. Получены амплитудно-частотные характеристики для различных коэффициентов, характеризующих нелинейный сдвиг, и углов армирования волокнами композитных пластин.

Приближённые решения на основе гипотезы Бергера. Сложность интегрирования связанной системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, какими являются уравнения Фёппля-Кармана для пластин или уравнения Маргерра для пологих оболочек, привела к появлению упрощенного подхода к решению нелинейных задач на основе гипотезы Бергера [8]. Согласно [8] в выражении для энергии деформации можно пренебречь вторым инвариантом тензора деформаций срединной поверхности / = ехеу - у2^ /4 (здесь ех,еу- деформации срединной поверхности, уху - её угол сдвига), не

оказывающим существенного влияния на величину прогиба. Это позволяет получить систему двух несвязанных уравнений, одно из которых является линейным и легко интегрируется. На трёхслойные пластины симметричного строения с мембранными внешними слоями уравнения Бергера были распространены ККагшуа [89, 90], а уравнения трёхслойных анизотропных пластин несимметричной структуры с жестким анизотропным заполнителем и моментными несущими слоями, а также уравнения трансверсально изотропных пластин были получены Э.И.Григолюком и Г.М.Куликовым [81, 82].

В теории многослойных пластин гипотеза Бергера впервые была применена и Ушбоп'ом [76]. Число работ, посвящённых применению гипотезы Бергера к анализу нелинейных колебаний слоистых пластин, пластин на упругом основании и пологих оболочек, сравнительно невелико [9, 75, 76, 85, 86, 91]. В [76] для всего пакета слоев ортотропной пластины симметричного строения по толщине была применена гипотеза прямой линии и получены уравнения движения. В работе [85] сделан вывод о том, что использование гипотезы Бергера для оценки интегральных характеристик колебаний трехслойных пластин по сравнению с более точными уравнениями обеспечивает вполне приемлемую точность, особенно для квадратных пластин. В [83] показано для многослойных пластин с шарнирно опёртыми несмещающимися краями, что относительная разность амплитуд свободных колебаний, найденных по "точной" (по уравнению Дуффинга) и по приближённой теории, базирующейся на гипотезе Берге-

ра, при принятых значениях параметров составляет около 8%. В [76] рассмотрены нелинейные колебания слоистых ортотропных прямоугольных пластин для шести различных вариантов закрепления краев с использованием гипотезы Бергера. Решение строилось методом Бубнова с использованием балочных функций. Для пластин с различным числом слоев при различных граничных усдлвиях определены зависимости относительной амплитуды колебаний от отношения частот нелинейных и линейных колебаний. В [91] рассмотрены слоисто - волокнистые пластины с косым армированием.

Всесторонний анализ применения гипотезы Бергера к нелинейным задачам пластин и пологих оболочек, выполненный в работе [9], показывает, что использование уравнений Бергера приводит к удовлетворительным результатам для интегральных характеристик колебаний. Но так как решение и в приближенной постановке Бергера и при использовании уравнений Фёппля-Кармана в подавляющем большинстве работ сводится к применению метода Бубнова в одночленной аппроксимации и приводит в обоих случаях к интегрированию нелинейного уравнения типа уравнения Дуффинга, то предпочтительно использовать решения на основе более точных уравнений.

Колебания с большой амплитудой антисимметричных косоармированных волокнами слоистых композитных пластин с учетом начальных неправильностей рассматривались в работах [73, 87, 88]. Принималось параболическое распределение деформаций поперечного сдвига по толщине всего пакета слоев. Система пяти исходных дифференциальных уравнений преобразована к одному нелинейному дифференциальному уравнению второго порядка, учитывающему квадратичные и кубические нелинейности, и с использованием одномодового подхода получено его точное решение и решение методом возмущений. Показано, что и при жестком и при мягком типе нелинейности динамическое поведение пластин существенно зависит от начальных несовершенств [87].

Конечно - элементная модель для исследования свободных поперечных нелинейных колебаний слоистых композитных пластин разработана в [49].

Принималось, что деформации поперечного сдвига распределены по толщине пластины по параболическому закону. Построены матрицы жёсткости и масс для сформированного девятиузлового изопараметрического элемента с семью степенями свободы в каждом узле. Численное решение нелинейных уравнений строится итерационным методом. Исследовано влияние степени ортотропии, числа слоев, ориентации волокон, поперечного сдвига, соотношения геометрических размеров на собственные частоты.

Многомодовая динамическая реакция слоистых композитных прямоугольных пластин в геометрически нелинейной постановке при гармоническом воздействии рассматривалась на основе совместного использования метода возмущений и метода Бубнова в работе [92].

Экспериментальные исследования колебаний пластин с большими амплитудами и сопоставление опытных данных с применяемыми расчетными моделями, а также анализ точности и областей применимости различных приближённых методов решения уравнений нелинейных колебаний выполнены в ряде работ [31, 57, 93-97] и др.

Оценивая в целом современное состояние исследований в области нелинейный колебаний трехслойных и многослойных пластин, следует отметить, что большинство работ, особенно в последние годы, посвящено многослойным пластинам, выполненным из различных композиционных материалов.

При этом используются или расчетная схема, основанная на применении гипотез Кирхгоффа для всего пакета слоев (то есть многослойная пластина рассчитывается по классической теории пластин как квазиоднородная с приведёнными упругими параметрами), или уточнённые двумерные теории в рамках, так называемого, "феноменологического" подхода, состоящего в учете поперечных сдвигов на основе интегральных гипотез для всего пакета слоев, при применении которого порядок получающихся уравнений не зависит от числа слоев.

В большинстве работ рассматриваются в первом приближении слабо нелинейные колебания с малым затуханием. Трехслойные пластины в классиче-

ском исполнении (с тонкими несущими слоями и маложестким заполнителем) изучены относительно меньше, и данных о влиянии геометрических и жестко-стных характеристик слоев на характер их нелинейных колебаний и вид амплитудно - частотных характеристик недостаточно.

1.2. Динамическая реакция слоистых пластин при импульсном нагружении

Весьма актуальными являются задачи исследования деформирования

пластин и оболочек при кратковременных нестационарных воздействиях. Это

могут быть динамические нагрузки типа импульсов давления продолжительно_о _л

стью 10 -10 е., когда обычно достаточно учитывать силы инерции, соответствующие нормальным перемещениям, или ударные нагрузки или высокоинтенсивные потоки лазерного излучения с характерным временем приложения

нагрузки 10_6 -10~4 е., когда обычно необходимо учитывать волновой характер передачи усилий. При импульсных воздействиях большой интенсивности в конструкции могут развиваться пластические деформации и происходить значительные изменения геометрии. Поэтому при расчетах необходимо учитывать эффекты как физической, так и геометрической нелинейности.

Различные обзоры, содержащие обсуждение проблемы применительно к тонкостенным конструкциям типа оболочек и пластин при различных нестационарных воздействиях, даны в работах Н.А.Абросимова и В.Г.Баженова [10], В.Л.Агамирова [98], А.В.Вестяка, А.Г.Горшкова и Д.В.Тарлаковского [99], Ю.Н.Новичкова [100], П.З.Лугового [101], А.Е.Богдановича и Э.В.Ярве [102], Ю.В.Немировского и В.И.Самсонова [103], О.Н.Попова и В.Н.Завьялова [104], В.Н.Бакулина, И.Ф.Образцова и В.А.Потопахина [105], В.Г.Баженова и Д.Т.Чекмарева [106], Н.В.Долгополова, Н.В.Сметанкиной, С.В.Угрюмова и А.Н.Щупикова [107] и др. Во многих из этих работ содержится и соответствующая обширная библиография.

К числу первых работ в рассматриваемой области относятся работы Е.А.Уитмера и Балмера, Бауера, Янга и Ахенбаха, Канамацу [108-112].

В [108] рассматривалось поведение балок, колец, пластин и оболочек при действии на них импульсных или взрывных нагрузок с учетом упругих и пластических свойств материала. Найденный расчетным путем закон изменения деформаций от времени и остаточные деформации сравнивались с экспериментальными данными для круговых пластин и колец, защемлённых брусьев, подверженных воздействию взрыва, и с данными для сферической оболочки при ударной нагрузке.

В работе Бауера [110] исследовались нелинейные вынужденные колебания свободно опёртых и защемлённых прямоугольных и круговых пластин при действии импульсных нагрузок двух типов: в виде ступенчатой функции и в виде экспоненциально убывающей функции. Прогиб задавался в виде зависящей от одного параметра функции, удовлетворяющей граничным условиям. Далее функция напряжений Эри из уравнения совместности выражалась через прогиб, и после интегрирования уравнения движения методом ортогонализации получено обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка относительно амплитудного значения прогиба, приближённое решение которого построено методом возмущений. Численные расчеты, проведенные для свободно опёртой квадратной пластины (для контура, свободного от напряжений и контура, неподвижно закрепленного) показали, что прогибы в линейном случае всегда больше, чем в нелинейном. Кроме того, при неподвижно закрепленных краях свободно опёртой пластины влияние нелинейности на поведение пластины значительно больше.

В [112] получено методом конечных разностей решение динамического аналога уравнений Фёппля-Кармана для тонких упругих защемленных по контуру прямоугольных пластин для случая импульсного нагружения в виде ступенчатой функции. Результаты расчетов показывают существенную зависимость максимального прогиба в центре пластины и мембранных напряжений от коэффициента демпфирования.

В [111] методом характеристик определялся характер распределения волн напряжений в многослойных пластинах, сферических и цилиндрических оболочках при действии импульсных нагрузок. Рассматривался случай одномерного распространения волн по нормали к поверхности. Численные результаты получены для стеклянных сферических оболочек, предназначенных для глубоководных исследований и имеющих наружный и внутренний защитные слои, модули упругости которых значительно меньше модуля упругости стекла. Показано, что в защитных слоях уровень нормальных напряжений может превышать напряжения в незащищённой сфере примерно в два раза.

Характерным для последнего времени является существенное усложнение математических моделей для неоднородных слоистых пластин и оболочек. Используются как уточнённые двумерные неклассические дискретно-структурные теории многослойных анизотропных пластин и оболочек, так и уравнения трёхмерной теории упругости.

Показательными в этом отношении являются монографии В.Н.Бакулина, И.Ф.Образцова, В.А.Потопахина [105] и H.A. Абросимова и В.Г.Баженова [10].

Так, в монографии В.Н.Бакулина, И.Ф.Образцова, В.А.Потопахина [105] получены трехмерные нелинейные уравнения динамики толстостенных многослойных оболочек (в том числе, со слоями переменной жесткости) и (с помощью метода энергетической континуализации) двумерные уравнения для таких оболочек с периодической структурой. Рассмотрены задачи, связанные с воздействием на конструкции интенсивных концентрированных термосиловых потоков энергии. Уравнения формулируются относительно функций, через которые выражаются условия механического и теплового контакта слоев (это компоненты векторов перемещений и поперечных касательных и нормальных напряжений). Реализовано обобщение метода дискретной ортогонализации на нелинейные динамические задачи. Оно сводится к следующей процедуре: сначала в уравнениях в частных производных относительно функций

a [txz (а, р, z, t), туг (а, р, z, t), cr2 (а, р, z, t), и(а, Р, z, t), v(a, P, z, t), w(a, p, z, i)], через которые формулируются условия механического и теплового контакта слоев, искомые функции представляются двойными рядами Фурье по меридиональной и окружной координатам, и применяется процедура ортогонализации Бубнова. Получается система дифференциальных уравнений в частных производных, разрешённая относительно функций da{m, п, z, t)/dz.

Далее производные по времени заменяются конечно-разностными соотношениями. В результате получается для каждого момента времени ts при заданных значениях индексов суммирования т, п нелинейная система обыкновенных дифференциальных уравнений, разрешённая относительно производных da(m,n,z,ts)/dz, для решения которой применяется самокорректирующийся метод интегрирования Стриклина, по существу, являющийся одним из способов линеаризации исходной нелинейной задачи. Поэтому, как отмечается в монографии, алгоритм решения нормальной системы дифференциальных уравнений относительно производных а по z (поперечной координате) совпадает с алгоритмами решения линейных задач методом дискретной ортогонализации, что позволяет максимальным образом использовать разработанные ранее методы решения линейных задач теории многослойных оболочек.

В монографии Н.А.Абросимова и В.Г.Баженова [10] и в их многочисленных предшествующих работах [113, 114] и др. разработаны математические модели, описывающие нелинейное деформирование многослойных оболочек переменной толщины с использованием гипотез типа Тимошенко с учетом обжатия нормали для каждого слоя или для всего пакета слоев в целом. В композитных слоях физические соотношения устанавливаются на основе закона Гука для ортотропного тела с эффективными упругими характеристиками и соотношений линейной наследственной теории упругости. Численное решение начально-краевых задач нелинейного деформирования изотропных и композитных элементов конструкций при термосиловых импульсных воздействиях базируется на конечно-разностном методе дискретизации вариационных уравне-

ний движения по пространственным переменным и явной схеме интегрирования по времени.

Для дискретизации по пространственным переменным расчетная область покрывается сеткой многоугольных ячеек, причем используются одновременно треугольные и четырёхугольные ячейки и наряду с основной сеткой вводится промежуточная сетка так, что внутри каждой ячейки основной сетки находится один узел промежуточной сетки.

Для интегрирования по времени полученных систем используется явная конечно-разностная схема типа "крест". Таким образом, процесс интегрирования заменяется последовательным пересчетом искомых переменных с предыдущего временного слоя на последующий. Значения переменных с предыдущего слоя выступают при этом как начальные условия. Для первого шага начальные условия должны быть заданы.

В [10] отмечается, что преимущество вариационно-разностного метода решения перед обычной конечно-разностной схемой решения уравнений состоит в том, что он позволяет стандартным образом вести рекуррентный счет не только внутри области, но и на границе.

На основе численного моделирования проанализирована область применимости теории, базирующейся на единой кинематической гипотезе для всего пакета слоев в задачах импульсного и ударного локального нагружения многослойных композитных балок и цилиндрических оболочек. Получены оценки ошибки в определении максимальных прогибов трехслойных балок и цилиндрических оболочек, рассчитанных по модели с осреднёнными жесткостными характеристиками.

Е.А.Журавлевым [115] на основе вариационно-разностной аппроксимации второго порядка точности по пространственной координате геометрически нелинейных уравнений движения многослойных упруго-пластических пластин и оболочек вращения с произвольным строением пакета и явной схемы интег-

CL »-»

рирования по времени по схеме крест рассмотрено поведение многослойных пластин с клеевым связующим между слоями.

Связующее выделялось в отдельные расчетные слои, в которых напряжения поперечного сдвига и обжатия учитывались на основе гипотезы о линейном распределении нормальных и касательных смещений по толщине. Считалось, что после разрушения связующего взаимодействие слоев сводится к нормальному давлению их друг на друга. В такой постановке изучен процесс импульсного упруго-пластического деформирования двухслойной круговой пластины, жестко защемленной по контуру, с клеевым связующим и её расслоение при действии импульса нормального давления, распределённого по всей поверхности. Проанализировано влияние параметров клеевого связующего, длительности и амплитуды импульса давления. Результаты расчетов показывают, что увеличение числа расчетных слоев больше трех и учет поперечного обжатия пакета незначительно влияют на напряженно-деформированное состояние несущих слоев и сдвиговые напряжения в связующем; учет упругопластического деформирования слоев заметно увеличивает амплитуду прогибов пластины (на 15% при w = 0,IR, R - радиус пластины) и существенно снижает максимальные значения поперечных сдвиговых и нормальных напряжений в связующем. Эти напряжения существенно зависят как от амплитуды импульса давления, так и от его длительности (при условии I = const).

Подробный анализ специфических особенностей применения различных численных методов в задачах нестационарной нелинейной динамики тонкостенных конструкций, в том числе многослойных конструкций из композитных материалов, дан в обзоре В.Г.Баженова и Д.Т.Чекмарёва [106].

Общая постановка проблемы нестационарного взрывного нагружения, приводящая к связанной начально - краевой задаче, сформулирована в работе С.В.Крылова [116]. Весь процесс деформирования конструкции при внешнем взрыве делится на три этапа. На первом этапе после подрыва взрывчатого вещества (ВВ) оно за очень короткое время превращается в расширяющиеся про-

дукты детонации. Второй этап связан с распространением ударных волн в воздухе, третий - с динамическим деформированием конструкции под действием ударных волн и скоростного потока от продуктов детонации и воздуха. Приведена методика экспериментального моделирования воздействия взрыва заряда взрывчатого вещества на трехслойную пластину и отмечается, что несмотря на возможный локальный характер разрушения несущих элементов трехслойной пластины при взрыве, её защитные свойства по гашению нагрузок от взрыва являются достаточно высокими.

Методики расчета нагрузки при подрыве взрывчатого вещества на основе решения трехмерной газодинамической задачи, расчета, проектирования и испытаний конструкций новых типов композиционной защиты автомобилей специального назначения разработаны в МГТУ «МАМИ» [117-119].

В работе [120] обсуждены различные подходы, применяемые для решения геометрически и физически нелинейных задач динамики слоистых пластин и оболочек при нестационарных воздействиях. Решена в геометрически нелинейной постановке задача о деформировании трехслойных прямоугольных пластин несимметричной структуры с трансверсально-изотропным жестким несжимаемым заполнителем, моделирующих панели некоторых автотранспортных средств, при нагружении ударной волной от взрыва.

Параметры импульсного воздействия при наземном взрыве заряда взрывчатого вещества: продолжительность фазы сжатия ударной волны; время от начала отражения ударной волны до начала установления режима обтекания; время от момента взрыва до начала взаимодействия ударной волны с преградой (момент касания фронта волны ближайшей к месту взрыва точки преграды); давление в момент установления режима обтекания; максимальное давление отражения задавались в соответствии с методикой расчета конструкций сооружений на воздействие взрыва, приведенной в работе [123]. По этой методике оценивалась численно реакция автомобиля (перегрузки в районе кабины) на подрыв под ним заряда взрывчатого вещества [124, 118]. Результаты расчетов

дали хорошее согласование расчетных значений перегрузок с экспериментальными.

В [121-122, 125, 161, 164] решение начально-краевой задачи, описываемой уравнениями Григолюка-Чулкова в смешанной форме относительно разрешающих функций перемещений и усилий, строится методом ортогонализа-ции Бубнова с использованием многочленной аппроксимации искомых функций. Получающаяся нелинейная система обыкновенных дифференциальных уравнений интегрируется методом Кутта-Мерсона с решением на каждом шаге алгебраической системы. Проведено численное исследование сходимости полученного решения по сходимости частичных сумм рядов. Проанализировано влияние геометрических и жесткостных параметров трехслойных пластин, расстояния от точки взрыва до пластины, массы заряда взрывчатого вещества на напряженно-деформированное состояние пластины при воздействии кусочно-линейного затухающего по времени импульса, а также воздействие ступенчатого импульса малой интенсивности, но большей длительности по времени, которым может моделироваться воздействие взрыва на достаточно большом удалении от объекта.

В работе В.П.Сизова и С.Н.Шумарина [126] показано, что импульсные воздействия на конструкции из композиционных материалов могут приводить к тому, что распространяющиеся волны напряжений претерпевают многочисленные преломления и отражения от границ слоев. Интерференция волн может приводить к концентрации напряжений на поверхностях раздела слоев, что и является причиной разрушения таких конструкций. Многослойная конструкция моделировалась слоистой средой из чередующихся плоских слоев, изготовленных из однородных изотропных материалов, на которую действует периодическая последовательность прямоугольных импульсов давления, распространяющихся перпендикулярно к поверхности конструкции. Расчеты показывают, что снижать концентрацию напряжений в точках сопряжения слоев можно, выбирая соответствующим образом толщины и материалы слоев. При этом опре-

деляющей физической характеристикой слоя является его волновое сопротивление. Напряжения меньше у той конструкции, у которой волновые сопротивления внешних и внутренних слоев меньше отличаются друг от друга.

Ю.С.Соломоновым, Н.Н.Беловым, Н.Т.Юговым и др.[128] предложена математическая модель для расчёта напряжений, фазового состояния и разрушения многослойных пластин и цилиндрических оболочек при воздействии коротковолнового электромагнитного импульсного излучения. Задача о взаимодействии импульса излучения с веществом рассматривается в рамках модели пористой упругопластической среды. Разрушение рассматривается как процесс роста и слияния пор в пластически деформированном материале под действием растягивающих напряжений, возникающих при взаимодействии встречных волн разгрузки в материале. В качестве локального критерия разрушения при этом принимается величина относительного объема пустот, а разрушенный материал рассматривается как среда, не способная воспринимать растягивающих напряжений. Экспериментально рассмотрены различные режимы воздействия электромагнитного импульса на двухслойные пластины из алюминия и свинца.

В цикле работ Ю.В.Немировского и сотрудников [103, 129, 130] и др. для расчета конструкций при воздействии на них кратковременных интенсивных динамических нагрузок используется модель жесткопластического тела.

Ряд работ посвящен исследованию динамической реакции слоистых пластин при ударном нагружении [135-139] и др.

В целом, следует отметить существенное разнообразие применяемых математических моделей и методов исследования нелинейного деформирования слоистых пластин, что можно объяснить прежде всего разнообразием применяемых типов конструкций и условий их нагружения.

Вместе с тем, несмотря на значительные результаты, уже накопленные в области расчёта нелинейного деформирования конструкций при нестационарном кратковременном нагружении, проблема создания и развития математических моделей, аналитических и численных методов расчета конструкций при

действии импульсных нагрузок продолжает оставаться весьма важной и актуальной, в частности, вследствие появления новых типов конструкций и новых композитных материалов.

Так, наряду с расчетом традиционных авиационных и аэрокосмических тонкостенных конструкций важной является, например, проблема прочности взрывозащитных предохранительных многослойных мембран, применяемых в химическом машиностроении [140]. Очень важными и актуальными в настоящее время являются задачи расчета прочности, несущей способности, разрушения элементов конструкций специальных автотранспортных средств, например, обитаемых кузовов - контейнеров многоцелевого назначения, изготавливаемых в трехслойном исполнении, при действии взрывных нагрузок (задача обеспечения, так называемой, минной стойкости). По задачам же, посвященным нестационарным воздействиям на элементы конструкций автотранспортных средств, имеются покалишь единичные публикации [117-119, 124, 125].

Поэтому целью работы являлась разработка и реализация алгоритмов, программ расчета и параметрическое исследование динамической реакции различным образом закрепленных по контуру трехслойных пластин при периодических и импульсных воздействиях различного вида.

2. НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТРЕХСЛОЙНЫХ ПЛАСТИН КОНЕЧНОГО ПРОГИБА ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

2.1. Построение амплитуд но - частотных характеристик шарнирно опертых трехслойных пластин

Ниже рассматриваются нелинейные колебания трехслойных пластин конечного прогиба несимметричной структуры по толщине с жестким трансвер-сально изотропным заполнителем, податливым на поперечный сдвиг и несжимаемым в поперечном направлении, и изотропными несущими слоями. Вынужденные колебания таких пластин описываются известными в теории трехслойных пластин уравнениями Григолюка-Чулкова, в которых учтены также начальные неправильности формы координатной поверхности, поперечные инерционные силы и внешнее демпфирование. Эта система уравнений 10-го порядка в смешанной форме относительно разрешающих функций перемещений и усилий [44, 129], обобщающая уравнения однородных пластин Феппля-Кармана, имеет вид

ААГ = Ек

V

дхду) дх ду дхду дхду дх ду ду дх

(2.1)

Эк2

Р

+ 2

АА^-

г д2^ Э2ж

+ -

дх дх

д2Е

гд2\й д2м;п

ду2

+

ду2 ду2

дх2

+

^ д2ч? д2уу, + ■

2-ла2^ г а2

дхду дхду

дхду

-д - рк

д12 д1

д V ^

1 -—А

. Р .

Х-

(2.2)

В уравнениях (2.1), (2.2) w(x,.y,/) = м>(х,у^) + луДх,^) - полный прогиб, ы0(х,у)- начальный прогиб, характеризующий отклонение пластины от идеальной формы, - дополнительный прогиб, выражающийся через разрешающую функцию перемещений % известным в теории трехслойных пластин соотношением:

1

ч> -

( к2 Л 1-—А

X:

Е - функция усилий, связанная с полными нормальными удельными усилиями в пластине соотношениями

ъ2е д2Е д2Е

N = N =—— А/" = -

11 а. 2 ' 22 О 2 ' 12 а а. '

ф ох ошу

£ - коэффициент демпфирования среды,

д = д(х,у^) - внешняя нагрузка, приложенная к первому несущему слою (д>0, если направлена в положительном направлении оси т),

з

к = полная толщина пластины (кк- толщина А:-го слоя, (к = 1,2,3),

к=1

к3=2с- толщина заполнителя),

1-у2 з £ ^

Е =-У к к - осреднённый модуль упругости трехслойного пакета,

к ¿=11 - ук

/ \-1 3 Е к у ( 3 Е к ] V = к к к —- приведённый коэффициент Пуассона,

*-1

¿^^ - модуль упругости и коэффициент Пуассона £-го слоя, I) = —- изгибная жесткость трехслойного пакета,

з

= (рк - удельная плотность материала к-то слоя),

к=1

Убезразмерные жесткостные характеристики и безразмерные толщины

слоев {к = 1,2,3): ук

ЕЛ

< 3 ЕЛ V

А А

3

X

к к

КыЛ~У2к ;

к

/ = — 4 к'

й 12ф3(1-у2)

р =-—--параметр, характеризующий жесткость заполнителя на по-

Ег\х

перечный сдвиг ( ^ - модуль поперечного сдвига заполнителя (7 = 1,2)),

эт 77 — 772

$ = —1—-- - параметр, характеризующий относительную изгибную жестов

кость несущих слоев. При этом

г!х^вх=^[\ + 2{ух+у2)-Ъ{ух-у2)2], щ = вх + в2, с13 = ух + /3) - у2 (/2 + ^ ), Лъ = 4(7, + Г2 '2) + <1 (3 Л +3/2+/з) + 6^3 (Г/, + Г2'2) - Зс,2з, ^ = З^з/з (М + М ) + (А + /2), = 4(М2 + гЛ2) - з(м - у А у.

При выводе уравнений трехслойных пластин (2.1), (2.2) в смешанной форме предполагалось, что в заполнителе распределение тангенциальных перемещений по толщине аппроксимируется линейной функцией поперечной координаты, а для тонких упругих несущих слоев справедливы гипотезы Кирхгофа о прямой нерастяжимой нормали, что приводит к распределению касательных перемещений по толщине пакета слоев по закону ломаной линии (см. рис. 2.1).

2Г,Ш к

Рис. 2.1

Использовался простейший вариант геометрически нелинейной теории пластин в квадратичном приближении, согласно которому в выражениях для

компонент деформации срединной поверхности пренебрегалось произведениями и квадратами производных касательных перемещений щ и и1 по сравнению с соответствующими величинами от нормального прогиба, то есть принималось:

=

дщ 1 (дм;^2 1 + —

дх 2

\дх ;

~~ '

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Юрченко, Алевтина Анатольевна

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Предложен единый подход к решению задач о нелинейных колебаниях под действием периодически изменяющейся по времени поперечной нагрузки трехслойных пластин при различных условиях закрепления по контуру, состоящий в сведении исходных краевых задач к одинаковому по структуре обыкновенному нелинейному дифференциальному уравнению, описывающему колебания систем с вязким трением и с кубической упругой характеристикой. Проведено обширное параметрическое исследование влияния различных геометрических, физических и механических параметров в широком диапазоне их изменения на вид амплитудно -частотных характеристик трехслойных пластин, позволившее определить границы областей устойчивых периодических режимов колебаний.

2. В геометрически нелинейной постановке вариационным методом построен новый вариант двумерной неклассической теории, описывающей динамическое деформирование ортотропных трехслойных пластин несимметричного строения по толщине с учетом поперечных сдвиговых и нормальных деформаций и напряжений в жестком заполнителе системой уравнений в перемещениях 16-го порядка.

3. Разработана методика численного решения новых задач определения напряженно - деформированного состояния трехслойных пластин конечного прогиба, шарнирно опертых и жестко защемленных по контуру при нагружении различными нестационарными воздействиями. Построенные алгоритмы базируются на многочленной аппроксимации искомых функций перемещений и усилий, методе ортогонализации Бубнова и численном решении систем обыкновенных нелинейных дифференциальных и алгебраических уравнений. Показано определяющее влияние на прочность панелей напряжений поперечного сдвига в заполнителе.

4. На основе разработанных методик и программ исследовано влияние геометрических, жесткостных параметров, характера нагружения при взрыве, граничных условий на динамическую реакцию трехслойных пластин конечного прогиба, моделирующих панели специальных автотранспортных средств, при их нелинейных колебаниях и при нестационарных воздействиях.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Юрченко, Алевтина Анатольевна, 2012 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Бубнов И.Г. Напряжения в обшивке судов от давления воды. // Морской сб. Спб.: Изд. Морского ученого комитета. Тип. Морского министерства, 1902. Т. 311, № 8. С. 117-143; Т. 312, №9. С. 111-141; Т. 312, № 10. С. 119139; Т. 313, № 12. С. 107-131. Отдельное издание Политехнического ин-та. СПб.; Тип. А.В.Винеке, 1904. 93 с. Перепечатка: Бубнов И.Г. Труды по теории пластин. М.: Гостехтеориздат, 1953. С. 11-100. См.также: Boobnoffl. On the stresses in а ship's botton plating due to water pressure // Trans.Inst. Nav. Archit. 1902.V.44. P. 15-40, 51-52.

2. Бубнов И.Г. Строительная механика корабля. Часть II. СПб.: Тип. морского министерства, 1914. §§ 23-25. Гибкие пластины. С. 545-640. Перепечатка: Бубнов И.Г. Труды по теории пластин. М.: Гостехтеориздат, 1953. §§ 23-25. Гибкие пластины. С. 218-308.

3. Föppl А. Vorlesungen über technische Mechanik. 1907. Bd. 5. S. 132-144.

4. Karman Th. Festigkeitsprobleme in Maschinenbau // Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften. 1910. Bd. 4. S. 311-385.

5. Marguerre K. Zur Theorie der gekrümmten Platte grosser Formänderung // Jahrbuch 1939 der Deutschen Academie der Luftfahrtforschung, Bd. 1. S. 413-418. Proceedings of the fifth International Congress of applied Mechanics. Cambridge, Massachusetts, 1938, New York, London. Chapman and Hall Ltd., 1939. P. 93-101.

6. Лопаницын E.A. Геометрически нелинейные задачи изгиба ортотропных круговых пластин // В сб. Прикладные проблемы механики тонкостенных конструкций. Под ред. академика РАН С.С.Григоряна. М.: Изд-во Моск. ун-та. 2000. С. 246-269.

7. Лопаницын Е.А. Геометрически нелинейная задача изгиба ортотропных кольцевых и секториальных пластин // Прикл. математика и механика. 2003. Т. 67. Вып. 6. С. 985-992.

8. Berger H.M. A new approach to the analysis of large deflections of plates // Journal of applied mechanics, 1955. V.22. № 4. p. 465-472.

9. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Об упрощенном методе решения нелинейных задач теории упругих пластин и оболочек // Некоторые прикладные задачи теории пластин и оболочек / Под ред. Э.И.Григолюка. М.: Изд-во Моек ун-та, 1981. С. 94-121.

10. Абросимов Н.А., Баженов В.Г. Нелинейные задачи динамики композитных конструкций: Монография. Н. Новгород: Издательство ННГУ, 2002. 400 с.

11. Рабинович A.JI. Устойчивость обшивки с заполнителем при сжатии // Тр. ЦАГИ, № 595. Изд-во: Бюро новой техники, 1946. 38 с.

12. Reissner Е. Contributions to the problem of structural analysis of sandwich-type plates and shells. Theory and practice of sandwich construction in aircraft // A symposium. Preprint. № 165. 1948. P. 21-48.

13. Reissner E. Finite deflection of sandwich plates // J. Aeronaut Sci. 1948. V. 15. № 7. P. 435-440; errata, Finite deflection of sandwich plates // J. Aeronaut Sci. 1950.V.17. № 2. P. 125.

14. Григолюк Э.И. Уравнения трёхслойных оболочек с легким заполнителем // Изв. АН СССР, ОТН. 1957. № 1. С. 77-84.

15. Григолюк ЭИ Конечные прогибы трёхслойных оболочек с жестким заполнителем // Изв. АН СССР, ОТН. 1958. № 1. С. 26-34.

16. Wang Chi-the. General theory on the buckling of sandwich cylinders. N.Y. Univ. Sch. Aero. Publ. Aug.25, 1949.

17. Wang Chi-Teh. Principle and application of complementary energy method for thin homogeneous and sandwich plates and shells with finite deflections. NACA Technical Note, № 2620, 1952. 39 p.

18. Teichmann F.K., Wang Chi-The. Finite deflection of curved sandwich plates and sandwich cylinders. // Sherman M. Fairchild Fund Paper № FF-4. Inst. Aeronautical Sciences, January, 1951. 14 p.

19. Григолюк Э.И., Коган E.A. Статика упругих слоистых оболочек // М.: НИИМеханики МГУ, 1999. 215 с.

20. Фомин В.П. Поперечный изгиб слоистых пластин // Тр. ЦАГИ, 2004. № 2664. С. 122-136.

21. Wang Z., Liu R. A refined nonlinear theory for sandwich plates faced with orthotopic laminated composites and its application // Yingyong lixue xue-bao=Chin. J. Appl. Mech, 1998. V. 15. № 2. C. 18-24.

22. Liew K.M., Yang J., Kitipornchai S. Thermal postbuckling of laminated plates comprising functionally graded materials wuth temperaturedependent properties // Trans. ASME. J. Appl.Mech., 2004. V. 71. № 6. C. 839-850.

23. Болотин B.B. Динамическая устойчивость упругих систем. М.: Гос. изд-во

технико-теоретической лит-ры, 1956.

24. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. Изд. 2-е, перераб. М.: Машиностроение, 1970. 736 с.

25. Филин А.П. Прикладная механика твердого деформируемого тела. Т.З. М.: Наука. Глав. ред. физ.-матем. лит-ры, 1981. 480 с.

26. Бидерман B.JI. Прикладная теория механических колебаний // Учеб. пособие для втузов. М.: Высш. школа, 1972. 416 с.

27. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.1. Механика. Изд. 2-е, испр. М.: Наука. Глав. ред. физ.-матем. лит-ры, 1965.

28. Chu H.N., Herrmann G. Influence of large amplitude on free flexural vibrations of rectangular elastic plates // Journ. Appl. Mechanics, 1956. V.23. № 4. P. 532540.

29. Yamaki N. Influence of large amplitudes on flexural vibrations of elastic plates // Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Mechanik, 1961, Bd. 41. S. 501510.

30. Nash W.A., Modeer J.R. Certain approximate analyses of the nonlinear behavior of plates and shallow shells // I.U.T.A.M., Proc. of the Symposium on the theory of thin elastic shells. Amsterdam, North-Holland Publishing Co., 1960. P. 331354.

31. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластин и оболочек. -М.: Наука, 1972. -432 с.

32. Крысько В.А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек // Саратов: Изд-во Сарат. гос. ун-та, 1976. 214 с.

33. Крысько В.А. Нелинейные задачи расчета тонкостенных конструкций // Саратов: Изд-во Саратов, гос. ун-та, 1989.

34. Крысько В.А. Нелинейная динамика механических и биологических систем. Саратов: 2000.

35. Крысько В.А., Вахлаева Т.В., Крысько А.В. Диссипативные колебания гибких пластинок и сценарий перехода их к пространственно-временному хаосу при гармонических продольных воздействиях // Нелинейная динамика механических и биологических систем. Межвуз. научн. сборник. Саратов: Саратовск. гос. техн. ун-т. 2000. С. 8-73.

36. Крысько В.А., Куцемако А.Н. О сходимости метода Канторовича-Власова при исследовании нелинейных собственных колебаний прямоугольных пластин и оболочек //В сб. Исследования по теории пластин и оболочек, вып. 11. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1975. С. 279-288.

37. Крысько В.А., Куцемако А.Н. Устойчивость и колебания неоднородных оболочек. Саратов: Саратов, гос. техн. ун-т, 1999. 202 с.

38. Амбарцумян С.А., Гнуни В.Ц. О вынужденных колебаниях и динамической устойчивости трехслойных ортотропных пластинок // Изв. АН СССР, ОТН. Механ. и машиностроение, 1961. № 3. С. 117-123.

39. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных пластин (прочность, устойчивость и колебания). М.: Наука, Главная ред. физ.-матем. лит-ры. 1967. 268 с.

40. Chu H.N. Influence of transverse shear on nonlinear vibrations of sandwich beams with honeycomb cores // J. Aeronaut. Sci. 1961. V.28. P. 405-410; comment: ibid., 1962. V.29. № 7. P. 886-888.

41. CHu H.N. Influence of large amplitudes on flexural vibrations of a thin, cylindrical sandwich shell // J. Aerospace Sci., 1962. V. 29. № 3. P. 376.

42. Yu Y.Y. Nonlinear flexural vibrations of sandwich plates // J. Acoust. Soc. America, 1962. V.34. № 9. Parti. P. 1176-1183.

43. Ю.И.-юань Применение вариационного уравнения движения к анализу нелинейных колебаний однородных и слоистых пластин и оболочек // Прикл. механика, сер. Е. Т. 30, 1963. № 1. С. 25.

44. Yu Yi-Yuan, Lai Jai-Liec. Influence of transverse shear and edge condition on nonlinear vibration and dynamic buckling of homogeneous and sandwich plates

// Trans. ASME, 1966. V. E33. № 4. P. 934-936. Русск. перевод: Ю. И-юань, Лай Чже-лю. Влияние поперечного сдвига и граничных условий на нелинейные колебания и динамическую устойчивость однородных и многослойных пластин // Прикл. механика, сер. Е, 1966. Т. 33. № 4. С. 242-244.

45. Холод А.И. Нелинейные поперечные колебания трехслойной цилиндрической панели//Прикл. механика, 1965. Т. 1. № 6. С. 123-126.

46. Кваша Э.Н. Нелинейные колебания трехслойных пластин и оболочек // Строительные конструкции (научные семинары по железобетонным конструкциям и сопротивлению материалов). Днепропетровское областное НТО строительной индустрии. Днепропетровск: ДИСИ, 1969. С. 127-133.

47. Пискунов В.Г., Федоренко Ю.М., Степанова А.Е. Решение задачи колебаний слоистых пластин в геометрически нелинейной постановке // Проблемы прочности. 1993. № 8. С. 47-52.

48. Пискунов В.Г. Об одном варианте неклассической теории неоднородных пологих оболочек и пластин // Прикл. механика. 1979. Т. 2. № 11. С. 7681.

49. Tenneti R., Chandrashekhara К. Large amplitude flexural vibration of laminated plates using a higher order shear deformation theory // J. Sound and Vibr. 1994. V. 176. №2. P. 279-285.

50. Ohnabe H. Non -linear vibration of heated orthotropic sandwich plates and shallow shells // Int. J. non-linear mech. 1995. V. 10. № 4. P. 501-508.

51. Xia Z.Q., Lucaxiewicz S. Non-linear free, damped vibrations of sandwich plates

// J. Sound and Vibr. 1994. V.175. № 2. P. 210-232.

52. Du G. Large amplitude vibration of circular sandwich plates // Yingyong shuxue he lixue = Appl. Math, and Mech. 1994. V. 15. № 5. P. 435-442.

53. Du G., Chen Y. Further study on large amplitude vibration of circular sandwich plates // Appl. Math. And Mech. Engl. Ed. 1996. V. 17. № 11. P. 1087-1094.

54. Du G., Ma Jian-ging. Nonlinear vibration of circular sandwich plates // Appl. Math, and Mech. Engl. Ed. 2006. V. 27. № 10. P. 1417-1424.

55. Sherif H.A. Free flexural vibrations of clamped circular sandwich plates // J. Sound and Vibr. 1992, V. 157. № 3. P. 531 - 537.

56. Sherif H.A. Non-linear forced flexural vibration of a clamped circular unsym-metrical sandwich plate // J. Sound and Vibr. 1995, V. 182. № 3. P. 495-503.

57. Kovac E.J., Anderson W.J., Scott R.A. Forced non-linear vibrations of a damped sandwich beam // J. Sound and Vibr. 1971. V. 17. № 1. P. 25-39.

58. Lakis A.A., Selmane A., Toledano A. Non-linear free vibration analysis of laminated orthotropic cylindrical shells // Int. J. Mech. Sci. 1998. V. 40. № 1. C. 27-49.

59. Adam C. Moderately large flexural vibrations of composite plates with thick layers // Int. J. Solids and Struct., 2003. V. 40, № 16. P. 4153-4166.

60. Pillai S.R.R., Nageswara R.B. Reinvestigation of non-linear vibrations of simply supported rectangular cross-ply plates // J. Sound and Vibr. 1993. V. 160. № 1. P. 1-8.

61. Ohta Yoshiki, Narita Yoshihiro, Sasajima M. Nonlinear vibration of laminated FRP plates // Hokkaido kogyo daigaku kenkyu kiyo=Mem. Hokkaido Inst. Technol. 1993. № 21. P. 39-46.

62. Shih Y.S., Blotter P.T. Non-linear vibration analysis of arbitrarily laminated thin rectangular plates on elastic foundations // J. Sound and Vibr. 1993. V. 167. № 3. P. 433-459.

63. Sarma V.S., Venkateshwar R.A., Pillai S.R.R., Nageswara R. B. Large amplitude vibrations of laminated hybrid composite plates // J. Sound and Vibr. 1992. V. 159. №3. P. 540-545.

64. Bennett J.A. Nonlinear vibration of simply supported angle ply laminated plates // AJAA Journal, 1971. V. 9. № 10. P. 1997 - 2003.

65. Дидыченко И.М. К решению задачи колебаний с большими прогибами защемлённых по контуру слоистых пластин // Стр-во и реконструкция в соврем. условиях: Тез. докл. междунар. науч.- техн. конф-ии. Рубцовск, 26-30 мая 1997. Рубцовск, 1997. С. 14-15.

66. Федоренко Ю.М. Собственные геометрически нелинейные колебания неоднородных пластин // Стр-во и реконструкция в соврем, условиях: Тез. докл. междунар. науч.- техн. конф-ии. Рубцовск, 26-30 мая 1997. Рубцовск, 1997. С. 45-46.

67. Bert C.W. Nonlinear vibration of an arbitrarily laminated, anisotropic, rectangular plates // Proc. 3-rd Can. Congr. Appl. Mech. Calgary, 1971. Calgary, 1971. P. 307-308.

68. Bert C.W. Nonlinear vibration of a rectangular plate arbitrarily laminated of anisotropic material // Trans. ASME, 1973. V. E40. № 2. P. 452-458.

69. Hu Hao, Fu Yi-ming. Нелинейные динамические реакции вязкоупругих ор-тотропных симметричных слоистых пластин // Hunan daxue xuebao. Zaran kexue ban - J. Hunan Univ. Natur. Sci. 2003. V. 30. № 5. P. 79-83.

70. Киладзе Б.А., Преображенский И.Н., Цхведиани А.Ш. Колебания многослойной цилиндрической панели с анизотропными слоями при больших прогибах // Мех. композ. материалов. 1982. № 6. С. 1014-1020.

71. Xu Jiachu, Liu Renhuai. Shear effects on large amplitude forced vibration of

symmetrically laminated rectilinearly orthotropic circular plates // Appl. Math, and Mech. Engl. Ed. 1998. V. 19. № 2. P. 111-119.

72. Chen Chun-Sheng, Cheng W., Chien R.D., Doong J.L. Large amplitude vibration of an initially stressed cross ply laminated plates // Appl. Acoust. 2002. V. 63. №9. P. 939-956.

73. Singh G., Rao G.V., Iyengar N.G.R. Finite element analysis of the non-linear vibrations of moderately thick unsymmetrically laminated composite plates // J. Sound and Vibr. 1995. V. 181. № 2. P. 315-329.

74. Shi Y., Lee R.Y.Y., Mei Ch. Finite element method for nonlinear free vibrations of composite plates // AIAA Journal, 1997. V. 35. № 1. P. 159-166.

75. Abe Akira, Kobayashi Y., Yamada G. Internal resonance of rectangular laminated plates with degenerate modes // ASME. Int. J. C. 1998. V. 41, № 4. P. 718-726.

76. Wu Chtng-ih, Vinson Jack P. Nonlinear oscillations of laminated specially orthotropic plates with clamped and simply supported edges // J. Acoust. Soc. Amer. 1971. V. 49. № 5, Part 2. P. 1561 - 1567. См. также: Laura P. A., Mau-rizi M. J. Comments on "Nonlinear oscillations of laminated specially orthotropic plates with clamped and simply supported edges" // J. Acoust. Soc. Amer. 1972. V. 52. № 3. Part 2. P. 1053.

77. Janevski G. Two-frequency nonlinear vibrations of antisymmetric laminated angle-ply plate // Facta Univ. Ser. Mech. Autom. Contr. And Rob. Univ. Nis., 2005. V.4. № 17. P. 345-358.

78. Куликов Г.М., Кулешов Ю.В. Нелинейные колебания многослойных трансверсально изотропных пластин // Вестник Тамбовского гос. техн. унта, 2000. Т. 6. № 2. С. 258-263.

79. Куликов Г.М., Кулешов Ю.В. Вынужденные нелинейные колебания многослойных пластин // Вестник Тамбовского гос. техн. ун-та, 2002. Том 8. № 3. С. 483-489.

80. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Многослойные армированные оболочки. Расчет пневматических шин. М.: Машиностроение, 1988. 288 с.

81. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Приближённый анализ анизотропных

трёхслойных пластин конечного прогиба // Механика композитных материалов, 1980. № 1. с. 42-48.

82. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Приближённый анализ нелинейных трансверсально изотропных трёхслойных пластин // Механика композитных материалов, 1980. № 2. С. 272-276.

83. Куликов Г.М., Кулешов Ю.В. Нелинейные колебания многослойных пластин // Вестн. Тамб. ун-та. Сер. естеств. и техн. н., 2004. Т. 9. № 2. С. 264267.

84. Huang Zaixing, Zhu Jin-fu. The forced vibration analysis of symmetrically laminated composite rectangular plates with in-plane shear nonlinearites // Proc. 3rd Int. Conf. Nonlinear Mech. Shanghai, Aug. 17-20, 1998; ICNM-3. Shanghai, 1998. C. 243-247.

85. Karmakar B.M. Amplitude - frequency characteristics of large amplitude vibrations of sandwich plates // Trans. ASME, 1979. V. E46. № 1. P. 230-231.

86. Sircar R. Vibration of rectilinear plates on elastic foundation at large amplitude

// Bull. Acad. pol. sci. techn. 1974. V. 22. № 4. P. 293-299.

87. Bhimaraddi A. Nonlinear dynamics of in-plane loaded imperfect rectangular plates // Trans. ASME. J. Appl. Mech., 1992. V. 59. № 4. P. 893-901.

88. Bhimaraddi A. Large amplitude vibrations of imperfect antisymmetric angle-ply laminated plates // J. Sound and Vibr., 1993. V. 162. № 3. P. 457-470.

89. Kamiya N. Governing equations for large deflections of sandwich plates. AIAA

Journal, 1976. V. 14. № 2. P. 250-253.

90. Kamiya N. Analysis of the large thermal bending of sandwich plates by a modified Berger method. Journ. of strain analysis, 1978. V. 13. № 1. P. 17-22.

91. Bennett J.A. Some approximations in the nonlinear vibrations of unsymmetri-caly laminated plates // AJAA Journal, 1972. V. 10. № 9. P. 1145 - 1146.

92. Yamada G., Kobayashi Y., Abe Akira. Multimode response of rectangular laminated plates // Nihon kikai gakkai ronbunshu = Trans. Japan Soc. Mech. Eng. C., 1996. V. 62. № 600. P. 2976-2982.

93. Герштейн M.C., Халюк C.C. Нелинейные колебания многослойной оболочки // Вопросы прочности трубопроводов. М.: 1982. С. 121-133.

94. Герштейн М.С., Халюк С.С. Теоретическое и экспериментальное исследование нелинейных колебаний многослойной оболочки регулярного строения //13 Всес. конф. по теории пластин и оболочек, Таллин, 1983. Ч. 2. Таллин: 1983. С. 7-12.

95. Reif Z.F. Approximate methods for the solution of non-linear vibration equation // Bull. Mech. Eng. Educ, 1970. V.9. № 3. P. 231-234.

96. Pandalai K.A.V. A general conclusion regading the large amplitude flexural vibration of beams and plates // Isr. J. Technol., 1973. V. 11. № 5. P. 321-324.

97. Sandman B.E., Walker H.S. An experimental observation in large amplitude plate vibration // Trans. ASME, 1973. Vol. E40. № 2. P. 633-634.

98. Агамиров B.JI. Обзор исследований по устойчивости конструкций при импульсивном нагружении // Расчет пространственных конструкций, 1969. Т. 12. М.: Стройиздат. С. 186-200.

99. Вестяк А.В., Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Нестационарное взаимодействие деформируемых тел с окружающей средой // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Механика деформ. тверд, тела. 1983. № 15. С. 69-148.

100. Новичков Ю.Н. Динамика слоистых конструкций // Математические методы и физико - механические поля, 1986. Вып. 24. С. 41-46.

101. Луговой П.З. Динамика оболочечных конструкций при импульсных нагрузках (обзор) // Прикл. механика, 1990. Т. 26, № 8. С. 3-19.

102. Богданович А.Е., Ярве Э.В. Анализ зон повреждений в слоистых углепластиках при низкоскоростном ударе // Механ. композитных материалов. 1991, №3. С. 412-420.

103. Немировский Ю.В., Самсонов В.И. Анализ исследований по динамическому поведению КМ-конструкций // Моделирование в механике. Новосибирск: Ин-т теоретической и прикладной механики, 1993. Т. 7(24), № 4. С. 110-116.

104. Попов О.Н., Завьялов В.Н. Обзор работ по расчету подкрепленных пластин и оболочек при импульсном нагружении // Том. гос. архит. строит, акад. Томск: 1994. 13 с.

105. Бакулин В.Н., Образцов И.Ф., Потопахин В.А. Динамические задачи нелинейной теории многослойных оболочек. Действие интенсивных термосиловых нагрузок, концентрированных потоков энергии. М.: Наука. Физмат-лит. 1998. 464 с.

106. Баженов В.Г., Чекмарев Д.Т. Вычислительные модели нелинейных задач динамики пространственных конструкций // В сб. "Актуальные проблемы механики оболочек".Труды Междунар. конференции, посвященной 100-летию профессора Х.М.Муштари, 90-летию профессора К.З.Галимова и 80-летию профессора М.С.Корнишина, Казань, 26-30 июня 2000. Казань: "Новое знание", 2000. С. 50 - 64.

107. Долгополова Н.В., Сметанкина Н.В., Угримов C.B., Щупиков А.Н. Методы расчета многослойных конструкций при нестационарном нагружении // Материалы XIII Международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" им. А.Г.Горшкова. Ярополец, 12-16 февраля 2007. М.: МАИ, 2007. С. 95-96.

108. Witmer E.A., Pian Т.Н., Balmer H.A. // NASA, Techn. Note. D-1510, 1962. P. 607-622.

109. Witmer E.A., Balmer H.A., Leech J.W, Pian Т.Н. // AJAA Journal, 1963. V. 1. №8. P. 1848-1857.

110. Bauer H. Nonlinear response of elastic plates to pulse excitation // Trans.-ASME,1968. V.E35, № 1. P. 47-52.

111. Yang J.C.S, Achenbach J.D. Stresses in multilayered structures under high-rate pressure loads // Pap. ASME, 1970. № WA/Unt-14. 8 p.

112. Канамацу X, Нэш В.А. Поведение прямоугольных пластин при импульсном нагружении в случае конечных прогибов // Сб. Избранные проблемы прикладной механики. М.: Изд-во "Наука". 1974. С. 381-386.

113. Абросимов H.A. Моделирование нелинейного деформирования и потери устойчивости композитных оболочечных конструкций при импульсных воздействиях // А/р. дисс.... докт. физ.- матем. н. Нижегородский гос. ун-т им. Н.И.Лобачевского. Н. Новгород: 1999. 38 с.

114. Баженов В.Г. Нелинейные задачи динамики тонкостенных конструкций при импульсных воздействиях // Прикл. проблемы прочности и пластичности. Методы решения задач упругости и пластичности. Всес. межвуз. сб. Горьк. ун-т, 1981. С. 57-66.

115. Журавлев Е.А. Упругопластическое осесимметричное деформирование многослойных пластин и оболочек при импульсных воздействиях // А/р дисс....к.т.н. Горький: Горьк. гос. ун-т им. Н.И.Лобачевского, 1983. 18 с.

116. Крылов C.B. Численное моделирование процессов взрывного нагружения трехслойных пластин и оболочек // Труды XVIII Международной конференции по теории оболочек и пластин, 29 сентября - 4 октября 1997. Саратов: 1997. Т. 1.С. 72-76.

117. Международный научный симпозиум, посвященный 140 - летию МГТУ «МАМИ», 23-24 марта 2005 г. Россия, М.:МГТУ «МАМИ». Каталог научно-технических разработок МГТУ «МАМИ» С. 74-82.

118. Кулаков H.A. Исследование динамики автомобильных конструкций при взрыве // Прикл. проблемы механики тонкостенных конструкций. Под ред. акад. РАН С.С.Григоряна. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2000. С. 190-204.

119. Кулаков H.A. Воздействие динамической нагрузки на наземные транспортные средства // Избранные проблемы прочности современного машиностроения. Сборник научных статей, посвященный 85-летию чл.-корр. РАН Э.И.Григолюка. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. С. 150-156.

120. Григолюк Э.И., Коган Е.А., Юрченко A.A. О численном решении задач нелинейной динамики неоднородных пластин при нестационарном нагруже-нии // Ломоносовские чтения. Науч. Конференция. Секция механики. Апрель 2004 года. Тезисы докладов. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2004. С. 64-65.

121. Коган Е.А., Юрченко A.A. Деформирование трехслойных пластин при импульсном нагружении // Девятая международная научно - техническая конференция по динамике и прочности автомобиля,, 15-17 марта 2005 года. Материалы конференции. Под ред. чл.-корр. РАН Э.И.Григолюка. М.: МГТУ "МАМИ". 2005. С. 172-176.

122. Коган Е.А., Юрченко A.A. О колебаниях трехслойных пластин конечного прогиба при кратковременном импульсном нагружении // Международный научный симпозиум, посвященный 140 - летию МГТУ «МАМИ» 2324 марта 2005 года. Материалы 49-ой Международной научно - технической конференции ААИ «Приоритеты развития отечественного автотракторостроения и подготовки инженерных и научных кадров». Секция 4. «Математические методы моделирования и оптимизации автотранспортных средств». Часть 2. М.: МАМИ, 2005. С. 23-26.

123. Динамический расчет сооружений на специальные воздействия. Справочник проектировщика. Под ред. Коренева Б.Г., Рабиновича И.М. М.: Строй-издат, 1981.215 с.

124. Лопаницын Е.А. Моделирование вертикальных колебаний автомобиля // Избранные проблемы прикладной механики и математики. МГТУ

"МАМИ". Сб. научных трудов кафедры "Прикладная и вычислительная математика", посвященный 80-летию чл.-корр. РАН Э.И.Григолюка. М.: МГТУ "МАМИ". 2003. С. 208-234.

125. Юрченко А.А. Нелинейное деформирование трехслойных пластин при кратковременном динамическом нагружении // Институт механики. Труды конференции - конкурса молодых ученых 11 октября - 16 октября 2006 г. Под редакцией акад. РАН Г.Г.Черного, проф. В.А.Самсонова // М.: Изд-во Моск. ун-та, 2007. С. 304-310.

126. Сизов В.П., Шумарин С.Н. Напряженно - деформированное состояние многослойных конструкций, подвергающихся воздействию импульсной нагрузки //Изв. вузов, Сер. Машиностроение, 1983. № 7. С. 13-17.

127. Сизов В.П. Расчет динамической концентрации напряжений в слоистой конструкции при импульсных нагрузках // Изв. вузов, Сер. Машиностроение, 1985. № 2. С. 22-25.

128. Соломонов Ю.С., Белов Н.Н., Югов Н.Т., Карнаухов A.M., Афанасьева С.А., Валуйская J1.A. Математическое моделирование поведения многослойных пластин и цилиндрических оболочек при воздействии высокоэнергетическим импульсом // Мех. композиц. матер, и конструкций. 2004. Т. 10. №4. С. 517-531.

129. Немировский Ю.В., Романова Т.П. Динамическое деформирование криволинейной пластины с жесткой вставкой // ПМТФ, 2006. Т. 47. № 2. С. 126138.

130. Комаров К.Л., Немировский Ю.В. Динамика жестко-пластических элементов конструкций. Новосибирск: Наука. Сиб. отделение. 1984.

131. Kant Т., Mallikarjuna. Impulse response of anisotropic composite plates with a higher-order theory and finite element discretization // Trans. 10th Int. Conf. Struct. Mech. React. Technol. Anaheim, Calif. 14-18 Aug. 1989. V. B. Los Angeles, 1989. P. 209-220.

132. Perel V.Y. Nonlinear dynamic finite element analysis of thick transversely flexible sandwich panel on elastic foundation with account of damage progres-

sion in time. Сообщение 1.Трехмерная формулировка задачи и двумерная теория пластин // Проблемы прочности, 2005. № 2.С. 92-106. P. 2.3D analysis and time integration. Ibid, 2005. № 4. P. 95-112, 146-147.

133. Герасимов A.B., Шалковский Д.М. Численное моделирование напряженно-деформированного состояния и разрушения элементов многослойной комбинированной преграды // Механика композиционных материалов и конструкций, 2004. Т. 10. № 1.

134. Teng Tso-Liang, Liang Cho-Chung, Liao Ching-Cho. Transient dynamic large deflection analysis of panel structure under blast loading // JSME Int. J. A. 1996. V. 39. №4. P. 591-597.

135. Kim Chun-Gon. Impact resistance of composite laminated sandwich plates // J. Compos. Mater. 1992. V. 26. № 15. P. 2247-2261.

136. Vaziri R., Quan X., Olson M.D. Impact analysis of laminated composite plates and shells by super finite elements // Int. J. Impact Eng. 1996. V. 18. № 7-8. P. 765-782.

137. Schroeder Т., Chandrashekhara K. Nonlinear Impact response of laminated plates using a higher order theory // Eur. J. Mech. A. 1994. V. 13, № 6. P. 833855.

138. Prasad Ch. В., Ambur Damodar R., Starnes J. H. Response of laminated composite plates to low - speed impact by different impactors // AJAA J. 1994. V. 32, №6. C. 1270-1277.

139. Сметанкина H.B., Сотрихин С.Ю., Шупиков A.H. Динамика многослойных пластин при импульсном и ударном нагружениях // Тр. 16 Междунар. конф-ии по теории оболочек и пластин, Нижний Новгород, 21-23 сент. 1993. Т. 3. Н. Новгород: 1994. С. 180-185.

140. Пухлий В.А. Процессы горения и взрыва в дисперсных средах. Севастополь: 2001. 340 с.

141. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Критические нагрузки трехслойных цилиндрических и конических оболочек. Новосибирск: Западно - Сибирское книжное изд-во, 1966. 224 с.

142. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Теория упругих трёхслойных конструкций в нелинейной постановке // В сб. Расчеты элементов авиационных конструкций. Вып. 4. М.: Машиностроение, 1965. С. 99-133.

143. Григолюк Э.И., Чулков П.П. Устойчивость и колебания трёхслойных оболочек. М.: Машиностроение, 1973. 172 с.

144. Тимошенко С.П., Гудьер Дж.Теория упругости. М.: Глав. ред. физ.- матем. лит-ры. Наука, 1975. 576 с.

145. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.: Глав. ред. физ.-матем. лит-ры изд-ва "Наука", 1967. 444 с.

146. Еремин В.И., Коган Е.А., Котыга Е.И., Кулаков H.A., Мальковский Б.Н., Сальков С.Г.Нормирование прочности обитаемых кузовов-контейнеров многоцелевого назначения // Международное научно-техническое совещание по динамике и прочности автомобиля, 5-8 декабря 1994. Тезисы докладов. М.: Тип. НАМИ. 1994. С. 39-41.

147. Еремин В.И., Семеникова Л.Ю. Методика оценки долговечности несущей

системы автомобиля при транспортировке кузова - контейнера // Материалы IX Международной научно - технической конференции по динамике и прочности автомобиля, 15-17 марта 2005 года. Под ред. чл.-корр. РАН Э.И.Григолюка. М.: МГТУ 'МАМИ".2005. С. 129-135.

148. Расчет трехслойных конструкций: Справочник // В.Н.Кобелев, Л.М.Ковар-ский, С.И.Тимофеев. Под ред. В.Н. Кобелева. М.: Машиностроение, 1984. 304 с.

149. Расчеты машиностроительных конструкций методом конечных элементов: Справочник // В.И.Мяченков, В.П.Мальцев, В.П.Майборода. Под общ. ред. В.И.Мяченкова. М.: Машиностроение, 1989. 520 с.

150. Рабинович И.М. Основы динамического расчета сооружений на действие кратковременных и мгновенных сил. Часть 1. М.: Издание ВИА, 1952. 188 с.

151. Timoshenko S., Woinowsky-Krieger S. Theory of Plate and Shells // N.Y. etc.: McGraw-Hill, 1959 = Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Физматгиз, 1963. 635 с.

152. Иванов A.B. Устойчивость прямоугольных трехслойных пластин при комбинированном нагружении // Изв. АН СССР. МТТ. 1970, № 1. С. 105-114.

153. Голованов А.И. Динамическая устойчивость пологой трехслойной цилиндрической панели при внешнем давлении //Исследования по теории пластин и оболочек. Вып. 19. Казань: Изд-во КГУ, 1985. С. 127-138.

154. Филоненко - Бородич М.М. Об одной системе функций и ее приложениях в теории упругости // Прикл. математика и механика. 1946, т. 10, № 1. С. 193-208.

155. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения к технике // М.: Гос-техтеориздат, 1949. 784 с.

156. Колтунов М.А. Изгиб прямоугольных пластинок с учетом больших прогибов // Инженерный сборник. 1952, т. XIII. С. 3-14.

157. Иванов A.B., Чулков П.П. Учет поперечных деформаций заполнителя в задачах устойчивости трехслойных пластин с различными несущими слоями //Изв. АН СССР. МТТ. 1969, №6. С. 101-107.

158. Колкунов Н.В. Основы расчета упругих оболочек. Изд. 2-е, перераб. и доп. Учебное пособие для втузов. М.: "Высш. Школа", 1972. 296 с.

159. Александров А.Я., Брюккер Л.Э., Куршин Л.М., Прусаков А.П. Расчет трехслойных панелей. М.: Оборонгиз, 1960. 272 с.

160. Гольдсмит В. Удар. Теория и физические свойства соударяемых тел. М.: Изд-во лит-ры по строительству. 1965. 448 с.

161. Коган Е.А., Юрченко A.A. Нелинейное деформирование защемленных по контуру трехслойных пластин при импульсном нагружении // «Избранные

проблемы прочности современного машиностроения». Сборник научных трудов, посвященный 85-летию чл.-корр. РАН Э.И.Григолюка. М.: Физ-матлит. 2008. С. 110-123.

162. Коган Е.А., Юрченко A.A. Построение амплитудно - частотных характеристик трехслойных пластин конечного прогиба // Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред. Международный симпозиум им. А.Г.Горшкова. Ярополец, Москва, 16-20 февраля 2009 года. Тезисы докладов М.: МАИ. 2009. С. 89-90.

163. Коган Е.А., Юрченко A.A. Нелинейные колебания защемленных по контуру трехслойных пластин // Проблемы машиностроения и надежности машин. М.: 2010, № 5. С. 25-34.

164. Юрченко A.A. Численное моделирование деформирования трехслойных панелей при кратковременных нестационарных воздействиях // Проблемы машиностроения и надежности машин. М.: 2011, № 4. С. 85-92.