Чезаровская суммируемость отрицательного порядка рядов Фурье в пространстве Lp[a,b] тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Кудрявцев, Александр Иванович

• Кудрявцев, Александр Иванович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кудрявцев, Александр Иванович

Введение

Глава 1. Методы суммирования Чезаро

§1. Определение (С, а) - суммируемости.

§2. Свойства чисел Чезаро.

Глава 2. Критерий (С,а)-суммируемости рядов Фурье в Ьр[а,Ъ],

-1 <а< —

§ 1. Критерий (С,а)-суммируемости рядов Фурье в Ь [а,б],

§2. Критерий (С,а)-суммируемости рядов Фурье в Ьр[а,Ь],

2 < р < +оо

Глава 3. Достаточные условия (С,а)~суммируемости рядов Фурье в

I [а,Ь], ~ — <а < О

§1. Достаточные условия (С,а)-суммируемости рядов Фурье в

12[а,б].

§2. Достаточные условия (С,а)-суммируемости рядов Фурье

Виленкина в пространстве ¿[од].

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Чезаровская суммируемость отрицательного порядка рядов Фурье в пространстве Lp[a,b]»

Пусть ф = {<рп(х)}™=0- ортонормированная система в пространстве ¿2[а,б], в общем случае комплекснозначная, и

00

Цск(рк{х) (1) 0 ь

-ряд Фурье функции /(х), то есть ск = ¡/(х)<рк(х)ск. Величины

J л — ZAn-/cck<Pk(x)> xe[a,b],

А *=о а-И)(аг + 2)-.-(а+/и) . где Ат = ---------, а ф -1,-2,.; т = 0,1,., называют чезаровскими т\ средними порядка а или (С, а) -средними ряда (1). Говорят, что ряд (1) суммируется методом {С,а) ((С, а) -суммируем) в метрике пространства Ьр [а, Ь], 1 < р < +оо, если

-/(*) = о(1), л «>, (2) где r)\Rxfdx^P а а а„= о(1) означает, что lim ап = 0.

В диссертации рассматриваются методы (С,а), где -1 < а < 0. Известно, что равномерная суммируемость ряда (1) влечет его суммируемость в метрике пространства Ьр[а,Ь], р> 1. Поэтому можно считать, что условия равномерной суммируемости ряда (1) методами {С,а) являются достаточными для (С. а) -суммируемости ряда (1) в метрике пространства Ьр[а,Ь]. Один из первых результатов, относящихся к равномерной чезаровской суммируемости отрицательного порядка ряда (1) по тригонометрической системе Ф, был получен А. Зигмундом [18] в 1925 году. Он показал, что если 2к - периодическая функция /(*) всюду удовлетворяет условию Липшица порядка а (0 < а < 1), то ее ряд Фурье равномерно суммируем методом (С,Р) (/?>-«) к /(х). Позднее результат А.

Зигмунда обобщался Г.Харди и Дж. Литтлвудом [15], К. Яно [16], Л.В. Жижиашвили [6], Г.С. Сурвилло [12] и другими математиками. Первые результаты по чезаровской суммируемости отрицательного порядка в метрике пространства Ьр [а, Ь] были получены Л.В. Жижиашвили анонсированы в 1975 году в работе [7] и доказаны в 1976 году в работе [8]). Они относятся к рядам Фурье по тригонометрической системе Ф и устанавливают интегральные условия на функцию /(х), достаточные для выполнения соотношения (2). Позднее достаточные условия того же типа были получены Т.И. Ахобадзе [2]. Обобщения на двойные тригонометрические ряды Фурье рассматривали Л.В. Жижиашвили [9] и У. Гогинава [5];

Условия другого типа используют скорость стремления к нулю коэффициентов Фурье функции /(х). А. Зигмунд [18] заметил, что если 2к -периодическая функция /(х) всюду удовлетворяет условию Липшица порядка а (0 < а < 1), + 2(ап008п* + Ь„ Бтих) (3)

2 /1—1

- ее ряд Фурье по тригонометрической системе Ф, то коэффициенты Фурье

I 2 2 „ д/а^ + ъ\ f(x) удовлетворяют условию +Ь„ =0(п ), то есть отношение п~а ограничено. Сопоставив этот факт с полученным им результатом, отмеченным выше, А. Зигмунд [18] сформулировал задачу: суммируем ли ряд (3) методом Чезаро отрицательного порядка, соответствующим порядку коэффициентов?

Л.В. Жижиашвили [8] отметил, что соотношение

II п

Yj Л."-k к(ак cos kx + bk sin кх)

И Аг=0 о(и1+а) (п —> со) является необходимым и достаточным для (С, а) -суммируемости ряда Фурье (3) функции /(х) к /(х) в метрике пространства ЬЛ-ж,л:\ 1<р<+ад, а>-\.

В 1985 году китайский математик Wang Zhengao [17] показал, что условие

2и-1 а . Il а

X ^2n-i-k(ak cos kx + bk sin£x)| = о(п ) к=п II] является необходимым и достаточным для (С, а)-суммируемости ряда Фурье (3) функции /(х) к f(x) в метрике пространства -1<а <0, а в случае квазимонотонных последовательностей {ап}, {b„} таким условием является условие ап + Ь„ = о(па). Кроме того, им доказана

Теорема А. Если -1 <а<-^, то сг"(*,/)-=о(1) тогда и только тогда, когда kl + \Ьп\ = о(па).

Тем самым Wang Zhengao дал отрицательный ответ на вопрос А. Зигмунда для -1 <а<~^ в пространстве ь[-к,и тем более в случае равномерной суммируемости.

В 1988 году Г.С. Сурвилло и автор [20] распространили утверждение теоремы А на ряды Фурье-Виленкина по мультипликативным ортонормированным системам Ф. Естественно возникают задачи

А) проверить, сохраняется ли утверждение Wang Zhengao для произвольных ортонормированных систем Ф в пространстве L\a,b\ и молено ли его перенести на пространства L [a,b], р> 1 ;

Б) попытаться найти условия на коэффициенты Фурье функции /(х), при выполнении которых соотношение (2) имеет место для - ^ < а < 0. Целью работы является решение задач (А) и (Б).

Все основные результаты диссертации являются новыми.

Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в теории приближения функций, а также при чтении спецкурсов.

Результаты диссертации докладывались на заседании кафедры математического анализа Московского государственного педагогического института в 1988 году, на заседаниях 5-й и 6-й Саратовской зимней школы по теории функций и приближений в 1990 и 1992 годах, на заседании Красноярского городского семинара по комплексному анализу в 2004 году.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [19] - [23]. Из совместных статей в диссертацию включены лишь результаты, полученные лично автором.

Работа состоит из введения, трех глав, разбитых на шесть параграфов, заключения и списка литературы, содержащего 21 наименование. Объем диссертации 61 страница. Нумерация определений, лемм, теорем, следствий и формул в каждой главе сквозная. При этом первая цифра указывает номер главы. Например, «Теорема 2.3» - это третья теорема второй главы, (3.25) -25-ая формула третьей главы.

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Кудрявцев, Александр Иванович

Заключение

В диссертационной работе получены условия на коэффициенты Фурье функции fix) по ортонормированной системе Ф = {<р„(х)}~=0,х е [a;b]:

1) необходимое для (С,а)- суммируемости ряда Фурье функции /(х) в метрике пространства Lp[a,b\ 1 < р < +оо, -1 <а <О, \<pn\q <М < п = 0,1,. p~l+q~l = 1 и (pn(x)<zLp[a,b\, если 2<р<+оо. (теорема2.1);

2) необходимое и достаточное для (С,а)- суммируемости ряда Фурье функции f{x) в метрике пространства Lp[a,b\ 1 < р < 2, -1 < а < Ф - полная в Li[a,b\ ортонормированная система, \<pn\q <М <-н», п = 0,1,., p~l + q~l = 1 теоремы 2.2 и 2.3);

3) необходимое и достаточное для (С,а)- суммируемости ряда Фурье функции f{x) в метрике пространства Lp[a,b\ 2 < р < -ко, -1 < а < -—, р~х +q~l = 1, \<pnix)\<M < +оо, п = ОД,. - почти всюду на [a,b\ Ф - полная в Lp[a,b] ортонормированная система (теорема 2:4);

4) достаточные для (С,а)- суммируемости ряда Фурье функции fix) в метрике пространства Li[a,b\ <0, Ф - полная в Li\a,b\ ортонормированная система (теорема 3.1);

5) достаточные для (С,а)- суммируемости ряда Фурье-Виленкина функции fix) в метрике пространства l[o,l], < 0, в случае, когда последовательность {рп} простых чисел, определяющая систему Виленкина X, ограничена (теорема 3.2).

Кроме того, показано, что в условиях теорем 2.3 и 2.4 для а2 > ах из (С,а,)- суммируемости ряда Фурье функции fix) в метрике пространства Lp[a,b] следует его (С,а2)- суммируемость (следствия 2.1 и 2.2).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кудрявцев, Александр Иванович, 2004 год

1. Андриенко В.А. О суммируемости ортогональных рядов методами Чезаро отрицательного порядка // Изв. вузов. Математика, 1988, №9, с. 3-10.

2. Ахобадзе Т.И. О сходимости и суммируемости простых тригонометрических рядов Фурье И Некоторые вопросы теории функций (сб. работ). Т.1. Тбилиси. Изд. Тбилисского ун-та, 1979, с. 566.

3. БариН.К. Тригонометрические ряды. Физматгиз, 1961.

4. Виленкин Н.Я. Об одном классе полных ортогональных систем.!I Изв. АН СССР, серия матем., 1947, 1, с. 363-400.

5. Гогинава У. О чезаровских средних двойных тригонометрических рядов Фурье //Мат. заметки, 2003, 74, №4, с. 502-507.

6. Жижиашвили Л.В. О сходимости и суммируемости тригонометрических рядов Фурье II Мат. заметки, 1976, 19, №6, с. 887-898.

7. Жижиашвили Л.В. Некоторые вопросы теории тригонометричес-- ких рядов Фурье и их сопряженных.- Тбилиси.: Изд. Тбилисского унта, 1993.

8. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. Физматгиз, 1958.

9. И.П. Натансон. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974.

10. Сурвилло Г.С. О методах суммирования Чезаро отрицательного порядка II Материалы пятой научной конференции по математике и механике Томского университета. Томск, 1975, с. 30.

11. Г.М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 2. Москва, 1966.

12. Cesâro E. Bull. Sei. math, 1890, 14, №1, p. 114-120.

13. Hardy G.H., Littlewood J.E. A convergence criterion for Fourier series H Math. Z, 1928, 28, №4, 612-634.

14. Jano K. On Hardy and Littlewood's theorem II Proc. Japan Acad, 1957, 33, c. 73-74.

15. Wang Zhengao. L-convergence of Cesar о means of negative order II I. Hangzhou Univ. Natur. Sei. Ed, 1985, 12, №1, p. 43-48.

16. Zygmund A. Sur la sommabilité des series de Fourier des functions vérifant la condition de Lipschitz // Bull, de l'Acad. Polon, 1925, p. 1-9.

17. РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

18. А.И. Кудрявцев. Об одном критерии суммируемости рядов Фурье методами (С, -а) в метрике пространства Lpll Деп. в ВИНИТИ1408.90.-№ 4602-В90.

19. А.И. Кудрявцев, Г.С. Сурвилло. Об одном критерии Lp суммируемости рядов Фурье методами Чезаро отрицательного порядка H Изв. вузов. Математика, 1990, № 11, с. 47-50.

20. А. И. Кудрявцев. Об условиях чезаровской суммируемости отрицательного порядка рядов Фурье в пространстве L a,b]ll Вестник ХГУим. Н.Ф. Катанова. Серия 9: Математика. Физика. Вып. 1.- Абакан, 2004. с. 24-47.