Некоторые нелинейные задачи электроупругости, возникающие в теории оболочек и при учете нелинейности определяющих уравнений пьезокерамических материалов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Потиха, Лев Зиновьевич

• Потиха, Лев Зиновьевич
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Потиха, Лев Зиновьевич

Введение

Глава I. НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОУ1РУГИХ ПЛАСТИНОК И ОБОЛОЧЕК

§ I. Постановка задач в нелинейной электроупругости

§ 2. Некоторые полные вариационные принципы в нелинейной динамической электроупругости

§ 3. Описание модели электроупругой оболочки

§ 4. Гипотезы /аппроксимации/ уточненной нелинейной теории электроупругих оболочек

§ 5. Уточненная теория /типа теории Тимошенко/ электроупругих оболочек

§ 6. Теория первого приближения электроупругих оболочек

•••«'»V

§ 7. Пьезокерамические оболочки с разлт-н-з^й •

1 * • « /-о поляризациеи . .1*:.

5 8. Решение иллюстративных задач

Глава П. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРОЫЕСАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА

СЕГНЕТОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ

§ I. Одноосный сегнетоэлектрический полидоменнътй монокристалл.

§ 2. Плоская модель сегнетоэлектрического полидоменного монокристалла тетрагональной симметрии

§ 3. Модель сплошной среды для описания свойств пьезокерамики

- з

Глава Ш. ОДЕШЕРНАЯ РЕОЛОГИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПЬЕЗОКЕРАШШ

И ШКЛАЛНАЯ ТЕОРИЯ ВНУТРЕННЕГО ТРЕНИЯ

Г> I. Обобщенная модель йшлинского-Прейзаха

§ 2. Задача об изгибе поляризованного по длине пьезокетмического бруска

§ 3. Резонансные колебания пьезокерамических тел с учетом внутреннего трения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые нелинейные задачи электроупругости, возникающие в теории оболочек и при учете нелинейности определяющих уравнений пьезокерамических материалов»

Изучение движения твердых и жидких деформируемых тел с учетом электромагнитных эффектов является одной из основных и важнейших задач механики сплошной среда[47-,96-92»,loo]. Для вывода полной системы соответствующих уравнений возможны два подхода: микроскопический и макроскопический.

В рамках микроскопического подхода рассматривается взаимодействие электромагнитного поля и точечных частиц, составляющих вещество, и проводится статистическое описание bo,Si] . Переход к макроскопическому описанию осуществляется при помощи процедуры усреднения.

Второй подход состоит в изучении взаимодействия электромагнитного поля со сплошной средой [бМ&] • Так,в исследованиях Л.И.Седова и его учеников разрабатывается общая теория конструирования моделей сплошных сред при наличии взаимодействия материальных тел с электромагнитным полем с учетом электрических токов, поляризации, намагничивания и релятивистских эффектов, основывающаяся на использовании базисного вариационного уравнения [юо] . Для конкретных сред вид входящих в вариационное уравнение функционалов выбирается исходя из экспериментальных данных и модельных представлений.

Эти два подхода находятся между собой в таком же соотношении, как классические статистическая механика и термодинамика, соответственно. Хотя первый подход обладает большими потенциальными возможностями, при втором подходе удается избежать чрезмерных усложнений, ставя перед собой цель выявить самое главное и характерное для изучаемого явления.

В диссертации проводится рассмотрение очерчиваемого далее класса явлений в рамках макроскопического подхода.

Описание взаимодействия электромагнитного поля со средой в общем случае необходимо проводить в соответствии со специальной теорией относительности. При движении макроскопических тел обычно выполняется условие с"*** » Где у ~ скорости точек среды, с - скорость света. В этом случае можно перейти к нерелятивистским уравнениям, ковариантным относительно преобразований Галилея [64] .

При рассмотрении ряда задач электродинамики плодотворной является идеализация, связанная с введением понятия квазистационарного электромагнитного поля: предполагается, что скорость изменения величин, характеризующих поле, не слишком велика . В работах показано, что для ненамаг-ничивающихся сред при отсутствии внешних магнитных полей в этом случае можно ограничиваться учетом взаимодействия вещества с квазиэлектростатическим полем. Все задачи в диссертации рассматриваются в квазиэлектростатическом приближении.

По своим электрическим свойствам тела условно делятся на два класса - проводники и диэлектрики .

Возникающее в проводниках электрическое поле приводит к направленному перемещению свободных зарядов - электрическому току. Взаимодействие проводников с магнитным полем изучается в таких, например, областях исследования, как магнитная гидродинамика (жидкие и газообразные проводники) , магнитоупругость ( упругие проводники) [б,64] , "магнито-упруго-пластичность" [ 111-1 .

В диэлектриках, в отличие от проводников, свободные заряды отсутствуют, и внесенные извне сторонние заряды не мозтут "достаточно быстро" перемещаться. Происходящие в диэлектрике при приложении электрического поля Е процессы объясняются, в основном, переориентацией и деформацией структурных элементов вещества, рассматриваемых как диполи. Для их описания вводятся вектор поляризации Р , представляющий объемную плотность дипольного момента диэлектрической среды, или вектор электрической индукции 2) = £вЁ+Р > где £а - электрическая постоянная. Электрическое поле, приложенное к диэлектрику, приводит к изменению Р

Диэлектрические материалы в кристаллической форме распределены по всем 32 кристаллографическим классам. Двадцать из 32 кристаллографических классов являются пьезоэлектрическими, т.е. в диэлектрических кристаллах из этих классов ( пьезо-электриках) изменение Р можно индуцировать при помощи механических напряжений. Десять из 20 пьезоэлектрических классов обладают тем свойством, что диэлектрические кристаллы, принадлежащие им, спонтанно поляризованы и в отсутствие электрического поля Р=Р0 . Такие диэлектрики называются полярными или пироэлектриками. Пироэлектрический кристалл называется се-гнетоэлектриком, если он имеет не единственный возможный вектор спонтанной поляризации и может быть переведен из одного ориентированного состояния в другое при приложении электрических или механических напряжений.

Под действием электрического поля диэлектрики деформируются. Все диэлектрики обладают электрострикцией - под полем возникает составляющая деформации £э.с .пропорциональная квадрату напряженности поля::

У пьезоэлектриков, кроме того, возникает линейная по полю составляющая деформации:

Пьезоэлектрическая составляющая обычно значительно С на несколько порядков) превосходит электрострикционную. Особенно сильный пьезоэлектрический эффект наблюдается в сегнетоэлектри

Широкое применение в различных областях находят поликристаллические пьезоактивные вещества на основе сегнетоэлек-триков - пьезокерамические материалы. Сегнетокерамические материалы синтезируются по керамической технологии: смешение мелкодисперсных порошков исходных компонентов в точной пропорции и последующий обжиг при высокой температуре с целью получения соединений выбранного состава. Сегнетоэлектрическая керамика в основном однородна и изотропна. Полярные оси доменов, составляющих керамику сегнетоэлектрических кристаллитов, распределены статистически равномерно. Таким образом сегнетоке-рамика является непьезоэлектрической текстурой. При поляризации ( приложении достаточно сильного постоянного электрического поля) домены получают преимущественную ориентацию и керамика становится полярной пьезоэлектрической текстурой -пьезокерамикой [Т9,Ц2»,120].

Отметим некоторые существенные нелинейные эффекты, возникающие при взаимодействии сплошной среды с квазиэлектростатическим полем.

Ь = ]>Е, тензор 3-го ранга пьезоэлектрических коэффициентов. ках.

I. Нелинейные задачи для упругих тел.

Под задачей электроупругости в этом случае мы понимаем квазиэлектростатическую задачу для окруженного вакуумом неоднородного упругого тела, состоящего из диэлектрических и идеально-проводящих областей. Нелинейность разрешающих уравнений задачи возникает по следующим причинам: а) нелинейность пондеромоторных сил в уравнениях динамики; б) нелинейность определяющих уравнений, связывающих деформацию и поляризацию диэлектрической среды с механическими и электрическими напряжениями; для проводящей среды - нелинейность соотношений между деформациями и напряжениями; в) "геометрическая нелинейность" [?1] . обусловленная нелинейной связью между вектором перемещений и тензором деформаций.

Для диэлектрической среды, переходя к плотности внутренней энергии материи(среды + поля), удобно определить энергетический тензор Пиола-Кирхгофа. При введении этого тензора в уравнения динамики нелинейность, отмеченная в пункте (а),пропадает. В ряде задач оказывается существенной нелинейность определяющих уравнений, отмеченная в пункте (б) [ 12.1,42.?, Большое значение имеет учет "геометрической нелинейности", что объясняется широким использованием в качестве механических преобразователей энергии электроупругих тел в форме пластин и оболочек . Рассмотрению этих вопросов посвящена первая глава диссертации.

2. Нелинейные электромеханические свойства сегнетоэлектриков.

Сегнетоэлектрики и родственные им материалы представляют обширный класс веществ. Достаточно отметить, что к 1979 году было известно около 700 соединений, обладающих сегнетоэлект-рическими свойствами [8] . Постоянный все возрастающий интерес к сегнетоэлектрикам связан с богатыми возможностями их технического применения,обусловленными особенными свойствами веществ этого класса (в основном нелинейными) . Определяющую роль нелинейных эффектов в сегнетоэлектрических кристаллах иногда подчеркивают, называя их нелинейными кристаллами

Для термодинамического описания электроупругого диэлектрического материала достаточно выбрать три пары сопряженных инвариантных величин: тензоры деформаций и напряжений, векторы индукции и напряженности электрического поля, скалярные величины - энтропию и абсолютную температуру. У сегнетоэлектрических кристаллов и пьезокерамических материалов (как пьезоэлектриков') зависимости между этими параметрами линейны лишь в ограниченной области изменения внешних нагрузок [1Ъ, юз] . Вне этой области связи между указанными параметрами оказываются неоднозначными и существенно нелинейными, что обусловлено происходящими под нагрузкой доменными переориентациями. В рамках термодинамики обратимых процессов отразить эти эффекты невозможно.

Во второй главе диссертации для построения моделей сплошных сред с учетом сегнетоэлектрических явлений используются методы термодинамики необратимых процессов. Кратко рассмотрены сегнетоэлектрические полидоменные монокристаллы. Основное внимание уделяется изучению пьезокерамических материалов, что объясняется исключительно широким использованием этих материалов в электромеханических преобразователях.

В третьей главе разрабатывается одномерная реологическая модель пьезокерамики, которая используется для описания "микропластических" деформаций и получения прикладной теории резонансных колебаний с учетом "внутреннего трения".

Актуальность ^сс^елотшя. Линейная теория электроупругих тел в настоящее время в значительной степени разработана и созданы эффективные методы решения соответствующих задач, иттнако при достаточно высоких уровнях механических и электрических напряжений расчет по линейной теории может приводить к заметным погрешностям и, следовательно, необходимо учитывать нелинейные эффекты.

Цель работьт.

1.Построение нелинейной теории электроупругих оболочек (уточненной типа теории Тимошенко; теории первого приближения4).

2. Рассмотрение нелинейных определяющих уравнений пьезоке-рамиче ских мат ериал ов.

Мето.дика исследования. Вывод полной системы уравнений, описывающих, нелинейные колебания электроупругих оболочек, осуществляется из полного вариационного принципа нелинейной электроупругости. Для построения уточненной теории используются аппроксимации типа аппроксимаций теории Тимошенко; переход к теории первого приближения выполняется при принятии гипотез, аналогичных гипотезам КирхгоФа-Лява. Для получения нелинейных определяющих уравнений сегнетоэлектрических материалов применяются методы термодинамики необратимых процессов и метод реологических моделей.

Научная новизна заключена в следующих основных результатах исследования.

Т. Сформулированы полные вариационные принципы в нелинейной электроупругости, являющиеся обобщением принципов Гамильтона-Вашицу и Гамильтона-Рейсснера теории упругости.

2. Полный вариационный принцип используется для получения уравнений и граничных условий нелинейной теории электроупругих оболочек. Построена уточненная нелинейная теория электроупругих оболочек типа теории Тимошенко : СО достаточно универсальная. чтобы допускать рассмотрение различных электроупругих материалов и различных способов электродного покрытия; и) имеющая при этом минимальную сложность ( порядок системы уравнений равен 14) . Переход к теории первого приближения осуществляется при введении дополнительных гипотез типа гипотез Кирхгойа-Лява.

3. Решение по уточненной теории складывается из проникающего решения и погранслоев, причем погранслои возникают дополнительно ( кроме появляющихся в'упругих оболочках) вблизи линий изменения электрических граничных условий. Проникающее решение может быть найдено в рамках теории первого приближения.

Рассмотрена задача о колебаниях однородной пьезокерамичес-кой пластинки с толщинной поляризацией при электрическом нагру-жении. Показано, что при потере устойчивости продольных резонансных колебаний основной частоты происходит возбуждение из-гибных колебаний (не обязательно на основной форме).

4. Проведено термодинадаческое рассмотрение электромеханических свойств сегнетоэлектрических полидоменных монокристаллов с учетом динамики доменной структуры) . Развитые представления использованы для построения модели сплошной средьт. описывающей свойства пьезокерамики, - электроупруговязкопластического материала с внутренними структурными параметрами состояния ( в том числе параметра!.®, характеризующими протяженность и подвижность доменных границ). о. Разработана одномерная реологическая модель пьезокерамики. а) рассмотрена задача о чистом изгибе пьезокерамического бруска; показано, что при разрушающих уровнях нагружения ошибка в определении напряжений по линейной теории превышает 20-/о для материала PZT-5 ; б) реологическая модель применена для описания "микропластических" деформаций и "внутреннего трения" в пьезокерамике; в) предложена прикладная теория резонансных колебаний пьезо-керамических тел с учетом "внутреннего трения".

Полученные теоретические результаты хорошо качественно согласуются с имеющимися в литературе экспериментальными данными и модельными представлениями.

Практическая ценность. Результаты, полученные в диссертации, позволяют формулировать и решать задачи расчета электромеханических преобразователей в нелинейной постановке.

Результаты исследований, указанные выше в п.5в, внедрены в нормативные документы и используются на предприятиях Министерства электронной промышленности.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы и приложений. Ьсе главы являются замкнутыми исследованиями, связанными общим объектом изучения5^.*