Многомасштабная гомогенизация пьезоэлектрических композитов с модифицированными интерфейсными свойствами: математические модели, конечно-элементные технологии и применения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Нассар Мохамед Элсайед Абузид

• Нассар Мохамед Элсайед Абузид
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Нассар Мохамед Элсайед Абузид

Оглавление

Введение

Глава 1: Общий обзор

1.1. Пьезоэлектрические преобразователи

1.2. Линейная теория пьезоэлектричества 19 1.2.1. Энергетические и полевые уравнения электроупругости

1.2.2. Пьезоэлектрические определяющие уравнения

1.3. Методы идентификации модулей обычных пьезоэлектрических материалов

1.4. Пористые пьезокомпозиты

1.5. Пористые пьезокомпозиты для сбора энергии

1.6. Способы устранения недостатков пористых пьезокомпозитов

1.7. Пористые пьезоэлектрические композиты с металлизированными поверхностями пор

1.7.1. Метод микроструктурного дизайна (МСД)

1.7.2. Концепция транспорта наночастиц (КТН/NPT)

1.8. Гомогенизация пористых пьезоэлектрических композитов

1.9. Аналитические методы гомогенизации

1.9.1. Краткий обзор

1.9.2. Краткое описание концепции аналитической гомогенизации

1.9.3. Тензор Эшелби

1.9.4. Разбавленное приближение

1.9.5. Метод Мори-Танака

1.9.6. Самосогласованный метод (SCM)

1.10. Численная гомогенизация 41 1.10.1. Представительный объем элемеша

1.10.2. Представительные объемы с микроструктурой рассматриваемых

пьезокомпозитов

1.11. Краткое описание метода численной гомогенизации, реализованного на основе конечно-элементных технологий

1.12. Трудности определения эффективных свойств пьезокомпозитов

1.13. Методология, реализованная в работе 46 Заключение к главе

Глава 2: Математическая модель гомогенизации

2.1. Краевые задачи и методология гомогенизации

2.2. Случай обычного пористого пьезокомпозита

2.3. Пористые пьезокомпозиты с экстремальными свойствами на границах пор

2.4. Моделирование неоднородной поляризации

2.5. Обоснование межфазных условий на примере диэлектрического композита

2.5.1. Гомогенизация сферического трехфазного диэлектрического композита

2.5.2. Предельные переходы для эффективной диэлектрической проницаемости

2.5.3. Диэлектрические задачи гомогенизации без учета экстремальных модулей материалов включений

2.5.4. Заключительные замечания

2.6. Конечно-элементные аппроксимации 75 Заключение к главе

Глава 3: Алгоритмы формирования представительных объемов

Определение представительного объема

3.1. Простой или периодический представительный объем

3.1.1. Простой представительный объем для моделирования аномальных свойств

пористых пьезокерамических материалов

3.1.2. Периодический представительный объем, представляющий СМПП с учетом

упругих свойств металлического слоя с малой толщиной

3.1.3. Представительный объем, моделирующий частичную металлизацию

поверхностей пор СМПП

3.2. Случайный представительный объем

3.2.1. Представительный объем, моделирующий случайно распределенные включения одинакового размера

3.2.2. Представительный объем для моделирования неравномерного распределения включений произвольного размера

Заключение к главе

Глава 4: Результаты вычислительных экспериментов

4.1. Влияние формы пористости на эффективные свойства обычного пористого пьезокомпозита (ОПС) и пористого пьезокомпозита с металлизированными границами пор (СМПП)

4.2. Об аномальных свойствах пористых пьезокерамических материалов с металлизированной или жесткой поверхностью пор

4.3. Влияние объемной доли металла на эффективные свойства пористого пьезоэлектрического композита с металлизированными границами пор

4.4. Эффективные свойства пористого неоднородно поляризованного по направлению пьезокерамического материала с полностью металлизированными границами пор

4.5. Влияние частичной металлизации на границах пор на эффективные свойства пористого пьезокерамического композита

4.5.1. Исследования эффективных модулей СЧМПП2Х и СЧМПП2Z

4.5.2. Исследования эффективных модулей СЧМПП2X2Y и СЧМПП2X2Z

4.5.3. Влияние частично металлизированной поверхности пор на симметрию кристалла

4.6. Исследования пьезоэлектрического композита с полыми металлическими включениями с использованием адаптируемого случайного представительного объема

133

Заключение к главе

5. Глава 5: Программные комплексы компьютерного моделирования

5.1. Алгоритм и программы для решения задач гомогенизации с учетом периодического ПО

5.2. Алгоритмы и программы для решения задач гомогенизации с учетом случайного ПО

Заключение к главе

Заключение

Не повторяя полностью выводов, отмеченных при общей характеристике работы во введении, можно отметить ряд физических результатов, характеризующих обнаруженные при вычислительных экспериментах интересные свойства рассматриваемых композитов/

Библиография

6. Приложение

Введение

Актуальность темы

Актуальность диссертационной работы определяется важностью исследований по созданию новых и более эффективных многофазных пьезокерамических композитов (нанокомпозиты, пористая керамика, керамика/керамика, керамика/кристалл, и др.) из-за их многочисленных применений в современных высокотехнологических устройствах. Для улучшения механических, электрических и функциональных свойств пористых пьезокерамических композитов А.Н. Рыбянец с коллегами разработали новый подход к изготовлению пьезокомпозитов путем введения в процессе производства в керамическую матрицу различных форм полимерных микрогранул, заполненных или покрытых металлосодержащими микро- или наночастицами. Следуя [206], этот пьезокомпозит далее будет обозначаться как система с металлизированными поверхностями пор (СМПП). В настоящей работе были разработаны математические методы, конечно-элементные (КЭ) технологии и программные средства для моделирования представительных объемов и расчета эффективных модулей этих композитов с учетом их внутренней структуры на различных масштабных уровнях. Задачи гомогенизации для обычных пористых пьезокомпозитов (ОПС) и СМПП были обобщены для исследования в рамках единого подхода системы с жесткими поверхностями пор (СЖПП), которую можно считать электромеханической противоположностью СМПП, и системы с металлизированными жесткими поверхностями пор (СМЖПП). Хотя две последние композитные системы немного виртуальны, их исследование позволяет лучше понять электромеханические свойства СМПП и позволяет предсказать тенденции изменения эквивалентных свойств других пьезокомпозитов, таких как пьезокомпозит с металлическими включениями.

Кроме того, в работе были исследованы некоторые прецизионные свойства микроструктуры, такие как неоднородность поля поляризация и неполная металлизация поверхности пор. Были исследованы случайные эффекты, которые часто проявляются в реальных композитах, наполненных частицами или порами. Разработан большой представительный объем со стохастически распределенными включениями случайного размера. Зависимости макромасштабных свойств от особенностей внутренней структуры и

электромеханических полей на микромасштабах были использованы в различных разделах данного исследования.

Основные рассмотренные композитные системы являются достаточно новыми и мало исследованными. Этим обусловлена актуальность темы исследований. Данная тема является также актуальной в связи с возрастающей потребностью компьютерного дизайна новых пьезоэлектрических композиционных материалов с улучшенными характеристиками и прогнозирования их эффективных свойств.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Многомасштабная гомогенизация пьезоэлектрических композитов с модифицированными интерфейсными свойствами: математические модели, конечно-элементные технологии и применения»

Цель работы

Целью диссертационного исследования является математическое и компьютерное исследование эффективных свойств микропористых пьезокерамических композитов с модифицированными (металлизированными) свойствами на поверхности пор с учетом различных особенностей микроструктуры.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи: в области математического моделирования -

• постановка задач гомогенизации для композитов, состоящих в общем случае из материалов различных типов (упругих или жестких, диэлектрических или проводящих, пьезоэлектрических, пористых), основанных на принципе сохранения энергетического баланса между исходным композитом и «эквивалентной» гомогенной средой;

• аналитическое обоснование модели учета экстремальных межфазных интерфейсных свойств при конечно-элементных (КЭ) расчетах путем исследования задачи гомогенизации соответствующего изотропного диэлектрического композита;

• исследование влияние неоднородности поля поляризации на эффективные свойства композитных систем с проводящими интерфейсными слоями;

в области численных методов -

• разработка КЭ моделей базовых ячеек и представительных объемов большей размерности для пористых пьезокомпозитов с модифицированными свойствами на поверхностях пор;

• разработка КЭ методов моделирования различных факторов, влияющих на эффективные характеристики СМПП, такие как форма пор, неоднородность поля поляризации, частичная металлизация поверхностей пор, упругость проводящего слоя;

в области разработки программных комплексов -

• разработка компьютерных программ для расчета полного набора эффективных модулей пьезокомпозитов рассматриваемых классов с проверкой энергетического баланса и средних полевых характеристик решений в каждой фазе композита;

• разработка компьютерных программ с использованием концепции периодического представительного объема (ПО/К"УЪ) для изучения влияния на эквивалентные характеристики микроструктуры СМПП, включая не полностью металлизированные поверхности пор, неоднородность поля поляризация, аномальные свойства слоя, нанесенного между вакуумной порой и пьезокерамической матрицей;

• разработка компьютерных программ генерации большого ПО с внутренней случайной структурой для моделирования более реального на практике композита и учета взаимодействия электромеханических полей между включениями.

Методы исследования

Основным объектом исследований проекта являлись пористые пьезокерамические материалы с металлическими слоями на поверхности пор или композитные пьезоэлектрические системы с металлизированными поверхностями пор (СМПП).

Из-за сложности внутренней структуры и различных физических характеристик СМПП сформулированные краевые задачи гомогенизации решались с использованием подхода численной гомогенизации. Для компьютерного анализа пьезокомпозитов использовался метод конечных элементов, позволяющий решать задачи гомогенизации при варьировании геометрии представительного объема, свойств материалов, количества фаз и размеров включений или пор. Это позволило количественно оценить влияние таких микроструктурных параметров, как объемные доли пор, на эффективные электромеханические модули. Реализованная численная методика включала методы эффективных модулей механики композитов, моделирование представительных объемов

8

пористых материалов с учетом микроструктуры пор и модифицированных свойств на границах пор, конечно-элементное решение пьезоэлектрических краевых задач гомогенизации в неоднородных ПО (в некоторых случаях с неоднородной поляризацией пьезокерамики в окрестности пор) при определенных граничных условиях.

В конечно-элементном пакете ANSYS был создан базовый периодический ПОЭ в форме из куба пьезокерамической матрицы с составной сферической / кубической порой в центре. Составная пора состояла из сферической / кубической вакуумной поры, покрытой сферическим / кубическим слоем введенного металла. Используя межфазный слой и заполняя отдельные его части металлом (проводящим материалом), а оставшиеся части -веществом с пренебрежимо малыми модулями, имитирующим вакуум, можно промоделировать также различные случаи частично металлизированных поверхностей пор. Все материальные фазы ПО моделировались с использованием 10-узловых тетраэдрических пьезоэлектрических конечных элементов SOLГО227 в вычислительном комплексе ANSYS. Каждый узел в этих элементах имеет три степени свободы механических перемещений и одну степень свободы электрического потенциала.

Технологию компьютерного моделирования пористой пьезокерамики с поверхностью пор, модифицированной другими материалами, можно описать следующим образом. Жесткую границу поры можно моделировать с использованием очень больших модулей упругой жесткости, но пренебрежимо малых пьезомодулей и диэлектрических постоянных; проводящие границы можно моделировать с использованием очень больших диэлектрических постоянных, но пренебрежимо малых модулей жесткости и пьезоэлектрических постоянных; наконец, жесткие и проводящие границы моделировались с использованием очень высоких значений жесткости и диэлектрической проницаемости, но пренебрежимо малых пьезомодулей. Упругий слой, состоящий из оболочечных элементов (SHELL281), также может быть введен на границах контакта пьезоэлектрических матричных элементов и элементов промежуточного слоя для учета свойств упругой жесткости металлизированных поверхностей пор СМПП.

Как уже отмечалось, для решения задач гомогенизации использовался метод эффективных модулей в сочетании с компьютерным моделированием структуры ПО и методом конечных элементов. Отметим, что метод эффективных модулей с линейными

9

главными граничными условиями аналогичен методам решения задач с периодическими граничными условиями для перемещений и электрического потенциала. Специальные алгоритмы в ANSYS APDL были разработаны для расчета эффективных модулей различных композитных материалов с использованием метода конечных элементов и теории эффективных модулей с учетом принципа сохранения энергии Хилла-Манделя при специальных главных граничных условиях. Такой подход сохраняет энергетический баланс между исходным композитом и соответствующей однородной средой сравнения и позволяет учитывать внутреннюю структуру пористого композита, включая тип связности, размеры пор и локальные эффекты, такие как неоднородность поляризационного поля.

Для учета неоднородной поляризации по методу конечных элементов предварительно решалась задача электростатики, моделирующая процесс поляризации пьезокерамики в неоднородном представительном объеме. По найденному из решения этой задачи полю вектора электрической индукции определялся вектор поляризации. Для каждого отдельного конечного элемента по этому вектору находилась своя элементная система координат с локальной осью 02, параллельной вектору поляризации. На следующем этапе при решении задач электроупругости на той же конечно-элементной сетке модули материала пьезокерамической фазы в пакете ANSYS автоматически пересчитывались для каждого конечного элемента. Именно, матрицы материальных модулей вычислялись по законам преобразования тензоров соответствующих рангов при переходе от исходной системы координат к элементным системам координат.

Наконец, были разработаны два случайных представительных объема для представления пьезокомпозитов со случайно распределенными включениями с равными и случайными размерами, соответственно. Следуя предложенной методологии эффективных модулей, гомогенизированные свойства исследуемых композитов были получены с использованием как простых ПО, так и этих сложных случайных представительных объемов.

Научная новизна

При определении эффективных модулей пористых пьезоэлектрических материалов с модифицированными свойствами на границах пор получены следующие новые результаты:

• разработаны модели пьезокомпозитов с различными экстремальными материальными свойствами фаз (пьезоэлектрическая матрица, проводящие интерфейсные границы, поры) с использованием методов механики активных композитов и конечных элементов;

• проведено математическое обоснование методов гомогенизации композитов с экстремальными свойствами различных фаз;

• разработаны модели представительных объемов, учитывающие внутреннюю структуру композитов;

• разработаны специализированные вычислительные программные средства для расчета эффективных свойств, в том числе с учетом неоднородности поля поляризации;

• проведены вычислительные эксперименты и проанализированы эффективные свойства;

• исследована эффективность применения изучаемых пьезокомпозитов для различных практических применений.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту

в области математического моделирования:

• модели пьезокомпозитов с различными экстремальными материальными свойствами фаз (пьезоэлектрическая матрица, проводящие интерфейсные границы, поры);

• математическое обоснование методов гомогенизации;

в области численных методов:

• КЭ модели базовых ячеек и представительных объемов больших размеров для пористых пьезокомпозитов с модифицированными свойствами на поверхностях пор;

• КЭ технологии расчета эффективных свойств, модели и алгоритмы построения представительных объемов, учитывающие внутреннюю структуру композитов;

в области программного обеспечения:

• специализированные вычислительные программные средства, написанные на языке программирования APDL ANSYS, предназначенные для расчета эффективных свойств композита, в том числе с учетом неоднородности поля поляризации;

общие результаты:

• результаты вычислительных экспериментов, анализ эффективных свойств;

• исследование эффективности применения изучаемых пьезокомпозитов для различных практических применений.

Теоретическая и практическая значимость работы.

В диссертации построены обоснованные модели пьезокомпозитов с порами и с проводящими слоями. Теоретическая часть работы выполнялась в рамках гранта Правительства РФ № 075-15-2019-1928 «Модели, алгоритмы и программные средства для многомасштабного анализа новых материалов и физически активных сред». Исследования были также поддержаны грантом РФФИ № 20-31-90102 «Гомогенизация пьезоэлектрических композитов с модифицированными интерфейсными свойствами: математические модели, конечно-элементные технологии и применения»; Программой стратегического академического лидерства Южного федерального университета ("Приоритет 2030"); и стипендией (EGY-6363/17) в рамках исполнительной программы между Арабской Республикой Египет и Российской Федерацией.

Практическая ценность работы заключается в создании и внедрении эффективных инструментов, позволяющих разработчикам пьезоактивных материалов прогнозировать электромеханические свойства пористых пьезокомпозитов с измененными свойствами поверхностей пор. Предлагаемые программные средства могут быть обобщены и применены для моделирования пьезоэлектрических/диэлектрических/пьезомагнитных композитов с периодическими или случайными структурами.

Достоверность

Обоснованность полученных результатов определяется использованием строгих методов гомогенизации механики композитов, применением классической теории пьезоэлектричества, конечно-элементных технологий и сертифицированных программных комплексов, сравнением полученных результатов с известными в частных случаях, тщательным анализом полученных результатов.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и приложения. Общий объем диссертации составляет 182 страницы, включая 34 рисунка, 3 таблицы и приложение. Список литературы содержит 230 наименований.

12

Публикации.

Основные положения и результаты диссертации изложены в 21 работе, список

которых приведен ниже.

Статьи в реферируемых журналах

1. Nasedkin A., Nassar M.E. About anomalous properties of porous piezoceramic materials with metalized or rigid surfaces of pores // Mechanics of Materials. 2021. V. 162. 104040 (17 pages). doi: 10.1016/j.mechmat.2021.104040 [Web of Science, Q2, JCR 3.266, Scopus, Q1, SJR 0.86]

2. Nasedkin A., Nassar M.E. Numerical investigation of the effect of partial metallization at the pore surface on the effective properties of a porous piezoceramic composite // Journal of Advanced Dielectrics. 2021. V. 11, No. 4-5. 2160009 (11 pages). doi: 10.1142/S2010135X21600092 [Web of Science, Scopus, Q2, SJR 0.38, Open Access]

3. Nasedkin A., Nassar M.E. A numerical study about effects of metal volume fraction on effective properties of porous piezoelectric composite with metalized pore boundaries // Mechanics of Advanced Materials and Structures. 2021. doi: 10.1080/15376494.2021.1928346, Published online: 24 May 2021 [Web of Science, Q1, JCR 4.03, Scopus, Q1, SJR 0.732]

4. Наседкин А.В., Нассар М.Э. Численный анализ эффективных свойств неоднородно поляризованной пористой пьезокерамики с легированными никелем стенками пор с учетом влияния объемных долей металла и пор // Вычислительная механика сплошных сред. 2021. Т. 14, № 2. С. 190-202. doi: 10.7242/1999-6691/2021.14.2.16 [Scopus, РИНЦ, 0,673, ВАК, Список диссовета ЮФУ01.05]

5. Nasedkin A.V., Nasedkina A.A., Nassar M.E., Rybyanets A.N. Effective properties of piezoceramics with metal inclusions: numerical analysis // Ferroelectrics. 2021. V. 575, No. 01. P. 84-91. doi: 10.1080/00150193.2021.1888230 [Web of Science, Q4, JCR 0.62, Scopus, Q4, SJR 0.238]

6. Nasedkin A.V., Nassar M.E. Effective properties of a porous inhomogeneously polarized by direction piezoceramic material with full metalized pore boundaries: finite element analysis // Journal of Advanced Dielectrics. 2020. V. 10, No. 5. 2050018 (10 pages). doi: 10.1142/S2010135X20500186 [Web of Science, Scopus, Q2, SJR 0.351, Open Access]

7. Наседкин А.В., Наседкина А.А., Нассар М.Э. Гомогенизация пористых пьезокомпозитов с экстремальными свойствами на границах пор методом эффективных модулей //

Известия РАН. МТТ. 2020. № 6. С. 82-92. doi: 10.31857/S057232992005013X (Nasedkin A.V., Nasedkina A.A., Nassar M.E. Homogenization of porous piezocomposites with extreme properties at pore boundaries by effective moduli method // Mechanics of Solids. 2020. V. 55, No. 6. P. 827-836. doi: 10.3103/S0025654420050131 [Web of Science, Q4, JCR 0.374, Scopus, Q3, SJR 0.3])

8. Nasedkin A. Nassar M.E. Comprehensive numerical characterization of a piezoelectric composite with hollow metallic inclusions using an adaptable random representative volume // Computers & Structures. 2022. V. 267. 106799. doi: 0.1016/j.compstruc.2022.106799 [Web of Science, Q1, JCR 4.578, Scopus, Q1, SJR 1.45]

Статьи в сборниках научных трудов

1. Наседкин А.В., Нассар М.Э. Численный анализ свойств пьезоэлектрического композита со случайно распределенными полыми металлическими включениями // Физика бессвинцовых пьезоактивных и родственных материалов. Моделирование эко-систем (Анализ современного состояния и перспективы развития). Труды Десятого Международного междисциплинарного молодежного симпозиума. Вып. 10.: в 2 т. -Ростов-на-Дону, 27-28 декабря 2021 г. Ростов-на-Дону. Изд-во Южного федерального университета, 2021. Т. 1. С. 285-288.

2. Наседкин А.В., Нассар М.Э. Особенности конечно-элементного анализа пористых пьезоэлектрических материалов с жесткими или с электродированными границами пор // Современные информационные технологии: тенденции и перспективы развития: материалы XXVIII научн. конф. (Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, 13-15 мая 2021) / Ростов-на-Дону, Таганрог: Изд-во ЮФУ, 2021. С. 281-284. [РИНЦ]

3. Наседкин А.В., Нассар М.Э. О необычных свойствах пористых пьезокомпозитов с электродированными и жесткими границами пор // Современные проблемы механики сплошной среды: труды XX Международной конференции (Ростов-на-Дону, 18-21 июня 2020 г.). Ростов-на-Дону, Таганрог: изд-во ЮФУ, 2020. Т. 2. С. 168-172. [РИНЦ]

4. Нассар, М.Э. Влияние неоднородности поля поляризации на эффективные свойства пористого пьезокерамического материала с металлизированными поверхностями пор // Современные проблемы механики сплошной среды: труды XX Межд. конф., г. Ростов-

на-Дону, 18-21 июня 2020. Т. 1. Ростов-на-Дону, Таганрог: изд-во ЮФУ, 2020. С. 190194.

5. Nasedkin A.V., Nassar M.E. A new figure of merit for evaluating the performance of piezoelectric actuators // Физика бессвинцовых пьезоактивных и родственных материалов. Моделирование эко-систем (Анализ современного состояния и перспективы развития): сборник трудов Девятого Международного междисциплинарного молодежного симпозиума (Ростов-на-Дону, 28-30 декабря 2020 г.) Ростов-на-Дону; Таганрог: Изд-во Южного федерального университета, 2020. С. 198-201. [РИНЦ]

6. Наседкин А.В., Нассар М.Э. Об особенностях эффективных пьезомодулей пористой пьезокерамики с полностью металлизированными поверхностями пор // Инновационные технологи в науке и образовании (ИТН0-2019): сборник трудов VII Международной научно-практической конференции, посвященной 90-летию ДГТУ (РИСХМ) (с. Дивноморское, 4-14 сентября 2019 г.) Ростов-на-Дону: ДГТУ-Принт, 2019. С. 50-55. doi: 10.23947/itno.2019.50-55 [РИНЦ]

7. Nasedkin A.V., Nassar M.E. Numerical study of effective moduli of porous piezocomposites with metallized interfaces in unit cell with cubic or spherical pores // Numerical Algebra with Applications. Proceedings of Eighth China-Russia Conference, 24-27 June 2019, Rostov-on-Don, Russia / Eds: Zhong-Zhi Bai, G.V. Muratova. Rostov-on-Don; Taganrog: Southern Federal University Press, 2019. P. 60-64. [РИНЦ]

Тезисы докладов на конференциях

1. Наседкин А.В., Нассар М.Э. Численное исследование влияния объемной доли металлических включений на эквивалентные свойства пористых пьезокомпозитов с металлизированными поверхностями пор // XXII Зимняя школа по механике сплошных сред Пермь, 22 - 26 марта 2021г. Тезисы докладов /ПФИЦ УрО РАН. - Электронные данные. - Пермь, 2021. - С. 227. - Режим доступа: https://conf.icmm.ru/event/2/page/4

2. Nasedkin A.V., Nassar M.E. Regarding unexpected properties of porous piezocomposites with different maximal electrical and mechanical properties on the pore boundary // 2020 International Conference on "Physics and Mechanics of New Materials and Their Applications" (PHENMA 2020), 26-29 March, 2021, Kitakyushu, Japan. Abstracts & Schedule. Southern

Federal University. - Rostov-on-Don; Taganrog: Southern Federal University Press, 2021. P. 186-187. [РИНЦ]

3. Nassar M.E. A numerical homogenization study for a porous piezocomposite with a partially metallized pore surface // XVII Ежегодная молодежная научная конференция «Наука и технологии Юга России»: тезисы докладов (г. Ростов-на-Дону, 15-30 апреля 2021 г.). Ростов-на-Дону: Изд-во ЮНЦ РАН, 2021. С. 283.

4. Нассар М.Э. Конечно-элементный анализ гомогенизации пористого пьезокерамического материала с металлизированной поверхностью пор с учетом влияния объемной доли металлического включения и неоднородного поля поляризации // Математическое моделирование и биомеханика в современном университете: тез. докл. XV Всеросс. школы (с. Дивноморское, 26 - 31 мая 2021). Ростов-на-Дону, Таганрог: изд-во ЮФУ, 2021. С. 101.

5. Наседкин А.В., Наседкина А.А., Нассар М.Э., Рыбянец А.Н. Эффективные свойства пьезокерамики с металлическими включениями: численный анализ // Сб. тез. Межд. онлайн-конф. «Исследование сегнетоэлектрических материалов российскими учеными. Столетие открытия сегнетоэлектричества» (СЭ-100) (Екатеринбург, 17-19 августа 2020) Екатеринбург, Уральский федеральный университет, 2020. С. 58-59.

6. Nasedkin A.V., Nassar M.E. Influence of pore shape on the effective properties of a porous inhomogeneous polarized by direction piezoceramic material with metallized pore boundaries: finite element analysis // 2019 International Conference on "Physics and Mechanics of New Materials and Their Applications" (PHENMA 2019), Hanoi, Vietnam, 7-10 November, 2019. Abstracts & Schedule. Eds. I. Parinov, B.T. Long, N T H. Minh, N.D. Toan, S.-H. Chang. Publishing House for Science and Technology, Hanoi University of Science and Technology, Hanoi, Vietnam. P. 216-217. [РИНЦ]

Данный библиографический список включает восемь статей в журналах индексируемых в Web of Science и/или Scopus, семь статей в сборниках трудов конференций и шесть тезисов докладов.

В опубликованных работах совместно с научным руководителем осуществлены постановки задач и разработаны общие математические подходы, А.Н. Рыбянцу

принадлежат технологические методы получения рассматриваемых композитов; все соавторы участвовали вместе в обсуждении общих выводов и в подготовке публикаций. Соискателю принадлежат методы и алгоритмы конструирования ПО, специализированные программные средства и результаты вычислительных экспериментов.

Апробация работы.

Основные результаты работы докладывались на следующих научных конференциях: Зимняя школа по механике сплошных сред, Пермь (2021); Физика бессвинцовых пьезоактивных и родственных материалов. Моделирование эко-систем (Анализ современного состояния и перспективы развития), Ростов-на-Дону (2020, 2021); Современные информационные технологии: тенденции и перспективы развития, Ростов-на-Дону (2021); Ежегодная молодежная научная конференция «Наука и технологии Юга России», Ростов-на-Дону (2021); Математическое моделирование и биомеханика в современном университете, с. Дивноморское, (2021); Современные проблемы механики сплошной среды, Ростов-на-Дону (2020); Исследование сегнетоэлектрических материалов российскими учеными, Столетие открытия сегнетоэлектричества», СЭ-100, Екатеринбург (2020); Инновационные технологи в науке и образовании (ИТН0-2019), с. Дивноморское (2019); International Conference on "Physics and Mechanics of New Materials and Their Applications" (PHENMA), Hanoi, Vietnam (2019), Kitakyushu, Japan (2021); Numerical Algebra with Applications, Eighth China-Russia Conference, Rostov-on-Don, Russia (2019).

Глава 1: Общий обзор

1.1. Пьезоэлектрические преобразователи

Пьезоэлектрические материалы вызывают значительный интерес исследователей из-за их высоких характеристик при преобразовании механических деформаций в электрические сигналы и наоборот. Пьезоэлектрический эффект был открыт французскими учеными Пьером и Жаком Кюри более века назад. Пьезоэлектрический эффект — это электромеханическое взаимодействие между электрическими и механическими полями, возникающее в результате изменений электрической поляризации пьезоэлектрических материалов при воздействии внешнего механического напряжения или внешнего электрического поля. Пьезоэлектрический эффект является обратимым, что дает много преимуществ при использовании этих материалов в разнообразных инженерных приложениях. Когда пьезоэлектрические материалы подвергаются механическому воздействию, генерируется электрический заряд, пропорциональный приложенному механическому напряжению. Это действие определяет прямой пьезоэлектрический эффект, который является физической основой пьезоэлектрических датчиков. Обратный пьезоэлектрический эффект заключается в том, что эти материалы деформируются под действием электрического поля. Работа пьезоэлектрических двигателей/актуаторов основана на обратном пьезоэлектрическом эффекте. Некоторые пьезоэлектрические преобразователи используют прямой пьезоэлектрический эффект и обратный пьезоэлектрический эффект одновременно.

Пьезоэлектрические материалы находят многочисленные применения в широком наборе устройств пьезотехники для различных высокотехнологических приложений. Не претендуя на полноту обзора, отметим здесь лишь некоторые такие применения, важные для практического использования исследуемых в настоящей работе пьезокомпозитных материалов.

В [11] обсуждались принципы, методы и области применения многих пьезоэлектрических преобразователей. Пьезоэлектрические преобразователи могут быть интегрированы в механические системы для устранения нежелательных вибраций в режиме реального времени [13, 16, 68, 70, 135, 161, 189]. Пьезоэлектрические приводы могут

эффективно использоваться в системах управления позиционированием [7, 17], поскольку они не требуют громоздких электронных модулей и эффективно работают в широком диапазоне частот с низким уровнем шума. Пьезоэлектрические преобразователи играют важную роль в аэрокосмических конструкциях, и они применяются для зондирования, приведения в действие и сбора энергии [53, 54, 81]. Пьезопреобразователи широко используются в ультразвуковых приложениях для целей визуализации и обнаружения, поскольку они могут передавать и принимать ультразвуковые сигналы с высокой эффективностью, широкой полосой частот пропускания и незначительным временем задержки. Ультразвуковые пьезоэлектрические преобразователи встраиваются в структуры для мониторинга напряженно-деформированного состояния, что играет большую роль при диагностике систем в реальном времени и, в свою очередь, снижает затраты на техническое обслуживание. Разработка ультразвуковых пьезопреобразователей с точки зрения инженерного проектирования, расширение их применения в новых областях и исследование свойств пьезокомпозитных материалов в последнее время вызывают большой интерес [8, 11, 34, 156, 183, 222].

1.2. Линейная теория пьезоэлектричества

1.2.1. Энергетические и полевые уравнения электроупругости

Согласно закону сохранения энергии для пьезоэлектрической (электроупругой) среды при отсутствии объемных сил в любом объеме О, ограниченном поверхностью £, скорость изменения полной энергии (кинетической и внутренней энергий) равна потоку полной механической и электрической мощности через поверхность £ [191, 196].

-<рпА)<®> а-2-1)

5

где р - объемная плотность пьезоэлектрического материала; и - плотность внутренней энергии; й] = ди] / , и ■ - компоненты векторов скорости и перемещения, соответственно; ^ = <п} - компоненты вектора напряжений; п . - компоненты вектора внешней единичной нормали к поверхности £; < - компоненты тензора напряжений; ^ - компоненты вектора электрической индукции (электрического смещения), р - электрический

потенциал. Следующие уравнения можно использовать для вывода первого закона термодинамики для пьезоэлектрического материала.

Уравнение движения без учета объемных сил можно записать следующим образом:

Ъ:.; /'''; • 0-2.2)

Поскольку пьезоэлектрический материал является диэлектрическим и скорость электромагнитных волн значительно превосходит скорости упругих волн, можно принять закон квазиэлектростатики Гаусса:

В,,, = 0. (1.2.3)

Компоненты Ек вектора напряженности электрического поля и электрический потенциал <р связаны между собой следующим образом:

Ек = -<. (1.2.4)

Из механики сплошной среды известны соотношения между компонентами линейного тензора деформацией $ и перемещениями иг:

= 1 + иу,,). (1.2.5)

Подстановка уравнений (1.2.2)—(1.2.5) в (1.2.1) с учетом равенства г. = па дает уравнение первого закона термодинамики для пьезоэлектрической среды:

й = с>.ЕЕ).. (1.2.6)

и и II V /

Отметим, что здесь и всюду далее предполагается суммирование по повторяющимся индексам, а запятая в нижнем индексе обозначает частичную производную.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Нассар Мохамед Элсайед Абузид, 2022 год

Библиография

1. Affdl J. C. H., Kardos J. L. The Halpin-Tsai equations: a review // Polymer Engineering & Science. 1976. № 5 (16). C. 344-352.

2. Akdogan E. K., Allahverdi M., Safari A. Piezoelectric composites for sensor and actuator applications // IEEE transactions on ultrasonics, ferroelectrics, and frequency control. 2005. № 5 (52). C. 746-775.

3. Alemany C. [и др.]. Automatic iterative evaluation of complex material constants in piezoelectric ceramics // Journal of Physics D: Applied Physics. 1994. № 1 (27). C. 148.

4. Alemany C. [и др.]. Automatic determination of complex constants of piezoelectric lossy materials in the radial mode // Journal of Physics D: Applied Physics. 1995. № 5 (28). C. 945.

5. Alguero M. [и др.]. Method for obtaining the full set of linear electric, mechanical, and electromechanical coefficients and all related losses of a piezoelectric ceramic // Journal of the American Ceramic Society. 2004. № 2 (87). C. 209-215.

6. Allen J. [и др.]. Energy harvesting eel 2001.

7. Altaher M., Aphale S. S. High-precision control of a piezo-driven nanopositioner using fuzzy logic controllers // Computers. 2018. № 1 (7). C. 10.

8. Altammar H., Salowitz N. Ultrasonic inspection of bonded metal laminates using internal shear-mode piezoelectric transducers 2018.

9. Amarande L., Miclea C., Tanasoiu C. Iterative evaluation of the complex constants of piezoceramic resonators in the radial mode // Journal of the European Ceramic Society. 2002. № 11 (22). C. 1873-1881.

10. Amarande L., Miclea C., Tanasoiu C. Iterative evaluation of the complex constants of piezoceramic resonators in the thickness mode // Journal of the European Ceramic Society. 2003. № 7 (23). C. 1139-1145.

11. Arnau A. Piezoelectric transducers and applications / A. Arnau, Springer, 2004.

12. Ayuso G. M., Friswell M. I., Adhikari S. Modelling of porous piezoelectric material and

potential applications to vibration energy harvesting // 2018.

13. Bailey T., Hubbard Jr J. E. Distributed piezoelectric-polymer active vibration control of a cantilever beam // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 1985. № 5 (8). C. 605-611.

14. Balzani D. [h gp.]. Construction of two-and three-dimensional statistically similar RVEs for coupled micro-macro simulations // Computational Mechanics. 2014. № 5 (54). C. 1269-1284.

15. Bast U., Wersing W. The influence of internal voids with 3-1 connectivity on the properties of piezoelectric ceramics prepared by a new planar process // Ferroelectrics. 1989. № 1 (94). C. 229-242.

16. Baz A., Poh S. Performance of an active control system with piezoelectric actuators // Journal of sound and Vibration. 1988. № 2 (126). C. 327-343.

17. Bazaei A. [h gp.]. Displacement sensing by piezoelectric transducers in high-speed lateral nanopositioning // IEEE Sensors Journal. 2019. № 20 (19). C. 9156-9165.

18. Benedikt B., Rupnowski P., Kumosa M. Visco-elastic stress distributions and elastic properties in unidirectional composites with large volume fractions of fibers // Acta materialia. 2003. № 12 (51). C. 3483-3493.

19. Benveniste Y. A new approach to the application of Mori-Tanaka's theory in composite materials // Mechanics of materials. 1987. № 2 (6). C. 147-157.

20. Berger H. [h gp.]. An analytical and numerical approach for calculating effective material coefficients of piezoelectric fiber composites // International Journal of Solids and Structures. 2005. № 21-22 (42). C. 5692-5714.

21. Berlincourt D. Piezoelectric crystals and ceramics Springer, 1971.C. 63-124.

22. Berlincourt D. A., Curran D. R., Jaffe H. Piezoelectric and piezomagnetic materials and their function in transducers // Physical Acoustics: Principles and Methods. 1964. № Part A (1). C. 202-204.

23. Bhimasankaram T., Suryanarayana S. V, Prasad G. Piezoelectric polymer composite materials // Current Science. 1998. C. 967-976.

24. Bisegna P., Luciano R. Variational bounds for the overall properties of piezoelectric composites // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 1996. № 4 (44). C. 583-602.

25. Bisegna P., Luciano R. On methods for bounding the overall properties of periodic piezoelectric fibrous composites // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 1997. № 8 (45). C. 1329-1356.

26. Bottero C. J., Idiart M. I. Influence of second-phase inclusions on the electro-deformation of ferroelectric ceramics // International Journal of Solids and Structures. 2016. (80). C. 381-392.

27. Bowen C. R. [h gp.]. Processing and properties of porous piezoelectric materials with high hydrostatic figures of merit // Journal of the European Ceramic Society. 2004. № 2 (24). C. 541545.

28. Bowen C. R. [h gp.]. Piezoelectric and ferroelectric materials and structures for energy harvesting applications // Energy & Environmental Science. 2014. № 1 (7). C. 25-44.

29. Bowen C. R., Kara H. Pore anisotropy in 3-3 piezoelectric composites // Materials chemistry and physics. 2002. № 1-3 (75). C. 45-49.

30. Bowen L. J., French K. W. Fabrication of piezoelectric ceramic/polymer composites by injection molding IEEE, 1992.C. 160-163.

31. Breger L., Furukawa T., Fukada E. Bending piezoelectricity in polyvinylidene fluoride // Japanese Journal of Applied Physics. 1976. № 11 (15). C. 2239.

32. Bruggeman V. D. A. G. Berechnung verschiedener physikalischer Konstanten von heterogenen Substanzen. I. Dielektrizitätskonstanten und Leitfähigkeiten der Mischkörper aus isotropen Substanzen // Annalen der physik. 1935. № 7 (416). C. 636-664.

33. Buiochi F. [h gp.]. Efficient algorithm using a broadband approach to determine the complex constants of piezoelectric ceramics // Physics Procedia. 2015. (70). C. 143-146.

34. Carrison P., Altammar H., Salowitz N. Selective actuation and sensing of antisymmetric ultrasonic waves using shear-deforming piezoelectric transducers // Structural Health Monitoring. 2020. C. 1475921720944933.

35. Catapano A., Jumel J. A numerical approach for determining the effective elastic symmetries

154

of particulate-polymer composites // Composites Part B: Engineering. 2015. (78). C. 227-243.

36. Cha S. [h gp.]. Porous PVDF as effective sonic wave driven nanogenerators // Nano letters. 2011. № 12 (11). C. 5142-5147.

37. Chylek P., Srivastava V. Effective dielectric constant of a metal-dielectric composite // Physical Review B. 1984. № 2 (30). C. 1008.

38. Cook-Chennault K. A., Thambi N., Sastry A. M. Powering MEMS portable devices—a review of non-regenerative and regenerative power supply systems with special emphasis on piezoelectric energy harvesting systems // Smart materials and structures. 2008. № 4 (17). C. 43001.

39. Dahiya R. S., Valle M. Tactile sensing technologies Springer, 2013.C. 79-136.

40. Deeg W. F. J. THE ANALYSIS OF DISLOCATION, CRACK, AND INCLUSION PROBLEMS IN PIEZOELECTRIC SOLIDS. 1981.

41. Deterre M., Lefeuvre E., Dufour-Gergam E. An active piezoelectric energy extraction method for pressure energy harvesting // Smart Materials and Structures. 2012. № 8 (21). C. 85004.

42. Deutz D. B. [h gp.]. Analysis and experimental validation of the figure of merit for piezoelectric energy harvesters // Materials Horizons. 2018. № 3 (5). C. 444-453.

43. Du H. [h gp.]. Colossal permittivity in percolative ceramic/metal dielectric composites // Journal of Alloys and Compounds. 2016. (663). C. 848-861.

44. Du X.-H., Wang Q.-M., Uchino K. Accurate determination of complex materials coefficients of piezoelectric resonators // IEEE transactions on ultrasonics, ferroelectrics, and frequency control. 2003. № 3 (50). C. 312-320.

45. Du X.-H., Wang Q.-M., Uchino K. An accurate method for the determination of complex coefficients of single crystal piezoelectric resonators II: Design of measurement and experiments // ieee transactions on ultrasonics, ferroelectrics, and frequency control. 2004. № 2 (51). C. 227237.

46. Duan N. [h gp.]. Enhancement of dielectric and ferroelectric properties by addition of Pt

155

particles to a lead zirconate titanate matrix // Applied physics letters. 2000. № 20 (77). C. 32633265.

47. Dungan R. H., Storz L. J. Relation between chemical, mechanical, and electrical properties of Nb2O5-modified 95 Mol% PbZrO3-5 mol% PbTiO3 // Journal of the American Ceramic Society. 1985. № 10 (68). C. 530-533.

48. Dunn M. L., Taya M. An analysis of piezoelectric composite materials containing ellipsoidal inhomogeneities // Proceedings of the Royal Society of London. Series A: Mathematical and Physical Sciences. 1993. № 1918 (443). C. 265-287.

49. Dunn M. L., Taya M. Micromechanics predictions of the effective electroelastic moduli of piezoelectric composites // International Journal of Solids and Structures. 1993. № 2 (30). C. 161-175.

50. Dunn M. L., Taya M. Electromechanical properties of porous piezoelectric ceramics // Journal of the American Ceramic Society. 1993. № 7 (76). C. 1697-1706.

51. Dvorak G. J., Benveniste Y. On transformation strains and uniform fields in multiphase elastic media // Proceedings of the Royal Society of London. Series A: Mathematical and Physical Sciences. 1992. № 1900 (437). C. 291-310.

52. Dvorak G. J., Srinivas M. V New estimates of overall properties of heterogeneous solids // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 1999. № 4 (47). C. 899-920.

53. Elahi H. [h gp.]. Response of piezoelectric materials on thermomechanical shocking and electrical shocking for aerospace applications // Microsystem Technologies. 2018. № 9 (24). C. 3791-3798.

54. Elahi H. [h gp.]. A Review on Applications of Piezoelectric Materials in Aerospace Industry // Integrated Ferroelectrics. 2020. № 1 (211). C. 25-44.

55. Ennawaoui C. [h gp.]. Dielectric and mechanical optimization properties of porous poly (ethylene-co-vinyl acetate) copolymer films for pseudo-piezoelectric effect // Polymer Engineering & Science. 2019. № 7 (59). C. 1455-1461.

56. Eshelby J. D. The determination of the elastic field of an ellipsoidal inclusion, and related

problems // Proceedings of the royal society of London. Series A. Mathematical and physical sciences. 1957. № 1226 (241). C. 376-396.

57. Feyel F. A multilevel finite element method (FE2) to describe the response of highly nonlinear structures using generalized continua // Computer Methods in applied Mechanics and engineering. 2003. № 28-30 (192). C. 3233-3244.

58. Fialka J., Benes P. Comparison of methods for the measurement of piezoelectric coefficients // IEEE Transactions on instrumentation and measurement. 2013. № 5 (62). C. 1047-1057.

59. Fish J. [h gp.]. Computational plasticity for composite structures based on mathematical homogenization: Theory and practice // Computer methods in applied mechanics and engineering. 1997. № 1-2 (148). C. 53-73.

60. Gandarilla-Pérez C. A. [h gp.]. Extension of Maxwell homogenization scheme for piezoelectric composites containing spheroidal inhomogeneities // International Journal of Solids and Structures. 2018. (135). C. 125-136.

61. Geers M. G. D., Kouznetsova V., Brekelmans W. A. M. Gradient-enhanced computational homogenization for the micro-macro scale transition // Le Journal de Physique IV. 2001. № PR5 (11). C. Pr5-145.

62. Geers M. G. D., Kouznetsova V. G., Brekelmans W. A. M. Multi-scale computational homogenization: Trends and challenges // Journal of computational and applied mathematics. 2010. № 7 (234). C. 2175-2182.

63. Geis S. [h gp.]. Dielectric properties of PZT aerogels // Ferroelectrics. 2000. № 1 (241). C. 75-82.

64. Geis S., Fricke J., Lobmann P. Electrical properties of PZT aerogels // Journal of the European Ceramic Society. 2002. № 7 (22). C. 1155-1161.

65. Gerasimenko T. E. [h gp.]. Homogenization of piezoelectric composites with internal structure and inhomogeneous polarization in ACELAN-COMPOS finite element package Springer, 2019.C. 113-131.

66. Getman I., Lopatin S. Theoretical and experimental investigation of porous PZT ceramics //

Ferroelectrics. 1996. № 1 (186). C. 301-304.

67. Ghandchi Tehrani M. [h gp.]. Energy harvesting from train vibrations 2013.

68. Giorgio I., Culla A., Vescovo D. Del Multimode vibration control using several piezoelectric transducers shunted with a multiterminal network // Archive of Applied Mechanics. 2009. № 9 (79). C. 859.

69. Granstrom J. [h gp.]. Energy harvesting from a backpack instrumented with piezoelectric shoulder straps // Smart Materials and Structures. 2007. № 5 (16). C. 1810.

70. Gripp J. A. B., Rade D. A. Vibration and noise control using shunted piezoelectric transducers: A review // Mechanical Systems and Signal Processing. 2018. (112). C. 359-383.

71. Gubin S. P. Magnetic nanoparticles / S. P. Gubin, John Wiley & Sons, 2009.

72. Guo R., Wang C.-A., Yang A. Effects of pore size and orientation on dielectric and piezoelectric properties of 1-3 type porous PZT ceramics // Journal of the European Ceramic Society. 2011. № 4 (31). C. 605-609.

73. Halpin J. C., Finlayson K. M. Primer on composite materials analysis / J. C. Halpin, K. M. Finlayson, Routledge, 2017.

74. Hashin Z., Shtrikman S. A variational approach to the theory of the elastic behaviour of multiphase materials // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 1963. № 2 (11). C. 127140.

75. Hikita K. [h gp.]. Piezoelectric properties of the porous PZT and the porous PZT composite with silicone rubber // Ferroelectrics. 1983. № 1 (49). C. 265-272.

76. Hill R. Elastic properties of reinforced solids: some theoretical principles // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 1963. № 5 (11). C. 357-372.

77. Holland R. Representation of dielectric, elastic, and piezoelectric losses by complex coefficients // IEEE transactions on Sonics and Ultrasonics. 1967. № 1 (14). C. 18-20.

78. Holland R. Measurement of piezoelectric phase angles in a ferroelectric ceramic // IEEE Transactions on Sonics and Ultrasonics. 1970. № 2 (17). C. 123-124.

79. Holland R., EerNisse E. P. Accurate measurement of coefficients in a ferroelectric ceramic // IEEE Transactions on Sonics and Ultrasonics. 1969. № 4 (16). C. 173-181.

80. Horikiri K. [h gp.]. Development of surface oxidized metal fiber/piezoelectric ceramics/aluminum composite // Mechanical Engineering Journal. 2019. № 3 (6). C. 18-556.

81. Hoshyarmanesh H., Abbasi A. Structural health monitoring of rotary aerospace structures based on electromechanical impedance of integrated piezoelectric transducers // Journal of Intelligent Material Systems and Structures. 2018. № 9 (29). C. 1799-1817.

82. Huang J. H. An ellipsoidal inclusion or crack in orthotropic piezoelectric media // Journal of applied physics. 1995. № 11 (78). C. 6491-6503.

83. Huang J. H., Yu J. S. Electroelastic Eshelby tensors for an ellipsoidal piezoelectric inclusion // Composites Engineering. 1994. № 11 (4). C. 1169-1182.

84. Hwang H. J. [h gp.]. Fabrication, sinterability, and mechanical properties of lead zirconate titanate/silver composites // Journal of the American Ceramic Society. 1999. № 9 (82). C. 24172422.

85. Hwang H. J., Niihara K. Perovskite-type BaTiO3 ceramics containing particulate SiC: Part II Microstructure and mechanical properties // Journal of materials science. 1998. № 2 (33). C. 549-558.

86. Islam R. A., Priya S. Realization of high-energy density polycrystalline piezoelectric ceramics // Applied Physics Letters. 2006. № 3 (88). C. 32903.

87. Iyer S., Alkhader M., Venkatesh T. A. On the relationships between cellular structure, deformation modes and electromechanical properties of piezoelectric cellular solids // International Journal of Solids and Structures. 2016. (80). C. 73-83.

88. Iyer S., Venkatesh T. A. Electromechanical response of porous piezoelectric materials: Effects of porosity connectivity // Applied Physics Letters. 2010. № 7 (97). C. 72904.

89. Iyer S., Venkatesh T. A. Electromechanical response of (3-0) porous piezoelectric materials: Effects of porosity shape // Journal of Applied Physics. 2011. № 3 (110). C. 34109.

90. Iyer S., Venkatesh T. A. Electromechanical response of (3-0, 3-1) particulate, fibrous, and

159

porous piezoelectric composites with anisotropic constituents: A model based on the homogenization method // International Journal of Solids and Structures. 2014. № 6 (51). C. 1221-1234.

91. Jaffe H. [h gp.]. IRE standards on piezoelectric crystals: measurements of piezoelectric ceramics // Proc. IRE. 1961. № 1161-1169 (49). C. 9-17.

92. Jain A. Micro and mesomechanics of fibre reinforced composites using mean field homogenization formulations: A review // Materials Today Communications. 2019. (21). C. 100552.

93. Jin D., Meng Z., Zhou F. Mechanism of resistivity gradient in monolithic PZT ceramics // Materials Science and Engineering: B. 2003. № 1-3 (99). C. 83-87.

94. Kaltenbacher B. [h gp.]. Piezoelectric material nonlinearity identification via multiharmonic finite elements IEEE, 2004.C. 1149-1152.

95. Kaltenbacher B. [h gp.]. PDE based determination of piezoelectric material tensors 2006.

96. Kaltenbacher B. Identification of nonlinear coefficients in hyperbolic PDEs, with application to piezoelectricity Springer, 2007.C. 193-215.

97. Kaltenbacher M. [h gp.]. 5H-3 Material Parameter Identification of Piezoelectric Transducers Including the Whole Assembly IEEE, 2006.C. 804-807.

98. Kar-Gupta R., Marcheselli C., Venkatesh T. A. Electromechanical response of 1-3 piezoelectric composites: effect of fiber shape // Journal of Applied Physics. 2008. № 2 (104). C. 24105.

99. Kar-Gupta R., Venkatesh T. A. Electromechanical response of porous piezoelectric materials // Acta Materialia. 2006. № 15 (54). C. 4063-4078.

100. Kara H. [h gp.]. Interpenetrating PZT/polymer composites for hydrophones: models and experiments // Ferroelectrics. 2002. № 1 (265). C. 317-332.

101. Kari S. [h gp.]. Computational evaluation of effective material properties of composites reinforced by randomly distributed spherical particles // Composite structures. 2007. № 2 (77). C. 223-231.

102. Knott E. F. Dielectric constant of plastic foams // IEEE transactions on antennas and propagation. 1993. № 8 (41). C. 1167-1171.

103. Kouznetsova V. G., Geers M. G. D., Brekelmans W. Multi-scale second-order computational homogenization of multi-phase materials: a nested finite element solution strategy // Computer methods in applied Mechanics and Engineering. 2004. № 48-51 (193). C. 55255550.

104. Kumar A. [h gp.]. Modeling of Elastic properties of Particulate Composites // International journal of applied engineering research. 2018. № 6 (13). C. 263-267.

105. Kumar B. P., Kumar H. H., Kharat D. K. Study on pore-forming agents in processing of porous piezoceramics // Journal of Materials Science: Materials in Electronics. 2005. № 10 (16). C. 681-686.

106. Kunkel H. A., Locke S., Pikeroen B. Finite-element analysis of vibrational modes in piezoelectric ceramic disks // IEEE Transactions on ultrasonics, ferroelectrics, and frequency control. 1990. № 4 (37). C. 316-328.

107. Kwok K. W., Chan H. L. W., Choy C. L. Evaluation of the material parameters of piezoelectric materials by various methods // IEEE transactions on ultrasonics, ferroelectrics, and frequency control. 1997. № 4 (44). C. 733-742.

108. Lahmer T. [h gp.]. FEM-based determination of real and complex elastic, dielectric, and piezoelectric moduli in piezoceramic materials // IEEE transactions on ultrasonics, ferroelectrics, and frequency control. 2008. № 2 (55). C. 465-475.

109. Lee J., Choi B. Development of a piezoelectric energy harvesting system for implementing wireless sensors on the tires // Energy conversion and management. 2014. (78). C. 32-38.

110. Lee S. [h gp.]. Fabrication of Porous PZT-PZN Piezoelectric Ceramics With High Hydrostatic Figure of Merits Using Camphene-Based Freeze Casting // Journal of the American Ceramic Society. 2007. № 9 (90). C. 2807-2813.

111. Lee S. [h gp.]. Piezoelectric properties of PZT-based ceramic with highly aligned pores // Journal of the American Ceramic Society. 2008. № 6 (91). C. 1912-1915.

112. Lewis R. W. C. [h gp.]. Microstructural modelling of the polarization and properties of porous ferroelectrics // Smart materials and structures. 2011. № 8 (20). C. 85002.

113. Li J.-F. [h gp.]. Electrical and mechanical properties of piezoelectric ceramic/metal composites in the Pb (Zr, Ti) O 3/Pt system // Applied Physics Letters. 2001. № 15 (79). C. 2441-2443.

114. Li J. [h gp.]. Fabrication and evaluation of porous piezoelectric ceramics and porosity-graded piezoelectric actuators // Journal of the American Ceramic Society. 2003. № 7 (86). C. 1094-1098.

115. Lin Y., Sodano H. A. Fabrication and electromechanical characterization of a piezoelectric structural fiber for multifunctional composites // Advanced Functional Materials. 2009. № 4 (19). C. 592-598.

116. Liu W. [h gp.]. Effects of foam composition on the microstructure and piezoelectric properties of macroporous PZT ceramics from ultrastable particle-stabilized foams // Ceramics International. 2013. № 8 (39). C. 8781-8787.

117. Liu W. [h gp.]. Preparation and properties of 3-1 type PZT ceramics by a self-organization method // Journal of the European Ceramic Society. 2015. № 13 (35). C. 3467-3474.

118. Liu W. [h gp.]. Piezoelectric and mechanical properties of CaO reinforced porous PZT ceramics with one-dimensional pore channels // Ceramics International. 2017. № 2 (43). C. 2063-2068.

119. Malic B., Kosec M., Kosmac T. Mechanical and electric properties of PZT-ZrO2 composites // Ferroelectrics. 1992. № 1 (129). C. 147-155.

120. Marselli S. [h gp.]. Porous piezoelectric ceramic hydrophone // The Journal of the Acoustical Society of America. 1999. № 2 (106). C. 733-738.

121. Martinez-Ayuso G. [h gp.]. Homogenization of porous piezoelectric materials // International Journal of solids and Structures. 2017. (113). C. 218-229.

122. Martinez-Ayuso G. [h gp.]. Electric field distribution in porous piezoelectric materials during polarization // Acta Materialia. 2019. (173). C. 332-341.

123. Masaki M. [h gp.]. Measurements of complex materials constants of piezoelectric ceramics: Radial vibrational mode of a ceramic disk // Journal of the European Ceramic Society. 2008. № 1 (28). C. 133-138.

124. Mawassy N. [h gp.]. A variational approach of homogenization of piezoelectric composites towards piezoelectric and flexoelectric effective media // International Journal of Engineering Science. 2021. (158). C. 103410.

125. MAXWELL-GARNETT J. C. Colours in metal glasses and in metallic films // Phil. Trans. R. Soc. Lond, A. 1904. (203). C. 385-420.

126. Meitzler A. H., O'Bryan H. M., Tiersten H. F. Definition and measurement of radial mode coupling factors in piezoelectric ceramic materials with large variations in Poisson's ratio // IEEE transactions on sonics and ultrasonics. 1973. № 3 (20). C. 233-239.

127. Mercadelli E., Sanson A., Galassi C. Porous piezoelectric ceramics / E. Mercadelli, A. Sanson, C. Galassi, INTECH Open Access Publisher, 2010.

128. Miehe C., Schröder J., Becker M. Computational homogenization analysis in finite elasticity: material and structural instabilities on the micro-and macro-scales of periodic composites and their interaction // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2002. № 44 (191). C. 4971-5005.

129. Miehe C., Schröder J., Schotte J. Computational homogenization analysis in finite plasticity simulation of texture development in polycrystalline materials // Computer methods in applied mechanics and engineering. 1999. № 3-4 (171). C. 387-418.

130. Mikata Y. Determination of piezoelectric Eshelby tensor in transversely isotropic piezoelectric solids // International Journal of Engineering Science. 2000. № 6 (38). C. 605-641.

131. Mikata Y. Explicit determination of piezoelectric Eshelby tensors for a spheroidal inclusion // International Journal of Solids and Structures. 2001. № 40-41 (38). C. 7045-7063.

132. Mishnaevsky Jr L. L. [h gp.]. Computational Mesomechanics of Composites-Numerical Analysis of the Effects of Microstructures of Composites on Their Strength 2007.

133. Mishra N., Das K. A Mori-Tanaka Based Micromechanical Model for Predicting the

Effective Electroelastic Properties of Orthotropic Piezoelectric Composites with Spherical Inclusions // SN Applied Sciences. 2020. № 7 (2). C. 1-14.

134. Miyoshi T., Funakubo H. Effect of grain size on mechanical properties of full-dense Pb (Zr, Ti) O3 ceramics // Japanese Journal of Applied Physics. 2010. № 9S (49). C. 09MD13.

135. Moheimani S. O. R., Fleming A. J. Piezoelectric transducers for vibration control and damping / S. O. R. Moheimani, A. J. Fleming, Springer Science & Business Media, 2006.

136. Mori T., Tanaka K. Average stress in matrix and average elastic energy of materials with misfitting inclusions // Acta metallurgica. 1973. № 5 (21). C. 571-574.

137. Moumen A. El, Kanit T., Imad A. Numerical evaluation of the representative volume element for random composites // European Journal of Mechanics-A/Solids. 2021. (86). C. 104181.

138. Nagata K. [и др.]. Properties of an interconnected porous Pb (Zr, Ti) O3 ceramic // Japanese Journal of Applied Physics. 1980. № 1 (19). C. L37.

139. Nasedkin A., Nasedkina A., Rybyanets A. Finite element simulation of effective properties of microporous piezoceramic material with metallized pore surfaces // Ferroelectrics. 2017. № 1 (508). C. 100-107.

140. Nasedkin A., Nassar M. E. Effective properties of a porous inhomogeneously polarized by direction piezoceramic material with full metalized pore boundaries: Finite element analysis // Journal of Advanced Dielectrics. 2020. № 5 (10).

141. Nasedkin A., Nassar M. E. A numerical study about the effects of the metal volume fraction on the effective properties of a porous piezoelectric composite with metalized pore boundaries // Mechanics of Advanced Materials and Structures. 2021. C. 1-14.

142. Nasedkin A., Nassar M. E. About anomalous properties of porous piezoceramic materials with metalized or rigid surfaces of pores // Mechanics of Materials. 2021. (162). C. 104040.

143. Nasedkin A. V., Nasedkina A. A., Nassar M. E. Homogenization of Porous Piezocomposites with Extreme Properties at Pore Boundaries by Effective Moduli Method // Mechanics of Solids. 2020. № 6 (55). C. 827-836.

144. Nasedkin A. V [h gp.]. Effective properties of piezoceramics with metal inclusions: numerical analysis // Ferroelectrics. 2021. № 1 (575). C. 84-91.

145. Nasedkin A. V, Nasedkina A. A., Rybyanets A. N. Mathematical modeling and computer design of piezoceramic materials with random arrangement of micropores and metallized pore surfaces 2016.C. 186-187.

146. Nasedkin A. V, Nasedkina A. A., Rybyanets A. N. NUMERICAL ANALYSIS OF EFFECTIVE PROPERTIES OF HETEROGENEOUSLY POLARIZED POROUS PIEZOCERAMIC MATERIALS WITH LOCAL ALLOYING PORE SURFACES. // Materials Physics & Mechanics. 2018. № 1 (40).

147. Nasedkin A. V, Nasedkina A. A., Rybyanets A. N. Finite element modeling and analysis of the effective properties of inhomogeneously polarized porous piezoceramic material with partial metallization of pore surfaces // Diagnostics, Resource and Mechanics of materials and structures. 2018. № 5 (2018). C. 38-56.

148. Nasedkin A. V, Shevtsova M. S. Improved finite element approaches for modeling of porous piezocomposite materials with different connectivity 2011.C. 231-254.

149. Nasedkin A. V, Shevtsova M. S. Multiscale computer simulation of piezoelectric devices with elements from porous piezoceramics 2013.C. 185-202.

150. Nemat-Nasser S., Hori M. Micromechanics: overall properties of heterogeneous materials / S. Nemat-Nasser, M. Hori, Elsevier, 2013.

151. Nemat-Nasser S., Yu N., Hori M. Bounds and estimates of overall moduli of composites with periodic microstructure // Mechanics of materials. 1993. № 3 (15). C. 163-181.

152. Newnham R. E., Skinner D. P., Cross L. E. Connectivity and piezoelectric-pyroelectric composites // Materials Research Bulletin. 1978. № 5 (13). C. 525-536.

153. Nguyen B. V [h gp.]. Effects of porosity distribution and porosity volume fraction on the electromechanical properties of 3-3 piezoelectric foams // Smart Materials and Structures. 2016. № 12 (25). C. 125028.

154. Odegard G. M. Constitutive modeling of piezoelectric polymer composites // Acta

materialia. 2004. № 18 (52). C. 5315-5330.

155. Parton V. Z., Kudryavtsev B. A. Electromagnetoelasticity: piezoelectrics and electrically conductive solids / V. Z. Parton, B. A. Kudryavtsev, Taylor & Francis, 1988.

156. Peng C. [h gp.]. Broadband Piezoelectric Transducers for Under-Display Ultrasonic Fingerprint Sensing Applications // IEEE Transactions on Industrial Electronics. 2020.

157. Perry A., Bowen C. R., Mahon S. W. Finite element modelling of 3-3 piezocomposites // Scripta materialia. 1999. № 9 (41). C. 1001-1007.

158. Piazza D., Capiani C., Galassi C. Piezoceramic material with anisotropic graded porosity // Journal of the European Ceramic Society. 2005. № 12 (25). C. 3075-3078.

159. Pierard O., Friebel C., Doghri I. Mean-field homogenization of multi-phase thermo-elastic composites: a general framework and its validation // Composites Science and Technology. 2004. № 10-11 (64). C. 1587-1603.

160. Praveenkumar B., Kumar H. H., Kharat D. K. Study on microstructure, piezoelectric and dielectric properties of 3-3 porous PZT composites // Journal of Materials Science: Materials in Electronics. 2006. № 7 (17). C. 515-518.

161. Preumont A. Vibration control of active structures / A. Preumont, Springer, 1997.

162. Priya S. Advances in energy harvesting using low profile piezoelectric transducers // Journal of electroceramics. 2007. № 1 (19). C. 167-184.

163. Ringgaard E. [h gp.]. Development of porous piezoceramics for medical and sensor applications // Materials. 2015. № 12 (8). C. 8877-8889.

164. Rodriguez-Ramos R. [h gp.]. Maxwell homogenization scheme for piezoelectric composites with arbitrarily-oriented spheroidal inhomogeneities // Acta Mechanica. 2019. № 10 (230). C. 3613-3632.

165. Roscow J. [h gp.]. Porous ferroelectrics for energy harvesting applications // The European Physical Journal Special Topics. 2015. № 14-15 (224). C. 2949-2966.

166. Roscow J. I. [h gp.]. Modified energy harvesting figures of merit for stress-and strain-

driven piezoelectric systems // The European Physical Journal Special Topics. 2019. № 7 (228). C.1537-1554.

167. Roscow J. I., Bowen C. R., Almond D. P. Breakdown in the case for materials with giant permittivity? // ACS Energy Letters. 2017. № 10 (2). C. 2264-2269.

168. Roscow J. I., Taylor J., Bowen C. R. Manufacture and characterization of porous ferroelectrics for piezoelectric energy harvesting applications // Ferroelectrics. 2016. № 1 (498). C. 40-46.

169. Rybianets A., Kushkuley L., Eshel Y. P2O-4 New Low-Q Ceramic Piezocomposites for Ultrasonic Transducer Applications IEEE, 2006.C. 1911-1914.

170. Rybjanets A. N., Nasedkin A. V, Turik A. V New micro structural design concept for polycrystalline composite materials // Integrated Ferroelectrics. 2004. № 1 (63). C. 179-182.

171. Rybyanets A. N. Porous piezoceramics: theory, technology, and properties // IEEE transactions on ultrasonics, ferroelectrics, and frequency control. 2011. № 7 (58). C. 1492-1507.

172. Rybyanets A. N. [h gp.]. Electric power generations from PZT composite and porous ceramics for energy harvesting devices // Ferroelectrics. 2015. № 1 (484). C. 95-100.

173. Rybyanets A. N. [h gp.]. Nanoparticles transport using polymeric nano-and microgranules: novel approach for advanced material design and medical applications 2018.

174. Rybyanets A. N., Naumenko A. A. Nanoparticles Transport in Ceramic Matrices: A Novel Approach for Ceramic Matrix Composites Fabrication 2013.

175. Rybyanets A. N., Rybyanets A. A. Ceramic piezocomposites: modeling, technology, and characterization // IEEE transactions on ultrasonics, ferroelectrics, and frequency control. 2011. № 9 (58). C. 1757-1773.

176. Sareni B. [h gp.]. Effective dielectric constant of periodic composite materials // Journal of Applied Physics. 1996. № 3 (80). C. 1688-1696.

177. Schröder J., Balzani D., Brands D. Approximation of random microstructures by periodic

statistically similar representative volume elements based on lineal-path functions // Archive of

Applied Mechanics. 2011. № 7 (81). C. 975-997.

167

178. Shen Z.-Y., Xu Y., Li J.-F. Fabrication and electromechanical properties of microscale 1-3-type piezoelectric composites using (Na, K) NbO 3-based Pb-free piezoceramics // Journal of Applied Physics. 2009. № 10 (105). C. 104103.

179. Shenck N. S., Paradiso J. A. Energy scavenging with shoe-mounted piezoelectrics // IEEE micro. 2001. № 3 (21). C. 30-42.

180. Sherrit S. [h gp.]. Accurate evaluation of the real and imaginary material constants for a piezoelectric resonator in the radial mode // Ferroelectrics. 1991. № 1 (119). C. 17-32.

181. Sherrit S. [h gp.]. Determination of the reduced matrix of the piezoelectric, dielectric, and elastic material constants for a piezoelectric material with Cot symmetry // IEEE transactions on ultrasonics, ferroelectrics, and frequency control. 2011. № 9 (58). C. 1714-1720.

182. Sherrit S., Wiederick H. D., Mukherjee B. K. PdP135. Nun-iterative evaluation of the real and imaginary material constants of piezoelectric resonators // Ferroelectrics. 1992. № 1 (134). C. 111-119.

183. Shvetsova N. A. [h gp.]. New techniques and designs of focusing piezoelectric transducers for ultrasonic diagnostics and therapy // Bulletin of the Russian Academy of Sciences: Physics. 2018. № 3 (82). C. 251-256.

184. Skinner D. P., Newnham R. E., Cross L. E. Flexible composite transducers // Materials Research Bulletin. 1978. № 6 (13). C. 599-607.

185. Smith W. A. The role of piezocomposites in ultrasonic transducers IEEE, 1989.C. 755-766.

186. Smits J. G. Iterative method for accurate determination of the real and imaginary parts of the materials coefficients of piezoelectric ceramics // IEEE Transactions on Sonics and Ultrasonics. 1976. № 6 (23). C. 393-401.

187. Smoker J. [h gp.]. Energy harvesting from a standing wave thermoacoustic-piezoelectric resonator // Journal of Applied Physics. 2012. № 10 (111). C. 104901.

188. Sodano H. A., Inman D. J., Park G. A review of power harvesting from vibration using piezoelectric materials // Shock and Vibration Digest. 2004. № 3 (36). C. 197-206.

189. Song G. [h gp.]. Active vibration damping of composite beam using smart sensors and

168

actuators // Journal of aerospace engineering. 2002. № 3 (15). C. 97-103.

190. Srivastava V. K., Gabbert U., Berger H. Representative volume element analysis for the evaluation of effective material properties of fiber and particle loaded composites with different shaped inclusions Springer, 2011.C. 185-192.

191. Std A. IEEE standard on piezoelectricity // 1987.

192. Takagi K. [h gp.]. Fabrication and evaluation of PZT/Pt piezoelectric composites and functionally graded actuators // Journal of the European Ceramic Society. 2003. № 10 (23). C. 1577-1583.

193. Tan J., Li Z. Microstructures, dielectric and piezoelectric properties of unannealed and annealed porous 0.36 BiScO 3-0.64 PbTiO 3 ceramics // Journal of Materials Science. 2016. № 11 (51). C. 5092-5103.

194. Terada K. [h gp.]. Simulation of the multi-scale convergence in computational homogenization approaches // International Journal of Solids and Structures. 2000. № 16 (37). C. 2285-2311.

195. Tichâ G., Pabst W., Smith D. S. Predictive model for the thermal conductivity of porous materials with matrix-inclusion type microstructure // Journal of materials science. 2005. № 18 (40). C. 5045-5047.

196. Tiersten H. F. Linear Piezoelectric Plate Vibrations: Elements of the Linear Theory of Piezoelectricity and the Vibrations Piezoelectric Plates / H. F. Tiersten, Springer, 2013.

197. Ting R. Y. Piezoelectric properties of a porous PZT ceramic // Ferroelectrics. 1985. № 1 (65). C. 11-20.

198. Topolov V. Y., Bowen C. R. Electromechanical properties in composites based on ferroelectrics / V. Y. Topolov, C. R. Bowen, Springer Science & Business Media, 2008.

199. Torquato S., Haslach Jr H. W. Random heterogeneous materials: microstructure and macroscopic properties // Appl. Mech. Rev. 2002. № 4 (55). C. B62-B63.

200. Tuncer E. Dielectric mixtures: importance and theoretical approaches // arXiv preprint arXiv:1304.5516. 2013.

201. Vinogradov D. A. [h gp.]. Determination of electric and mechanical characteristics of piezoceramic elements // Russian journal of nondestructive testing. 2002. № 2 (38). C. 91-97.

202. Voigt W. Ueber die Beziehung zwischen den beiden Elasticitätsconstanten isotroper Körper // Annalen der physik. 1889. № 12 (274). C. 573-587.

203. Wang J.-S. Random sequential adsorption, series expansion and Monte Carlo simulation // Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 1998. № 1-2 (254). C. 179-184.

204. Wang J. [h gp.]. Microstructure, electrical and mechanical properties of MgO nanoparticles-reinforced porous PZT 95/5 ferroelectric ceramics // Ceramics International. 2013. № 4 (39). C. 3915-3919.

205. Wang J., Li W. A new piezoelectric hollow cylindrical transducer with multiple concentric annular metal fillers // Materials Research Express. 2019. № 5 (6). C. 55701.

206. Wang Q.-M. [h gp.]. Effect of DC bias field on the complex materials coefficients of piezoelectric resonators // Sensors and Actuators A: Physical. 2003. № 1-2 (109). C. 149-155.

207. Wang S. [h gp.]. Effects of pore size on microstructure, mechanical and dielectric properties of gel casting BN/Si3N4 ceramics with spherical-shaped pore structures // Journal of alloys and compounds. 2013. (581). C. 46-51.

208. Wang Z. L., Song J. Piezoelectric nanogenerators based on zinc oxide nanowire arrays // Science. 2006. № 5771 (312). C. 242-246.

209. Webman I., Jortner J., Cohen M. H. Theory of optical and microwave properties of microscopically inhomogeneous materials // Physical Review B. 1977. № 12 (15). C. 5712.

210. Xiang P.-H. [h gp.]. Mechanical and electrical properties of small amount of oxides reinforced PZT ceramics // Ceramics International. 2003. № 5 (29). C. 499-503.

211. Xu T., Wang C. Piezoelectric properties of a pioneering 3-1 type PZT/epoxy composites based on freeze-casting processing // Journal of the American Ceramic Society. 2014. № 5 (97). C.1511-1516.

212. Yanaseko T. [h gp.]. Investigation of Fabrication Condition of Metal Matrix Piezoelectric

Composite Using Surface Oxidized Metal Fiber As Internal Electrode American Society of

170

Mechanical Engineers, 2020.C. V001T06A005.

213. Yanaseko T., Asanuma H., Sato H. Characterization of a metal-core piezoelectric ceramics fiber/aluminum composite // Mechanical Engineering Journal. 2015. C. 14-357.

214. Yang A. [h gp.]. Effects of sintering behavior on microstructure and piezoelectric properties of porous PZT ceramics // Ceramics International. 2010. № 2 (36). C. 549-554.

215. Yang A. [h gp.]. Porous PZT ceramics with high hydrostatic figure of merit and low acoustic impedance by TBA-based gel-casting process // Journal of the American Ceramic Society. 2010. № 5 (93). C. 1427-1431.

216. Yang A. [h gp.]. Microstructure and electrical properties of porous PZT ceramics fabricated by different methods // Journal of the American Ceramic Society. 2010. № 7 (93). C. 19841990.

217. Yang J. An introduction to the theory of piezoelectricity / J. Yang, Springer, 2005.

218. Zeng T. [h gp.]. Processing and piezoelectric properties of porous PZT ceramics // Ceramics international. 2007. № 3 (33). C. 395-399.

219. Zhang H. L., Li J.-F., Zhang B.-P. Fabrication and evaluation of PZT/Ag composites and functionally graded piezoelectric actuators // Journal of electroceramics. 2006. № 4 (16). C. 413417.

220. Zhang H. L., Li J.-F., Zhang B.-P. Microstructure and electrical properties of porous PZT ceramics derived from different pore-forming agents // Acta Materialia. 2007. № 1 (55). C. 171181.

221. Zhang H. L., Li J. F. Fabrication and evaluation of PZT/Ag piezoelectric composites and graded actuator Trans Tech Publ, 2005.C. 1913-1916.

222. Zhang S., Zhang Y., Li Z. Ultrasonic monitoring of setting and hardening of slag blended cement under different curing temperatures by using embedded piezoelectric transducers // Construction and Building Materials. 2018. (159). C. 553-560.

223. Zhang Y. [h gp.]. Enhanced pyroelectric and piezoelectric properties of PZT with aligned

porosity for energy harvesting applications // Journal of Materials Chemistry A. 2017. № 14 (5).

171

C.6569-6580.

224. Zouari R., Benhamida A., Dumontet H. A micromechanical iterative approach for the behavior of polydispersed composites // International Journal of Solids and Structures. 2008. № 11-12 (45). C. 3139-3152.

225. Наседкин А. В., Нассар М. Э. Численный анализ эффективных свойств неоднородно поляризованной пористой пьезокерамики с легированными никелем стенками пор с учетом влияния объемных долей металла и пор // Вычислительная механика сплошных сред. 2021. № 2 (14). C. 190-202.

226. Наседкин А. В., Шевцова М. С. Моделирование эффективных модулей для различных типов пористых пьезокерамических материалов // Вестник Донского государственного технического университета. 2013. № 3-4 (72-73).

227. Паньков А. А. Статистическая механика пьезокомпозитов 2009.

228. Сенюткин П. А., Чинейкина Е. Ф. Отбор пьезоэлементов при изготовлении пьезоэлектрических преобразователей // Дефектоскопия. 2003. № 2. C. 36.

229. Соколкин Ю. В., Паньков А. А. Электроупругость пьезокомпозитов с нерегулярными структурами 2003.

230. Хорошун Л. П., Маслов Б. П., Лещенко П. В. Прогнозирование эффективных свойств пьезоактивных композитных материалов / Л. П. Хорошун, Б. П. Маслов, П. В. Лещенко, Наукова думка, 1989.

Приложение

В данном приложении приведена программа, которое использовалось для решения задач гомогенизации (2.1.4)-(2.1.9) при граничных условиях (2.1.12) (при у = 9 ) для СМПП с учетом периодического ПО, показанного на рисунке 3.1 (а).

/RGB,INDEX,100,100,100,0

/RGB,INDEX,0,0,0,15

/PLOPT,FRAME,OFF

/PLOPTS,INFO,2

!/PLOPTS,LOGO,OFF

/PLOPTS,DATE,OFF

/PLOPTS,TITLE,OFF

/NERR,,99999999,,,0

f_r='3l-Uf-Sph-m-d-hom'

L=1

POR=0.3 ! Porosity

KHR=10 ! HR= R2/KHR - thikness of metal layer

NEL13=6 !For Esize in ceramics and pore

NEL2=0.5 !For Esize in metal

EPS_M=1e12 ! Coeff. for diel. permitt. for metal

VOL_G1=1/(L**3)

pi=4*atan(1)

FACT=1e-10

EPS0=8.85e-12

! PZT-5H Свойства материала

RO=7.5e3 ! плотность

C11E=12.6e10 ! модуль упругости

C12E=7.95e10

C13E=8.41e10

C33E=11.7e10

C66E=(C11E-C12E)/2

C44E=2.3e10

E31=-6.5 ! пьезомодули

E33=23.3

E15=17

EPS11=1700 ! Модули диэлектрической проницаемости

EPS33=1470

/output,f_r,res, ,APPEND

*VWRITE

(1X,' The SMPS ')

*VWRITE,POR, NEL13

(' POR = ',F10.4,' NEL = ',F10.4)

/output

/PREP7

! Свойства материала пьезокерамической матрицы «Материал 1». MP,DENS,1 ,RO/RO_d TB,ANEL, 1

TBDATA,1, C11E, C12E, C13E TBDATA,7, C11E, C13E TBDATA,12, C33E TBDATA,16, C66E TBDATA,19, C44E TBDATA,21, C44E TB,PIEZ, 1 TBDATA,3, E31 TBDATA,6, E31 TBDATA,9, E33 TBDATA,14, E15 TBDATA,16, E15 MP,PERX,1, EPS11 MP,PERZ,1, EPS33

! Свойства материала «Материал 2» (проводник, если EPS_M >> 1) MP,DENS,2,0

ТБ,АЫЕЬ,2

ТББАТАД, С11Е*РАСТ, С12Е*РАСТ, С13Е*РАСТ

ТББАТЛ,7, С11Е*БАСТ, С13Е*БАСТ

ТББАТАД2, С33Е*БАСТ

ТББАТАДб, СббЕ*РАСТ

ТББАТАД9, С44Е*БАСТ

ТББАТА,21, С44Е*БАСТ

ТБ,РГЕ2,2

ТББАТА, 3 ,БАСТ

ТБОАТАДРАСТ

ТБОАТАДРАСТ

ТББАТА, 14,БАСТ

ТББАТА, 1б,РАСТ

МР,РЕИХ,2,ЕР8_М

МР,РЕИ2,2,ЕР8_М

! Материальные свойства вакуума «Материал 3»

МР,БЕ№,3,0

TБ,ЛNEL,3

ТББАТАД, С11Е*БАСТ, С12Е*БАСТ, С13Е*БАСТ

ТББАТА,7, С11Е*БАСТ, С13Е*БАСТ

ТББАТАД2, С33Е*БАСТ

ТББАТАДб, СббЕ*РАСТ

ТББАТАД9, С44Е*БАСТ

ТББАТА,21, С44Е*БАСТ

ТБ,Р1Ег,3

ТББАТА, 3 ,БАСТ

ТБОАТАДРАСТ

ТБОАТАДРАСТ

ТББАТА, 14,БАСТ

ТББАТА, 1б,РАСТ

МР,РЕИХ,3,1

МР,РЕИ2,3,1

! Геометрическая твердотельная модель

R2=((3*POR/(4*pi))**(1/3))*L

HR=R2/KHR

BLOCK, 0, L/2, 0, L/2, 0, L/2 SPHERE, R2-HR, R2, 0, 90 VINV, 1, 2

BLOCK, 0, L/2, 0, L/2, 0, L/2 SPHERE, 0, R2-HR, 0, 90 VINV, 1, 2

BLOCK, 0, L/2, 0, L/2, 0, L/2 VSBV, 1, 4, , , KEEP VSBV, 2, 3, , , KEEP VGLUE, 1, 3, 4 VSYMM,X,ALL VSYMM,Y,ALL VSYMM,Z,ALL NUMMRG,ALL NUMCMP,ALL

! Выбор конечного элемента для пьезоэлектрического анализа из библиотеки ANSYS APDL ET, 1, SOLID227, 1001 !=========================================

MSHKEY, 0 ! свободное построение сетки

VSEL,S,VOLU,,3,24,3

VATT,2, ,1

ESIZE,HR/NEL2

VMESH,ALL

VSEL,ALL

ESIZE,L/NEL13

VSEL,S,VOLU,,1,22,3

VATT,1, ,1

VMESH,ALL

VSEL,ALL

VSEL,S,VOLU,,2,23,3

VATT,3, ,1

VMESH,ALL

VSEL,ALL

NUMMRG,ALL

NUMCMP,ALL

ESEL,S,MAT,,1

*GET,EL 1 _MAX,ELEM,, COUNT *GET,NEL 1_MIN,ELEM,,NUM,MIN ESEL,S,MAT,,2

* GET,EL2_MAX,ELEM,,COUNT

* GET,NEL2_MIN,ELEM, ,NUM,MIN ESEL,S,MAT,,3

*GET,EL3_MAX,ELEM,,COUNT *GET,NEL3_MIN,ELEM,,NUM,MIN EL_MAX=EL1_MAX +EL2_MAX+EL3_MAX ESEL,ALL

*GET,ELALL_MAX,ELEM,,COUNT FINISH

! Проблема гомогенизации у = 9 /SOLU

ANTYPE, STATIC

DDEL,ALL,ALL

NSEL,S,LOC,Y,-L/2

NSEL,A,LOC,Y,L/2

NSEL,A,LOC,Z,-L/2

NSEL,A,LOC,Z,L/2

NSEL,A,LOC,X,-L/2

NSEL,A,LOC,X,L/2

D,ALL,UX,0 $ D,ALL,UY,0 $ D,ALL,UZ,0 ! Граничные условия

*GET, JJ, NODE, ,NUM,MIN

* GET,NN_MAX,NODE„COUNT

*DO,I,1 ,NN_MAX

D,JJ,VOLT,NZ(JJ)

JJ=NDNEXT(JJ)

*ENDDO

NSEL,ALL

OUTRES,ALL,ALL

SOLVE

FINISH

/POST1

ETAB,S11,S,X $ ETAB,S22,S,Y $ ETAB,S33,S,Z

ETAB,S23,S,YZ $ ETAB,S13,S,XZ $ ETAB,S12,S,XY

ETAB,EP11 ,EPEL,X $ ETAB,EP22,EPEL,Y $ ETAB,EP3 3 ,EPEL,Z

ETAB,EP23,EPEL,YZ $ ETAB,EP13 ,EPEL,XZ $ ETAB,EP12,EPEL,XY

ETAB,D1,D,X $ ETAB,D2,D,Y $ ETAB,D3,D,Z

ETAB,E1,EF,X $ ETAB,E2,EF,Y $ ETAB,E3,EF,Z

ETAB,V_EL,VOLU

ETAB,UTS,NMISC, 1 $ ETAB,UDE,NMISC,2

S11_AV=0 $ S22_AV=0 $ S33_AV=0 $ S23_AV=0 $ S13_AV=0 $ S12_AV=0 EP11_AV=0 $ EP22_AV=0 $ EP33_AV=0 $ EP23_AV=0 $ EP13_AV=0 $ EP12_AV=0 D1_AV=0 $ D2_AV=0 $ D3_AV=0 $ E1_AV=0 $ E2_AV=0 $ E3_AV=0 UTS_AV=0 $ UDE_AV=0

! Вычисление интегрального поля над пьезокерамической матрицей

ESEL,S,MAT,,1

ii=NEL1_MIN

*do,iii,1,EL1_MAX

*get,s11_el,elem,ii,etab,s11 $ *get,s22_el,elem,ii,etab,s22 $ *get,s33_el,elem,ii,etab,s33 *get,s23_el,elem,ii,etab,s23 $ *get,s13_el,elem,ii,etab,s13 $ *get,s12_el,elem,ii,etab,s12 *get,ep11_el,elem,ii,etab,ep11 $ *get,ep22_el,elem,ii,etab,ep22 $ *get,ep33_el,elem,ii,etab,ep33 *get,ep23_el,elem,ii,etab,ep23 $ *get,ep13_el,elem,ii,etab,ep13 $ *get,ep12_el,elem,ii,etab,ep12 *get,d1_el,elem,ii,etab,d1 $ *get,d2_el,elem,ii,etab,d2 $ *get,d3_el,elem,ii,etab,d3

*get,e1_el,elem,ii,etab,e1 $ *get,e2_el,elem,ii,etab,e2 $ *get,e3_el,elem,ii,etab,e3 *get,vol_el,elem,ii,etab,v_el

*get,UTS_el,elem,ii,etab,UTS $ *get,UDE_el,elem,ii,etab,UDE

S11_AV=S11_AV+s11_el*vol_el $ S22_AV=S22_AV+s22_el*vol_el $ S33_AV=S33_AV+s33_el*vol_el

S23_AV=S23_AV+s23_el*vol_el $ S13_AV=S13_AV+s13_el*vol_el $ S12_AV=S12_AV+s12_el*vol_el