Прикладные задачи колебаний тонкостенных пьезоэлектрических элементов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Кочетков, Иван Дмитриевич

• Кочетков, Иван Дмитриевич
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кочетков, Иван Дмитриевич

Введение.

Глава 1. Динамическое поведение пьезоэлектрических слоистых стержней симметричного строения.

1. Постановка задачи и исходные уравнения.

2 . Построение теории стержней симметричного строения.

3. Переход от одномерных величин теории стержней к трехмерным величинам.

4. Коэффициент электромеханической связи.

5. Продольные колебания трехслойного стержня.

6. Изгибные колебания трехслойного стержня.

Глава 2. Динамическое поведение пьезоэлектрических слоистых стержней несимметричного строения.

7. Слоистые электроупругие стержни несимметричного строения.

8. Переход от одномерных величин теории несимметричных стержней к трехмерным величинам.

9. Колебания двухслойного стержня.

10. Динамическое поведение балочной электроупругой конструкции.

11. Напряженно-деформированное состояние биморфной упругой балки

Глава 3. Контактное взаимодействие активного пьезоэлектрического элемента и упругого полупространства.

12. Задача для пьезоэлектрического активного элемента.

13. Задача для упругого полупространства.

14. Условия контакта активного элемента и упругого полупространства

Глава 4. Численные примеры расчета контактной задачи.

15. Расчет акустических волн в упругом полупространстве из стали, возбуждаемых активным элементом из пьезокерамики PZT-5.

16. Расчет акустических волн в упругом полупространстве из алюминия, возбуждаемых активным элементом из пьезокерамики PZT-5.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Прикладные задачи колебаний тонкостенных пьезоэлектрических элементов»

Пьезоэлектрические элементы, основанные на использовании пьезоэффекта, который заключается в связанности электрического и механического полей, в настоящее время находят широкое применение в различных областях науки и техники.

У тела, обладающего пьезоэлектрическим эффектом, существует связь между электрическим и механическим полями. Вследствие этого пьезоэлектрики могут служить в качестве преобразователей электрической энергии в механическую и обратно.

Начало использованию пьезоэффекта было положено в годы первой мировой войны, когда французский физик П.Ланжевен впервые создал устройство с кварцевой мозаикой для гидроакустических измерений и исследований.

Пьезоэлектрические элементы используются в устройствах радиотехники, вычислительной и контрольно - измерительной техники, автоматики, в приборах дефектоскопии и медицинской диагностики в качестве экономичных преобразователей энергии сигналов, генераторов напряжения, фильтров, линий задержки, всевозможных датчиков, пьезоэлектрических двигателей, трансформаторов и т.д. Пьезоэлектрические элементы характеризуются высокой помехозащищенностью, технологичностью изготовления и надежностью в эксплуатации. Использование пьезоэлектрических материалов в электронике позволяет уменьшить размеры и массу элементов устройств, создать эффективные преобразователи энергии.

Режим работы активного пьезоэлектрического элемента, его размеры, геометрическая форма и структура определяются назначением преобразователя. Достаточно полную информацию по пьезоэлектрическим устройствам, их применению, методам расчета можно найти в работах [3], [9], [11], [15],[20], [31], [32], [38], [40], [42], [48], [73].

Новый этап в использовании пьезоэффекта начался в связи с открытием пьезоэлектрических свойств у поляризованного керамического титанита бария. Пьезокерамика быстро заменила пьезоэлектрические кристаллы во многих практических применениях, так как пьезокерамика имеет существенно более низкую стоимость, может обладать большей, чем кварц, пьезоактивностью, изделия из пьезокерамики можно получать практически любой формы и размера, а возможность создания искусственной поляризации в произвольном направлении позволяет конструировать пьезоэлементы в соответствии с их назначением.

Сегнетокерамические материалы синтезируются по керамической технологии: смешение мелкодисперсных порошков исходных компонентов в точной пропорции и последующий их обжиг при высокой температуре с целью получения соединения выбранного состава.

Сегнетоэлектрическая керамика после обжига однородна и изотропна. Полярные оси доменов, составляющих керамику, распределены статистически равномерно. Сегнетокерамика не обладает пьезоэффектом. При поляризации - приложении достаточно сильного электрического поля, домены получают преимущественную ориентацию и керамика становится полярной пьезоэлектрической текстурой - пьезокерамикой.

Широкое использование, конструктивное разнообразие размеров и форм и интенсификация условий эксплуатации различных пьезокерамических преобразователей привело к необходимости полного анализа их работы с помощью теории и методов механики деформируемого твердого тела. Постановка задач и основные уравнения связанных динамических задач содержатся, например, в [10], [15], [26], [30], [37], [41], [92].

Следует отметить, что в современных работах, посвященных тонкостенным пьезоэлектрическим элементам, просматриваются следующие направления - в ряде работ расчет ведется по трехмерной теории численными методами [79], [80], что приводит к неоправданным сложности и большим погрешностям. В других работах расчет проводится по упрощенным одномерным моделям, что не всегда позволяет составить правильную картину электроупругого поведения тонкостенного элемента. В третьей группе работ используются приближенные одномерные и двухмерные модели. Результаты работ последней группы весьма противоречивы - имеется большое сходство с ситуацией в мире механики до утверждения теории оболочек Кирхгоффа - авторы используют без достаточных обоснований разные предположения о порядке и характере поведения искомых величин, что приводит к качественно отличающимся одномерным и двухмерным теориям.

Для того, чтобы эти устройства надежно работали, надо располагать эффективными методами расчета. Даже в простейшей линейной постановке без учета температурных и магнитных эффектов электроупругое состояние пьезоэлемента описывается решением связанной электроупругой задачи, которое тем сложней, чем сложнее форма элемента. Нахождение точного решения трехмерной связанной электроупругой задачи представляет большие математические трудности (точные решения найдены только в простейших случаях, например, для слоя, сферы, бесконечного цилиндра [16] - [18], [21]), поэтому используются различные методы, позволяющие свести трехмерную задачу к одномерной для электроупругого стержня или двухмерной для электроупругой пластины или оболочки. Для того чтобы разработать приближенные методы расчета используемых в практике тонкостенных электроупругих элементов, естественно использовать малость одного из размеров, подобно тому, как это делается в теории упругих балок, пластин, оболочек. Такой подход имеет особое значение, так как аналитические решения по трехмерной теории электроупругости удается получить только для простейших задач.

Для краткости методы построения одномерных и двухмерных теорий называют методами сведения. Наиболее часто используются следующие три метода сведения: метод гипотез, метод разложения в ряды и асимптотический метод.

Первый метод сведения - метод гипотез, заключается в том, что с помощью некоторых предположений трехмерную задачу сводят к одномерной для стержней (балок) и двухмерной для пластин и оболочек. Так, например, получены известные теории упругих балок, пластин и оболочек Кирхгоффа-Лява. Хотя принятие гипотез вносит неустранимую погрешность, которую трудно оценить, этот метод отличается простотой и наглядностью и поэтому часто используется. В ряде работ сделана попытка уточнить теорию тонкостенных конструкций, приняв менее жесткие гипотезы, чем гипотезы Кирхгоффа-Лява. Примером могут служить теории типа Тимошенко, учитывающие поперечный сдвиг. Большая часть работ по построению теорий тонкостенных электроупругих элементов выполнена с помощью метода гипотез [4], [19], [20], [22], [23], [30], [33],[37], [41],[100]. Как правило, для механических величин принимаются гипотезы Кирхгоффа, а для электрических величин принимаются различные гипотезы, часто без достаточного обоснования. В ряде работ строятся уточненные теории электроупругих тонкостенных элементов, подобные теории Тимошенко, учитывающие поперечный сдвиг [2].

Другой метод сведения основан на разложении искомых величин в степенные ряды. Начало этому методу положили Коши и Пуассон, которые применили разложения по нормальной к срединной поверхности координате для сведения трехмерных задач теории упругости к двухмерным. Количество удерживаемых в разложениях членов зависит от желаемой точности. Среди работ, выполненных методом разложения в степенные ряды, отметим работы X. Тирстена для пьезоэлектрической пластины [96] - [98].

Наиболее полно используют малость толщины тонкостенного элемента асимптотические методы, которые были детально разработаны для упругих пластин и оболочек, например, в работах И.И.Воровича [8] и А.Л.Гольденвейзера [29], а затем обобщены на электроупругость, например, в работах А.В. Белоконя [12]-[14], Ю.А.Устинова, И.П.Гетмана [27], Н.Н.Рогачевой [43]-[46], [92]-[94]. В этих работах в результате асимптотического анализа трехмерных уравнений электроупругости показано, что полное электроупругое состояние складывается из электроупругого погранслоя и внутреннего электроупругого состояния, построены одномерные и двухмерные теории электроупругих балок и пластин и оболочек без принятия каких-либо гипотез, оценены погрешности построенных теорий.

В результате асимптотического анализа выяснилось какие гипотезы следовало бы принять для искомых величин, чтобы выполнить правильно сведение методом гипотез. Особенно важно правильно сформулировать гипотезы для электрических величин, так как для них нет аналога в теории упругости.

Особое место в использовании пьезоэлектрических преобразователей занимают электроупругие композиты -слоистые тонкостенные элементы, составленные из пьезоэлектрических и упругих слоев [49]—[51 ], [54]—[56], [58]-[72], [74], [76]—[79], [83]-[86], [91], [93], [95], [100], [101]. Несмотря на большое количество работ, посвященных этой проблеме, остаются открытыми вопросы правомерности гипотез для электрических величин при сведении, вопросы расчета и оптимизации конструкции.

Настоящая диссертация посвящена созданию прикладных теорий колебания пьезоэлектрических преобразователей. При построении прикладных теорий использовались гипотезы, которые были ранее обоснованы асимптотическим методом [92]. В монографии [92] показано, что содержание гипотез существенно зависит от условий на лицевых поверхностях тонкостенного элемента. В диссертации построены прикладные теории колебания слоистых электроупругих стержней симметричного и произвольного строения [34], [35]. Получены формулы перехода от одномерных величин к трехмерным искомым величинам, которыми следует воспользоваться после решения одномерной задачи. Пьезоэлектрические устройства работают как преобразователи энергии - механической в электрическую и наоборот, поэтому особое внимание уделено вычислению и анализу эффективности преобразования энергии, характеризуемой коэффициентом электромеханической связи (КЭМС). В качестве примеров рассмотрены трехслойные и двухслойные стержни, стержневая система, используемая в электронике, выполнен полный анализ динамического поведения. Решена контактная задача - активный тонкий пьезоэлектрический элемент, находящийся на поверхности упругого полупространства, возбуждает объемные и поверхностные волны в упругом полупространстве. Получено аналитическое решение, выполнен численный расчет [36].

Диссертация содержит введение, четыре главы, заключение, приложения 1, список литературы. В диссертации приведено 46 рисунков и графиков.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Кочетков, Иван Дмитриевич

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В представленной работе методом гипотез выполнено построение теории пьезоэлектрических слоистых стержней, как симметричного строения, так и стержней, у которых слои расположены в произвольном порядке. В качестве примеров приведены расчеты вынужденных гармонических колебаний слоистых стержней с различными закреплениями краев.

Для сведения трехмерных уравнений электроупругости к одномерным уравнениям теории стержней использованы гипотезы, которые следуют из результатов асимптотического анализа трехмерных уравнений пьезоэлектрических тел, выполненного в монографии [92]. Особое внимание уделено гипотезам, принимаемым относительно электрических величин. Гипотезы относительно электрических величин существенно зависят от вида электрических граничных условий - они разные для разных электрических условий на лицевых поверхностях электроупругих слоев. Как правило, в большинстве работ принимаются одни и те же гипотезы для электрических величин без учета электрических условий на лицевых поверхностях слоя. Так, например, повсеместно используется линейный закон изменения по толщине слоя для электрического потенциала, что, как показано в этой работе, верно только в случае плоской задачи. Показано, что использование линейного закона для электрического потенциала в случае задачи изгиба приводит к существенной погрешности и к противоречиям.

Показано, что коэффициенты в уравнениях состояния в теории слоистых электроупругих стержней зависят от электрических условий на лицевых поверхностях пьезоэлектрических слоев. Эти уравнения состояния слоистых стержней, учитывающие вид электрических условий, получены впервые.

Для стержней несимметричного строения выполнено расчленение полной задачи на плоскую задачу и задачу изгиба путем соответствующего выбора положения нейтральной линии стержня.

Получены формулы перехода от одномерных величин теории стержней к трехмерным искомым величинам для каждого слоя, которыми следует воспользоваться после решения одномерной задачи теории стержней. Показано, что для электроупругих слоев вид формул перехода существенно зависит от электрических условий на лицевых поверхностях слоев.

Выполнен расчет эффективности преобразования энергии слоистого стержня, характеризующийся коэффициентом электро механической связи. Вычисление КЭМС выполнено двумя различными способами, результаты вычислений полностью совпали. Изучена зависимость КЭМС от частоты колебаний, толщин слоев, материала упругого слоя.

Показано, что в случае изгибных колебаний существует определенное соотношение толщин упругих и пьезоэлектрических слоев, при котором эффективность преобразования достигает максимума. Впервые выявлен факт, что это соотношение толщин одно и то же для всех частот изгибных колебаний стержня.

Предложен способ построения аналитического решения контактной динамической задачи для активного пьезоэлектрического элемента и упругого полупространства. Полученное аналитическое решение позволяет найти все искомые величины, изучить электроупругое состояние активного элемента и распространение акустических волн в упругом полупространстве.

Предложенный способ решения продемонстрирован на численных примерах, в результате расчета

- найдены перемещения и напряжения активного элемента и упругого полупространства, как на поверхности тела, так и во внутренних точках тела,

- проанализирована зависимость максимальных амплитудных значений перемещений поверхностных волн от частоты колебаний активного элемента. Показано, что эти перемещения достигают максимума при определенной частоте,

- исследовано, на каком расстоянии от источника колебаний затухают объемные волны и остаются только поверхностные волны.

Решение может быть использовано для неразрушающего контроля, в сейсмологии и для оптимизации задач распространения сигналов.

Предложенный способ решения может быть использован для анизотропного и слоистого упругого полупространства.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кочетков, Иван Дмитриевич, 2007 год

1. Аксентян O.K. Особенности напряженно-деформированного состояния плиты в окрестностях ребра// ПММ. 1967. Т. 31. Вып. 1. С. 178-186.

2. Амбардумян С.А., Белубекян М.В. К задаче изгиба пьезокерамическнх пластин, поляризованных но координатной линии срединной плоскости // Механика. Ереван: Изд-во Ереван Ун-та, 1986. Вып. 5. С. 59-67.

3. Ананьева А.А. Керамические приемники звука. М.: Изд-во АН СССР, 1963. 178 с.

4. Андрущенко В.А., Борисейко В.А., Мартыненко B.C., Никитенко В.Н., Улитко А.Ф. Бегущие волны деформаций в тонких пьезокерамическнх оболочках // XIII Всесоюз. конф. Пластины и оболочки. Таллин: Изд-е Таллин. Политех, ин-та, 1983. Ч. I. С. 36-41.

5. Аронов Б.С. Об электромеханическом: преобразовании энергии при деформации изгиба тонких пьезокерамическнх пластин // Докл. АН УССР. Сер. А. 1980. № 3. С. 33-36.

6. Аронов Б.С. Об эффективных коэффициентах электромеханической связи пьезокерамическнх тел// Прикл. механика. 1980. Т.16. № 30. С. 101-107.

7. Аронов Б.С. Об энергетическом методе расчета пьезокерамических электроакустических преобразователей. // Вопросы судостроения. Сер. общетехн. 1978. Вып. 31. С. 48-59.

8. Базаренко Н.А., Ворович И.И. Анализ трехмерного напряженного и деформированного состояния круговых цилиндрических оболочек. Построение уточненных теорий // ПММ. 1969. Т. 33. Вып. 3.1. С. 496-510.

9. Баракас Р.А., Кульветис Г.П., Рагульскис К.М. Расчет и проектирование вибродвигателей. М.: Машиностроение, 1984. 101 с.

10. Барфут Дж. Введение в физику сегнетоэлектрических явлений: Пер. с англ. М.: Мир, 1970.352 с.

11. Барфут Дж., Тейлор Дж. Полярные диэлектрики и их применение: Пер. с англ. М.: Наука, 1981. 528 с.

12. Белоконь А.В. Об одном методе решения задач теории упругости для тел конечных размеров // ДАН СССР. 1977. Т. 233. №1. С. 56-59.

13. Белоконь А.В., Вовк Л.П. Об установившихся колебаниях электроупругой пластины переменной толщины // Прикл. Механика.-1982.-Т.18, №5.-С. 93-97.

14. Белоконь А.В., Ворович И.И. Некоторые математические вопросы теории электроупругих тел //Актуальные проблемы механики деформируемых сред.-Днепропетровск: Изд-е Днепропетр. Ун-та, 1979. С. 53-67.

15. Берлинкур Д., Керран Д., Жаффе Г., Пьезоэлектрические и пьезомагнитные материалы и их применение в преобразователях //Физическая акустика. /Под ред. У. Мэзона. М.: Мир, 1966. Т.1. Ч. А . С. 204-326.

16. Болкисев A.M., Шульга Н.А. Вынужденные колебания пьезокерамического полого цилиндра (осевая поляризация) // Прикл. механика. 1985. Т. 21. №12. С. 109-111.

17. Болкисев A.M., Шульга Н.А. Вынужденные колебания пьезокерамического полого цилиндра (радиальная поляризация) //Прикл. механика. 1985. Т. 21. №5. С. 118-121.

18. Болкисев A.M., Ефимова Т. Л., Шульга Н.А. Колебания пьезокерамического полого цилиндра при механическомнагружении//Прикл. механика. 1985. Т. 21. №9. С. 109-112.

19. Бондаренко А.А., Карась Н.И., Улитко А.Ф. Методы определения характеристик диссипации при колебаниях пьезокерамическнх элементов конструкций // Прикл. механика. 1982. Т. 18. №2. С. 104-108

20. Бондаренко А.А., Куценко Н.И., Улитко А.Ф. Амплитуды и фазы продольных колебаний пьезокерамическнх стержней с учетом переменной механической добротности // Прикл. механика. 1980. Т. 16. №11. С. 84-86.

21. Борисейко В. А. Исследование колебаний пьезокерамической цилиндрической оболочки, заполненной жидкостью // Тепловые напряжения в элементах конструкций. Киев: Наук. Думка, 1978. Вып. 18. С. 91-95.

22. Борисейко В.А., Мартыненко B.C. Прикладные теории колебаний пьезокерамическнх элементов различной геометрии и поляризации // Прочность поликристаллических сегнетоэлектриков. М.: Изд-е Ин-та физики твердого тела, 1981. С. 49-58.

23. Борисейко В.А., Мартыненко B.C., Улитко А.Ф. К теории колебаний пьезокерамическнх оболочек // Математическая физика. Киев: Наук. Думка, 1977. Вып. 21. С. 71-76.

24. Борисейко В.А., Мартыненко B.C. Прикладные теории колебаний пьезокерамическнх элементов различной геометрии и поляризации // Прочность поликристаллических сегнетоэлектриков. М.: Издание Ин-та физики твердого тела, 1981. С. 49-58.

25. Викторов И.А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. М.: Наука, 1981.287 с.

26. Викторов И.А. Физические основы применения ультразвуковых волн Рэлея и Лэмба в технике. М.: Наука, 1966. 168с.

27. Вул Б.М. Вещества с высокой и сверхвысокой диэлектрической проницаемостью. // Электричество. 1946. №3. С. 12.

28. Гетман И.П., Устинов Ю.А. К теории неоднородных электроупругих плит // ПММ. 1979. Т. 43. Вып. 5. С. 923-932.

29. Глозман И.А. Пьезокерамика. М.: Энергия, 1972. 288 с.

30. Гольденвейзер A.JI. Теория упругих тонких оболочек . М.: Наука, 1976. 512 с.

31. Дьелесан Э., Руайе Д. Упругие волны в твердых телах. Пер. с франц. М.: Наука, 1982.424 с.

32. Желудев И.С. Физика кристаллических диэлектриков. М.: Наука, 1968.463 с.

33. КоломиецГ.А., Улитко А.Ф. Связанные электроупругие колебания электроупругих тел// Тепловые наряжения в элементах конструкций. Киев: Наук. Думка, 1969. Вып. 8. С. 15-24

34. Кочетков И.Д., Ромашев M.IO. Напряженно-деформированное состояние биморфной упругой балки. XXII научно-техническая -методическая конференция МИКХиС. Материалы конференции 1998. Изд-во МИКХиС 1999. С. 77-86.

35. Кочетков И.Д. Динамическое поведение балочной электроупругой конструкции. XXII научно-техническая методическая конференция МИКХиС. Материалы конференции 1998. Изд-во МИКХиС 1999. С. 142-149.

36. Кочетков И.Д., Рогачева Н.Н. Контактное взаимодействие активного пьезоэлектрического элемента и упругого полупространства// ПММ. 2005.Т. 69. Вып. 5. С. 882-895.

37. Кудрявцев Б.А. Механика пьезоэлектрических материалов // Механика деформируемого твердого тела. М.: ВИНИТИ, 1978.T.II. С. 5-66.

38. Кэди У. Пьезоэлектричество и его практические применения. М.: ИЛ, 1949. 719 с.

39. Ляв А. Математическая теория упругости. М.-Л.: ОНТИ. 1935. 674 с.

40. Мэзон У. Пьезоэлектрические кристаллы и их применение в ультраакустике: Пер. с англ. М.: ИЛ, 1952. 448 с.

41. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. М.: Наука, 1988. 471 с.

42. Пьезоэлектрические преобразователи. Методы измерения и расчет параметров. Справочник/Под ред. С.И.Пугачева. Л.: Судостроение, 1984. 256 с.

43. Рогачева Н.Н. О применимости общих теорем электроупругости к теории пьезоэлектрических оболочек. Изв. АН СССР. МТТ. 1986. №5. С. 172-180.

44. Рогачева Н.Н. Об условиях типа Сен-Венана в теории пьезоэлектрических оболочек. ПММ. 1984. Т. 48. Вып. 2. С. 302-306.

45. Рогачева Н.Н. Классификация свободных колебаний пьезокерамическнх оболочек. ПММ. 1986. Т. 50. Вып. 1. С. 147-154.

46. Рогачева Н.Н. Зависимость коэффициента электромеханической связи пьезоэлектрических элементов от положения и размера электродов. ПММ. 2001. Т. 65. Вып. 2. С. 323-333.

47. Шендеров Е.Л. Волновые задачи гидроакустики Л.: Судостроение, 1972. 348с.

48. Яффе Б., Кук У., Яффе Г. Пьезоэлектрическая керамика. Пер. с англ. М.: Мир, 1974. 288 с.

49. Abramovich Н., Livshits A., Dynamic behavior of cross-ply laminated beams with piezoelectric layers, Composite structures, 25, 1993, p. 371-379.

50. Anderson, G.L., "Natural Frequencies of Two Cantilevers Joined by A Rigid Connector at Their Free Ends", Journal of Sound and Vibrations 57(3),1978, pp. 403-412.

51. Autar К. Kaw, Mechanics of Composite materials. Boca Raton: CRC Press, 2005.512 р.

52. Bailey Т., Hubbard J.E. Distributed piezoelectric-polymer active vibration control of a cantilever beam //J. Guidance, 1985. V. 8. № 5. P. 605-611.

53. Bath M. Mathematical Aspects of Seismology. Amsterdam: Elsevier, 1968. 415 p.

54. Baumann W.T., Saunders W.R., Robertshaw H.H. Active suppression of acoustic radiation from impulsively excited structures// J. Acoust. Soc. Am. 1991. V.88.P. 3202-3208.

55. Bianchi E., Gardonio P., Elliott S.J. Smart panel with decentralised units or the control of sound transmission. P. Ill Control system implementation, Proceedings of ACTIVE 2002, 2002. P. 499-510.

56. Challande P. Optimizing Ultrasonic Transducers based on Piezoelectric Composite using a Finite Element Method// IEEE Trans, of Ultr., Fer. and Freq. Control, 1990.V. 37. №2. P 135-140.

57. Chang S.h., Rogacheva N.N., Chou C.C. Analysis of methods for determiing electromechanical coupling coefficients of piezoelectric elements // IEEE Trans.Ultrason., Ferroelectr. And Freq. Contr. 1998. V. 45. №4. P. 630-640.

58. Clark R.L., Fuller C.R. Experiments on the active control of structurally radiated sound using multiple piezoceramic actuators// J. Acoust. Soc. Am. 1992. V.91. №6. P. 3313-3320.

59. Clark R.L., Fuller C.R. Modal sensing of efficient acoustic radiators with polyvinylidene floride distributed sensors in active structural acoustic control approaches//J. Acoust. Soc. Am. 1992. V.91. №6. P . 3321-3329.

60. Clark R.L., Burdisso R.A., Fuller C.R. Design approaches for shaping PVDF sensors in active structural acoustic control// J. Intelligent Materials

61. Systems and Structures, 1993. №4. P. 3541-365.

62. Clark R.L., Saunders W.R., Gibbs G.P. Adaptive Structures. New York: John Wiley & Sons. 1998. 324 p.

63. Crawley E.F., J. de Luis Use of piezoelectric actuators as elements of intelligent structures//J.AIAA. 1987. V.25.P. 1373-1385.

64. Cunefare K.A. The minimum multimodal radiation efficiency of baffled finite beams//J. Acoust. Soc. Am. 1991. V.90.P. 2521-2529.

65. Elliott S.J. Signal Processing for Active Control. Academic Press. 2001. 2951. P

66. Elliott S.J., Johnson M.E. Radiation modes and the active control of sound power//J. Acoust. Soc. Am. 1993. V.94. P. 2194-2204.

67. Elliott S.J., Gardonio P., Sors T.C., Brennan M.J. Active vibro-acoustic control with multiple feedback loops// J. Acoust. Soc. Am. 2001. V.l 1. №2. P. 908-915.

68. Francois A., De Man P., Preumont A. Piezoelectic array sensing of volume displacement: a hardware demonstration// J. of Sound and Vibration, 2001. V.244. №3. P. 95-405.

69. Gopinatham S.V., Varadan V.V.,Varadan V.K. A review and critique of theories for piezoelectric laminates // Smart Materials and Structures, 2000. № 6. P. 24-48.

70. GuY., Clark R.L., Fuller C.R. and Zander A.C. Experiments on active control of plate vibration using piezoelectric actuators and polyvinylidene floride (PVDF) modal sensors// ASME Journal of Vibration and Acoustics,,1994. №116. P. 303-308.

71. Hansen C.H., Snyder S.D. Active Control of Noise and Vibration, E & FN Spon. 1997. 376 p.

72. Holland R., Eer Nisse E. P. Design of Resonant Piezoelectric Devices. Cambridge: MIT Press, 1969. 235 p.

73. Holland R., Eer Nisse E. P. Variational evaluation of admittances of multielectroded three-dimensional piezoelectric structures// IEEE Trans. Sonics and Ultrasonics. 1968. V. 15. №2. P. 119-132.

74. IEEE Standart on Piezoelectricity, ANSI-IEEE Std. 176, 1987. IEEE: New York; 1987. 124 p.

75. Im S., Atluri S.N. Effects of a piezo-actuator on finitely deformed beam subjected to general loading// AIAA J. 1989. V. 27. №12. P. 1801-1807.

76. Jan Soderkvist. Dynamic behavior of a piezoelectric beam// J. Acoust. Soc. Am. 1991. Pt. 1. V.90. №2. P. 692-697.

77. Johnson M.E., Elliott S.J. Active control of sound radiation using volume velocity cancellation//J. Acoust. Soc. Am. 1998. V.98. P. 2174-2186.

78. Kagawa. V., Samabuch T. Finite element simulation of electromechanical problems with an application to energy trapped and surface-wave devices// IEEE Trans. Sonics and Ultrasonics, 1976. V.23. №6. P. 376-385.

79. Kagawa V. A new approach to analysis and design of electromechanical filters by finite-element technique// J. Acoust. Soc. Am. 1971. Pt 1. V 49. №5. P. 1348-1359.

80. Kochetkov I.D. Dinamic behavior of composite piezoelectric actuator. Int. conf. Days on Diffraction'2005. Universitas Petropolitana MDCCXXIV. P. 47.

81. Kochetkov I.D., Rogacheva N.N. Efficientcy of piezoelectric actuator excited of acoustic waves in semi-infinite elastic solid. Int. conf. Days on Diffraction'2004. Universitas Petropolitana MDCCXXIV. P. 44.

82. Lamb H., Dynamic Theory of Sound. L.E. Arnold, 1931. 307 p.

83. Lee C.K., Moon F.C. Modal sensors/actuators. American Society of Mechanical Engineers// J. of Applied Mechanics, 1990. P. 434-441.

84. Lee C.K. Theory of laminated piezoelectric plates for the design of distributed sensor/actuators. Part I: governing equations and reciprocal relationships//J. Acoust. Soc. Am. 1990. V. 87. № 3. P. 1144-1158.

85. Lewis M.F. On Rayleigh Waves and Related Propagating Acoustic Waves, in Rayleigh -Wave Theory and Application, Ash, E.A., and Paige, E.G.S., ed., Springer-Verlag, 1985. 323 p.

86. Lord Rayleigh. Collected Papers. Cambridge: Univ. Press, 1900. V. 1-6. P. 1899-1920.

87. Love A.E.H. Some Problems of Geodynamics. Cambridge: Univ. Press, 1911. 180 p.

88. Q. Wang, S.Y. Quek, V.K. Varadan. Love Waves in Piezoelectric Coupled Solid Media// Smart Mater. Struct. 2001. V. 10. P. 380-388.

89. Qingyan Meng, Mehram Mehregany, Keren Deng. Modeling of the electromechanical performance of piezoelectric laminated microactuators// J. Micromech., Microeng. 1993. №3. P. 18-23.

90. Rogacheva N.N. The Theory of Piezoelectric Shells and Plates. Boca Raton: CRC Press, 1994. 260 p.

91. Rogacheva N.N. Thin-walled smart laminated structures: theory and some applications. Proceeding of IUTAM Symposium "Smart -2000", Kluwer. 2001. P. 205-212.

92. Rogacheva N.N. Analysis and optimization of energy conversionefficiency for piezoelectric transducers // NATO ASI Series Vol. "Smart Structures-Requirements and Potential Applications in Mechanical and Civil Engineering", 1999. P. 236-244.

93. Smith W.A., Auld B.A. Modeling 1-3 Composite Piezoelectrics : Thickness-Mode Oscillations// IEEE Trans, on Ultr., Fer. and Freq. Control, 1991. V. 38. №1. P. 40-47.

94. Tiersten H. F., Mindlin R. D. Forced vibrations on piezoelectric crystal plates// Quart. Appl. Math. 1962. V. 20. №2. P. 107-116.

95. Tiersten H. F. Linear piezoelectric plate vibrations. New York: Plenum Press, 1969. 264 p.

96. Tiersten H. F. Wave propagation in an infinite piezoelectric plate// J. Acoust. Soc. Am. 1963. V. 35. №2. P. 234-245.

97. Toulis W. J. Electromechanical coupling and composite transducers// J. Acoust. Soc. Am. 1963. V. 35. №1. P. 74-82.

98. Tzou H.S. Piezoelectric Shells (Distributed Sensing and Control of Continua). Dordrecht: Kluwer, 1993. 480 p.

99. Wang Q., Quek S.T. Flexural analysis of piezoelectric coupled structures // Solid Mechanics and its Applications. Eds. U.Gabbert, H.S.Tzou, Kluwer, 2001. V. 89. P. 161-168.

100. Williams M.L. The Complex-Variable Approach to Stress Singularity// ASME J. Appl. Mech. 1956. V. 23. №3. P. 477-478.

101. Woollett R. S. Comments on "Electromechanical coupling and composite transducers"// J. Acoust. Soc. Am. 1963. V. 35. №12. P. 1837-1842.

102. Woollett R. S. Effective coupling factor of single-degree-of-freedom transducer//J. Acoust. Soc. Am. 1966. V. 40. №5. P. 1112-1123.