Нестационарная механика электроупругих полей в анизотропных пьезокерамических телах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Шляхин, Дмитрий Аверкиевич

• Шляхин, Дмитрий Аверкиевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Шляхин, Дмитрий Аверкиевич

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

Глава 2. СООТНОШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ

ЭЛЕКТРОУПРУГОСТИ

Глава 3. ДИНАМИЧЕСКИЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ ПРИ АКСИАЛЬНОЙ

ПОЛЯРИЗАЦИИ МАТЕРИАЛА

§3.1. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА ПРЯМОГО ПЬЕЗОЭФФЕКТА ДЛЯ ПОЛОГО ЦИЛИНДРА

3.1.1. Постановка задачи

3.1.2. Построение общего решения

3.1.3. Численный анализ результатов

§ 3.2. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА ОБРАТНОГО ПЬЕЗОЭФФЕКТА

ДЛЯ ПОЛОГО ЦИЛИНДРА

3.2.1. Постановка задачи

3.2.2. Построение общего решения

3.2.3. Численный анализ результатов

§ 3.3. УСТАНОВИВШИЕСЯ ВЫНУЖДЕННЫЕ ИЗГИБНЫЕ

КОЛЕБАНИЯ ТОЛСТОЙ КРУГЛОЙ ЖЕСТКО ЗАКРЕПЛЕННОЙ ПЛАСТИНЫ

3.3.1. Постановка задачи

3.3.2. Построение общего решения

3.3.3. Численный анализ результатов

§ 3.4. ВЛИЯНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ВНЕШНЕЙ ЦЕПИ НА ФОРМУ

ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ИМПУЛЬСА В ЗАДАЧАХ ПРЯМОГО

ПЬЕЗОЭФФЕКТА

3.4.1 .Постановка задачи

2.4.2. Построение общего решения

3.4.3. Определение разности потенциалов между электродированными поверхностями

3.4.4. Численный анализ результатов

Глава 4. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ЗАДАЧИ

ДЛЯ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА ПРИ

РАДИАЛЬНОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ МАТЕРИАЛА

§ 4.1. ДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ЭЛЕКТРОУПРУГОСТИ ДЛЯ ДЛИННОГО ЦИЛИНДРА

4.1.1. Постановка задачи

4.1.2. Построение общего решения

4.1.3. Численный анализ результатов

§ 4.2. НЕСВЯЗАННАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ПРЯМОГО

ПЬЕЗОЭФФЕКТА ДЛЯ ЦИЛИНДРА КОНЕЧНОГО РАЗМЕРА

4.2.1. Постановка задачи

4.2.2. Построение общего решения начально-краевой задачи теории упругости

4.2.3. Построение общего решения краевой задачи электростатики

4.2.4. Численный анализ результатов

§ 4.3. НЕСВЯЗАННАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ОБРАТНОГО

ПЬЕЗОЭФФЕКТА ДЛЯ ЦИЛИНДРА КОНЕЧНОГО РАЗМЕРА

4.3.1. Постановка задачи

4.3.2. Построение общего решения краевой задачи электростатики

4.3.3. Построение общего решения начально - краевой задачи теории упругости

4.3.4. Численный анализ результатов

Глава 5. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКОГО

ЦИЛИНДРА С ОКРУЖНОЙ ПОЛЯРИЗАЦИЕЙ МАТЕРИАЛА. 175 §5.1. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА ЭЛЕКТРОУПРУГОСТИ ДЛЯ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА С

НЕЗАКРЕПЛЕННЫМИ ТОРЦАМИ

5.1.1. Постановка задачи

5.1.2. Построение общего решения

5.1.3. Численный анализ результатов

§ 5.2 НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА ЭЛЕКТРОУПРУГОСТИ ДЛЯ

ЖЕСТКО ЗАКРЕПЛЕННОГО ПО ТОРЦАМ ЦИЛИНДРА

5.2.1. Постановка задачи

5.2.2. Построение общего решения

5.2.3. Численный анализ результатов

§ 5.3 УСТАНОВИВШИЕСЯ КОЛЕБАНИЯ ЦИЛИНДРА С ЖЕСТКО

ЗАКРЕПЛЕННЫМИ НЕЭЛЕКТРОДИРОВАННЫМИ ТОРЦАМИ

5.3.1. Постановка задачи

5.3.2. Построение общего решения

5.3.3. Численный анализ результатов

Глава 6. ВЫНУЖДЕННЫЕ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ

СОСТАВНЫХ БИМОРФНЫХ СИСТЕМ

§6.1. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА

ОБРАТНОГО ПЬЕЗОЭФФЕКТА ДЛЯ ТОНКОЙ БИМОРФНОЙ ПЛАСТИНЫ С РАЗРЕЗНЫМИ КРУГОВЫМИ ЭЛЕКТРОДАМИ

6.1.1. Постановка задачи

6.1.2. Построение общего решения

6.1.3. Численный анализ результатов

§ 6.2. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА ОБРАТНОГО ПЬЕЗОЭФФЕКТА ДЛЯ ТОНКОЙ КРУГЛОЙ ПЛАСТИНЫ СТУПЕНЧАТО ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ

И ЖЕСТКОСТИ

6.2.1. Постановка задачи

6.2.2. Построение общего решения

6.2.3. Численный анализ результатов

§ 6.3. НЕСТАЦИОНАРНАЯ ОСЕСИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА

ПРЯМОГО ПЬЕЗОЭФФЕКТА ДЛЯ ТОНКОЙ КРУГЛОЙ ПЛАСТИНЫ СТУПЕНЧАТО ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ

И ЖЕСТКОСТИ

6.3.1. Постановка задачи

6.3.2. Численный анализ результатов

§ 6.4. ДИНИМАЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ПЬЕЗОКЕРАМИЧЕСКОГО

УЛЬТРАЗВУКОВОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ ЗАКРЫТОГО ТИПА

6.4.1. Постановка задачи

6.4.2. Построение общего решения

6.4.3. Численный анализ результатов

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нестационарная механика электроупругих полей в анизотропных пьезокерамических телах»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. При создании современных приборов и конструкций наряду с традиционными материалами используются среды, в которых механические процессы тесно связаны с физическими явлениями другой природы. В настоящее время большое практическое применение получили пьезоэлектрические системы, работающие на эффекте связанности электроупругих полей напряжений. Возможность создания искусственных керамических материалов, обладающих данными свойствами и имеющих ряд преимуществ по сравнению с естественными кристаллами, привело к широкому использованию пьезокера-мики с наведенной поляризацией при конструировании преобразующих элементов различного назначения. В частности, такие тела находят свое применение в машиностроении, ультра- и гидроакустике, приборостроении, в авиации при гашении колебаний, в различных измерительных и управляющих устройствах.

Наиболее распространенными конструктивными элементами пьезокерами-ческих преобразователей являются тела канонической формы в виде толстостенных и сплошных цилиндров конечных размеров, а также круглых толстых и тонких пластин при различной поляризации материала. Для описания их работы в реальных условиях и расширения функциональных возможностей возникает необходимость углубленного анализа нестационарных процессов, без которого невозможно понять эффект взаимодействия механических и электрических полей напряжений.

Изучение напряженно-деформированного состояния пьезокерамических тел связано с построением математических моделей в трехмерной постановке, адекватно описывающих электромеханические процессы, а также с непосредственным исследованием динамических начально-краевых задач электроупругости. Вместе с тем, существующие методы расчета пьезоэлектрических элементов конструкций на нестационарные воздействия далеко не совершенны и большинство из них являются приближенными. При этом значительная часть

исследований связана с разработкой численных методов решения, а также с приведением этих задач к статическим или квазистатическим. С другой стороны проведение натурных экспериментов также представляет собой сложную и трудоемкую задачу, связанную с большими затратами времени и материальных ресурсов.

В связи с этим на первый план выходят методы, позволяющие получить замкнутые решения нестационарных начально - краевых задач теории электроупругости для тел конечных размеров в трехмерной постановке. С их помощью появляется возможность проведения качественной и количественной оценки связанности электромеханических полей напряжений в пьезокерамических элементах конструкций. Данный подход позволяет получить точные, в рамках используемых моделей, расчетные соотношения в наиболее общем виде, а также алгоритмизировать и автоматизировать проводимые исследования. Кроме того, аналитические методы расчета дают возможность нахождения новых закономерностей при анализе полученных результатов, что существенно повышает теоретический уровень инженерных расчетов.

Таким образом, разработка эффективных аналитических методов и алгоритмов расчета электроупругих систем, испытывающих произвольное нестационарное силовое и электрическое воздействие, выявление новых связей между характером внешнего воздействия и процессом деформирования пьезокерамических элементов конструкций, представляет в настоящее время одну из актуальных проблем современной науки в области механики деформируемого твердого тела.

Целью диссертационной работы является разработка нового теоретического подхода к решению проблемы динамического расчета анизотропных пьезокерамических тел конечных размеров при действии электромеханической нагрузки, а также проведение качественного и количественного анализа электроупругих процессов в исследуемых системах.

Для достижения поставленной цели были сформулированы и построены новые решения связанных начально-краевых задач теории электроупругости для

цилиндров и дисков при различной поляризации материала, а также исследовано напряженно-деформированное состояние биморфных элементов в рамках прикладной теории для тонких пластин.

Методы исследований. Для решения поставленных линейных динамических задач используется наиболее эффективный аппарат аналитического исследования в виде обобщенного метода конечных интегральных преобразований, позволяющий строить замкнутые решения при наиболее общих условиях загру-жения и закрепления пьезокерамических тел.

Научная новизна работы состоит в создании нового подхода, позволяющего с помощью базовых расчетных соотношений описать работу типовых элементов пьезокерамических преобразователей резонансного и нерезонансного классов. Данное направление, в отличие от существующих методик расчета, дает возможность получать точные решения связанных динамических задач теории электроупругости, позволяющие научно обосновать конструктивные решения проектируемых приборов.

В работе получены следующие новые научные результаты:

1. Разработан метод расчета и построены новые замкнутые решения связанных динамических осесимметричных задач прямого и обратного пьезоэффектов для пьезокерамических цилиндров конечных размеров при аксиальной и окружной поляризации материала;

2. Разработан и реализован новый алгоритм расчета вынужденных осесимметричных изгибных колебаний сплошной толстой круглой жестко закрепленной пьезокерамической пластины;

3. Построены новые замкнутые аналитические решения связанных нестационарных осесимметричных задач прямого и обратного пьезоэффекта для пьезо-керамического бесконечно длинного цилиндра при радиальной поляризации материала;

4. Разработана математическая модель расчета и на ее основе построены замкнутые решения несвязанных нестационарных осесимметричных задач пря-

мого и обратного пьезоэффектов для пьезокерамических цилиндров конечных размеров при радиальной поляризации материала;

5. Получены расчетные соотношения, позволяющие учесть влияние характеристик внешней цепи (измерительного прибора) на форму и величину индуцируемого электрического импульса в пьезокерамических системах прямого пье-зоэффекта;

6. Представлены новые решения динамических осесимметричных задач прямого и обратного пьезоэффектов для тонкой круглой биморфной пластины постоянной и ступенчато переменной толщины (теория Тимошенко), используемые в резонансных изгибных преобразователях;

7. Разработана математическая модель и построено замкнутое решение для расчетов электроакустических ультразвуковых преобразователей закрытого типа повышенной мощности;

8. На основании полученных расчетных соотношений в среде МаЛсасИЗ разработано программное обеспечение, позволяющее провести численный анализ электромеханических процессов в пьезокерамических телах.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью, в пределах сформулированных допущений, математической постановки, а также метода решения рассматриваемых начально-краевых задач электроупругости, совпадением численных результатов в частных случаях с известными решениями и экспериментальными данными, а также соответствием качественных результатов расчета физической картине исследуемых процессов.

Практическая ценность работы определяется возможностью использования полученных автором решений, разработанных алгоритмов и программных средств при проектировании новых, а также улучшения технических характеристик существующих, пьезокерамических динамических преобразователей. Полученные результаты позволяют значительно сократить объем дорогостоящих исследований на моделях, а также обосновать рациональную программу экспериментов.

Представленные методики и их программная реализация нашли применение при модернизации прибора ударного действия, предназначенного для определения марки материала непосредственно на строительной площадке «Устройство для определения прочности бетона» ( патент №1778675 от 11.06.1993), а также при проектировании ультразвуковых электроакустических преобразователей закрытого типа ( патент №71496 от 10.03.2008). Результаты внедрения прикладных исследований подтверждены соответствующими актами, приведенными в приложении 1 к диссертационной работе.

Полученные в работе результаты используются также в учебном процессе при подготовке аспирантов Самарского государственного архитектурно-строительного университета по специальности 05.23.17 - «Строительная механика» при изучении следующих учебных дисциплин: «О постановке и решении краевых задач динамики для упругих элементов конструкций, взаимодействующих с сопряженными полями гидроупругости, термоупругости, электроупругости», «Экспериментальные методы в строительной механике». Соответствующий акт приведен в приложении 1.

На основании проведенных исследований были получены два патента на полезные модели, связанные с преобразованием механической энергии в электрическую с помощью толстой кольцевой пьезокерамической пластины.

На защиту выносятся:

1. Новый теоретический подход динамического расчета анизотропных пьезо-керамических тел при действии силовой и электрической нагрузки;

2. Методы расчета и аналитические решения связанных динамических осе-симметричных задач для пьезокерамических цилиндров конечных размеров при аксиальной и окружной поляризации материала;

3. Алгоритм расчета вынужденных осесимметричных изгибных колебаний сплошной толстой круглой жестко закрепленной пьезокерамической пластины;

4. Решения связанных нестационарных осесимметричных задач прямого и обратного пьезоэффекта для пьезокерамического бесконечно длинного цилиндра при радиальной поляризации материала;

5. Математическая модель расчета и замкнутые решения несвязанных нестационарных осесимметричных задач прямого и обратного пьезоэффектов для пьезокерамических цилиндров конечных размеров при радиальной поляризации материала;

6. Замкнутые решения динамических осесимметричных задач прямого и обратного пьезоэффектов для тонкой круглой биморфной пластины постоянной и ступенчато переменной толщины в постановке теории Тимошенко;

7. Математическая модель и замкнутое решение для расчетов электроакустических ультразвуковых преобразователей закрытого типа повышенной мощности;

8. Численный анализ электромеханических процессов в пьезокерамических телах конечных размеров.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были представлены и обсуждены на Международной научной конференции «Современные проблемы строительного материаловедения» ( СамГАСУ, Самара, 1995 ); 50-53,57-69 Областных научно-технических конференциях СамГАСУ ( Самара, 1993- 1996, 2000-2013 ); 3,4 - ой научной межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». Инженерн. академ. России.(СамГТУ, 1993,1994 ); II- й Международном симпозиуме « Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Москва, 1996 ); Международной конференции «Численные и аналитические методы расчета конструкций (СамГАСУ, Самара, 1998 ); XXI Международной конференции по теории пластин и оболочек ( Саратовский гос. тех. ун-тет, Саратов, 2005 ); VI Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи».( Сам-ГТУ, 2009); V Международной научной конференции «Проблемы дифференциальных уравнений, анализа и алгебры» ( Казахстан, Актобе, Актюбинский гос. ун-тет им. К. Жубанова, 2009 ); IV Международной научно-технической конференции « Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» ( Пенза, 2009 ); Международной научно- прак-

тической конференции « Актуальные проблемы науки» (Тамбов, 2011); IX Всероссийской научно-практической и учебно-методической конференции «Фундаментальные науки в современном строительстве» (Москва, МГСУ, 2012); Третьей Международной конференция «Математическая физика и ее приложения» (СамГТУ, Самара, 2012).

Полностью диссертация была представлена: на семинаре кафедры «СМиСМ» СГАСУ ( зав.каф. Сеницкий Ю.Э., д.т.н., профессор), на семинаре кафедры «ТСТ» Саратов, гос. тех. ун - т» ( рук-тель Овчинников И.Г., д.т.н., профессор), на расширенном семинаре кафедры «ПМиИ» СамГТУ ( зав.каф. Радченко В.П., д.ф. - м.н., профессор).

Структура, объем и содержание работы. Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, заключения, списка используемой литературы и приложения, общим объемом 314 страниц машинописи, 130 рисунков, 8 таблиц. Список литературы содержит 243 наименований.

В первой главе проведен обзор литературы по рассматриваемой проблеме.

Во второй главе работы приведены соотношения линейной осесимметричной теории электроупругости, позволяющие описать работу типовых элементов пьезокерамических преобразователей цилиндрической формы с различной однородной поляризацией материала. Полная система расчетных соотношений представлена уравнениями движения, вынужденной электростатики и состояния пьезоэлектрического тела, а также начально-краевыми механическими и электрическими условиями.

В третьей главе рассматриваются связанные задачи динамики для пьезокерамических элементов в случае аксиальной поляризации материала. Исследуется толстостенный цилиндр конечных размеров и жестко закрепленная толстая пластины, совершающие продольно-поперечные, а также изгибные колебания. Кроме того, получены расчетные соотношения, устанавливающие зависимость между индуцируемым электрическим импульсом в пьезокерамических преобразователях прямого пьезоэффекта и характеристиками измерительного прибора ( вольтметра ).

На основании проведенных исследований была научно обоснованно проведена модернизация измерительного прибора ударного действия по определению упругих характеристик строительных конструкций.

В четвертой главе исследуются нестационарные задачи для пьезокерамиче-ского толстостенного цилиндра при радиальной поляризации материала. Построены замкнутые решения для длинного цилиндра с учетом связанности электроупругих полей, а также для цилиндра конечных размеров в несвязанной постановке.

Полученные результаты находят свое применение при проектировании преобразователей трансформирующих высокочастотные электромеханические радиальные колебания в электрический сигнал (пьезотрансформаторы) или поступательное ( вращательное ) движение (пьезодвигатели ).

Пятая глава посвящена анализу нестационарных крутильных колебаний пье-зокерамического цилиндра со свободными от механических напряжений, а также жестко закрепленными торцами. Рассматривается случай окружной поляризации материала. Результаты расчета находят свое применение в разнообразных пьезоустройствах, обеспечивающих точные угловые перемещения.

В шестой главе исследуются биморфные тонкие пластины постоянной, а также ступенчато переменной толщины и жесткости. Кроме того, здесь же приводится разработанная автором математическая модель акустического ультразвукового преобразователя закрытого типа повышенной мощности и на ее основе построенное замкнутое решение.

В заключении диссертации сформулированы окончательные выводы.

Приложения 1,2 содержат соответственно исходные данные для проведения прикладных исследований, акты внедрения результатов, патенты на полезные модели разработанные автором, а также распечатку типовой программы в системе МаШсаё-13, полученной на основании построенных алгоритмов.

На различных этапах данная работа поддерживалась грантами в рамках аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» по Мероприятию 1 «Проведение фундаментальных иссле-

дований в рамках тематических планов» с номерами государственной регистрации 01200850035, 01201052567, 01201255597.

Автор выражает глубокую признательность и благодарность научному консультанту, заслуженному деятелю науки РФ, д.т.н., профессору Ю.Э. Сениц-кому за постоянную поддержку работы и полезные обсуждения.

Глава 1 ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

В настоящее время область практического применения приборов и устройств, использующих явление пьезоэффекта, постоянно расширяется. При этом функциональное назначение пьезоэлементов различное, но в основе используется одно и тоже физическое явление - преобразование электрической энергии в механическую и наоборот.

Традиционными сферами приложения пьезокерамических конструкций являются излучатели и приемники звука в гидроакустике [3, 14, 124, 130, 135], элементы зажигания [ 209 ], пьезо- трансформаторы, двигатели, генераторы [15, 54, 81, 84 ], линии задержки и матрицы для запоминающих устройств [ 45, 83, 105, 106, 162 ], различные измерительные устройства [11, 35, 49, 61, 62, 93, 98, 135, 158, 166, 167].

В качестве новых направлений можно отметить использование пьезоприво-дов в конструкциях микроволновых двигателей и волновых гироскопов [ 7, 216], в устройствах ультраакустической электроники [ 26 ] и микроэлектронике [4, 15] для биомедицинского применения (медицинские системы визуального осмотра, устройства "доставки" лекарств и хирургических инструментов ).

Активно внедряются пьезокерамические датчики в компьютерную технику. Они являются незаменимыми устройствами, позволяющими согласовывать механические системы с электронными элементами контроля и управления. Применение пьезотрансформаторов дает возможность минимизировать дисплеи с плоским экраном. Широко используются пьезокерамические системы в картриджах струйных принтеров, ультразвуковых моторах для фотокамер и других специализированных оптических систем.

В автомобильной индустрии пьезокерамика используется в качестве сенсоров различного назначения, например, в антиблокировочных системах тормо-

жения. Также активно разрабатываются многослойные пьезоэлектрические ак-тюаторы для систем инжекции топлива.

Постоянно расширяющая область применения пьезокерамических материалов [ 18, 73, 95, 158 ] ставить перед исследователями необходимость углубленного анализа законов деформирования пьезокерамических тел. В связи с этим на стыке таких специальностей, как механика деформируемого твердого тела и электродинамика (электростатика) сформировалось новое научное направление - электроупругость.

Основы линейной теории пьезоэлектричества были представлены В. Фойг-том в 1910 г. [ 242 ], а в современном изложении механика связанных электроупругих полей представлена в работах У. Мэзона [ 105 ], Д. Берлинкура [ 14 ], Л.Д. Ландау [ 87 ], Ю.В. Новожилова [ 108 ], Ж. Можена [ 102 ], В.З. Партона, Б.А. Кудрявцева [ 118 ], В.Т. Гринченко, А.Ф. Улитко, H.A. Шульги [ 43 ], В. Новацкого [ 109 ], Ю.А. Устинова [ 157 ], Дж. Барроута [ 10 ], Ю.В. Соколкина [150], A.A. Панькова [113] и других.

Существенным представляется то, что математическая формулировка задач электроупругости состоит из уравнений движения, аналогичных классической постановке соответствующих задач теории упругости, и уравнения Максвелла. При этом в уравнения движения необходимо лишь ввести новые переменные, характеризующие электрическое состояние среды. Кроме того, принимая во внимание значительное различие в скоростях распространения электромагнитных и упругих волн в материалах с наведенной поляризацией, используется гипотеза о мгновенном изменении электрического поля по всему объему тела. Это позволяет, в рамках данного приближения, пренебречь магнитным полем, которое создается движущимся электрическим полем, и вместо системы векторных дифференциальных уравнений электродинамики воспользоваться более простыми соотношениями статики, т.е. использовать уравнение Максвелла в квазистатическом приближении.

Анализ уравнений электроупругости дает возможность сделать вывод, что механические и электрические переменные, входящие в расчетные соотноше-

ния с учетом соответствующих коэффициентов, являются величинами одного порядка. Это приводит к тому, что при их исследовании необходимо учитывать связанность полей напряжений различной физической природы, т.е. совместно решать уравнения движения и электростатики. В случае описания динамических процессов в телах конечных размеров формируется сложная система дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, дополненная начальными и краевыми условиями. Проблема ее интегрирования послужила причиной того, что большинство работ в этой области посвящено более простым исследованиям. Одно из таких упрощений связано с изучением распространение поверхностных электроупругих волн различного типа в неограниченных средах [ 1, 8, 9, 51, 66, 123 ].

Другой класс задач основан на использовании гипотез относительно характера распределения перемещений и напряжений, позволяющих построить прикладные теории для тел с вырожденной геометрией и одномерным распределением электроупругого поля. Исследования, связанные с деформированием тонкостенных пьезоэлектрических пластин и оболочек, в основном сводятся к интегрированию систем уравнений аналогичных обычной технической теории соответствующих упругих элементов, полученных, как правило, на основании гипотез Кирхгоффа-Лява. При этом закономерности распределения электрического поля по толщине элементов, аналогичны классическим допущениям и зависят от типа поляризации, а также наличия электродных покрытий на лицевых поверхностях.

Исследование осесимметричных задач в трехмерной постановке также позволяет существенно упростить ( снизить размерность ) исходные расчетные соотношения и описать пространственный процесс с помощью функций зависящих от двух координат.

Характер изменения во времени приложенной нагрузки позволяет выделить следующие общие разделы механики сплошной электроупругой среды: статика, установившийся режим вынужденных колебаний, динамика.

Применение статических задач электроупругости в практических целях ограничено. Поэтому в этом разделе можно отметить достаточно небольшой круг работ. Так, анализу напряженно-деформированного состояния пьезоэлектрической консольной пластины в случае приложения к свободному краю касательных напряжений, посвящена работа Вековищевой И.А. [ 25 ]. Задачи электроупругости для полосы с различной поляризацией при использовании сплошных [ 151 ] и периодической системы [ 116 ] электродов исследовались с помощью интегрального преобразования Фурье. Слоистые пьезоэлектрические балки, пластины и оболочки рассматривались в [216, 235, 236].

Кирилюк B.C. [ 74 ] построил решение для жесткого тонкого электрупругого трансверсально-изотропного эллиптического диска при действии на него сосредоточенной силы. Получена количественная оценка влияния связанности силового и электрического полей на величину вертикальных перемещений. Аналогичная задача была рассмотрена в [ 217 ].

Гапчян В.П. [ 32 ] установил характер изменения электростатического поля, возникающего в составном бесконечно длинном цилиндре при продольном сдвиге по его образующей.

В [ 238 ] рассматривается осесимметричная задача прямого пьезоэффекта для толстостенной цилиндрической оболочки конечных размеров. На первом этапе решения использовался метод разложения по базисным функциям. В результате была получена система дифференциальных уравнений, которая исследовалась методом конечного элемента.

В [ 222 ] проанализировано влияние электрического поля на глубину проникновения тел различной формы в пьезокерамическое полупространство.

Существенно большее количество работ посвящено исследованию установившегося режима вынужденных колебаний. Данное предположение позволяет рассмотреть гармонический процесс волнового движения в электроупругих телах на основе анализа соответствующих квазистатических граничных задач относительно амплитудных значений компонент вектора перемещения и по-

тенциала электрического поля, а также получить такие характеристики колебательных систем как собственные формы и спектр частот.

В случае радиальной поляризации материала необходимо отметить работы [6, 28, 36, 40, 42, 46-48, 68-71, 78, 85, 100, 101, 118, 131, 134. 199, 203, 209, 217, 229].

Гринченко В.Т. [ 42 ] определил напряженно-деформированное состояние и напряженность электрического поля тонкой прямоугольной пластины при различных идеализированных условиях закрепления по контуру, совершающей планарные колебания в результате действия на поверхностях равномерно-распределенной гармонической нагрузки. Аналогичные осесимметричные исследования провели Вовкодав Т.Н., Улитко А.Ф. [ 28 ] для тонкого пластины, а Лазуткин В.Н. [ 85 ], Коломиец Г.А. [ 78 ] для кольца.

Карлаш В.Л. [ 68, 69 ] построил общее решение задачи о несимметричных радиальных колебаниях тонкого пьезокерамического кругового кольца с разделенными электродами на основании решения Лява для упругих элементов. Он же [ 70, 71, 229 ] получил расчетные соотношения, описывающие планарные колебания прямоугольных неоднородных пластин с поперечно-продольной поляризацией и сплошным электродным покрытием на основных поверхностях.

Радиальные колебания не закрепленной тонкостенной цилиндрической оболочки конечной высоты, без учета электрической индукции в аксиальной и окружной плоскостях, исследовались Дидковским B.C. и др. [ 48 ]. Симметричные моды бесконечного цилиндра при различных краевых условиях на криволинейной поверхности изучались в [ 46, 47 ].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Шляхин, Дмитрий Аверкиевич, 2013 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Аветисян A.C. Электроупругие поверхностные волны сдвига на границе раздела двух пьезоэлектрических полупространств/ A.C. Аветисян, Дж.М. Маргарян //Mechanics. Proceedings of National Academy of Sciences of Armenia. -1994. -47 (3-4). -P. 31-36.

2. Аксетян O.K. Определение частот собственных колебаний круглых плит/ O.K. Аксетян, Т.Н. Селезнева // Прикл. математика и механика. -1976. -Т.40. -С. 113-119.

3. Аронов Б.С. Электромеханические преобразователи из пьезоэлектрической керамики/ Б.С. Аронов. - Л.: Энергоатомиздат, 1990. -270 с.

4. Афонин С.М. Пьезопреобразователи для приводов микроперемещений/ С. М. Афонин// Приборы и системы управления. -1998. - №2. -С. 41-42.

5. Бабаев А.Э. Взаимодействие нестационарной акустической волны с системой коаксиальных электроупругих цилиндрических оболочек/ А.Э. Бабаев, Ю.Н. Рябуха, В.Г. Савин // Прикл. механика. -1993. -Т.29. -№2. -С.32-38.

6. Бабаев А.Э. Излучение нестационарных акустических волн электроупругим цилиндром с приводной сетью/ А.Э. Бабаев, И.В. Янчевский // Теорет. и прикл. механика. -2010. - Вып 1 (47).-С. 114-125.

7. Бараускас P.A. Расчет и проектирование вибродвигателей/ P.A. Бараускас, Г.П. Кульве-тис, K.M. Рагульскис. -М.: Машиностроение, 1984. -101 с.

8. Бардзокас Д.И. Распространение волн в электроупругих средах/ Д.И. Бардзокас, Б.А. Кудрявцев, H.A. Сеник. - М.: Комкнига, 2003. -336 с.

9. Бардзокас, Д.И. Математическое моделирование в задачах механики связанных полей. T.II: Статические и динамические задачи электроупругости для составных многосвязных тел/ Д.И. Бардзокас, А.И. Зобнин, H.A. Сеник, М.Л. Филынтинский. -М.: Комкнига, 2005. -376 с.

10. Барроут Дж. Введение в физику сегнетоэлектрических явлений/ Дж. Барроут. -М.: Мир, 1970. - 343 с.

11. Барфут Дж. Полярные диэлектрики и их применение/ Дж. Барфут, Дж. Тейлор . -М.: Мир, 1981.-С. 526.

12. Белоконь A.B. Об установившихся колебаниях электроупругой пластины переменной толщины/ А. В. Белоконь, Л.П. Вовк//-Прикл. механика. -1982.-18. -№5.-С. 93-97.

13. Бергман Л. Ультразвук и его применение в науке и технике/ Л. Бергман. -М.: Изд-во иностр. лит., 1957. -726 с.

14. Берлинкур Д. Пьезоэлектрические и пьезомагнитные материалы и их применение в преобразователях. Физическая акустика./Д. Берлинкур, Д. Керран, Г. Жаффе // под ред. У. Мэзона. -М.: Мир, 1966. -Т.1. -Ч.А. -С.204-326.

15. Бобцов A.A. Исполнительные устройства и системы для микроперемещений/ A.A. Бобцов, В.И. Бойков, C.B. Быстрое, В.В. Григорьев - СПб ГУ ИТМО, 2011.- -131 с.

16. Богдан A.B. Математическое моделирование колебаний тонких пьезокерамических дисков для создания функциональных элементов пьезоэлектроники / A.B. Богдан, О.Н. Петрищев, Ю.И. Якименко, Ю.Ю. Яновская // Электроника и связь. Темат. вып. «Электроника и нанотехнологии». -2009. -4.2. -С.35-42.

17. Борисейко P.A. К теории колебаний пьезокерамических оболочек / P.A. Борисейко,

B.C. Мартыненко, А.Ф. Улитко // -Киев : Матем. физика. -1977, -№21. -С.71-76.

18. Бугуславская С.Н. Использование пьезоэлектрического эффекта в акустических измерениях/ С.Н. Бугуславская, Е.В. Романенко, Л.И. Холод // Акуст.ж. -1971. - Т. 17. - № 2. -

C.210-216.

19. Вавер В.Р. Теоретическое исследование составных стержневых пьезокерамических преобразователей/ В.Р. Вавер // Вопр. судостроения. Сер. Акустика. -1976. -Вып. 17. -С.52-61.

20. Ватульян А.О. К вопросу о расчете изгибных колебаний пьезоэлектрической биморф-ной пластины с разрезным электродом/А.О. Ватульян, A.A. Рынкова // Дефектоскопия. -1998. -№3. -С.61-66.

21. Ватульян А.О. Об оптимальном выборе электродного покрытия в биморфных элемен-тах/А.О. Ватульян, A.A. Рынкова // Изв. вузов Северо-Кавказ. региона. Естеств. науки. Ма-тематич. моделирование. -2001. -Спецвыпуск. -С. 41-43.

22. Ватульян А.О. Изгибные колебания пьезоэлектрического биморфа с внутренним разрезным электродом/ А.О. Ватульян, A.A. Рынкова // ПМиТФ. -2001. -Т.42. -№1. -С. 184-189.

23. Ватульян А.О. Об одной модели изгибных колебаний пьезоэлектрических биморфов с разрезными электродами и ее приложение/ А.О. Ватульян, A.A. Рынкова // Изв. РАН. МТТ. — 2007.-№4.-С. 114-122.

24. Ватульян А.О. Обратные задачи для неоднородно поляризованных пьезоэлектрических стержней/ А.О.Ватульян, О.Б.Домброва, В.Е. Жиров// ПММ. -2007. -Т.71. -Вып.1. -С.93-101.

25. Вековищева И.А. Плоская задача теории электроупругости для пьезоэлектрической пластины/ И.А. Вековищева // Прикл. механика. -1975. -11. -№2. -С. 85-89.

26. Викторов И.А. Физические основы применения ультразвуковых волн Рэлея и Лэмба в технике/ И.А. Викторов . -М.: Наука, 1966. — 168 с.

27. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике/ B.C. Владимиров. — М.: Наука, 1978. -318 с.

28. Вовкодав И.Ф. Радиальные колебания тонкой пьезокерамической пластины/ И.Ф. Вов-кодав, А.Ф. Улитко// Докл. АН УССР. -1973. -№9. -С.830-834.

29. Вовкодав И.Ф. Анализ несимметричных колебаний тонких пьезокерамических дисков с разрезными электродами/ И.Ф. Вовкодав., B.JL Карлаш, А.Ф. Улитко// Прикл. механика. -1979. -12, -№ 2. -С. 77-82.

30. Вул Б.М. Зависимость диэлектрической проницаемостьи титаната бария от давления / Б.М. Вул, Д.Ф. Верещагин // Докл. АН СССР. - 1945. -48. -№3. - С.662.

31. Вул Б.М. Вещества с высокой и сверхвысокой диэлектрической проницаемостью/ Б.М. Вул// Электричество. - 1946. -№3. - С. 12.

32. Галпчан П.В. Антиплоская задача электроупругости для составного пьезокерамиче-ского цилиндра с поперечным сечением в виде кругового сектора/ П.В. Галпчан // Известия РАН. МТТ. -2004. -№2. -С. 47-54.

33. Гельфанд И.М. Обобщенные функции и действия над ними/ И.М. Гельфанд, Г.Е. Шилов. -М.: Физматгиз, 1959. -470 с.

34. Гейер А.Ф. Новый пьезокерамический ультразвуковой преобразователь [ Электронный ресурс ] / А.Ф. Гейер// www.avrora-binib.ru.

35. Глозман И.А. Пьезокерамика/ И. А. Глозман. -М.: Энергия, 1972. -288 с.

36. Гололобов В.И. Осесимметричные гармонические колебания пьезокерамических оболочек вращения/ В.И. Гололобов// Прикл. механика. -1982. -18. -№12. -С. 115-118.

37. Головнин В.А., Ривкин В.И. Пьезоэлектрическая керамика (применение и производство) / В.А. Головнин, В.И. Ривкин // Зарубеж. радиоэлектроника. - 1985. - № 3. - С. 47-59.

38. Гольденвейзер, А.Л. Теория упругих тонких оболочек/ А.Л. Гольденвейзер -М.: Нау-ка,1976. -512 с.

39. Григоренко А.Я. Об одном подходе к исследованию колебаний полых пьезокерамических цилиндров конечной длины/ А.Я. Григоренко, Т.Л. Ефимова, И.А. Лоза // Доклады Нац. Академии наук Украины. -2009. -№6. -С.61-66.

40. Григоренко А.Я. Осесимметричные колебания полого неоднородного шара с пьезоке-рамическими слоями/ А.Я. Григоренко, И.А. Лоза // Проблемы вычислительной механики и прочности конструкций. - 2011.- Вып.5. -С. 70-80.

41. Гриднев С.А. Диэлектрики с метастабильной электрической поляризацией/ С.А. Грид-нев // Соровский образ, журнал. -1997. -№5. -С. 195 - 111.

42. Гринченко В.Т. Исследование планарных колебаний прямоугольных пьезокерамических пластин/ В.Т. Гринченко, В.Л. Карлаш, В.В. Мелешко, А.Ф. Улитко// Прикл. механика. -1976. -12. -№5. -С. 71-78.

43. Гринченко В.Т. Механика связанных полей в элементах конструкций/ В.Т. Гринченко, А.Ф. Улитко, H.A. Шульга. - Киев: Наук, думка,1989. -279 с.

44. Демочкин Н.И. Область достоверности модели Тимошенко в динамике стержней и пластин / Н.И. Демочкин, К.С. Моргачев, Л.И. Фридман // Изв. РАН. МТТ. -2008. -№ 6. -С. 137145.

45. Джагуров Р.Г. Пьезоэлектронные устройства вычислительной техники, систем контроля и управления/ Р.Г. Джагуров, A.A. Ерофеев. Справочник. -СПб.: Политехника, 1994. -608 с.

46. Дианов Д.Б. Расчет цилиндрического пьезокерамического преобразователя, совершающего радиально-симметричные колебания/ Д.Б. Дианов, А.Г. Кузьменко // Акуст.журн. -1970. -16, вып.1.-С.42-48.

47. Дианов Д.Б. Исследование возможностей расширения полосы пропускания цилиндрических пьезокерамических преобразователей/ Д.Б. Дианов, А.Г. Кузьменко // Акуст.журн. -1970. -16, вып.2. -С.236-240.

48. Дидковский B.C. Радиальные колебания цилиндрической пьезокерамической оболочки/ B.C. Дидковский, А.Е. Климов, А.Г. Лейко, О.Н. Петрищев// Акустич. приборы и системы. -2009. -№6. -С.31-40.

49. Домаркас В.И. Контрольно-измерительные пьезоэлектрические преобразователи/ В.И. Домаркас, Р-И.Ю. Кажис. -Вильнюс: Минтис, 1975. - 255 с.

50. Дубинкин М.В. Колебания плит с учетом инерции вращения и сдвига/ М.В. Дубин-кин// Изв. АН СССР, ОТН. -1958. -№12. -С. 131-135.

51. Дьелесан Э. Упругие волны в твердых телах: Применение для обработки сигналов/ Э. Дьелесан, Д. Руайе. - М.: Наука, 1982. - 424 с.

52. Евсейчик Ю.Б. Чувствительность биморфного преобразователя типа металл-пьезокерамика/ Ю.Б. Евсейчик, С.И. Рудницкий, В.М. Шарапов, H.A. Шульга // Прикл. механика. -1990. -26. -№12. -С. 67-75.

53. Евсейчик Ю.Б. Чувствительность гидроакустического датчика давления/ Ю.Б. Евсейчик, К.В. Медведев// Гидравлика и гидротехника. Науч.- техн. сб. -Киев: НТУ. -2008. -Вып.62.-С.10-16.

54. Ерофеев A.A. Пьезоэлектронные устройства автоматики/ A.A. Ерофеев. -Л.: Машиностроение, 1982. -210 с.

55. Жарий О.Ю. Введение в механику нестационарных колебаний и волн/ О.Ю. Жарий, А.Ф. Улитко. - Киев: Виша. шк., 1989, - 184 с.

56. Жарий О.Ю. Метод разложения по собственным функциям в задачах динамической электроупругости / О.Ю. Жарий // ПММ. -1990. -Т.54. -Вып.1. -С. 109-115.

57. Желудев И.С. Физика кристаллических диэлектриков/ И.С. Желудев. -М.: Наука, 1968. -463 с.

58. Жиров В.Е. Электроупругое равновесие пьезокерамической плиты/ В.Е. Жиров // Прикл. математика и механика. -1977. -41. -№6. -С. 1114-1121.

59. Жук А.Я. Влияние геометрической и физической нелинейности на вынужденные колебания шарнирно опертой балки, содержащей пьезоактивные слои/ А.Я. Жук, И.А. Гузь// Теорет. и прикл. механика. -2008. -Вып.44. - С. 114-119.

60. Жук А.Я. Решение задачи о колебаниях балки с пьезоактивными слоями при механическом и электрическом загружении/ А.Я. Жук // Теорет. и прикл. механика. -2009. -Вып.45. - С.131-138.

61. Зубков В.А. Новый метод определения прочности бетона/ В.А. Зубков, И.В. Семерков, Е.В. Зубков // Бетон и железобетон.-1993.-№7.-С.9-11.

62. Зубков В.А. Ударно-акустический метод определения прочности бетона/ В.А. Зубков, Д.А. Шляхин // Современ. пробл. строит, материаловедения. Академ, чтения РААСН : Мат-лы к Международн. конференции. Част 1. -СамГАСА. Самара. -1995. -С. 125-129.

63. Ивина Н.Ф. Анализ собственных колебаний круглых биморфных пьезокерамических пластин произвольных размеров. I. Свободно опертая пьезопластина/ Н.Ф. Ивина// Дефектоскопия, 2002. -Вып.8. -С.37-44.

64. Ивина Н.Ф. Анализ собственных колебаний круглых биморфных пьезокерамических пластин произвольных размеров. II. Жестко закрепленная пьезопластина/ Н.Ф. Ивина// Дефектоскопия, 2002. -Вып.8. -С.45-49.

65. Ивина Н.Ф. Анализ собственных колебаний дисковых изгибных пьезопреобразовате-лей с произвольным соотношением размеров/ Н.Ф. Ивина, А.А.Тагильцев// Электронный журнал «Техническая акустика», http:// webcenter.ru/ eeaa/ejta/ 2005. -№2. -С. 1(9) -9(9).

66. Кайно Г. Акустические поверхностные волны/ Г. Кайно, Дж. Шоу// Успехи физ. наук. -1974. -113. -Вып. 1.-С. 151-179. •

67. Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям/ Э. Камке. -М.: Наука,1965. -703 с.

68. Карлаш B.JI. Несимметричные колебания пьезокерамических круговых колец с дву-сторонне - диаметральными разрезами электродного покрытия/ B.JI. Карлаш // Прикл. механика, -1988. -24. -№8. -С. 79-85.

69. Карлаш B.JI. Несимметричные колебания многоэлектродных пьезокерамических круговых колец с поляризацией по толщине/ B.JI. Карлаш // Прикл. механика, -1990. -26. -№4. -С. 67-74.

70. Карлаш B.JI. Напряженное состояние прямоугольной пьезокерамической пластины с поперечно-продольной поляризацией/ B.JI. Карлаш // Прикл. механика, -2001. —37. -№3. -С. 105-111.

71. Карлаш B.J1. Продольные колебания и входная проводимость составной пьезокерамической пластины с поперечно-продольной поляризацией/ B.JI. Карлаш // Прикл. механика, -2002. -38. -№5. -С. 117-123.

72. Кильчевский H.A. Основы аналитической механики оболочек/ H.A. Кильчевский // Киев:. - АН УССР, 1963. -Т.1. - 356 с.

73. Кикучи Е. Ультразвуковые преобразователи/ Е. Кикучи. -М.: Мир, 1972. - 424 с.

74. Кирилюк B.C. О перемещениях жесткого эллиптического диска в трансверсально-изотропном пьезоэлектрическом пространстве/ B.C. Кирилюк// Теоретич. и прикл. механика. -2007. -Вып.43. -С. 16-21.

75. Клигман Е.П. Динамические характеристики тонкостенных электроупругих систем/ Е.П. Клигман, В.П. Матвеенко, H.A. Юрлова // Изв. РАН. МТТ. -№2. -2005. -С. 179-187.

76. Ковалев Ю.Д. Смешанная кососимметричная задача электроупругости для неоднородного цилиндра/ Ю.Д. Ковалев, Е.И. Стативка// Теорет. и прикл. механика. -2005. -Вып.41. -С.83-90.

77. Ковалев Ю.Д. Электроупругое состояние неоднородного цилиндра в условиях симметричного загружения/ Ю.Д. Ковалев, Е.И. Стативка// Теорет. и прикл. механика. -2010. -Вып. 1(47). -С. 142-149.

78. Коломиец Г.А. Связанные электроупругие колебания пьезокерамических тел/ Г.А. Коломиец, А.Ф. Улитко // В сб. Тепловые напряж. в элементах конструкций. -Вып.8. -Киев: Наук, думка, 1969. -С.91-93.

79. Коломиец Г.А. Связанные электроупругие колебания толстостенных пьезокерамических цилиндров/ Г.А. Коломиец, А.Ф. Улитко // В сб. Тепловые напряж. в элементах конструкций. -Вып.9. -Киев: Наук, думка, 1970. -С.5-12.

80. Комиссарова Г.Л. Анализ колебаний круглой жестко защемленной плиты/ Г.Л. Комиссаров// Прикл. механика. - 1978.-Том. XIV. -№7. -С.62-67.

81. Кудрявцев Б.А. Механические модели пьезоэлектриков для электронного машиностроения / Б.А. Кудрявцев, В.З. Партон, H.A. Сеник // Итоги науки и техники, Сер. Мех. де-формир. тверд, тела. -М.: ВИНИТИ. -1984. - Т. 17. -С.3-62.

82. Кулиев Ю.Н. Продольный удар по пьезоэлектрическому стержню / Ю.Н. Кулиев, Х.А. Рахматуллин // Изв. АН СССР. МТТ. -1972. -№5. -С. 117-122.

83. Кэди У. Пьезоэлектричество и его практические применения/ У. Кэди. -М.: Изд-во иностр. лит., 1949.-718 с.

84. Лавриненко B.B. Пьезоэлектрические трансформаторы/ B.B. Лавриненко. -М.: Энергия, 1975.-111 с.

85. Лазуткин В.Н. Аксиально симметричные колебания и электрический импеданс пьезокерамических колец с радиальной поляризацией/ В.Н. Лазуткин, Ю.В. Цыганов // Акуст. ж. -1971. -17. -Вып.З. -С. 394-399.

86. Лазуткин В.Н. Колебания пьезокерамических цилиндров конечных размеров с поляризацией по высоте/ В.Н. Лазуткин, А.И. Михайлов // Акуст. ж. -1976. -22. — Вып. 3. -С. 393-399.

87. Ландау Л.Д. Электродинамика сплошных сред/ Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. -М.: Гос-техтеоретиздат, 1959. -532 с.

88. Ленюк В.П. Интегральное преобразование Фурье на кусочно-однородной полупоско-сти/ В.П.Ленюк // Изв. Вузов. Сер. Математика. -1989. - Т.4. -С. 14-18.

89. Лоза И.А. Распространение неосесимметричных акустоэлектрических волн в полом цилиндрическом волноводе, поляризованном в окружном направлении / И.А. Лоза// Прикл. механика. -1984. -20. -№12. - С.19-23.

90. Лоза И. А. Осесимметричные колебания пьезокерамического полого шара при радиальной поляризации / И. А. Лоза, Н. А. Шульга // Тепловые напряжения в элементах конструкций. - 1984. - Т. 20. -№ 2. - С. 3 - 8.

91. Лоза И.А. Влияние электрических граничных условий на спектр собственных частот крутильных колебаний полых пьезокерамических цилиндров с окружной поляризацией / И.А. Лоза // Теорет. и прикл. механика. -2009. -Вып. 46. -С.169-175.

92. Ляв А. Математическая теория упругости/ А. Ляв.- М.: ОНТИ. -1935. -674 с.

93. Мак-Скимин Г. Ультразвуковые методы измерения механических характеристик жидкостей и твердых тел/ Г. Мак-Скимин // под ред. У. Мэзона. -М.: Физич. акустика. -1966. -Т.1. -Ч.А. -С. 327-397.

94. Малышев A.A. Векторное преобразование Фурье с разрывными коэффициентами и его применение в теории упругости/ A.A. Малышев, О.Э. Яремко// Вестник Самарск. гос. унта. Естественнонаучн. серия. -2011. -№8(89). -С.50-58.

95. Матаушек И. Ультразвуковая техника/ И. Матаушек. - М.: Металлургиздат, 1962. -511 с.

96. Мельник В.Н. Теоремы существования и единственности решения для одного класса нестационарных задач связанной электроупругости/ В.Н. Мельник // Изв.вузов. Матем. -1991. -№4. -С.24-32.

97. Методы неразрушающих испытаний / под ред. Р. Шарпа. -М.: Мир, 1972. -494 с.

98. Методы и приборы ультразвуковых исследований/ под ред. У. Мэзона-М.: Мир, 1966. -592 с.

99. Митько В.Н. Колебания пьезоэлектрических тел конечных размеров/ В.Н. Митько // Южн. Федеральн. ун-тет. Ростов-на-Дону. -2009. —28 с.

100. Могрун И.О. Математическое моделирование работы цилиндрического пьезокера-мического трансформатора / И.О. Моргун // Электроника и связь. - 2010. -№ 2 ( 55 ). -С. 204-207.

101. Могрун И.О. Динамика цилиндрического пьезотрансформатора с разночастотным электрическим воздействием на возбудительные электроды/ И.О. Моргун // Электроника и связь. -2010. -№ 3 (56). -С. 148-151.

102. Можен Ж. Механика электромагнитных сплошных сред/ Ж. Можен. -М.: Мир, 1991. -560с.

103. Мороз А.Н. Математическая модель поперечных колебаний пьезокерамического датчика цилиндрической формы/ А.Н. Мороз// Вестник Нац. техн. ун-та «ХПИ». Тематич. выпуск «Проблемы совершенст. электр. машин и аппаратов». -2010. - Вып. 16. -С. 73-82.

104. Мощенко И.Н. Расчет осесимметричных колебаний пьезокерамического цилиндра с тангенциальной поляризацией и возбуждением [ Электрон, ресурс ] / И.Н. Мощенко, Н.М. Товаровская, H.H. Харабаев, В.К. Яценко// Инж. вестник Дона. -2009. -№1. - Режим доступа http://ivdon.ru.

105. Мэзон У. Пьезоэлектрические кристаллы и их применение в ультраакустике/ У. Мэ-зон. -М.: Изд-во иностр. лит., 1952. -447 с.

106. Мэй Д. Волновые ультразвуковые линии задержки/ Д. Мэй// Физ. акустика: Принципы и методы. Пер.с анг., 1966. -1А. -С.489-565.

107. Никифоров С.Н. Теория упругости и пластичности/ С. Н. Никифоров. -М.: Гос. изд-во по стр. и арх., 1955. - 284 с.

108. Новожилов Ю.В. Электродинамика/ Ю.В. Новожилов, Ю.А. Яппа. -М.: Наука, 1978,-352с.

109. Новацкий В. Электромагнитные эффекты в твердых телах/ В. Новацкий. -М.: Мир, 1986.-169 с.

110. Новацкий В. Теория упругости. -М.: Мир,1975. - 827 с.

111. Олейник J1.H. Асимптотический анализ электроупругого состояния тонкой анизотропной пьезоэлектрической полосы/ Л.Н.Олейник // Изв.АН АрмССР. Механика. -1979. -Т.32. -№ 5. -С. 55-61.

112. Островский Л.А. Колебания секционных и составных пьезостержней / Л.А. Островский, В.И. Тарубаров // Вопр. судостроения. Сер. Акустика. -1974. -Вып.1. -С. 139-146.

113. Паньков A.A. Статическая механика пьезокомпозитов/ A.A. Паньков// — Пермь.: -Изд-во ПГТУ, 2009. -480 с.

114. Панич A.A. Кристаллические и керамические пьезоэлектрики [ Электрон, ресурс ] /

A.A. Панич, М.А. Мараховский, Д.В. Мотин// Инж. вестник Дона. -2011. -№1. - Режим доступа http://ivdon.ru.

115. Пановко Я.Г. Ведение в теорию механических колебаний/ Я.Г. Пановко. - М.: Наука,1971.-239 с.

116. Партон В.З. Об одной задаче электроупругости/ В.З. Партон// Сб. «Механика тверд, деформ. тела и родствен, проблемы анализа». - Изд-во Моск. ин-та хим. машиностроения. -1980. -С.3-13.

117. Партон В.З. Применение метода символического интегрирования в теории пьезоке-рамических оболочек/ В.З. Партон, H.A. Сеник // ПММ. -1983. -Т.47. -№2. -С. 257-262.

118. Партон, В.З. Электроупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел/ В.З. Партон, Б.А. Кудрявцев. - М.: Наука, 1988. -470 с.

119. Патент № 1778675 СССР / Устройство для определения прочности бетона / Зубков

B.А. Семерков И.В, Зубков Е.В. - опубл. 11.06.1993.

120. Патент №71496 РФ H04R / Электроакустический преобразователь /Гейер А.Ф., Егоров В.И., Волков В.В., Половец Я.В. - опубл. 10.03.2008.

121. Патент №124459 РФ H02N / Пьезоэлектрическое устройство для преобразования энергии / Шляхин Д.А., Литиков А. П. — опубл. 20.01.2013. Бюл. №2.

122. Патент №130164 РФ U1 / Пьезокерамический генератор / Шляхин Д.А., Литиков А.П., Тюрников В.В. - опубл. 10.07.2013. Бюл. №19.

123. Поверхностные акустические волны/ Под. ред. А. Олинера.-М.: Мир, -1981. -390 с.

124. Подводные электроакустические преобразователи: Справочник / Под ред. В.В. Богородского. -Л.: Судостроение, -1983. -248 с.

125. Подстригач Я.С. Магнитотермоупругость электропроводных тел/ Я.С. Подстригач, Я.И. Бурак, В.Ф. Кондрат //-Киев: Наук, думка, 1982. -296 с.

126. Подчасов, Н.Д. Излучение акустической волны с давлением заданного профиля тонкостенным цилиндрическим пьезопреобразователем/ НД. Подчасов, И.В. Янчевский// BicHHK Донец. Нац. ун-ту, Сер.А: Природ. Науки, -2012. -№1. -С.97-104.

127. Пространственные задачи теории упругости и пластичности/ под ред. А.Н. Гузя. -Киев: Наук, думка, 1985. -Т.З. -280 с.

128. Пространственные задачи теории упругости и пластичности/ под ред. А.Н. Гузя. -Киев: Наук, думка, 1986. -Т.5. -286 с.

129. Прочность, устойчивость, колебания: Справочник в 3 томах/ Под. общ. ред. И.А. Биргера и Я.Г. Пановко. - Т. 3. - М.: Машиностроение, - 1968. -567.

130. Пьезокерамические преобразователи: Справочник/ Под ред. С.И. Пугачева. —JL: Судостроение, -1984. -256 с.

131. Рогачева H.H. Динамическое поведение пьезоэлектрических слоистых стержней / H.H. Рогачева // ПММ. -2007. -Т.71. -Вып.4. -С.545-560.

132. Рудницкий С.Н. Колебания дискового биморфного преобразователя типа металл-пьезокерамика/ С.Н. Рудницкий, В.М. Шарапов, H.A. Шульга // Прикл. мех- 1990.-26. №10. -С. 64-72.

133. Савин В.Г. Действие акустического импульса на плоскую электроупругую систему из биморфов/ В.Г. Савин, А.Э. Бабаев // В сб. «1нформацшш системи механша та керуания». -Киев: Нац.тех.ун-т Украины. -2009. -Вып.З. -С.30-39.

134. Савин В.Г. Нестационарное поведение цилиндрического секционного преобразователя при электрическом импульсном возбуждении/ В.Г. Савин, В.М. Шарапов, Н.И. Штефан // В сб. «1нформацшш системи мехашка та керуания». -Киев: Нац.тех.ун-т Украины. -2012. — Вып.7. -С. 75-83.

135. Свердлин Г.М. Прикладная гидроакустика/ Г.М. Свердлин -JL: Судостроение, 1976. -280 с.

136. Сеник H.A. Моделирование и расчет электроупругих полей пьезокерамических оболочек и пластин / H.A. Сеник// Дис. на соиск.уч.ст. канд. физ.-мат. наук. -М.: -1984. -181 с.

137. Сеницкий Ю.Э. Осесимметричная динамическая задача для короткого толстостенного цилиндра/ Ю.Э.Сеницкий // В кн. Прикл. пробл. прочности и пластичн. Методы решения задач упруг, и пластичн. -Горький: Горьковск.гос.ун-т. -1980. -С. 127-135.

138. Сеницкий Ю.Э. К решению осесимметричной задачи динамики для анизотропного короткого толстостенного цилиндра/ Ю.Э.Сеницкий //Прикл. механика, -1981. -Т.17. -№8. -С.95-100.

139. Сеницкий Ю.Э. Исследование упругого деформирования элементов конструкций при динамических воздействиях методом конечных интегральных преобразований/ Ю.Э. Сениц-кий//-Саратов:Изд-во Сарат. ун-та,1985. -174 с.

140. Сеницкий Ю.Э. Многокомпонентное обобщенное конечное интегральное преобразование и его приложение к нестационарным задачам механики/ Ю.Э. Сеницкий // Изв. вузов. Математика. -1991. - №4. -С.57-63.

141. Сеницкий Ю.Э. Сходимость и единственность представлений, определяемых формулой обращения многокомпонентного обобщенного интегрального преобразования/ Ю.Э. Сеницкий// Изв. вузов. Математика. -1991. -№9. -С.53-56.

142. Сеницкий Ю.Э. Динамическая задача электроупругости для неоднородного цилиндра / Ю.Э. Сеницкий// ПММ. -1993. - Т.57. -Вып.1. -С.116 - 122.

143. Сеницкий Ю.Э. Влияние физико-механических характеристик пьезокерамических материалов на величину и форму электрического импульса/ Ю.Э. Сеницкий, Д.А. Шля-хин // Современ. пробл. строит, материаловедения. Академические чтения РААСН: Мат - лы к Международн. конференции. Част 3. -СамГАСА. Самара. -1995. -С. 22-26.

144. Сеницкий Ю.Э. Об улучшении сходимости спектральных разложений, представляющих решения начально - краевых задач динамики оболочек/ Ю.Э. Сеницкий, С.А. Лычев // Труды междунар. конф. « Числен, и аналит. методы расчета констр.». -Самара: 1998. -С.189-193.

145. Сеницкий Ю.Э. Нестационарная осесимметричная задача электроупругости для толстой круглой анизотропной пьезокерамической пластины / Ю.Э.Сеницкий, Д.А. Шля-хин // Изв. РАН. МТТ. -1999. -№1. -С. 78-87.

146. Сеницкий Ю.Э. Метод конечных интегральных преобразований. Его перспективы в исследовании краевых задач механики/ Ю.Э. Сеницкий //Вестник СГТУ. Серия математическая. -2003. -Вьш.2. -С.10 - 39.

147. Сеницкий Ю.Э. Метод конечных интегральных преобразований - обобщение классической процедуры разложения по собственным вектор-функциям / Ю.Э. Сеницкий// Изв. Саратовского ун-та. Новая серия. Матем., механ., информатика, -2011. -№ 3(1). -С. 61-89.

148. Снеддон И.Н. Преобразования Фурье/ И. Н. Снедцон. -М.: Изд-во иностр. лит., 1955. -668 с.

149. Сиротин Ю.А. Основы кристаллофизики/ Ю.А. Сироткин, М.П. Шаскольская. -М.: Наука, 1979. - 640 с.

150. Соколкин Ю.В. Паньков A.A. Электроупругость пьезокомпозитов с нерегулярными структурами/ Ю.В. Соколкин, A.A. Паньков. -М.: Наука. Физ. -мат. лит.,2003.- 180 с.

151. Соловьев А.Н. О влиянии размера электродированной области на собственные частоты пьезокерамических тел прямоугольного сечения / А.Н. Соловьев // Прикл. механика. -1984. -Т. 20. -№ 9. -С. 235-240.

152. Тамм И.Е. Основы теории электричества/ И.Е. Тамм .-М.: Наука, 1970. - 616 с.

153. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле/ С.П. Тимошенко. -М.: Физматгиз, 1959.-440 с.

154. Тимошенко С.П. Курс теории упругости/ С.П. Тимошенко. - Киев: Наук, думка, 1972. -507 с.

155. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики/ А.Н. Тихонов, A.A. Самарский. -М.: Наука,1966. -724 с.

156. Трантер К.Д. Интегральные преобразования в математической физике/ К.Д. Трантер. -М.: Гостехтеориздат,1956. -204 с.

157. Улитко А.Ф. Стационарные колебания биморфной круглой пластины, опертой в центре / А.Ф. Улитко, Л.П. Якубова // Докл. АН УССР. Сер.Б. -1991. -№5. -С.58-61.

158. Ультразвуковые преобразователи для неразрушающего контроля / под общ. ред. И.Н. Ермолова. -М.: Машиностроение, 1986. -280 с.

159. Устинов Ю.А. Электроупругость. Основы теории и некоторые приложения / Ю.А. Устинов// Соросовск. образ, журн. -1996. -Вып.З. -С. 122-127.

160. Уфлянд Я.С. Распространение волн при поперечных колебаниях стержней и пластин/ Я.С. Уфлянд // ПММ. -1948. -Т.12. -Вып.З. -С.287-300.

161. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости/ Я.С. Уфлянд. -М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1963. -367 с.

162. Харкевич A.A. Избранные труды. 4.1. Теория акустических преобразователей/ A.A. Харкевич. -М.: Наука, 1973. -40 с.

163. Хмелев, В.Н. Исследование зависимости геометрических размеров на характеристики излучателя в виде пластины/ В.Н. Хмелев, А.Н. Галахов, А.Н. Лебедев, A.B. Шалунов, К.В. Шалунова // Материалы Всероссийской конференции ИАМП-2010. г.Бийск. -2010. -С.200-206.

164. Филыптинский М.Л. Реакция пьезокерамических оболочек на сосредоточенные воздействия/ М.Л. Филыптинский, Л.А. Хижняк // ПММ. -1983. -Т.47. -№3. -С. 478^82.

165. Фридман Л.И. Динамическая задача теории упругости для цилиндра конечных размеров/ Л.И. Фридман// Прикл.механика. -1981. -№3. -С.37-43.

166. Шарапов В.М. Пьезоэлектрические датчики/ В.М. Шарапов, М.П. Мусиенко, Е.В. Шарапова. -Техносфера. -2006. -632 с.

167. Шарапов В.М. Пьезоэлектрические трансформаторы и датчики/ В.М. Шарапов и др.; Под ред. В.М. Шарапова. -Черкассы: Вертикаль. - 2010. -278 с.

168. Шляхин Д.А.Нестационарная осесимметричная задача для короткого анизотропного пьезокерамического цилиндра/ Д.А. Шляхин // Труды междунар. конф. « Числен, и аналит. методы расчета констр.».-Самара: 1998.-С. 168-173.

169. Шляхин Д.А. Нестационарная осесимметричная задача электроупругости для пье-зокерамической пластины / Д.А. Шляхин //Труды XXI Междунар. конф. по теории пластин и оболочек. -Саратов: Саратов, гос. тех. ун-т, 2005. -С.242-249.

170. Шляхин Д.А. Исследование нестационарных осесимметричных волн кручения в пье-зокерамическом цилиндре/ Д.А. Шляхин // Тез. докл. обл. 65-й науч.-техн. конф. -Самара: СГАСУ, 2008, -С.119-120.

171. Шляхин Д.А. Динамическая задача электроупругости для пьезокерамического аксиально поляризованного цилиндра/ Д.А. Шляхин // Альманах совр. науки и техн. —Тамбов: Грамота, 2008. -№1(8). -С. 236-239.

172. Шляхин Д.А.Вынужденные осесимметричные колебания пьезокерамического ради-ально поляризованного цилиндра/ Д.А. Шляхин // Альманах совр. науки и техн.-Тамбов: Грамота, 2008. -№7(14). -С. 240-242.

173. Шляхин Д.А. Динамическая задача прямого пьезоэффекта для длинного радиально поляризованного пьезокерамического цилиндра/ Д.А. Шляхин // Альманах совр. науки и техн. -Тамбов: Грамота, 2008. -№12(19). -С. 241-246.

174. Шляхин Д.А. Несвязанная динамическая задача прямого пьезоэффекта для радиально поляризованного цилиндра/ Д.А. Шляхин // Альманах совр. науки и техн. —Тамбов: Грамота, 2009. -№6(25). -С. 230-232.

175. Шляхин Д.А. Нестационарная осесимметричная задача электроупругости для пьезокерамического цилиндра с окружной поляризацией/Д.А. Шляхин // ПМ и ТФ. -2009. —Т.50. -№1. - С.12-21.

176. Шляхин Д.А. Нестационарная осесимметричная задача электроупругости для анизотропного пьезокерамического радиально поляризованного цилиндра/ Д.А. Шляхин// Изв. РАН. МТТ. -2009. -№1. -С.73-81.

177. Шляхин Д.А. Динамическая задача электроупругости для длинного радиально поляризованного цилиндра/ Д.А. Шляхин // Труды VI Всерос. научн. конф. с междунар. участием «Математ. моделир. и краевые задачи». -Самара: СамГТУ, 2009. -С.215-218.

178. Шляхин Д.А.Динамическая задача электроупругости для пьезокерамического цилиндра с окружной поляризацией. / Д.А. Шляхин // Труды VI Всерос. научн. конф. с междунар. участием «Математ. моделир. и краевые задачи». -Самара: СамГТУ, 2009. -С.218-220.

179. Шляхин Д.А. Вынужденные осесимметричные нестационарные колебания короткого пьезокерамического цилиндра/ Д.А. Шляхин// Мат. V Междунар. конф. « Проблемы диф. уравнений, анализа и алгебры». -Казахстан. Актобе: Актюбинский гос. ун-т им. К. Жубано-ва, 2009. -С.254м257.

180. Шляхин,Д.А. Динамическая задача электроупругости для пьезокерамического цилиндра закрепленного по торцам/ Д.А. Шляхин// Мат. IV Международ, научно-техн. конф. «Аналит. и числен, методы моделир. естественнонаучн. и социальн. проблем». -Пенза,2009. -С.162-165.

181. Шляхин Д.А. Динамическая осесимметричная задача прямого пьезоэффекта для анизотропного пьезокерамического радиально поляризованного цилиндра/ Д.А. Шляхин //ПМ и ТФ. -2010. -Т.-51. -№1. -С.153-161.

182. Шляхин Д.А. Несвязанная осесимметричная динамическая задача обратного пьезоэффекта для радиально поляризованного цилиндра / Д.А Шляхин //Вестник Самарск. гос. техн. ун-та. Серия: Физико-мат. науки. - 2010. -№5 (21). -С. 190-203.

183. Шляхин Д.А. Вынужденные осесимметричные продольно-поперечные колебания тонкой круглой пьезокерамической пластины/ Д.А Шляхин // Мат-лы 67-й Всероссийск. на-уч.-технич. конф. по итогам НИР 2009 года « Традиции и инновации в строительстве и архитектуре», СГАСУ, Самара, 2010. - С.119-120.

184. Шляхин Д.А. Несвязанная осесимметричная динамическая задача электроупругости для радиально поляризованного цилиндра/ Д.А. Шляхин// Вестник Самарск. гос. ун-та. Есте-ственнонаучню серия. -2011. -№2(83). -С.116-129.

185. Шляхин Д.А. Осесимметричная задача теории упругости для круглой жесткозакреп-ленной пластины/Д.А. Шляхин// Известия вузов. Строительство. -2011. -№7. —С.3-9

186. Шляхин Д.А. Установившиеся крутильные колебания пьезокерамического цилиндра с жестко закрепленными неэлектродированными торцами/ Д.А. Шляхин // Материалы Меж-дународн. научно-практич. конф. « Актуальные проблемы науки», Тамбов, 2011.-С. 197-200.

187. Шляхин Д.А. Вынужденные осесимметричные изгибные колебания толстой круглой жестко закрепленной пластины/ Д.А. Шляхин// Вестник Самарск. гос. ун-та. Естественнонаучн. серия. -2011. -№8(89). -С.142-152.

188. Шляхин Д.А. Вынужденные колебания пьезокерамического цилиндра с окружной поляризацией материала/ Д.А. Шляхин //Вестник Самарск. гос. техн. ун-та. Серия: Физико-мат. науки. - 2012. - №1 (26). -С. 198-207.

189. Шляхин Д.А. Влияние характеристик внешней цепи на форму электрического импульса при определении прочности бетона ударно-акустическим методом/ Д.А.Шляхин// Вестник МГСУ. -2012. -№5. -С. 133-138.

190. Шляхин Д.А. Вынужденные осесимметричные изгибные колебания толстой круглой жестко закрепленной пьезокерамической пластины / Д.А.Шляхин// Вестник Самарск. гос. унта. Естественнонаучн. серия. -2012. -№6(97). -С. 124-135.

191. Шляхин Д.А. Нестационарная механика электроупругих полей в элементах конструкций/ Д.А. Шляхин. -Самара: СГАСУ, 2012. -190 с.

192. Шляхин Д.А. Влияние электрических краевых условий на деформированное состояние пьезокерамического цилиндра с окружной поляризацией материала / Д.А Шляхин // Мат-лы 69-й Всероссийск. научн. -технич. конф. по итогам НИР 2011 года « Традиции и инновации в строительстве и архитектуре», СГАСУ, Самара, 2012. -С.29-30.

193. Шляхин Д.А. Вынужденные осесимметричные колебания тонкой круглой биморф-ной пластины ступенчато переменной толщины и жесткости [ Электрон, ресурс ] / Д.А. Шляхин// Инж. вестник Дона. -2013. -№1. -Режим доступа http://ivdon.ru.

194. Шляхин Д.А. Вынужденные осесимметричные колебания пьезокерамической тонкой биморфной пластины/ Д.А. Шляхин // Изв. РАН. МТТ. - 2013. -№2. -С.77 -85.

195. Шляхин Д.А. Влияние характеристик внешней цепи на форму электрического импульса в задачах прямого пьезоэффекта/ Д.А Шляхин // Вестник Самарск. гос. техн. ун-та. Серия: Физ.-мат. науки. - 2013. -№1(30). -С.288-296.

196. Шляхин Д.А. Вынужденные осесимметричные колебания тонкой круглой пластины ступенчато переменной толщины и жесткости/Д.А. Шляхин// Известия вузов. Строительство. -2013.-№4. -С. 13-20.

197. Шляхин Д.А. Нестационарная осесимметричная задача обратного пьезоэффекта для круглой биморфной пластины ступенчато переменной толщины и жесткости/ Д.А.Шляхин// Вестник Самарск. гос. ун-та. Естественнонаучн. серия. -2013. -№6(107). -С.133-140.

198. Шляхин Д.А. Динамическая задача электроупругости для толстой круглой жестко закрепленной пьезокерамической пластины/ Д.А Шляхин // Вестник Оренбург, гос. ун-та. -2013. - №9. -С.288-232.

199. Шульга H.A. Осесимметричные электроупругие волны в полом пьезокерамическом цилиндре / H.A. Шульга, А.Я. Григоренко, И.А. Лоза //Прикл. механика. -1984. -20. -№1. -С.26-31.

200. Шульга Н. А Об электроупругих колебаниях пьезокерамического шара с радиальной поляризацией / Н. А. Шульга // Тепловые напряжения в элементах конструкций. - 1986. — 22. - № 6. - С. 3 - 7.

201. Шульга H.A. Распространение акустоэлектрических крутильных волн в пьезокерамическом цилиндре с окружной поляризацией/ H.A. Шульга // Прикл. механика. —1989. —24, —№4. -С.3-9.

202. Шульга H.A. Колебания пьезоэлектрических тел/ H.A. Шульга, A.M. Болкисев. -Киев: Наук.думка. -1990. -228 с.

203. Шульга Н.А. Колебания пьезокерамического цилиндра с осевой поляризацией при электрическом нагружении/ Н.А. Шульга, J1.B. Борисенко // Прикл. механика. -1990. -25, -№10. -С.41-47.

204. Шульга М.О. Определение электродвижущей силы пьезоэлектрических преобразователей при механических нагрузках / М.О. Шульга // Доклады Нац. академии наук Украины. -2009. - №. 1. - С.70-74.

205. Цейтлин А.И. Прикладные методы решения краевых задач строительной механики/ А.И. Цейтлин. -М.: Стройиздат, 1984. - 334 с.

206. Янке Е. Специальные функции/ Е. Янке, Ф. Эмде, Ф Леш. -М.: Наука, 1977. - 342 с.

207. Янчевский И.В. Нестационарные колебания круглого асимметричного биморфа при электрическом нагружении/ И.В. Янчевский// Вюник Донецького нац. ун-та. -2010. -Вып.2. -С.101-105.

208. Янчевский И.В. Управление нестационарными колебаниями слойно-ступенчатого биморфа/ И.В. Янчевский// Вюник Нащонального техшчного ушверситету «Харювський польтехшчний шститут». 36ipHHK наукових праць. Тематичний випуск: Динамша i мщшсть машин. - Харюв: НТУ «ХП1». - 2009. - № 42. - С. 196-203.

209. Яффе Б. Пьезоэлектрическая керамика/ Б. Яффе, У. Кук, Г. Яффе. - М.: Мир, 1974. -288с.

210. Adelman N.T., Stavsky Y., Segal E. Axisymmetric vibrations of radially polarized piezoelectric ceramic cylinders// J. Sound and Vibration. -1975. -V.38. -№2 . -P. 245-254.

211. Adelman N.T., Stavsky Y. Flexural-extensional behavior piezoelectric cilcular plates// J. Acoust. Soc. Amer. -1980. -V.67. -№3. -P.819-822.

212. Auld B.A. Acoustic fields and waves in solids/ B.A. Auld// New York: Wiley. -1973. -V.2.

213. Budak V.D. On Free Vibrations of Rectangular in Plan Orthotropic Shallow Shells of Variable Thickness/ V.D. Budak, A.Yu. Grigorenko, S.V. Puzyren// Int. Appl. Mech.,2007. -43. №6. -P. 702-715.

214. Burdess J.S. The dynamics of a thin piesoelectris cylinder gyroscope// Pros. Inst. Mech. Eng. C. - 1986. -200. -№4. -P. 271-280.

215. Bugdauci N. A two-dimensional theory for piezoelectric layers used in electro-mechanical transducers. Part 1. Derivation/ N. Bugdauci, D.B. Body // Intern. J. Solids Structures. -1982. -V.17. -№12. -P. 1159-1178.

216. Bisegua P., Maceri F. An exact three-dimentional solution for simply supported rectangular piezoelectric plates // Trans ASME. J. Appl. Mech. -1996. -№ 3. -C. 628-638.

217. Chiang С. R., Weng G.J. The nature of stress and electric-displacement concentrations around a strongly oblate cavity in a transversely isotropic piezoelectric material // Int. J. Fract. -2005. - Vol. 134, № 3-4. -P. 319-337.

218. Ding H.J. The transient responses of piezoelectric hollow cylinders for axisymmetric plane stress problems / H.J. Ding, H.M. Wang, P.F. Hou // Int. J. Sol. and Str. - 2003. - Vol. 40. - P. 105123.

219. Drumheller D.S., Kalnins A. Dynamis shell theory for ferroelectric ceramics/ J. Acoust. Soc. Amer. -1970. -47. -5. -P. 1343-1353.

220. Eringen A.C. Elastodynamics. Vol.2. Linear theory/ A.C. Eringen, E.S. Suhubl. -N. -Y.: Acad. Press.,1975. -660 p.

221. Eyraud L. Fluoridated PZT Ceramics for Power Transducers / L. Eyraud, P. Eyraud, D. Audiger [et al.] // J. Solid State Chem. - 1997. - V. 130. - P. 103-109.

222. Giannakopoulos A. E. Theory of indentation of piezoelectric materials / A. E. Gianna-kopoulos, S. Suresh // Acta mater. -1999. -Vol.47. -№7. -P. 2153-2164.

223. Guiffard B. Effects of Fluorine-Oxygen Substitution on the Dielectric and Electromechanical Properties of Lead Zirconate Titanate Ceramics / B. Guiffard, D. Audiger, L. Lebrun [et al.] // J. Appl. Phys. - 1999.-V. 86, № 10. - P. 5747-5752.

224. Halevi P. Bimorphs piezoelectric flexible mirror: graphical solution and com-pavition with experiment // J. Opt. Soc. Amer. 1983. -V. 73, -N. 1. -P. 110-113.

225. Holland R.,Eer Nisse E. Desing of resonant piezoelectric mirror/ J.Appl. Phys. -1975. -46.-P. 510-512.

226. Hou Peng-Fei. The transient responses of magneto-electro-elastic hollow cylinders/ Peng-Fei Hou, Andrew Y T Leung // Smart Mater. Struch. -2004. -№13. -P. 762-776.

227. IRE Standarts on Piezoelectric Crystals// Proc. Inst. Radio Eng. -1949. -Vol.37. -P. 1378.

228. Kagawa, Y. Finite-element simulation of two-dimensional electromechanical resonators/Y. Kagawa, T. Yamabushi // IEEE Trans. Sonics and Ultrasonics. -1974. -21. -№4. -P.275 -283.

229. Karlash V.L. Resonance Electro-Mechanic Vibration of Piezo-Ceramic Plates/ V.L. Kar-lash / / Int. Appl. Mech. -2005. - Vol. 41. -N 7. - P. 535-541.

230. Mazon W.P. Electrostrictive effects in barium titanate ceramics/ W.P. Mazon// Phys. Rer., -1948.-74.-P. 1134-1147.

231. Mindlin R.D. High frequency vibrations of piezoelectric crystal plates/ R.D. Mindlin // Intern. J. Solids Structures. -1972. -V.8.-№7. -P. 895-906.

232. Naghdi P. M. On the theory of thin elastic shells/ P. M. Naghdi // Quarterly of appl. mathematics, -1957.-P.14.

233. Piezoxide-Wandler, Grundlagen und Anwendungen, Herausgegeben von der Valvo GmBH, Hamburg, 1968. -122 p.

234. Pio Y.-H. Elastic waves in solids/ Y.-H. Pio // Trans. ASME. J.Appl. Mech., 1983. -V.50. -№4b.-P.l 151-1164.

235. Ray M.C. Optimal control of laminated plate with piezoelectric sensor and actuator layers // AIAA Journal. -1998 -36. -№ 12. -P. 2204-2208.

236. Saravanos Dimitris A. Mixed laminate theory and finite element for smart piezoelectric composite shell structures// AIAA Journal. -1997. -35. -№ 8. -P. 1327-1333.

237. Savin V.G. Electric to acoustic conversion by a spherical piezoceramic shell with shields/ V.G. Savin, I.O. Morgun / / Int. Appl. Mech. -2007. -Vol. 43, -N. 2. -P. 238-245.

238. Shakeri M. Three-Dimensional Elasticity Solution for Thick Laminated Cylinder with Piezoelectric Layer/ M. Shakeri, M.R. Saviz, M.H. Yas // Iranian Journal of Mechanical Engineering. -2005.-Vol. 6,-№.2.-P. 5-18.

239. Shaw E.A.G. On the resonant vibrations of thick barium titanate disks/ E.A.G. Shaw // J. Acoust. Soc. Amer. -1956. -20. -№1. -P.38-50.

240. Stephenson C.V. Radial vibrations in short, hollow cylinders of barium titanate/ C.V. Stephenson // J. Acoust. Soc. Amer.,1956. - 28. -№1. -P.51-56.

241. Tiersien H.F. Linear piezoelectric plate vibrations - New York: Plenum press, 1969. -211 p.

242. Voigt W. Lehrbuch der Kristall-Physik. Leipzig: Teubner, -1910.

243. Wilkinson J. P. Natural frequencies of closed spherical shells / J. P. Wilkinson // J. Acoust. Soc. America, -1965 . -38. -№2.