Динамические смешанные задачи для пьезоактивных неоднородных структур тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Лыжов, Вячеслав Александрович

• Лыжов, Вячеслав Александрович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Лыжов, Вячеслав Александрович

Содержание

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРЕДНАПРЯЖЕННОЙ

ПЬЕЗОАКТИВНОЙ СРЕДЫ

1Л. Определяющие соотношения динамики преднапряженных

электроупругих сред

1.2. Основные виды граничных условий для электроупругих тел с электродами

1.3. Однородное начальное напряженное состояние

1.4. Краевые задачи о возбуждении поверхностных акустических

волн в неоднородной пьезоактивной среде

1.4.1. Краевая задача для однородного пьезоэлектрического полупространства

1.4.2. Краевая задача для неоднородного пьезоэлектрического полупространства

1.4.3. Краевая задача для пьезоэлектрического слоя на диэлектрическом полупространстве

ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ О КОЛЕБАНИИ НЕОДНОРОДНОЙ ПЬЕЗОАКТИВНОЙ СРЕДЫ

2.1. Решение краевой задачи для пьезоэлектрического полупространства

2.1.1. Функция Грина для однородного полупространства

2.1.2. Волна Гуляева-Блюштейна

2.2. Решение краевой задачи для неоднородного пьезоэлектрического полупространства

2.2.1. Функция Грина, трехмерная постановка

2.2.2. Влияние вида и величины начальных напряжений на свойства функции Грина

2.2.3. Влияние типа неоднородности на свойства функции Грина

2.3. Решение краевой задачи для пьезоэлектрического слоя на

диэлектрическом полупространстве

ГЛАВА 3. ВОЗБУЖДЕНИЕ ПОВЕРХНОСТНЫХ АКУСТИЧЕСКИХ

ВОЛН ПЛАНАРНЫМИ ЭЛЕКТРОДНЫМИ СТРУКТУРАМИ

3.1. Метод фиктивного поглощения решения интегрального уравнения для полупространства

3.2. Численная реализация метода

3.3. Распределение поверхностных зарядов под парой электродов

на поверхности пьезоактивного полупространства

3.4. Распределение поверхностных зарядов под многоэлектродной системой на поверхности пьезоактивного полупространства

3.5. Приближенный метод решения краевой задачи для электродной структуры с большим (более 30) количеством электродов

ГЛАВА 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОУПРУГИХ ТЕЛ С

ПОКРЫТИЯМИ ИЗ ТОНКИХ СЕГНЕТОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ

ПЛЕНОК

4.1. Влияние расстояния между электродами на особенности распределения механических и электрических полей в подложке

4.2. Влияние толщины слоя на особенности распределения механических и электрических полей в подложке

4.3. Моделирование тел с покрытиями из тонких сегнетоэлектрических пленок

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамические смешанные задачи для пьезоактивных неоднородных структур»

Введение

Развитие элементной базы акустоэлектроники, проблемы создания и использования современных искусственных композитных материалов, работающих в экстремальных условиях под действием постоянных динамических нагрузок и физических полей, предъявляют повышенные требования к применяемым методам расчета и математическим моделям. Минитюаризация и применение тонких сегнетоэлектрических пленок с одной стороны, наличие внешних электрических полей и начальных напряжений с другой стороны требуют использования строгих математических методов, позволяющих осуществлять строгий учет всех внешних воздействий и возникающих внутренних напряжений, выявлять новые закономерности и создавать принципиально новые типы устройств, основанных на использовании выявленных физических эффектов.

Исследованию различных аспектов динамики контактного взаимодействия деформируемых твердых тел посвящены работы [2 - 14,1920, 22 - 27, 29, 31, 32, 34 - 36, 39, 42, 43, 51 -59, 63-68, 74 - 76, 84, 89 и др.]. Исследования основаны на сведении краевых и начально-краевых задач теории упругости и математической физики к интегральным уравнениям (ИУ) или к системам интегральных уравнений (СИУ) первого рода, для решения которых используется широкий круг методов: асимптотические методы, метод факторизации, вариационно-разностный метод, метод фиктивного поглощения, метод граничных элементов, метод коллокаций, метод комплексных потенциалов и др.

При исследовании динамики многослойных сред осцилляция символа ядра интегрального оператора существенно затрудняет использование численных методов (вариационно-разностный, коллокаций, граничных элементов и т.д.). Более эффективными, особенно на больших частотах колебания штампов, являются метод факторизации [2, 4, 34 - 35], развитый в ряде работ В.А.Бабешко, и метод фиктивного поглощения, предложенный

В.А. Бабешко и развитый в цикле работ В.А.Бабешко и О.Д.Пряхиной [10, 11, 27, 35, 59, 74, 75]. Он был успешно использован при изучении контактного взаимодействия массивных жестких штампов, упругих балочных плит и инерционных систем со средами типа слоя или пакета слоев, а также при исследовании ИУ и СИУ задач контактного взаимодействия электродов с аналогичными типами электроупругих сред. Позднее этот метод был обобщен на среды типа слоисто-неоднородного или функционально-градиентного полупространства [4,5,9,53-55]. Использование в рамках метода численных процедур для решения позволило эффективно исследовать широкий класс задач теории упругости, электро-, термо- и магнитоупругости для преднапряженных сред.

Впервые понятие предварительно напряженного упругого тела ввел Коши в 1828 году. Отдельные аспекты подхода, основанного на наложении малых деформаций на конечные деформации в 1894 году были изложены Фингером. Исследование влияния начальных напряжений, обусловленных воздействием гравитационного поля Земли, на скорость релеевских волн было предпринято в 1898 году проф. Бромвичем. Систематизированное изложение линеаризованной теории наложения малых деформаций на конечные в 1927 году дал А. Ляв. Общие вопросы механики преднапряженных упругих тел постоянно находили место в исследованиях как отечественных, так и зарубежных ученых, что нашло отражение в многочисленных публикациях, достаточно подробный обзор которых приведен в монографиях [46,52,53].

В этих работах реализованы различные подходы к линеаризации нелинейных уравнений теории упругости. Построены различные варианты теории наложения малых деформаций на конечные деформации, в той или иной мере адекватно учитывающие особенности динамических процессов, проистекающих в реальных, подверженных большим силовым воздействиям, телах.

Вопросам распространения волн в предварительно напряженных полуограниченных телах посвящено значительное количество работ отечественных и зарубежных авторов [30, 33, 37, 38„ 40, 41, 44, 46, 61, 73]. Несмотря на то, что проблема распространения волн на поверхности предварительно напряженных тел является сложной и трудно реализуемой экспериментально, она представляет значительный интерес для разработки методов оценки напряженного состояния контролируемых объектов. Особенности распространения поверхностных волн в предварительно напряженных телах при различных видах начального напряженного состояния исследовались в [20, 46, 53, 54, 62, 85, 93, 94, 96, 105 и др.].

Фундаментальные проблемы механики связанных электроупругих полей освещены в монографиях Викторова И.А. [33] (1981), Бабешко В.А. [2] (1984), Новацкого В. [71] (1986), Бирюкова С.В., Гуляева Ю.В., Крылова В.В., Плесского В.П. [28] (1991), Гетмана И.П., Устинова Ю.А. [37] (1993), Воровича И.И., Бабешко В.А., Пряхиной О.Д. [35] (1999). Различные проблемы механики связанных электроупругих полей в отсутствие начальных напряжений, в т.ч. проблемы, связанные с динамическим контактным взаимодействием массивных электродов с электроупругими средами, рассмотрены в [12, 15, 16, 18, 45, 51, 52, 58, 59, 71, 72, 77, 78, 79, 82, 91,93,98, 99, 100, 101, 105, 108, 109, 118, 120 и др.].

Изучение особенностей проявления начальных напряжений в электроупругой среде впервые, по-видимому, предпринято в работе К.Ы.ТЬигзШп, К.Вп^ег [115]. Последовательное построение линеаризованной теории динамических процессов в предварительно напряженной электроупругой среде, основанное на линеаризации нелинейных уравнений электродинамики сплошной среды дали ВаитЬаиег, Н.Р.Тле^еп [86, 116, 117]. Линеаризованные уравнения движения и уравнение вынужденной электростатики приведены в декартовой системе координат в традиционном для физической акустики компонентном представлении тензорных и векторных величин. В работах [47, 49, 50, 60, 83,

90, 95, 97 102, 103, 104, 113, 114, 119] при исследовании процессов распространения волн в различных кристаллах рассмотрены эффекты, связанные с учетом констант третьего порядка. Изучение влияния НДС на скорости ПАВ и акустоупругие эффекты второго порядка предпринято в [70, 88, 97, 102, 103, 104, 118]. Влияние сильных начальных электрических полей на скорость поверхностных волн в пьезоэлектрической среде исследовалось в [47, 49, 50, 83, 95, 117]. Сочетание совместного воздействия механических напряжений и сильных начальных электрических полей на скорость поверхностных волн в пьезоэлектрической среде исследовалось в [117]. Ряд выявленных в отмеченных выше работах закономерностей использован при разработке теоретических основ и экспериментальных методов определения нелинейных упругих, диэлектрических и пьезоэлектрических констант различных кристаллов [90, 97, 104, 120].

В литературе активно обсуждаются подходы к описанию слоисто неоднородных и функционально градиентных сред, определению эффективных свойств материалов сложной структуры. В работах Thurston R.N., Brugger К. [115] (1964), Cho Y., Yamanouchi К. [90] (1966), Baumhauer J.C., Tiersten H.F. [86] (1972), Tiersten H.F. [116] (1981), Gafka D. [95] (1991), Tanimoto T., Yamamoto K., Morii T. [114] (1994), Chai J.F., Wu T.T. [88] (1996) исследуется влияние начальных напряжений на скорости распространяющихся волн. В работах C.Q. Ru [109] (2000), R.Q. Ye, L.H. Не [121] (2001), X.F. Li, K.Y. Lee [101] (2004), Z.B. Kuang, Z.D. Zhou, K.L. Zhou [100] (2004), F. Narita, Y. Shindo, M. Mikami [108] (2007), B.B.L. Wang, Y.G. Sun, J.C. Han [119] (2009), Q. Jiang, C.F. Gao, Z.B. Kuang [97] (2010) предлагаются различные подходы для расчета электрических и механических полей электродных систем на пьезоактивной подложке, изучается распределение электрического поля, его поведение вблизи границ электродов, для некоторых задач получены аналитические решения.

Одним из перспективных и бурно развивающихся направлений является работа по созданию и изучению устройств на сверхтонких, в

часности, наноразмерных сегнетоэлектрических пленках: Scott J.F [110] .(1999), Mukhortov V.M., Golovko Yu. I., Tolmachev G.N., Klevtzov A.N. [106] (2000), Dawber M., Rabe K.M., Scott J.F. [92] (2005), Nagarajan V., Jia C. L., Kohlstedt H., Waser R. and Ramesh R. [107] (2005). В работах V. В. Shirokov, V. V. Lemanov [111,112] (2006, 2009), Широков В.Б. [80,81] (2010, 2013) развивается феноменологическая теория тонких сегнетоэлектрических пленок. Исследование наноразмерных пьезоактивных гетероструктур осложняется отсутствием адекватных моделей, одновременно учитывающих сложную структуру материала, связанность полей различной природы, наличие остаточных напряжений, отличие параметров тонких пленок от объемных образцов.

Основной целью данной работы является разработка адекватной математической модели структурно неоднородной электроупругой среды, позволяющей исследовать влияние различных параметров на динамические характеристики рассматриваемых пьезоактивных тел. Применение эффективных методов решения динамических задач для неоднородных электроупругих структур со сложными смешанными граничными условиями позволит производить более точную оценку характеристик устройств, работающих в различных, в том числе экстремальных, условиях. Предлагаемый в работе подход позволяет эффективно исследовать особенности динамики разномасштабных структур. В рамках работы поставлены и решены следующие задачи:

• исследование условий возникновения, особенностей формирования и локализации волновых полей в неоднородных электроупругих средах;

• изучение свойств, поведения и динамической прочности электроупругих материалов при различных размерных параметрах и начальных напряжениях;

• определение влияния различных факторов на поведение пьезоактивных тел - геометрических параметров, условий возбуждения, наличие начальных напряжений, отличие материальных констант тонких пленок от объемных образцов.

Изучение зависимости динамических свойств подобных неоднородных структур от геометрических размеров позволяет прояснить вклад данного фактора в результирующие характеристики устройств, сформулировать закономерности при уменьшении толщины пьезоэлектрического слоя до микро- и наноразмерных пленок, исследовать распределение полей электрической индукции и механических напряжений. Полученные результаты могут стать основой для сравнения с экспериментальными данными в целях оценки влияния начальных напряжений и изменения материальных параметров тонких сегнетоэлектрических пленок по сравнению с объемными образцами.

Цель исследования заключается в разработке эффективных методов решения связанных задач с разнородными граничными условиями в строгой математической постановке; создании соответствующих алгоритмов и их реализации в виде программного обеспечения; исследовании влияния начальных напряжений на дисперсионные и интегральные характеристики динамических процессов и выявлении закономерностей; моделировании многоэлектродных акустоэлектрических устройств и устройств на тонких сегнетоэлектрических пленках.

Научная новизна результатов работы

В ходе исследования получены условия существования поверхностных акустических волн для ряда неоднородных структур, находящихся в начальном напряженном состоянии, разработана методика определения электрических, механических полей и динамических характеристик для систем планарных электродов на неоднородной пьезоактивной подложке. Показано, что в зависимости от вида и величины начальных напряжений изменяются скорости поверхностных волн и частотные диапазоны их существования. Исследованы особенности распределения физических полей в зависимости от геометрии задачи для пьезоэлектрического слоя на диэлектрическом полупространстве. Обнаружено, что при уменьшении толщины слоя существенно увеличивается неоднородность распределения

электрического поля и возникает новый максимум нормальной компоненты электрической индукции на границе раздела пьезоэлектрик-диэлектрик, обусловленный наличием механических напряжений.

Для небольшого количества электродов (менее 20-30) предложен строгий метод, позволяющий исследовать тонкие вопросы процесса взаимодействия электродов со средой. Исследованы особенности распределения полей при взаимодействии ПАВ с многоэлектродными структурами. На основании полученных результатов предложен эффективный приближенный метод построения решения краевой задачи, позволяющий с достаточной точностью исследовать структуры с большим количеством электродов.

При решении задачи о колебаниях тел с покрытием из тонких сегнетоэлектрических пленок для учета различий материальных параметров пленки и объемного образца применены результаты феноменологической теории.

Актуальность темы исследования определяется необходимостью разработки строгих математических моделей, позволяющих исследовать динамические процессы, протекающие в пьезоактивных средах, выявлять новые закономерности и создавать принципиально новые типы устройств, основанных на использовании выявленных физических эффектов.

Научное и практическое значение результатов работы.

Разработка и уточнение методов учета влияния различных видов и величины начальных напряжений на характеристики устройств на пьезоактивной подложке имеет важное практическое значение. Такие модели могут быть использованы для разработки методов определения напряжений в элементах конструкций и неразрушающего контроля. Актуальной является также проблема расчета устройств на тонких сегнетоэлектрических пленках, учитывающих отличие свойств таких пленок от объемных образцов.

Важной практической задачей является развитие методов моделирования устройств, использующих в качестве возбуждающего или

принимающего элемента многоэлектродные структуры. Использование простых моделей, например, электро-механических аналогий или метода дельта-функций, не позволяет провести детальный анализ возникающих электрических и механических полей, а прямое численное решение краевой задачи связано со значительными вычислительными трудностями.

Используемые методы исследований и полученные результаты нашли свое применение при выполнении работ по плановой НИР Южного научного центра РАН №г/р 01201354242, грантам РФФИ 05-08-65499, 06-01-00726, 0901-00695, 10-08-01082, 11-08-00884-а, 12-08-31219 мол_а.

Методы исследования

Методы исследования задач о колебаниях неоднородных полуограниченных электроупругих тел с системой поверхностных планарных электродов основаны на построении и изучении интегрального представления решения краевой задачи с использованием методов операционного исчисления. Интегральное представление волновых механических и электрических полей используется для вывода интегрального уравнения, решение которого строится двумя методами. Первый - точный - метод фиктивного поглощения, позволяющий с высокой точностью учитывать динамические свойства исследуемой среды и, тем самым, эффективно исследовать особенности формирования волновых полей в предварительно напряженных пьезоактивных средах. Второй -приближенный, позволяющий эффективно исследовать динамику многоэлектродных (с числом электродов более 30) структур на поверхности неоднородных электроупругих тел.

Достоверность результатов

Достоверность результатов диссертационной работы основана на использовании строгих математических методов электроупругости; на использовании определяющих соотношений линеаризованной теории распространения упругих волн; на детальном исследовании свойств ядер интегральных представлений для разработки устойчивых численных

алгоритмов; на сравнении результатов решения рассмотренных задач с точными решениями и результатами других исследователей.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 121 наименования, Общий объем работы составляет 106 страниц машинописного текста, включая 42 рисунка и 3 таблицы.

Содержание работы

Во введении приводится обзор современного состояния вопроса в литературе и обоснование актуальности учета начальных напряжений и решения задач в строгой математической постановке.

В первой главе приводятся основные сведения из линеаризованной теории электроупругости. В п.1.1. приведены определяющие соотношения динамики преднапряженной электроупругой среды, в п. 1.2. представлены основные виды граничных условий для электроупругих тел с электродами, в п.1.3. приведены рассматриваемые в диссертации виды НДС. В п. 1.4. дается постановка краевых задач о возбуждении колебаний в однородном (п.п. 1.4.1.) и неоднородном (п.п.1.4.2) пьезоактивном полупространстве. Однородное полупространство рассматривается в качестве тестового. В п. 1.4.3. приведена постановка краевой задачи для пьезоактивного слоя на диэлектрической подложке.

Во второй главе получены элементы матрицы функции Грина и представление решения сформулированных краевых задач для основных типов пьезоактивных сред - однородного (п.2.1.), слоисто-неоднородного пьезоэлектрического полупространства (п.2.2.) и пьезоэлектрического слоя на диэлектрическом полупространстве (п.2.3.). С помощью преобразования Фурье задача сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Для получения аналитического представления решения системы, рассматривается аналогичная вспомогательная задача с известным распределением нормальной компоненты электрической индукции. Решение

полученной системы ОДУ строится традиционным способом. В п.п. 2.1.1. получены формулы, описывающие процесс распространения волн Гуляева-Блюштейна в предварительно напряженном полупространстве. Исследованы вопросы влияния типа начально-деформированного состояния и величины начальных напряжений на фазовые скорости распространения волн Гуляева-Блюштейна и коэффициент электромеханической связи среды.

В третьей главе рассматриваются результаты решения полученных во второй главе уравнений для различных видов пьезоактивных структур. В целях изучения особенностей распределения полей многоэлектродных систем и влияния краевых эффектов на характеристики устройств были решены задачи для одного электрода, 3-, 5-, 7-, 9-электродных структур и так далее в сторону увеличения количества электродов. Для решения интегральных уравнений использовался метод фиктивного поглощения, развитый в цикле работ В.А. Бабешко и О.Д Пряхиной, обобщенный на среды типа неоднородного полупространства. Результаты расчетов показали, что для однополярного режима возбуждения форма распределения поверхностных зарядов под внутренними электродами близка по форме и абсолютной величине к распределению зарядов под центральным электродом. Влияние краевых эффектов, приводящее к существенному изменению формы распределения зарядов, было выявлено только для 3-4 крайних электродов. Для анализа многоэлектродных (более 30 электродов) структур предложен приближенный метод, позволяющий в значительной степени упростить процесс исследования задачи и получать распределение заряда в многоэлектродной структуре.

В четвертой главе рассмотрены вопросы моделирования устройств на тонких пьезоэлектрических пленках. Исследовано качественное изменение структуры механических и электрических полей при уменьшении толщины пьезоэлектрического слоя до размеров, характерных для устройств на сегнетоэлектрических пленках.

В п. 4.1 и п. 4.2 приведены результаты исследований распределения механических и электрических полей в среде при изменении геометрии задачи - изменении расстояния между электродами и уменьшении толщины пьезоэлектрического слоя вплоть до величин, характерных для наноразмерных пленок. Это позволяет оценить вклад в динамические свойства среды геометрических факторов и оценить влияние разницы между константами сегнетоэлектрической пленки и объемным образцом.

В п. 4.3 предложены подходы к моделированию динамического поведения тонких сегнетоэлектрических пленок. Один из подходов основан на линеаризованной теории электроупругости, применяемой при решении задач в главах 1, 2. Второй подход основан на применении результатов феноменологической теории твердых растворов и тонких сегнетоэлектрических пленок. Проведено сравнение результатов, полученных в рамках двух подходов.

В заключении формулируются основные результаты, полученные в диссертации, обсуждаются возможные направления продолжения исследований.

Публикации

Основные результаты исследований, выполненных по теме диссертации, содержатся в 13 публикациях, из них 5 работ - в рецензируемых изданиях из списка ВАК РФ.

Личный вклад автора

В указанных публикациях основные идеи постановки задач, выбор темы, цели и задачи исследований принадлежит научному руководителю В.В. Калинчуку. Выбор методов исследования и возможные пути их реализации разрабатывались автором совместно с научным руководителем В.В. Калинчуком. Автору диссертации принадлежит построение матрично-функциональных соотношений для пьезоактивных сред с многоэлектродными структурами в плоской и антиплоской постановках, разработка алгоритмов и программ для анализа свойств ядер интегральных

операторов, численная реализация выбранных методов и подходов, интерпретация и визуализация результатов.

Личный вклад автора состоит в построении решений краевых задач для рассматриваемых материалов в плоской и антиплоской постановке, получении выражений для символов ядер интегральных преобразований, исследовании дисперсионных свойств операторов, разработке алгоритмов для обратного интегрального преобразования, получении характеристик динамических процессов в среде. Также автором была проведена работа по визуализации полученных результатов и поиску особенностей и общих закономерностей.

Обсуждение полученных результатов, их анализ и формулировка выводов проводились совместно с научным руководителем В.В. Калинчуком и Т.И. Белянковой.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю В.В. Калинчуку за определение направления исследования, выбор и постановку задач, ведущему научному сотруднику ЮНЦ РАН Т.И. Белянковой за ценные советы и замечания при реализации методов исследования.

Глава 1. Математическая модель преднапряженной пьезоактивной среды

В настоящей главе приводятся основные сведения об определяющих соотношениях динамики преднапряженной электроупругой среды, заимствованные из работ [53-55].

1.1. Определяющие соотношения динамики преднапряженных электроупругих сред

В настоящей работе рассматриваются динамические связанные задачи о возбуждении и распространении поверхностных акустических волн в неоднородной полуограниченной пьезоактивной среде. Неоднородность полупространства может быть обусловлена различными факторами -структурная неоднородность (например, на поверхности полупространства находится пакет слоев, выполненных из различных материалов), изменение свойств приповерхностного слоя изначально однородного полупространства за счет воздействия начальных напряжений и т.п. В связи с этим будем различать следующие конфигурации среды: естественное ненапряженное состояние, начальное деформированное состояние (НДС), возмущенное (актуальное) состояние. Общее перемещение точки среды представляется в виде:

и' = И] + и, (1.1.1)

где и' - полные перемещения точек среды в актуальной конфигурации, и, -перемещения, соответствующие начальному деформированному состоянию, и - малые возмущения.

При рассмотрении малых относительно начальных деформаций возмущений (и «и,) для описания динамики среды используются линеаризованные уравнения движения упругой среды [55]:

д2и

= (1.1.2)

а г

где 0 - тензор напряжений, р - плотность среды.

Электрическое поле в случае достаточно низких частот, характерных для рассматриваемого в настоящей работе акустического диапазона, определяется линеаризованным уравнением Максвелла в квазистатическом приближении [55]:

= (1.1.3)

здесь Б - вектор электрической индукции.

При изучении вопроса о распространении поверхностных сдвиговых волн в однородном полупространстве необходимо учитывать потенциал внешней среды. Считая диэлектрическую проницаемость воздуха примерно равной диэлектрической проницаемости вакуума, будем использовать уравнение Лапласа для потенциала в виде:

А(р = 0. (1.1.4)

Далее введем в рассмотрение систему координат Лагранжа х1,х2,х3, связанную с естественным состоянием среды, ось х3 направлена вдоль главной оси кристалла. Выражения для компонент линеаризованных тензора 0 и вектора Б в этом случае имеют вид [55]:

.,* дик * дер

lk+eijk!h, (УЛI С/А ^>

= (1-1-5)

где С*к1, ецк и б* - соответственно упругие, пьезоэлектрические и

диэлектрические модули среды, зависящие как от параметров материала, так и от вида и величины начальных деформаций. Их конкретный вид для рассматриваемых в работе материалов и различных типов НДС будет приведен ниже в п. 1.3.

Для унификации математических выражений в качестве материала среды будем рассматривать кристаллы класса 2шш, в рамках которого можно описать как широко распространенные пьезоэлектрики более высокого класса симметрии 4тш и бтт, так и пьезокерамику.

При записи выражений в компонентной форме используется матричная система обозначений Фойгта:

Сум—* Сар, вук-.

(1.1.7)

где пара индексов заменяется одним по следующим правилам: 11 —> 1, 22-» 2, 33 -»3, 23,32-> 4, 13,31-» 5, 12,21 -»6. Частные производные по координатам обозначаются формулами:

ди; д(р

Щ , =-(р , = —.

В принятых обозначениях матрица коэффициентов для материала класса 2шш будет иметь вид:

(1.1.8)

(1.1.9)

"и и22 из,з М2,3 "1,3 Щ,2 <Р,2 <Р, 3

0, С12 С13 0 0 0 0 0 е31

02 сп С11 С2Ъ 0 0 0 0 0 е32

©3 С13 С23 С33 0 0 0 0 0 еъъ

©4 0 0 0 С44 0 0 0 е24 0

05 0 0 0 0 С55 0 е15 0 0

©6 0 0 0 0 0 с66 0 0 0

А 0 0 0 0 е\5 0 0 0

А 0 0 0 е24 0 0 0 - е12 0

.А е31 е32 ^33 0 0 0 0 0 ~ 8ъъ

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Лыжов, Вячеслав Александрович, 2013 год

Список литературы

1. Акустические кристаллы. Под ред. Шаскольской М.П. М.: Наука. 1982. 632 с.

2. Бабешко В.А. Обобщенный метод факторизации в пространственных динамических смешанных задачах теории упругости. М.: Наука, 1984, -256 с.

3. Бабешко В.А., Бабешко О.М. К исследованию связанных краевых задач механики сплошных сред и математической физики // ДАН. 2005. Т.400. №2. С.192-196.

4. Бабешко В.А., Бабешко О.М. Метод факторизации в краевых задачах в неограниченных областях // ДАН. 2003. Т.392. №6. С. 1-4.

5. Бабешко В.А., Белянкова Т.П., Калинчук В.В. Метод фиктивного поглощения в задачах теории упругости для неоднородного полупространства // ПММ, 2002, Т.66, Вып.2, С. 276 - 284.

6. Бабешко В.А., Белянкова Т.Н., Калинчук В.В. О решении одного класса смешанных задач для слоистого полупространства // ДАН, 2001, Т.380, №5 С.619-622.

7. Бабешко В.А., Ворович И.И., Образцов И.Ф. Явление высокочастотного резонанса в полуограниченных телах с неоднородностями.//МТТ, 1990, N 3, С.74-83.

8. Бабешко В.А., Глушков Е.В., Зинченко Ж.Ф. Динамика неоднородных линейно-упругих сред. М.: Наука, 1989. - 343 с.

9. Бабешко В.А., Калинчук В.В. Метод фиктивного поглощения в связанных смешанных задачах теории упругости и математической физики для слоисто-неоднородного полупространства // ПММ, 2002, Т.66, Вып.2, С. 285 - 292.

10. Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Метод фиктивного поглощения в плоских динамических задачах.//ПММ, 1980, Т.44, Вып.З, С. 477-484.

11. Бабешко В.А., Пряхина О.Д., Смирнова A.B. Динамические задачи для сред с: нарушением сплошности // Прикладная механика и техническая физика. 2004. №2. С. 3-15.

12. Бабешко В.А., Сыромятников П.В. К проблеме исследования локализации волновых процессов в электроупругих средах // Докл. РАН, 1995, 345, № 1 С. 50-53.

13. Бабешко В.А., Сыромятников П.В. Метод построения символа Фурье матрицы Грина многослойного электроупругого полупространства // Известия РАН. МТТ. 2002. № 5. С. 35.

14. Бабич С.Ю. О динамических контактных задачах для полуплоскости с начальными напряжениями. // Прикл. механика, 1982, 18, N 2, С.68-73.

15. Белоконь A.B., Ворович И.И. Начально-краевые задачи динамической теории электроупругости // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки.- 1982. № 2. С.29-32.

16. Белоконь A.B., Наседкин A.B. О некоторых свойствах собственных частот электроупругих тел ограниченных размеров // ПММ. 1996. Т. 60. № 1. С. 151-158.

17. Белый В.Н., Севрук Б.Б. Влияние постоянного электрического поля на свойства волн Лэмба в центросимметричных материалах с высокой диэлектрческой проницаемостью //Докл.АН БССР, 1984, т.28, №4, С.332-335.

18. Белянкова Т.И., Зайцева И.А., Калинчук В.В., Пузанов Ю.Е. Динамика пьезоактивной структурно неоднородной среды.// Изв. Вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. Науки. 2001. Спецвыпуск, С. 33-35.

19. Белянкова Т.И., Калинчук В.В. О взаимодействии осциллирующего штампа с предварительно напряженным полупространством. ПММ, 1993. Т.57. Вып.4, С. 123-134.

20. Белянкова Т.И., Калинчук В.В. О сдвиговых колебаниях штампа на поверхности предварительно напряженного полупространства.// ПММ. 1992, Т.56. Вып.2, С.313-320.

21. Белянкова Т.И., Калинчук В.В., Лыжов В. А. Роль размерных параметров в формировании волновых полей в неоднородных пьезоактивных структурах // Вестник ЮНЦ РАН. 2011, Т.7, № 3, С.З-12.

22. Белянкова Т.И., Калинчук В.В., Лыжов В.А. Связанная смешанная задача для системы электродов на поверхности преднапряженного электроупругого структурно неоднородного полупространства // ПММ. 2010. Т. 74.Вып. 6. С. 897-910

23. Белянкова Т.И., Лыжов В.А. Моделирование преднапряженных функционально градиентных материалов и покрытий // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (5), с. 2019-2021

24. Белянкова Т.И., Лыжов В.А. Некоторые особенности динамики слабо неоднородных пьезоактивных структур // Вестник ЮНЦ РАН. 2010. Т.6. № 2. С. 3-10.

25. Белянкова Т.Н., Лыжов В.А. Об учете констант III порядка в задачах динамики электроупругих тел // Труды XI международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды». Ростов-на-Дону, 26-29 ноября 2007 г. Ростов-на-Дону: Издательство ООО «ЦВВР», 2008. Т. 2. С. 27-31.

26. Белянкова Т.И., Лыжов В.А., Калинчук В.В. Волны на поверхности пьезоактивного полупространства в условиях неоднородного начального напряженного состояния // Труды X международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды». Ростов-на-Дону, 5-9 декабря 2006 г. Ростов-на-Дону: Издательство ООО «ЦВВР», 2007. Т. 2. С. 59-63.

27. Березин Н.С., Пряхина О.Д., Смирнова A.B. Антиплоская динамическая задача электроупругости для двухслойной среды, ослабленной трещиной // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2009. №2. С. 11-17.

28. Бирюков C.B., Гуляев Ю.В., Крылов В.В., Плесский В.П. Поверхностные акустические волны в неоднородных средах. М.: Наука , 1991,416 с.

29. Боев С.И., Сумбатян М.А. Динамическая контактная задача для упругой полуплоскости при высоких частотах колебания.//ПММ, 1985, Т.49, Вып.6, С.1039-1043.

30. Бреховских JIM. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973, - 344с.

31. Ватульян А.О. О граничных интегральных уравнениях первого рода в динамических задачах анизотропной теории упругости //ДАН. 1993. Т. 333. №3. С. 312-314.

32. Ватульян А.О., Кубликов B.J1. О граничных интегральных уравнениях в электроупругости //ПММ. 1989. Т. 53. № 6. С. 1037-1044.

33. Викторов И.А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. М.: Наука, 1981,-287 с.

34. Ворович И.И., Бабешко В.А. Динамические смешанные задачи теории упругости для неклассических областей. М: Наука, 1979, - 320 с.

35. Ворович И.И., Бабешко В.А., Пряхина О.Д. Динамика массивных тел и резонансные явления в деформируемых средах. М.:Научный мир, 1999, 246 с.

36. Ворович И.И., Зайцева H.A., Калинчук В.В. Некоторые резонансные свойства электроупругой полосы // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки. 1999. №4, С. 109-110.

37. Гетман И.П., Устинов Ю.А. Математическая теория нерегулярных твердых волноводов.- Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1993. - 144 с.

38. Глушков Е.В., Глушкова Н.В., Кривонос A.C. Возбуждение и

распространение упругих волн в многослойных анизотропных композитах // ПММ. 2010. Т. 74. № 3. С. 419-432.

39. Глушков Е.В., Кириллова Е.В. Динамическая смешанная задача для пакета упругих слоев // ПММ. 1998. Т.62. Вып.З. С.455-461.

40. Гольдштейн Р.В., Кузнецов С.В. Поверхностные акустические волны в диагностике слоистых сред. Чувствительность волн к вариации свойств отдельных слоев // ПММ. 2013. Т. 77. № 1. С. 74-82.

41. Горшков А.Г., Медведский A.JL, Рабинский JI.H., Тарлаковский Д.В. Волны в сплошных средах. М. Физматлит, 2004, 472 с.

42. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Динамические контактные задачи для абсолютно жестких тел и упругого полупространства. Препринт М.: Изд-во МАИ. 1989. - 41 с.

43. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Динамические контактные задачи с подвижными границами. М.: Наука, 1995, - 352 с.

44. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. Киев: Наук, думка, 1981, - 283 с.

45. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф, Шульга H.A. Механика связанных полей в элементах конструкций. Т.5. Электроупругость. Киев: Наукова Думка, 1989.-279 с.

46. Гузь А.Н. Упругие волны в телах с начальными напряжениями. Киев: Наук, думка, 1986, Т. 1, - 376 е., Т.2, - 536 с.

47. Джоши С.Г. Электрическое регулирование времени задержки в линиях задержки на ПАВ в кристалле LiNbCb // ТИИЭР, 1982, т.70, вып.1, С.112-113.

48. Евдокимова О.В., Белянкова Т.И., Калинчук В.В. Уравнения динамики преднапряженной пьезоактивной среды при наличии внешнего электростатического поля // Вестник Южного научного центра РАН, 2007. Том.З. № 4. С. 19-25.

49. Зайцев Б.Д., Кузнецова И.Е. Влияние внешнего однородного

электрического поля на свойства ПАВ Рэлея в ниобате лития // Акуст. журнал, 1997, т.43, №1, С.116-118.

50. Зайцев Б.Д., Кузнецова И.Е., Мысенко М.Б., Поляков П.В. Влияние внешнего электрического поля на свойства ПАВ Гуляева-Блюстейна в ниобате лития и титанате стронция // Акуст. журнал, 1998, т.44, №6, С.848-850.

51. Игумнов Л.А., Пазин В.П., Петров А.Н. Напряжения в трехмерной электроупругой среде от сосредоточенного источника // Вестник Нижегородского ун-та им. Н.И. Лобачевского. 2010. № 5-1. С. 127-133.

52. Игумнов Л.А., Литвинчук С.Ю., Пазин В.П., Петров А.Н. Численно-аналитическое построение матриц Грина трехмерных теорий упругости и электроупругости // Вестник Нижегородского ун-та им. Н.И. Лобачевского. 2010. № 3-1. С. 134-140.

53. Калинчук В.В., Белянкова Т.И. Динамика поверхности неоднородных сред. М: Физматлит, 2009. 306 с.

54. Калинчук В.В., Белянкова Т.И. Динамические контактные задачи для предварительно напряженных сред. М. Физматлит. 2002. 237 с.

55. Калинчук В.В., Белянкова Т.И. Динамические контактные задачи для предварительно напряженных электроупругих тел. М. Физматлит. 2006. 272 с.

56. Калинчук В.В., Белянкова Т.И. К проблеме исследования динамических смешанных задач электроупругости и термоупругости для слоисто-неоднородного полупространства // Изв. Вузов, Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. 2000, №3, С.74 - 76.

57. Калинчук В.В., Белянкова Т.И., Евдокимова О.В. Определяющие соотношения динамики преднапряженной пьезоактивной среды в отсутствие внешних электрических полей Вестник Южного научного центра РАН, 2006. Т.2. № 1. С. 16-23.

58. Калинчук В.В., Калашьян Е.В. Об одном приближенном методе

исследования многоэлектродных структур // Изв. Вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки, 1998, № 1. С. 27-31..

59. Качко Д.Л., Пряхина О.Д., Смирнова A.B. Пьезоактивные волны сдвига в двуслойных электропроводящих средах // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2009. № 1.С. 39-45.

60. Козлов A.C., Колосовский Е.А., Тазиев P.M. Срезы повышенной чувствительности к внешнему давлению для поверхностных акустических волн в а-кварце // Акустический журнал, 1999, т. 45, №2, с.242-249.

61. Космодамианский A.C., Сторожев В.И. Динамические задачи теории упругости для анизотропных сред. Киев: Наукова Думка. 1985. - 175 с.

62. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М: Наука, 1980, 512 с.

63. Лыжов В. А., Тукодова О. М., Ворович Е. И., Агаян К.Л. Эффективный приближенный метод построения связанных полей многоэлектродных структур // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XVI международной конференции, г. Ростов-на-Дону, 16-19 октября 2012 г. Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2012. Т. 2. С. 129-133

64. Лыжов В.А. Динамические свойства наноразмерных сегнетоэлектрических пленок // Труды VII Всероссийской (с международным участием) конференции по механике деформируемого твердого тела (г. Ростов-на-Дону, 15-18 октября 2013 г.). Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2013. Т. 2. С. 76-80.

65. Лыжов В.А. Особенности взаимодействия системы электродов с преднапряженной электроупругой средой // VI научная конференция студентов и аспирантов базовых кафедр ЮНЦ РАН: тезисы докладов, Ростов-на-Дону, 19-30 апреля 2010 г. Ростов-на-Дону: Издательство ЮНЦ РАН, 2010. С. 389.

66. Лыжов В.А. Эффективный приближенный метод исследования

многоэлектродных структур // Тезисы докладов международной конференции «Современные проблемы механики», посвященной 100-летию JI.A. Галина. Москва, 2012 г. С. 51-52.

67. Лыжов В.А., Тукодова О.М., Ворович Е.И. Взаимодействие многоэлектродных структур с пьезоактивными средами // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XIII международной конференции, г. Ростов-на-Дону, 13-15 октября 2009 г. Ростов-на-Дону: Издательство ООО «ЦВВР», 2009. Т. 2. С. 138-142.

68. Лыжов В.А., Тукодова О.М., Ворович Е.И. Взаимодействие многоэлектродных структур с предварительно напряженными электроупругими средами // Современные проблемы механики сплошной среды. Труды XIV международной конференции, Азов, 1924 июня 2010 г. Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2010. Т. 1. С. 211-214

69. Можен Ж. Механика электромагнитных сплошных сред. М.: Мир, 1991,560 с.

70. Наламвар А.Л., Эпштейн М. Деформационные эффекты в устройствах на поверхностных акустических волнах // ТИИЭР, т.64, №5, 1976, С. 48 -51.

71. Новацкий В. Электромагнитные эффекты в твердых телах. М.: Мир. 1986.-160 с.

72. Партон В.З., Кудрявцев Б.А. Электромагнитоупругость пьезоэлектрических и электропроводных тел. М.: Наука. 1988. 472 с.

73. Петрашень Г.И. Распространение волн в анизотропных упругих средах. - Л.: Наука, 1980. - 280 с.

74. Пряхина О.Д., Смирнова A.B. Динамические задачи для составных пьезоэлектриков с системой электродов // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2009. №1. С. 59-65.

75. Пряхина О.Д., Смирнова A.B., Тукодова О.М. Метод фиктивного поглощения в динамических задачах электроупругости. //ПММ, 1998, Т. 62, Вып. 5, С.834-839.

76. Суворова Т.В., Беляк O.A., Усошин С.А. Волновое поле, генерируемое в слоистом пористоупругом полупространстве движущейся осциллирующей нагрузкой // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2008. № 1. С. 53-61.

77. Улитко А.Ф. Метод собственных векторных функций в пространственных задачах теории упругости. Киев: Наук, думка, 1979, -261 с.

78. Фарнелл Дж. Свойства упругих поверхностных волн. В кн.¡Физическая акустика. Под ред. Мэзона У. М.: Мир. 1973. Т. 6. С.139 - 202.

79. Физическая акустика. Под ред. Мэзона У. М.: Мир. 1966. Т.1. Ч.А. -592 с.

80. Широков В.Б., Калинчук В.В., Юзюк Ю.И., Леманов В.В., Белянкова Т.Н. К построению феноменологической теории тонких сегнетоэлектрических пленок // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2010. № 4. С. 68-74.

81. Широков В.Б., Юзюк Ю.И., Калинчук В.В., Леманов В.В. Материальные константы твердых растворов (Ba,Sr)Ti03 // ФТТ. 2013. Т.55. Вып.4. С.709-714.

82. Шульга H.A., Болкисев A.M. Колебания пьезоэлектрических тел. Киев: Наукова Думка. 1990. - 228 с.

83. Aleksandrov K.S., Sorokin В.Р., Turchin P.P., Burkov S.I., Gluchkov D.A., Karpovich A.A. Effects of static electric field and of mechanical pressure on surface acoustical waves propagation in La3Ga5Sioi4 piezoelectric single crystals // IEE Ultrason. Symp., Seattle, Wash., Nov. 7-10, 1995, Proc.-Piscataway (N.J.), 1995, p. 409-412.

84. Babeshko V.A., Pryakhina O.D., Smirnova A.V. Dynamic problems for discontinuous media // International Applied Mechanics. 2004. T. 40. № 3. C. 241-245.

85. Bach F., Askegaard V. General stress-velocity expression in acoustoelasticity. //Exp. Mech., 1979, 19, N 2, p. 69-75.

86. Baumhauer J.C., Tiersten H.F. Nonlinear electroelastic equations for small fields superposed on bias // J. Acoust. Soc. Amer., 1972, 54, N 4, p. 10171034.

87. Brugger K. Thermodynamic definition of higher order elastic coefficients // Phys. Rew., 1964, 133, N 6A, p. A1611-A1612.

88. Chai J.F., Wu T.T. Propagation of surface waves in a prestressed piezoelectric material // J. Acoust. Soc. Amer., 1996, 100, N 4, Pt. 1, p. 2112-2122.

89. Chen W.Q. On piezoelastic contact problem for a smooth punch // International Journal of Solids and Structures 37, 2000, p. 2331-2340.

90. Cho Y., Yamanouchi K. Nonlinear, elastic, piezoelectric, electrostrictive and dielectric constants of litium niobate // J.Appl. Phys., 1987, 61, N 3, p. 875-887.

91. Collet B., Destrade M., Maugin G.. Bleustein-Gulyaev waves in some functionally graded materials. // European Journal of Mechanics A/Solids 25 (2006) p. 695-706.

92. Dawber M., Rabe K. M., and Scott J. F. Physics of thin-film ferroelectric oxides. Reviews of modern physics, V.77, Issue 4, 2005, Page 1083.

93. Du J., Jin X., Wang J. and Xian K. Love wave propagation in functionally graded piezoelectric material layer // Journ. Sol. & Struct., 2006

94. Fine A.D., Shield R.T. Second-order effects in the propagation of elastic waves.//Int. J. Solids and Struct. 1966, 2, 4, P. 606-620.

95. Gafka D. Influence of a biasing stress on the SAW velocity on piezoelectric substrate // Arch. Acoust., 1991, 16, N1, p. 79-90.

96. Hao T.H., Gong X., Suo Z. Fracture mechanics for the design of ceramic multilayer actuators // Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 4, Iss. 1, January 1996, Pages 23-48.

97. Jiang Q., Gao C.-F., Kuang Z.-B.. Electroelastic stress in an electrostrictive material with charged surface electrodes // International Journal of Engineering Science, V.48, Issue 12, December 2010, Pages 2066-2080.

98. Jin F., Wang Z., Wang T. The Bleustein-Gulyaev (B-G) wave in a piezoelectric layered half-space. // International Journal of Engineering Science 39, 2001, p. 1271-1285.

99. Jin J., Wang Q., Quek S.T. Lamb wave propagation in a metallic semiinfinite medium covered with piezoelectric layer // Intern. Journ. of Solids and Structures, 2002, 39, p.p. 2547-2556.

100. Kuang Z.-B., Zhou Z.-D., Zhou K.-L. Electroelastic analysis of a piezoelectric half-plane with finite surface electrodes // International Journal of Engineering Science, V.42, Issues 15-16, September 2004, Pages 16031619.

101. Li X.-F., Lee K.Y. Effects of electric field on crack growth for a penny-shaped dielectric crack in a piezoelectric layer // Journal of the Mechanics and Physics of Solids, V.52, Issue 9, September 2004, Pages 2079-2100.

102. Liu H., Kuang Z.B. and Cai Z.M. Propagation of Bleustein-Gulyaev waves in a prestressed layered piezoelectric structure. // Ultrasonics. V. 41(5), 2003, p. 397-405.

103. Liu H., Wang Z.K., Wang T.I. Effect of initial stress on the propagation behavior of Love waves in a layered piezoelectric structure // Intern. Journ. of Solids and Structures, 2001, 38, p.p. 37-51.

104. Ljamov V.E. Nonlinear acoustical parameters of piezoelectric crystals // J. Acoust. Soc. Amer., 1972, 52, N 1, Pt. 2, p. 200-202.

105. McMahon D.H. Acoustic second-harmonic generation in piezoelectric crystals // J. Acoust. Soc. Amer., 1968, 44, N 4, p. 1007-1013.

106. Mukhortov V. M., Golovkov Y. I., Tolmachev G. N., Klevtzov A. N.. The synthesis mechanism of complex oxide films formed in dense RF — plasma by reactive sputtering of stoichiometric targets // Ferroelectrics, V.247, Issue 1,2000, Pages 75-83.

107. Nagarajan V., Jia C. L., Kohlstedt H., Waser R., Misirlioglu I. B., Alpay, S. P., Ramesh R. Misfit dislocations in nanoscale ferroelectric heterostructures // Applied Physics Letters, V.86, Issue 19, 2005.

108. Narita F., Shindo Y., Mikami M. Electroelastic field concentrations and polarization switching induced by circular electrode at the interface of piezoelectric disk composites // European Journal of Mechanics - A/Solids, Volume 26, Issue 3, May-June 2007, Pages 394-404.

109. Ru C.Q.. Exact solution for finite electrode layers embedded at the interface of two piezoelectric half-planes // Journal of the Mechanics and Physics of Solids, V.48, Issue 4, April 2000, Pages 693-708.

110. Scott J.F. A comparison of Ag- and proton-conducting ferroelectrics // Solid State Ionics, V.125, Issues 1-4, October 1999, Pages 141-146.

111. Shirokov V. B., Torgashev V. I., Bakirov A. A., Lemanov V. V. Concentration phase diagram of Ba_ {x} Sr_ {1- x} TiO_ {3} solid solutions // Physical Review B, V.73, Issue 10, 2006.

112. Shirokov V.B., Yuzyuk Yu.I., Dankhil B., Lemanov V.V. Phenomenological theory of phase transitions in epitaxial Ba_ {x} Sr_ {1-x} TiO_ {3} thin films // Physical Review B, V.79, Issue 14

113. Sinha B.K., Tanski W.J. Influenze of biasing stresses on the propagation of surface waves //J.Appl.Phys. 1985, v.57, N3, p.p.767-776

114. Tanimoto T., Yamamoto K., Morii T. Nonlinear stress-strain behavior of piezoelectric ceramics under tensile loading // ISAF 94, Proc. Ninth. IEEE Int. Symp. Applications Ferroelectricity, IEEE, 1994, N4, p. 394-397.

115. Tiersten H.F. Electroelastic interactions and the piezoelectric equations // J. Acoust. Soc. Amer., 1981, 70, N , p. 1567-1576.

116. Tiersten H.F. Electroelastic equations for electrode thin plates subject to large driving voltages // J. Appl. Phys., 1993, 74, N 5, p. 3389-3393.

117. Tito Frank A., Bufler John L., Rolf Kenneth D. Piezoelectric ceramic mechanical and electrical study // J. Acoust. Soc. Amer., 1994, 96, N 3, p. 1914-1917.

118. Thurston R.N., Brugger K. Third-order elastic constants and the velocity of small amplitude elastic waves in homogeneously stressed media // Phys. Rev., 1964, vol. 133, N 6A, p. A1604-A1610.

119. Wang B.B.L., Sun Y.G., Han J.C., Du S.Y. An interface electrode between two piezoelectric layers // Mechanics of Materials, V.41, Issue 1, January 2009, Pages 1-11.

120. Yasuhiko Nakagawa, Kazuhiko Yamanouchi, Kimio Shibayama Third-order elastic constants of litium niobate // J. App. Phys., 1973, 44, N 9, p. 39693974.

121. Ye R.Q., He L.H.. Electric field and stresses concentrations at the edge of parallel electrodes in piezoelectric ceramics // Intern. Journ. of Solids and Structures, V.38, Issues 38-39, September 2001, Pages 6941-6951.