Электроупругое равновесие анизотропных пьезоэлектрических элементов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Олейник, Людмила Николаевна

• Олейник, Людмила Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 1985

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Олейник, Людмила Николаевна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ЭЛЕКТРОУПРУГОЕ РАВНОВЕСИЕ АНИЗОТРОПНОЙ

ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПЛАСТИНЫ.

§ I. Постановка задали.

§ 2. Построение основного итерационного процесса

§ 3. Построение вспомогательного итерационного процесса.

ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ

АНИЗОТРОПНОЙ ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПЛАСТИНЫ

§ 4. Граничные условия на боковой поверхности пластины,

§ 5. Варьирование основного решения

§ 6. Варьирование вспомогательных решений.

ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕКТРОУПРУГОГО СОСТОЯНИЯ

ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ ПРИ ЗАГРУЖЕНИИ ПЛАСТИНЫ

§ 7. Электроупругое равновесие анизотропного пьезоэлектрического полуслоя

§ 8. Электроупругое равновесие анизотропной пьезоэлектрической полосы

ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОУПРУГОЕ РАВНОВЕСИЕ АНИЗОТРОПНОГО

ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО.

ТЕЛА.

§ 9. Постановка задачи. Построение системы линейных дифференциальных уравнений.

§ 10. Выражения для электроупругих характеристик цилиндрического тела. Граничные условия.

§ II. Представление комплексных потенциалов для многоевяэных областей.

§ 12. Электроупругое равновесие анизотропного пьезоэлектрического цилиндрического тела с эллиптической полостью

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Электроупругое равновесие анизотропных пьезоэлектрических элементов»

В последние годы в нашей стране и за рубежом получили значительное развитие исследования по механике сплошной среды, лежащие на стыке с физическими проблемами. Характерной особенностью этих исследований является учет связанности полей механических напряжений и деформаций с физическими полями другой природы - электрическими, магнитными, тепловыми.

К настоящему времени в механике сплошной среды сложился новый раздел, называющийся электроупругостью. Он основан на полученных результатах теории упругости, электростатики и электродинамики, кристаллографии и кристаллофизики. Одним из направлений электроупругости являются исследования электроупругих.процессов, происходящих в анизотропных пьезоэлектрических средах.

Пьезоэлектрический эффект был впервые обнаружен экспериментально братьями Пьером и Жаком Кюри в 1880 году [76 ] . Они установили, что при действии механических нагрузок на поверхность кристалла, в последнем появлялись электрические заряды. Позднее была подтверждена ими же обратная возможность - деформирование кристаллов под действием электрического поля. Первое из этих явлений получило название прямого, а второе - обратного пьезоэлектрического эффекта.

Экспериментально установлено, что пьезоэлектрический эффект является линейным эффектом, то есть компоненты вектора поляризации линейно связаны с компонентами тензоров механических напряжений и деформаций.

Пьезоэлектрическим эффектом, как это установлено экспериментально, могут обладать только кристаллы тех классов, у которых отсутствует центр симметрии. Поэтому пьезоэлектрические кристаллы существенно анизотропны [17, 52, 95, 108] .

Начало практическсщу использованию явления пьезоэлектрического аффекта было положено в период первой мировой войны, когда П.Ланжевен впервые применил пьезокварц для устройства подводных излучателей и приемников ультразвука.

Это явилось толчком для разнообразных применений пьезоэлектрических кристаллов в различных областях науки и техники, к изучению кристаллов, обладающих пьезоэлектрическим эффектом, к развитию теории пьезоэлектричества.

Развитие радиоэлектроники, измерительной и ультразвуковой техники, техники связи, электро- и гидроакустики основывается на использовании кристаллов-пьезоэлектриков.

Пьезоэлектрические кристаллы используются для получения и приема различного типа колебаний. Посредством ультразвука, возбуждаемого пьезоэлектрическими кристаллами, исследуются свойства жидкостей, газов и твердых тел. Пьезоэлементы используются в аппаратуре связи в пьезогенераторах, фильтрах, пьезорезонаторах. Различные приборы с пьезоэлементами работают в медицине, геологии, легкой промышленности и многих других областях науки и техники [18, 59, 92, 95, 100, 101] .

В конце 40-х - начале 50-х годов были открыты керамические пьезоматериалы. Благодаря целому ряду их свойств (высокая прочность, невосприимчивость к влажности, химическая неактивность) расширились возможности практического использования явления пьезоэлектрического эффекта.

Многочисленные области применения пьезоэлектрических материалов описаны в работе А.Ф.Улитко [по] .

Составными элементами многих технических устройств и приборов, использующих явление пьезоэлектрического эффекта, являются односвязные или многосвязные пластины из пьезоэлектрических кристаллов, находящиеся в равновесии под воздействием различных физических факторов. Для расчета таких пластин на прочность необходимо решать пространственную задачу их электроупругого равновесия.

В инженерной практике такие задачи, как правило, решаются по прикладным теориям, основанным на различных гипотезах, либо путем осреднения электроупругих характеристик пластины по ее толщине. Однако, такой подход не дает достаточно точной картины электроупругого состояния пластины.

В теории упругости начало развитию ряда методов решения пространственных задач было положено работой А.И.Лурье [89] . В этой работе был применен символический метод для исследования напряженного состояния толстой изотропной плиты.

В дальнейшем символический метод А.И.Лурье в сочетании с принципом минимума потенциальной энергии был развит в работах Ю.А.Груздева, В.К.Прокопова [41-43, 98 , 99] и др.

Успешное решение многих пространственных задач теории упругости стало возможным с появлением различных модификаций асимптотических методов. В асимптотических методах строится процесс замены решения трехмерной задачи теории упругости бесконечной последовательностью двумерных задач, решение которых сходится к решению исходной трехмерной задачи.

Асимптотический метод, предложенный А.Л.Гольденвейзером [37] и К.О.Фридрихеом ГП7] состоит в том, что для решения трехмерной задачи теории упругости при достаточно малой толщине пластины на каждом этапе асимптотики необходимо решать три двумерные задачи: бигармоническую задачу для области, занятой срединной плоскостью пластины; бигармоническую, а также гармоническую задачу для полуполосы.

В дальнейшем метод А,Л.Гольденвейзера получил развитие в работах А.В.Колос [бО, 61] и в совместной работе А.В.Колос и

A.Л.Гольденвейзера [38] .

Основываясь на результатах работ [37, 38], М. И.Гусейн-Заде рассмотрела ряд проблем о напряженном состоянии изотропной полосы и изотропного слоя [44 , 45 , 47 , 50 ] , исследовала проблему предельного перехода от трехмерных задач теории упругости к двумерным для многослойных пластин [46, 48 ] и рассмотрела динамическую задачу теории упругости для тонкой пластинки [49, 51] .

Метод А.Л.Гольденвейзера был применен Л.А.Агаловяном к решению пространственных задач о напряженном состоянии ортотропных пластин [2-4 ] .

Вариант асимптотического метода для изотропных пластин, опирающегося на однородные решения А.И.Лурье, был построен.И.И.Воро-вичем и его учениками О.К.Аксентян, И.Г.Кадомцевым, А.И.Косола-повым, О.С.Малкиной, Ю.А.Устиновым и др. в работах [б-Ю, 24-33, 114, Пб] .

Асимптотический метод И.И.Воровича для многосвязных пластин рассмотрен А.С.Космодамианским, В.Н.Ложкиным, Ю.В.Мысовским,

B.А.Шалдырваном [бЗ, 70, 71] .

Асимптотические методы во всех вариантах оказались эффективным средством при уточнении различных прикладных теорий.

Точные решения ряда важных задач пространственной теории упругости, полученные методом собственных векторных функций, приведены в монографии А.Ф.Улитко [П2 ] .

В работах И.И.Воровича [24-27] дан обзор работ и проведена систематизация проблем по пространственным задачам теории упругости.

Для пьезоэлектрических сред решение задач об их электроупругом равновесии осложняется связью электрических и механических полей и анизотропией материала, обладающего пьезоэлектрическим эффектом.

Описание электроупругих свойств пьезоэлектрических кристаллов, линейные уравнения состояния, полученные на основе различных термодинамических потенциалов, приведены в монографиях И.С.Желу-дева [52] , У.Мэзона [95] , Ю.И.Сиротина и М.П.Шаскольской [юв], а также в работе Д.Берлинкура, Д.Керрана и Г.Жаффе [17^ .

В статье И.А.Вековищевой [21] на основании обобщенного закона Гука и уравнений электростатики, а также исследований физической сущности явления пьезоэлектрического эффекта получена система двадцати двух уравнений относительно такого же количества неизвестных функций, характеризующих механическое и электрическое состояние твердого тела. В ней же приведены необходимые граничные условия. В предположении существования решения полученной системы автором доказана его единственность при любых граничных условиях.

В работе А.Ф.Улитко [по] показано, что термодинамические соотношения состояния поляризованной пьезокерамики могут быть полинеаризации последних в предположении, что напряженность внешнего электрического поля значительно меньше поля предварительной поляризации. Здесь же приведены различные варианты электрических граничных условий.

При решении плоских статических задач для пьезоэлектрических сред использованы различные упрощения общих уравнений электроупругости, основанные на учете электроупругих свойств их материала и вида различных физических воздействий. лучены из нелинейных уравнений электрострикции У.Мэзона

В работах И.А.Вековищевой [19, 22] рассмотрено электроупругое равновесие длинного однородного пьезоэлектрического стержня под действием плоской системы сил, а также равномерного по длине стержня распределения потенциала электрического поля.

Обобщенное плоское электроупругое состояние тонких пьезоэлектрических пластин исследовано И.А.Вековищевой [23 ] и А.С.Кос-модамианским и В.Н.Ложкиным [бб ] . В обоих случаях предполагалось, что пластина изготовлена из кристалла, имеющего плоскость материальной симметрии, параллельную срединной плоскости пластины.

И.А.Вековищевой рассматривалась сплошная пластина, а А.С.Космодамианеким и В.Н.Ложкиным - пластина, ослабленная эллиптическим отверстием. При решении поставленных задач авторы использовали аппарат теории функций комплексной переменной.

На основании метода, изложенного в работе [бб] , А.С.Космодамианеким, А.П.Кравченко и В.Н.Ложкиным \б4, 65"} изучено электроупругое состояние тонкой пьезоэлектрической полуплоскости с эллиптическим отверстием, свободным или подкрепленным ядром из другого пьезоэлектрика, находящейся под воздействием сосредоточенных электроупругих факторов.

В статье В.Н.Ложкина и Л.Н.Олейник [85] исследовано распределение напряжений в тонкой неограниченной пьезоэлектрической пластине с эллиптическим отверстием, свободным или жестко подкрепленным, под воздействием растягивающих или сдвиговых усилий и приведен пример, когда явлением пьезоэлектрического эффекта можно пренебречь.

Статическая задача электроупругости для пространства рассмотрена И.А.Вековищевой в статье [201 ,

Практически важным классом задач теории электроупругости являются задачи для пьезоэлектрических сред с трещинами или разрезами.

Вопросы механики разрушения пьезоэлектрических материалов при наличии прямолинейной туннельной, осесимметричной или диско-видной трещины, либо периодической системы трещин на границе пье-зоэлектрика и упругого изотропного проводника рассматривались в работах Б.А.Кудрявцева, В.З.Партона и В.И.Ракитина [73-75, 102]. При условии, что пьезоэлектрическая среда находится в условиях плоского деформированного состояния, авторы определили критическую нагрузку, связанную с развитием трещины.

Общая постановка электроупругих задач для пъезокерамических тел с трещинами осуществлена И.Б.Половинкиной и А.Ф.Улитко Ы. Анализируя электроупругое состояние вблизи дисковидной трещины, они показывают, что локальное деформирование тела вблизи трещины приводит к возникновению больших электрических полей.

Пьезоэлектрическая среда с туннельными разрезами рассмотрена Л.В.Белокопытовой и Л.А.Фильштинским [15] . Двумерная краевая задача сведена ими к системам решения сингулярных интегральных уравнений.

В работе Л.В.Белокопытовой, О.А.Иваненко и Л.А.Филыптинско-го [14] осуществлена постановка и получено решение задачи о сопряженных электрических и механических полях в пьезоупругих телах с разрезами или включениями; в качестве примера определены коэффициенты интенсивности напряжений для пластинки с трещиной вдоль дуги эллипса.

Трехмерная задача электроупругости рассмотрена Ф.Миндлином [ив] . Методом степенных рядов автор сводит ее к двумерной задаче. При этом двумерные соотношения электроупругости получены из основного вариационного уравнения, являющегося обобщением принципа Гамильтона.

Дли решения трехмерных задач электроупругости А.С.Космода-мианским и В.Н.Ложкиным в работах [67-69, 82, 83] применен асимптотический метод А.Л.Гольденвейзера.

В работе [б7] рассмотрено обобщенное плоское напряженное состояние предварительно поляризованной тонкой пластинки. При этом предполагалось, что материал пластинки обладает пьезоэлектрическими и электрострикционными свойствами, когда пластинка имеет плоскость материальной симметрии, параллельную своей срединной плоскости. Авторы провели асимптотический анализ трехмерного электроупругого состояния пластинки со свободными от физических воздействий плоскими гранями при отсутствии массовых сил и объемных электрических зарядов с учетом сил пондеромоторного взаимодействия.

В работе [б9 ] проведен асимптотический анализ электроупругого состояния тонкого пьезоэлектрического слоя, имеющего плоскость материальной симметрии, параллельную срединной плоскости слоя, с симметрично загруженными плоскими гранями. Построен основной итерационный процесс. Рассмотрена конечная пьезоэлектрическая пластинка со свободными от внешних физических воздействий плоскими гранями. Полученные результаты позволили авторам сделать выводы о погрешностях прикладных теорий.

В работе [68] рассмотрено электроупругое равновесие тонкого анизотропного пьезоэлектрического слоя, плоские грани которого не имеют электродного покрытия, когда на них заданы механические усилия. Построенный основной итерационный процесс позволил авторам оценить точность различных упрощений, сделанных при построении прикладных теорий. Установлено, в частности, что отсутствие у слоя плоскости материальной симметрии, параллельно его срединной плоскости, не оказывает влияния на построение начального шага итерационного процесса, а сказывается лишь при выводе последующих приближений. В случае несимметричного загружения пьезоэлектрического слоя или пластины, независимо от наличия у них плоскости материальной симметрии, гипотеза о линейности электростатического поля не имеет места даже в нулевом приближении.

Асимптотический анализ электроупругого равновесия тонкого пьезоэлектрического полуслоя, имеющего плоскость материальной симметрии, параллельную его срединной плоскости, проведен В.Н.Ложкиным в работах [82, 83 ] .

В работах 03-107 ] асимптотический метод А.Л.Гольденвейзера был применен Н.Н.Рогачевой для сведения трехмерных уравнений термо- и электроупругости к двумерным уравнениям пьезокерамиче-ских оболочек. Автором рассмотрены различные направления предварительной поляризации и различные условия механического и электрического нагружения и сделаны выводы о погрешностях прикладных теорий.

Осесимметричная задача об изгибе круглой поликристаллической плиты, находящейся в равновесии под действием локальной нагрузки, равномерно распределенной по окружности,рассмотрена в статье В.Е.Жирова и Ю.А.Устинова Ы . Авторы приняли, что материал плиты поляризован по толщине, торцы ее электродированы и коротко замкнуты, а на боковой поверхности равна нулю нормальная составляющая вектора электростатической индукции. Использовав представление решения трехмерных уравнений электроупругости в виде рядов по функциям Бесселя, они точно удовлетворили граничным условиям на торцах плиты и приближенно - на ее боковой поверхности.

Исследованию проблемы предельного перехода от трехмерных задач электроупругости к двумерным для плит из электроупругих материалов с переменными по толщине плиты свойствами посвящена работа Ю.А.Устинова [ИЗ ] . Использовав метод однородных решений, автор показал, что при отсутствии электроупругих воздействий на торцах плиты общее решение трехмерных задач электроупругости может быть представлено в виде суммы бигармонического, вихревого и потенциального решений, причем два последних так же, как и в теории упругости, имеют характер пограничного слоя. Рассматривая возможность получения из бигармонического решения прикладных теорий для неоднородных электроупругих плит, автор отмечает, что эти теории зависят от характера электрических воздействий на торцах плиты.

Зависимость бигармонического решения от вида граничных условий для однородных плит исследована В.Б .Жировым и Ю.А.Устиновым [55] . .

В статье В.Е.Жирова [53] методом однородных решений рассмотрено электроупругое равновесие однородной пьезокерамической плиты.

Электроупругое состояние поперечно-неоднородных электроупругих плит исследовано в работах И.П.Гетмана, Ю.А.Устинова, В.С.Щутько [36] и И.П.Гетмана и Ю.А.Устинова ^35] . При этом в работе [зб] построены однородные, а в работе [Зб] - неоднородные решения.

Вопросы прогнозирования электромеханических свойств неоднородных пьезоэлектриков рассмотрели в статье [Пб] Л.П.Хорощун и Б. П.Маелов.

В связи с практическим использованием пьезоэлектрических материалов в качестве электромеханических преобразователей большой практический интерес представляют вопросы исследования динамических процессов в пьезоэлементах. Эти задачи были рассмотрены в работах В.Т.Гринченко, В.Н.Ложкина, А.Ф.Улитко, Ю.А.Устинова и др. [ll-13, 39, 40, 56, 57, 84, 90, 91, IIÜ . Общая постановка задачи о колебаниях пьезокерамических тел дана в работе А.Ф.Улит-ко [НО] .

Многочисленные методы решения статических и динамических задач теории электроупругости и результаты исследований многих авторов приведены в обзорной работе Б.А.Кудрявцева ы.

В данной диссертации исследовано электроупругое состояние анизотропных пьезоэлектрических элементов в виде тонкой пластины со свободными от электромеханических воздействий плоскими гранями и однородного цилиндрического тела, находящегося в равновесии под воздействием внешней системы сил или электрического поля, не изменяющихся по длине тела.

Так же, как и в работах А.С.Космодамианского и В.Н.Ложкина [67-69] , задача об электроупругом равновесии анизотропной пьезоэлектрической пластины решена методом асимптотического интегрирования трехмерных уравнений электроупругости.

Решение задачи об электроупругом состоянии однородного пьезоэлектрического тела произвольной анизотропии получено путем использования аппарата теории функций комплексных переменных.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Олейник, Людмила Николаевна

Основные результаты, полученные в диссертации, сводятся к следующему:

1. Метод асимптотического интегрирования трехмерных уравнений теории упругости, предложенный А.Л.Гольденвейзером, обобщен на анизотропные пьезоэлектрические среды.

2. Исследовано электроупругое равновесие тонкой анизотропной пьезоэлектрической пластины со свободными от внешних физических воздействий плоскими гранями. Электроупругое состояние пластины представлено в виде суммы медленно затухающего при удалении от нагруженной боковой поверхности пластины электроупругого состояния, которое строится при помощи основного итерационного процесса, и быстро затухающих электроупругих состояний, которые строятся при помощи вспомогательных итерационных процессов.

3. Приведено первое приближение основного итерационного процесса для общего случая анизотропии пьезоэлектрической среды. Электроупругие характеристики основного итерационного процесса выражены через пять функций обобщенных комплексных переменных.

4. Построены начальные приближения двух вспомогательных итерационных процессов для пластины с прямолинейной границей, изготовленной из кристалла моноклинной системы. Для функций, входящих в выражения для электроупругих характеристик вспомогательных итерационных процессов, получены две бесконечные системы линейных алгебраических уравнений, матрицы которых не зависят от вида электроупругих воздействий на боковой поверхности пластины.

5. При помощи вариационного принципа Лагранжа, обобщенного на пьезоэлектрические среды, удовлетворены граничные условия на боковой поверхности пластины с прямолинейной границей, изготовленной из кристалла моноклинной системы.

6. Рассмотрено электроупругое равновесие анизотропного пьезоэлектрического полуслоя и анизотропной пьезоэлектрической полосы, изготовленных из кристалла моноклинной системы. Проведены численные расчеты для некоторых кристаллов, позволившие установить пределы применимости прикладных теорий для рассмотренных в диссертации граничных условий.

7. Проведено исследование электроупругого равновесия однородного пьезоэлектрического тела, обладающего произвольной анизотропией, находящегося под воздействием плоской системы сил или равномерно распределенного по длине тела электрического поля. Электроупругие характеристики тела выражены через четыре функции обобщенных комплексных переменных, для которых сформулированы граничные условия при различных механических и электрических воздействиях. Получены выражения для функций обобщенных комплексных переменных в случае многосвязных областей.

8. Изучено электроупругое равновесие однородного пьезоэлектрического тела с эллиптической полостью, обладающего произвольной анизотропией. Рассмотрены случаи воздействия на это тело растягивающих и сдвиговых усилий, а также равномерного внутреннего давления. Численные результаты, полученные для тела, изготовленного из кристалла сульфата лития, сравнены с соответствующими результатами, полученными методами классической теории упругости (без учета явления пьезоэлектрического эффекта).

На основании проведенных исследований установлено, что:

I. В первом приближении основного итерационного процесса задача распадается на симметричную и кососимметричную, которые можно решать независимо друг от друга. В последующих же приближениях эти две задачи связаны посредством вспомогательных итерационных процессов.

2. Первые два уравнения системы, описывающей первое приближение основного итерационного процесса, совпадают с уравнениями прикладной теории обобщенного плоского электроупругого состояния тонких пьезоэлектрических пластин, обладающих плоскостью материальной симметрии, полученными путем осреднения электроупругих характеристик пластины по ее толщине. Последнее уравнение системы совпадает с уравнением классической теории изгиба анизотропных пластин.

3. Вспомогательные итерационные процессы описывают электроупругое состояние пластины типа пограничного слоя.

4. Напряжения и электростатические смещения в пограничном слое затухают при проникновении вглубь пластины по экспоненциальному закону.

5. На боковой поверхности пластины и вблизи ее решения, полученные при использовании прикладных теорий, приводят к существенным погрешностям.

6. Толщина пограничного слоя зависит от вида физических воздействий на боковой поверхности пластины и от электроупругих постоянных ее материала. В силу большого разброса последних, исследовать затухание пограничного слоя удается только численно.

7. Для исследованных случаев загружения анизотропного пьезоэлектрического полуслоя и анизотропной пьезоэлектрической полосы, изготовленных из рассмотренных кристаллов моноклинной системы, электроупругое состояние типа пограничного слоя проникает вглубь пластины на расстояние, не превышающее двух ее толщин.

8. Для рассмотренных случаев загружения однородного пьезоэлектрического цилиндрического тела, изготовленного из кристалла моноклинной системы, разность между результатами, полученными с учетом пьезоэлектрического эффекта и без учета последнего, достигает восьми - десяти процентов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Олейник, Людмила Николаевна, 1985 год

1. Агаловян Л.А. Применение метода асимптотического интегрирования к построению приближенной теории анизотропных оболочек.-Прикл.мат. и мех., 1966, т.ЗО, № 2, с.388-398.

2. Агаловян Л,А. Об уравнениях изгиба анизотропных пластин.-В кн.: Тр.7-й Всес.конф.по теории оболочек и пластинок.-М.: Наука, 1970, сЛ7-21.

3. Агаловян Л.А. О погранслое пластинок,- Докл.АН АрмССР, 1972, т.55, № 3, с.149-155.

4. Агаловян Л.А. О погранслое ортотропных пластинок.-Изв. АН АрмССР. Механика, 1973, т.26, № 2, с.27-43.

5. Аксентян O.K. О концентрации напряжений в толстых плитах.-Прикл.мат.и мех., 1966, т.ЗО, № 5, с.963-970.

6. Аксентян O.K. Особенности напряженно-деформированного состояния плиты в окрестности ребра.- Прикл.мат.и мех., 1967, т.31, № I, с.178-186.

7. Аксентян O.K., Ворович И.И. Напряженное состояние плит малой толщины,- Прикл.мат. и мех., 1963, т.27, № 6,с.I057-1074.

8. Аксентян O.K., Ворович И.И. Об определении концентрации напряжений на основе прикладной теории.- Прикл.мат, и мех., 1964, т.28, №3, с.589-596.

9. Аксентян O.K., Косолалов А.И. Некоторые задачи концентрации напряжений в толстых плитах.- Изв.АН СССР. Мех.тв. тела, 1971, № 3, с.142-150.

10. Аксентян O.K., Устинов Ю.А. Построение уточненных прикладных теорий для плиты на основе уравнений теории упругости.» Прикл.мат.и мех., 1972, т.36, № 2, с,272-281.

11. Андрущенко В.А., Вовкодав И.Ф., Карлаш В.Л., Улитко А.Ф. Исследование коэффициента электромеханической связи в круглых пьезокерамических пластинах,- Прикл.мех., 1975, т.II, № 4, с.42-48.

12. Баженов В.М., Улитко А.Ф. Исследование динамического поведения пьезокерамического слоя при мгновенном электрическом нагружении.- Прикл.мех., 1975, т.II, № I, с.22-27.

13. Баженов В.М., Улитко А.Ф. Определение высвобождаемой электрической энергии при мгновенном разряде пьезокерамического слоя.- Прикл.мех., 1975, т.II, № 12, с.67-74.

14. Белокопытова Л.В., Иваненко О.А., Филыптинский Л.А. Сопряженные электрические и механические поля в пьезо-упругих телах с разрезами или включениями.- В сб.: Динамика и прочность машин, 1981, № 34, с.16-21.

15. Белокопытова Л.В., Филыптинский Л.А. Двумерная краевая задача электроупругости для пьезоэлектрической средыс разрезами.- Прикл.мат.и мех., 1979, т.43, № I, с.138-143.

16. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды.- М.: Наука, 1983.- 448 с.

17. Берлинкур Д., Керран Д., Жаффе Г. Пьезоэлектрическиеи пьезомагнитные материалы и их применение в преобразователях.- В кн.: Физическая акустика. T.I. Методы и приборы ультразвуковых исследований, Ч.А.- М.: Мир, 1966, с,204-326. . .

18. Бугуславская С.Н., Романенко Е.В., Холод Л.И. Использование пьезоэлектрического эффекта в акустических измерениях,- Акуст.ж., 1971, т.17, № 2, с.210-216.

19. Вековищева И.А. Плоская задача теории упругости анизотропного тела с учетом электрического эффекта.- Ж. прикл. мех.и техн.физ., 1970, № 2, с.96-103.

20. Вековищева И.А. Пространственная задача теории упругости анизотропного тела с учетом электрического эффекта.-Изв.АН АрмССР. Механика, 1970, т.23, № 4, с.33-43.

21. Вековищева И.А. Общие уравнения теории упругости анизотропного тела с учетом электрического эффекта.- Изв. вузов. Физика, 1970, № 10, с.87-92.

22. Вековищева И.А. Полиномиальные решения плоской задачи теории электроупругости.- Прикл.мех., 1973, т.9, № I, с.80-84.

23. Вековищева И.А. Плоская задача теории электроупругости для пьезоэлектрической пластинки.- Прикл.мех., 1975, т.II, № 2, с.85-89.

24. Ворович И,И, Некоторые математические вопросы теории пластин и оболочек.- В кн.: Тр.2 Всес.съезда по теор.и прикл.механике. Вып.З.- М.: Наука, 1966, с.116-136.

25. Ворович И.И. Общие проблемы теории пластин и оболочек.-В кн.: Тр.6 Всес.конф.по теории оболочек и пластинок.-М.: Наука, 1966, с.896-903.

26. Ворович И.И. Некоторые проблемы концентрации напряжений.-Концентрация напряжений, 1968, № 2, с.45-53.

27. Ворович И.И. Некоторые результаты и проблемы асимптотической теории пластин и оболочек.- В кн.: Материалы

28. Всес.школы по теории и числен.методам расчета, оболочек и пластин.- Тбилиси: Мецниереба, 1975, с.51-149.

29. Ворович И.И., Кадомцев И.Г. Качественное исследование налряженно-деформированного состояния трехслойной плиты.- Прикл.мат.и мех., 1970, т.34, № 5, с.870-876.

30. Ворович И.И., Кадомцев И.Г., Устинов Ю.А. К теории неоднородных по толщине плит.- Изв.АН СССР. Мех.тв. тела, 1975, № 3, с.119-130.

31. Ворович И.И., Кадомцев И.Г,, Устинов Ю.А. Некоторые общие свойства трехмерного напряженно-деформированного состояния трехслойной плиты симметричного строения.

32. В кн.: Теория оболочек и пластин.- Л.: Наука, 1975, с.36-37.

33. Ворович И.И., Малкина O.G. Асимптотический метод решения задачи теории упругости о толстой плите.- В кн.: Тр.6 Всес.конф.по теории оболочек и пластинок.- М.: Наука, 1966, с.251-254.

34. Ворович И.И., Малкина О.С. Напряженное состояние толстой плиты,- Прикл.мат.и мех., 1967, т.31, № 2, с.230-241.

35. Ворович И.И., Малкина О.С. 0 точности асимптотических разложений решения задачи теории упругости для толстой плиты.- Изв.АН СССР. Мех.тв.тела, 1967, № 5, с.92-102.,

36. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.- М.: Наука, 1967.- 575 с.

37. Гетман И.П., Устинов Ю.А. К теории неоднородных электроупругих плит.- Прикл.мат.и мех, 1979, т.43, № 5, с.923-932.

38. Гетман И.П., Устинов Ю.А., Шутько B.C. Однородные решения поперечно-неоднородных электроупругих плит.-В кн.: Расчет оболочек и пластин.- Ростов н/Д., 1978, с.195-205.

39. Гольденвейзер А.Л. Построение приближенной теории изгиба пластинки методом асимптотического интегрирования уравнений теории упругости.- Прикл.мат.и мех., 1962,т.26, № 4, с.668-686.

40. Гольденвейзер А.Л., Колос А.К. К построению двумерных уравнений теории упругости тонких пластинок.- Прикл. мат.и мех., 1965, т.29, № I, с.141-155.

41. Гринченко В.Т., Карлаш В.Л., Мелешко В .В., Улитко А.Ф. Исследование пленарных колебаний прямоугольных пьезоке-рамических пластин.- Прикл.мех., 1976, т.12, № 5, с.71-78.

42. Гринченко В.Т., Улитко А.Ф. 0 некоторых проблемах динамической электроупругости.- В кн.: 4 Всес.съезд по теор. и прикл.мех.: Аннот.докл.- Киев: Наукова думка, 1976,с.90.

43. Груздев Ю.А. Изгиб толстых плит произвольной нагрузкой.-Прикл.мат.и мех., 1977, т.41, № 5, с.909-914.

44. Груздев Ю.А., Прокопов В.К. Полимоментная.теория равновесия толстых плит.- Прикл.мат.и мех., 1968, т.32, № 2, с.345-352.

45. Груздев Ю.А., Прокопов В.К. К задаче изгиба толстой плиты.- Прикл.мех., 1970, т.6, № 5, с.3-9.

46. Гусейн-Заде М.И. Об условиях существования затухающих решений плоской задачи теории упругости для полуполосы.-Прикл.мат.и мех., 1965, т.29, № 2, с.393-399.

47. Гусейн-Заде М.И. 0 необходимых и достаточных условиях существования затухающих решений плоской задачи теории упругости для полуполосы.- Прикл.мат.и мех., 1965, т.29, № 4, с.752-760.

48. Гусейн-Заде М.И. Построение теории изгиба слоистых пластинок.- В кн.: Тр.6 Всес.конф.по теории оболочек и пластинок.- М.: Наука, 1966, с.333-343.

49. Гусейн-Заде М.И. 0 некоторых свойствах напряженного состояния тонкого упругого слоя.- Прикл.мат.и мех., 1967, т.31, № 6, с.1132-1140.

50. Гусейн-Заде М.И. Напряженное состояние погранслоя для слоистых пластинок,- В кн.: Тр.7 Всес.конф.по теории оболочек и пластинок.- М.: Наука, 1970, с.638-643.

51. ГУсейн-Заде M.И. Асимптотический анализ трехмерных динамических уравнений тонкой пластинки,- Прикл.мат. и мех., 1974, т.38, № 6, с.1072-1078.

52. Желудев И.С. Физика кристаллических диэлектриков.-М.: Наука, 1968.- 463 с.

53. Жиров В.Е. Электроупругое равновесие пьезокерамической плиты.-Прикл.мат.и мех., 1977, т.41, $ 6, с.1114-1121.

54. Жиров В.Е., Устинов Ю.А. Действие локальной нагрузки на плиту из поликристаллического пьезоматериала.- В кн.: Тр. 10 Всес.конф.по теории оболочек и пластин. T.I.- Тбилиси: Мецниереба, 1975, c.III-118.

55. Жиров В.Е., Устинов Ю.А. Некоторые задачи теории плитиз злектроупругого материала.- Тепловые напряж.в элементах конструкций. Респ.межвед.сб.- Киев: Наукова думка, 1977, № 17, с.62-67.

56. Карлаш В.Л. Исследование несимметричных колебаний поляризованных по толщине пьезокерамических колец.- Прикл. мех., 1978, т.14, № 12, с.88-94.

57. Карлаш В.Л., Клюшниченко В.Л., Крамаров Ю.А., Улитко А.Ф. Исследование радиальных колебаний тонких пьезокерамических дисков при неравномерном электрическом нагружении.-Прикл.мех., 1977, т.13, №8, с.56-62.

58. Кац I.C., Маергойз М.Д. Про один метод знаходження нуля анал1тично1 функцП.- Доп.АН УPCP, 1965, № 12, с.1563-1565.

59. Кикучи Е. Ультразвуковые преобразователи.-М.: Мир, 1972.

60. Колос A.B. Об уточнении классической теории изгиба круглых пластинок.- Прикл.мат.и мех., 1964, т.28, № 3, с.582-589.

61. Колос A.B. Методы уточнения классической теории изгиба и растяжения пластинок.- Прикл.мат.и мех., 1965, т.29, № 4, с.771-781.

62. Космодамианский A.C. Анизотропные многосвязные среды.-Донецк: Изд-во Донецк.ун-та, 1970.- 233 с.

63. Космодамианский A.G. Пространственные задачи теории упругости для многосвязных пластин:- Обзор.- Прикл.мех., 1983, т.19, № 12, с.3-21.

64. Космодамианский A.C., Кравченко А.П., Ложкин В.Н. Действие точечного электрического заряда на границе пьезоэлектрической полуплоскости, ослабленной эллиптическим отверстием.- Изв.АН АрмССР. Механика, 1977, т.30,1. I, с.13-20.

65. Космодамианский A.C., Кравченко А.П., Ложкин В.Н. Электроупругое состояние пьезоэлектрической полуплоскости с эллиптическим ядром.- Прикл.мех., 1978, т.14, № 10,с.75-81.

66. Космодамианский A.C., Ложкин В.Н, Обобщенное плоское напряженное состояние тонких пьезоэлектрических пластин.-Прикл.мех., 1975, т.II, №5, с.45-53,

67. Космодамианский A.C., Ложкин В.Н. Обобщенное плоское напряженное состояние тонких пьезоэлектрических пластин.-Прикл.мех., 1977, т.13, № 10, с.75-79.

68. Коемодамианский A.C., Ложкин В.Н. Электроупругое равновесие тонкого анизотропного слоя с учетом пьезоэлектрических эффектов.- Прикл.мат.и мех., 1978, т.42, № 4, с.731-736.

69. Космодамианский A.C., Ложкин В.Н. Асимптотический анализ электроупругого состояния тонкого пьезоэлектрического слоя.-Прикл.мех., 1978, т.14, № 5, с.3-8.

70. Космодамианский A.C., Ложкин В.Н., Мысовский Ю.В., Шалдырван В.А. Напряженное состояние пластинок с отверстиями в трехмерной постановке.- Донецк: Изд-во Донецк.ун-та, 1970.- 250 с.

71. Космодамианский A.C., Шалдырван В.А. Толстые многосвязные пластины.- Киев: Наукова думка, 1978.- 240 с.

72. Кудрявцев Б.А. Механика пьезоэлектрических материалов.-В кн.: Механика деформируемого твердого тела. ВИНИТИ. Итоги науки и техники.- М., 1978, т.II, с.5-65.

73. Кудрявцев Б.А., Партон В.З., Ракитин В.И. Механика разрушения пьезоэлектрических материалов. Прямолинейная туннельная трещина на границе с проводником.- Прикл.мат.и мех., 1975, т.39, № I, с.149-159.

74. Кудрявцев Б.А., Партон В.З., Ракитин В.И. Механика разрушения пьезоэлектрических материалов. Осесимметричная трещина на границе с проводником.- Прикл.мат.и мех., 1975, т.39, № 2, с.352-362.

75. Кудрявцев Б,А., Ракитин В.И. Периодическая система трещин на границе пьезоэлектрика и твердого проводника,-Изв.АН СССР. Мех.тв.тела, 1976, № 2, с.121-129.

76. Кюри Пьер. Избранные труды.- М.-Л.: Наука, 1966.- 399 с.

77. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред,-М.: Физматиздат, 1959.- 532 с.

78. Лехницкий С.Г, Некоторые случаи упругого равновесия однородного цилиндра с произвольной анизотропией.-Лрикл.мат.и мех., 1939, т.2, * 3, с.345-352.

79. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки.-М.: Гостехтеориздат, 1957.- 463 с,

80. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела.-М.: Наука, 1977,- 415 с.

81. Лидский В.Б., Садовничий В.А. Асимптотические формулы для одного класса целых функций.- Матем.сб., 1968,т.75(117), № 4, с.558-566.

82. Ложкин В.Н. Асимптотический анализ электроупругого равновесия тонкого пьезоэлектрического полуслоя.-Тепловые напряж. в элементах конструкций. Респ.межвед. сб.- Киев: Наукова думка, 1980, № 20, с.42-45.

83. Ложкин В.Н. Электроупругое равновесие тонкого кристаллического полуслоя с электродированными плоскими гранями.-Теор.и прикл.мех. Респ.межвед,сб.- Киев: Наукова думка, 1981, № 12, с.42-47.

84. Ложкин В.Н. Низкочастотные колебания пьезокристалличе-ских пластин.- Прикл.мех., 1981, т.17, № 7, с.89-94.

85. Ложкин В.Н., Олейник Л.Н. Нэдфяженное состояние тонкой пьезоэлектрической пластинки с эллиптическим отверстием,-Мех.тв.тела. Респ.межвед.сб.- Киев: Наукова думка,1976, № 8, с.127-130.

86. Ложкин В.Н., Олейник Л.Н. Упругое равновесие пьезоэлектрического цилиндрического тела с произвольной анизотропией.-Матем.физика. Респ.межвед.сб.: Киев: Наукова думка, 1978, № 24, с.98-104.

87. Ложкин В.Н., Олейник Л.Н. Некоторые случаи электроупругого равновесия однородного анизотропного пьезоэлектрического стержня с эллиптической полостью.- Мех.тв.тела. Респ. межвед.сб.- Киев: Наукова думка, 1978, № 10, сЛ13-П6.

88. Ложкин В.Н., Олейник Л.Н. Граничные эффекты в тонком пьезокристаллическом полуслое при общей материальной анизотропии.- Матем.физика и нелин.мех.: Респ.межвед.сб.-Киев: Наукова думка, 1984, № 2 (36), с.73-76.

89. Лурье А.И. К теории толстых плит.- Прикл.мат. и мех., 1942, т.6, № 2-3, с.151-168.

90. Мадорский В.В., Устинов Ю.А. Симметричные колебания пьезоэлектрических пластин.- Изв. АН АрмССР. Механика, 1976, т.29, № 5, с.51-58.

91. Мадорский В.В., Устинов Ю.А. Построение системы однородных решений и анализ корней дисперсионного уравнения антисимметричных колебаний пьезоэлектрической плиты.- Ж. Прикл. мех. и техн.физ., 1976, № 6, с.138-145.

92. Матаушек И. Ультразвуковая техника.- М.: Металлургиздат, 1962.- 511 с.

93. Михлин С.Г. Плоская деформация в анизотропной среде.-Тр. Сейсмолог.ин-та АН СССР, 1936, № 76, с.1-19.

94. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости.- М.: Наука, 1966.- 707 с.

95. Мэзон У. Пьезоэлектрические кристаллы и их применения в ультраакустике.- М.: Иностр.лит., 1952.- 447 с.

96. Олейник Л.Н. Асимптотический анализ электроупругого состояния тонкой анизотропной пьезоэлектрической полосы.-Изв.АН АрмССР. Механика, 1979, т.32, № 5, с.55-61,

97. Половинкина И.Б., Улитко А.Ф. К теории равновесия пьезокерамических тел с трещинами.- Тепловые напряж.в элементах конструкций. Респ.межвед.сб.- Киев: Наукова думка, 1978, № 18, с.10-17.

98. Прокопов В.К. Применение символического метода к выводу уравнений теории плит.- Прикл.мат.и мех., 1965, т.29,5, с.902-919.

99. Прокопов В.К. Обзор работ по однородным решениям теории упругости и их приложениям.- Тр.Ленингр.политехн.ин-та, 1967, т.279, с.31-46.

100. Пьезо- и сегнетоматериалы и их применение: Материалы семинара.- М.: Знание, 1972.- 146 с.

101. Пьезоэлектрический метод разведки: Метод.рекомендации.-Л.: ВИТР, 0НТИ, 1972.- 99 с.

102. Ракитин В.И. Дисковидная трещина на границе пьезоэлектрика и твердого тела.- Тр. Моск.ин-та хим.машиностр., 1974,т.56, с.14-22.

103. Рогачева H.H. Свободные термоупругие оболочки.-Прикл.мат.и мех., 1980, т.44, № 3, с.516-522.

104. Рогачева H.H. Соотношения электроупругости для свободных пьезокерамических оболочек.- Изв. АН CCGP. Мех.тв.тела, 1980, № 6, с.134-140.

105. Рогачева H.H. Уточненная теория пьезокерамических оболочек.- Изв. АН АрмССР, Механика, 1961, т.34, № I, с.55-64.

106. Рогачева H.H. Теория пьезокерамических оболочек.-В кн.: 5-й Всес.съезд по теор.и прикл.мех.: Аннот. докл.-Алма-Ата, 1981, с.ЗОЗ.

107. Рогачева H.H. Уравнения состояния пьезокерамических оболочек.- Прикл.мат.и мех., 1981, т.45, № 5, с.902-911.

108. Сиротин Ю.А., Шаскольская М.П. Основы кристаллофизики,-М.: Наука, 1979.- 640 с.

109. Тимошенко С.П., ГУдьер Дж. Теория упругости.-М.: Наука, 1975.- 576 с.

110. НО. Улитко А.Ф. К теории колебаний пьезокерамических тел.-Тепловые напряж.в элементах конструкций. Респ.межвед.сб.-Киев: Наукова думка, 1975, № 15, с.90-98.

111. Улитко А.Ф. К теории электромеханического преобразования энергии в неравномерно деформируемых пьезокерамических телах.- Прикл.мех., 1975, т.13, № 10, с.115-123.

112. Улитко А.Ф. Метод собственных векторных функций в пространственных задачах теории упругости.- Киев: Наукова .лумка, 1979,- 264 с.

113. Устинов Ю.А. 0 полноте системы однородных решений теории плит.- Прикл.мат.и мех., 1976, т.40, № 3, с.536-543.

114. Устинов Ю.А., Юдович В.И. 0 полноте системы элементарных решений бигармонического уравнения в полуполосе.-Прикл.мат.и мех., 1973, т.37, № 4, с.706-714.

115. Хорощун Л.П., Маслов Б.П. Основы теории прогнозирования электромеханических свойств неоднородных пьезоэлектриков.-Прикл.мех., 1979, т.15, №8, с.3-7.

116. JïiedtLcki) Jt. О. КСъкгкоЩ'б ßoundaig conditions and -the. edgz e//ect /ог etastic piabas.-9гос. ¿imp. 4pp. JUath. Лш Yotk, ±95o3 vot.b, ¿icLSbLeLty àtcL, i95o, p. dí7

117. П8« JÁihdtiK ß. T>. ytigk. faouzncy VÍéicutLons о-/ pieboefeettüz ctystaí рсаЬгь.- Vní. ¿f- ¿o&ds and 1972, V.S) V2 7, p. 395- 906.