Некоторые комбинаторные вопросы спектральной теории узлов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат физико-математических наук Турчин, Виктор Эдуардович

• Турчин, Виктор Эдуардович
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Турчин, Виктор Эдуардович

Оглавление

0. Введение

Глава I. Введение в спектральную теорию узлов

1. Пространства узлов

2. Симплициальное разрешение дискриминанта

3. Основная фильтрация в разрешенном дискриминанте; ассоциированная с ней спектральная последовательность

4. Теорема Концевича о реализации и гипотеза Васильева

5. Комплексы связных и двусвязных графов; пространство Т^

6. J-блоки и комплексы связных графов

7. Вспомогательная фильтрация в члене аДс^-х основной фильтрации

8. Клеточное разбиение в Ориентация клеток

9. Нулевой дифференциал основной спектральной последовательности

Глава II. Различные способы вычисления первого члена основной (=вто-

рого члена вспомогательной) спектральной последовательности

10. Другая реализация гомологий комплексов связных графов; пространство Т^

11. Первый член вспомогательной спектральной последовательности

12. Дифференциал di вспомогательной спектральной последовательности. Комплексы диаграмм и стар-диаграмм деревьев CTDod<even\ C%Dodd(even>

13. Комплексы обобщенных Т-диаграмм и обобщенных Т*-диаграмм

14. Упрощение вычислений с помощью введения дополнительной фильтрации в первом члене вспомогательной спектральной последовательности. Комплексы CT0Dodd, CT0Deven

15. Некоторые производящие функции

16. Когомологии комплексов связных графов и свободная (супер)алгебра Ли; пространства В^, Вм

17. Первый член двойственной вспомогательной спектральной последовательности

18. Отображения склейки и двойственные им отображения расклейки

19. Дифференциал д\ двойственной вспомогательной спектральной последовательности. Комплексы скобочных диаграмм и стар-диаграмм С В £)°dd(even))

СB*Dodd(even}

20. Скобка Пуассона (Схоутена) и дифференциал комплексов С£ШосМ(е1;еи\ CB*Dodd(even^

21. Упрощение вычислений с помощью введения дополнительной фильтрации в первом члене двойственной вспомогательной спектральной последовательности. Комплексы CB0Dodd, CB0Deven

Глава III. Двадцать дифференциальных алгебр Хопфа, связанных с дискриминантами пространств некомпактных узлов

22. Об алгебрах Хопфа

23. О дифференциальных алгебрах Хопфа

24. Шесть дифференциальных алгебр Хопфа DHAB*Dodd, DHAB*Deven, DHAB0Dodd, DHAB0Deven, DHABDodd, DHABDeven скобочных (стар/ноль)-диаграмм

25. Шесть дифференциальных алгебр Хопфа DHAT*Dodd, DHAT*Deven, DHAT0Dodd, DHAT0Deven, DHATDodd, DHATDeven (стар/ноль)- диаграмм деревьев

26. Восемь дифференциальных алгебр Хопфа, определенных нулевым членом основной спектральной последовательности

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Некоторые комбинаторные вопросы спектральной теории узлов»

0. Введение

0.1. История предмета

Топологическое изучение дискриминантов, то есть особых геометрических объектов было начато В.И.Арнольдом в конце 60-х годов, см. [Арнольд2]. Оно тесно связано с изучением дополнительных пространств к этим объектам. Позднее это привело к возникновению новой области в математике - теории дискриминантов, основным инициатором развития которой был В.А.Васильев, см. [Васильев, V5].

Основным инструментов в вычислении групп гомологий таких объектов являются симплициальные (или, в более общем случае, конические) разрешения дискриминант-ных пространств.

В данной работе я изучаю симплициальное разрешение о (построенное В.А.Васильевым, см. [VI]) дискриминанта для пространств некомпактных узлов в R™, п > 3. Некомпактными узлами называются неособые вложения R1 t-» Rn, совпадающие с некоторым фиксированным линейным вложением вне некоторого компактного подмножества в К1.

В а имеется естественная фильтрация

0 = сг0 С ах С <т2 С ... (0.1)

М.Концевич доказал, что спектральная последовательность (Васильева), ассоциированная с этой фильтрацией и считающая гомологии Бореля - Мура (= гомологии одноточечной компактификации, приведенные относительно точки) разрешения о (которые по двойственности Александера - Понтрягина изоморфны когомологиям пространства узлов) вырождается над Q в первом члене. С другой стороны, в членах Oi\ai-i фильтрации имеется простое клеточное разбиение (зависящее с точностью до сдвига в размерности только от четности п объемлющего пространства К"), которое делает вычисление первого члена спектральной последовательности Васильева геометрически тривиальным.

По ряду причин В.А.Васильев предположил, см. Гипотеза 4.1, что фильтрация (0.1) гомотопически расщепляется. Из чего должно следовать вырождение нашей основной спектральной последовательности в первом члене для любого коммутативного кольца (абелевой группы) коэффициентов. Исходя из этого предположения основной алгебраической задачей вычисления когомологий пространств некомпактных узлов в К™, п > 4 (при п = 3 изучаемая спектральная последовательность считает лишь некоторую подгруппу в когомологиях пространства узлов), становится вычисление первого члена, различным способам нахождения которого и посвящена моя работа.

Для вычисления первого члена этой спектральной последовательности В.А.Васильев ввел вспомогательную фильтрацию на членах <тДсг,-_1. Получающаяся вспомогательная спектральная последовательность, ассоциированная с этой фильтрацией и считающая гомологии относительно нулевого дифференциала основной спектральной последовательности, вырождается во втором члене, так как ее первый член (для каждого г) сосредоточен в одной строке. Нулевой член вспомогательной спектральной последовательности вместе с нулевым дифференциалом на нем есть прямая сумма тензорных произведений комплексов связных графов. Гомологии комплексов связных графов сосредоточены в одной размерности и образуют свободный Z-модуль. Они имеют простое описание как пространство, порожденное деревьями, и профакторизованное по трехчленным соотношениям. Комплексы связных графов возникают в симплициаль-ных разрешениях многих аналогичных дискриминантов.

При п = 3 в нулевых когомологиях спектральная последовательность Васильева вычисляет так называемые "инварианты (= нулевые когомологии) конечного порядка", которые можно определить и в других, более простых геометрических терминах, см. [ChDL]. Двойственный пространству инвариантов объект есть биалгебра хордовых диаграмм., которая активно изучалась в последние годы, см [BN, ChD, ChDL, Kl, Kn, L, NS, S, Z]. Целью моей работы было показать, что в высших когомологиях пространств (некомпактных) узлов также возникает очень красивая математика.

0.2. Содержание работы. Основные результаты

В первой главе дается краткое описание конструкции В.А.Васильева симплициаль-ного разрешения дискриминанта для пространств некомпактных узлов. Формулируются основные известные результаты, которые нам понадобятся в дальнейшем.

Вторая глава посвящена различным способам вычисления второго члена вспомогательной спектральной последовательности. Во-первых, мною было замечено, см. пункты 11-12, что задание ориентации клеток в сгДаг_1 (тех, которые участвуют в первом члене вспомогательной спектральной последовательности) может быть заметно упрощено за счет взаимоуничтожения их (клеток) элементов ориентации. Получающийся при этом комплекс (который изоморфен первому члену вспомогательной спектральной последовательности вместе с первым дифференциалом на нем) зависит только от четности п размерности объемлющего пространства Rn. Этот комплекс я обозначил через CT*Dodd, CT*Deven (комплекс стардиаграмм деревьев) для нечетного и четного п соответственно. Комплексы C%Dodd^even"> биградуированы, дифференциал в них имеет биградуировку (0, —1). Комплексы CT.lfDodd(-eVRn^ <g>k, где к - основное коммутативное кольцо (абелева группа) коэффициентов, я обозначаю через CT*Dodd(even^(k).

В дискриминанте мы можем рассмотреть страты, порожденные отображениями R1 —> Rn, имеющими только (конечнократные) самопересечения (исключаем отображения имеющие особенности - вырождение первого дифференциала в какой-нибудь точке прямой R1). Диаграммы в CT*Dodd(even\к), отвечающие этим стратам я называю (просто) диаграммами деревьев. На пространстве, порожденном этими диаграммами, индуцируется структура факторкомплекса. Получающийся комплекс я обозначаю через CTDodd(even)^ (комплекс диаграмм деревьев). В CTDodd^ven^(k) можно рассмотреть подпространство элементов, граница которых, взятая в CT*Dodd(even^ (к), остается в CTDodd(even)(ky КоМПЛвКС, образованный этим подпространством я обозначаю через CToDodd(even)^ с CTDodd(eve«)до (к0мплекс ноль-диаграмм деревьев). Основной мой результат по упрощению вычислений первого члена основной спектральной последовательности состоит в том, что гомологии комплексов CT0Dodd{even){к) и C%Dodd(-even){k) совпадают, см. пункт 14.

Рассмотрим свободную алгебру Ли от конечного набора образующих. Рассмотрим в ней подпространство, линейно порожденное скобками, в которых каждая из образующих встречается ровно один раз. Этот объект возникает в работе [BG]. Я обнаружил, см. пункт 16, что когомологии комплексов связных графов естественно изоморфны этому подпространству, которое наилучшим образом подходит для описания комплексов {CB„Dodd^ven\k)y CBDodd^even\k), С BQDodd(-even\k) - комплексы скобочных (стар/ноль)-диаграмм) двойственных к CT*Dodd{>even\k), CTDodd{even\k), CT0Dodd^ven^{k) соответственно.

Заметим, что комплекс CB,Dodd(-even^k) (а значит, и комплекс CB0Dodd(-even\k)) вычисляет первый член спектральной последовательности, двойственной основной и считающей гомологии над к пространства некомпактных узлов.

В третьей главе я определяю, см. пункт 26, структуру (суперкоммутативной) дифференциальной алгебры Хопфа на нулевом члене основной спектральной последовательности, которая индуцирует аналогичную структуру, см. пункты 24-25 на комплексах CT*Dodd{-even\Ik), CTDodd{even)( k), CT0Dodd(-even^ (k), CB*Dodd(even\k), С В Dod^even\k), CB0Dodd^even^(k).

Получающиеся дифференциальные алгебры Хопфа я обозначаю DHAT*Dodd(even\к), DHATDodd^even\k),

DHAT0Dodd^ven^(k), DHAB*Dodd(even\(к), DHABDodd^even\k), DHAB0Dodd^even\k), соответственно. При этом первые три из них суперкоммутативны, а следующие три -суперкокоммутативны.

Ситуация, когда геометрия дискриминанта содержит некоторую информацию о мультипликативной (и комультипликативной - в случае, когда пространство дополнения является Я-пространством) структуре в когомологиях пространства дополнения, типична для многих дискриминантов. Гипотезы об имеющейся связи в нашем случае пространств некомпактных узлов формулируются в пункте 27 (Гипотезы 27.6-7).

Если основным кольцом к было поле, тогда гомологии дифференциальной алгебры Хопфа относительно дифференциала образуют алгебру Хопфа; если же к не является полем, тогда соответствующие гомологии мы рассматриваем просто как алгебры над к.

Пространство некомпактных узлов в Е", п > 3, является Я-пространством, следовательно, его (ко)гомологии с коэффициентами в поле образуют биалгебру (алгебру Хопфа, при п > 4). Для кольца коэффициентов к, не являющегося полем, мы рассматриваем (ко)гомологии этих пространств (с коэффициентами в к) просто как алгебры над к.

В работе доказаны следующие теоремы.

Теорема 28.1. Биалгебра гомологий над полем характеристики ноль пространства некомпактных узлов в Rn, п > 3, суперкоммутативна. □

Теоремы 29.1, 29.21. Алгебра (Хопфа) гомологий DHABDodd^ve^(к) суперкоммутативна для любого коммутативного кольца к. □

Теорема 32.1. Алгебра (Хопфа) гомологий DHAB*Deven(к) суперкоммутативна для любого коммутативного кольца к. □

Метод доказательства Теоремы 32.1не обобщается на случай DHAB*Dodd(k).

Также показано, см. пункт 36, что естественное вложение

DHABDodd{even) (к) <-»■ DHAB*Dodd{even) (к) (0.2)

в случае, когда к - поле характеристики ноль, индуцирует сюръективное отображение в гомологиях. При этом в случае четного п ядром является идеал, порожденный одной примитивной образующей, в случае нечетного п - двумя. Из чего, в частности, следует, что алгебра Хопфа гомологий DHAB*Dodd{к) суперкоммутативна, если к - поле характеристики ноль.

Также я позволил себе включить в эту главу, см. пункты 22-23, свое доказательство, инспирированное работой С.К.Ландо [L], некоторых классических результатов, см. [ММ], о (дифференциальных) алгебрах Хопфа, например, я доказал, что

1) Любая связная (дифференциальная) биалгебра над произвольным коммутативным кольцом является (дифференциальной) алгеброй Хопфа;

2) Любая связная суперкокоммутативная (дифференциальная) биалгебра над полем характеристики ноль является универсальной обертывающей (дифференциальной) супералгебры Ли ее примитивных элементов.

0.3. Благодарности

В первую очередь мне бы хотелось выразить свою глубокую признательность моему основному научному руководителю В.А.Васильеву за постановку задачи, за ценные научные консультации, за понимание и поддержку, которые я всегда находил у него.

Мне бы хотелось искренне поблагодарить своих руководителей - А.В.Чернавского (в МГУ) и Марка Шапрона (в Университете Париж 7) за мудрое научное руководство.

Я хочу сказать спасибо М.Финкельбергу и С.Локтеву за точные математические советы.

Также я очень признателен П.Картье, М.Концевичу, М.Деза, Д. Панову.

0.4. Обозначения.

X обозначает одноточечную компактификацию топологического пространства X.

Н*(Х), Н*(Х) - (ко)гомологии, приведенные относительно точки, пространства X.

Н*(Х), Н*(Х) - (ко)гомологии Бореля - Мура (=(ко)гомологии одноточечной ком-пактификации, приведенные относительно точки) пространства X.

п всегда обозначает размерность рассматриваемого пространства RK.

CT*Dodd, CT*Deven - комплексы Т*-диаграмм (возникающие при нечетном и четном п соответственно).

CTDodd, CTDeven - комплексы Т-диаграмм.

CT0Dodd, CT0Deven - комплексы Т0-диаграмм.

Аналогичным образом обозначаем, CB*Dodd, CB*Deven, GBDodd, CBDeven, CB0Dodd, CBoDeven - комплексы B^/B/Bq-диаграмм.

Если мы рассматриваем случай четного и нечетного п одновременно, то мы пишем: CT*Dodd(even\ CB*Dodd(evm) и т.д. DHAT*Dodd(even\

DHATDodd^even\ DHAT0Dodd(even\ DHAB*Dodd{even\ DHABDodd^even\ DHABQDodd(even) - дифференциальные алгебры Хопфа %/T/Tq/В*/В/Bq-диаграмм.

Если мы рассматриваем случай стардиаграмм и диаграмм одновременно, то мы пишем: (стар)-диаграммы, Tw/£(*гдиаграммы, CTMDodd^even\ CB[*)Dodd(-even> и т.д.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Турчин, Виктор Эдуардович, 2000 год

Список литературы

[Арнольд 1] В.И.Арнольд. Кольцо когомологий группы крашенных кос. Математические заметки, 1969, 5(2), 227-231.

[Арнольд2] В.И.Арнольд. О некоторых топологических инвариантах алгебраических функций. Труды Моск. Матем. Общества, 1970, 21, стр. 27-46.

[ Васильев] В.А.Васильев. Топология дополнений к дискриминантам. Фазис, Москва, 1997.

[Т1] В.Э.Турчин. Гомологии комплексов двусвязных графов. Успехи матем. наук, 1997, 52(2), 189-190.

[ТЗ] В.Э.Турчин. О гомологиях пространств некомпактных узлов, рукопись депонирована в ВИНИТИ, №2739-В00.

[В] A.Bjorner, Topological Methods, Handbook of Combinatorics (R.Graham, M.Grotschel, L.Lovasz, eds.), North Holland, Amsterdam, 1995, p.p. 1819-1872.

[BBLSW] E.Babson, A.Bjorner, S.Linusson, J.Shareshian, and V.Welker, Complexes of not i-connected graphs, Topology 38 (1999), No.2, 271-299.

[BG] A.Beilinson, V.Ginzburg, Resolution of diagonals, homotopy algebra and moduli spaces, preprint 1993.

[BN] D.Bar-Natan, On the Vassiliev knot invariants, Topology, 34 (1995), p.p. 423-472.

[BWa] A.Bjorner and J.W.Walker, A Homotopy complementation formula for partitially ordered sets, European, J. Combinatiorics, 4 (1983), 11-19.

[ChD] S.V.Chmutov, S.Y.Duzhin, An upper bound for the number of Vassiliev knot invariants. J. of Knot Theory and its Ramifications 3 (1994), p.p.141-151.

[ChDL] S.V.Chmutov, S.V.Duzhin, S.K.Lando, Vassiliev knot invariants. I. Introduction, In: Singularities and Bifurcations, Providence, RI: AMS, 1994, p.p. 117-126 (Adv. in Sov Math. 21).

[Kl] M.Kontsevich, Vassiliev's knot invariants, Adv. in Sov. Math., vol.16, part 2, AMS, Providence, RI, 1993, p.p.137-150.

[K2] M.Kontsevich, Private communication with V. Vassiliev, April 1994, Texel Island.

[Kn] J.A.Kneissler, The number of primitive Vassiliev invariants up to degree twelve, preprint (1997).

[L] S.K.Lando. On primitive elements in the bialgebra of chord diagrams, AMS Translations (2), vol.180, 1997, p.p.167-174.

[MM] J.Milnor, J.Moore, On the structure of Hopf algebras, Ann. Math. 81 (1965), p.p. 211-264.

[NS] K.Y.Ny, T.Stanford, On Gusarov's groups of knot. To appear in Proc. Camb. Phil. Soc.

[S] A.Stoimenow, Enumeration of chord diagrams and an upper bound for Vassiliev invariants. J. of Knot Theory and its Ramifications 7 (1998) 93-114.

[T2] V.Turchin. Homology isomorphism of the complex of 2-Connected graphs and the graph-complex of trees. AMS Translations (2), vol.185, 1998, p.p.147-153.

[VI] V.A.Vassiliev, Cohomology of knot spaces. In: Adv. in Sov. Math.; Theory of Singularities and its Applications (ed. V.I.Arnol'd). AMS, Providence, R.I., 1990, p.p.23 69.

[V2] V.A.Vassiliev. Topology of complements to discriminants and loop spaces. In: Theory of Singularities and its Applications (ed. V.I.Arnol'd). AMS, Providence, R.I., 1990, p.p.9-21.

[V3] V.A.Vassiliev. Stable homotopy type of the complement to affine plane arrangements. Preprint 1991.

[V4] V.A.Vassiliev. Complexes of connected graphs. In: Gelfand's Mathematical Seminars, 1990-1992. L.Corwin, I.Gelfand, J.Lepovsky, eds. Basel: Birkhauser, 1993, p.p.223-235.

[V5] V.A.Vassiliev. Complements of Discriminants of Smooth Maps: Topology and Applications. Revised ed. Providence, R.I.: AMS, 1994 (Translation of Mathem. Monographs, 98).

[V6] V.A.Vassiliev, Topology of two-connected graphs and homology of spaces of knots, in Differential and Symplectic Topology of Knots and Curves (S.Tabachnikov, ed.), AMS translations, Ser. 2, 190, AMS, Providence RI, 253-286, 1999.

[Z] D.Zagier, Vassiliev invariants and a stange identity related to the Dedekind eta-function, preprint (1999).