Двузначные формальные группы. Алгебраическая теория и топологические приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, доктор физико-математических наук Бухштабер, Виктор Матвееич

• Бухштабер, Виктор Матвееич
• доктор физико-математических наук
• 1983

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Бухштабер, Виктор Матвееич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Формальные группы, характеристические классы и характер Чженя - Дольда

§1. Элементы теории формальных групп

§2. Характеристические классы векторных расслоений и когомологические операции

§3« Характеристические классы Понтрягина вещественных векторных расслоений

§4. Характеристические классы самосопряженных расслоений

§5. Формальная группа геометрических кобордизмов

§6. Характер Чженя - Дольда

§7. Топологические приложения теории формальных групп

ГЛАВА II. Теория двузначных формальных групп

§8. Многозначные формальные группы

§9. Первые результаты о двузначных формальных группах

§10. Коалгебры, ассоциированные с двузначными формальными группами .,»

§11. Сдвиг на двузначной формальной группе. Кольцо дифференциальных операторов, инвариантных относительно сдвига

§12. Двузначные формальные группы с точки зрения операторов обобщенного сдвига

§13. Классификация двузначных формальных групп основного типа над Q -алгебрами

§14. Подход к классификации двузначных формальных групп основного типа . ИЗ

§15. Когомологии кольца дифференциальных операторов, инвариантных относительно сдвига на двузначной формальной группе первого типа

§16. Универсальная двузначная формальная группа первого типа

§17. Двузначные формальные группы второго типа

ГЛАВА Ш. Топологические приложения теории двузначных формальных групп

§18. Топологическая интерпретация основных результатов теории двузначных формальных групп

§19. Теория кобордизмов $р*(')[-тг]

§20. Теория функтора Л*(0 - Нот^(1Г(]Ч$р); 17^'| как аппарат исследования образа сиыплектичеекнх кобордизмов в комплексных .,

§21. Л (•) -кольца комплексных проективных пространств

§22. Многообразия Стонга. Вычисление образующих кольца кобордизмов многообразий Стонга

§23. Вычисление колец кобордизмов, ассоциированных с универсальными классами Понтрягина

§24. Вычисление соотношений между характеристическими числами комплексных самосопряженных многообразий

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Двузначные формальные группы. Алгебраическая теория и топологические приложения»

Фундаментальные вопросы топологии - реализация циклов многообразия, гомотопическая классификация непрерывных отображений, классификация гладких многообразий - привели к возникновению и развитию понятия кобордизма, /66/, /65/, /79/, /59/, /55/, /78/. Коротко говоря, два замкнутых многообразия называются кобордант-ными, если их несвязное объединение является границей некоторого многообразия. Важнейшим свойством кобордизма является то, что характеристические числа кобордантных многообразий равны. Это позволяет в ряде задач топологии, анализа и алгебраической геометрии сводить вопросы, относящиеся к данному многообразию, к вопросам, относящимся к его классу кобордизмов, /84/, /60/, /43/.

На основе кобордизма многообразий строятся теории гоыодогий и когомологий клеточных комплексов, так называемые теории бордиз-мов и кобордизмов. Эти теории играют ведущую роль в современном аппарате алгебраической топологии, так как практически все основные теории гомологий и когомлогий при помощи гомологической алгебры могут быть получены из теорий бордизмов и кобордизмов, /44/, /61/, /II/.

Развитие теории кобордизмов явилось источником новых фундаментальных связей топологии с рядом разделов алгебры и анализа. Здесь в первую очередь необходимо выделить глубокую связь с теорией формальных групп Ли, открытую С.П.Новиковым и А.С.Мищенко, /61/.

Рождение теории формальных групп Ли (особенно над полями характеристики р > О ) было первоначально стимулировано зап^ами теории алгебраических групп, /54/. Интересно отметить, что первые публикации здесь появились в 1954-1955 годах, /47/, /46/, /37/, т.е. тогда же, когда вышла работа Тома /79/, полоаившая начало теории кобордизмов. В настоящее время теория формальных групп Ли представляет собой развитую отрасль современной алгебраической геометрии. Связь ее аппарата (биалгебры, или алгебры Хопфа) с аппаратом алгебраической топологии отмечалась давно (см. /54/, стр.5), но только благодаря работе /61/, а затем работам /4-1/, /17/, /31/ произошло интенсивное проникновение результатов теории формальных групп Ли в алгебраическую топологию (см. обзоры /29/, /24/, /30/, /4/, /23/, /40/ и монографии /15/, /87/).

Диссертация посвящена вопросам, лежащим на стыке теории кобордизмов и теории формальных групп Ли. Она состоит из трех глав.

В первой главе изложены результаты автора по теории характеристических классов. Основным здесь является построение теории характера Чженя - Дольда в кобордизмах и разработка методов его приложений.

Во второй главе изложена построенная автором теория двузначных формальных групп. Основным здесь является классификация двузначных формальных групп над О -алгебрами и вычисление универсальных двузначных формальных групп.

В третьей главе изложены топологические приложения теории двузначных формальных групп. Основным здесь является построение и доказательство универсальности двузначной формальной группы в кобордизмах и развитие методов исследования групп симплектических кобордизмов. В качестве следствий получена классификация, с точностью до кобордизма, многообразий Стонга и дано решение ряда топологических задач, поставленных в /31/, /67/, /69/, /68/, /80/, /6/.

Рассмотрим теперь содержание диссертации по параграфам.

В §1 вводятся основные понятия теории формальных групп и излагаются результаты Лазара /46/ и Картье /39/ об универсальных одномерных формальных группах. Формулировки теорем и их доказательства даны в том виде, в каком они используются в топологических приложениях. Разработанный автором метод классификации двузначных формальных групп применен в §1 для вычисления универсальной формальной группы Лазара, и поэтому этот параграф можно рассматривать также как вводный ко второй главе.

В первой части §2 обсуждается понятие ориентированной, в смысле Дольда /34/, теории когомологий и дается обзор результатов, лежащих в основе конструкции характеристических классов Коннера и Флойда /44/. Во второй части §2 дан обзор результатов Ландвебера /49/ и С.П.Новикова /61/ о когомологических операциях в кобор-дизмах.

Конструкция Коннера и Флойда дает классы Штифеля - Уитни 1х/ (") вещественных расслоений, классы Чженя С (') комплексных расслоений и классы Понтрягина Р (•) симплектических расслоений. Применение этой конструкции для построения, например, классов Понтрягина вещественных расслоений приводит только к частному результату, не охватывающему важные теории когомологий а(') (см. /78/).

В §3 полностью решен вопрос о том, какие условия на теорию когомологии А(-) необходимы и достаточны, чтобы в ней существовали классы Понтрягина ¡Р (') вещественных расслоений. Пусть СО (')- теория кобордизмов, построенная по гладким многообразиям, касательные расслоения которых являются комплексификацией вещественных расслоений, /78/. Доказано, что существуют классы

Понтрягина 0 (') вещественных расслоений и что теория кобор-дизмор со'0) является универсальной среди теорий К(') , в которых существуют классы Понтрягина 1Р (') вещественных расслоений.

В §4 построены характеристические классы ] b£) комплексных самосопряженных расслоений, совпадающие в соответствующих частных случаях с классами Понтрягина симплектических расслоений и классами Понтрягина вещественных расслоений. Доказательство результатов §3 и §4 опирается на существование и свойства отображений переноса. В связи с этим в §3 включен обзор работ Беккера, Готлиба /12/, /13/, а в §4 - обзор работы Дольда /36/.

§5 посвящен формальной группе геометрических кобордизмов /61/. Изложена общая конструкция формальной группы f^(ui,4t) , ассоциированной с теорией когомологий к О ) , доказана формула и ' СР(<-<*) СР(^) и; где СР( U*, СР(п)- комплексное и. -мерное проективное пространство и H^i,^ ~ известное многообразие Милнора, задаваемое уравнением в СР<Л)*СР(>0, где -х\ , o^U^ , Ч . , o^j, о

- однородные координаты и и >Уо.

Классический характер Чженя для каждого комплекса X задает кольцевой гомоморфизм d; К(Х) —^ЬГС.Х;(РХ такой, что - изоморфизм, где Х(') - комплексный

К-функтор. Приложения характера Чженя широко известны: он участвует в формулировке теоремы Римана - Роха - Атья - Хирцебруха и используется для получения теорем целочисленности /10/, /74/, /9/; используется для построения гомотопических инвариантов непрерывных отображений /2/, /51/, /3/; играет важную роль в решении задачи о реализации циклов /16/. В работе Дольда /34/ доказано, что для любой теории А(-) существует единственное преобразование

•) — Н*(-;Л4«<?), такое, что сЛ^® С/ - изоморфизм теорий, гдеО^- $ (точка) . Преобразование для 2/д -градуированной X -теории совпадает с характером Чженя сА , и поэтому оно названо характером Чженя - Дольда /17/.

В первой части §6 дана конструкция и обзор общих свойств характера Чженя - Дольда с&д . Вторая часть этого параграфа посвящена изложению результатов автора о характере Чженя - Дольда в кобордизмах, /17/. Первоначально работа /17/ была стимулирована следующей задачей С.П.Новикова: Дать эффективное описание отображения ^Л* —^ 1Л™ комплексных многообразий в терминах группы комплексных бордизмов . Решение этой задачи, полученное в /17/, основывается на формуле для характера Чженя - Дольда . В §6 дан вывод формул для характеров

Чженя - Дольда в комплексных и симплектических кобордизмах. Одним из основных результатов §6 является формула, устанавливающая связь преобразования с!^ с формальной группой :

Пусть и« фО€1Т*(СРН) ■ * = 1) первые классы Чженя универсального расслоения ^-СР^-Обозначии через ^(Ч) ряд с^и €Я*(СРб«);52и®О)^52и®0М.

Тогда где 3 (и) - логарифм формальной группы в теории комплексных кобордизмов. Формула (2) имеет ряд приложений, /17/, /31/, /63/,

М/. ^

Пусть /I - кольцо Стинрода стабильных операций в мультипликативной теории & (') . Для каждого X введем в кольце структуру $ -модуля, индуцированную действием на . Тогда характер Чженя - Дольда является гомоморфизмом $ -модулей. В §6 показано, что это свойство играет важную роль в приложениях преобразования (/IV/» затем

63/, /64/). В качестве иллюстрации к разработанному методу построения гомотопических инвариантов приведено вычисление инвариантов классов кобордизмов комплексных многообразий с оснащением на границе. Опираясь на этот результат, Н.В.Панов получил полное решение вопроса о соотношениях между числами Чженя таких многообразий (/63/, затем /50/, /83/).

В §7 изложен общий подход к топологической интерпретации результатов теории одномерных формальных групп. В качестве иллюстрации приведено доказательство ряда известных теорем алгебраической топологии, а именно, теорем Стонга - Хаттори /76/, /82/ Дж.Коэна /45/, Квиллена /41/ и Брауна - Петерсона - Квиллена /14/.

В работе С.П.Новикова и автора /31/ предъявлена конструкция над формальной группой 9 приводящая к квадратному уравнению з) где [[-х.,^ , ¿ = 4,Л . Решения уравнения (3) над некоторым расширением кольца обладают своеобразной ассоциативностью, и поэтому уравнение (3) было названо двузначной формальной группой. Первоначально интерес к уравнению (3) объяснялся тем, что подкольцо * порожденное коэффициентами рядов и , тесно связано с образом в .0.^ кольца симплектических кобордизмов .

Дальнейшие исследования автора показали, что все результаты изучения групп симплектических кобордизмов средствами теории унитарных кобордизмов выражаются через двузначную формальную группу. Опираясь на богатый опыт приложений теории формальных групп, естественно было ожидать, что алгебраические результаты о двузначных формальных группах будут иметь важные топологические приложения. В связи с этим возникла задача: Построить алгебраическую теорию двузначных формальных групп. Изложению решения этой задачи посвящена вторая глава.

В §8 дано аксиоматическое определение кг -значной формальной группы над коммутативным кольцом Й с единицей, введены понятия гомоморфизма п -значных групп и универсальной и. -значной группы.

В§9 получены результаты о двузначных формальных группах над кольцом й , непосредственно следующие из аксиом. Показано, что двузначная формальная группа (4) задает элементарную двузначную формальную группу вида + (5) где (^-Д) (Х+<2)= 0 , ^£ Я . Двузначные формальные группы с £ названы двузначными формальными группами первого типа, а с ^= X двузначными формальными группами второго типа.

В §10 введены и исследованы коалгебры, ассоциированные с двузначными формальными группами.

В §11 введен и исследован сдвиг д* ; —^ К СГ (б) на двузначной формальной группе и вычислено кольцо дифференциальных операторов 3) » инвариантных относительно этого сдвига. Показано, что кольцо 2) ® 0 является кольцом полиномов, порожденным дифференциальным оператором

7) где а бЧ«,»-^

- дискриминант уравнения (4).

В §12 проведено исследование двузначных формальных групп методами теории операторов обобщенного сдвига /52/.

В §13 получена полная классификация относительно сильного изоморфизма двузначных формальных групп первого и второго типа над 0 -алгебрами.

§§14-17 посвящены исследованию универсальных двузначных формальных групп первого и второго типа. Доказательства результатов здесь существенно опираются на новые методы. В основе этих мето^ дов лежит тот факт, что уравнения ассоциативности для двузначных формальных групп в соответствующем факторкольце п основного кольца А записывается в терминах градуированной алгебры Ли, построенной по кольцу когомологий кольца дифференциальных операторов 2) , инвариантных относительно сдвига (6) на двузначной формальной группе.

В §14 дано описание уравнений ассоциативности двузначных формальных групп в терминах бар-резольвенты кольца инвариантных

В §15 получены все необходимые результаты о градуированной алгебре Ли кольца когомологий дифференциальных операторов, инвариантных относительно сдвига на двузначной формальной группе первого типа.

В §16 вычислена универсальная двузначная формальная группа первого типа. Показано, что основное кольцо этой двузначной формальной группы после тензорного умножения на кольцо % становится кольцом полиномов.

В §17 показано, что основное кольцо универсальной двузначной формальной группы второго типа устроено более сложно и имеет элементы конечного порядка р для всех простых нечетных чисел р . Основным следствием результатов §17 является теорема:

Пусть кольцо А не имеет нильпотентных элементов. Тогда любая двузначная формальная группа второго типа над Й имеет

Третья глава (§§18-24) посвящена топологическим приложениям теории двузначных формальных групп.

В §18 дана топологическая интерпретация основных результатов главы II. В терминах классов Понтрягина вещественных расслоений ¡Р (') построена двузначная формальная группа в кобордизмах, доказано, что она задается уравнением (3) и совпадает с универсальной двузначной формальной группой первого типа. Указано выражение канонических координат (логарифма) этой универсальной группы дифференциальных операторов Ю . где формальная группа над через характер Чженя - Дольда симплектических кобордизмов и построена геометрическая реализация обобщенного сдвига на ней.

В §§19, 20 построен аппарат вычисления функтора Л (Х)= = Но*л, (UfMSp), U*(X)) , играющего важную роль в изучении симплектических кобордизмов методом спектральной последовательности Адамса - Новикова /61/. Отметим, что если конечный комплекс не имеет 2-кручения в гомологиях, то группа Л (X) является минимальным прямым слагавши в группе U (X) i содержащим образ группы Особый интерес, как обычно, представляет кольцо

Jl ~ JL (точка) , которое содержит все классы кобордизмов комплексных многообразий с оператором самосопряжения в стабильном касательном расслоении.

В §20 дано следующее описание кольца Л : Пусть - под-кольцо в порожденное коэффициентами рядов и

• ТогДа -А-4 ~ кольцо полиномов ^-Цуь , и А=Л±ПДг.

В §21 дано вычисление колец JI ()0 для основных нетривиальных случаев, когда X является произведением комплексных проективных пространств. Полученные результаты позволили применить аппарат теории двузначных формальных групп для эффективного описания классов кобордизмов многообразий Стонга /77/. Многообразия Стонга определяются для любого набора четного числа неотрицательных целых чисел GO = (Kif • и целого числа fy и являются подмногообразиями в поведении комплексных проективных пространств J1 СР(ДК£+1) (см. §22). Они дают основные примеры многообразий с симплектической структурой в стабильном касательном расслоении и широко используются в ряде работ, /77/, /70/, /69/, /58/.

В §22 доказано: Пусть Д - сдвиг на двузначной формальной группе в кобордизмах и ^^ ~ пеРвый канрнический дифференциальный оператор, инвариантный относительно этого сдвига. Обозначим через единственное решение уравнения с1± х) =■ ос* при условии , и положим ^А • ТогДа:

I) С*. является классом кобордизма комплексного многообразия с оператором самосопряжения в стабильном касательном расслоении; 2) = ; 3) Но(х>#=0 . Н±(о,о)=1 и ; 4) класс кобордизмов любого многообразия Стонга Л!^', является полиномом от классов С^) , где и 3 .

В §23 решен ряд задач о классах кобордизмов, ассоциированных с универсальными классами Понтрягина, в том числе получено развитие результатов работ /86/, /31/, /69/, /6/, /72/, /67/, /33/, /68/

В §24 вычислены основные характеристические кольца кобордизмов

5 С

-многообразий, т.е. комплексных многообразий с оператором самосопряжения в стабильном касательном расслоении, а именно:

1) вычислена -характеристика, задаваемая старшим числом Чженя;

2) вычислен образ при проекторе Брауна - Петерсона; 3) вычислен образ в кольце кобордизмов неориентированных многообразий (положительное решение вопроса Флойда /80/). Более того, указан ряд специфических соотношений делимости чисел Чженя

-многообразий.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах /17/, /18/, /19/, /22/, /25/, /26/, /28/, их изложение содержится в обзорах /29/, /23/, /30/, /24/, /5/, /57/.

По материалам диссертации были прочитаны доклады на У1 и УН всесоюзных топологических конференциях, /21/, /32/, и на заседаниях Московского Математического Общества, /20/, /27/.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Бухштабер, Виктор Матвееич, 1983 год

1. О несуществовании отображений с инвариантом Хопфа, равным единице, сб. Математика 5:4 (I96I), 3--86.

2. On Chern characters and structure of the unitary group, Proc. Camb. Soc, 57 (1961), 189 - 199. 3. 0 группах J(X) , 1У, сб. Математика 12:3 (1968), 37-97.

3. Quillen's work on formal group lav; and complex cobordism, Univ. Chicago Lect. Notes Ser., (I97O), Адаме Дж.Ф., Люлевичус A. ( Adams J.P., Liulevicius A. )

5. Лекции no К-теории, M. "МИР", 1967.

6. К-теория и вещественноеть, кн. Лекции по К-теории, М. "МИР", 1967, 206-253. Атья М., Сегал Г. ( Atiyah Ы.Р., Segal G.B. )

7. Эквивариантная К-теория, кн. Лекции по К-теории, М. "МИР", 1967, 131-205. Атья М., Хирцебрух Ф. ( Atiyah Ы.Р., Hirzebruch F. )

8. Векторные расслоения и однородные пространства, сб. Математика 6:2 (1962), 3-39. Баас Н. ( Baas N.A. ) 11, On formal groups and singulaities in complex cobordismc; theiy, Math, scand., 35, N2, (1975), 305 - 515. - 229 -Беккер Дж. ( Becker J.С. )

9. Characfcerisfcic classes and К - theory, Lect. Notes Math., 428, (1974), 152 - 143. Беккер Дж., Готлиб Д. ( Becker J.С, Gottlieb D.H. )

10. The transfer map and fiber bundles, Topolo©', I^, N1, (175), I - 12. Браун Е., ПетерсОН Ф. ( Brown E.H.Jr., Peterson F.P. )

11. A spectrum whose Z cohomology is the algebra of redused p''^^ powers, Topology, 5, N2, (1966), 149 - 154. Брёккер т.. Дик Т. ( Вгоскег Т., Dieck Т. ) J5. Kobordismentheory, Lect. Notes Math, 178, (1970). Бухштабер В.М.

12. Модули дифференциалов спектральной последовательности Атья - Хирцебруха, Матем. сб. т.78 Ш (1969), 307-320, II, т.83 Щ (1970), 61-76.

13. Характер Чженя - Дольда в кобордизмах, I, Матем. сб. т.83 т (1970), 575-595.

14. Спектральные последовательности, связанные с характером Чженя - Дольда в кобордизмах, УМН, 26, вып.1, (I97I), 214-215.

15. Двузначные формальные группы. Некоторые приложения к кобордизмам, УМН, 26, вып. 3, (I97I), 195-196. 20. формальные группы Ли в аппарате алгебраической топологии, УМН, 27, вып. 2, (1972), 158.

16. Кобордизмы и формальные группы. У1 Всесоюзная топологическая конференция. Тезисы. Тбилиси (1972), 26.

17. Классификация двузначных формальных групп, УМН, 28, вып. 3, (1973), 173-174. - 230 -

18. Новые методы в теории кобордизмов, кн. Р.Стонг, Заметки по теории кобордизмов, М. "МИР", 1973, 337-365.

19. Кобррдизмы в задачах алгебраической топологии, сб. Итоги науки, т.9, ВИНИТИ (1975), 231-288.

20. Двузначные формальные группы. Алгебраическая теория и приложения к кобордизмам, I, Изв. АН СССР, сер.матем., 39, Ш5 (1975), I044-I064.

21. Двузначные формальные группы. Алгебраическая теория и приложения к кобордизмам, II, Изв. АН СССР, сер.матем., 40, }Р2 (1976), 289-325.

22. Теория многозначных формальных групп Ли, УМН, 31, вып.З, (1976).

23. Двузначные формальные группы в аппарате теории кобордизмов, УМН, 32, БЫП.2 (1977), 205-206. Бухштабер В.М., Мищенко А.С.

24. Лекции по внутренним гомологиям и формальным группам. X математическая школа, Киев (1974). Бухштабер В.М., Мищенко А,С, Новиков С П .

25. Формальные группы и их роль в аппарате алгебраической топологии, УМН, 26, вып.2, (I97I), I3I-I54. Бухштабер В.М., Новиков С П .

26. Формальные группы, степенные системы и операторы Адамса, Матем. сб., т.84 М (I97I), II6-I53. Бухштабер В.М,, Шокуров А.В.

27. Когомологические операции в теории комплексных кобордизмов и группа формальных диффеоморфизмов прямой, У Н Всесоюзная топологическая конференция. Тезисы. Минск, 1977. - 231 -Гозман Н.Я.

28. Об образе кольца самосопряженных кобордизмов в кольцах комплексных и неориентированных кобордизмов, ДАН СССР, 216, N26, (1974), I2I2-I2I4. ДОЛЬД А. ( Dold А. )

29. Соотношениям между ординарными и экстраординарными теориями гомологии, сб. Математика 9:2 (1965), 8-14.

30. Лекции по алгебраической топологии, М., "МИР", 1976.

31. The fixed point transfer of fibre pfeservig maps, Matb. Z., 148, N5, (1976), 215 - 244. Дьедонне I. ( Dieudonne J. )

32. Groupes de Lie et hyperalgeres de Lie sur un corps de caracteristique p 6, Comment, Math,, 28, N1,(1954), 97 - 118.

33. Дифференциальное исчисление в полях характеристики Международный матем. конгр. в Амстердаме, 1954г., Физматгиз, 1961, 134-150. Картье П. ( Cartier Р. )

34. Modules associes а un groupe formal commutatif, Courbes typiques, G,r. Acad, sci.,.265, N4, (1967),AI29 - AI32. Каруби M. ( Karoubi M. )

35. Elementary proofs of some resuts of cobordism theory using Steenrod operations, Adv. Math, 7, N1,(I97I),29-56. Коннер П., ФЛОЙД Э. ( Conner P., Floyd E. )

36. Гладкие периодические отображения, М., "МИР", 1969.

37. О соотношении теории кобордизмов и К-теории, Дополнение к кн. Гладкие периодические отображения, М., "МИР", 1969. КОЭН Дк. ( Cohen J.M. )

38. The Hurev/ich Homomorphism on Ш , Invent., 10, K5, (1970), 177 - 186. Лазар М. ( Lazard М. )

39. Sur les groupes de Lie formels a un parametre, Bull. Soc. Math. Prance, 85, N5, (1955), 251 - 274.

40. Lois de groupes et analyseurs, Ann.Sci.Ec. Norm, super, 72, N4, (195 5), 299 - 400.

41. Analyseurs, Boll. Unione mat.ital.,9,N2,(1974),49 - 59. Ландвебер П. ( Landweber P.S. )

42. Cobordism operations and Hopf algebras, Trans.Amer.Soc,129,NX, (1967),94 - IIO,

43. On Panov's theorem, Proc.Amer.Soc.43, N1, (1974), 209 - 215. Ланделл A. ( Lundell A.T. )

44. An exact sequnce involving the Chenicharacter, Bull.Hath.Soc,77,N6, (I97I), I0I4 -I0I7. Левитан Б.М,

45. Теория операторов обобщенного сдвига, М., "Наука", 1973. МаклеЙН ( Maclane S. )

46. Гомология, М., "МИР", 1966. - 233 -Мании Ю.й.

47. Теория коммутативных групп над полями конечной характеристики, УМН, 18, вып.б, (1963), 3-90. Милнор Дж. ( Milnor J. )

48. On the cobordism ring and a complex analogues,!, Amer.J. Hath., 82 (I960), 505 - 521. Милнор Дж. , Мур Дж. ( I-Iilnor J., Moore J. )

49. On structure of Hopf algebras, Ann. Math. 81, (1965), 211 - 264. Мищенко A.с.

50. Extraordinary homology theories: bordism and K-theory, Actes Congr. int. matheraaticiens, 1975, t,2,Paris (I97I) Надирадзе P.Г.

51. Инволюции на многообразиях Стонга и кобордизмы самосопряженных многообразий, Сообщения АН ГССР, 85, Ш (1977), 301-303. Новиков С П .

52. Гомотопические свойства комплексов Тома, Матем. сб. 57 Ш, (1962), 406-442.

53. Новые идеи в алгебраической топологии (К-теория и её применения) УМН, 20, вып.З, (1965), 41-66.

54. Методы алгебраической топологии с точки зрения теории кобордизмов, Изв. АН СССР, 31 (1967), 855-951. Номидзу К. ( Nomizu К. )

55. Группы Ли и дифференциальная геометрия, М,, ИЛ, I960. Панов Н.В.

56. Характеристические числа в и -теории. Изв. АН СССР, сер. матем., 35, Ш, (I97I), 1356-1376. - 23^ -Пересецкий А.А. б^. SU -кобордизмы и формальные группы, Матем. сб., 88 М , (1972), 536-5^5. Понтрягин Л,С.

57. Гладкие многообразия и их применения в теории гомотопий, М., "Наука", 1976. Пуанкаре А. ( Poincare А. )

58. Analysis situs , Избранные труды, т. II, М, "Наука", 1972, 457-5^8. Руш Ф, ( Koush Р. )

59. The Todd character and integrality theorem for the Chern character, 111.J.Math.,I7,N2,(1975),301 - 510. Смит Л., СТОНГ P. ( Smith L., Stong R.E. )

60. The structure of BSC, Invent.math. ,5,N2, (1968)', 158 159. Стонг P. ( stos R.E. )

61. Relations among characteristic numbers, I,II, Topology, 4, K5,(1965),267-28I;5,N2,(1966),155-148.

62. Some remarks on symplectic cohordism, Ann.LIath.86,K5,(I967),425 - 455.

63. Заметки no теории кобордизмов, М,, "МИР", 1973. Том Р. ( Thorn R. )

64. Некоторые свойства "в целом" дифференцируемых ^шогообра- зий, Сб. Расслоенные пространства и их приложения, М., ИЛ, 1958, 291-348. Флойд Е. ( ^ loyd Е.Е. )

65. Stiefel - V/hitney numbers of quaternionic and related manifolds, Trans,Amer.Math.Soc.,155,NX,(I97I),77-94. Хазевинкель M. ( Hazewinkel Ы. )

66. A universal formal group and complex cobordism, Amer. Math.Soc,81,N5,(1975),950-953. Хаттори A. ( Hattori A. )

67. Integral characteristic numbers for weakly almost complex manifolds. Topology,5,H3,CI966),259-280. Хирашима ( Hirashima )

68. On the BP-Hopf invariant, Osaka J. Math.,12,N1,(1975),187-196. - 236 -Хирцебрух Ф. ( Hirzebruch F. )

69. Топологические методы в алгебраической геометрии, М., "МИР", 1973. Хонда Т. ( Honda Т. )

70. Формальные группы и дзета-функции. Математика, 13:6 (1969), 3-17. Шимакава К. ( Shlmakawa К. )

71. Remarks on the coefficient ring of quatermionic oriented cohomology theories, Pubis,Res,Inst,Math.. Sci,,12,HI,(1976),241-254, Шоке К.( Schochet )