О некоторых операциях между теориями когомологий алгебраических многообразий тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Сечин, Павел Андреевич

• Сечин, Павел Андреевич
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Сечин, Павел Андреевич

Оглавление

Введение

Глава 1. Категория плоских структур Ходжа-Тейта

1.1 Категории Тейта

1.1.1 Связные алгебры Хоифа и категории Тейта

1.1.2 Связные алгебры Хопфа со связностью

1.1.3 Категории Тейта со связностью

1.2 Связность Гаусса-Манина на структурах Ходжа-Тейта

1.2.1 Категория структур Ходжа-Тейта

1.2.2 Плоские структуры Ходжа-Тейта

1.2.3 Таннакиева категория плоских структур Ходжа-Тейта , , , ,

Глава 2. Операции из К-теорий Моравы

2.1 Ориентированные теории когомологий

2.2 Классы Черна ориентированных теорий

2.3 Операции, поли-операции и их производные

2.3.1 Производные операций

2.3.2 Внешние произведения операций

2.4 Мультипликативные операции

2.5 Операции из теорий рационального типа

2,5,1 Теорема Вишика для аддитивных операций

2.6 Операции из К-теории К0

2.7 Некоторые следствия из теоремы Вишика

2.7.1 Центральность операций Адамса

2.7.2 Локализация неаддитивных операций

2.8 Типические формальные групповые законы

2.9 Определение К-теорий Моравы и их свойства

2.10 Операции из К-теорий Моравы в группы Чжоу

2.10.1 Одна алгебраическая лемма

2.10.2 Аддитивные операции из К(п)* в группы Чжоу

2.10.3 Индуктивная конструкция классов Черна

2.10.4 Классы Черна свободно порождают операции

2.11 Теорема Римана-Роха

2.12 Фильтрация Черна на кольце операций

2.13 Классы Черна в типических теориях

2.14 Единственность п -ой К-теории Моравы

2.15 Гамма-фильтрация на К-теориях Моравы

2.15.1 Определения и свойства

2.15.2 Единственность гамма-фильтрации

2.16 Приложения операций из К-теории Моравы

2.16.1 Фильтрация на кольце Витта и К-теории Моравы

2.16.2 Гамма-фильтрация на расщепимой квадрике

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «О некоторых операциях между теориями когомологий алгебраических многообразий»

Введение

Актуальность темы исследования

Когомологии алгебраических многообразий - это одни из наиболее разработанных и наиболее доступных для вычислений инвариантов в алгебраической геометрии. Богатство этих инвариантов состоит, впрочем, не только в том, насколько полно они отражают свойство данного конкретного многообразия, но и в том, что когомологические теории бывают очень разные.

Для того, чтобы изучать связи между теориями когомологий используются операции, причём полезными оказывают даже операции из теории когомологий в себя, С одной стороны, если некоторые инварианты могут быть вычислены просто для некоторого многообразия, то операции позволяют строить классы в других теориях когомологий, которые построить другим способом может быть достаточно сложно, С другой стороны, операции (в том числе, и эндо-операции) не могут произвольным образом действовать на когомологиях и должны сохранять многие дополнительные структуры. Оказывается, даже такое простое наблюдение позволяет получить дополнительные сведения о когомологических инвариантах в некоторых ситуациях,

В первой части данной работы изучается поведение действия алгебры дифференцирований комплексных чисел на структурах Ходжа, являющихся последовательными расширениями структур Тейта (т.н. структур Ходжа-Тейта), В геометрии эти операции более известны как абсолютная связность Гаусса-Манина, Однако, М, Рог,пискни предложил некоторую конструкцию этих операций на всех структурах Ходжа-Тейта (в том числе тех, которые не являются когомологиями алгебраических многообразий) и доказал, что она единственна при естественных предположениях.

Известная обобщённая гипотеза Ходжа утверждает, что абелева категория мотивов над С является полной подкатегорией в категории структур Ходжа, откуда, в частности, следует, что на структуре Ходжа, являющейся когомо-логиями некоторого алгебраического многообразия, существует единственная абсолютная связность Гаусса-Манина, Из геометрических свойств этой связности следует, что она должна быть плоской, или, другими словами, что действие алгебры дифференцирований является действием алгебры Ли, Мы строим некоторую подкатегорию в категории структур Ходжа-Тейта, состоящую из "плоских" объектов, и, таким образом, гипотетически содержащую все структуры Ходжа, приходящие из геометрии. Получившаяся категория является некоторым приближением к гипотетической категории мотивов Тейта над комплексными числами, и может рассматриваться как интересный тестовый пример.

Расскажем об этом результате чуть более подробно. На алгебраических когомологиях де Рама алгебраического многообразия над полем К канонически определены операции - действия алгебры дифференцирований Вег^(К) , По-другому этот факт можно сформулировать как существование отображения V : Н**к (X) ^ П^/^ Н**к (X) , известного как абсолютная связность Гаусса-Манина, Всякое вложение поля К в комплексные числа позволяет отождествить когомологии де Рама Н*К(Х)®С с сингулярными когомологиями с комплексными коэффициентами, что позволяет индуцировать связность на структуре Ходжа когомологий многообразия,

В работе [28] М, Ровинский показал, что на произвольной структуре Ходжа-Тейта Н = (Н^, Р*, Ш*) существует в естественном смысле единетвен-ноей линейное отображение V : ^ ^С^ ®С , удовлетворяющее тем же свойствам, что и ограничение абсолютной связности Гаусса-Манина на решётку сингулярных когомологий. Таким образом, действие алгебры Иег^(С) на когомологиях алгебраического многообразия восстанавливается по структуре Ходжа этого многообразия, если она является "тейтовой". Из построения связности Гаусса-Манина следует, что это действие, в случае если структура Ходжа-Тейта является когомологиями некоторого многообразия, должно быть действием алгебры Ли, Другими словами, абсолютная связность Гаусса-Манина

должна быть плоской. Однако, не на всех структурах Ходжа-Тейта конструкция Ровпнского задаёт плоскую связность, что является подтверждением того, что не всякая структура Ходжа-Тейта реализуется на когомологиях алгебраических многообразий,

В данной работе мы рассматриваем категорию плоских структур Ходжа-Тейта как таннакиеву категорию, и даём ей описание как категории представлений некоторой явно определяемой алгебры Хопфа, Это позволяет нам вычислить алгебру фгаЕх1га^(0), ^(п)) в этой категории.

Во второй части данной работы изучаются операции из алгебраических К-теорий Моравы в группы Чжоу и другие ориентированные теории, К-теории Моравы (параметризуемые простым числом р и натуральным числом п ) являются загадочными обобщениями К-теории Гротендика, однако, не обладающими явной геометрической конструкцией. Тем не менее, опираясь на теорему Вишика, сводящую задачу классификации операций из теорий типа алгебраических кобордизмов в ориентированные теории к алгебре формальных рядов, нам удаётся построить "классы Черна" из п -ой К-теорий Моравы в группы Чжоу, в п -ую К-теорию Моравы и в другие ориентированные теории. Классы Черна позволяют определить гамма-фильтрацию на К-теориях Моравы, присоединенные факторы которой сюрьективно и аддитивно отображаются в группы Чжоу коразмерностей не более рп . Для квадрик определённого типа К-теория Моравы несложно вычисляется, и операции выше позволяют оценить кручение в их группах Чжоу,

Расскажем об этом результате чуть более подробно. Ориентированные теории когомологий, появившись впервые в топологии, в последние годы обнаруживают всё больше приложений в алгебраической геометрии. Среди таких теорий есть универсальная теория, называемая алгебраическими кобордизма-ми Левина-Мореля, а основными примерами ориентированных теорий являются её локализации, называемые свободными теориями - как например, группы Чжоу, кольцо Гротендика векторных расслоений, К-теории Моравы, В отличие от изучения сингулярных когомологий, когомологий де Рама или когомологий Ходжа, для которых можно определить достаточно много нетривиальных

операций даже при изучении этих теорий как 0> -алгебр, нетривиальных операций между локализациями кобордизмов е рациональными коэффициентами нет. Это несложно проверить для групп Чжоу, однако, любая свободная теория А* , кольцо коэффициентов которой А является Q -алгеброй, канонические

изоморфна группам Чжоу с коэффициентами в А , т.е. СН* А , и утвер-А*

Тем не менее, целочисленно свободные теории очень сильно отличаются между собой и операции между ними позволяют получать информацию об одних инвариантах при помощи других инвариантов, которые в конкретной задаче могут быть вычислены более простым способом. Наиболее типичным примером такого рода являются классы Черна, которые можно рассматривать как операции из К-теории векторных расслоений со значениями в группах Чжоу или в произвольной ориентированной теории. Для некоторых многообразий (как, например, квадрики или многообразия Севери-Брауэра) построение векторных расслоений на них или даже вычисление К-теории является простой задачей, а вычисление групп Чжоу, в общем случае, является открытым вопросом, Классы Черна векторных расслоений в таких примерах позволяют строить элементы в группах Чжоу, которые сложно построить другим образом,

В данной работе мы строим операции с^ из К (п)* в СН * ® Ъ(р) , где Z(p) - локализация целых чисел вне простого числа р , называемые нами классами Черна, которые удовлетворяют модифицированной формуле Картана:

сш(х + у) = Рк{п)(сш(х), сш(у)),

где сш = ^г> 1 с% , а ^к(п) _ формальный групповой закон, ассоциированный с К-теорией Моравы, Кроме того, мы показываем, что любая операция из К(п)* в СН* ®Z(p) может быть представлена единственным образом как формальный ряд от классов Черна, Существование операций Сг , удовлетворяющих указанным свойствам, указывает на некоторую схожесть между К-теориями Моравы и К-теорией Гротендика, Мы также доказываем, что первые рп классов Черна являются сюрьектнвнымн, благодаря чему их можно использовать для оценки размера соответствующих групп Чжоу в тех случаях, когда К-теорию Моравы многообразия можно вычислить.

Оказывается, что "классы Черна" из К-теорий Моравы можно определить со значениями во всех рп -типических ориентированных теориях, В частности, можно определить классы Черна из К(п)* в К(п)* . Используя эти операции, можно определить, аналогично К-теории, гамма-фильтрацию на К-теориях Моравы и доказать её свойства, аналогичные классическим свойствам гамма-фильтрации на К0 . В частности, оказывается, что первые рп факторов гамма-фильтрации па К(п)* сюрьективпо и аддитивно отображаются в соответствующие группы Чжоу с Ъ(р) -коэффициентами. Это позволяет применять К-теорию Моравы для оценок кручения в группах Чжоу некоторых многообразий.

Примерами таких многообразий являются квадрики специального вида. Вообще говоря, нетривиальность квадратичной формы над полем Р измеряется её классом в кольце Витта Ш(^) , Кольцо Витта фильтровано степенями фундаментального идеала I = I(^) С Ш(^) , и согласно гипотезе Милнора (теореме Вишика-Воеводского-Орлова) высоким степеням идеала соответсвтует когомологические инварианты высокой градуировки у соответствующей квадрики.

Как заметил В, Воеводский на примере квадрик Пфиетера, п -ая К-теория Моравы "не отличает" квадрику, класс которой лежит в п + 2 -ой степени фундаментального идеала, от самой просто устроенной квадрики, расще-пимой. Данное утверждение было доказано Н, Семёновым для произвольной квадрики из степени фундаментального идеала. Это позволяет нам, используя классы Черна и гамма-фильтрацию на К-теориях Моравы, получить оценки на кручение в первых 2га группах Чжоу квадрики из идеала 1п+2 .

Цели исследования

Целями данной работы является доказательство таннакиевости категории плоских структур Ходжа-Тейта и классификация операций из алгебраических К-теорий Моравы в группы Чжоу с Z(p) -коэффициентами.

Научная новизна

Все представленные на защиту положения являются новыми научными результатами, В частности, впервые исследована категория плоских структур Ходжа-Тейта как абелева категория. Частичные результаты об операциях из К-теорий Моравы в группы Чжоу были получены ранее В, Петровым и Н, Семёновым, однако, их конструкции касались операций, не учитывающих кручение. Классификация операций из алгебраических К-теорий Моравы в группы Чжоу выполнена впервые.

Положения, выносимые на защиту

Основные результаты диссертационного исследования заключаются в следующем:

• описание категории плоских структур Ходжа-Тейта как представлений явно заданной алгебры Хопфа;

• построение операций Сг из алгебраических К-теорий Моравы в группы Чжоу с Z(p) -коэффициентами, удовлетворяющих модифицированной формуле Картана;

• доказательство того, что поетроенные операции сг свободно порождают кольцо всех операций.

Теоретическая значимость работы

Диссертация носит теоретический характер. Её результаты могут быть использованы в алгебраической геометрии однородных пространств над незамкнутыми полями, теории мотивов Тейта с комплексными и конечными коэффициентами, изучении обобщённых ориентированных теорий когомологий.

Методы исследования

В данной работе использованы методы гомологической алгебры, алгебраической геометрии и алгебры.

Степень достоверности и апробация результатов

Представленные на защиту результаты диссертации представляют собой математические утверждения и сопровождаются строгими доказательствами. Основные результаты диссертации докладывались

• на воркшопе "Algebraic Cobordism and Projective Homogeneous Varieties" в Обервольфахе (Германия), февраль 2016 г.;

Санкт-Петербурге, ноябрь 2016 г.; Публикации

Основные результаты опубликованы в двух работах в научном журнале, входящем в список рекомендованных журналов ВАК,

Структура работы

Диссертация состоит из трёх глав и списка литературы из 35 наименований. Общий объём диссертации составляет 105 страниц.

Благодарности

Автор выражает благодарность своему научному руководителю М.З, Ровинеко-му за постановку задачи о плоских структурах Ходжа-Тейта, внимательное отношение к непониманию автором диссертации различных идей и конструкций,

и

за неоднократную помощь в корректуре текстов и за многие годы интересного общения на различные математические темы.

Автор сердечно благодарит A.C. Вишика за постановку задачи об операциях, многочисленные беседы и детальную корректуру англоязычной версии текста о K-теориях Моравы,

Глава 1. Категория плоских структур Ходжа-Тейта

Различные когомологии алгебраических многообразий имеют структуру, дополнительную к структуре векторного пространства: на когомологиях де Рама имеется фильтрация Ходжа, на -пильных когомологиях имеется действие группы Галун, в сингулярных когомологиях с рациональными коэффициентами имеется целочисленная решётка. Изучение такого рода дополнительной информации является одним из подходов к теории мотивов, некоторой гипотетической универсальной теории когомологий.

Одной из структур на алгебраических когомологиях де Рама многообразия, определённого над полем К , является связность Гаусса-Манпна: H'¿R А Q}K/q , Эта связность является плоской и удовлетворяет условию транс-

версальности Гриффптса,

Если зафиксировать вложение К А C , то алгебраические когомологии де Рама комилексификации можно отождествить с аналитическими когомоло-гиями де Рама, и задать связность Гаусса-Манина на соответствующей структуре Ходжа: VH : Н А ® Н .

Заметим, что в случае, если многообразие было определено над числовым полем, то = 0 , Однако, связность Гаусса-Манпна на структуре Ходжа

будет содержать дополнительную информацию о когомологиях многообразия, А именно, на Q -решётке сингулярных когомологий связность будет действовать как формальные (т.е. лежащие в ) дифференциалы периодов данных когомологий,

В работе [28] М, Ровинекий доказал, что связность, будучи определена на логарифмических структурах Ходжа-Тейта, являющихся расширениями Q(0) при помощи Q(1) , единственным образом продолжается па все структуры Ходжа-Тейта, если наложить на неё некоторые условия, выполненные в

геометрической ситуации. Более того, оказывается, что не все из них являются плоскими относительно этой связности, В работе [28] вычислена группа Ех12(0(0), 0(2)) в категории плоских структур Ходжа-Тейта,

Напомним, что одно из обобщений гипотезы Ходжа утверждает, что (абе-

С

категории структур Ходжа, Таким образом, нахождение и описание подкатегории в категории структур Ходжа-Тейта, содержащей все объекты, "приходящие из геометрии", является интересной задачей,

В данной главе мы вычисляем категорию плоских структур Ходжа-Тейта как таннакиеву категорию, т.е. явно описываем алгебру Хопфа, категорий представлений которой эквивалентна категория плоских структур Ходжа-Тейта, В частности, это позволяет доказать, что алгебра фга>0Ех1га(0(0), 0>(п)) является квадратичной,

1.1 Категории Тейта

Зафиксируем поле к . В этом разделе все векторные пространства предполага-

Символ ® обозначает тензорное умножение к -векторных пространств,

1.1.1 Связные алгебры Хопфа и категории Тейта

Определение 1.1.1. Будем называть Ъ>0 -градуированную алгебру Хопфа А. над полем к связной, если А0 = к . (Аналогично определяются связные биалгебры и коалгебры.)

Определение 1.1.2. Нейтральная таннакиева категория (Т, ®) вместе с выделенным одномерным объектом к(1) называется категорией Тейта, если каждый объект является расширением объектов к(п) , п € Ъ , где к(0) - единич-

ный объект таннакиевой категории,

{к(1)®п, если п > 0,

( к(1)®(-п))*, если п< 0;

объекты к(п) неизоморфны для разных п и Ext*( к(0), к(п)) = 0 при п < 0 ,

Предложение 1.1.3 ([14, 8,1]). На всякой категории Тейта М существует канонический функтор слоя дrw в категорию градуированных векторных пространств.

Таннакиева категория, ( М , grw ) эквивалентна категории градуированных представлений связной алгебры, Хопфа.

Верно и обратное: категория, представлений связной алгебры, Хопфа является, категорией Тейта.

Предложение 1.1.4 (Lofwall). Пусть М - категория Тейта над к .

Тогда, градуированная алгебра, ®ra>0Ext^( к(0),к(п)) является, квадратичной.

М

на категории конечномерных ко модулей над некоторой связной коалгеброй, то утверждение следует из общего факта о квадратичности алгебры расширений для связных коалгебр (см, [22]), □

Для удобства дальнейших ссылок приведём пример связной алгебры Хопфа, который будет встречаться далее.

Пусть V = ®Vn - Z>0 -градуированное векторное пространство. Обозначим Т(V) = градуированное векторное пространство, в котором элементы Vi1 ® • • • ® Vir имеют градуировку ij .

Т( V)

Т( V)

рованной коалгебры.

Т( V)

тельно естественного функтора слоя) и имеет Ext -размерность 1, причём Ext 1(k(0), к(п)) = К .

Доказательство. Элементы V являются примитивными относительно коумно-жения, т.е. 8(у) = V 0 1 + 1 0 V для любого V € V . На произвольном элементе Т(V) коумножение определяется единственным образом, чтобы быть согласованным со структурой умножения:

п

6(игШи2Ш■ ■ Ш,п) = 1®(М1Й- ■ •ЙМп) + ^(м1 И- ■ №щ)®(щ+1№- ■ Ш,п) + (и 1Й- ■ -Имп)®1.

г=1

Элементы Ех11(к(0),к(п)) можно проинтерпретировать как примитивные элементы п -ой градуировочной компоненты коалгебры, откуда следует утверждение Предложения, □

1.1.2 Связные алгебры Хопфа со связностью

Таннакиев формализм, развитый в [13], позволяет изучать жёсткие моноидаль-ные категории с функтором слоя в терминах представлений алгебр Хопфа, Мы используем применение этой теории в случае, когда функтор слоя пропускается через категорию градуированных векторных пространств, оснащённых некоторым линейным отображением.

Определение 1.1.6. Пусть П1 - фиксированное векторное пространство, А - связная алгебра Хопфа, и заданы линейное отображение V : А А П1 0 А и элемент 9 € П1 ,

Будем говорить, что (V, 9) (или коротко V ) согласовано со структурой алгебры Хопфа, если коммутативны следующие диаграммы ( 8,т,е обозначают коумножение, умножение, коединицу соответственно):1

А

V

А® А

А 0 А

V 0 + 0 V

т

А

V

гл! Л Л ^ 0 т ГЛ1

П1 0 А 0 А-> П1 0 А.

, . гй 0 8 , П1 0 А > П1 0 А 0 А

1 Здесь и далее мы, несколько вольно, обозначаем через 1с1 0 V композицию отображения 1(10 V : А 0 А а А 0 П1 0 А и отображения перестановки а( 12) : А 0 П1 0 А а П1 0 А 0 А .

Аналогичная вольность в обозначении используется в описании д^ , определениях 1.1.7, 1.1.9 и предложении 1.1.8.

5

где для а € Ап §гУ(а ® Ь) = пв ® а ® Ь + а ® У(Ь) ,

Определение 1.1.7. Зафиксируем векторное пространство П1 и обозначим через ^ моноидальную категорию, состоящую из конечномерных Ъ -градуированных векторных пространств, оснащённых к -линейным отображением У у : V А П1 ® V (вообще говоря, не сохраняющим градуировку), Моноидальная структура на № задаётся следующим образом: У у = У у ® И + Ы ® У^ .

Предложение 1.1.8. Пусть функтор слоя категории Тейта С пропускается через категорию №. И пусть на, образе к(1) в № Ук(1)('^>) = 0 , где в € П1 .

А

ражением У а : А А П1 ® А , согласованным со структурой алгебры, Хопфа в смысле определения, 1.1.6.

Если М - градуированный комодуль над А , р : М А М ® А , то на нем индуцируется, отображение Ум , равное ком,позиции:

М А М ® А -—АМ ® П1 ® А ——М ® П1.

Из определения 1.1.6 следует, что отображения рм согласованы, с морфизмам и комодулей.

С

А

ванным с помощью У^ . Эквивалентность согласована, с забывающими функторами в категорию № .

Доказательство. Доказательство данного Предложения повторяет доказательство основной теоремы таннакиева формализма за исключением того, что вместо категории векторных пространств рассматривается категория ^ (см, [13]),

□

1.1.3 Категории Тейта со связностью

Пусть К - к -алгебра. Обозначим П1 = П1К/к модуль кэлеровых дифференциалов, П2 = А2к П1К/к , Отображен ия У у : V А П1 ® V будем называть связностью.

Определение 1.1.9. Будем называть векторное пространство V со связностью Vv плоским, если отображение Vy = (й 0 Ы — Ы Л Vv) ° Vv : V А П2 0 V

2

равно нулю.

Далее мы будем рассматривать алгебры Хопфа со связностью в смысле определения 1,1,6, Везде предполагается выбранным элемент 9 € П1 , т.ч, ¿9 = 9 Л 9 , что соответствует тому, что индуцированная связность на объектах к(п) является плоской.

Функтор слоя категорий представлений таких алгебр Хопфа пропускается через категорию из определения 1,1,7, Мы будем изучать подкатегорию представлений, образ которых в категории является плоским, в терминах алгебр Хопфа,

Определение 1.1.10. Пусть А, - связная алгебра Хопфа со связностью V , Обозначим 11 = {а € А^2(а) = 0} - элементы А, , плоские относительно связности.

Индуктивно определим векторное подпространство А^ С А, : А0 = % = к,

п > 0, АНп+1 := {а € /¿^(а) — 1 0 а — а 0 1 € ®пт=хАнт 0 АНп+1-т}.

Будем называть А^ плоской подалгеброй в А, .

Простой проверкой получаем следующее

Предложение 1.1.11. Векторное пространство А• является градуированной подалгеброй Хопфа.

Теорема 1.1.12. Пусть А. - алгебра Хопфа со связностью V .

Тогда подкатегория плоских комодулей над ней является, таннакиевой и эквивалентна категории представлений А• .

В частности, связность V ограничивается на А• и категория, плос-

<- ГТ1 С-

ких объектов является категорией 1 ей/та.

2На К 0к V определена связность V(a 0 у) = ¿а 0 V + а 0 V(-у) . При этом ^-линейное отображение Vy является кривизной этой связности после расширения коэффициентов. Кривизна связности равна нулю тогда и только тогда, когда отображение Vy равно нулю.

Доказательство. Всякий комодуль над А, вкладывается в прямую сумму комодулей вида А^(п) , плоскость которых легко проверить из определения,

А

дулем над А^ проведём индукцией по "весовой длине". База индукции выполнена, т.к. если М = Мп , то М является прямой суммой объектов к(п) , которые предполагаются плоскими.

Пусть М - плоский комодуль над А• , Подкручивая на плоские объекты Тейта к(п) , можно считать, что М\ = 0 при г < 0 , Длина фильтрации равна п , т.е. М\ = 0 при г > п .

По предположению индукции <Э™-оМг и (М/Мо)(-1) являются ко-модулями над Ан . Рассмотрим элемент т € Мп . и покажем, что 8(т) € М ®Ак.

Легко видеть, что р(т) = т® 1+ х + ^ ■ п^ , где х € Ф^т/, а пз € М0 , аз € . Остаётся доказать, что а^ € .

Для изучения 5(а^) — 1 ® а^ — а^ ® 1 воспользуемся ассоциативностью кодействия:

(р ® г¿)(р(т)) = т ® 1 ® 1 + х ® 1 + (р ® гс1)(х) + щ ® а^ ® 1 + ^ п^ ® 1 ® а^,

(г(1 ® 8)(р(т)) = т ® 1 ® 1 + (г(I® 8)(х) + ^ п ® 8(а^).

з

Вычтем второе равенство из первого и получим У^ п ® (8(аз) — 1 ® аз — аз ® 1) = х ® 1 + (р ® г¿)(х) — (г(1 ® 8)(х) € М ® А

т.е. а^ € А .

1.2 Связность Гаусса-Манина на структурах Ходжа-Тейта

В этом разделе, если не указано иное, значок ® обозначает тензорное произведение О -векторных пространств.

1.2.1 Категория структур Ходжа-Тейта

Определения смешанных структур Ходжа см, в [12]. В данном разделе все структуры Ходжа предполагаются Q -линейными, т.е. "целочисленная решётка" структуры Ходжа является Q -векторным пространством.

Определение 1.2.1. Структурой Ходжа-Тейта называется смешанная структура Ходжа, присоединённый весовой фактор которой является прямой суммой тейтовеких объектов 0>(п) .

Предложение 1.2.2 ((см. [8])). Абелева категория структур Ходжа-Тейта имеет ЕхЬ -размерность равную 1, и для, любого п > 0

Ех^гв(0(0),0(п))~ С/(2т)п(®.

Предложение 1.2.3 ((Теорема 1.4.3 [4])). Категория, структур Ходжа-Тейта является, таннакиевой и эквивалентна категории представлений связной алгебры Хопфа ПГ• = ®п>оНТп .

Как градуированная коалгебра, изоморфна косвободной градуиро-

ванной коалгебре Т(@п>0Ех^1м-нт(0(0),0(п))) .

1.2.2 Плоские структуры Ходжа-Тейта

Пусть X - комплексное алгебраическое многообразие. Тогда на когомологиях де Рама Н(X) определена (абсолютная) связность Гаусса-Манина:

V : Н(X) А ПС/о 0с Н(X).

Эта связность удовлетворяет трансверсальности Гриффитса, сохраняет весовую фильтрацию, является плоской, удовлетворяет формуле Кюннета. Конструкцию и обсуждение этих свойств можно найти в [18].

Одной из гипотез, тесно связанной с гипотезой Ходжа, является единственность связности Гаусса-Манина на структуре Ходжа, приходящей из геометрии. В работе [28] было показано, что существует единственный функтор из

категории структур Ходжа-Тейта в категорию структур Ходжа-Тейта со связностью, обратный справа к функтору забывающему связность и удовлетворяющий некоторым естественным условиям.

Предложение 1.2.4 ((Prop, 3,1 [28])). Существует функтор MHTq a MHTQ

из категории структур Ходжа-Тейта в категорию M.HTQ структур Ходжа-Тейта со связностью, удовлетворяющей трансверсальности Гриффитса.

Этот функтор единственен в классе функторов, которые являются, обратными, справа, к забывающему, доставляют на Q(1) заданную связность, доставляют на логарифмических структурах (т.е. на, расширениях Q(0) при помощи Q(1) ) заданную связность и для, которых связность согласована, с умножением на объект Тейта Q(n) (т.е. удовлетворяет формуле Кюннета для Н ® Q(n) ).

Построенная, таким образом, связность удовлетворяет формуле Кюннета.

Применяя предложение 1,1,8, мы можем переформулировать этот результат в терминах алгебр Хопфа со связностью.

Следствие 1.2.5. На, алгебре Хопфа HT. имеется связность V в смысле определения, 1.1.6. Соответствующий элемент 9 равен — ^ . На линейных образующих HT. связность устроена так:3

(2т)п~1 ^ ® [ Лх И ■ ■ ■ И 1], если Лга € ПТц V((2ттг)га[А1 И ••• ИЛга]) ' Лэт

0, .

Пусть Н - структура Ходжа- Тейта, Vн - связность на, ней, М = Фг дг^,Н - комодуль над , соответствующий Н при эквивалентности, категорий из предложения 1.2.3. Имеется естественный изоморфизм

Н ® С = ФГГГ п (Ш2г ® С) ^ Фгд® С = М ® С,

М

3 Очевидно, связность на О -решётке однозначно определяется своим значением на её ком-плексификации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Сечин, Павел Андреевич, 2017 год

Список литературы

1. Сечин П, Категория плоских структур Ходжа-Тейта // Математические заметки. - 2016. Т.99. Ж1. С. 149-154.

2. Сечин П. Кольцо операций из К-теорий Моравы в группы Чжоу // Математические заметки. 2017. Т.101. Ж 1 (2017). С. 150-154.

3. Seehin P. Chern classes from Morava K-theories to Chow groups // Working Papers of Cornell University, arxiv:1605.04444. 2016.

4. Бейлинеон А. А. и др. Проективная геометрия и К-теория // Алгебра и анализ. - 1990. - Т. 2. - №. 3. - С. 78-130.

5. Фултон У. Теория пересечений. Рипол Классик. 1989.

6. Araki S. Typical formal groups in complex cobordism and K-theory. 1973.

7. Adams J. F. Stable homotopv and generalised homology. University of Chicago press, 1995.

8. Beilinson A. A. Notes on absolute Hodge cohomology, Applications of algebraic K-theorv to algebraic geometry and number theory, Part I, II (Boulder, Colo., 1983) // Contemp. Math. - 1986. - T. 55. - C. 35-68.

9. Beilinson A. A. et al. Aomoto dilogarithms, mixed Hodge structures and motivie cohomology of pairs of triangles on the plane // The Grothendieck Festschrift. - Birkhâuser Boston, 2007. - C. 135-172.

10. Brosnan P. Steenrod operations in Chow theory // Transactions of the American Mathematical Society. - 2003. - T. 355. - №. 5. - C. 1869-1903.

11. Cartier P. Modules associes a un groupe formel commutatif // Courbes typiques. CE Acad. Sc. Paris. - 1967. - T. 265. - С. 129-132.

12. Deligne P. Théorie de Hodge, II // Publications Mathématiques de l'IHÉS, -1971. - T. 40. - №. 1. - С. 5-57.

13. Deligne P., Milne J. S. Tannakian categories // Hodge cycles, motives, and Shimura varieties. - Springer Berlin Heidelberg, 1981. - C. 101-228.

14. Goneharov A. B. et al. Galois symmetries of fundamental groupoids and noneommutative geometry // Duke Mathematical Journal. - 2005. - T. 128. - №. 2. - C. 209-284.

15. Grothendieck A. La théorie des classes de Chern // Bulletin de la société mathématique de France. - 1958. - T. 86. - С. 137-154.

16. Hazewinkel M. Witt vectors. Part 1 // Handbook of algebra. - 2009. - T. 6. -C. 319-472.

17. Hazewinkel M. Formal groups and applications. - Elsevier, 1978. - T. 78.

18. Katz N.M., Oda T. On the differentiation of de Eham eohomologv classes with respect to parameters //J. Math. Kyoto Univ. - 1968. - T. 8. - №. 2. - C. 199-213.

19. Kashiwabara T. Hopf rings and unstable operations // Journal of Pure and Applied Algebra. - 1994. - T. 94. - №. 2. - C. 183-193.

20. Levine M,, Morel F. Algebraic cobordism. - Springer Science & Business Media, 2007.

21. Levine M,, Pandharipande E. Algebraic cobordism revisited //Inventiones mathematicae. - 2009. - T. 176. - №. 1. - C. 63-130.

22. Lôfwall C. On the subalgebra generated by the one-dimensional elements in the Yoneda Ext-algebra // Algebra, algebraic topology and their interactions. -Springer Berlin Heidelberg, 1986. - C. 291-338.

23. Милн Дж. Этальные когомологии, 1983.

24. Panin I., Smirnov A. Push-forwards in oriented eohomologv theories of algebraic varieties, K-Theorv Preprint Archives. 2000. ф 459.

25. Panin I. Push-forwards in oriented eohomologv theories of algebraic varieties: II //preprint at Imp: www. math. uiuc. edu/K-theorv/0619, - 2003.

26. Petrov V,, Semenov N, Morava K-theorv of twisted flag varieties // arXiv preprint arXiv: 1406.3141. - 2014.

27. Robert A. M, A course in p-adic analysis. - Springer Science & Business Media, 2013. - T. 198.

28. Rovinskv M. The Gaufi-Manin connection on the Hodge-Tate structures // Comptes Rendus de l'Académie des Sciences-Series I-Mathematies, - 2001. - T. 333. - №. 4. - C. 333-337.

29. Semenov N. Cohomological invariants of algebraic groups and the Morava K-theorv // arXiv preprint arXiv:1406,5609, - 2014.

30. Voevodskv V. Bloeh-Kato conjecture for Z/2-coeflîcients and algebraic Morava K-theories //Preprint, June. - 1995.

31. Voevodskv V. Reduced power operations in motivie cohomology // Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques. - 2003. - T. 98. -C. 1-57.

32. Vishik A. Stable and unstable operations in algebraic cobordism // arXiv preprint arXiv: 1209.5793. - 2012.

33. Vishik A. Operations and polv-operations in Algebraic Cobordism // arXiv preprint arXiv: 1409.0741. - 2014.

34. Vishik A., Yagita N. Algebraic cobordisms of a Pfister quadric // Journal of the London Mathematical Society. - 2007.

35. Orlov D,, Vishik A., Voevodskv V. An Exact Sequence for /2 with Applications to Quadratic Forms // Annals of mathematics. - 2007. - T. 165. -№. 1. - C. 1-13.

36. Quillen D. Elementary proofs of some results of cobordism theory using Steenrod operations // Advances in Mathematics. - 1971. - T. 7. - №. 1. - C. 29-56.