Свойство интегрируемости в комбинаторике групп перестановок тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Красильников Евгений Сергеевич

• Красильников Евгений Сергеевич
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Красильников Евгений Сергеевич

Введение

Алгебры Хоифа комбинаторных объектов

Определение алгебры Хопфа

Алгебра Хопфа многочленов

Алгебра Хопфа графов

Алгебра Хопфа хордовых диаграмм

Алгебра Хопфа оснащенных графов

Весовая система з12

Весовая система в12

Задача о продолжении весовой системы &12

Производящие функции комбинаторных объектов как решения иерархии КП

Полубесконечная внешняя степень

Многочлены Шура

Пространство решений иерархии КП

Семейство решений иерархии КП

Числа Гурвица

Комплексные числа Гурвица

Вещественные мероморфные функции

Случай разделяющих вещественных кривых

Простые чисто вещественные числа Гурвица

Оператор транспозиции

Действие оператора транспозиции

Случай необязательно разделяющих вещественных кривых

Простые чисто вещественные числа Гурвица

Оператор транспозиции

Действие оператора транспозиции

1 Построение продолжения весовой системы &[2

1.1 Значения весовой системы з12

1.2 Вычисление значений весовой системы з12 на графах, не являющихся графами пересечений

1.3 Результаты компьютерных вычислений

2 Алгебры Хопфа комбинаторных структур, теневые инварианты и решения иерархии Кадомцева-Петвиашвили

2.1 Примитивные элементы

2.2 Доказательство основного результата

2.3 Алгебра Хопфа взвешенных графов

3 Вещественные числа Гурвица

3.1 Случай разделяющих вещественных кривых

3.1.1 Представления группы §п+ < в пространстве состояний

3.1.2 Подходы к вычислению многочленов Шура представления

3.1.3 Алгебра типов переходов

3.1.4 Действие оператора си1-&-рш как умножение на класс транспозиции

3.1.5 Алгоритм вычисления производящей функции НКо та примере А.2,4

3.2 Случай необязательно разделяющих вещественных кривых

3.2.1 Представления группы

3.2.2 Подходы к вычислению многочленов Шура представления

3.2.3 Алгебра типов переходов

3.2.4 Действие оператора си1-&-рш как умножение на класс транспозиции

3.2.5 Алгоритм вычисления производящей функции та примере Лв

Заключение

Публикации, содержащие результаты диссертации

Список обозначений

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Свойство интегрируемости в комбинаторике групп перестановок»

Введение Введение

Настоящая диссертация иосвящоиа исследованию различных объектов комбинаторной природы и свойств инвариантов этих объектов. Интересующие нас объекты обязаны своим происхождением задачам топологии пространств отображений одномерных объектов над полем вещественных и комплексных чисел окружности и комплексных алгебраических кривых. В вещественном случае речь идет об инвариантах узлов в трехмерной сфере, в комплексном о мероморфных функциях на кривых. Соответствующие комбинаторные объекты естественно объединяются в алгебраические структуры алгебры Хопфа, и с ними связаны производящие функции от бесконечного числа переменных. Часто оказывается, что эти производящие функции являются решениями интегрируемых иерархий уравнений в частных производных математической физики. Это свойство не только проясняет природу соответствующих геометрических объектов, но и дает эффективные способы вычисления этих производящих функций.

Весовая система sl2 представляет собой функцию на хордовых диаграммах, удовлетворяющую 4-члснному соотношению. По всякой хордовой диаграмме строится граф пересечений. вершины которого соответствуют хордам диаграммы и две вершины соединены ребром, если соответствующие хорды пересекаются. 4-членному соотношению для хордовых диаграмм отвечает 4-члсннос соотношение для графов пересечений. Значение весовой системы sl2 па хордовой диаграмме определено её графом пересечений [ ]. Это приводит к естественному вопросу (С.К. Ландо): существует ли продолжение весовой системы па графы, удовлетворяющее 4-членным соотношениям для графов? Мы разрабатываем алгоритмы. которые приводят к утвердительному ответу на этот вопрос для случая графов с n < 8 вершинами.

sl2-весовая система является специализацией более общей упивесальпой ^[-системы. Есть основания предполагать, что результат усреднения универсальной gl-системы по перестановкам является т-функцией иерархии Кадомцева-Петвиашвили, что должно привести к дальнейшему прояснению природы в^-весовой системы.

Недавно C.B. Чмутов, М. Э. Казарян и С. К. Ландо [7] ввели класс инвариантов графов, названных ими теневыми инвариантами. Эти инварианты представляют собой градуированные гомоморфизмы из алгебры Хопфа графов в алгебру Хопфа многочленов от бесконечного числа переменных. Они доказали, что результат усреднения почти всякого такого инварианта по всем графам после подходящего перешкалирования переменных превраща-

т

функцней интегрируемой иерархии Кадомцева Петвиашвили. Мы доказываем аналогичное утверждение для алгебры Хопфа оснащенных графов. В то же время мы показываем, что аналогичное утверждение не справедливо для ряда других алгебр Хопфа схожей природы, в том числе для алгебр Хопфа взвешенных графов, хордовых диаграмм, бинарных дельта-матроидов. Таким образом, оказывается, что алгебры Хопфа графов и оснащенных графов играют выделенную роль среди градуированных алгебр Хопфа комбинаторной природы.

Восходящая к А.Гурвицу теория комплексных чисел Гурвица, перечисляющих разветвленные накрытия комплексной проективной прямой с предписанными данными ветвления, в последние десятилетня превратилась в одну из центральных областей математики. Одно из естественных направлений развития теории Гурвица ее распространение на случай вещественных разветвленных накрытий проективной прямой. Простые вещественные числа Гурвица перечисляют вещественные мероморфные функции на вещественных алгебраических кривых, все конечные критические значения которых простые. М. Э. Казарян, С. К.

Ландо и С. М. Натанзон [19] построили алгебры типов переходов, для которых эти числа являются структурными константами, и вывели уравнения транспозиции на производящие функции для них. Мы изучаем структуру алгебр типов переходов и разрабатываем подходы к эффективному вычислению простых вещественных чисел Гурвица.

Алгебры Хопфа комбинаторных объектов

Структура многих инвариантов комбинаторных объектов тесно связана со структурами соответствующих алгебр Хопфа. В настоящем разделе мы даём описания алгебр Хопфа объектов комбинаторной природы, которые являются предметом изучения в настоящей диссертации.

Определение алгебры Хопфа

Дадим определение алгебры Хопфа. следуя [4]. Все рассматриваемые ниже векторные пространства определены над полем Е характеристики 0. Для простоты здесь и ниже можно считать, что это поле С комплексных чисел.

Пусть А — векторное пространство. Умножение V та векторном пространстве А это линейное отображение V : А < А ^ А. Умножение ассоциативно, если диаграмма

A <g> A <g> A—-A <g> A

id&v

A®A-

A

V

V

коммутативна. Здесь и ниже гй обозначает тождественное отображение векторного пространства в себя. Единицей для V служит линейное отображение ь : Е ^ А, такое, что диаграмма

F ® A -

A

A <g> A

A

коммутативна.

Векторное пространство А вместе с линейным отображением 6 : А ^ А < А (коумно-жением) и линейным отображением е : А ^ Е (коединицей) называется коалгеброй, если коммутативны следующие диаграммы:

A <g> A <g> A-A <g> A

S0id

A <g> A s

A

F ® A-

e0id

A

A ® A

s

A

Все рассматриваемые нами алгебры и коалгебры обладают свойствами коммутативности и кокоммутативности, т.е. коммутативны диаграммы

AA

A

AA

A

AA

A A® A-

A

V

s

s

V

Т

Т

s

V

где т : А® А ^ А® А это перестановка множителей тензорного произведения, т(а®Ъ) = Ъ®а.

Биалгебра это векторное пространство А вместе га структурой алгебры (V, ь) и структурой коалгебры (5, б), такими, что

1. 6(1) = 1

2. 5(1) = 1 ® 1

6(аЪ) = 6(а)6(Ъ)

5(аЪ) = 5(а)5(Ъ)

АА

торных пространств:

А = 0 Ак,

к> 0

причём умножение и коумножение в А согласованы с градуировкой, т.е. V(Ак ® А;) С Ак+ для всех к, I = 0,1,2,..., и 5(Ап) С А0®Ап +А1 ® Ап-1 + ■ ■ ■ +Ап® А0 для всех п = 0,1,2,....

А

Ап

Градуированная биалгебра А связна, если г.: Е ^ А суть изоморфизм Е на А0 С А. Градуированная алгебра Хопфа — это связная градуированная биалгебра конечного типа вместе с линейным отображением $ : А ^ А, таким, что

V О (5 ® 1) о 5 = V О (1 ® $) О 5 = I О 6.

Отображение 5 называется антиподом.

Алгебра Хопфа многочленов

Простейшим примером алгебры Хопфа интересующего нас вида является алгебра Хопфа многочленов.

Пусть К — алгебра многочленов от (возможно бесконечного) набора переменных, К = я2, ...]• Алгебра К градуирована, К = К0 ФЙ1 ф ..., где Кп — подпространство в

ь

К, порождённая мономами степени п. Степень п монома П определяется как сумма

а=1

ь

степеней входящих в пего переменных, п = ^ ¿а deg(qа). Натуральные степени переменных

а=1

deg(qa) заданы изначально, причем множество переменных, степень которых не превышает пп

5

5(9») = Яг ® 1 + 1 ® 9».

Коединицей является отображение 6 : К ^ С, ставящее в соответствие многочлену г еК его свободный член г(0, 0,...). Таким образом, алгебра К является биалгеброй. Эта биалгебра коммутативна и кокоммутативна, операции умножения и коумножения согласованы с градуировкой, что превращает её в алгебру Хопфа многочленов. Антипод действует на переменных следующим образом: 5(яг) = — дг.

Алгебра Хопфа графов

Алгебра Хопфа графов введена в [ ]. Пусть £ — векторное пространство над Е, порождённое простыми графами (графами без петель и кратных рёбер). Здесь и далее мы рассматриваем графы с точностью до изоморфизма. Пространство £ градуировано:

£ = £о © £1 ® £2 © ... = (0) © ( • ) © ( • • , •—• ) ® ...,

где £п — конечномерное векторное пространство, порождённое всеми графами па п верши-

Умножение V : £ < £ —> £ определяется дизъюнктным объединением графов и продолжается на их линейные комбинации по линейности. Коумножение графов 6 : £ —> £ < £ для графа О определяется следующим образом:

6(С)= £ ои < О|/2;

J1uJ2=v (о)

здесь суммирование идёт по всем дизъюнктным упорядоченным разбиениям множества вершин V(О) графа О на два подмножества, а через О^ обозначен подграф в О, индуцированный множеством вершин J С V(О). На линейные комбинации графов коумножение продолжается по линейности.

Заметим, что умножение и коумножение графов согласованы с градуировкой:

V : £к <£1 —> £к+1, 6 : £п —> £о < £п ® £1 < £п-1 ® • • • © £п < £о.

£

рованную биалгебру. Эта биалгебра коммутативна, кокоммутативна, единицей служит пустой граф, коединицей — отображение е : £ ^ Е, переводящее пустой граф в единицу поля, а всякий непустой граф в нуль. Согласно теореме Милнора Мура [28], всякая связная градуированная кокоммутативная биалгебра является алгеброй Хопфа, поэтому мы можем говорить о биалгебре графов как об алгебре Хопфа.

Алгебра Хопфа хордовых диаграмм

Хордовая диаграмма В порядка п — ориентированная окружность с фиксированным набором из п хорд, рассматриваемая с точностью до диффеоморфизма, сохраняющего ориентацию. На всех рисунках ниже предполагается, что окружность хордовой диаграммы ориентирована против часовой стрелки. Граф пересечении Г(В) хордовой диаграммы В —

В

ром, если соответствующие хорды пересекаются. Ниже представлен пример сопоставления хордовой диаграмме её графа пересечений.

Однако, не всякий граф является графом пересечений какой-либо хордовой диаграммы. Все графы с числом вершин не превышающим 5 являются графами пересечений. Ниже изображены два графа с 6 вершинами, не являющихся графами пересечений. Доля таких графов быстро растёт с ростом числа вершин.

Дуговая диаграмма набор точек на ориентированной прямой, попарно соединённых дугами. расположенными в верхней полуплоскости. Каждой дуговой диаграмме соответствует хордовая диаграмма, которая является результатом замыкания прямой в окружность. Наоборот, каждая хордовая диаграмма порядка п допускает до 2п представлений в виде дуговой диаграммы. Каждое из этих представлений получается в результате разрезания окружности в точке, отличной от концов дуг. Так, следующая хордовая диаграмма имеет 4 представления в виде дуговой диаграммы.

Напротив, замыкание прямой в окружность однозначно сопоставляет всякой дуговой диаграмме хордовую диаграмму.

Обозначим через С = С0 ф С ф С2 Ф ... градуированное векторное пространство хордовых диаграмм; каждое пространство Сп порождено хордовыми диаграммами с п хордами. Хордовые диаграммы естественно возникают в теории В.А.Васильева инвариантов узлов

п

п

4-членному соотношению:

Здесь и далее пунктирной линией обозначены части окружности хордовой диаграммы, на которых могут лежать концы фиксированного набора хорд, одинакового для каждой диаграммы. Также на рисунках мы не указываем действующую на диаграммах функцию.

Произведение хордовых диаграмм это хордовая диаграмма, соответствующая дуговой диаграмме, полученной последовательным соединением соответствующих дуговых диаграмм. Результат умножения хордовых диаграмм не зависит от выбора точки разрыва по модулю четырёхчленных соотношений.

Коумножение 3 хордовых диаграмм определено следующим образом

где через В|х обозначена хордовая диаграмма, образованная подмножеством X с V(В) множества V(В) хорд диаграммы В.

Умножение и коумножение продолжаются па линейные комбинации хордовых диаграмм

С

факторизоваиное по модулю 4-членного соотношения, в градуированную алгебру Хопфа А = А0 Ф А Ф А2 Ф ..., А, = С,/<4-членные соотношениях

Следуя [23], определим четырёхчленное соотношение для графов:

3(В):= ]Т В|х ® В|у(В)\х,

ХСУ (В)

+

А

А

А

А

Соотношение строится следующим образом. Выберем произвольное ребро графа, назовём его ЛБ. Первым слева элементом является исходный граф. Далее идёт этот же граф с удалённым ребром ЛБ. Третий и четвёртый графы строятся следующим образом. Рас-

ЛБ Б

БС1, БС2,..., БСп. Далее, если в исходном графе вершины Ли С соединены ребром, удалим это ребро, если не соединены добавим. Таким образом, задаётся третий элемент

ЛБ

Линейную комбинацию графов в левой части равенства назовём 4'членным, элементом.

Факторпространство пространства графов по подпространству, порождённому 4-член-ными элементами, обозначим через Т = То ф Т\ ф ..., где Тп = Яп/<4-членные элементы>. На нём имеется индуцированная с Я структура алгебры Хопфа. Как нетрудно видеть, отображение, сопоставляющее хордовой диаграмме её граф пересечений, продолжается до градуированного гомоморфизма алгебр Хопфа А ^ Т.

Алгебра Хопфа оснащенных графов

Алгебра Хопфа оснащенных графов введена в [26] как инструмент построения инвариантов конечного порядка плоских кривых. Оснащенный граф представляет собой простой граф О вместе с оснащением — отображением V(О) ^ {0,1} го множества вершин V(О) графа О в двухэлементное множество {0,1}.

Пусть Я2 — векторное пространство над Е, порождённое классами изоморфизма оснащенных графов. Это пространство также является алгеброй Хопфа: операции в ней определяются аналогично операциям алгебры Хопфа графов Я-Градуировка имеет вид

я2 = я02 ф я2 ф я22 ф ... = (0) ф (®, ®) ф (® ®,® ®,® ф ...,

где ЯП — конечномерное векторное пространство, порождённое всеми оснащенными графа> Я2 определяется их дизъюнктным

ми на п вершинах.

Умножение оснащенных графов V : Я2 <8> Я2 объединением. Для графов О15 О2:

v(Оl,О2) = О1 и О2.

Коумножение оснащенных графов 5 : Я2 —> Я2 <8> Я2 определяется следующим образом. О

5(О) = £ О|л ® О^2,

J1uJ2=v (о)

где суммирование идёт по всем дизъюнктным упорядоченным разбиениям множества вершин V(О) оснащенного графа О на два подмножества, а через О^ обозначен оснащенный

0

подграф в О, индуцированный множеством вершин 3. При индуцировании подграфа оснащения вершин сохраняются. На линейные комбинации оснащенных графов коумножение продолжается по линейности.

Как и в случае простых графов, умножение и коумножение оснащенных графов согласованы с градуировкой:

3: аП (а/ ® аП) е (а/ ® аП-1) е ■ ■ ■ е (аП ® а/).

Единица, коединица и антипод вводятся аналогично соответствующим элементам структуры алгебры Хопфа простых графов.

Оснащенная хордовая диаграмма — это хордовая диаграмма порядка п с заданным на пей оснащением. Под оснащением мы понимаем отображение, сопоставляющее каждой хорде хордовой диаграммы элемент множества {0,1}. В [ ] вводятся 4-членные соотношения для оснащённых графов и оснащённых хордовых диаграмм, а также структуры алгебр Хопфа в градуированных векторных пространствах, являющихся результатом факторизации по 4-члеииым соотношениям.

Весовая система sl2 на графах

Одним из основных источников весовых систем являются алгебры Ли. Весовая система, соответствующая первому нетривиальному случаю алгебры Ли s^, уже глубоко нетривиальна. Мы исследуем возможность её продолжения до инварианта графов, удовлетворяющего 4-члснному соотношению для них.

Весовая система si2 на хордовых диаграммах

Пусть G — алгебра Ли, dim G = m, (•, •) — невырожденная инвариантная билинейная форма. Инвариантность означает, что (x, [y, z]) = ([x, y],z) для всех x,y, z G G. Обозначим через U(G) универсальную обёртывающую алгебру алгебры Ли G.

Выберем ортонормированный относительно формы (•, •) базис {ei,...,em} в G. Построим отображение wg : A ^ U(G) алгебры хордовых диаграмм по модулю 4-членных соот-

G

диаграмму а, представляющую хордовую диаграмму D. Элемент wg(D) универсальной обёртывающей алгебры U(G) построим следующим образом. Для данного отображения ф множества хорд диаграммы a в множество {1,...,m} напишем па концах каждой хорды элемент е4 G G, если при отображении ф эта хорда переходит в элемент i Суммирование

D

обёртывающей алгебре U(G). Мы продолжаем отображенне wg та всю алгебру A по линейности.

Например, для m = 3:

el + eie2eie2 + e^ei ез + e2eie2ei + e|+

+е2езе2ез + e3ei e3ei + e3e2e3e2 + e3

Теорема 1. [ , ] Пусть G - алгебра Ли вместе с невырожденной инвариантной билинейной формой (■, •). Тогда отображение т® : А ^ и(G) обладает следующим,и свойствами:

(1) значение т® (Б) отображения т® не зависит от выбора ортонормированного базиса

(2) значение т0(Б) отображения т® не зависит от выбранного представления хордовой

диаграммы В в виде дуговой диаграммы;

(3) образ отображения лежит в центре универсальной обёртывающей алгебры и(©),-

(4) отображение удовлетворяет 4-членному соотношению для хордовых диаграмм.

Заметим, что значение отображения на произведении хордовых диаграмм равно произведению его значений на сомножителях. Таким образом, является гомоморфизмом алгебр, т® : А ^ ZU(©).

В простейшем нетривильном случае, когда алгебра Ли © является алгеброй Ли &{2, а форма (•, •) — формой Киллинга, центр универсальной обёртывающей алгебры и(з12) порождается единственным элементом с = е\ + е\ + — элементом Казимира, ZU (в[2) = С [с]. В этом частном случае функция может быть также определена с помощью следующих рекуррентных соотношений Чмутова-Варченко.

Определим весовую систему в12 как функцию V на множестве хордовых диаграмм, которая хордовой диаграмме порядка п сопоставляет многочлен степени п от переменной с. Значение функции V на хордовой диграмме с одной хордой равно с. Если хордовая диаграмма содержит хорду (назовём её листом), пересекающую ровно одну другую хорду, то значение на исходной диаграмме равно значению на диаграмме с удаленным листом, умноженным на (с — 1). Если хордовая диаграмма не содержит листьев, то имеют место рекуррентные соотношения Чмутова-Варченко:

С их помощью можно вычислить значение весовой системы на любой хордовой диаграмме. Однако сложность таких вычислений экспоненциальна: на каждом шаге диаграмма заменяется 5 более простыми диаграммами.

Если хордовая диаграмма представляет собой произведение двух непустых диаграмм, то значение весовой системы 512 на ней есть произведение её значений на сомножителях.

Теорема 2. [6]

(1) Функция V корректно определена, т.е. результат ее вычисления не зависит от порядка применения соотношений.

(2) Она совпадает с весовой системой, построенией по алгебре Ли в12. Задача о продолжении весовой системы &[2 на графы

Функция на графах, удовлетворяющая четырехчленному соотношению, называется ^-инвариантом графов. Одним из первых примеров 4-инварианта является хроматический многочлен графа. Всякий 4-инвариант графов определяет весовую систему: значение этой весовой системы на хордовой диаграмме равно значению 4-инварианта на графе пересечений диаграммы.

Следующее утверждение позволяет определить значение весовой системы &{2 на графах пересечений.

Теорема 3. [ ] Значение весовой системы в12 на хордовой диаграмме определено ее графом пересечений.

Это утверждение приводит к естественному вопросу (С.К. Ландо): существует ли 4-инвариант графов, значение которого на графах пересечений совпадает со значением &{2-весовой системы на них?

Несмотря на значительное количество работ, посвященных этому вопросу, окончательный ответ на него до сих пор не получен. Наш первый основной результат утвердительно отвечает на этот вопрос для графов с < 8 вершинами.

Теорема ЕК21-1. Весовая система в[2 на графах пересечении от 1 до 8 вершин допускает продолжение до 4-инварианта графов; такое продолжение единственно.

Вопрос о существовании и единственности продолжения на графы с большим числом вершин остаётся открытым и требует дальнейшего изучения. Один из подходов к его решению состоит в том, чтобы попытаться определить в[2-весовую систему па графах, зная её значения на сериях графов, см. например [37].

Доказательство Теоремы ЕК21-1 основано на компьютерных вычислениях.

Производящие функции комбинаторных объектов как решения иерархии КП

Иерархия Кадомцева-Петвнашвнлн (далее КП) это интегрируемая система уравнений в частных производных на функции, зависящие от бесконечного набора переменных, о её решениях комбинаторной природы см., например, [18]. Младшее из уравнений иерархии КП имеет вид

д2^ _ д2^ 1 /д2^\2 1 д4^ др2 дрхдрз 2 у др2 у 12 др4

В настоящем разделе мы даём описание пространства решений иерархии КП и изучаем некоторые семейства функций, принадлежащие этому пространству решений и связанные с рассматриваемыми нами комбинаторными объектами.

Полубесконечная внешняя степень

Пусть V — бесконечномерное пространство рядов Лорана от одной переменной г. По определению, полубесконечная внешняя степень Ато/2 V — это векторное пространство, натянутое на векторы

= гт1 Л гт2 Л гтз Л ..., т1 > т2 > т3 > .. ., = ^ - г,

где ^ — разбиение, ^ = (^1, ^з,...), > > да > • • • > 0, в котором все части, за исключением конечного числа, равны 0. В частности, пустому разбиению ^ = (0, 0, 0,...) = 0 отвечает вакуум-вектор = г-1 Л г-2 Л г-3 Л ....

Многочлены Шура

Пусть ^ Ь п — разбиение. Многочлен Шура определяется следующим образом:

• Для одночастичного разбиения п1 Ь п многочлен Шура 5П определяется посредством

2з г2 г3

разложения

5о + 512 + + 5з^3 + ... = ехр(р^ + Р2у + Рзу + ...)

= 1+ +1(Р1 + Р2 )г2 +----

Таким образом.

5с = 1

5 = р1

52 = 2(Р1 + Р2)

= П! Е П (а — 1)!Ра

аЬп

Для произвольного разбиения м = (^1, М2, Мз,... ),М1 > М2 > Мз > . ..> многочлен Шура представляет собой определитель

= det ||5Мз —-+¿11.

Пространство решений иерархии КП

Будем говорить, что функция является решением иерархии КП. если она принадлежит пространству решений КП. Пространство (формальных) решений КП можно определить с помощью бозон-фермионного соответствия ф, подробности см. в [ ].

Рассмотрим изоморфизм ф : Лто/2У ^ Е[р1,р2,... ] полубесконечной внешней степени в пространство степенных рядов от бесконечного набора переменных. Этот изоморфизм переводит базисный вектор ^отвечающий разбиению м в многочлен Шура Полубесконечной плоскости, натянутой на вектора в1 (¿0, в2 (¿0,..., сопоставим вектор в1(^) А в2(^) Л • • • € Лто/2У (вложение Плюккера). Представим этот вектор в виде линейной комбинации базисных векторов пространства Ато/2У. Поделим полученную линейную комбинацию на коэффициент при вакуум-векторе и заменим каждый базисный вектор в ней на соответствующий многочлен Шура. Получаемые таким образом формальные степенные ряды от переменных р1,р2,... образуют пространство т-функций иерархии КП, а их логарифмы — пространство решений КП.

Как хорошо известно, всякая линейная комбинация ^ а^ одночастичных многочленов

¿=0

Шура с коэффициентом 1 при 5с является т-функцией иерархии КП.

Семейство решений иерархии КП

В [7] алгебре Хопфа графов сопоставлено решение интегрируемой иерархии Кадомцева Петвиашвили уравнений в частных производных. Пусть С [41, 42, Чз,...] — градуированная алгебра Хопфа многочленов, в которой вес переменной д равен г, г =1, 2, 3,....

Теорема 4. [ ] Пусть I — инвариант графов со значениями в кольце многочленов от бесконечного набора переменных ч1, д2, ..., I: О ^ !с(чъ Ч2,...), продолжающийся до градуированного гомоморфизма алгебр Хопфа. Предположим, также, что числа г„, определенные равенствами

■ = ! ^ Ы^дь^...) гп =п ^ | Aut(О)|

С,|У(С)|=п 1 У П

(здесь через |У(О)| обозначено количество вершин в графе О, [дп]Р обозначает коэффициент при мономе дп в многочлсне Р = Р(д1, д2,... ), а | Aut(О)| — порядок группы автоморфизмов графа С), все отличны от 0.

Определим, производящие функции

-го, ч V^ . . . )

1 (qi,q2,... ) =

J(qi,q2,... ) = Y1

Aut(G)| '

IG (gi,g2,... ) | Aut(G)| '

связный

где в первом случае суммирование берётся по всем, графам,, во втором, по всем, связным, графам. Тогда после перешкалирования переменных qn = 2-. (n-i)!pn производящая функция I становится решением иерархии КП по новы,м, пере,м,енным, рЬ, а 1о — т-функцией иерархии КП. Построенная т-функция не зависит от выбранного инвариан-I

Среди инвариантов графов, удовлетворяющих условию теоремы, имеются такие важные как симметрированный хроматический многочлен Стенли [33]. введенный в [7] многочлен Абеля и многие другие. Техника комбинаторных алгебр Хопфа, развитая в [1]. позволяет строить такие инварианты по любому мультипликативному инварианту графов.

I I

т

I = log 1о.

Сформулированная теорема ставит естественный вопрос: какие еще алгебры Хопфа комбинаторной природы, помимо алгебры Хопфа графов, обладают аналогичным свойством? Мы показываем, что аналогичное утверждение справедливо для алгебры Хопфа оснащенных графов, введенной С. К. Ландо в [26]. и не справедливо для целого ряда других близких по характеру алгебр Хопфа. в том числе, для алгебры Хопфа взвешенных графов, алгебры Хопфа хордовых диаграмм, алгебры Хопфа бинарных дельта-матроидов.

Пусть If : Gf ^ F[q1; q2,... ] градуированный гомоморфизм алгебры Хопфа оснащенных графов в алгебру Хопфа многочленов от бесконечного набора переменных, IfG(qi, q2,...) — инвариант оснащенного графа G, являющийся значением этого гомоморфизма на G.

Определим производящие функции

Tf о, N srIG (дьд2^..)

If (qi,q2,...) = ^ | Aut(G)| '

G

rf(q q ) v IG(ql,q2,...)

If (qi,q2,... ) = Ъ I Aiit( G) I ,

| Aut(G)|

где в первом случае суммирование идёт по всем оснащенным графам, во втором по связным оснащенным графам, | Aut(G)| — порядок группы автоморфизмов оснащенного GG

графов, выполняется соотношение

If = log Ifo.

Определим константы ¡П, n = 0,1, 2,... равенством

ff = , у- [qn]If(qi,q2,... )

in = П' | Aut(G)| ,

|V (G)|=n

где через [qn ]P обозначен коэффициент при мономе qn в многочлене P = P (qi,q2,...). Одним из результатов диссертации является следующая

G

Теорема ЕК19-1. Если in = 0 при всex n = 0,1,2,..., то после перешкалирования пере-

n

менных qn = -f--pn производящая функция If становится решением иерархии

КП в переменных pn, a ° — т-функцией иерархии КП, представляющей собой линейную комбинацию одночастичных многочленов Шура.

Замечание. Этот результат так же, как и его доказательство, не меняется при замене алгебры Хопфа оснащенных графов алгеброй Хопфа графов, в которой множество пометок {0,1} вершин заменяется произвольным конечным множеством (с аналогично определенными умножением и коумиожеиием). Мы, однако, ограничиваемся случаем оснащенных графов, поскольку именно эта алгебра Хопфа связана с инвариантами узлов и плоских кривых. В частности, именно с ней связаны конструкции продолжения инвариантов графов до инвариантов вложенных графов и бинарных дельта-матроидов и, как следствие, продолжения инвариантов узлов до инвариантов зацеплений в [29], [25].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Красильников Евгений Сергеевич, 2024 год

Список литературы

[1] Aguiar, М., Bergeron, N, Sottile, F., Combinatorial Hopf algebras and generalized Dehn Sommerville relations, Compositio Mathematica, 142, 1-30, 2006, London Mathematical Society

[2] Bar-Natan, D., On the Vassiliev knot invariants, Topology, 34, 423-472, 1995, Elsevier

[3] Bigeni, Ange, A generalization of the Kreweras triangle through the universal sl2 weight system, Journal of Combinatorial Theory, Series A, 161, 309-326, 2019, Elsevier

[4] Chmutov S., Duzhin S., Mostovoy J., Introduction to Vassiliev Knot Invariants, 2012, Cambridge University Press

[5] Chmutov S., Lando, S, Mutant knots and intersection graphs, Algebraic & Geometric Topology, 7, 1579-1598, 2007, Mathematical Sciences Publishers

[6] Chmutov S., Varchenko, A., Remarks on the Vassiliev knot invariants coming from s[2, Topology, 36, 153-178, 1997, Elsevier

[7] Chmutov, S., Kazarian, M., Lando, S., Polynomial graph invariants and the KP hierarchy, Selecta Mathematica, 26, 34, 2020, Springer

[8] Chmutov, S., Duzhin, S., Lando, S., Vassiliev knot invariants III. Forest algebra and weighted graphs, Advances in Soviet Mathematics, 21, 135-145, 1994, Citeseer

[9] Dunin-Barkowski P., Kazaryan M., Popolitov A., Shadrin S., Sleptsov A., Topological Recursion for the extended Ooguri Vafa partition function of colored HOMFLY-PT polynomials of torus knots, Advances in Theoretical and Mathematical Physics, 26, 793833, 2022

[10] Ekedahl, Т., Lando, S., Shapiro, M., Vainshtein, A., Hurwitz numbers and intersections on moduli spaces of curves, arXiv preprint math/0004096, 2000

[11] Goulden, I., Jackson, D., Transitive factorisations into transpositions and holomorphic mappings on the sphere, Proceedings of the American Mathematical Society, 125, 51-60, 1997

[12] Hurwitz, Adolf, Uber algebraische Gebilde mit eindeutigen Transformationen in sich, Mathematische Annalen, 41, 403-442, 1892, Springer

[13] Itenberg, I., Zvonkine, D., Hurwitz numbers for real polynomials, Commentarii Mathematici Helvetici, 93, 441-474, 2018

[14] Inglis, NFJ and Richardson, RW and Saxl, X, An explicit model for the complex representations of Sn, Archiv der Mathematik, 54, 258-259, 1990, Springer

[15] Joni, SA and Rota, G-C, Coalgebras and bialgebras in combinatorics, Studies in Applied Mathematics, 61, 93-139, 1979, Wiley Online Library

[16] Kontsevich, M., Vassiliev knot invariants, Adv. in Soviet Math., 137-150, 1993

[17] Kulakova E, Lando S, Mukhutdinova T, Rybnikov G, On a weight system conjecturally related to s[2, European Journal of Combinatorics, 41, 266-277, 2014, Elsevier

[18] Казарян М.Э., Ландо С.К., Комбинаторные решения интегрируемых иерархий, Успехи математических наук, 70, 77-106, 2015, Российская академия наук, Математический институт им. ВА Стеклова

[19] Kazarian, М., Lando, S., Natanzon, S., On framed simple purely real Hurwitz numbers, Izvestiya: Mathematics, 85, 681, 2021, IOP Publishing

[20] Kodiyalam, Vijay and Verma, D-N, A natural representation model for symmetric groups, arXiv preprint math/0402216, 2004

[21] Казарян M. Э., Зинова П. А., Алгебра долей, полные двудольные графы и &12-весовая система, Математический сборник, 214, 87-109, 2023, Российская академия наук, Математический институт им. ВА Стеклова

[22] Казарян М. Э., Ландо С.К., Весовые системы и инварианты графов и вложенных графов, Успехи математических наук, 77, 131-184, 2022, Российская академия наук, Математический институт им. В А Стеклова

[23] Lando, S., On a Hopf algebra in graph theory, Journal of Combinatorial Theory, Series B, 80, 104-121, 2000, Elsevier

[24] Lando, S., Zvonkin, A., Zagier, D., Graphs on surfaces and their applications, 141, 2004, Springer Science & Business Media

[25] Lando, S., Zhukov, V., Delta-matroids and Vassiliev invariants, arXiv preprint arXiv: 1602.00027, 2016

[26] Ландо, С.К., J-инварианты орнаментов и оснащенные хордовые диаграммы, Функциональный анализ и его приложения, 40, 1-13, 2006, Российская академия наук, Математический институт им. ВА Стеклова

[27] Lando, S.K., Introduction to discrete m a them, a tics, 2012, M.: MCCME

[28] Milnor, John W and Moore, John C, On the structure of Hopf algebras, Annals of Mathematics, 211-264, 1965, JSTOR

[29] Nenasheva, M., Zhukov, V., An extension of Stanley's chromatic symmetric function to binary delta-matroids, Discrete Mathematics, 344, 2021, Elsevier

[30] Natanzon, S.M., Simple Hurwitz numbers of a disk, Functional Analysis and Its Applications, 44, 36-47, 2010, Springer

[31] Okounkov, Andrei, Toda equations for Hurwitz numbers, arXiv preprint math/0004128, 2000

[32] Sato, Mikio, Soliton equations as dynamical systems on infinite dimensional Grassmann manifold, North-Holland Mathematics Studies, 81, 259-271, 1983, Elsevier

[33] Stanley, Richard P, A symmetric function generalization of the chromatic polynomial of a graph, Advances in Mathematics, 111, 166-194, 1995, Elsevier

[34] Stanley R.P., Enumerative combinatorics, Volume I, 1999

[35] Vassiliev, VA, Cohomology of knot spaces, 1990, Theory of Singularities and its Applications

[36] Зинова П.А. , Значения весовой системы, отвечающей алгебре Ли sl2t на полных двудольных графах, Функциональный анализ и его приложения, 54, 73-93, 2020, Российская академия наук, Математический институт им. ВА Стеклова

[37] Зинова П.А. , Значения sl2-eecoeoü системы на семействе графов, не являющихся графами пересечений хордовых диаграмм, Математический сборник, 213, 115-148, 2022