Весовая система, связанная с алгеброй Ли sl2, и алгебра Хопфа графов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Зинова Полина Александровна

• Зинова Полина Александровна
• кандидат наук
• 2022

Оглавление диссертации кандидат наук Зинова Полина Александровна

Алгебры Хопфа графов

Алгебра Хопфа хордовых диаграмм

Примитивные элементы в алгебрах Хопфа

Весовые системы

Построение весовых систем по инвариантам графов

Построение весовых систем по алгебрам Ли

Основные свойства з[2-весовой системы

з[2-весовая система на графах

Алгебра долей и вычисление значений з[2-вееовой системы на

полных двудольных графах

з[2-вееовая система и проекции на пространство примитивных

элементов

Значения з[2-вееовой системы на семействе графов, не являющихся графами пересечений

Публикации, содержащие основные результаты диссертации , ,

Основная часть диссертации

1 Алгебра долей

1.1 Доли и обобщенное четырехчленное соотношение

1.2 з[2-вееовая система на долях

1.3 Соотношения

1.4 Структура алгебры

2 Значения з[2-весовой системы на полных двудольных графах

2.1 Операторы добавления хорд

2,2 Явные формулы для производящих функций

2,2,1 Вывод явных формул для производящих функций ,

3 Проекции соединений графов на подпространства примитивных и значения з[2-весовой системы на проекциях полных двудольных графов

3.1 Общая формула для проекций соединений графов на подпространство примитивных

3.2 Значения з[2-вееовой системы па проекциях полных двудольных графов на подпространство примитивных

4 Значения з[2-весовой системы на серии графов, не являющихся графами пересечений

4.1 Следствия из соотношений Чмутова-Варченко: рекуррентное и трехчленное соотношения

4.2 Четырехчленное соотношение для графа (С5,п)

4.3 Значения в(2-весовой системы на (С,п\ IV(С)| <

4.3.1 Значения в(2-весовой системы на (С,п\ IV(С)| < 2 ,

4.3.2 Значения в(2-весовой системы на (С,п\ IV(С)| = 3 ,

4.3.3 Значения в(2-весовой системы на (С,п\ IV(С)| = 4 ,

4.3.4 Значения в(2-весовой системына (р5,п)

4.3.5 Значения и>5[2 на (С5,п) и проекции п((С5,п))

4.4 Таблицы значений з[2-вееовой системы на графах серий (0,п).; IV(С)| < 4, и на их проекциях па подпространство примитивных

Заключение

Список сокращений и условных обозначений

Список литературы

Список иллюстративного материала

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Весовая система, связанная с алгеброй Ли sl2, и алгебра Хопфа графов»

Введение

Диссертация посвящена исследованию з[2-весовой системы. Весовые системы сопоставляются инвариантам узлов конечного порядка. Они представляют собой функции на хордовых диаграммах (комбинаторных объектах, имеющих вид ориентированной окружности с набором хорд на ней), В частности, з[2-весовая система отвечает крашеному многочлену Джонса,

Несмотря на простоту определения з[2-весовой системы, вычисление ее значений является сложной и содержательной задачей. Нами вычислены значения з[2-весовой системы на некоторых семействах графов, представляющих собой соединение (join) данного графа с дискретными графами, а именно, на полных двудольных графах (соединение двух дискретных графов) и на соединениях цикла на пяти вершинах с дискретными графами. Мы обозначаем соединение графа G с дискретным графом на и вершинах через (G, и), Если G это граф C5, цикл на 5 вершинах, то при и > 1 графы (G, и) не являются графами пересечений хордовых диаграмм. Семейство (C5,n) представляет собой первое бесконечное семейство графов, не являющихся графами пересечений, для которого известны значения з[2-весовой системы.

Кроме этого, мы доказываем явную формулу для проекций графов (G, n)

ства разложимых элементов в алгебре Хопфа графов. Наша формула выражает экспоненциальную производящую функцию для проекций графов (G,n), и = 0,1, 2,... через экспоненциальные производящие функции для графов (H,n), и = 0,1, 2,..., где H — всевозможные подграфы G

з[2-весовой системы па указанных сериях графов, мы вычисляем ее значения на проекциях этих графов на подпространство примитивных, В частности, полученные результаты подтверждают следующую гипотезу Ландо: значение з[2-весовой системы на проекции графа па подпространство примитивных представляет собой многочлен степени не выше половины окружения (длины максимального цикла, circumference) графа.

Теория инвариантов Васильева

У разветвленной теории Васильева дополнений к дискриминантам и топологии этих дополнений [1] имеется важный раздел: теория инвариантов Васильева узлов. Узлом называется класс изотопии вложения ориентированной одномерной окружности в пространство S1 ^ R3, Инвариант узлов — это функция на множестве узлов.

Особым узлом называется класс изотопии отображений u: S1 ^ R3, таких, что

1, u'(t) = 0 для всех t Е S1;

2, все точки самопересечения образа u(S1) — простые двойные точки с трансверсальными самопересечениями (то есть, если u(t1) = u(t2), t1,t2 Е S\ t1 = t2, то не существует точки t3 Е S\ отличной от t1 и t2 и такой что u(t3) = u(t1) = u(t2) и два касательных вектора u'(t1 ) и u'(t2) не коллпнеарны),

Как нетрудно видеть, количество двойных точек на особом узле конечно, В, А, Васильев предложил способ (скейп-соотпошепие Васильева) продолжить каждый инвариант узлов со значениями в абелевой группе до инварианта особых узлов. Инвариант узлов называется инвариантом Васильева порядка не выше и, если его продолжение обращается в нуль на всех особых узлах, имеющих более, чем и двойных точек.

Понятие инварианта конечного порядка естественным образом распространяется и на инварианты зацеплений ("многокомпонентных узлов"), Многие классические инварианты узлов, например, многочлен Конвоя или многочлен HOMFLYPT, выражаются тем или иным образом через инварианты конечного порядка, хотя сами и не являются ими.

Инварианты Васильева (они же инварианты конечного порядка) обладают рядом достоинств, что делает их удобным и важным инструментом изучения узлов и зацеплений. Перечислим их, следуя [12], Во-первых, пространство инвариантов порядка не выше заданного конечномерно, и размерность этого пространства можно a priori оценить сверху. Кроме того, каждое пространство инвариантов наперед заданного порядка алгоритмически вычислимо. Далее, для каждого инварианта Васильева существует алгоритм для вычисления этого инварианта за полиномиальное время. Наконец, инварианты Васильева сильнее, чем все известные классические полиномиальные инварианты узлов (полиномы

Александера, Джонса, Кауфмана, Конвея, HOMFLYPT и др.). Гипотеза В, А. Васильева утверждает, что для любых двух различных узлов еуще-етвует различающий их инвариант конечного порядка. Отметим, однако, что до настоящего времени не известны перспективные подходы к доказательству этой гипотезы, как, впрочем, и к построению контрпримеров к ней.

Алгебры Хопфа графов и хордовых диаграмм

Функции на хордовых диаграммах тесно связаны с инвариантами графов, Структура многих из естественно возникающих инвариантов, в свою очередь, тесно связана со структурами алгебр Хопфа на пространствах графов и хордовых диаграмм, В этом разделе мы описываем соответствующие структуры.

Алгебры Хопфа графов

Под графом мы понимаем класс изоморфизма простых (т.е. не имеющих кратных ребер и петель) конечных графов. Формальные линейные комбинации графов образуют векторное пространство, градуированное количеством вершин графа.

Произведение графов G1 и G2 — это их несвязное объединение: G1G2 := G1UG2. Такое умножение продолжается па пространство графов по линейности. Оно согласовано с градуировкой и задает на пространстве графов структуру градуированной алгебры.

Везде в диссертации будем обозначать через V (G) множество вершин графа G, Действие коумножения ^ на графе G определено так:

/i(G):= G\u 0 G|v(G)\U.

U CV (G)

Здесь через G\U обозначен подграф в G, индуцированный подмножеством U С V(G) множества его вершин. Как и умножение, коумножение продолжается на линейные комбинации графов по линейности и согласовано с градуировкой, т.е. мы ввели на пространстве графов структуру градуированной коалгебры. Более того, справедливо

Утверждение 1. Введенные выше умножение и коумножение, вместе с естественно определяемыми единицей, коединицеи и антиподом,

задают на пространстве графов структуру градуированной коммутативной и кокоммутативной алгебры, Хопфа.

Эта структура алгебры Хопфа на пространстве графов введена в [11], а рассматривать несвязное объединение графов как умножение предложил ещё Ta i l [22],

Обозначим через 6 алгебру Хопфа графов, а через 6n - однородное

и

и = 0,1, 2,..., так что

6 = Go 0 01 0 62 0 ....

С точки зрения теории инвариантов узлов конечного порядка нас будет также интересовать алгебра Хопфа графов по модулю так называемых четырехчленных соотношений для графов:

G — G'AB — GAB + gAB = 0

где G — некоторый граф, A, B — какие-то две его вершины, G'AB — граф G, в котором инцидентность вершин A и B изменена на противоположную; GAB — граф G, в котором для каждой вершины, соединенной с B, ее

A

что все графы, входящие в 4-членное соотношение, имеют одинаковое число вершин. Как следствие, это соотношение уважает градуировку, и соответствующая фактор-алгебра Хопфа тоже градуирована. Мы обозначаем ее через F Говоря об элементах алгебры Хопфа F мы будем допускать вольность речи и называть графом его класс эквивалентности по модулю четырехчленных соотношений,

В алгебре Хопфа графов имеются заслуживающие внимания подалгебры Хопфа, Одна из таких подалгебр Хопфа порождена полными графами, Другой пример — уже целого семейства подалгебр Хопфа — строится с помощью конструкции соединения (join) графов. Соединением двух простых графов G и H называется граф, получаемый добавлением к несвязному объединению G U H этих графов всех ребер, соединяющих вершины графа G с вершинами графа H. Для и = 0,1, 2,... будем (G, и) G

и

Некоторые семейства графов такого вида целиком состоят из графов пересечений хордовых диаграмм (см, ниже), к примеру, полные двудольные графы. Однако с помощью этой конструкции нетрудно построить и

бесконечную серию графов, не являющихся графами пересечений, подробнее об этом сказано ниже.

Любой индуцированный подграф графа (С, п) имеет вид (И, к), где И — некоторый подграф в С, к < п. Графы вида (И, п), оде И — подграф графа С п € N и {0}, порождают подалгебру Хопфа в алгебре Хопфа 0. Если Со, 0\, С2,... — последовательность графов, в которой каждый граф является индуцированным подграфом следующего за ним, то соответствующие подалгебры Хопфа образуют цепочку по включению.

Алгебра Хопфа хордовых диаграмм

п

ность с выбранными на ней 2п попарно различными точками, разбитыми п

щего ориентацию. Обычно точки, принадлежащие к одной паре, соединяют хордами. Говорят, что две хорды пересекаются, если их концы перемежаются па окружности.

Формальные линейные комбинации хордовых диаграмм образуют градуированное векторное пространство. Каждая компонента градуировки — векторное пространство, порожденное диаграммами одного порядка. Четырехчленное соотношение Васильева для хордовых диаграмм имеет вид

Здесь и далее, если не указано иное, штриховой .пинией обозначены части окружности, па которых могут лежать концы какого-то набора хорд, одинакового во всех диаграммах соотношения.

Диаграммы, входящие в четырехчленное соотношение, устроены так: одна из хорд остается па месте, один из концов другой хорды тоже остается неподвижным, а другой пробегает все четыре возможных положения рядом с концом первой хорды. (Говорят, что концы хорд расположены рядом, если между ними пет концов других хорд.)

Введем па векторном пространстве хордовых диаграмм но модулю всевозможных четырехчленных соотношений согласованные с градуировкой умножение и коумпожепие.

(1)

Рис, 1: Пример хордовой диаграммы и соответствующей ей дуговой диаграммы

Определение 1. Дуговая диаграмма порядка п — ориентированная прямая с выбранными, на, ней 2п попарно различными точкам,и, разби-п

прямой, сохраняющих ориентацию.

Если выбрать на окружности хордовой диаграмме точку, отличную от кондов хорд, «разрезать» окружность в этой точке и развернуть ее в прямую, то получится представление хордовой диаграммы в виде дуговой диаграммы (см, пример на рис, 1), У хордовой диаграммы порядка п может быть до 2п различных представлений в виде дуговой диаграммы. Напротив, дуговая диаграмма однозначно определяет соответствующую хордовую диаграмму.

Произведение хордовых диаграмм ^ и О2 — это хордовая диаграмма, соответствующая дуговой диаграмме, полученной последовательным соединением двух произвольных дуговых представлений диаграмм и О2 (см, рис, 2), Произведение хордовых диаграмм корректно определено (то есть, результат не зависит от выбора точек разрыва) по модулю 4-членных соотношений.

Обозначим через V(О) множество хорд хордовой диаграммы О, Ко-

Рис, 2: Умножение хордовых диаграмм

умножение ß хордовых диаграмм определено так:

ß(D) : = Ys 0 D\v{D)\u.

U CV (D)

Здесь через D|u обозначена хордовая диаграмма, образованная подмножеством U С V(D) множества хорд хордовой диаграммы D,

Умножение и коумножение продолжаются на линейные комбинации хордовых диаграмм по линейности и согласованы с градуировкой.

Как доказал Бар-Натан [2], эти операции превращают векторное пространство хордовых диаграмм по модулю четырехчленных соотношений в алгебру Хопфа, Мы обозначаем эту алгебру Хопфа через C,

C = Co 0 Ci 0 C2 0 ...,

где через Ck обозначено векторное пространство, порожденное хордовыми диаграммами с k хордами, профакторизованное по 4-членным соотношениям.

Каждой хордовой диаграмме можно сопоставить простой граф с помощью конструкции графа пересечений. Вершины этого графа соответствуют хордам хордовой диаграммы, и между вершинами есть ребро тогда и только тогда, когда соответствующие хорды пересекаются. Это отображение не является ни инъективным, ни еюръективным: с одной стороны, нетрудно привести пример двух различных хордовых диаграмм, имеющих один и тот же граф пересечений, с другой — не любой простой граф является графом пересечений, Буше [4] указал полный набор препятствий к тому, чтобы граф являлся графом пересечений какой-либо хордовой диаграммы, В частности, если граф содержит в качестве подграфа хотя бы один из графов, приведенных на рис 3, он не может быть графом пересечений. Отображение, сопоставляющее хордовой диаграмме ее граф пересечений, продолжается до градуированного гомоморфизма алгебры Хопфа C в алгебру Хопфа F (см, [17]), Начиная с порядка 7 этот гомоморфизм не является инъективным — он имеет нетривиальное ядро; вопрос о его еюръективноети остается открытым.

Примитивные элементы в алгебрах Хопфа

При изучении структуры алгебр Хопфа важную роль играют так называемые примитивные элементы. Теорема Милнора-Мура [20] утвержда-

Рис, 3: Граф, содержащий хотя бы один из этих графов в качестве подграфа, не может быть графом пересечений

от, что над полом характеристики нуль связная коммутативная кокомму-тативпая градуированная биалгебра изоморфна полиномиальной биал-гебре, порожденной ее примитивными элементами. Элемент р биалгебры с коумножением ^ называется примитивным, если ^(р) = 1 ® р + р ® 1, Градуированная биалгебра называется связной, если ее нулевая однородная компонента изоморфна основному нолю. Как нетрудно видеть, эти условия выполняются для алгебр Хопфа 0, $ и С. В полиномиальных алгебрах Хопфа определена проекция па подпространство примитивных элементов вдоль подпространства разложимых элементов. Явную формулу дня этой проекции предложил Ландо |17|. В алгебрах Хопфа графов эта проекция п имеет вид

п(С):= £ (-1)к-1(к - 1)\а\у1 с\у2 ...С\ук; (2)

У1и...иУк=у (С)

аналогичная формула имеет место и дня алгебры Хопфа хордовых диаграмм, Здесь и далее через С\и мы обозначаем подграф графа С, индуцированный подмножеством и С V(С) его множества вершин. Суммирование ведётся по всем представлениям множества V(С) в виде объединения непересекающихся непустых подмножеств,

Универсальная формула для этой проекции в полиномиальных алгебрах Хопфа представляет ее как логарифм тождественного гомоморфизма (см, |16|, 1211), Впрочем, дня графов общего вида вычисления с помощью этой формулы оказываются трудоемкими, В частном случае графов вида (С, п), п = 0,1, 2,..., вычисления, связанные с проекциями па примитивные, существенно упрощаются.

Весовые системы

Построение весовых систем по инвариантам графов

Всякому особому узлу сопоставляется его хордовая диаграмма: концы хорд в ней — это прообразы двойных точек особого узла. При этом значение инварианта Васильева порядка не выше п на особом узле ровно с п двойными точками полностью определяется хордовой диаграммой этого узла. При таком сопоставлении инвариант Васильева порядка не

пп оказывается, что получающиеся функции f должны удовлетворять двум соотношениям: так называемым одночленному и существенно более важному четырехчленному (3).

-I

<2>

! =0

(3)

Согласно теореме Копцевича |12| всякая функция па хордовых диаграммах со значениями в коммутативной алгебре над полом характеристики 0, удовлетворяющая одночленным и четырехчленным соотношениям, получается из инварианта узлов, имеющего порядок не выше п

от построить но каждой функции, удовлетворяющей четырехчленным соотношениям, функцию, дополнительно удовлетворяющую одночленным соотношениям. Весовой системой называется функция па хордовых диаграммах, удовлетворяющая четырехчленным соотношениям. Дня простоты мы рассматриваем весовые системы со значениями в поло С комплексных чисел.

Таким образом, весовые системы — это элементы алгебры Хонфа, гра-дуированно двойственной к алгебре Хопфа С, Отметим, что умножение и коумпожепио хордовых диаграмм возникают естественным образом — они соответствуют двойственным операциям па биалгебре инвариантов

УЗЛОВ.

Рис, 4: Вычисление значения весовой системы, отвечающей алгебре Ли с ортонормированным базисом х-]^,... ,хт, на дуговой диаграмме, соответствующей данной хордовой диаграмме.

Построение весовых систем по алгебрам Ли

Один из наиболее богатых источников весовых систем — это предложенная Б ар-Натаном |2| и Коицевичем |12| конструкция весовой системы, которая строится но конечномерной алгебре Ли, наделенной невырожденной инвариантной билинейной формой.

Пусть д — конечномерная комплексная алгебра Ли размерности т со скобкой Ли [•, •] и пусть (•, •) — невырожденная билинейная инвариантная форма на д. Инвариантность означает, что для любых х,у,г € д выполнено равенство ([х,у],г) = (х, [у, г]). Пусть X = {х1,х2,... ,хт}

— ортонормированный базис в д, (х^х^-) = 8^. Обозначим через и(д)

д

ражение ид: С ^ и(д) следующим образом.

Пусть О — хордовая диаграмма, А — какое-то ее представление в виде дуговой диаграммы, V(А) — множество дуг этой дуговой диаграммы, V: V(А) ^ {1, 2,..., т} некоторая расстановка индексов от 1 до т

А

ке V элемент их(А, V) € и(д) следующим образом: для каждой дуги V € V(А) напишем на обоих её концах элемент х^) € X и обозначим через их (А, V) результат перемножения этих элементов слева направо. Обозначим через их(А) сумму по всем возможным разметкам:

их (А) := ^ их (А, V). (4)

Так, значение весовой системы, отвечающей алгебре Ли с ортонормированным базисом х1,... ,хт, на дуговой диаграмме, приведенной на

рис, 4 равно

\ ^ \ ^ \ ^ \ ^ \ ^

\ \ \ \ \ /у /V» /V» /V» /V» /V» /V» /V» /V» /V»

/ у / у / у / у 12^ 14^11"^ 15 ЪЪ 14 ^ 15 •

¿1 = 1 12 = 1 13 = 1 14 = 1 15 = 1

Утверждение 2 ([12], см,также [6]). 1. Для любого элемента Б е С результат такой операции определен однозначно и не зависит от выбора, представления хордовой диаграммы Б в виде дуговой диаграммы.

2. Для любой дуговой диаграммы А элемент (А) лежит в центре универсальной обертывающей алгебры: (А) е X(и($)).

3. Значение (А) с точностью до умножения на, одну и ту же константу для, всех хордовых диаграмм не зависит от выбора, ор-тонормированного базиса.

4- Полученное таким образом, отображение хордовых диаграмм в X(и($)) удовлетворяет 4-членным соотношениям, и продолжается, тем самым, до гом,ом,орфизм,а, ком,м,ута,ти,вны,х алгебр.

Поскольку произведение хордовых диаграмм задается конкатенацией соответствующих дуговых диаграмм, весовая система, отвечающая алгебре Ли, мультипликативна. Отметим, что описанная конструкция легко модифицируется на случай произвольного, не обязательно орто-нормированного, базиса в нужно лишь ставить па левом конце дуги с индексом г элемент базиса а на правом ее конце — элемент ж* двойственного базиса, В таком виде мы и будем ее применять для алгебры Ли з12.

Весовая система, построенная по алгебре Ли оказывается существенно более сложной и не обладает многими свойствами, которые есть у з[2-вееовой системы и которые существенно облегчают ее вычисление. Эта весовая система изучалась, например, в статье [15], а в статье [25] были вычислены её значения для хордовых диаграмм с графом пересечений К2,п. В недавней статье [26] описаны существенные продвижения в понимании весовой системы, построенной по алгебре Ли при произвольных N.

Конструкция весовых систем по алгебрам Ли была обобщена на супералгебры Ли А, Вайнтробом [23], В [9] эта конструкция была подробно

изучена для частного случая супералгебры Ли д[(1 | 1), В частности, там выведено рекуррентное соотношение для значений д[(1 | 1)-вееовой системы.

Основные свойства з!2-весовой системы

Простейший случай описанной в предыдущем разделе конструкции — весовая система, отвечающая алгебре Ли з[2, или, короче, з[2-весовая система. Инвариант узлов, которому соответствует эта весовая система, — крашеный многочлен Джонса, Для алгебры Ли з12 общая конструкция принимает следующий вид.

Алгебра Ли з12 порождается тремя элементами х,у,г, для которых выполняются соотношения

[х,У] = ^

[У, = х [г,х] = у.

Билинейная форма задается соотношениями

(х,х) = (У,У) = ) = -1, (5)

(х,У) = (У,г) = (г,х) = о.

Центр универсальной обертывающей алгебры этой алгебры Ли Z(и(з12)) изоморфен алгебре С [с] полиномов от элемента Казимира с = —х2 — у2 — г\ Поэтому формула (4) задает от ображение и>3[2: С ^ С [с]. Оно является гомоморфизмом алгебр и называется з[2-весовой системой на С. Значение этой весовой системы на хордовой диаграмме с п хордами является многочленом степени п со старшим коэффнцнентом 1, Из определения сразу вытекает важное для вычислений

Следствие 1. Значение весовой системы, /ш5{2 на хордовой, диаграмме с с

Весовая система, отвечающая алгебре Ли з[2, подробно изучалась в статье С, В, Чмутова и А, Н, Варченко [8], В частности, там были выведены следующие соотношения:

1, если в диаграмме Б есть лист — хорда, пересекающая только одну хорду, то

^ (Б) = (с - 1)^ (&), (6)

где через Б обозначена хордовая диаграмма, полученная из Б удалением листа;

2, если в хордовой диаграмме нет листа, то в ней есть тройка хорд, расположенных как изображено в левой части одного из нижеследующих равенств;

3, для значений з^-весовой системы в случае расположенных таким образом хорд выполняются равенства

Приведенные здесь шеетичленные соотношения позволяют упростить хордовую диаграмму, уменьшив количество пересечений хорд. Кроме этого, в той же статье [8] из этих соотношений выведено рекуррентное соотношение, которое позволяет уменьшить число хорд в диаграмме на единицу.

з!2-вееовая система на графах

В статье С, В, Чмутова и С, К, Ландо [7] доказано, что значение з[2-весовой системы на хордовой диаграмме зависит только от ее графа пересечений и определяет, тем самым, функцию на графах пересечений. Этот результат приводит к естественному вопросу, сформулированному С, К, Ландо: существует ли продолжение з[2-весовой системы до полиномиального инварианта графов, который удовлетворяет четырехчленным соотношениям для графов? Для всех графов не более чем с восемью вершинами такое продолжение существует и единственно, как показал Е, С, Красильпиков [13], однако в общем виде задача далека от решения. Один из возможных подходов к поиску продолжения з[2-весовой системы до полиномиального инварианта произвольных графов состоит в том, чтобы определить некоторый полиномиальный инвариант произвольных графов, удовлетворяющий четырехчленным соотношениям для графов и совпадающий с з[2-весовой системой на графах пересечений. Для того, чтобы реализовать его, необходимо иметь достаточное количество примеров значений з[2-весовой системы на различных семействах графов, которые позволили бы понять ее структуру.

Так, недавно были вычислены значения з[2-весовой системы на полных графах: П, Е, Закорко доказала следующую гипотезу С, К, Ландо (2016, см, [3]) о явном виде производящей функции для этих значений:

Утверждение 3. Производящая функция для, последовательности, значений весовой, системы, /ш5{2 на полных графах К0,К\,К2,... представляется в виде бесконечной цепной дроби

те

1

МФ2

п=0

1 — а0(с)£

коэффициенты которой имеют следующий вид

ап(с) = с — п(п +1), вп(с)

Алгебра долей и вычисление значений з^-весовой системы на полных двудольных графах

К числу основных результатов диссертации относятся явные формулы для значений з[2-весовой системы на некоторых семействах графов и методы их получения. Опишем подход, с помощью которого в диссертации получена рекуррентная формула для производящих функций последовательностей значений wsl2 на полных двудольных графах.

Долей (share) в хордовой диаграмме называется такая пара непересекающихся ее дуг, что если конец хорды лежит на одной из этих дуг, то и второй ее конец лежит на одной из этих дуг.

Всевозможные доли порождают векторное пространство, и мы определяем з(2-весовую систему па нем. Она принимает значения в коммутативной подалгебре тензорного квадрата U(з(2) ® U(з(2) универсальной обертывающей алгебры алгебры Ли з[2. Эта коммутативная подалгебра порождена тремя элементами, которые мы обозначаем через c1, c2, £, Для этой весовой системы справедливы аналоги четырехчленных соотношений и соотношений Чмутова-Варченко, и их доказательство практически повторяет доказательство для хордовых диаграмм. Мы работаем с фактор-пространством векторного пространства долей по этим соотношениям, С помощью шеетичленных соотношений Чмутова-Варченко мы доказываем, что каждый элемент такого пространства допускает представление в виде линейной комбинации долей более простого вида, значение з(2-весовой системы на которых имеет вид (c1 — 1)kl (c2 — 1)k2c^"1 c^2£N, k1,k2, n1,n2, N G N U {0}, На множестве долей можно определить умножение как конкатенацию долей и продолжить его по линейности на все элементы фактор-пространства. Тем самым, мы вводим на нем структуру ассоциативной алгебры; мы обозначаем эту алгебру через S, Далее, из наличия такого представления следует, что з[2-весовая система задает гомоморфизм из алгебры долей в алгебру многочленов от £ с коэффициентами, представляющими собой многочлены от c1,c2.

Следуя подходу, предложенному П, Е, Закорко, мы вводим операторы добавления хорды, которые обозначаем через Sk, k =1, 2 (из этой пары далее мы используем лишь оператор S^ и X, на алгебре долей и соответствующие им (в смысле указанного гомоморфизма) операторы S1, X на алгебре многочленов. Снова пользуясь шеетичленными соотношениями Чмутова-Варченко и четырехчленными соотношениями, мы выводим рекуррентные формулы для действия этих операторов, С их помощью

мы получаем производящую функцию для матричных коэффициентов оператора в базисе 1, £, £2,____(Мы обозначаем эти коэффициенты через т = 0,1, 2,...; г = 0,1, 2,... ,ш). В частности, оказывается, что старшие матричные коэффициенты 8т,т имеют в ид 8тт = с — т("2+1) ■

Для вывода формул для значений з[2-весовой системы на хордовых диаграммах с полным двудольным графом пересечений (мы обозначаем такие хордовые диаграммы через Вп,т, п,т = 0,1, 2,...) мы вводим специализацию — отображение из алгебры долей в алгебру производящих функций, при котором доля, значение з[2-вееовой системы па которой равно £т, переходит в обыкновенную производящую фукцию 0т для значений з[2-весовой системы на хордовых диаграммах В0,т, В1т, В2т,... Пользуясь этой специализацией, мы получаем формулу, которая выражает Ст через 00,0]^,..., 0т-1 и матричные коэффициенты оператора

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Зинова Полина Александровна, 2022 год

Список литературы

[1] Васильев, В, А. Топология дополнений к дискриминантам, М,: Фазис, 1997

[2] Bar-Natan, D, On Vassiliev knot invariants, Topology, vol, 34, no, 2 (1995), 423-472

[3] Bigeni, A, A generalization of the Kreweras triangle through the universal sl2 weight system, J, Combin, Theory Ser, A 161 (2019), 309-326 ( arXiv: 1712.05475v3)

[4] Bouehet, A, Circle graph obstructions // Journal of Combinatorial Theory, Series B. 1994. V.60. P. 107-144

[5] Chmutov, S,, Kazarian, M,, Lando, S. Polynomial graph invariants and the KP hierarchy, Selecta Mathematica, volume 26, article number: 34 (2020)

[6] Chmutov, S,; Duzhin, S,; Mostovov, J, Introduction to Vassiliev knot invariants, Cambridge University Press, Cambridge, 2012, xvi+504 pp. ISBN: 978-1-107-02083-2 (arXiv:1103.5628)

[7] Chmutov, Sergei V,; Lando, Sergei K, Mutant knots and intersection graphs, Algebr. Geom. Topol. 7 (2007), 1579-1598. (arXiv: 0704.1313vl)

[8] Chmutov, S. V., Varehenko, A. N. Remarks on the Vassiliev knot invariants coming from si2, Topology. 1997. V.36. P.153-178

[9] Figueroa-O'Farrill, J. M,, Kimura, Т., Vaintrob, A. The Universal Vassiliev Invariant for the Lie Superalgebra gl(ljl), Comm. Math. Phvs,, 1997, 185, 93-127

[10] Graham, E. L,, Knuth, D. E,, Patashnik, O,, Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, Addison-Weslev, Boston, 1994

[11] Joni, S. A., Rota, G.-C., Coalgebras and bialgebras in combinatorics, Stud. Appl. Math. 61 (1979), no. 2, 93-139

[12] Kontsevich, M, Vassiliev knot invariants, in: Adv. in Soviet Math,, vol. 16 (1993), part 2, 137-150

[13] Krasilnikov, E. An Extension of the si2 Weight System to Graphs with n < 8 Vertices, Arnold Mathematical Journal, 2021, vol.7, no.4, p.609-618

[14] Kulakova, E,; Lando, S,; Mukhutdinova, T.; Rybnikov, G. On a weight system conjecturally related to s[2, European J. Combin, 41 (2014), 266-277 (arXiv:1307.4933v2)

[15] Kuga, K,, Yoshizumi, S., et al. Some formulas in slS weight systems, Proceedings of the Japan Academy, Series A, Mathematical Sciences, 75(7):134-136, 1999.

[16] Lando, S,, On primitive elements in the Hopf algebra of chord diagrams, in: Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2, Providence, RI: AMS 1999, v. 190, 77-81

[17] Lando, S,, On a Hopf Algebra in Graph Theory, Journal of Combinatorial Theory, Series B 80, 104-121 (2000)

[18] Lando, S,, Zhukov, V., Delta-Matroids and Vassiliev Invariants, Moscow Mathematical Journal. 2017. Vol. 17. No. 4. P. 741-755.

[19] S. Lando, A. Zvonkin. Graphs on Surfaces and their Applications Springer-Verlag, Berlin, 2004

[20] Milnor, J., Moore, J., On the structure of Hopf algebras, Ann. of Math. (2), 1965, v. 81, 211-264

[21] Schmitt, W. R,, Incidence Hopf algebras, J. Pure Appl. Algebra, 1994, v. 96, 299-330

[22] Tutte, W. T. A ring in graph theory. Proc.Camb.Philos.Soc. 1947. Y. 13. P.26-40; Selected Papers of W. t. Tutte. V.l. Winnipeg: Charles Babbage Research Center, 1979.

[23] Vaintrob, A., Vassiliev knot invariants and Lie S-algebras, Math. Res. Lett. 1994, V.l, P.579-595.

[24] Vassiliev, V, A,, Cohomology of knot spaces, in: Theory of singularities and its applications, Advance in Soviet Math,, V, I, Arnold ed,, AMS, 1990

[25] Yang, Z,, On values of sl3 weight system on chord diagrams whose intersection graph is complete bipartite (arXiv: 2102,00888)

[26] Yang, Z,, New approaches to weight system (arXiv:2202,12225)

Список иллюстративного материала

1 Пример хордовой диаграммы и соответствующей ей дуговой диаграммы ......................... 9

2 Умножение хордовых диаграмм................ 9

3 Граф, содержащий хотя бы один из этих графов в качестве подграфа, не может быть графом пересечений........ 11

4 Вычисление значения весовой системы, отвечающей алгебре Ли с ортонормированным базисом т1,..., тт, на дуговой диаграмме, соответствующей данной хордовой диаграмме, 13

5 а) пример доли в хордовой диаграмме; Ь) пример пары дуг, не образующей доли; с) хордовая диаграмма, полученная замыканием доли, изображенной на рис, а) .........24

6 Четырехчленное соотношение для долей........... 24