Применение метода обратной задачи для построения точных Решений 2+1-миерных интегрируемых нелинейных эволюционных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Дубровский, Владислав Георгиевич

• Дубровский, Владислав Георгиевич
• доктор физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Дубровский, Владислав Георгиевич

Оглавление

1 Введение

1.1 Многомерные интегрируеые нелинейные уравнения и подходы к их решению

1.2 Обзор содержания диссертации

1.3 Актуальность темы, цель работы; основные результаты, выносимые на защиту

1.4 Научная новизна и практическая ценность, апробация и публикации

2 Модифицированное уравнение Кадомцева-Петвиашвили

2.1 Задача Коши для уравнения т.КР-1

2.2 Точные решения тКР-1 уравнения

2.3 Задача Коши для уравнения тКР-П

2.4 Формулы метода <9-одевания для тКР уравнения

2.5 Построение точных решений уравнения тКР с помощью метода 5-одевания

2.5.1 Рациональные решения. Линейные лампы

2.5.2 Решения с функциональными параметрами

2.5.3 Линейные солитоны и бризеры

2.5.4 Преобразование Миуры между тКР и КР уравнениями

3 Когерентные структуры уравнения Ишимори

3.1 Формализм МОЗ для уравнения Ишимори

3.2 Общие формулы для вырожденных данных

3.3 Эволюция во времени данных обратной задачи

3.4 Точные формулы для солитонных решений уравнения Ишимори

3.5 Стационарные границы

3.6 Зависящие от времени границы

3.7 Решения в терминах переменной стереографической проекции

4 2+1-мерное уравнение Гарри Дима

4.1 Формулы метода 9-одевания и точные решения

4.2 Точные решения в неявной форме с использованием волновых функций тКР уравнения

5 2+1-мерное обобщение уравнения синус-Гордон

5.1 Пара Лакса и некоторые общие свойства 2+1-мерного уравнения синус-Гордон

5.2 Построение точных решений уравнения 2DSG с постоянными границами методом д — ô-одевания

5.2.1 Решения с функциональными параметрами

5.2.2 Линейные солитоны (кинки) и бризеры

5.3 Задача Коши для 2DSG-I уравнения

5.4 Задача Коши для 2DSG-II уравнения

6 Локализованные решения 2DSG-I уравнения

6.1 Точные формулы для когерентных структур 2DSG-I уравнения

6.2 Точные решения возмущённого телеграфного уравнения

6.3 Построение точных решений 2DSG-I уравнения с использованием решений возмущённого телеграфного уравнения

6.4 Точные решения уравнения возмущённой струны

6.5 Построение точных решений 2DSG-I уравнения с использованием решений уравнения возмущённой струны

7 Точные решения с постоянными асимптотическими значениями на бесконечности некоторых 2+1-мерных интегрируемых нелинейных уравнений

7.1 Общие формулы метода <9-одевания для построения решений с постоянными асимптотическими значениями на бесконечности

7.2 Решения с функциональными параметрами

7.3 Линейные солитоны и бризеры

7.4 Рациональные решения

8 Точные решения некоторых 2+1-мерных интегрируемых нелинейных уравнений, соответствующие кратным полюсам

8.1 Общие формулы метода <9-одевания для построения точных решений с кратными полюсами

8.2 Решения с кратными полюсами для уравнения KP

8.3 Решения с кратными полюсами для уравнения тКР

8.4 Решения с кратными полюсами для DS системы уравнений

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Применение метода обратной задачи для построения точных Решений 2+1-миерных интегрируемых нелинейных эволюционных уравнений»

1 Введение

Основным инструментом описания и исследования физических явлений являются линейные и нелинейные дифференциальные уравнения. Хорошо известна фундаментальная роль линейных дифференциальных уравнений, но не менее важны и нелинейные уравнения. Так уравнения теории тяготения Эйнштейна, гидродинамические уравнения Эйлера и Навье-Стокса, уравнения физики элементарных частиц и т.д. являются нелинейными уравнениями. Развитие методов решения и анализа дифференциальных уравнений, в особенности нелинейных уравнений, представляет одну из важнейших задач теоретической и математической физики.

Немногим более тридцати лет назад был открыт метод обратной задачи рассеяния. Ключевая идея, лежащая в основе этого метода - сведение задачи точного интегрирования нелинейных уравнений к решению ряда вспомогательных линейных задач, оказалась необычайно плодотворной. Как оказалось, метод обратной задачи рассеяния применим к широким классам обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, нелинейных уравнений в частных производных, разностных, интегро-дифференциальных и других уравнений. Многие из нелинейных уравнений, интегрируемых методом обратной задачи, такие как уравнение Кортевега де Фриза, нелинейное уравнение Шрёдингера, уравнение синус-Гордон, уравнение одномерного ферромагнетика Гейзенберга, уравнение резонансного волнового взаимодействия, уравнение Кадомцева-Петвиашвили и другие имеют большую степень универсальности и встречаются в самых разнообразных областях физики. В целом, нелинейные интегрируемые уравнения имеют широкую область применения: от теории гравитации и квантовой теории поля, физики плазмы и нелинейной оптики до гидродинамики и физики твёрдого тела.

В настоящее время значительно усилился интерес к интегрируемым моделям в физике. Концепция интегрируемости является одной из ключевых в современных исследованиях по теоретической физике. Исследуются новые интегрируемые нелинейные системы классической механики и гидродинамики. Интенсивно изучаются маломерные интегрируемые нелинейные модели квантовой теории поля и статистической физики. На основе достижений метода обратной задачи в применении к классическим интегрируемым системам был развит и квантовый метод обратной задачи, успешно применяемый к 1+1-мерным квантовым интегрируемым моделям, весьма актуальной является задача обобщения квантового метода обратной задачи на случай 2+1-измерений.

Метод обратной задачи рассеяния или как принято сейчас говорить, используя первые буквы трёх слов названия - МОЗ, был открыт в 1967 году в работе американских учёных Гарднера, Грина, Крускала и Миуры (ГГКМ) и является новым современным методом математической физики, широко используемым в теоретической физике. ГГКМ развили МОЗ для известного уравнения Кортевега де Фриза (KdV):

Щ + иххх + 6иих = 0, (1.0.1)

полученного с использованием некоторых приближений из уравнений гидродинамики ещё в 19 веке голландскими учёными Кортевегом и де Фризом [3].

Существенным моментом для открытия МОЗ в работе ГГКМ было использование раннее установленного Миурой так называемого модифицированного уравнения Кортевега де Фриза (mKdV) [4]:

vt + vxxx - 6v2vx = 0 (1.0.2)

и преобразования Миуры и = —v2 — vx между решениями и и v уравнений KdV и mKdV, типа уравнения Риккати для функции v. Линеаризация этого уравнения Риккати как раз и привела ГГКМ к открытию связи между уравнением KdV и стационарным уравнением Шрёдингера - первой линейной вспомогательной задачей для уравнения KdV.

Вслед за уравнением KdV в работе Захарова и Шабата [5] в 1971 году с помощью МОЗ было проинтегрировано нелинейное уравнение Шрёдингера:

гщ + ихх + t\u\2u = 0, (1.0.3)

имеющее многочисленные физические применения. Стало ясно, что уравнение KdV (1.0.1) - это не единичный случай, что схема МОЗ, открытая в работе ГГКМ, применима и к другим нелинейным уравнениям. Существенной особенностью математической техники работы [5] было использование в качестве уравнений обратной задачи системы сингулярных интегральных уравнений. После указанных работ начинается бурное развитие МОЗ и теории солитонов. Одно за другим открываются и интегрируются с помощью МОЗ так называемые 1+1-мерные нелинейные уравнения (уравнения типа (1.0.1)-(1.0.3) с двумя независимыми переменными - временем t и одной пространственной переменной х). Так в работах Вадати [6] и Абловитца, Kayna, Ньюэлла и Сигура [7, 8, 9] были проинтегрированы с помощью МОЗ mKdV уравнение (1.0.2) и уравнение синус-Гордон

uu-uxx = sinu, (1.0.4)

также нашедшее физические применения и, как оказалось, использовавшееся ещё в 19 веке в дифференциальной геометрии - в теории поверхностей. Было проинтегрировано с помощью МОЗ и уравнение для спинового поля

модели одномерного ферромагнетика Гейзенберга [10, 11]. Список 1+1-мерных интегрируемых МОЗ нелинейных уравнений можно продолжить, в настоящее время он насчитывает не один десяток уравнений. К перечисленным выше уравнениям мы добавим

Перечисленные уравнения (1.0.1)—(1.0.6) имеют 2+1-мерные интегрируемые обобщения, рассматривающиеся в данной диссертации.

В настоящее время МОЗ и теория солитонов в 1+1-мерном случае развиты достаточно хорошо и успешно применяются при решении как математических, так и физических проблем [13, 14, 15, 16, 17, 18]. Как выяснилось в ходе развития МОЗ, наиболее адекватным средством рассмотрения 1+1-мерных интегрируемых нелинейных моделей является классическая проблема Римана-Гильберта из теории функций комплексного переменного: проблема нахождения секционно-мероморфной в определённой области ком-плекной плоскости функции по некоторым локальным соотношениям, связывающим граничные значения этой функции на контурах, разделяющих различные подобласти её аналитичности. Подчеркнём, что классическая проблема Римана-Гильберта является локальной проблемой и её решение сводится к решению некоторой системы сингулярных интегральных уравнений. Регулярно классическая проблема Римана-Гильберта из теории функций комплексного переменного стала применяться в качестве основы МОЗ для решения 1+1-мерных интегрируемых нелинейных уравнений после пионерских работ Захарова и Шабата [5, 20] (см. также работу [21] и книгу [13]).

1.1 Многомерные интегрируемые нелинейные уравнения и подходы к их решению

Вскоре после открытия 1+1-мерных интегрируемых МОЗ нелинейных уравнений были установлены и 2+1-мерные (две пространственные координаты х,у и время ¿) интегрируемые нелинейные уравнения. Из них первым оказалось известное уравнение

(1.0.5)

ещё известное уравнение Гарри Дима [12]

и1 + и3их = 0.

(1.0.6)

Кадомцева- Петвиашвили, или кратко , КР уравнение. Применимость МОЗ к уравнению КР была продемонстрирована в работах Дрюма [22] и Захарова, Шабата [19], причём, в работах [19, 20] последних двух авторов МОЗ получил дальнейшее развитие: был открыт общий и мощный метод одевания, применимый к вычислению точных решений как 1+1-мерных, так и 2+1- мерных нелинейных интегрируемых уравнений.

К настоящему времени найдено достаточно много интересных 2+1-мерных и просто трёхмерных (3+0-мерных, в которые три независимые переменные входят равноправно) интегрируемых нелинейных уравнений, наиболее известные из них: уравнения Кадомцева-Петвиашвили, Дэви-Стюардсона, Веселова-Новикова, система уравнений Захарова- Манакова и т.д. ( см. [23, 24, 25, 47, 48] ).

Развитие МОЗ в 2+1-измерениях привело к открытию существенно новых математических методов. Кратко рассмотрим основные подходы к построению точных решений интегрируемых 2+1-мерных нелинейных уравнений.

Как и в 1+1-мерном случае, интегрируемые 2+1-мерные нелинейные уравнения представляются в виде условия совместности некоторых линейных вспомогательных задач, в которые тем или иным способом вводится спектральный параметр. Важный момент заключается в том, чтобы спектральный параметр был введён адекватно рассматриваемой проблеме, это достигается далеко не всяким способом введения этой дополнительной переменной. Введение комплексного спектрального параметра позволяет поставить, исследовать и использовать для нахождения точных решений интегрируемых нелинейных уравнений некоторую проблему теории функций комплексного переменного. Если для 1 + 1-мерных интегрируемых нелинейных уравнений соответствующей проблемой теории функций комплексного переменного оказалась классическая локальная проблема Римана-Гильберта [5, 20, 21], то в случае же 2+1-мерных интегрируемых нелинейных уравнений потребовались другие средства.

В очень важной работе Манакова [26] впервые, на примере КР-1 уравнения, для нахождения точных решений этого уравнения была использована нелокальная проблема Римана-Гильберта, которая, как впоследствии оказалось, соответствует целому ряду интегрируемых 2+1-мерных нелинейных уравнений: естественно возникает при решении линейных вспомогательных задач и эффективно используется для решения этих нелинейных уравнений ( см. также [27] ). Работой Манакова нелокальная проблема Римана-Гильберта была введена в математику впервые.

Однако для других интегрируемых 2+1-мерных нелинейных уравнений, таких, на-

пример, как KP-II, собственные волновые функции линейных вспомогательных задач неаналитичны всюду в комплексной плоскости спектральной переменной. Оказалось, что и в этом случае существует обобщение классической проблемы Римана-Гильберта. В работе Билса и Койфмана [28] было показано, что проблема Римана-Гильберта, лежащая в основе интегрирования 1+1-мерных систем, может рассматриваться как специальный случай так называемой д- проблемы. Действительно, в случае применимости проблемы Римана- Гильберта волновая функция "теряет" аналитичность лишь на некоторых контурах, тогда как в случае применимости <9-проблемы волновая функция теряет аналитичность уже в целой двумерной области комплексной плоскости: отличная от нуля <9-прозводная (dj) комплексной функции является мерой отклонения этой функции от аналитичности. В обоих случаях - для проблемы Римана-Гильберта и ö-проблемы - знание ¿^-производной от волновой функции достаточно для восстановления этой функции. Хотя для 1+1-мерных интегрируемых нелинейных уравнений более приемлемым оказывается использование проблемы Римана-Гильберта, нежели более общей d-проблемы, Биле и Койфман ввели новый мощный инструмент для исследования интегрируемых систем. И, действительно, вскоре после этого Абловитц, Бари Яаков и Фокас в своей работе [29] показали, что уравнение KP-II требует существенного использования <9-проблемы. Ситуация с уравнениями DS полностью аналогична ситуации с KP ( Фокас [30], Фокас и Абловитц [31, 32, 33], а также Биле и Койфман [34, 35, 36, 37])

В ряду работ, использовавших д-проблему, следует отметить также очень интересные и важные работы Гриневича и Манакова [38], Гриневича и С.П. Новикова [39, 40], посвященные обратной задаче для двумерного оператора Шрёдингера и соответствующего этому оператору интегрируемого 2+1-мерного нелинейного уравнения Веселова-Новикова.

Параллельно работам по 3-проблеме очень важные исследования в развитие методов интегрирования многомерных нелинейных уравнений были проделаны Захаровым и Манаковым [41, 42, 43] ( см. также [44, 45, 46] и [47, 48] ). В работах Захарова и Манакова был открыт общий, очень мощный и эффективный метод <9-одевания. С помощью уравнений метода ö-одевания:

1° Конструируются интегрируемые нелинейные уравнения вместе с соотвествующими линейными вспомогательными задачами.

2° Вычисляются аналитически широкие классы точных решений построенных нелиней-

ных уравнений, а также решений линейных вспомогательных задач.

Метод 3-одевания Захарова-Манакова, основанный на нелокальной 3-проблеме, является вершиной в развитии всех подходов МОЗ и в настоящее время успешно применяется для получения точных решений интегрируемых многомерных нелинейных уравнений.

1.2 Обзор содержания диссертации

В первой главе, Введении, дан обзор современного состояния теории классических интегрируемых систем, очерчены основные понятия и методы, используемые в диссертации, приведена общая характеристика работы, а также описана её структура по главам.

В главе 2 диссертации рассмотрено модифицированное уравнение Кадомцева- Пе-твиашвили, или кратко тКР уравнение:

Случаям а = г, (сг2 = — 1) и а = 1, (<г2 = 1) соответствуют в стандартной терминологии тКР-1 и тКР-П уравнения соответственно. Оба указанные уравнения, очевидно , допускают редукцию к вещественному полю и. Это уравнение является 2+1-мерным обобщением известного уравнения тКс!У (1.0.2). Уравнение тКР было открыто с помощью различных подходов в работах [49, 50].

Мотивировкой к исследованию точных решений уравнения тКР явились возможные приложения: точные волновые функции первой линейной вспомогательной задачи для уравнения тКР используются при построении решений других 2+1-мерных интегрируемых нелинейных уравнений - Ишимори и Гарри Дима (см. главы 3 и 4 диссертации).

Показано, как в случае достаточно быстро убывающих на бесконечности начальных данных, в рамках метода обратной задачи решается задача Коши для двух версий тКР уравнения: тКР-1 и тКР-П уравнений, в первом случае используется нелокальная задача Римана, а во втором - д- проблема. Вычислены явно ламповые решения тКР-1 уравнения.

Далее с помощью мощного современного метода 5-одевания, основанного на нелокальной З-проблеме, строятся широкие классы точных решений тКР уравнения, имен-

(1.2.7)

но, рациональные решения, включающие линейные лампы для тКР-1 уравнения; решения с функциональными параметрами; линейные солитоны и бризеры.

В конце главы обсуждается двумерное преобразование Миуры, связывающее решения тКР и КР уравнений.

В главе 3 рассмотрено нелинейное уравнение Ишимори-1 для спинового поля единица на плоскости (х,у), установленное в работе [53]:

+ х (3 XX + а2!>уу) + (рхОу + 1ру~Йх — О,

(рхх - + 2а2"^ ■ (Зх х = 0, (1.2.8)

где = (51!, 5з) - трёхмерный единичный вектор =1), <р - скалярное поле и случаи а2 = 1,а2 = — 1 соответствуют уравнениям Ишимори-1 и Ишимори-Н.

Уравнение Ишимори (1.2.8) является интегрируемым 2+1-мерным обобщением (одним из немногих) одномерного уравнения ферромагнетика Гейзенберга (изотропного уравнения Ландау-Лифшица): о * + [^ х 1>хх] = 0, что собственно и послужило мотивировкой к исследованию точных решений уравнения Ишимори с нетривиальными границами.

В характеристических координатах £ = |(у + х),г) = \{у — ж), в случае уравнения Ишимори-1 (а2 = 1), исключая из системы (1.2.8) поле 9?, получаем одно уравнение на спиновое поле

х -) + 2«2(£,г))

(Д • (^ х + 2«!(»7,^ ^ = 0, (1.2.9)

где и - произвольные скалярные функции, играющие роль "границ" -

граничных условий для производных при г]—> — оо,£ —У —оо соотвественно.

С помощью нелокальной задачи Римана получен закон эволюции для данных обратной задачи в координатном представлении в случае уравнения Ишимори-1, этот закон представляет собой линейное уравнение в частных производных, совпадающее с линеаризованным уравнением Ишимори для спиновой переменной 5+ = 5х + ¿¿2.

Получена общая формула, выражающая точные решения уравнения Ишимори-1 через решения линейного уравнения - закона эволюции данных обратной задачи.

Вычислены различные классы точных решений уравнения Ишимори-1, соответствующие стационарным границам 141(77) ии2((). В этом случае решения уравнения Ишимори-I выражаются через точные волновые функции линейной вспомогательной задачи Захарова -Шабата для уравнения тК(1У.

Построены классы рационально и экспоненциально локализованных решений уравнения Ишимори-1 с нестационарными границами (77, и м2 (£,£), в данном случае эти решения выражаются через точные волновые функции первой линейной вспомогательной задачи для уравнения тКР.

В случае нестационарных границ локализованные решения (в отличие от неподвижных локализованных решений для стационарных границ) движутся с постоянной скоростью в плоскости (х,у) и ими можно, меняя некоторые параметры, управлять, такие решения называют ещё дромионными.

Фактически семейство локализованных решений для уравнения Ишимори богаче, так как можно строить ещё локализованные решения с использованием точных волновых функций уравнения тКР-1 с кратными полюсами.

В главе 4 диссертации изучается 2+1-мерное интегрируемое обобщение известного нелинейного уравнения Гарри-Дима, открытое в работе [54]:

Щ + и3щхх + ^ [и'д-1 =0. (1.2.10)

Развит метод 5-одевания для построения точных решений этого уравнения. Показано, что точные решения 2+1-мерного уравнения Гари Дима задаются в неявной форме и строятся с помощью точных волновых функций первой линейной вспомогательной задачи мКП уравнения, вычислены конкретные примеры таких решений.

Мотивировкой к исследованию точных решений двумерного уравнения Гарри Дима послужило то, что его одномерный партнёр уже нашёл интересные физические приложения. Кроме того, исследование решений двумерного уравнения Гарри Дима представляет интерес и с точки зрения развития и применения самого МОЗ.

В главе 5 рассмотрено 2+1-мерное, симметричное по пространственным переменным, интегрируемое обобщение известного уравнения синус-Гордон (1.0.3) , или кратко 2Б8С-уравнение, открытое в работе Конопельченко и Роджерса [52] :

1 1 + ^^ • Р* + 2 ^ ' Рп =

= (1.2.11)

Здесь £ := х + <ту,г] := х — сгу,а2 = ±1 - для случаев 2Б8С-1 и 2Б8С-П уравнений соотвественно. Исключая из последней системы функцию р, получаем одно уравнение на функцию в:

вч,п + т^т?,*)^ + т2{№)вТ1 + -в, Г ■ + 1* • = 0, (1.2.12)

4 ./—оо 4 и — оо

где функции

1 1 т1 (4,*) = - Ит рг,, Ит (1.2.13)

¿ £-»■—оо I т]—$-—сс

являются, аналогично уравнению Ишимори, "границами" - граничными значениями производных рп и р^ поля р.

Мотивировкой для изучения двумерного уравнения синус-Гордон послужило то, что это уравнение является симметричным по пространственным переменным двумерным обобщением известного одномерного уравнения синус-Гордон. Это уравнение допускает интересные редукции к известным уравнениям триортогональных псевдосферических поверхностей. Недавно (Кларксон и др.) также было обнаружено, что 2Б8С уравнение допускает различные классические и неклассические редукции, одна из неклассичеких редукций оказалась тесно связанной с системой уравнений Максвелла-Блоха с накачкой.

В данной главе показано, что задачи Коши для уравнений 2Б8С-1 и 21380-11 с постоянными границами решаются соотвественно с помощью нелокальной проблемы Римана-Гильберта и д — <9-проблемы (эквивалентной обычной 5-проблеме).

Получен также закон эволюции данных обратной задачи в координатном представлении для уравнения 2Б8С (1.2.12), представляющий собой линейное уравнение в частных производных, совпадающее с линеаризованным уравнением 2Б8С (1.2.12).

Выведена общая формула, выражающая точные решения уравнения 2Б8С (1.2.12) через решения уравнения закона эволюции данных обратной задачи.

С помощью метода д — ^-одевания построены широкие классы точных решений 2Б8С-1 и 2Б8С-П уравнений с постоянными границами.

В главе 6 диссертации изучается 2+1-мерное уравнение синус-Гордон, точнее 2Б8С-I уравнение (1.2.12) с а2 — 1 с нестационарными границами тх(??,£) и т2(£,¿).

Методом <9-одевания Захарова, Манакова построены широкие классы точных решений линейных дифференциальных уравнений в частных проиводных - возмущённого телеграфного уравнения и уравнения возмущённой струны, к решению этих последних уравнений сводится после разделения переменных проблема нахождения точных решений уравнения, описывающего эволюцию во времени данных обратной задачи.

С помощью точных решений возмущённого телеграфного уравнения и уравнения возмущённой струны построены точные локализованные решения 208С-1 уравнения, соответствующие различным типам нестационарных границ.

В главе 7 диссертации с помощью метода 5-одевания построены широкие классы

точных решений (с постоянными асимптотическими значениями на бесконечности) системы уравнений Дэви-Стюардсона [23] (и её перечисяемых ниже редукций):

<Ь + - ¡Здт - 2адд~Х(рд\ + = О,

рг - арк + (Зрт + 2ард-\рд^ - 2(Зрд^1{рд)Г1 = 0. (1.2.14)

Различному выбору а, ¡3 и а2 = ±1 соответствуют различные системы уравнений. Так при вещественных а, (3 и и2 = 1 система (1.2.14) представляет собой некоторое интегрируемое 2+1-мерное обобщение нелинейного уравнения теплопроводности.

При а2 = 1 и чисто мнимых константах а,(3 система (1.2.14) допускает редукцию р — щ к единственному уравнению Дэви-Стюардсона (БЭ) [51]:

Чг + - (3Ччп - 2аед;\\Ч\\ + = 0. (1.2.15)

При а2 = 1 случаи а = —(3 = ~iжa = (3 = i соответствуют системам Б8-1 и БЭ-III уравнений (1.2.14) и, соответственно, БЭЛ и БЯ-Ш уравнениям (1.2.15). Частный случай ¡3 = 0 системы (1.2.14) также представляет интерес:

^+ - = 0, рг - ар# + 2ард~1{рч)^ = 0 (1.2.16)

с соответствующей редукцией р = щъ случае а — —а [23].

При а2 = —1, а = — г и а = —г, /3 = г и £ := £ = ж + гу, ?? := г" = ж — гу , при этом система (1.2.14) сводится к системе уравнений ББ-П :

+ <3^ + + = 0, %рг ~ Ргг. ~ ргг - 2рф = 0, фгц + (р<?)гг + (м)^ = 0. (1.2.17)

Система (1.2.17) допускает редукцию р = щ к уравнению БЭ-П [51]:

гЧг + Чгг + + 2дф = 0, + е (|9|22 + = 0. (1.2.18)

В главе 7 с помощью метода <9-одевания вычисляются также точные решения с постоянными асимптотическими значениями на бесконечности двумерного дисперсионного уравнения длинных волн 2ББ1Л¥ , установленного в работе Боити, Леона, Пем-пинелли [55]:

и - - 2{иу= 0,

+ - 2ии - (У2)^ = 0 (1.2.19) и двумерного уравнения этЬ-Гордон [56]:

(е-*[е+{фь + вгпкф)]^ - ^ + \ {[е~%\е%}2)^ = 0, (1.2.20)

некоторого интегрируемого 2+1-мерного (несимметричного по пространственным переменным обобщения sinh-Гордон уравнения ф^ + вткф = 0), получающегося из системы 2DDLW (1.2.19) при введении новой зависимой переменной ф = LnAJJ и подходящем исключении другой переменной V по формуле V = д^1 {е^ф^ — ф^).

В главе 8 показано, как с помощью метода 3-одевания могут быть построены точные решения с кратными полюсами таких 2+1-мерных уравнений как Кадомцева-Петвиашвили (KP):

Щ + иххх + 6 иих + 3 а2д~гиу = 0, (1.2.21)

тКР (1.2.7), DS системы уравнений (1.2.14) и некоторых её редукций (1.2.15),(1.2.16), а также уравнений 2DDLW (1.2.19) и 2DShG (1.2.20).

Мотивировкой к построению решений с постоянными асимптотическими значениями на бесконечности в главе 7 и решений с кратными полюсами в главе 8 некоторых интегрируемых 2+1-мерных нелинейных уравнений явилось желание продемонстрировать возможные разнообразные применения метода 3-одевания, простоту и эффективность использования этого метода.

В Заключении кратко сформулированы полученные в диссертации результаты. Каждая глава диссертации предваряется небольшим введением, в котором указаны ссылки на оригинальные работы автора, и может читаться, как правило, независимо.

1.3 Актуальность темы, цель работы; основные результаты, выносимые на защиту

Актуальность темы

Метод обратной задачи (МОЗ), как метод аналитического вычисления точных решений нелинейных интегрируемых уравнений, возникший немногим более тридцати лет назад, продолжает бурно развиваться. По-прежнему остаётся актуальной задача расширения сферы применимости МОЗ на многомерные нелинейные уравнения. В восьмидесятые годы возникла техника МОЗ, применимая к трёхмерным нелинейным уравнениям (уравнениям с тремя независимыми переменными: тремя пространственными координатами или двумя пространственными координатами и временем). Эта техника МОЗ основана на нелокальной проблеме Римана-Гильберта, 3-проблеме и более общо - на методе 9-одевания с нелокальной 0-проблемой. Ввиду важности точных решений

для теоретической и математической физики актуальной остаётся задача применения перечисленных методов к вычислению точных решений многомерных, в частности, 2+1-мерных интегрируемых нелинейных уравнений.

Цель работы

Целью работы является применение МОЗ, основанного на:

- нелокальной проблеме Римана-Гильберта,

- <9-проблеме ,

- методе 5-одевания с нелокальной 5-проблемой

к получению широких классов точных решений некоторых 2+1-мерных интегрируемых нелинейных уравнений. Более конкретно, в диссертации ставятся следующие задачи.

1. Решение задачи Коши для уравнений тКР-1 и тКР-П в классе быстро убывающих на бесконечности начальных данных. Построение широких классов точных решений тКР уравнения.

2. Построение широких классов точных решений уравнения Ишимори-1 со стационарными и нестационарными границами.

3. Построение решений с функциональными параметрами двумерного интегрируемого обобщения уравнения Гарри Дима.

4. Изучение структуры и свойств различных классов точных решений двумерного (симметричного по пространственным переменным) интегрируемого обобщения уравнения синус-Гордон с постоянными и нестационарными границами.

5. Построение различных классов точных решений с постоянными асимптотическими значениями на бесконечности следующих 2+1-мерных интегрируемых нелинейных уравнений: системы уравнений Дэви-Стюардсона (БЭ) и её редукций к 08-1,08-11, ... уравнениям; дисперсионного уравнения длинных волн (2001^), двумерного уравнения ( несимметричного по пространственным переменным ) этЬ-Гордон ^БэЬО) и других.

6. Построение различных классов точных решений (с кратными полюсами волновых функций вспомогательных линейных задач) следующих 2+1-мерных интегрируемых нелинейных уравнений: уравнений КР и тКР, системы уравнений ББ и

её некоторых редукций, а также двумерных обощений дисперсионного уравнения длинных волн (2ББ1Ж) и уравнения втЬ-Гордон ^БвЬС).

Основные результаты, выносимые на защиту

(В этом подразделе цитирование выполненных работ ведётся по списку, приведённому в конце Введения).

1. Результаты по уравнению тКР:

— Решены задачи Коши для тКР-1 и тКР-П уравнений в классе достаточно быстро убывающих начальных данных, соответственно с помощью нелокальной проблемы Римана-Гильберта и д- проблемы [1,3,4].

— Получены ламповые решения тКР-1 уравнения [4].

— С помощью метода 9-одевания, основанного на нелокальной 3-проблеме, построены широкие классы точных решений, именно, рациональные решения, включающие линейные лампы для тКР-1 уравнения; решения с функциональными параметрами; линейные солитоны и бризеры [4].

— С помощью преобразования Миуры прослежено соответствие полученых решений уравнения тКР с аналогичными решениями уравнения КР [4,5].

2. Локализованные решения уравнения Ишимори:

— С помощью техники нелокальной проблемы Римана-Гильберта получен закон эволюции данных обратной задачи в координатном представлении. Этот закон представляется некоторым уравнением в частных производных - линеаризованным уравнением Ишимори для спиновой переменной = + гй^ [6,7].

— Получена общая формула для точных решений уравнения Ишимори-1 с нетривиальными границами. Точные решения уравнения Ишимори выражаются посредством этой формулы через решения линейного уравнения закона эволюции данных обратной задачи в координатном представлении [6,7].

— С помощью известных точных волновых функций линейной вспомогательной задачи Захарова-Шабата для уравнения тКс1У построены различные типы точных решений уравнения Ишимори со стационарными границами [6,7].

— С помощью известных волновых функций первой линейной вспомогательной задачи уравнения тКР построены различные типы точных локализованных решений уравнения Ишимори с нестационарными границами. Среди этих решений присутствуют экспоненциально локализованные, рационально локализованные, а

также решения со смешанной рационально-экспоненциальной локализацией [8,9].

— Получены точные решения нелинейного уравнения для стереографической проекции д = (5*1 + г'5,2)/(1 + 53) спинового поля , удовлетворяющего уравнению Ишимори. Среди этих решений наряду с экспоненциально , рационально локализованными и решениями со смешанной локализацией присутствуют рационально , экспоненциально растущие, а также решения со смешанным рационально-экспоненциальным ростом [8,9].

3. Точные решения двумерного уравнения Гари Дима:

— С помощью метода 3-одевания построены точные решения с функциональными параметрами двумерного интегрируемого обобщения уравнения Гарри Дима. Показано, что, как и в случае одномерного уравнения Гарри Дима, эти решения задаются в неявной форме и строятся с привлечением точных волновых функций первой вспомогательной линейной задачи для уравнения тКР [1,2,10].

4. Группа результатов по двумерному уравнению синус-Гордон:

— Получен закон эволюции данных обратной задачи в координатном представлении, представляющий собой линейное уравнение в частных производных, совпадающее с линеаризованным уравнением синус-Гордон [11].

— Получена общая формула, выражающая решения двумерного уравнения синус-Гордон через решения уравнения закона эволюции данных обратной задачи. При этом методом разделения переменных решения уравнения закона эволюции данных обратной задачи сводятся к решениям двух одномерных классических уравнений - возмущённого телеграфного (или Клейна-Гордона) и уравнения возмущённой струны [11].

— Показано, как решается задача Коши для двух версий 2Б8С-1 и 2Б80-П двумерного уравнения синус-Гордон с постоянными границами, соответственно с помощью нелокальной задачи Римана- Гильберта и д — ^-проблемы [11].

— С помощью метода д — д-одевания построены широкие классы точных решений двумерного уравнения синус-Гордон с постоянными границами [11].

— С помощью метода 3-одевания построены широкие классы точных решений линейных уравнений: возмущённого телеграфного уравнения и уравнения возмущённой струны [12,13].

— С помощью решений возмущённого телеграфного уравнения и уравнения возмущённой струны вычислены точные локализованные решения двумерного урав-

нения синус-Гордон [12,13].

5. Решения с постоянными асимптотическими значениями на бесконечности:

С помощью метода 9-одевания построены классы точных решений с постоянными асимптотическими значениями на бесконечности некоторых известных 2+1-мерных интегрируемых нелинейных уравнений:

— системы уравнений Дэви-Стюардсона (ББ) и её редукций к Б8-1, БЭ-П, ... уравнениям [14,15,16];

— дисперсионного уравнения длинных волн (2ББ1Ж), двумерного уравнения (несимметричного по пространственным переменным) втЬ-Гордон (2БзЬС) и других [14,15].

Построенные решения включают в себя решения с функциональными параметрами, линейные солитоны и бризеры, рациональные решения, некоторые из построенных решений сингулярны, другие - несингулярны, это зависит от типа рассматриваемого уравнения и значений параметров. Среди построенных решений имеются и новые.

6. Решения, соответствующие кратным полюсам волновой функции:

— Показано, как с помощью метода <9-одевания строятся точные решения 2+1-мерных интегрируемых нелинейных уравнений, соответствующие кратным полюсам волновой функции линейных вспомогательных задач.

— Построены решения уравнения КР с кратными полюсами [17].

— Построены решения уравнения тКР с кратными полюсами [17].

— Построены решения с кратными полюсами системы уравнений Б Б, её некоторых редукций, а также двумерных обощений дисперсионного уравнения длинных волн (2ББ1Л¥) и уравнения вшЬ-Гордон (2БвЬО) [17].

1.4 Научная новизна и практическая ценность, апробация и публикации

Научная новизна и практическая ценность, публикации

Все результаты, представленные в диссертации, являются актуальными и новыми на момент их публикации. Результаты опубликованы в ведущих зарубежных журналах, докладывались на крупных международных конференциях и представлены в их

публикациях, они широко известны в научном сообществе и цитируются в работах других авторов в близких областях теоретической и математической физики. Результаты, лежащие в основе диссертации, были опубликованы в 1984-1999 годах в работах [1]-[17] (см. отдельный список публикаций, лежащих в основе диссертации в конце Введения, цитирование выполненных работ в данном подразделе ведётся по этому списку).

Техника МОЗ, основанная на нелокальной проблеме Римана- Гильберта, ^-проблеме и методе <9-одевания с нелокальной ¿/-проблемой впервые применена к построению широких классов точных решений модифицированного уравнения Кадомцева-Петвиашвили и для изучения структуры этих решений [1,3,4,5].

тКР уравнение представляет интерес по нескольким причинам: во-первых, это уравнение может быть существенно для описания волн на воде в плоскости (х,у) в ситуации, когда, как и в случае уравнения mKdV, важна кубическая нелинейность; во-вторых, тКР уравнение, точнее решения его первой линейной вспомогательной задачи используются при построении экспоненциально-локализованных решений уравнения Ишимори и двумерного уравнения Гарри Дима. Наконец, шКР уравнение очень интересно и с точки зрения собственно МОЗ: для его интегрирования приходится использовать скалярную вспомогательную линейную задачу с нестандартной нормировкой, то есть с нетривиальным коэффициентом перед первой производной волновой функции. Таким образом, изучение тКР уравнения, как представляется, существенно для развития МОЗ. Наконец, среди точных решений уравнения mKP-I присутствуют линейные лампы - решения такого типа отсутствуют у уравнения KP-I.

Техника МОЗ, основанная на нелокальной проблеме Римана- Гильберта, впервые применена к построению широких классов точных решений уравнения Ишимори-I как со стационарными, так и с нестационарными нетривиальными границами [6-9]. При этом оказалось, что для получения точных решений уравнения Ишимори привлекаются в случае стационарных границ точные волновые функции первой линейной вспомогательной задачи Захарова-Шабата для уравнения mKdV, а в случае нестационарных границ - точные волновые функции первой вспомогательной задачи для уравнения тКР.

Уравнение Ишимори представляет интерес, на наш взгляд, по следующим причинам: оно является одним из немногочисленных примеров интегрируемых 2+1-мерных обобщений одномерного уравнения Ландау-Лифшица для изотропного ферромагнетика Гейзенберга. Хотя зто уравнение и не нашло применений для описания магнит-

ных сред, техника получения его точных решений может оказаться очень полезной для других, более реалистичных интегрируемых многомерных обобщений уравнения Ландау-Лифшица; уравнение Ишимори демонстрирует богатую и интересную структуру решений, например, нетривиальные границы уравнения Ишимори, соотвествующие линейным лампам уравнения тКР, порождают рационально локализованные решения уравнения Ишимори - такой тип решений отсутствует в случае уравнения Б Я с нетривиальными границами.

С помощью метода 9-одевания впервые построены точные решения с функциональными параметрами двумерного интегрируемого обобщения уравнения Гарри Дима [1,2,10]. Показано, что, как и в случае одномерного уравнения Гарри Дима, эти решения задаются в неявной форме и строятся с привлечением точных волновых функций первой вспомогательной линейной задачи для уравнения тКР.

Одномерное комплексное (в комплексной плоскости) уравнение Гарри Дима уже нашло применения для описания физических проблем, встречающихся в теории струн (Сабатье), а также Хеле-Шоу и Саффмана -Тейлора (Каданов и др.). Физические приложения двумерного интегрируемого уравнения Гарри Дима пока не найдены, но это уравнение является единственным двумерным обобщением известного одномерного уравнения Гарри Дима (а также уравнений Вадати, Коно и Ишикава), интересно и с математической точки зрения, и уже стало объектом исследований ряда авторов (Роджерс, Оевел, Дмитриева).

Техника МОЗ, основанная на нелокальной проблеме Римана- Гильберта, д — д-проблеме и методе д — <9-одевания с нелокальной д— д- проблемой, впервые применена к построению широких классов точных решений двумерного интегрируемого обобщения уравнения синус-Гордон (2Б8С), симметричного по пространственным переменным [11-13]. Для этого уравнения найдено удачное новое тетрадное представление, что позволило успешно применить к нему формализм МОЗ. Получен закон эволюции данных обратной задачи в координатном представлении, представляющий собой линейное уравнение в частных производных, совпадающее с линеаризованным уравнением синус-Гордон. Получена общая формула, выражающая решения двумерного уравнения синус-Гордон через решения уравнения закона эволюции данных обратной задачи. При этом методом разделения переменных решения уравнения закона эволюции данных обратной задачи сводятся к решениям двух одномерных классических уравнений -возмущённого телеграфного (или Клейна-Гордона) и уравнения возмущённой струны.

Показано впервые, как решается задача Коши для двух версий 2Б8С-1 и 2Б8С-П уравнения синус-Гордон с постоянными границами, соответственно с помощью нелокальной задачи Римана-Гильберта и д — 5-проблемы [11,13].

С помощью метода д — 5-одевания впервые построены широкие классы точных решений двумерного уравнения синус-Гордон с постоянными границами [11,13].

С помощью метода 5-одевания впервые построены широкие классы точных решений линейных уравнений: возмущённого телеграфного уравнения и уравнения возмущённой струны. С помощью решений указанных линейных уравнений впервые построены точные локализованные решения двумерного уравнения синус-Гордон [12,13].

Двумерное интегрируемое обобщение уравнения синус-Гордон (Конопельченко, Роджерс), изучаемое в диссертации, имеет интересные редукции к известным классическим уравнениям теории триортогональных псевдосферических поверхностей и может, в принципе, найти применения в дифференциальной геометрии. Это уравнение уже стало предметом исследований ряда авторов (Ниммо, Кларксон и др.), как с точки зрения его симметрий, так и точных решений. Так в работе Кларксона и др. (1996) изучались его классические и неклассические редукции, одна из неклассичеких редукций оказалась тесно связанной с системой уравнений Максвелла-Блоха с накачкой.

Впервые метод <9-одевания применён к построению классов точных решений с постоянными асимптотическими значениями на бесконечности некоторых известных 2+1-мерных интегрируемых нелинейных уравнений: системы уравнений Дэви-Стюардсона (БЭ) и её редукций к В8-1, БЭ-П, ... уравнениям; дисперсионного уравнения длинных волн (2ВБ1Ж), двумерного уравнения (несимметричного по пространственным переменным) вшЬ-Гордон (2ВзЬО) и других [14-16]. Построенные решения включают в себя решения с функциональными параметрами, линейные солитоны и бризеры, рациональные решения, некоторые из построенных решений сингулярны, другие - несингулярны, это зависит от типа рассматриваемого уравнения и значений параметров. Среди построенных решений имеются и новые.

Системы уравнений Дэви Стюардсона и их известные редукции могут найти применения для описания волн на воде, нелинейных явлений теплопроводности и т.д.. Дисперсионное уравнение длинных волн также может быть использовано при определённых условиях для описания волн на воде.

На примере уравнений КР, тКР, БЭ, 2БВЬ\У, 2БвЬС впервые показано, как с помощью метода 9-одевания строятся точные решения, соответствующие кратным полюсам

волновой функции линейных вспомогательных задач [17]. Построение таких решений данным методом, как представляется, много проще и эффективнее чем в рамках других подходов. Среди построеных решений имеются и новые.

Научная и практическая ценность диссертации обусловлена возможностью применения полученных в ней результатов в дальнейших исследованиях и приложениях.

Апробация результатов

Результаты, полученные в диссертации, докладывались на семинарах лаборатории теоретической физики ИМ СО РАН , в международном центре нелинейных исследований EINSTEIN университета Лечче (г. Лечче, Италия) - в 1994, 1995 и 1998 гг. Результаты диссертации были также доложены автором на международных конференциях по нелинейным эволюционным уравнениям и динамическим системам NEEDS-1990, NEEDS-1992 (г. Дубна, Россия); по нелинейным интегрируемым уравнениям - в 1991 году (г. Калиниград, Россия); в летней Сибирской международной математической школе "Алгебра и анализ" - в 1993 году (оз. Байкал, Россия); на международной конференции "Nonlinear Physics: Theory and Experiment" - в 1995 году (г. Галлиполи, Италия).

Некоторые результаты, приведённые в диссертации, впоследствии послужили отправной точкой для исследований других авторов. Двумерное уравнение Гарри Дима, установленное в работе Конопельченко Б.Г. и автора [54], изучалось затем и другими авторами. Так в работах австралийских учёных К. Роджерса, В. Оевела и К. Роджерса изучалось свойство Пенлеве двумерного уравнения Гарри Дима, были установлены интересные связи (преобразования взаимности) между решениями двумерных интегрируемых уравнений Гарри Дима и модифицированного Кадомцева-Петвиашвили.

В работе JI. Дмитриевой , М. Хлабыстовой было продолжено исследование структуры и свойств многосолитонных решений двумерного уравнения Гарри Дима в рамках подхода, использующего т-функцию.

Результаты диссертации по точным решениям двумерного интегрируемого обобщения уравнения синус-Гордон, были подтверждены в работах Ниммо из Англии, использовавшего для построения точных решений линейные вспомогательные задачи (установленные в диссертации) для данного уравнения и обобщённые преобразования Мот-тарда. Некоторые классы точных решений двумерного нелинейного уравнения синус-Гордон в рамках анализа симметрий с помощью теории групп Ли были получены в работе Кларксона из Англии.

Публикации по теме диссертации

1. B.G. Konopelchenko, V.G. Dubrovsky, Some new integrable nonlinear evolution equations in 2+1-dimensions, Phys. Lett., 102A, 15-17(1984).

2. V.G. Dubrovsky, B.G. Konopelchenko, General structure of nonlinear equations in 2+ l-dimensions integrable by the general two-dimesional differential spectral problem, препринт ИЯФ №84-50, 28 стр., Новосибирск, 1984.

3. B.G. Konopelchenko, V.G. Dubrovsky, Backlund-Calogero group and general structure of integrable equations for the two-dimensional Gelfand-Dikij-Zakharov-Shabat problem. Bilocal approach, Physica, 16D, 79-98(1985).

4. B.G. Konopelchenko, V.G. Dubrovsky, Inverse Spectral Transform for the modified Kadomtsev-Petviashvili equation, Stud. Appl. Math., 86,216-268(1992).

5. V.G. Dubrovsky, B.G. Konopelchenko, On the interrelation between the solutions of the mKP and KP equation via Miura transformation, J. Phys. A: Math. Gen., 24,4315-4324(1991).

6. V.G. Dubrovsky, B.G. Konopelchenko, Coherent structures for the Ishimori equation.

I. Localized solitons with stationary boundaries, Physica, 48D, 367-395(1991)

7. B.G. Konopelchenko, V.G. Dubrovsky, Localized solitons for the Ishimori equation, Contemporary Mathematics, 122, 77-89(1991).

8. V.G. Dubrovsky, B.G. Konopelchenko, Coherent structures for the Ishimori equation.

II. Time-dependent boundaries, Physica, 55D, 1-13(1992).

9. V.G. Dubrovsky, B.G. Konopelchenko, Inverse Spectral Transform for the mKP equation and dromion solutions for the Ishimori equation, Proc. of the eighth Workshop NEEDS-92, World Scientific, Singapore, 457-462(1993).

10. V.G. Dubrovsky, B.G. Konopelchenko, d- dressing and exact solutions for the (2+1)-dimensional Harry Dym equation, J. Phys. A: Math. Gen., 27,4619-4628(1994).

11. B.G. Konopelchenko, V.G. Dubrovsky, The two-dimesional integrable generalization of the sine-Gordon equation. I. д — д-dressing and initial value problem, Stud, in Appl. Mathem., 90, 189-223(1993).

12. V.G. Dubrovsky, B.G. Konopelchenko, The 2+1-dimensional generalization of the sine-Gordon equation. II. Localized solutions, Inverse Problems, 9, 391-416(1993).

13. V.G. Dubrovsky, B.G. Konopelchenko, The 2+1-dimensional integrable sine-Gordon equation, Proc. of the eighth Workshop NEEDS-92, World Scientific, Singapore, 112-123(1993).

14. V.G. Dubrovsky, The application of the d- dressing method to some integrable (2+1)-dimensional nonlinear equations, in Proc. of the first Workshop on Nonlinear Physics: theory and experiment, Le Sirenuse, Gallipoli(Lecce), Italy, June 29 - July 7, 1995; eds. E. Alfinito, M. Boiti et al; 94 - 103, World Scientific, Singapore, 1996.

15. V.G. Dubrovsky, The application of the d- dressing method to some integrable (2+1)-dimensional nonlinear equations, J. Phys. A: Math. Gen, 29, 3617-3630(1996).

16. V.G. Dubrovsky, The d-dressing method and the solutions with constant asymptotic values at infinity of DS-II equation, J. Math. Phys., 38, 6382-6409(1997).

17. V.G. Dubrovsky, The construction of exact multiple pole solutions of some 2+1 -dimensional integrable nonlinear evolution equations via d-dressing method, J. Phys. A: Math, and Gen., 32A,369-390(1999).

2 Модифицированное уравнение Кадомцева-Петвиашвили

С помощью метода обратной задачи (МОЗ) [13, 14, 15, 16,17, 18] были детально изучены широкие классы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Уравнение Кортевега-де Фриза (Кс1У), модифицированное уравнение Кортевега-де Фриза (тКсГУ), нелинейное уравнение Шрёдингера и уравнение модели ферромагнетика Гейзенберга являются наиболее важными и интересными представителями 1+1-мерных уравнений, интегрируемых МОЗ, как с математической , так и с физической точек зрения [13-18].

Все перечисленные четыре уравнения имеют 2+1-мерные (две пространственные и одна временная координаты) интегрируемые обобщения: уравнение Кадомцева-Петвиа-швили (КР), модифицированное уравнение Кадомцева-Петвиашвили (тКР), уравнение Дэви-Стюардсона (БЭ) и уравнение Ишимори соответственно. Для интегрирования уравнения КР потребовалось существенное обобщение МОЗ, а именно, в МОЗ были введены нелокальная задача Римана-Гильберта - в работе С.В.Манакова [26] и 5-проблема - в работах Абловитца, Бари Яакова и Фокаса [29] и Фокаса, Абловитца [27]. Затем были проинтегрированы: Б Э уравнение - в работах Фокаса ; Фокаса, Абловитца и Биллса, Койфмана [30, 31, 32, 34]; уравнение Ишимори - в работах Конопельченко, Маткари-мова [57, 58] и Билса, Койфмана [59]. Нелокальные проблема Римана-Гильберта и ¿/-проблема являются в настоящее время основными инструментами для решения 2+1-мерных интегрируемых нелинейных уравнений (см. обзоры [33, 37, 47, 48]). Параллельно, в работах В.Е.Захарова и С.В.Манакова [42, 43] (см. также работы [44, 45, 46] и обзоры [47, 48]) был предложен очень мощный и общий метод д-одевания, который является вершиной в развитии всех подходов к решению интегрируемых нелинейных уравнений , как 1+1-мерных, так и 2+1-мерных. Уравнения КР, тКР, Б Я и Ишимори были детально изучены с помощью всех указанных методов.

В основу данной главы диссертации положены работы [62, 63], в которых нелокальная задача Римана-Гильберта , ¿^-проблема и метод 5-одевания были применены к модифицированному уравнению Кадомцева-Петвиашвили (тКР), являющемуся 2+1-мерным интегрируемым обобщением известного уравнения тК<1У. Уравнение тКР имеет вид:

% + Уххх - + 3а2д;%у - 3(тУхд~% = 0, (2.0.1)

где а2 = ±1. Уравнение (2.0.1) было введено в работе [49] в рамках калибровочно-инвариантного описания КР уравнения, в работе [50] оно появилось как первый член первой модифицированной иерархии КР. Уравнение тКР (2.0.1) является условием совместности для следующей линейной системы [54]:

+ Ф + ^Ф* = 0, (2.0.2)

Ф* + 4УХХХ + 6УУХХ + (ЗК - Зад-'Уу + Фж + аФ = 0, (2.0.3)

где а - произвольная константа.

В общем случае решения уравнения (2.0.1) являются комплексными функциями. Но при а2 = — 1, (а = г) это уравнение допускает редукцию к чисто мнимому V , тогда как при <72 = 1,(ст = 1) существует редукция к вещественному полю V. Именно поэтому естественно ввести новую зависимую переменную и, определяемую соотношением V = аи. В терминах новой переменной и уравнение (2.0.1) примет вид:

Щ + иххх - За2 (^и2их - д~1иуу + ихд~1и^ = 0. (2.0.4)

Случаям а = г, (а2 = —1) и а = 1, (а2 = 1) соответствуют в стандартной терминологии шКР-1 и тКР-П уравнения соответственно. Оба указанные уравнения, очевидно , допускают редукцию к вещественному полю и .

Уравнение тКР представляет большой интерес по нескольким причинам. Во-первых, это уравнение может иметь отношение к описанию волн на воде в плоскости х,у в ситуации , аналогичной случаю уравнения тКс!У , когда важно учесть кубическую нелинейность. Во-вторых , аналогично связи между решениями уравнений Кс1У и тКс1У , решения уравнений КР и тКР связаны двумерным преобразованием Миуры [49, 54]:

« = - \у* - ¿V2- (2.0.5)

В-третьих , тКР уравнение, а точнее задача нахождения точных решений линейного уравнения (2.0.2) возникает при конструировании экспоненциально локализованных решений уравнения Ишимори [53], что подробно будет обсуждаться в третьей главе диссертации. Через волновую функцию Ф - решение линейных вспомогательных задач (2.0.2),(2.0.3) уравнения тКР , как оказалось [64, 101] , в неявной форме выражаются решения двумерного обобщения уравнения Гарри-Дима [54], что будет обсуждаться в четвёртой главе диссертации. Наконец, уравнение тКР очень интересно собственно с точки зрения самого метода обратной задачи. Действительно, линейное уравнение

(2.0.2) нельзя представить в виде подходящей редукции (в противоположность случаю уравнения тКс!У) некоторой 2x2 матричной линейной задачи. Так что возникает необходимость применения техники МОЗ непосредственно к скалярной линейной задаче (2.0.2) с нестандартной нормировкой , то есть с нетривиальным коэффициентом перед первой производной от волновой функции Ф. Таким образом , изучение шКР уравнения, как представляется, очень важно для развития МОЗ.

В данной главе диссертации , следуя работам [62, 63] , будут рассмотрены как задача Коши , так и проблема конструирования широких классов точных решений тКР уравнений (2.0.4). Общий подход сходен с тем , который применялся для уравнения КР [29, 27, 33, 37, 47]. Но случай тКР уравнения отличает несколько существенных особенностей. Первая и наиболее важная заключается в том, что в случае тКР адекватное введение спектрального параметра Л достигается переходом к волновой функции х посредством соотношения

Функция х , определяемая соотношением (2.0.6) , допускает каноническую нормировку X —> 1 при Л —у оо и, что более важно , удовлетворяет уравнениям (2.0.2),(2.0.3) без всяких ограничений на данные обратной задачи.

2.1 Задача Коши для уравнения тКР-1

Уравнение тКР-1 эквивалентно условию совместности для линейной системы:

¿Фу + + = 0,

Общая схема решения задачи Коши для тКР уравнения та же самая, что и для КР-1 уравнения [29, 27, 33, 37, 47]. Сначала вводится спектральный параметр , при этом проявляется первое различие между тКР и КР уравнениями. Для проблемы (2.1.7) более удобным и адекватным является введение спектрального параметра посредством перехода к волновой функции х по формуле:

(2.0.6)

(2.1.7)

(2.1.8)

где А-комдлексный параметр. Функция х удовлетворяет уравнению:

гхУ + Ххх + + и (гдх - X = 0.

Л

('а' ~ х)х = 0

(2.1.9)

Легко видеть , что функция х допускает каноническую нормировку х ~^ 1 ПРИ А —> оо , она также ограничена при А = 0 и

Такие свойства функции х являются следствием определения (2.1.8). Каноническая нормировка функции х имеет решающее значение для вывода уравнений обратной задачи с постоянным неоднородным членом, равным единице.

Конечно же, существует и другие способы введения спектрального параметра А , например, его можно ввести точно также же как и для уравнения КР, то есть:

Соответсвующее уравнение для функции х имеет вид:

¿Ху + Ххх + 2гАх* + и(дх - А)х = 0.

При последнем способе введения спектрального параметра функция х не допускает канонической нормировки. Действительно, подстановка асимптотического разложения X ~ Хоо + (1/А)х-1 + ••• в последнее уравнение даёт

Так что Хоо является функционалом от и(х,у,1). Следовательно, соответствующие уравнения обратной задачи будут содержать неоднородный член, зависящий от самого "потенциала" и(х,у,£). Это делает проблему разрешимости уравнений обратной задачи очень сложной. Эту проблему можно можно обойти , перейдя к новой функции х(ж,у; А) = х(ж; У\^)/Хоо(ж, у). Функция х(ж,у;А) имеет каноническую нормировку. Можно показать, что результаты, которые можно получить в обоих рассмотренных подходах , эквивалентны, тем не менее, первый из упомянутых подходов предпочтительнее и более адекватен проблеме, так как не содержит никаких промежуточных функций , не требует никаких ограничений на данные обратной задачи и отражает глубокую связь с уравнением КР в рамках метода 5-одевания.

(2.1.10)

ф(®,у) = х(*,у;А)е<л"-АЧ

2?Хоож = и(х,у^)хоо.

Итак, будем искать решения линейной задачи (2.1.7) с канонической нормировкой, ограниченные при всех значениях Л за исключением , быть может , конечного числа точек. Такие решения могут быть найдены как решения следующего линейного интегрального уравнения:

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Дубровский, Владислав Георгиевич

9 Заключение

Кратко сформулируем основные результаты, полученные в диссертации.

1. Решение задачи Коши для тКР-1 и тКР-П уравнений в классе достаточно быстро бывающих начальных данных, соответственно с помощью нелокальной проблемы Римана-Гильберта и <9-проблемы [54, 61, 62].

2. Получение ламповых решений тКР-1 уравнения [62].

3. Построение с помощью метода 5-одевания, основанного на нелокальной ¿^-проблеме, широких классов точных решений уравнения тКР, именно, рациональных решений, включающих линейные лампы для тКР-1 уравнения; решений с функциональными параметрами; линейных солитонов и бризеров [62].

4. Исследование с помощью двумерного преобразования Миуры соответствия полученных решений уравнения тКР с аналогичными решениями уравнения КР [62, 63].

5. Получение с помощью техники нелокальной проблемы Римана- Гильберта закона эволюции данных обратной задачи в координатном представлении для уравнения Ишимори.Этот закон представляется некоторым уравнением в частных производных - линеаризованным уравнением Ишимори для спиновой переменной & + 5*2 [80, 81].

6. Получение общей формулы для точных решений уравнения Ишимори -I с нетривиальными границами. Точные решения уравнения Ишимори выражаются посредством этой формулы через решения линейного уравнения закона эволюции данных обратной задачи в координатном представлении [80, 81].

7. Построение с помощью известных точных волновых функций линейной вспомогательной задачи Захарова-Шабата для уравнения тК(1У различных типов точных решений уравнения Ишимори со стационарными границами [80, 81].

8. Построение с помощью известных точных волновых функций первой линейной вспомогательной задачи для уравнения шКР различных типов точных локализованных решений уравнения Ишимори с нестационарными границами. Среди этих решений присутствуют экспоненциально- локализованные, рационально- локализованные, а также решения со смешанной рационально- экспоненциальной локализацией [82, 83].

9. Получение точных решений нелинейного уравнения для стереографической проекции q = (Si -f 1S2)/(1 + <5'з) спинового поля , удовлетворяющего уравнению Ишимори. Среди этих решений наряду с экспоненциально , рационально локализованными и решениями со смешанной локализацией присутствуют рационально, экспоненциально растущие, а также решения со смешанным рационально- экспоненциальным ростом [82, 83].

10. Построение с помощью метода <9-одевания точных решений с функциональными параметрами двумерного интегрируемого обобщения уравнения Гарри Дима. Эти решения задаются в неявной форме и строятся с привлечением точных волновых функций первой вспомогательной линейной задачи для уравнения тКР [54, 60, 103].

11. Получение закона эволюции данных обратной задачи в координатном представлении для двумерного интегрируемого уравнения синус-Гордон. Этот закон представляет собой линейное уравнение в частных производных, совпадающее с линеаризованным уравнением синус-Гордон [116].

12. Получение общей формулы, выражающей решения двумерного уравнения синус-Гордон через решения уравнения закона эволюции данных обратной задачи. При этом методом разделения переменных решения уравнения закона эволюции данных обратной задачи сводятся к решениям двух одномерных классических уравнений - возмущённого телеграфного (или Клейна-Годона) и уравнения возмущённой струны [116, 117].

13. Решение задачи Коши для двух версий 2DSG-I и 2DSG-II двумерного уравнения синус-Гордон, соответственно с помощью нелокальной задачи Римана-Гильберта и нелокальной д — ¿^-проблемы [116].

14. Построение с помощью метода д — 9-одевания широких классов точных решений двумерного уравнения синус-Гордон с постоянными границами [117, 118].

15. Построение с помощью метода <9-одевания широких классов точных решений линейных уравнений: возмущённого телеграфного уравнения и уравнения возмущённой струны [117, 118].

16. Вычисление с помощью решений возмущённого телеграфного уравнения и уравнения возмущённой струны точных локализованных решений двумерного уравнения синус-Гордон [117, 118].

17. Построение с помощью метода <9-одевания различных классов точных решений с постоянными асимптотическими значениями на бесконечности некоторых известных 2+1-мерных интегрируемых нелинейных уравнений: системы уравнений Дэви-Стюардсона (DS) и её редукций к DS-I, DS-II, . уравнениям; дисперсионного уравнения длинных волн (2DDLW), двумерного уравнения ( несимметричного по пространственным переменным ) sinh-Гордон (2DshG) и других [121, 122, 123].

Построенные решения включают в себя решения с функциональными параметрами, линейные солитоны и бризеры, рациональные решения, некоторые из построенных решений сингулярны, другие - несингулярны, это зависит от типа рассматриваемого уравнения и значений параметров. Среди построенных решений имеются и новые.

18. Построение с помощью метода d-одевания точных решений, соответствующих кратным полюсам волновой функции линейных вспомогательных задач, некоторых 2+1-мерных интегрируемых нелинейных уравнений: уравнений KP и тКР, системы уравнений DS и её некоторых редукций, а также двумерных обоще-ний дисперсионного уравнения длинных волн (2DDLW) и уравнения sinh-Гордон (2DshG)[142].

Я благодарен моему соавтору Конопельченко Б.Г. за радость совместной работы.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Дубровский, Владислав Георгиевич, 1999 год

Литература

[1] C.S. Gardner, J.M. Greene, M.D. Kruskal, R.M. Miura, Method for solving the Korteweg-de Vries equation, Phys. Rev. Lett., 19, 1095-1097(1967).

[2] C.S. Gardner, J.M. Greene, M.D. Kruskal, R.M. Miura, Korteweg-de Vries and generalizations. VI. Methods for exact solution, Commun. Pure Appl. Math., 27, 97-133(1974).

[3] D.J. Korteweg and G. de Vries, On the change of of form of long waves advancing in a rectangular canal, and on a new type of long stationary waves, Phil. Mag. Ser. 5, 39, 422-443(1895).

[4] R.M. Miura, Korteweg-de Vries equations and generalizations I. a remarkable explicit nonlinear transformation , J. Math. Phys., 9, 1202-1204(1968).

[5] B.E. Захаров, А.Б. Шабат, Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейной среде, ЖЭТФ, 61, 118-134(1971).

[6] М. Wadati,The modified Korteweg-de Vries equation, J. Phys. Soc. Japan, 32, 1681(1972).

[7] M.J. Ablowitz, D.J. Каир, А.С. Newell and H. Segur, Method for solving the Sine-Gordon equation, Phys. Rev. Lett., 30, 1262-1264(1973).

[8] M.J. Ablowitz, D.J. Каир, А.С. Newell and H. Segur, Nonlinear evolution equations of physical significance, Phys. Rev. Lett., 31, 125-127(1973).

[9] M.J. Ablowitz, D.J. Каир, А.С. Newell and H. Segur, The inverse scattering transform - Fourier analysis for nonlinear problems, Stud. Appl. Math., 53, 249-315(1974).

[10] M. Lakshmanan,Continuous spin system as an exactly solvable dynamical system, Phys. Lett., 61A, 53-54(1977).

[11] L.A. Takhtajan, Integration of the continuous Heisenberg spin chain through the inverse scattering method, Phys. Lett., 64A, 235-237(1977).

[12] M.Kruskal, Nonlinear wave equations in "Dynamical Systems Theory and Applications", procceedings, Seatle 1974, ed. J. Moser, Lect. Notes Phys., 38, 310354, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1975.

[13] В.Е. Захаров, С.В. Манаков, С.П. Новиков, Л.П. Питаевский. Теория солитонов, Наука, Москва,1980.

[14] Дж.Л. Лем. Элементы теории солитонов.- М.: Мир, 1983.

[15] М. Абловитц, X. Сигур. Солитоны и метод обратной задачи.- М.: Мир, 1987.

[16] Р. Додц, Дж. Эйлбек, Дж. Гиббон, X. Моррис. Солитоны и нелинейные уравнения.- М.: Мир, 1988.

[17] А. Ньюэлл. Солитоны в математике и физике.- М.: Мир, 1989.

[18] Л.Д. Фаддеев, Л.А. Тахтаджян. Гамильтонов подход в теории солитонов.- М.: Наука, 1986.

[19] В.Е. Захаров, А.Б. Шабат, Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. I., Функц. анализ и его прилож., 8(3), 43-53(1974).

[20] В.Е. Захаров, А.Б. Шабат, Интегирование нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. II., Функц. анализ и его прилож., 13(3), 13-22(1979).

[21] В.Е. Захаров, А.В. Михайлов, Релятивистски инвариантные двумерные модели теории поля, интегрируемые методом обратной задачи, ЖЭТФ, 74(6), 1953-1973(1978).

[22] В.С. Дрюма,(Ж аналитическом решении двумерного уравнения Кортевега-де Вриза (КдВ), Письма в ЖЭТФ,19(12), 753-757(1973).

[23] V.E. Zakharov, The inverse scattering method in Solitons, (R.K. Bullough, P.J. Caudrey, eds), Springer, Berlin, 1980.

[24] V.E. Zakharov, Integrable systems in multidimensional space in Lecture Notes in Physics, 153, 190(1982).

[25] M.J. Ablowitz, P.A. Clarkson, Solitons, Nonlinear evolution equations and Inverse Scattering, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1991.

[26] S.V. Manakov, The inverse scattering transform for the time-dependent Schródinger equation and Kadomtsev-Petviashvili equation, Physica, 3D, 420-427(1981) .

[27] A.S. Focas, M.J. Ablowitz, On the inverse scattering of the time-dependent Shrddinger equation and the associated Kadomtsev-Petviashvili (I) equation, Stud. Appl. Math., 69, 211-228(1983).

[28] R. Beals, R.R. Coifman, Scattering and inverse scattering for first order systems, Comm. Pure Appl. Math., 37, 39-90(1984)

[29] M.J. Ablowitz, D.Bar Yaacov, A.S. Focas, On the inverse scattering transform, for the Kadomtsev-Petviashvili equation, Stud. Appl. Math., 69, 135-142(1983).

[30] A.S. Focas, Inverse scattering of first-order systems on the plane related to nonlinear multidimensional equations, Phys. Rev. Lett., 51, 3-6(1983).

[31] A.S. Focas, M.J. Ablowitz, Method of solution for a class of multidimensional nonlinear evolution equations, Phys. Rev. Lett., 51,7-10(1983).

[32] A.S. Focas, M.J. Ablowitz, On the inverse scattering transform of multidimensional nonlinear evolution equations related to first-order systems in the plane, J.Math.Phys., 25, 2494-2505(1984).

[33] A.S. Fokas, M.J. Ablowitz, The inverse scattering transform for multidimensional (2+1) problems in "Nonlinear Phenomena" , Proc., Oaxtepec, Mexico 1982, ed. K.B. Wolf, Lecture Notes in Physics, 189, 137-183(1983).

[34] R. Beals, R.R. Coifman, Multidimensional inverse scattering and nonlinear partial differential equations, Proc. Symp. Pure Math., 43, 45-70(1985).

[35] R. Beals, R.R. Coifman, The D-bar approach to inverse scattering and nonlinear evolutions, Physica, 18D , 242-249(1986).

[36] R. Beals, R.R. Coifman, Scattering and inverse scattering for first order systems. II, Inverse Problems, 3, 577-593(1987).

[37] R. Beals, R.R. Coifman, Linear Spectral problems, nonlinear equations, and д-method, Inverse Problems, 5, 87-130(1989).

[38] П.Г. Гриневич, c.B. Манаков, Метод обратной задачи рассеяния для двумерного оператора Шрёдингера, д- метод и нелинейные уравнения, Функцю анализ и его прилож., 20(7), 14 (1986).

[39] P.G. Grinevich, S.P. Novikov, Inverse scattering problem for the two-dimensional Schrodinger operator at a fixed negative energy and generalized analytic functions in Proc. of Int. Workshop "Plasma Physics and nonlinear and turbulent processes in physics", Kiev, April 1987 (Ed. by V.G. Bar'yakhtar, V.M. Chernousenko, N.S. Erokhin, A.G. Sitenko, V.E. Zakharov), 1, p.58, World Scientific, Singapore, 1988.

[40] П.Г. Гриневич, С.П. Новиков, Двумерная обратная задача рассеяния при отрицательной энергии и обобщённые аналитические функции. I. Энергия ниэюе основного состояния, Функц. Анализ и его прилож., 22(1), 23(1988).

[41] В.Е. Захаров, С.В. Манаков, Многомерные интегрируемые нелинейные системы и методы построения их решений, Записки научных семин. ЛОМИ, 133, 281(1984).

[42] В.Е. Захаров, С.В. Манаков, Построение многомерных нелинейных интегрируемых систем и их решений, Функциональный анализ и его приложения, 19(2), 11(1985).

[43] V.E. Zakharov, Commutating operators and nonlocal д-problem in "Nonlinear and turbulent processes in PhysicsProc. of the III Intern. Workshop, Naukova Dumka, Kiev,v.l, 152(1988).

[44] L.V. Bogdanov, S.V. Manakov, The non-local д-problem and (2+1 )-dimensional soliton equations, J. Phys. A: Math. Gen.,21, L537(1988).

[45] V.E. Zakharov, On the dressing method in "Inverse Methods in Action", ed. P.C. Sabatier, Springer, Berlin, 602, 1990.

[46] A.S. Focas, V.E. Zakharov, The Dressing Method for Nonlocal Riemann-Hilbert Problems, J. of Nonlinear Sciences, 2 (1), 109(1992).

[47] B.G. Konopelchenko, Introduction to multidimensional integrable equations, Plenum Press, New York, 1992.

[48] B.G. Konopelchenko, Solitons in Multidimensions. Inverse spectral transform method, World Scientific, Singapore, 1993.

[49] B.G. Konopelchenko, On the gauge-invariant description of the evolution equations integrable by Geljand-Dikij spectral problems Phys. Lett., 92A, 323-327(1982).

[50] M. Jimbo and Т. Miwa, Solitons and infinite dimensional Lie algebras, Publ. Res. Inst. Math. Sci.,19 (3), 943-1001(1983).

[51] A. Davey and K. Stewartson, On three-dimensional packets of surface waves, Proc. Roy. Soc. London, 338A, 101-110(1974).

[52] B.G. Konopelchenko, C. Rogers, On (2+1)-dimensional nonlinear system of Loevner type, Phys. Lett., 158A, 391(1991).

[53] Y. Ishimori, Multi-vortex solutions of two-dimensional nonlinear wave equation, Progr. Theor. Phys., 72, 33-37(1984).

[54] B.G. Konopelchenko, V.G. Dubrovsky, Some new integrable nonlinear evolution equations in 2+1-dimensions, Phys. Lett., 102A, 15-17(1984).

[55] M. Boiti, J.J.P. Leon, F. Pempinelli, Spectral transform for a two spatial dimension extension of dispersive long wave equation, Inverse problems, 3, 371-387(1987).

[56] M. Boiti, J. J.P. Leon, F. Pempinelli, Integrable two-dimensional generalization of the sine- and sinh-Gordon equations, Inverse problems, 3, 37-49(1987).

[57] B.G. Konopelchenko, B.T. Matkarimov,On the inverse scattering transform for the Ishimori equation, Phys. Lett., 135A, 183-189(1989).

[58] B.G. Konopelchenko, B.T. Matkarimov, Inverse spectral transform for the Ishimori equation: I. Initial value problem, J. Math. Phys., 31, 2737(1990).

[59] R. Beals, R.R. Coifman, Talk given at Workshop on Noolinear evolution equatios, Como, Italy, July, 1988.

[60] V.G. Dubrovsky, B.G. Konopelchenko, General structure of nonlinear equations in 2+1-dimensions integrable by the general two-dimesional differential spectral problem, препринт ИЯФ №84-50, 28р. Новосибирск, 1984.

[61] B.G. Konopelchenko, V.G. Dubrovsky,Backlund-Calogero group and general structure of integrable equations for the two-dimensional Gelfand-Dikij-Zakharov-Shabat problem. Bilocal approach, Physica, 16D, 79-98(1985).

[62] B.G. Konopelchenko, V.G. Dubrovsky, Inverse Spectral Transform for the modified Kadomtsev-Petviashvili equation, Stud. Appl. Math., 86,216-268(1992).

[63] V.G. Dubrovsky, B.G. Konopelchenko, On the interrelation between the solutions of the mKP and KP equation via Miura transformation, J. Phys. A: Math. Gen., 24,4315(1991).

[64] C. Rogers, The Harry Dym equation in 2+1 dimensions: a reciprocal link with Kadomtsev-Petviashvili equation, Phys. Lett., 120A,15(1987).

[65] W. Oevel, C. Rogers, Rev. Math. Phys., 5, 299(1993).

[66] L. Dmitrieva, M. Khlabystova, Multisoliton solutions of the (2+l)-dimensional Harry Dym equation, Phys. Lett.,237A,369(1998).

[67] L. Bers, Theory of pseudo-analytic functions, New York Univ., New York, 1953.

[68] И.Н. Векуа, Обобщённые аналитические функции, Физматгиз, Москва, 1959.

[69] В.Е. Захаров, Известия Вузов, Радиофизика, 29, 1073(1986).

[70] Y. Satsuma, N-soliton solution of the two-dimensional Korteweg-de Vries equation, J. Phys. Soc. Japan, 40, 286-290(1976).

[71] S.V. Manakov, V.E. Zakharov, L.A. Bordag, A.R. Its, V.B. Matveev, Two-dimensional solitons of the Kadomtsev-Petviashvili equation and their interaction, Phys. Lett., 63A, 205-206(1979).

[72] H. Cornile, Solutions of the generalized nonlinear Shrodinger equation in two spatial dimensions, J. Math. Phys., 20, 144(1979).

[73] M. Boiti, J. J.-P. Leon, L. Martina, F. Pempinelli, Scattering of localized solitons in the plane, Phys. Lett., 132A, 432-439(1988).

[74] M. Boiti, J.J.-P. Leon, F. Pempinelli, A new spectral transform for the Davey-Stewartson I equation, Phys. Lett., 141A, 101-107(1989).

[75] M. Boiti, J.J.-P. Leon, F. Pempinelli, Spectral transform and orthogonality relations for the Kadomtsev-Petviashvili I equation, Phys. Lett., 141A,96-100(1989).

[76] M. Boiti, J.J.-P. Leon, L. Martina, F. Pempinelli, Preprints Montpellier, PM/88-40, 1988; PM/88-44, 1988; PM/89-17, 1989; PM/90-04, 1990.

[77] A.S. Focas, P.M. Santini, Coherent structures in multidimensions, Phys. Rew. Lett., 63, 1329(1989).

[78] A.S. Focas, P.M. Santini, Dromions and a boundary value problem for Davey-Stewartson I equation, Physica, 44D, 99-130(1990).

[79] P.M. Santini, Energy exchange of interacting solitons in multidimensions, Physica, 41D, 26(1990).

[80] V.G. Dubrovsky, B.G. Konopelchenko, Coherent structures for the Ishimori equation.

I. Localized solitons with stationary boundaries, Physica, 48D, 367-395(1991)

[81] B.G. Konopelchenko, V.G. Dubrovsky, Localized solitons for the Ishimori equation, Contemporary Mathematics, 122, 77-89(1991).

[82] V.G. Dubrovsky, B.G. Konopelchenko, Coherent structures for the Ishimori equation.

II. Time-dependent boundaries, Physica, 55D, 1-13(1992).

[83] V.G. Dubrovsky, B.G. Konopelchenko, Inverse Spectral Transform for the mKP equation and dromion solutions for the Ishimori equation, Proc. of the eighth Workshop NEEDS-92, World Scientific, Singapore, 457-462(1993).

[84] M Wadati, J. Phys. Soc. Japan, 34,1289(1973).

[85] M. Wadati, K. Ohkuma, Journ. Phys. Soc. Japan, 51,2029 (1982).

[86] A. Soyer, The Cauchy problem for the Ishimori equation, Preprint Orsay, 1990.

[87] P.C. Sabatier, Lett. Nuovo Cim., 26, 477-483(1979); Around the classical string problem, Springer Lecture Notes in Physics, 120, ed. M Boiti et al, Springer, Berlin, p. 85, 1980.

[88] F. Calogero, A. Degasperis, Spectral Transforms and Solitons, North ho 11 and, Amsterdam, 1982.

[89] W. Hereman, P.P. Banerjee and M.R. Chatterjee, Derivation and implicit solution of the Harry Dym equation and its connections with the Korteveg-de Vries equation, J. Phys.A: Math. Gen., 22A, 241-255(1989).

[90] M. Wadati, K. Konno and Y.H. Ichikava, J. Phys. Soc. Jpn., 47,1698(1979).

[91] M. Wadati, Y.H. Ichikava and T. Shimizu, Cusp Soliton of a New Integrable Nonlinear Evolution Equation, Progr. Theor. Phys., 64, 1959-1969(1980).

[92] L.A. Dmitrieva, J. Phys. A: Math. Gen., 26, 6005(1993).

[93] L.A. Dmitrieva, Phys. Let., 182A, 65(1993).

[94] L.P. Kadanov, Exact Solutions for the Saffman-Taylor Problem with Surface Tension, Phys. Rev. Lett., 65, 2986-2988(1990).

[95] P. Constantin, L.P. Kadanov, Dynamics of a complex interface, Physica, 47D, 450-460(1991).

[96] G.L. Vasconcelos and L.P. Kadanov, Stationary solutions for the Saffman-Taylor problem with surface tension, Phys. Rev., 44A, 6490-6495(1991).

[97] S.D. Howison, Eur. J. Appl. Math., Complex variable methods in Hele-Shaw moving boundary problems, 3, 209-224(1991).

[98] R.E. Goldstein and D.M. Petrich, The Korteweg-de Vries hierarchy as Dynamics of Closed Curves in thr Plane, Phys. Rev. Lett., 67, 3203-3206(1991).

[99] B.G. Konopelchenko and W. Oevel, An r-Matrix Approach to Nonstandard Classes of Integrable Equations, Publ. RIMS Kyoto Univ., 29, 581(1993).

[100] C. Rogers, Phys. Lett., The Harry Dym equation in 2+1- dimensions: a reciprocal link with Kadomtsev-Petviashvili equation, 120A, 15(1987).

[101] W. Oevel, C. Rogers, Gauge transformation and reciprocal links in 2+1-dimensions, Rev. Math. Phys., 5, 299-330(1993).

[102] R. von Mises, Mathematical Theory of Compresible Fluids, Academic Press, New York, 1958.

[103] V.G. Dubrovsky, B.G. Konopelchenko, d- dressing and exact solutions for the (2+1)-dimensional Harry Dym equation, J. Phys. A: Math. Gen., 27,4619-4628(1994).

[104] L.A. Dmitrieva , Multisoliton solutions of the (2+1)-dimensional Harry Dym equation, Phys. Lett., 237A, 369-380(1998).

[105] C.L. Terng, A higher dimensional generalization of the Sine-Gordon equation and its soliton theory, Ann. Math., Ill, 491(1980).

[106] M.J. Ablowitz, R. Beals and K. Tenenblat, On the solutions of the generalized wave and generalized Sine-Gordon equation, Stud. Appl. Math., 74,177(1986).

[107] B.G. Konopelchenko, U. Ramgulam and C. Rogers, to be published.

[108] V.A. Arkadiev, A.K. Pogrebkov and M.C. Polivanov, Inverse scattering transform method and soliton solutions for Davey- Stewartson II equation, Physica, 36D, 189-197(1989).

[109] V.B. Matveev and M.A. Sale, Darboux Transformations, Springer, 1991.

[110] M. Boiti, B.G. Konopelchenko and F. Pempinelli, Backlund transformations via gauge transformations in 2+1-dimensions, Inverse Problems, 1, 33 (1985).

[111] J. Hietarinta, R. Hirota, Multidimension solutions to the Davey-Stewartson equation, Phys. Lett., 145A, 237(1990).

[112] A Degasperis, The Davey-Stewartson I equation: A class of explicit solutions including the special case of dromions'm "Inverse methods in Action", ed. P.C. Sabatier, Springer, Berlin, 1990.

[113] P.C. Sabatier, Quest of multidimensional nonlinear equations with exponentially confined solutions, Inverse problems, 6, L29-L32(1990).

[114] A. Degasperis, P.C. Sabatier, Localized solutions of (N+l)-dimensional evolution equations, Phys. Lett., 150A, 380(1990).

[115] M. Boiti, J.J.-P. Leon, M. Manna and F. Pempinelli, On the spectral transform of a Korteveg-de Vries equation in two spatial dimensions Inverse Problems, 2, 271-279(1986).

[116] B.G. Konopelchenko, V.G. Dubrovsky, The two-dimesional integrable generalization of the sine-Gordon equation. I. d — d-dressing and initial value problem, Stud, in Appl. Mathem., 90, 189-223(1993).

[117] V.G. Dubrovsky, B.G. Konopelchenko, The 2+1-dimensional generalization of the sine-Gordon equation. II. Localized solutions, Inverse Problems, 9, 391-416(1993).

[118] V.G. Dubrovsky, B.G. Konopelchenko, The 2+1-dimensional integrable sine-Gordon equation, Proc. of the eighth Workshop NEEDS-92, World Scientific, Singapore, 112-123(1993).

[119] J.J.C. Nimmo, A class of solutions of the Konopelchenko- Rogers equations, Phys. Lett., 168A,113(1992).

[120] P.A. Clarcson, E.L. Mansfield, and A.E. Milne, Symmetries and exact solutions of a (2+1)-dimensional sine-Gordon system, Phil. Trans. R. Soc. Lond. , 354A,1807(1996).

[121] V.G. Dubrovsky, The application of the d- dressing method to some integrable (2+1)-dimensional nonlinear equations, in Proc. of the first Workshop on Nonlinear Physics: theory and experiment, Le Sirenuse, Gallipoli(Lecce), Italy, June 29 - July 7, 1995; eds. E. Alfinito, M. Boiti et al; 94 - 103, World Scientific, Singapore, 1996.

[122] V.G. Dubrovsky, The application of the d- dressing method to some integrable (2+1)-dimensional nonlinear equations, J. Phys. A: Math. Gen, 29, 3617-3630(1996).

[123] V.G. Dubrovsky, The d-dressing method and the solutions with constant asymptotic values at infinity of DS-II equation, J. Math. Phys., 38, 6382-6409(1997).

[124] ,B.G. Konopelchenko, The two-dimensional second-order differential spectral problem: Compatibility conditions, general BT's and integrable equations, Inverse problems, 4, 151(1988).

[125] D. Anker and N.C. Freeman, On the soliton solutions of the Davey-Stewartson equation for long waves, Proc. R. Soc. London, Ser. A, 360A, 529(1978).

[126] J. Satsuma, M.J. Ablowitz, Two-dimensional lumps in nonlinear dyspersive systems, J. Math. Phys., 20, 1496 (1979).

[127] A. Nakamura, Phys. Lett., Explode-decay mode lump solitons of a two-dimensional nonlinear Shrodinger equation, 88A,55-56(1982).

[128] A. Nakamura, J. Phys. Soc. Japan, 52,3713(1983).

[129] F. Guil, M. Manas, Physica, The Davey-Stewartson equation and constrained linear flows, 87D, 99(1995).

[130] F. Guil, M. Manas, J. phys. A: Math. Gen., Finite-rank constraints on linear flows and the Davey-Stewartson equation, 28, 1713-1736(1995).

[131] T.M. Malanyuk, Finite-Gap Solutions of the Davey-Stewartson Equations, J. Nonlinear Sci., 4,1(1994).

[132] D. Pelinovsky, On a structure of the explicit solutions to the Davey-Stewartson equations, Physica, 87D, 115(1995).

[133] Л.В. Богданов, О двумерной задаче Захарова-Шабата, ТМФ, 72,155(1987).

[134] Е. Olmedilla, Multiple pole solutions of the noo-linear Schrodiner equation, Physica, 25D, 330 (1987).

[135] H. Tsuru,M. Wadati,J.Phys.Soc.Japan, 51, 2029 (1981).

[136] Ch. Pope, Construction of solution of the sine-Gordon equation by means of Fredholm determinants, Physica,9D,103 (1983).

[137] M. Wadati,M. Sakagami,J.Phys.Soc.Japan, 53, 1933 (1984).

[138] R. Ward ,Phys.Lett., Nontrivial scattering of localized solitons in a (2+1)-dimensional integrable system, 208A, 203-208(1995).

[139] T. Ioannidou, Soliton solutions and nontrivial scattering in an integrable chiral model in (2+1)-dimensions, J.Math.Phys., 37, 3422-3441(1996).

[140] M.J. Ablowitz,J. Villaroel, Solutions to the Time Dependent Schrodinger and the Kadomtsev-Petviashvili Equations, Phys.Rev.Lett., 78, 570 (1997).

[141] M. Manas,Paolo Maria Santini,Phys.Lett., Solutions of the Davey-Stewartson II equation with arbitrary rational localization and nontrivial interaction, 227A, 325 (1997).

[142] V.G. Dubrovsky, The construction of exact multiple pole solutions of some 2+1-dimensional integrable nonlinear evolution equations via д-dressing method, J. Phys. A: Math, and Gen.,32A , 369-390(1999).

[143] R.S. Johnson,S. Thomson , A solution of the inverse scattering problem for the Kadomtsev-Petviashvili equation by the method of separation variables, Phys.Lett.,66A,279 (1978)