Методы построения интегральных моделей динамических систем: алгоритмы и приложения в энергетике тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор наук Солодуша Светлана Витальевна

• Солодуша Светлана Витальевна
• доктор наук
• 2019

Оглавление диссертации доктор наук Солодуша Светлана Витальевна

Введение

Глава 1. Анализ проблемы и постановка задач исследования

1.1. Предметная область, модели и задачи

1.1.1. Характеристика предметной области

1.1.2. Математические модели динамики систем

1.1.3. Обратные задачи динамики систем

1.2. Методы моделирования динамических процессов типа «вход-выход»

1.3. Математическое моделирование динамики тепло- и электроэнергетических объектов

1.4. Имитационная динамическая модель элемента теплообменной установки

1.5. Имитационная динамическая модель ветроэнергетической установки

1.6. Постановка задач исследования

Глава 2. Идентификация нелинейной динамики с помощью

полиномов Вольтерра

2.1. Краткий обзор методов идентификации полиномов Вольтерра

2.2. Методика выбора амплитуд тестовых сигналов для идентификации ядер Вольтерра. Скалярный случай

2.2.1. О проблеме разделения отклика динамической системы на составляющие

2.2.2. Оптимизация амплитуд при идентификации тестовой системы и объектов тепло- и электроэнергетики

2.3. Применение полиномов Вольтерра для моделирования физической установки

2.3.1. Описание тестовых экспериментов

2.3.2. Сопоставление результатов моделирования

2.4. О выборе амплитуд тестовых сигналов для идентификации ядер Вольтерра. Векторный случай

2.4.1. Идентификация несимметричных ядер в квадратичном полиноме Вольтерра

2.4.2. Идентификация частично симметричных ядер в кубичном полиноме Вольтерра

2.5. Построение полиномов Вольтерра с помощью метода Product Integration. Векторный случай

2.5.1. Метод идентификации квадратичного полинома

2.5.2. Метод идентификации кубичного полинома

2.6. Области применимости полиномов Вольтерра для моделирования динамических объектов

2.7. Выводы

Глава 3. Восстановление входных воздействий с помощью

полиномов Вольтерра

3.1. Двухэтапный подход к решению задачи регулирования объектов типа «вход-выход» с помощью полиномов Вольтерра

3.2. Методы численного решения уравнений Вольтерра I рода

второй и третьей степени

3.2.1. Решение полиномиальных уравнений Вольтерра I рода разностными методами и регулирование объектов

тепло- и электроэнергетики

3.2.2. Численное решение полиномиальных уравнений

Вольтерра I рода методом Ньютона-Канторовича

3.3. Методы численного решения систем полиномиальных

уравнений Вольтерра I рода второго порядка

3.3.1. Численное решение систем полиномиальных уравнений Вольтерра I рода разностными методами

3.3.2. Численное решение систем полиномиальных уравнений Вольтерра I рода методом Ньютона-Канторовича

3.4. Области применимости алгоритмов в задаче восстановления входных воздействий

3.5. О специфике полиномиальных (Ж-степенных) уравнений Вольтерра I рода

3.5.1. О локальной разрешимости в пространстве С[о,т]

3.5.2. Неулучшаемые оценки решений некоторых нелинейных интегральных неравенств

3.6. Выводы

Глава 4. Решение граничной обратной задачи

теплопроводности на основе интегрального

уравнения Вольтерра

4.1. Обратные задачи теплопроводности в теплоэнергетике

4.1.1. Классификация обратных задач для уравнения теплопроводности

4.1.2. Методы решения граничных обратных задач теплопроводности

4.2. Один класс уравнений Вольтерра I рода, возникающий в граничной обратной задаче теплопроводности

4.2.1. Исследование свойств ядер Вольтерра

4.2.2. Вычисление ядер с учетом машинной арифметики

4.3. Алгоритмы численного решения задачи восстановления температуры

4.4. Выводы

Глава 5. Пакет «Динамика» для исследования динамических

процессов рядами Вольтерра

5.1. Инструментальные программные средства моделирования динамических систем рядами Вольтерра

5.2. Пакет «Динамика» для исследования объектов тепло- и электроэнергетики

5.2.1. Краткая характеристика программного обеспечения

5.2.2. Описание программных модулей прикладной части

5.3. Применение пакета «Динамика» при моделировании энергоблока Назаровской ГРЭС мощностью 135 МВт

5.4. Выводы

Заключение

Список литературы

Приложение А. Теоретические результаты

А.1. Основные теоремы главы

A.2. Основные теоремы главы

Приложение Б. Иллюстративный материал

Б.1. Вид тестовых воздействий

Б.2. Руководство для пользователя

Б.3. Тестирование на имитационных моделях объектов тепло-

и электроэнергетики

Приложение В. Апробация и применение результатов

B.1. Список международных и всероссийских конференций

В.2. Список научных проектов, поддержанных грантами

В.3. Свидетельства о государственной регистрации программ

для ЭВМ

В.4. Документы о практическом использовании результатов

диссертационного исследования

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы построения интегральных моделей динамических систем: алгоритмы и приложения в энергетике»

Введение

Актуальность темы. Одно из актуальных направлений исследования динамики энергетических объектов и систем связано с разработкой математических моделей и численных методов для дальнейшего развития систем управления. Задача моделирования автоматизированных систем управления технологическими процессами и динамикой локальных устройств - одна из основных и наиболее сложных задач, решаемых на нижнем уровне иерархически организованного процесса управления режимами энергетических систем [122].

Значительный вклад в развитие основных положений теории и методов данного научного направления внесли работы [172; 174; 228; 278] ведущих сотрудников Сибирского энергетического института СО АН СССР под руководством Л.А. Мелентьева, Ю.Н. Руденко, А.П. Меренкова. В серии работ [116120] Р.И. Ивановским при изучении проблемы управления энергетическими объектами рассматривалась важная в линейной теории автоматического регулирования задача деконволюции, сформулированная в виде уравнения Вольтерра I рода типа свертки, которая состоит в определении входного воздействия динамической системы по заданным выходу и переходной характеристике.

В современных условиях, когда осуществляется реструктуризация энергетики, развитие методов управления режимами локальных энергетических объектов остается весьма важной производственной задачей. Поэтому восстановление входных технических показателей (сигналов) для регулирования энергетического объекта (процесса) делает актуальными задачи построения новых математических моделей и создания численных методов решения соответствующих обратных задач.

Существенную роль в задачах математического моделирования динамических систем в различных областях естествознания играют интегральные уравнения Вольтерра I рода, которые имеют существенные отличия от классических [411]. Это объясняется их универсальностью, а также удоб-

ством описания таких динамических процессов, применение к которым аппарата дифференциальных уравнений чрезвычайно затруднено или практически невозможно [63], например, в процессе эксплуатации энергетических объектов. К настоящему времени теории и численным методам решения интегральных уравнений вольтерровского типа (в том числе и их обобщениям) посвящено большое количество статей и монографий. Обширный обзор современного состояния исследований в этой области приведен в монографии [327].

Дополнительный импульс в изучении интегральных уравнений Вольтер-ра и их практическом применении для моделирования нелинейных динамических систем был связан с введением понятия интегро-степенного ряда [67]

~ t t

оо „ „ n

^^ Л Л

y(t) = P[x(t)] = ^ / ••• Kn(t,s1 ,...,вп)П )dsk, t G [to, T]. (В.1)

n=l t 1 k=l

10 10

Здесь t — время, x(t) — скалярный входной сигнал, y(t) — выходной сигнал динамической системы, P[x(t)] — причинный (или вольтерровый) оператор (отображение), функция Kn — ядро Вольтерра. Если же свойства динамической системы не изменяются за рассматриваемый промежуток времени, то ядра Вольтерра (переходные характеристики динамической системы) зависят лишь от разности аргументов t — Sk , к = 1 ,n. Тогда вместо (В.1) имеем

œ » » n

y(t) = S / ••• KKn(si,...,Sn^x(t — Sk)dsk, t G [to,T], (В.2)

n=1 t » k=1

t0 t0

где Kn симметричны по всем переменным.

Применение ряда Вольтерра в задаче приближения нелинейных непрерывных операторов, описывающих динамические системы, основывается на классических результатах М. Фреше [342] и И. Бэслера, И.К. Даугавета [56]. Вопросы построения и применения конечного отрезка ряда (полинома) Воль-терра при описании технических (энергетических) систем, мониторинге технологических процессов, моделировании адаптивных систем автоматического управления и т.д. рассматривались К.М. Александровским, А.С. Апар-циным, В.А. Вениковым и О.А. Сухановым, Н.М. Галиным и Ф.И. Зяби-ревым, К.Я. Давиденко, Л.В. Даниловым, А.М. Дейчем, В.А. Каминска-сом, В.Д. Павленко, Ю.С. Попковым, К.А. Пупковым и В.А. Капалиным,

S.A. Belbas, J. Engberg, B.H. Flake, S.A. Maas, V.Z. Marmarelis, H.L. Van-Trees и др.

Анализ научно-технической литературы показал, что к настоящему времени разработан достаточно обширный набор математических методов, позволяющий выполнять построение полиномов Вольтерра в случае скалярного входа. Их применение, как правило, нацелено на решение конкретной задачи, а практикуемый входной сигнал, в большинстве случаев импульсного типа, имеет ограниченную сферу приложений. Одна из основных трудностей практической реализации методов математического моделирования с помощью полиномов Вольтерра во временной области связана с нетривиальной проблемой решения обратных задач (идентификации переходных характеристик и восстановления входного сигнала). Поэтому очевидна важность развития, с одной стороны, универсальных методов построения полиномов Вольтерра с векторным входом, а, с другой стороны, разработки быстродействующих вычислительных алгоритмов и программных комплексов с учетом идей воль-терровых регуляризующих процедур [11].

Таким образом, актуальность темы диссертационного исследования заключается в развитии технологии математического моделирования на основе введенных автором интегральных моделей вольтерровского типа на базе (В.1), (В.2), разработке и модификации численных методов построения отклика и восстановления входных воздействий динамической системы, а также применении созданных алгоритмов для описания динамики объектов тепло-и электроэнергетики во временной области.

Цель диссертации — разработка и развитие методов построения интегральных моделей на базе уравнений Вольтерра I рода, создание высокоэффективных алгоритмов и программного обеспечения для численного исследования процесса автоматического регулирования объектов тепло- и электроэнергетики.

Основные задачи исследования. Для достижения цели в диссертационной работе поставлены и решены следующие задачи:

1. Сравнительный анализ методов математического моделирования нелинейных динамических систем (объектов) типа «вход-выход» и их областей применения.

2. Развитие методики идентификации ядер Вольтерра во временной области с помощью тестовых сигналов в виде комбинаций функций Хевисайда с отклоняющимся аргументом за счет разработки методики выбора амплитуд (высоты) тестовых сигналов, обеспечивающей, во-первых, выполнение условий разрешимости многомерных интегральных уравнений в соответствующих классах функций и, во-вторых, оптимальный масштаб их значений.

3. Разработка методики построения интегральных моделей, основанной на идентификации интегралов от ядер Вольтерра. Сравнение эффективности с методикой, основанной на идентификации непосредственно самих ядер, применительно к задаче моделирования динамики элемента теплообменной установки.

4. Развитие методов численного решения квадратичных и кубичных интегральных уравнений Вольтерра I рода, возникающих в задаче восстановления входных воздействий динамической системы. Апробация алгоритмов для задачи моделирования объектов тепло- и электроэнергетики.

5. Разработка численных методов решения систем квадратичных и кубичных интегральных уравнений Вольтерра I рода второго порядка.

6. Изучение специфики и построение алгоритмов численного решения нового класса интегральных уравнений Вольтерра I рода типа свертки, связанного с граничной обратной задачей теплопроводности (ОЗТ).

7. Разработка программного обеспечения для реализации алгоритмов идентификации полиномов Вольтерра, построения интегральных моделей и восстановления входных сигналов. Апробация результатов на имитационных моделях исследуемых объектов тепло- и электроэнергетики.

Объектом исследования является процесс непараметрической идентификации и численного моделирования динамических детерминированных устройств тепло- и электроэнергетики в условиях неполной априорной информации.

Предметом исследований являются математические методы, вычислительные алгоритмы и программные средства идентификации и моделирования динамики на основе интегральных моделей вольтерровского типа.

Методы исследования базируются на использовании теории некорректных задач, системного анализа, аппарата вычислительной математики,

линейной алгебры.

Научная новизна работы заключается в создании, модификации и исследовании методов и моделей описания динамических систем с помощью полиномов Вольтерра. Впервые для векторного входного сигнала разработан и реализован двухэтапный подход к численному моделированию процесса автоматического регулирования нелинейной динамики объектов тепло- и электроэнергетики на базе полиномов Вольтерра. Первый этап заключается в построении полиномов Вольтерра во временной области на основе откликов объекта на тестовые входные сигналы в виде функций Хевисайда с отклоняющимся аргументом. На втором этапе построенная интегральная модель используется для восстановления входного сигнала, обеспечивающего заданный отклик.

Уникальность данного подхода в целом определяется следующим:

1. Предложена оригинальная методика декомпозиции отклика, основанная на априорном учете необходимых условий разрешимости многомерных уравнений Вольтерра I рода в соответствующих классах функций.

2. Рассмотрен принципиально новый подход к идентификации полиномов Вольтерра для векторного входного сигнала, основанный на восстановлении интегралов от ядер и обобщении численного метода Product Integration (интегрирование произведения) на многомерный случай, где ядра не являются симметричными.

3. Рассмотрены и исследованы новые классы полиномиальных интегральных уравнений Вольтерра I рода второй и третьей степени и их систем.

4. Разработаны, исследованы и реализованы численные алгоритмы решения введенных интегральных уравнений и систем в задаче восстановления входного сигнала. Выполнена их апробация применительно к объектам тепло-и электроэнергетики.

5. Определены рамки применимости разработанных алгоритмов идентификации и восстановления входного воздействия в задаче моделирования полиномами Вольтерра нелинейной динамики элемента теплообменной установки.

6. Построены численные алгоритмы решения нового класса линейных интегральных уравнений Вольтерра I рода типа свертки, связанного с гра-

ничной ОЗТ.

Положения, выносимые на защиту:

1. Методологический подход для выбора амплитуд тестовых сигналов на подготовительном этапе экспериментов.

2. Подход к построению сеточных аналогов интегральных моделей в векторном случае, основанный на идентификации интегралов от ядер Вольтерра и применении метода интегрирования произведения.

3. Алгоритмы численного решения полиномиальных уравнений Вольтер-ра I рода, возникающих в задаче восстановления скалярного входного сигнала.

4. Численные методы решения систем полиномиальных уравнений Воль-терра I рода, возникающих в задаче восстановления векторного входного сигнала.

5. Результаты численного исследования задачи моделирования с помощью полиномов Вольтерра нелинейной динамики элемента теплообменной установки.

6. Алгоритмы численного решения нового класса линейных интегральных уравнений Вольтерра I рода, связанных с граничной ОЗТ.

7. Реализация разработанных численных методов и алгоритмов в виде программно-вычислительного комплекса (ПВК) «Динамика», который содержит «ПВК для моделирования нелинейной динамики теплообмена на базе квадратичных полиномов Вольтерра» и «Программное средство для моделирования нелинейных динамических систем с помощью кубичных полиномов Вольтерра» в скалярном и векторном случаях.

Выносимые положения соответствуют следующим пунктам паспорта специальности 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»:

П1. Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений.

П2. Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей.

П4. Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычисли-

тельного эксперимента.

П5. Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.

Обоснованность и достоверность результатов диссертации. Теоретические результаты получены на основании математических выкладок и утверждений, которые сформулированы в виде теорем. Рассмотренные в диссертационной работе классы интегральных уравнений Вольтерра I рода относятся к условно корректным задачам, которые допускают в случае, когда погрешность входной информации выводит решение за пределы множества корректности, применение методов саморегуляризации. Эти методы базируются на согласовании «естественных» параметров регуляризации, таких, например, как шаг некоторых квадратурных формул [11], с уровнем погрешности исходных данных. Процедуры дискретизации интегральных операторов, используемые в диссертации, — квадратуры средних (правых) прямоугольников и метод интегрирования произведения, — обладают свойством саморегуляризации, что делает разработанные алгоритмы высокоэффективными и надежными. Обоснование разработанных численных методов в виде соответствующих теорем потребовало использования теории дифференциальных и интегральных уравнений, аппарата функционального анализа, линейной алгебры, комбинаторики, различных областей вычислительной математики. Достоверность полученных результатов подтверждена на большом количестве модельных примеров, а также на расчетах с реальными данными, допускающих естественную физическую интерпретацию.

Теоретическая значимость. В диссертационной работе развиваются теоретические знания о технологии идентификации полиномов Вольтерра для случая векторного входа с помощью специальных семейств кусочно-постоянных тестовых сигналов. Введены новые классы полиномиальных интегральных моделей, возникающие в задаче восстановления входных сигналов.

Практическая ценность работы состоит в доведении разработанных методов построения интегральных моделей на базе уравнений Вольтерра I рода до уровня вычислительных технологий:

1. Проблема декомпозиции отклика динамического объекта на составляющие решена с точки зрения существования решений многомерных интегральных уравнений Вольтерра I рода. Практические следствия данных результатов получены в терминах амплитуд тестовых сигналов, участвующих в решении задачи идентификации.

2. Получены практические рекомендации по выбору оптимального масштаба значений амплитуд в диапазоне 0,75В ^ 0,9В, где В — высота произвольных входных воздействий. Рекомендуемые ограничения на масштаб амплитуд были подтверждены как для тестовой математической модели, так и для моделей переходных процессов тепло- и электроэнергетических объектов.

3. Построены интегральные модели комбинированного типа, учитывающие нестационарные свойства динамических объектов с векторным входом. Применительно к разным динамическим системам выявлены области применения интегральных моделей на базе квадратичных полиномов Вольтерра.

4. Разработаны численные методы решения для новых классов полиномиальных уравнений Вольтерра I рода и их систем, к которым сводится процедура восстановления двухкомпонентных входных сигналов. Эффективность предлагаемых методов иллюстрируется при моделировании динамики объектов тепло- и электроэнергетики.

5. Выявлена специфика численного решения связанного с граничной ОЗТ нового класса уравнений Вольтерра I рода, требующая отслеживания достоверных разрядов мантиссы в процессе выполнения расчетов. Предложено согласование количества слагаемых в ядре Вольтерра с длиной мантиссы в машинном представлении вещественного числа с плавающей точкой.

6. Создан ПВК «Динамика», реализующий построение и тестирование динамических моделей в виде квадратичных и кубичных полиномов Воль-терра в случае векторных входных сигналов и использующий имитационные модели элемента теплообменной установки и ветроэнергетической установки с горизонтальной осью вращения. ПВК включает в себя универсальные модули, которые могут быть использованы при описании широкого класса технических устройств, представимых в виде динамических систем типа «вход-выход».

Все это позволяет использовать результаты диссертационной работы при обучении студентов университетов (технических, технологических), а также при выполнении поисковых и прикладных научно-исследовательских работ в части математического и инструментального программного обеспечения для разработки новых и совершенствования существующих систем автоматического управления динамикой локальных устройств тепло- и электроэнергетики.

Апробация работы. Полученные в ходе выполнения диссертационной работы результаты неоднократно обсуждались на научных конференциях и семинарах. В их число входят следующие:

• международные конференции: «Средства математического моделирования» (С.-Петербург, 1997, 2003); Байкальская школа-семинар «Методы оптимизации и их приложения» (Северобайкальск, 2005; Иркутск, 2011); конференция по вычислительной математике МКВМ (Новосибирск, 2004, 2009); конгресс «Нелинейный динамический анализ» (С.-Петербург, 2007); «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Иркутск, 2007; Казань, 2017); «Обобщенные решения в задачах управления» (Улан-Удэ, 2008; Ulaanbaatar, 2010; Геленджик, 2012, 2014); «Колмогоровские чтения. Общие проблемы управления и их приложения» (Тамбов, 2011, 2013, 2015); «Обратные и некорректные задачи математической физики» (Новосибирск, 2012); International Conference on Smart Cities and Green ICT Systems (Lisbon, 2015; Rome, 2016); PowerTech, Towards Future Power Systems and Emerging Technologies (Eindhoven, 2015); 1st IFAC Conference on Modelling, Identification and Control of Nonlinear Systems (С.-Петербург, 2015); 5th International Conference on Smart Cities and Green ICT Systems (Rome, Italy, 2016); International Conference Stability and Oscillations of Nonlinear Control Systems (Москва, 2016, 2018); Constructive Nonsmooth Analysis and Related Topics (С.-Петербург, 2017);

• всероссийские конференции: «Обратные и некорректно поставленные задачи» (Москва, 2003, 2015); «Математика, информатика, управление» (Иркутск, 2005); «Инфокоммуникационные и вычислительные технологии и системы» (Улан-Удэ, 2006); «Математика. Механика. Информатика» (Челябинск, 2006); «Алгоритмический и численный анализ некорректных задач» (Екатеринбург, 1998, 2008, 2011);

• научные семинары: семинар лаборатории «Идентификация систем управления» ИПУ РАН (Москва, 2017); семинар кафедры «Математическая теория моделирования систем управления» СПбГУ (Санкт-Петербург, 2018); семинар кафедры «Графические технологии» Университета ИТМО (Санкт-Петербург, 2018); семинар отдела «Некорректные задачи анализа и приложений» ИММ УрО РАН (Екатеринбург, 2018); семинар кафедры «Высшая и прикладная математика» ПГУ (Пенза, 2018); совместные семинары лабораторий «Неустойчивые задачи вычислительной математики» ИСЭМ СО РАН и «Дифференциальные уравнения и управляемые системы» ИДСТУ СО РАН (Иркутск, 2018).

Основные результаты работы получены при поддержке грантов РФФИ: № 99-01-00116, № 02-01-00173, № 05-01-00336, № 09-01-00377, № 12-01-00722, № 15-01-01425; Лаврентьевского гранта СО РАН для поддержки молодых ученых (Постановление Президиума СО РАН № 404 от 06.12.2002).

Публикации по теме диссертации. Основное содержание диссертации опубликовано в 36 научных статьях (из них 12 — в рецензируемых журналах из списка ВАК РФ, 13 — в журналах и 11 — в трудах конференций, входящих в международные базы данных и системы цитирования Web of Science или Scopus), в 3 статьях других иностранных журналов. Получено 5 авторских свидетельств о государственной регистрации программ для ЭВМ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованных источников и трех приложений. Основной текст содержит 300 страниц, в том числе 93 рисунка, 39 таблиц. Список литературы насчитывает 421 наименование. В приложениях приведены формулировки и доказательства основных теорем (Приложение А), иллюстративные материалы (Приложение Б), а также сведения об апробации и применении результатов исследования (Приложение В).

Личный вклад автора. Текст диссертационной работы не содержит заимствований без ссылок на первоисточники, а также результатов исследований, выполненных в соавторстве, без соответствующего упоминания авторов. Из совместных работ в диссертацию включены только результаты, принадлежащие лично автору.

Глава 1. Анализ проблемы и постановка задач исследования

Данная глава имеет обзорно-постановочный характер. В параграфе 1.1 конкретизируется предметная область, модели и задачи, исследованию которых посвящена настоящая работа.

Параграфы 1.2, 1.3 посвящены обзору методов математического моделирования нелинейных динамических систем типа «вход-выход», а также основным подходам к моделированию динамики технических объектов тепло-и электроэнергетики. Краткий сравнительный анализ современных методов математического моделирования свидетельствует об актуальности применения в научных и практических исследованиях аппарата интегро-степенных рядов Вольтерра.

Параграфы 1.4, 1.5 содержат описание математических моделей элемента теплообменного аппарата (радиационного теплообменника) и ветроэнергетической установки (ВЭУ) с горизонтальной осью вращения. Имитационные модели конкретных объектов рассматриваются в качестве «эталонных» и используются для верификации алгоритмов, а также для сопоставления точности моделей в виде полиномов Вольтерра и анализа эффективности разработанных численных методов.

В параграфе 1.6 в соответствии со структурой работы описаны задачи, решение которых рассмотрено в диссертации.

1.1. Предметная область, модели и задачи

Основная цель данного параграфа — охарактеризовать предметную область применения методов имитационного моделирования - нелинейные динамические объекты (системы), рассмотреть классификацию математических моделей, используемых при описании нелинейной динамики, и специфику некоторых обратных задач.

1.1.1. Характеристика предметной области

В работе [286, с. 25] приведена классификация динамических систем, учитывающая в том числе возможность управления динамикой нелинейной системы, факторы неопределенности и адаптацию к изменениям внешней среды или внутреннего состояния системы. В частности, выделяют:

• детерминированные системы, реакция которых на одни и те же воздействия остается без изменений;

• системы с неопределенностями, внутреннее состояние которых зависит от внешних неконтролируемых возмущающих воздействий;

• управляемые системы, внутреннее состояние которых зависит не только от внешних возмущающих воздействий, но и от управляющих величин, сформированных в зависимости от цели управления.

По аналогии с перечисленными классами, можно выделить классы окружающих сред, в которых находится динамическая система:

• регулярные среды, в реакции которых отсутствуют какие-либо неопределенности;

• среды с неопределенностями, реакция которых неконтролируема и может зависеть от ряда неизвестных факторов;

• реагирующие среды, которые пассивным или активным образом реагируют на действия системы.

В данной работе предметная область имитационного моделирования представлена нелинейными детерминированными динамическими системами с сосредоточенными параметрами, допускающими проведение активного эксперимента и внешнее управление входными воздействиями.

Такой подход охватывает достаточно широкий спектр технических объектов. Традиционно подобные динамические системы описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями или алгебро-дифференциальными уравнениями. В качестве приложений рассматриваются объекты тепло- и электроэнергетики, общие признаки которых перечислены ниже.

Физическая природа таких систем предполагает:

• внутреннее состояние системы, которое непрерывно изменяется во вре-

мени;

• внешние воздействующие факторы, которые влияют как на внутреннее состояние, так и на реакцию системы;

• реакцию системы, которая обладает свойством причинности и зависит не только от внешних факторов, но и от внутреннего состояния системы.

Относительно динамических свойств системы предполагается:

• система не является развивающейся, т.е. ее внутренняя структура и набор параметров остаются неизменными в исследуемый промежуток времени £ е [£о,Т];

• связь между входом х(£) и выходом у(£) является однонаправленной, т.е. реакция системы не оказывает опосредованного влияния на вход;

• система на начальный момент времени £0 находится в стационарном (установившемся) режиме;

• система обладает свойством инерционности;

• система находится в регулярной среде, т.е. учитываются только динамические связи типа «вход-выход».

Вообще говоря, в зависимости от влияния внешней среды на объект различают две группы воздействий: носящие аддитивный характер (далее будем их называть «входные» или «внешние») или изменяющие закон преобразования входа в выход (т.е. «операторные» или «структурные») [223, с. 5]. В данной работе учитываются воздействия только из первой группы.

На этапе формализации постановок задач предполагается, что изучаемая динамическая система находится в установившемся режиме.

На этапе проведения экспериментов для построения математических моделей были сделаны следующие предположения:

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Солодуша Светлана Витальевна, 2019 год

(£ - -

(А.3) (А.4)

(А.5)

(г)в1,^2

(г)в1,^2

+ у 1 (£,£)- у 1 (£ - -

+ М а2,1уа1-1,0(*,ш) - а1,1 уа2-1^шЛ +

2 1(02,1 - «1,1) «2,1(02,1 - «1,1))

+ в2 ^ «2,2у0,а1-2 (¿,ш) - а1,2у0,а2-2 (¿,ш)\ +

2 \а1,2(02,2 - «1,2) а2,2(02,2 - «1,2)/

Гуа2Ь - ^ - - у«2-Ъ 0(£,£) уа1 Ь 0(£ - ^ - - уа1 Ь 0(£,£)

2

+т

в! +Т

02,1(0:2,1 - «1,1) у0,"2-2(£ - г - + у0,"2-2(м) 02,2(«2,2 - «1,2)

02,1(02,1 - «1,1)

+

у

0, «1, 2 (+ _

(£ - - + у0,"1-2 (м) 01,2(02,2 - «1,2)

(1)

в1,в2

(1)

в1,в2

д2 у 1 (¿,^1) д2 у 1 (¿,^1)

+

д^2

+

ш1=0

1

в! а1, 2

а2,2(^2,2 — а\12)

дЬдшл

в22а2,

«1,2(«2,2 — «1,2) \

/о> 2у°,а1,2 М) д 2у°,а1,2 МО

ш1=°

(2)в1' в (2)в1'в2 д2 у/1 (¿,^о + МО'

в2 /Я2У«1,1, °

+

ш1=°

/ д2уа1-1, °М0 д 2уа1-1, °М0\ «1,1(^2,1 — «1,0\ д^2 /Ш1=°

в? / д 2уа2,1, ° ) д 2у "2,1, ° (¿, )

«2,1(^2,1 — «1,0\ /Ш1=°

необходимы и достаточны для существования решения

Р1,в2

К12(М — ^1) =

/ (1)в1,в2 (1) д2 / 12 М_0 + / 12 (¿,^0

\

V

А,в2

-К" 12 (^ — =

/ (2)в1,в2 (2) д2 /12 м_о + / 12

/ \

V

У

(А.6)

, е Д2, (А.7)

, е Д2, (А.8)

парного уравнения (2.46), (2.47) в пространстве С^2 непрерывных на квадрате функций.

В (А.5), (А.6) 1, ° и 2 есть отклики динамической системы на входные воздействия (1.32) и (1.33) соответственно.

Доказательство. Воспользуемся результатами [16], согласно которым формулы обращения (А.7), (А.8) справедливы тогда и только тогда, когда

МО , д2^2МО

+

е СД2, г = 1,2, е Д2,

(А.9)

(М) = у2в1,в2(М), 5в1,в2(¿, 0) = 0,

1 (^1(^,^1) + 02(^1)) = 2 (#1^ — ^1, —^1) + 02^ — ^1, —^1)) +

+0г(М) — — — ^1), д 20в1,в2 МО + д 20в1,в2 (¿,^1)'

(А.10) (А.11)

(А.12)

=°

2

д 2зв1,в2 (¿,ш) + д 2^1,в2 (¿,ш)

С учетом (2.48), (2.49), (А.9)-(А.12) следует (А.1)-(А.6). ■

Теорема 2.2. Условия

(г)в1>в2 (г)в1,в2

+ * ^* =1. 2. (А.13)

(2)вЬ в2 (1)^1, в2

у2 0) = уу 2 (м) =

А'"2Д ~ в1) ,у«'-"(¿^ + А(А ~ ,у<>-®(М), (А.14)

а1,1(«2,1 - «1,1) «2,1(а2,1 - «1,1)

(1)в1,в2 (2)^11 в2 у 2 0) = у «2 (М) =

в2'"2/2 - ,у0-«1-2(М) + - 2) у0,«2-2((,(), (А.15)

а1,2(^2,2 - «1,2) «2,2(^2,2 - «1,2)

в1(2«2,1 - 01) (д2уа1-"0+ д2уа1-"о^)'

а1; 1(а2,1 - а1; ^ \ д£д(х>1 ды12

^=0

(1)^1, в2 (1)^1, ^2

'д2 у 2 (¿,ш) + д2 у 2 (¿,щ)\ +

ды12 у

ш1=0

+ 01(01 - 2а1,1) + = (А 16)

«2,1(^2,1 - «1,1) V д^12 у^=0 '

02(2^2, 2 - 02) /д 2у0,а1-2 (¿,щ) + д 2у0,а1-2 (¿,щ) \

а1,2(а2,2 - «1,2) \ д^12 =0

(2)в1,в2 (2)в1,в2

'д2 у 2 (¿,Ш) + д2 у 2 (¿,щЛ +

+ 02(02 - 2а1,2) /д2у0,а2-2(¿,щ) + д2у0,а2-2(¿,щ)\

а2,2(а2,2 - «1,2)\ д^12 =0

необходимы и достаточны для существования решения

К12 (М - ^1) = -

/ (1)в1,в2 (1)^1, в2 \

'д2 / 12 (¿^О + д2 / 12 (¿^О \ /

, ¿, е Д2, (А.17)

К12 (£ - = -

/ 2 (2) д2 /

о (2)

+ д2 /12

, е Д2, (А.18)

V

У

парного уравнения (2.60), (2.61) в классе .

Доказательство. Воспользуемся результатами [16], согласно которым формулы обращения (А.17), (А.18) справедливы тогда и только тогда, когда

д2^2 М) д2^1 'в2 МО

+

е СД2, г = 1,2, е Д2

д^2 (¿, 0) = 0, д^2 ¿) = 0, +

д2^2 МО д2^2 МО

(А.19)

(А.20) (А.21)

=0

д 2дв1,в2 М0 + д 2д2^2 МО

=0

С учетом (2.62), (2.63), (А.19)-(А.21) следует (А.13)-(А.16). ■

Заметим, что формулы (А.17), (А.18) отличаются от (А.7), (А.8) знаками (в силу различающихся способов задания тестовых сигналов, используемых для восстановления ядра к^12).

Введем следующие обозначения:

Д«2 =

Л 2 ^ 3

а1,2 «2,2 а3,2

Л 2 ^ 3 «2,2 «2'2 «2,2

23 аз,2 «2'2 «3,2

, Да: =

2

да21}(А1,Л2)

«1,1 уа1-1,0(Л1,Л2) «2,1 уО2'1,0(Л1,Л2)

, Д0;)(Л1,Л2)

г = 1,2,

«1,2 У0,"1'2 (Л1,Л2)

(А.22)

1, Л2, «2,2 У0,"2'2 (Л1,Л2)

Д|3) (Л1,Л2 ) =

«1,2 а?,2 У0^1'2 (Л1,Л2) «2,2 а2,2 У0,а2'2 (Л1,Л2) аз,2 а2 2 У0,"3'2 (Л1,Л2)

2Д^МО , 2Д02)(^,ы1)

0 < Л2 < Л1 < т,

(2)

С1 ^ М0 = 2( 72 Теорема 2.3. Условия

С?)

Д

+ 722"

«1

Д

«2

£>з У з Мь^) е СДз,

(А.23) (А.24)

(А.25) (А.26)

1

д3 д3 д3 д3 . з

3 дtдw| дtдu1дu2 д^д^ ди12ди2, ^ , ,

(l)7l,72 (1)—Yl ,Y2 (2)Yl,Y2 (2)-7l,72

y3 (t, 0,Ui)+ //3 (t, 0,Ui)=y3 (t,Ui, 0)+ //3 (t,Ui, 0) =

(3)Y1,Y2 (3)-Yl,Y2

= У 3 (t,Ui, -Ui)+ У 3 (t,Ui, -Ui) = 2y0,Y2(t,Ui), (А.27)

(1)71,72 (i)-Yl Л2 (2)y-,y2 (2)-y-, y2

У 3 (t,Ui,0)+ y 3 (t,Ui,0) = y 3 (t,0,Ui)+ У 3 (t, 0,Ui) =

(3)71,72 л (3)-71,72 л 2 a"2- (t,Ui) ,, л

= У з (t, 0,Ui) + У з (t, 0,ui) = 2y2 "A , (А.28)

A"1

(l)Yi,Y2 (l)-Yi,Y2

y3 (t,Ui, -Ui)+ y3 (t,Ui, -Ui) - C"1 ^(t,Ui) =

(l)Yi,Y2 (l)-Yi,Y2

= —( y 3 (t — Ui, —Ui,Ui)+ y 3 (t — Ui, —Ui,Ui) — CT"2 (t,Ui)) =

(2)y-,y2 (2)-y-,y2 " " = У 3 (t — u1, —u1,u1)+ У 3 (t — u1, —u1,u1) — Cl11,a2 (t,ul) =

(2)Yi,Y2 (2)-Yi,Y2

= — У 3 (t,Ui, Ui) + У 3 (t,Ui, -Ui) - Cf1,e2(t,Ui)) =

(3)7-,72 (3)-7-,72

= y 3 (t - Ui, -Ui, 0)+ y 3 (t - Ui, -Ui, 0) - Cf1,e2(t,Ui) =

(3)Yi,Y2 (3)-Yi,Y2

= — //3 (t,Ui,0)+ //3 (t,Ui,0) - Cf1"(t,Ui)), (А.29)

(l)Yi ,Y2 (l)-Yi,Y2 (l)Yi,Y2

y 3 (t,Ui,U2)+ y 3 (t, Ui, U2) y 3 (t — Ui, —Ui,Ui + U2) —

(l)-Yi,Y2 (l)Yi,Y2

— y 3 (t — Ui, —Ui,Ui + U2)+ y 3 (t — Ui, —Ui,Ui) +

(l)-7-,72

+ У 3 (t - Ui, Ui,Ui) = C"1 ,tt2(t,Ui)+

+2^ (a"22) (t - Ui , U2) - A"22) (t, Ui + U2^ +

+2^ ^AH2)(t,Ui) + аЦ2)(t - U1,U2) - AH2)(t,Ui + U2^ , (А.30)

(2)y-,y2 (2)-y-,y2 (2)y-,y2

y 3 (t, Ui, U2) + y 3 (t, Ui, U2) y 3 (t,Ui + U2, —U2) — (2)-y-,y2 (2)y-,y2 - y 3 (t,Ui + U2, —U2)— y 3 (t - Ui,U2, —U2) — (2)-Yi,Y2 y 2

- У 3 (t - Ui,U2, -U2) = ^-^A"2) (t - Ui,U2) +

A" "l A"l

+2 A^ ( A"22) (t, Ui) + A"22) (t - Ui, U2) - A"22)(t, Ui + U2^ +

+2Д~ (Д032)(^,ы1) + Д£а - 01,02) - +, (а.31)

(2)71,72 (2)-71,72 (2)71,72

у 3 (¿,01,02) + у 3 (¿,01,02) + у 3 (^ - 01, -01,01) +

(2)"71,72 (2)71,72

+ у 3 (£ - 01, -01,01)- у 3 (^ - 01, -01,01 + 02)-

(2)"71,72 (3)71,72 (3)-'1^2

- У 3 (^ - 01, -01,01 + 02)- У 3 (¿,01,02)- У 3 (¿,01,02)+

(3)71,72 (3)-71,72

+ у 3 (¿,01,0)+ у 3 (¿,01, 0) = 2СГ1,а2(¿,01) +

+4ДТ (Да1)(^ - 01,02) - Д^, 01 + 02)) , (А.32)

(3)71,72 (3)-^1,^2

у 3 (^ - 01, -01,01 + 02)+ у 3 (£ - 01, -01,01 + 02)--у 3 (£ - 01,02, -02)+ у 3 (^ - 01,02, -02)-

(2)71,72 (2)"71,72

- у 3 (¿,01 + 01, -02)- у 3 (¿,01 + 02, -02)-

(2)71,72 (2)"71,72 \ ^ 2

- у 3 (¿,01,02)- у 3 (¿,01,02) = 3-^Д^ - 01,02) +

' Д а1

Да1

722

+Д7^да^, 01) - Д?^ - 01,02) + Д^, 01 + 02)) -Д^ ^(¿,01) + ДО^ - 01,02) - ДО^М + 02^ , (А.33)

/ (1)71,72 (1)-71,72 \

у 3 (^,01,02)+ у 3 (£,01,02М =

V / ^2=0

( (3)71,72 (3)-'1^2 \

= ХМ у3 (¿,01,02)+ у3 (¿,01,02) , (А.34)

V / ^2=0

( (2)^ 72 л (2)"^2 \ ХМ у3 (¿,01,02)+ у3 (¿,01,02) =

V / ^1=0

( (3)71,7\ Л \ ^ ,

= ХМ у3 (¿,01,02)+ у3 (¿,01,02м (А.35)

V / ^1=0

необходимы и достаточны для существования решения

#112(51,52,53) = <

1 (1)7ь72 (1) 2 Х3 / 112 (¿,01,02), 51, 52, 53 е Ц ),

(2)71,72

-2Х / 112 (¿,01,02), 51, 52, 53 е ^32), (А36)

1 (3)71,72 (3)

,2 Х3 / 112 (¿,01,02), 51, 52, 53 е Ц ),

¿, 01, 02 е Д3, уравнения (2.71) —(2.73) в классе СЬ3.

Доказательство. Воспользуемся результатами [16], согласно которым формула обращения (А.36) справедлива тогда и только тогда, когда

(?)

171,72

Х /112 (¿,01,02) е Сдз, 3 = 1,3, (А.37)

(г)^2 _

/112 (¿, 0,01) = 0, г = 1,3, (А.38)

(г)^2 _

/112 (¿,01,0) = 0, г = 1, 2, (А.39)

(3)71,72

/112 (¿,01, -01) = 0, (А.40)

(1)71,72 (1)71,72 (2)71,72

/ 112 (¿,01, -01) = - / 112 ^ - 01, -01,01)= / 112 (¿ - 01, -01,01) =

(А.41)

(2)7Ъ 72 (3)71,72 ( 3)7Ь72

= - / 112 Мь -01) = / 112 (¿ - 01, -01, 0) = - / 112 (¿,01, 0), (А.42)

(1)71,72 (1)^1,72 (1)^1,72

/112 (¿,01,02)= /112 (¿-01, -01,01+02)- /112 (¿-01, -01,01), (А.43)

(2)71,72 (2)71,72 (2)71,72

/ 112 (¿,01,02)= / 112 (¿,01 + 02, -02)- / 112 ^ - 01,02, -02), (А.44)

(2)71,72 (2)71,72 (2)71,72

/ 112 ^ - 01, -01,01)- / 112 ^ - 01, -01,01 + 02)+ / 112 (¿,01,02) =

(3)7Ъ 72 (3)71,72 ( 3)71,72

= - / 112 (¿ - 01, -01,01 + 02)+ /112 (¿,01,02)- / 112 (¿,01,0) (А.45),

(3)7Ъ72 1 ( (2)71,72

/ 112 (¿ - 01, -01,01 + 02) = 2 ( ^ 112 (¿ - 01,02, -02)-

(2)^2 (2)^ \

- / 112 (¿,01 + 02, -02)- / 112 (¿,01,02М , (А.46)

(1)71,72 (3)71,72

Х3 /112 Мъ^к^ = Х3 /112 Мъ^к^ (А.47)

(2)71,72 (3)71,72

Х3 /112 (¿,01,02)1^1=0 = Х /112 (¿,01,02)1^1=0. (А.48)

С учетом (2.74)-(2.76), (А.37)-(А.48) в обозначениях (А.22)-(А.25) следует (А.26)-(А.35). -

А.2. Основные теоремы главы 3

Здесь сформулированы и доказаны теоретические утверждения, а также известные теоремы, использованные для обоснования разработанных в диссертации численных методов.

Теорема 3.1 (Апарцин А.С.) Пусть

° (1)

y(t) eC[о,т] . (А.49)

Тогда функция (3.75) есть решение уравнения (3.76).

Теорема 3.2°. (Апарцин А.С.) Пусть, кроме (А.^9), справедливо условие (3.77). Тогда x*(t) e C[0,T].

Теорема 3.3(Апарцин А.С.) Пусть y(t) знакопостоянна на [0,T] и

sign Л = sign y(t),

тогда имеет место (3.78).

° (1)

Теорема 3.4(Апарцин А.С.) Пусть для некоторого g(t) eC[0T] справедливо представление

y(t) = g(t) + Лд2(£).

Тогда (3.78) также верно.

Теорема 3.5 (Апарцин А.С.) Если решение x*(t) (3.76) в C[0,T] существует, то оно единственно.

Теорема 3.6(Апарцин А.С.) Если x*(t) — решение уравнения (3.76),

то

x**(t) = - (V(t) + ЛОД) ,

где £(t) — Ö -функция Дирака, также решение (3.76). Теорема 3.1. Пусть

° (1)

f2(t) eC[о,т] • (А.50)

Тогда решение (3.79) определяется (3.81) в обозначениях (3.82), (3.83).

Доказательство. Убедимся, что подстановка (3.81)-(3.83) в (3.79) обращает его в тождество. Имеем:

t -e(t)+a(t)

I= / "С* = i J dz = (A.5D

отсюда, с учетом (3.82), (3.83),

г

1 + к2 / С

/ + Ли/2 = /(г).

Замечание Л.1. Условие /(0) = 0 из (А.50) использовалось для вычисления в (А.51) нижнего предела интегрирования, соответствующего замене г = —в(з) + а(й).

Теорема 3.2. Если решение (3.79) в С[0,Т] существует, то оно единственно.

Доказательство. Сделаем противоположное предположение, что существует два решения м*(г), м** (г) = м*(г), принадлежащие С[0,Т]. Тогда разность м*(£) — м**(£) удовлетворяет тождеству

г

V(г) J(м*(з) — м**(з))^ = 0, г е [0,Т], 0

где

г

V (г) = 1 + в (г) + Ли/ (м* (5) + м**(з))^. (А.52)

0

В силу непрерывности м*(г) и м**(г) значение V(г) в (А.52) не может тождественно равняться нулю, так как V(0) = 1. Следовательно,

г

J(м*(5) — м**(з))^ = 0, г е [0,т], 0

а значит, м*(г) = м**(г), что противоречит предположению. ■ Теорема 3.3. Если м*(г) — решение уравнения (3.79), то

и** (г) = — (V (г) + т— ОД + Л в'(г)) (¿.53)

V Ли Ли /

также решение (3.79).

Функция в (г) в (А.53) определена по (3.82).

Доказательство. Покажем, что подстановка (А.53), (3.82) в (3.79) обращает его в тождество. Действительно, в силу (А.53)

г г

/ = У и**(в)^ = — у — 1 (г), (А.54)

0011

следовательно, с учетом (3.82), получаем

г

1 + ¿12 / С

/ + Ли/2 =

г \ г /г

= I 1 + ¿12 У С (5)^5 ^ и*($)^ + ¿11 I У М (5)^5 | = / (г), 0 0 0 поскольку и* (г) — решение (3.79). ■

Замечание Л.2. При получении (А.54) использовалось равенство

г

1

= 2.

Теорема 3.4. Пусть

◦ (1)

/2(г) ее[о,т], # 11 (г)/2(г) ^ 0, г е [0,т].

Тогда единственное в С[0,Т] решение (3.85) определяется формулой (3.87) в обозначении (3.88), (3.89).

Доказательство. Убедимся, что подстановка (3.87)-(3.89) в (3.85) обращает его в тождество. Имеем:

г

/ = и*(й)^й =

а(г) — в (г) — # 1(г)

2^ 11 (г)

отсюда, с учетом (3.88), (3.89), получаем

#1(г) + кыг) / С(^

/ + к 11(г)/2 = / (г).

Единственность легко доказывается от противного (см. доказательство теоремы 3.2). ■ Введем

к (г) =

_0

£11(г)

-, к(0) =

# 1(0) # 11(0)

(А.55)

г

Теорема 3.5. Пусть

К(г) е С1Т].

Если и* (г) — решение уравнения (3.85), то

и** (г) = -(и* (г) + 2К (г)ед + К'(г))

(А.56)

также решение (3.85).

Доказательство. Покажем, что подстановка (А.56) в (3.85) обращает его в тождество. Действительно, в силу (А.56)

з з зз

I = [ и**(в)^ = - / - К (0) - / К'(в)^ = - / - К (г),

следовательно, с учетом (3.88), (А.55), получаем

К1(г) + К^аду С (^ 0

I + К 11(г)12 =

К (г) + К^г) / С

з / з

,*/,Л„/„ I Г /I I „.*/

+ КГц (г) I / I = у (г)

0

поскольку и* (г) — решение (3.85).

з

2

з

Приложение Б. Иллюстративный материал

Б.1. Вид тестовых воздействий

Здесь приведены иллюстрации тестовых сигналов, которые использованы в задачах идентификации.

в1

Х1(г)

?2

Х2Ш1 (г)