Численные методы решения неклассических линейных уравнений Вольтерра I рода и их приложения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Маркова, Евгения Владимировна

• Маркова, Евгения Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Маркова, Евгения Владимировна

Введение

Глава I. Уравнения Вольтерра I рода с переменными пределами интегрирования. Случай а (¿о) = ¿о

§1. Постановка задачи. Теоремы существования и единственности

§2. Об оценках устойчивости решения

§3. Оценки решения тестового примера, полученные разными способами

§4. Численное решение уравнения (1.1.1). Метод правых прямоугольников .V. «V. .ъ.яр.

§5. Метод средних прямоугольников

§6. Метод типа Рунге-Кутта

§7. О свойстве саморегуляризации

§8. О системах уравнений Вольтерра I рода

Глава II. Уравнения Вольтерра I рода с переменными пределами интегрирования. Случай а(£о) < ¿о

§1. Постановка задачи

§2. Оценка устойчивости решения

§3. О численных методах решения.

§4. Несколько способов восстановления порядка сходимости.

§5. Метод типа Рунге-Кутта

Глава III. Применение разработанных алгоритмов к решению реальных задач энергетики

§1. Об интегральной модели В.М.Глушкова

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численные методы решения неклассических линейных уравнений Вольтерра I рода и их приложения»

Применение методов интегральных уравнений для анализа динамических систем интенсивно развивалось до середины XX века. Затем это направление было вытеснено во многих приложениях дифференциальными уравнениями, как более простыми и легче поддающимися исследованию [54]. Классическая форма динамических макроэкономических моделей [31] основана на использовании систем ОДУ. Это в определенной степени неудобно, так как реальные макроэкономические системы описываются негладкими или даже разрывными функциями. Кроме того, классические формы представления динамических моделей плохо приспособлены для описания динамики сворачивания и полного отказа от использования устаревшего оборудования. Описание динамических моделей с помощью систем интегральных уравнений позволяет устранить указанные недостатки.

В последнее время интерес к интегральным уравнениям возрастает. Это можно объяснить тем, что "описание процессов с помощью интегральных уравнений и вообще интегральных соотношений является более общим приемом, нежели описание с помощью дифференциальных уравнений" [22].

Основы теории интегральных уравнений Вольтерра были заложены в конце прошлого века. В 1896 году вышла серия публикаций, в которой Вито Вольтерра рассматривал интегральное уравнение I рода вида

В работе [68] Вольтерра показал, что решение <р{{) уравнения (0.1) при соответствующей гладкости исходных данных - ядра А'з) и правой части /(/), а также условии /) ф 0 V / Е [¿о, Г], представимо в виде

0.1) явной формулы обращения, содержащей резольвентное ядро. Уравнение (0.1) в дальнейшем будем называть классическим (или стандартным) .

Теории и численным методам решения уравнения (0.1) были посвящены тысячи публикаций. Наиболее полный обзор современного состояния исследований в этой области дан в [59]. Там же приведена обширная библиография. В обзоре [53] содержится библиография работ отечественных математиков.

Интерес вычислителей к уравнениям Вольтерра связан с тем, что задача численного решения уравнения лежит на стыке "классических" методов с методами решения некорректно поставленных задач. С одной стороны, уравнения Вольтерра - частный случай уравнений Фредголь-ма I рода, которые в общем случае являются некорректно поставленными в любых "разумных" функциональных пространствах, и для их решения используют методы регуляризации некорректных задач [49].

С другой стороны, специфика операторов Вольтерра такова, что при достаточной гладкости исходных данных уравнение Вольтерра I рода корректно поставлено на некоторой паре банаховых пространств.

Это позволяет, во-первых, адаптировать методы регуляризации, основанные на сведении (0.1) к уравнению Вольтерра II рода, таким образом, чтобы уравнения II рода сохраняли свойство вольтерровости. Развитию этого направления посвящены работы A.M. Денисова [28], H.A. Магницкого [32], В.О. Сергеева [43].

Во-вторых, можно находить численное решение (0.1) с помощью подходящей дискретизации непосредственно исходного уравнения. К этому направлению относятся работы Н. Brunner [57, 58], F. de Hoog и R. Weiss [63, 64], P. Linz [65, 66].

Если исходные данные известны приближенно, причем погрешность выводит решение возмущенного уравнения за пределы множества корректности, возможен другой путь - дискретизация непосредственно исходного уравнения с согласованием шага сетки с уровнем погрешности таким образом, чтобы процедура дискретизации сама обладала регуля-ризующим свойством. Например, метод квадратур, основанный на простейших квадратурных формулах, порождает регуляризующий алгоритм, в котором параметром регуляризации является шаг квадратурной формулы. Стабилизирующий эффект процедуры дискретизации, впервые отмеченный для интегральных уравнений I рода со слабой особенностью в работах В.И. Дмитриева и Е.В. Захарова [30], А.Н. Тихонова и В.И. Дмитриева [50], получил название саморегуляризующего. Среди первых работ, относящихся к этому направлению, отметим работы A.C. Апарцина [3, 4, 8, 9,10], A.C. Апарцинаи А.Б. Бакушинского [13], Тен Мен Яна [46, 47].

В работах Г.М. Вайникко и У. Хямарика [23, 24] свойство саморегуляризации исследовано и для приближенных методов проекционного типа, в основе которых - "конечномеризация" исходного интегрального уравнения.

В 1977 году в работе [26] В.М. Глушковым была предложена двух-секторная макроэкономическая модель, описываемая интегральными соотношениями с операторами Вольтерра типа a(t)

Задача идентификации интегральных параметров, входящих в модели типа В.М. Глушкова, сводится к уравнениям вида

0.2) a(t) поэтому эти уравнения привлекли дополнительное внимание исследователей. В (0.2) наряду с ядром K(t, s) и правой частью /(/) задан нижний предел a(t) - некоторая функция времени t. Функция a(t) отражает динамику отмирания или замены устаревших элементов развивающейся системы. Часто эта функция предполагается наряду с (p(t) искомой как элемент управления, оптимизирующий некоторый критерий качества функционирования системы. Важным свойством a(t) в подобных моделях является ее неубывание. Это означает, что отмирающие элементы не восстанавливаются. В последующих публикациях В.М. Глушкова и его коллег работа [26] получила дальнейшее развитие не только в отношении математического аппарата, но и в части приложений к задачам биологии, экологии, экономики, медицины и др. (см., например, [27, 54]).

Уравнение (0.2) будем называть неклассическим (в отличие от уравнения (0.1)). Вольтерра рассматривал частные случаи уравнения (0.2) при a(t) = q(t - /о), 0 < q < 1. В статье [68] он показал эквивалентность (0.2) некоторому интегро-функциональному уравнению II рода, решение которого может быть найдено с использованием результатов работы [67].

Математический аппарат исследования (0.2) диктуется спецификой нижнего предела a(t). В зависимости от свойств a(t) канонические решения уравнения, отвечающие единичному ядру K(t,s) = 1, имеют качественные отличия:

1) При a(t) = to (классический случай) точное решение уравнения (0.1) <p*(t) = f(t).

2) При a(tQ) = tQl a(t)<t Vte(t0,T\ (0.3) точное решение определяется бесконечным рядом. Например, для нижнего предела a(t) = \ точным решением является функция 3) При ait) <t vte [t0,T] (0.4) ряд, дающий точное решение, конечен. Например, для нижнего предела a(t) = t — 1 точным решением является функция к— 1 3=о где ~ заданная функция на предыстории t G [¿о — к = 1, [Т — îq] + 1- При этом должно выполняться условие согласованности в точке t = t о: t0 o—l

В статье [56], подготовленной к столетнему юбилею уравнений Воль-терра I рода, приведен список публикаций начала XX века, имеющих отношение к уравнению (0.2).

В последнее двадцатилетие теоретические исследования неклассических уравнений Вольтерра I рода проводились A.C. Апарциным [2, 5, 9, 11, 12], A.M. Денисовым и C.B. Коровиным [29], A.M. Денисовым и A. Lorenzi [61, 62].

Численные методы решения (0.2) рассматривались в работах A.C. Апарцина [1, 5], Ш.А. Наубетовой [41], Ш.А. Наубетовой и Ю.П. Яценко [42], Тен Мен Яна [44, 45], Н. Brunner [56], H. Brunner и Ю.П. Яценко [60]. В частности, в работах [1, 42] показана применимость к уравнению (0.2) с условием (0.4) ряда численных методов, разработанных для классического уравнения Вольтерра. При этом, как впервые отмечено в [1], порядок сходимости метода становится на единицу меньше порядка аппроксимации квадратурных формул. В работе [5] предлагаются различные варианты восстановления исходного порядка.

В работе У.Е. Галиева и Ю.П. Яценко [25] дан обзор состояния исследований линейных интегральных уравнений I и II рода в интегральных динамических моделях. Кроме этого, дан обзор исследований систем уравнений с неизвестным нижним пределом (что делает уравнение существенно нелинейным) и задач оптимизации, возникающих в интегральных динамических моделях.

В целом численные методы решения уравнения типа (0.2) значительно менее исследованы, чем в случае (0.1).

Эта проблематика изучается в данной диссертационной работе.

Первая глава диссертации посвящена уравнению Вольтерра I рода с двумя переменными пределами интегрирования с условием (0.3).

В §§ 1-3 рассматривается постановка задачи, приведены необходимые теоретические результаты относительно существования, единственности и устойчивости решения. Проведено сопоставление оценок устойчивости решения на тестовом примере.

§§ 4-6 посвящены численному решению интегрального уравнения Вольтерра (0.2). Рассматриваются методы правых и средних прямоугольников. Доказана линейная сходимость метода правых прямоугольников для случая = 1, а(£) = — ¿о), 0 < д < 1 и квадратичная сходимость метода средних прямоугольников в первом узле сетки. На серии тестовых примеров получены порядки сходимости методов квадратур, соответствующие класическим, и для общего случая. Установлено пилообразное поведение погрешности сеточного решения, позволяющее уменьшить погрешность каркаса за счет выбора специальной подсетки узлов.

Проведена модификация метода Рунге-Кутта, которая дает для (0.2), (0.3), как и в классическом случае, сходимость с любым наперед заданным порядком т.

В § 7 рассматривается свойство саморегуляризации методов квадратур. На примерах показано, что согласование шага сетки с уровнем погрешности исходных данных обеспечивает устойчивость сеточного решения, причем асимптотики для квазиоптимального шага и погрешности каркаса - те же, что и в классическом случае. Неулучшаемость асимптотических оценок проиллюстрирована на примере пилообразного возмущения исходных данных с определением оптимального шага сетки методом Фибоначчи.

В § 8 метод правых прямоугольников применен к решению системы уравнений Вольтерра I рода с переменными пределами. Результаты расчетов на тестовых примерах показывают линейную сходимость метода.

Вторая глава посвящена уравнению (0.2) с условием (0.4).

В §§ 1, 2 рассматривается постановка задачи, приведены известные теоремы существования, единственности и устойчивости решения, на которых основано дальнейшее изложение. Проведено сопоставление различных оценок устойчивости решения на тестовом примере.

В § § 3-5 исследованы численные методы решения (0.2) с условием (0.4). Приведена геометрическая интерпретация потери одного порядка сходимости численных методов. Сравниваются две модификации классического метода средних прямоугольников. Приведены результаты расчетов на тестовых примерах. Рассматриваются несколько способов восстановления порядка сходимости, равного порядку аппроксимации. Проведено сравнение этих способов по результатам тестовых расчетов, сделанных для квадратур правых и средних прямоугольников. Рассматриваются особенности применения модифицированного метода Рунге-Кутта (с восстановлением исходного порядка сходимости) для частного и общего случая. Приведены результаты расчетов на ЭВМ.

Третья глава посвящена приложениям разработанных алгоритмов и программного обеспечения для решения реальных задач из области электроэнергетики.

В § 1 описывается интегральная модель В.М. Глушкова двухсектор-ной экономики.

В §§ 2-4 рассматривается задача определения долгосрочных стратегий ввода электрических мощностей с учетом выбывания устаревшего оборудования как частный случай модели В.М. Глушкова (односек-торный вариант). Предложен и реализован эвристический алгоритм поиска оптимальных стратегий ввода электрических мощностей, обеспечивающих с учетом выбывания устаревшего оборудования заданную потребность в электроэнергии при минимуме суммарных затрат на ввод новых и эксплуатацию генерирующих мощностей. Для этих задач проведены расчеты по реальным данным и дан анализ полученных результатов.

Для расчетов на ЭВМ написаны программы на языке программирования Pascal 7.0.

Результаты диссертационной работы докладывались на Международной конференции "Всесибирские чтения по математике и механике" (Томск, 1997 г.), на Всероссийской конференции "Алгоритмический анализ некорректных задач" памяти В.К. Иванова (Екатеринбург, 1998 г.), на XI Международной Байкальской школе-семинаре "Методы оптимизации и их приложения" (Иркутск, 1998 г.), на Международной конференции "Математические модели и методы их исследования (задачи механики сплошной среды, экологии, технологических процессов, экономики)" (Красноярск, 1999 г.), на Международной конференции, посвященной академику С.К. Годунову, "Математика в приложениях" (Новосибирск, 1999 г.), на конференциях молодых ученых СЭИ СО РАН (Иркутск, 1996, 1997 гг.), на конференциях молодых ученых ИСЭМ СО РАН (Иркутск, 1998, 1999 гг.).

По теме диссертации опубликовано 14 работ [15, 16, 17, 18, 20, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 55] и 2 работы находятся в печати [19, 21].

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Маркова, Евгения Владимировна

Основные результаты диссертации заключаются в следующем.

1. Для случая (0.2), (0.3) построены и апробированы на тестовых задачах различные модификации квадратурных методов правых и средних прямоугольников, методов типа Рунге-Кутта. Показана сходимость методов с теми лее порядками, что и в классическом случае.

2. Для случая (0.2), (0.4) и тех же квадратур реализованы 4 их модификации, позволяющие восстановить порядок сходимости, равный порядку аппроксимации.

3. Установлено, что согласование шага сетки с уровнем погрешности исходных данных обеспечивает устойчивость сеточного решения (свойство саморегуляризации), причем асимптотики для квазиоптимального шага и погрешности каркаса - те лее, что и в классическом случае.

4. Выявлены особая роль значений сеточного решения в начальных узлах сетки, пилообразное поведение погрешности, позволяющее конструировать подсетки узлов, на которых погрешность численного решения (0.2) меньше, чем в классическом случае при тех же ядре и точном решении.

5. Для й(^) — (¿{^ — ¿о)? 0 < ^ < 1 обнаружен эффект "насыщения", уточняющий известные теоретические оценки погрешности.

6. Решена реальная задача электроэнергетики: задача определения долгосрочных стратегий ввода электрических мощностей с учетом выбывания устаревшего оборудования.

7. Предложен и реализован эвристический алгоритм поиска оптимальной стратегии ввода электрических мощностей, обеспечивающих заданную потребность в электроэнергии при минимуме суммарных затрат на ввод новых и эксплуатацию генерирующих мощностей.

Для проведения численных расчетов были написаны программы на языке Pascal 7.0.

Конечно, в данной диссертации рассмотрена лишь малая часть проблем, связанных с численным решением неклассических уравнений.

Предметом дальнейших исследований могут быть новые классы уравнений (линейных и нелинейных, скалярных и векторных, интегро-алгебраических и интегро-дифференциальных), включающих интегральные операторы Вольтерра с переменными верхними и нижними пределами интегрирования, и численные методы их решения.

Несомненный интерес представляет и рассмотрение сферы приложений разрабатываемых методов, алгоритмов и программного обеспечения для моделирования реальных развивающихся систем как в энергетике, так и в других областях естествознания.

Заключение

Настоящая диссертационная работа посвящена численным методам решения неклассических уравнений Вольтерра I рода и их приложениям. В работе исследована проблема модификации стандартных численных методов, возникающая из-за переменного нижнего предела интегрирования. Модифицирование методы применены к решению реальных задач из области электроэнергетики.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Маркова, Евгения Владимировна, 1999 год

1. Анциферов Е.Г., Апарцин A.C., Ащеиков JI.T., Булатов В.П. Математические задачи энергетики (модели, методы, решения) // Науч. отчет. Иркутск, СЭИ СО АН СССР, 1987. - 286 с.

2. Апарцин A.C. Об интегральных уравнениях Вольтерра I рода в теории развивающихся систем // Численные методы оптимизации и анализа. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1992. - С. 58-67.

3. Апарцин A.C. О применении различных квадратурных формул для приближенного решения интегральных уравнений Вольтерра I рода методом квадратурных сумм // Дифференц. и интегр. уравнения. Иркутск: Иркут. гос. ун-т, 1973. - Вып. 2. - С. 107— 116.

4. Апарцин A.C. О численном решении систем интегральных уравнений Вольтерра I рода методом квадратур // Методы оптимизации и иссл. операций (прикл. матем.). Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1976. - С. 79-88.

5. Апарцин A.C. Неклассические уравнения Вольтерра I рода: теория и численные методы. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1999. -193 с.

6. Апарцин A.C. Некоторые интегральные (разностные) неравенства и их приложения // Методические указания. Иркутск, Иркут. гос. ун-т, 1988. - 41 с.

7. Апарцин A.C. Численное решение интегральных уравнений I рода типа Вольтерра,- Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1981. 26 с. -Препринт № 1.

8. Апарцин A.C. О численном решении интегрального уравнения Вольтерра I рода регуляризованным методом квадратур // Методы оптимизации и их приложения. Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1979. - С. 99-107.

9. Апарцин A.C. Некоторые некорректные задачи в энергетике и их саморегуляризация // Математическое моделирование в энергетике. 4.1. Киев: ИПМЭ АН Украины, 1990. - С. 26-29.

10. Апарцин A.C. Дискретизационные методы регуляризации некоторых интегральных уравнений I рода // Методы численного анализа и оптимизации. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1987. -С. 263-297.

11. Апарцин A.C. Об одном классе уравнений Вольтерра I рода // Тр. XI Международной Байкальской школы-семинара "Методы оптимизации и их приложения". Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 1998. -Т. 4. - С. 24-27.

12. Апарцин A.C., Бакушинский А.Б. Приближенное решение интегральных уравнений Вольтерра I рода методом квадратурных сумм // Дифференциальные и интегральные уравнения. Иркутск: Иркут. гос. ун-т, 1972. Вып. 1. - С. 248-258.

13. Апарцин A.C., Гусева И.Д. Некоторые оценки решений интегральных неравенств, возникающих при идентификации моделей развивающихся систем В.М.Глушкова // Науч. отчет. Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1993. - С. 42-61.

14. Апарцин A.C., Маркова Е.В. О сходимости метода квадратур численного решения уравнений Вольтерра I рода в интегральных моделях систем с управляемой памятью // Тез. докл. Всеросс. конф. "Алгоритмический анализ некорректных задач" (памяти

15. B.К.Иванова), Екатеринбург, ИММ УрО РАН, 02.02-07.02.98.1. C. 35-36.

16. Апарцин A.C., Маркова Е.В. О численном решении уравнений Вольтерра I рода с переменной предысторией // Тез. докл. Всеросс. конф. "Обратные и некорректно поставленные задачи", Москва, МГУ, 15.06-18.06.98. С. 6.

17. Апарцин A.C., Маркова Е.В. Численное решение уравнений Вольтерра I рода в интегральных моделях развивающихся систем // Тез. докл. III Сибирского конгресса ИНПРИМ-98 памяти С.Л.Соболева, Новосибирск, ИМ СО РАН, 21.06-24.06.98. С. 128.

18. Апарцин A.C., Маркова Е.В. Неклассические уравнения Вольтерра I рода и их приложения // Тр. Междунар. конф., посвященной70.летию академика С.К.Годунова, "Математика в приложениях", Новосибирск, ИМ СО РАН, 25.08-29.08.99, (в печати).

19. Бутковский А.Г. Структурная теория распределенных систем. -М.: Наука, 1977. 320 с.

20. Вайникко Г.М., Хямарик У. Саморегуляризация для решения некорректных задач проекционными методами // Модели и методы исследования операций. Новосибрфск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988. - С. 157-163.

21. Вайникко Г.М., Хямарик У. Проекционные методы и саморегуляризация в некорректных задачах // Изв. вузов. Сер. мат. 1985. -№ 10. - С. 3-17.

22. Галиев У.Е., Яценко Ю.П. Алгоритмы численного исследования интегральных динамических моделей // Численные методы оптимизации и анализа. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1992. -С. 115-120.

23. Глушков В.M. Об одном классе динамических макроэкономических моделей // Управляющие системы и машины. 1977. - N° 2. - С. 3-6.

24. Глушков В.М., Иванов В.В., Яненко В.М. Моделирование развивающихся систем. М.: Наука, 1983. - 350 с.

25. Денисов A.M. О приближенном решении уравнения Вольтерра I рода // ЖВМ и МФ. 1975. - Т. 15, № 4. - С. 1053-1056.

26. Денисов A.M., Коровин C.B. Об интегральном уравнении I рода типа Вольтерра // Вестник МГУ. Сер. 15. Вычислит, мат. и кибернетика. 1992. - № 3. - С. 22-28.

27. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. О численном решении некоторых интегральных уравнений Фредольма I рода // Вычислительные методы и программирование. М.: МГУ, 1968. - Вып. 10. - С. 49-54.

28. Леонтьев В. Исследование структуры американской экономики. Теоретический и эмпирический анализ по схеме затраты выпуск.- М.: Госстатиздат, 1959. 640 с.

29. Магницкий H.A. Об одном методе регуляризации уравнений Вольтерра I рода // ЖВМ и МФ. 1975. - Т. 15, № 5. - С. 1317-1323.

30. Маркова Е.В. Об интегральных уравнениях Вольтерра I рода с управляемой памятью // Материалы XXVI конференции научной молодежи Сиб. энергет. ин-та СО РАН. Иркутск, 24 апреля, 1996.- С. 62-67. Деп. в ВИНИТИ 08.07.96, № 2194-В96.

31. Маркова Е.В. Интегральные уравнения Вольтерра I рода в моделях развивающихся систем // Материалы XXVII конференциинаучной молодежи Сиб. энергет. ин-та СО РАН. Иркутск, 14-15 мая, 1997. - С. 117-124. - Деп. в ВИНИТИ 12.09.97, 2830-В97.

32. Маркова Е.В. О методах решения уравнения Вольтерра I рода с переменным нижним пределом и их приложения // Системные исследования в энергетике (труды молодых ученых ИСЭМ СО РАН). Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 1999. - Вып. 29. - С. 190-197.

33. Маркова Е.В. О численных методах решения интегральных уравнений Вольтерра I рода в моделях развивающихся систем // Тез. Междунар. конф. "Средства математического моделирования", Санкт-Петербург, 03.12-06.12.97. С. 101.

34. Маркова Е.В. Об особенностях численного решения уравнения Вольтерра I рода с переменным нижним пределом // Тр. XI Байкальской школы-семинара "Методы оптимизации и их приложения", Иркутск, 05.07-12.07.98. Т. 4. - С. 134-137.

35. Наубетова Ш.А. Исследование алгоритмов численного решения линейных интегральных уравнений управляемых систем с переменной памятью: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. Киев: Изд-во Киев, ун-та, 1989.

36. Наубетова Ш.А., Яценко Ю.П. Регуляризуюгцие алгоритмы решения интегральных уравнений Вольтерра I рода с переменным нижним пределом // Приближенные методы анализа и их приложения. Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1989. - С. 116-130.

37. Сергеев В.О. Регуляризация уравнений Вольтерра I рода // ДАН СССР. 1971. - Т. 197, № 3. - С. 531-534.

38. Тен Мен Ян. Метод квадратур для уравнения Вольтерра I рода с переменной предысторией // Методы оптимизации и их приложения. Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1992. - С. 184-199.

39. Тен Мен Ян. Квадратурные методы решения интегральных уравнений I рода типа Вольтерра с переменным нижним пределом // Численные методы решения сингулярных систем ОДУ. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1993. - С. 55-77.

40. Тен Мен Ян. Приближенное решение двумерных интегральных урвнений Вольтерра I рода методом квадратур // Дифференциальные и интегральные уравнения. Иркутск: Иркут. гос. ун-т, 1975. - Вып. 3. - С. 194-211.

41. Тен Мен Ян. Блочный метод для решения двумерных интегральных уравнений Вольтерра первого рода // Дифференциальные уравнения. 1979. - Т. 15, № 6. - С. 1121-1126.

42. Тен Мен Ян. Об устойчивых многошаговых методах решения уравнений Вольтерра I рода // Методы численного анализа и оптимизации. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1987. - С. 227-263.

43. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.- М.: Наука, 1979. 288 с.

44. Тихонов А.Н., Дмитриев В.И. Метод расчета распределения тока в системе линейных вибраторов и диаграммы направленности этой системы // Вычислительные методы и программирование. М.:

45. У, 1У00. ЬЫП. 1U. - и. Ö-Ö.

46. Труфанов В.В., Федотова Г.А. Анализ современного состояния оборудования электростанций России // Методические вопросы исследования надежности больших систем энергетики. Киев, 1995.- Вып. 47. С. 6-13.

47. Уайлд Д.Дж. Методы поиска экстремума. М.: Наука, 1967. -С. 47-58.

48. Цалюк З.Б. Интегральные уравнения Вольтерра // Математический анализ (Итоги науки и техники). М.: ВИНИТИ, 1977. - Т. 5.- С. 131-198.

49. Яценко Ю.П. Интегральные модели систем с управляемой памятью.-Киев: Наук, думка, 1991. 218 с.

50. Apartsyn A.S., Markova E.V. The nonclassic Volterra equations of the first kind and their applications // Abstracts of the International

51. Conference honoring academician Sergei K. Godunov "Mathematics in applications", Novosibirsk, 25.08-29.08.99. P. 23.

52. Brunner H. 1896-1996: One hundred years of Volterra integral equations of the first kind // Applied Numerical Mathematis. 1997.- 24. P. 83-93.

53. Brunner H. Discretization of Volterra Integral Equations of the first kind (I) // Math. Comput. 1977. - 31. - P. 708-716.

54. Brunner H. Discretization of Volterra Integral Equations of the first kind (II) // Numer. Math. 1978. - 30. - P. 117-136.

55. Brunner H., P.J. van der Houwen. The Numerical Solution of Volterra Equations. Centre for Mathematics and Computer Science, North-Holland, 1986. - 588 p.

56. Brunner H., Yatsenko Y. Spline collocation methods for nonlinear Volterra integral equations with unknown delay // J. of computational and applied mathematics. 1996. - 71. - P. 66-81.

57. Denisov A.M., Lorenzi A. On a special Volterra integral equation of the first kind // Bollettino U.M.I. 1995. - (7) 9-B. - P. 443-457.

58. Denisov A.M., Lorenzi A. Existence results and regularization thechniques for severely ill-posed integro-functional equastions // Universita degli studi di Milano, quadro. 1996. - № 9. - 14 p.

59. F. de Hoog, R.Weiss. On the solution of Volterra integral equations of the first kind // Numer. Math. 1973. - Vol. 21. - № 1. - P. 22-32.

60. F. de Hoog, R.Weiss. High order methods for the Volterra integral equations of the first kind // SIAM J. Numer. Anal. 1973. - Vol. 10.- № 4. P. 647-664.

61. Linz P. Numerical methods for Volterra integral equations of the first kind // Comput.J. 1969. - Vol. 12. - P. 393-397.

62. Linz P. Product integration methods for Volterra integral equations of the first kind // BIT 1971. - Vol. 11. - P. 413-421.

63. Volterra V. Sopra alcune questioni di integrali definitive // Ann. Mat. Pura Appl. 1897. - (2)25. - P. 139-178.

64. Volterra V. Sulle inversione degli integrali definiti // Nota I, Atti R. Accad. Sci. Torino. 1896. - 31. - P. 311-323.