Неабелева фермионная Т-дуальность в супергравитации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Астраханцев Лев Николаевич

• Астраханцев Лев Николаевич
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Астраханцев Лев Николаевич

1.1 Дуальности в теории струн

1.2 Теория супергравитации

1.3 Бозонная Т-дуальность

1.3.1 Радиальная симметрия бозонной струны

1.3.2 Процедура Бушера

1.4 Абелева фермионная Т-дуальность

1.4.1 Фермионная процедура Бушера

1.4.2 Формализм чистых спиноров

1.5 Обобщенная супергравитация

1.6 Краткий обзор удвоенной теории поля

1.7 Цели и задачи диссертационного исследования

1.8 Результаты, выносимые на защиту диссертации

1.9 Содержание диссертации

1.10 Публикации по теме диссертации

2 Неабелево расширение

2.1 Введение

2.2 Построение неабелева расширения

2.3 Сигма-модель

2.4 Уравнения движения

2.4.1 Уравнение движения для дилатона

2.4.2 Уравнение Эйнштейна для метрики

3 Примеры

3.1 Пространство Минковского

3.2 Э-брана

3.3 Фундаментальная струна

3.4 Обобщенная супергравитация

4 Заключение 79 Л Индексы и соглашения 83 Б Компоненты ТЭИ для И-И полей 86 С Векторы Киллинга и И-И формы

Введение

1.1 Дуальности в теории струн

Долгое время изучение теории струн заключалось в рассмотрении струн только с помощью техник на т.н.«мировом листе» [1,2]. Настоящим прорывом стало понимание огромной роли, которую в изучении струн играют дуальности [3-5] и Э-браны [6, 7]. Подход к изучению струн на мировом листе уступил т.н. пространственно-временному подходу, который превалирует и по сей день, обозначая методы изучения теории струн через рассмотрение ее эффективного низкоэнергетического предела. Два этих подхода независимы друг от друга, однако подход, основанный на рассмотрении эффективных теорий, возник в первую очередь из описания динамики эффективных теорий на мировом листе. Можно получить уравнения движения эффективных теорий супергравитации, накладывая условия согласованности на квантовую теорию на мировом листе. Схема на Рис. (1.1) изображает данную связь, а также показывает место, где находятся дуальности, связывающие теории струн с эффективными теориями.

С одной стороны, действие на мировом листе струны делает возможным пертурбативную формулировку теории струн. Некоторая информация о непер-турбативных состояниях, например, Э- и КБ5-бранах может быть также получена из формализма действия на мировом листе. Более того, низкоэнергетические эффективные теории также происходят из теории на мировом листе.

Теории на мировом листе

Низкоэнергетичс предел

> Эффективные

Теории струн ^

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Неабелева фермионная Т-дуальность в супергравитации»

Дуальности

теории

Рис. 1.1: Связь между теорией струн, эффективными теориями и теорией на мировом листе.

Существует утверждение, что дуальности в теории струн являются отражением глобальной симметрии некоторой эффективной низкоэнергетической теории [3] или симметрии между двумя различными эффективными низкоэнергетическими теориями. Данная связь обозначена движении справа налево на Рис. (1.1) стрелкой Как пример такой связи, Т-дуальность [8], которая является самой старой из известных струнных дуальностей, была изначально открыта как симметрия эффективного потенциала по отношению к радиусу компактификации Я при замене Я ^ [9,10]. Позже было установлено, что эта радиальная симметрия Жо вложена в группу 0{(11(1]Ж) теории струн, скомпактифицированной на нногонерный тор Тс1 [11-14].

Т-дуальность сохраняется в каждом порядке струнной теории возмущений, и, как мы увидим далее, струнная константа связи просто перенормируется д'а ос да при данном преобразовании. Можно вывести Т-дуальность, рассматривая теорию струн на мировом листе (стрелка / на Рис. (1.1)), такая техника называется процедурой Бушера, [15-17] и будет рассмотрена далее. Также существование этой отработанной техники сделало возможным открытие ее неабеле-ва, расширения, и далее фермионной Т-дуальности, что в совокупности является главным предметом обсуждения в данной работе.

Удобству в изучении Т-дуальности отвечает её пертурбативная природа: ее можно увидеть на уровне спектра струны. Трудности возникают при изучении непертурбативных дуальностей, например S-дуальности в теории типа IIB. Такие дуальности характеризуются тем, что они описывают связь между сильно и слабо связанными режимами теории g's х g-1. Пример S-дуальности, соответствующей группе симметрий SL(2,R), был открыт при изучении эффективной теории гетеротической струны при ее компактификации до четырехмерной N = 4 супергравитацию [18-20]. Такая же группа симметрий и такая же инверсия струнной константы связи появляется в IIB теории суперструны, IIB N = 2 десятимерной супергравитации [21,22].

Абелева фермионная Т-дуальность является новой непертурбативной симметрией, сформулированной для струнных теорий типа II. Она была открыта с помощью развития подхода мирового листа на суперпространство. Фермионная Т-дуальность как симметрия сохраняется только на древесном уровне струнной теории возмущений, в этом смысле она является непертурбативной (при этом поведение струнной константы связи при дуальности такое же, как в случае пертурбативной бозонной Т-дуальности, g's х gs).

Диссертация посвящена неабелевому обобщению известной абелевой фер-мионной Т-дуальности. Можно сказать, что мы изучаем направление, отмеченное стрелкой ^ на Рис. (1.1), то есть изучаем, как неабелева фермионная Т-дуальность действует на супергравитацию типа II. С точки зрения супергравитации, это преобразование выглядит очень неоднозначно и таинственно, приводя ко многим интересным следствиям, описанным в данной работе.

1.2 Теория супергравитации

Рассмотрим, каким образом теория супергравитации получается из теории струн. Динамику теории струн можно изучать, рассмотрев действие Полякова

% f дахтдвхпдтп{х), (1.1)

4па

где функции хт(£) описывают вложение мирового листа струны в пространство-время, параметризованное двумя координатами £а = а,г, и Нав является метрикой на мировом листе струны. Данная теория является явно нелинейной (обычно говорят нелинейная сигма-модель) из-за зависимости метрики дтп(х) от координат пространства-времени. Действие имеет только один размерный параметр а', являющийся квадратом фундаментального масштаба струны. Пользуясь симметриями действия, можно для удобства зафиксировать конформную калибровку \/-ННав = 5ав. Для пертурбативного изучения теории (1.1) рассмотрим квантовые флуктуации около классического решения теории хс[(£) таким образом, что

хт = хт + V а'ут, (1.2)

где ут « 1 являются безразмерными полями. Раскладывая подинтегральное выражение около хс1

дтп(х)дах двх =

1 1

даУтдв уп,

а

дтп (хс1) + \Га'д тп,г (хс1) уг + а' ^ д (хс1) уг у' + ...

(1.3)

мы получаем бесконечный ряд по степеням константы а со все увеличивающимся числом полей ут(£) у каждой вершины. Если ввести радиус кривизны Яс, соответствующий вариации метрики по координате

^ - -, (1.4)

дх Яс, 1 ;

то можно увидеть, что на самом деле эффективная константа связи, отвечающая за степенной ряд (1.3), будет равна ^^.

Видим, что теорию (1.1) можно изучать пертурбативно при большом радиусе кривизны Яс » \[а'. В этом случае можно ограничить выбор сигма-модели в (1.1), рассматривая только безмассовые поля (на больших расстояниях массивные моды не возбуждаются), а также пренебречь конечным размером струны, изучая только низкоэнергетическую эффективную теорию поля. Такая теория поля называется супергравитацией.

Теория супергравитации может быть получена из теории струн требованием сохранения конформной симметрии на квантовом уровне [23-30]. В данном подходе требуют, чтобы бета-функции квантовой теории занулялись, т.е. чтобы не возникал масштабный фактор. Отсюда возникают ограничения на константы связи сигма-модели, которые выглядят как уравнения движения на фоновые поля (например дтп выше). Далее записывают действие, соответствующее данным уравнениям движения. Если были рассмотрены только однопетлевые бета-функции в теории возмущений по а', то полученное эффективное действие будет действием для супергравитации. Многопетлевые поправки к бета-функциям отвечают за струнные поправки к супергравитации, содержащие более высокие степени а'.

Однопетлевая бета-функция для теории (1.1) только с фоновым полем дтп имеет вид

втп = а'Ятп + о (а2), (1.5)

откуда мы получаем уравнения Эйнштейна в вакууме. Если мы добавим остальные безмассовые поля бозонной струны, антисимметричное поле Ьтп и дила-тон ф, то бета-функции дадут нам полевые уравнения для эффективного действия [30,31]

5' = / ^'ч/Ы^

л + 4(дф)2 - И, Н2

(1.6)

где 1 = 26 в случае бозонной струны и 1 = 10 в случае суперструны. 3-форма Н

является тензором напряженности потенциала Невё-Шварца Н = ёЬ с некоторыми дополнительными вкладами в случае гетеротической струны. Действие (1.6) воспроизводит динамику обычной супергравитации, возникая как низкоэнергетический предел любой теории струн. Все теории струн имеют одинаковый Невё-Шварцовский (N8^8) сектор, состоящий из метрики дтп, антисимметричного поля Ьтп и дилатона ф. Поля в этом секторе совпадают с полями безмассовых возбуждений бозонной струны. Если мы теперь рассмотрим бета-функции для всех фоновых полей суперструны, мы получим больше уравнений движения и соответствующих слагаемых в дополненном эффективном действии. Дополнительные поля будут являться калибровочными потенциалами из сектора Рамона (ЯЯ) в теориях II типа, либо неабелевыми калибровочными полями в теориях гетеротических струн. Н отличается от Н как раз в случае неабелевых калибровочных полей, см. далее.

Кратко рассмотрим различные действия для ё = 10 супергравитации [31,32]. Обычно действие состоит из суммы общего сектора (1.6), Я-Я сектора с бозон-ными полями и действия для безмассовых фермионов. Опуская фермионную часть общего действия, мы рассмотрим различные бозонные поля из ЯЯ сектора в зависимости от теории. Начнем с действий для теориий II типа.

Тип ПЛ. Здесь поле Н N8^8 сектора в (1.6) просто Н = Н = ёЬ. Потенциалы из сектора Я-Я включают 1-форму Ст и 3-форму Стпк, их напряженности обозначим ^(2) и ^(4) соответственно. Итого действие, которое необходимо добавить к (1.6):

1 ' до.

4к2

f 2F(22) + 4F(4)] - 4~2 / Ь(2) Л F(4) А F(4). (1.7)

Здесь модифицированная напряженность поля f(4) = dC(3) - C(1) а H(3) является калибровочно инвариантным выражением.

Тип IIB. Здесь также H = H = db. Сектор R-R включает C(0), C(2) и C(4) такие, что модифицированный тензор напряженности 4-формы является само-

дуальным F(5) = *F(5)- Теперь к действию (1.6) нужно добавить

f dwx\/\g\ [f^) + + 2^5)2] - ¿2 / C(4) Л H(3) л F(4): (1.8)

4k2

с калибровочно инвариантными напряженностями

F(3) = dC(2) - C(0) Л H(3):

F(5) = dC(4) - 2C(2) Л H(3) + 2b(2) Л F(3).

(1.9)

Заметим, что самодуальность F(5) не следует из уравнений движения и должна накладываться отдельно.

Гетеротическая струна. В известных двух гетеротических теориях нет R-R полей, и единственное безмассовое бозонное поле представляет из себя тензор напряженности F(2), принимающий значения в алгебре Ли групп SO(32) или E8 х E8, являющихся калибровочными группами гетеротической струны. Таким образом, к действию (1.6) нужно добавить действие типа Янга-Миллса для F(2) = dA:

/ Т F(2!). (1.10)

Как раз в данном случае нужно изменить поле H в NS-NS секторе H = H - Oj-ш, где 3-форма ш является формой Черна-Саймонса для калибровочного потенциала A:

ш = Tr (a л dA + 2A л A л a) . (1.11)

Связи различных теорий струн друг с другом через S- и Т-дуальности изображены на Рис. (1.2). Здесь стоит отметить, что теории IIA и IIB переходят друг в друга под действием бозонной Т-дуальности, причем теория IIB самодуальна относительно S-дуальности. Две гетеротические теории струн также связаны друг с другом бозонной Т-дуальностью. Теория струн типа I, которая не рассматривается в данной работе, обладает вдвое меньшим количеством суперзарядов и связана с одной из гетеротических струн S-дуальностью. U-дуальность,

1

как скрытая дуальность, связывающая все теории струн, как симметрия является объединением Т- и 8-дуальности [33].

11D

супергравитация

Рис. 1.2: Пять известных теорий суперструн типа I, типа IIA/IIB, гетеротиче-ских SO(32) и E8xEg, и 11-ти мерная супергравитация, как пределы более фундаментальной M-теории, и их связь T- ( и S- дуальностями. M-теория обладает симметрией-И-дуальностью (^), представляющей из себя объединение S- и T- дуальностей.

В центре Рис. (1.2) находится т.н. М-теория («M» можно понимать как membrane или magic), D = 11 теория мембран, все d = 10 теории струн являются различными проекциями данной теории на различные фоны. Данная теория до сих пор не получена в явном виде, существует большое количество исследований, направленных на изучение симметрий данной теории, есть надежда, что S-, T- и U-дуальности являются несвязными компонентами одной большой непрерывной D = 11 симметрии, являющейся полной группой симметрий М-теории. В том числе исследованию этого направления посвящена эта работа.

1.3 Бозонная Т-дуальность

Т-дуальность является преобразованием, связывающим различные струнные фоны, при этом никак не изменяющим статсумму струнной сигма-модели [8]. Как будет показано далее, Т-дуальность в основном характеризуется тем, что обращает пространственную компоненту метрики, отвечающую за изомет-рию пространства-времени вдоль соответствующего направления:

91 = #11. (1.12)

Данная компонента метрики также ведет себя как т.н. константа связи в сигма-модели на мировом листе. Стоит сказать, что под сигма-моделью имеется ввиду запись действия для струны с помощью формализма на мировом листе, при этом компоненты метрики и Ь-поля выступают как константы связи в данной сигма-модели. С точки зрения пространства-времени Т-дуальность—явление, покрытое тайной, так как может связывать струнные фоны с совершенно разными геометриями. Одно из применений Т-дуальности состоит в том, чтобы использовать ее как механизм генерации решений в низко-энергетическом приближении теории струн, т.е. супергравитации [22]. Начиная с некоторого известного решения супергравитации, после применения Т-дуальности можно получить семейство новых решений. Данная процедура оказалась полезной на примере решений, деформируемых т.н. ^-потоками: гравитационно дуальные неком-мутирующим теориям [34-36], в -деформированный Янг-Миллс [37], дипольно-деформированные теории [38], а также различные геометрии в М-теории [39].

1.3.1 Радиальная симметрия бозонной струны

Для начала рассмотрим самую обычную бозонную Т-дуальность для подготовки к дальнейшему рассмотрению её более сложной фермионной версии.

Возможно, самый простой способ понять, в чем заключается данная ду-

альность, состоит в рассмотрении закрытой бозонной струны в пространстве S1 х Л1'24 (т.н. компактификация Калуцы-Клейна (КК) на окружность радиуса Я) и нахождении ее энергетического спектра. Вычисление показывает [40], что массы квантовых состояний струны принимают значения

М2 = т + П-Яг + - № + N - 2), (1.13)

Я2 а'2 а ' v '

где N и N являются операторами правых и левых осцилляторных мод струны. Вдоль компактифицированного измерения центр масс струны может иметь т.н. КК импульс, за что отвечает число т. Также в спектре присутствует потенциальная энергия струны, обернутой вокруг окружности, за соответствующий вклад отвечает число намотки п.

В этой формуле можно мгновенно заметить, что квадрат массы квантового состояния струны (1.13) инвариантен относительно Z2 преобразования

а

т ^ п, Я , (1.14)

Я

что является всем известной радиальной симметрией струны при компактифи-кации. Данное преобразование имеет четкое физическое значение: в пределе декомпактификации Я ^ оо спектр КК состояний становится непрерывным, тогда как моды намотки становятся бесконечно тяжелыми и соответственно не могут возбуждаться. Наоборот, в пределе Я ^ 0 ситуация обратная, теперь число мод намотки становится непрерывным. Две струны скомпактифицированные на окружности с Т-дуальными радиусами Я и ^ имеют одинаковые спектры, в которых роли КК мод и мод намотки меняются местами. Также отметим, что существует самодуальный радиус Я3 = \[а, совпадающий со струнным масштабом. Этот факт говорит о том, что теория струн возможно имеет смысл только на расстояниях заведомо больших данного масштаба.

Далее можно рассмотреть полную статсумму теории струн с геометрией в

виде суммы по поверхностям всех родов. Тогда можно показать, что спектры Т-дуальных теорий совпадают во всех порядках теории возмущений [8].

1.3.2 Процедура Бушера

Мы рассмотрели действие Т-дуальности с точки зрения энергетического спектра струны. Интерес представляет вопрос: как Т-дуальность влияет на действие струнной сигма-модели. Рассмотрим самый традиционный подход, сформулированный в [15-17].

Несмотря на то, что данный подход по своей сути работает на классическом уровне струны, он может быть сформулирован с точки зрения континуального интеграла уже для квантовой струны. В качестве отправной точки рассмотрим действие Полякова бозонной струны в конформной калибовке:

Данное действие написано в терминах комплексных координат на мировом листе. Метрика дтп и антисимметричное поле Ьтп здесь играют роль констант связи в сигма-модели.

Предположим, что данный фон инвариантен относительно сдвигов вдоль вектора кт(х) в пространстве-времени. Это означает, что вектор кт удовлетворяет уравнению Киллинга, и производные Ли вдоль него от любых фоновых полей (таких как поле Ьтп и дтп) зануляются. Выберем координаты {х1,хг}, г > 1 таким образом, чтобы при симметрии, сдвигающей координату х1, действие можно было записать в следующем виде:

где 1тп = дтп+Ьтп, и фоновые поля не зависят от координаты х1. Также сделаем

(1.15)

Б' = J [дпАЛ + 11гЛдхг + 1%1дх1А + 1г]Зхгдх* + Х1(ЗЛ - дЛ)], (1.16)

замену

(дх1,дх1) ^ (А, А), (1.17)

где (А, А) есть вспомогательное векторное поле на мировом листе. Данная замена обозначений может быть интерпретирована [8] как калибрование сдвиговой симметрии в изначальной сигма-модели с константой связи для калибровочного поля А.

Последнее слагаемое в (1.16) накладывает ограничение Г = ¿А = 0 через уравнение движения для Лагранжева множителя х1. Это ограничение может быть непосредственно разрешено (на топологически тривиальной поверхности), если предположить, что А является производной от скалярной функции. Данное предположение заменяет собой поворот стрелки в (1.17), при котором мы получаем исходную сигма-модель (1.15). С другой стороны, исключая калибровочные поля через их собственные уравнения движения,

A = g111 (Oxi - 1цдх{), A = -g— (дХ1 + l1idxl),

(1.18)

мы получаем дуальную теорию с действием

S" = f d2z [gmn(x) + bmn(x)] dymdyn, (1.19)

записанном в координатах ym = {x1,xi}. Лагранжев множитель из (1.16) ведет себя как дуальная координата, и дуальная теория опять имеет изометрию в направлении x1. Дуальные поля связаны с первоначальными полями следующим образом:

g11 = (gn)"1, Ян = (gn)"1 b1i, b1i = (gn)"1 g1i,

(1.20)

gij = gij - (gn)"1 (gng1j + b^by), bj = bj - (gn)"1 (gnhj + b^g^).

Данная процедура может быть проделана в ковариантном виде, без перехода к адаптированной системе координат. Выражения для дуальных полей тогда будут выражаться через вектор Киллинга кт [41].

Более того, предыдущие действия могут быть выполнены аналогично на квантовом уровне. От поля А можно избавиться, выделяя полный квадрат с полем А в континуальном интеграле

и вычисляя гауссов интеграл. Мы получаем, конечно, одинаковый результат с (1.20), однако интегрирование по векторному полю приносит нетривиальный Якобиан, что интерпретируется как перенормировка струнной константы связи, т.е. приводит к сдвигу дилатона [16]:

Данный сдвиг дилатона согласуется с результатом, полученным через подсчет статсуммы в [41].

Конкретные педагогические примеры бозонной Т-дуальности, а именно нетривиальное изменение геометрии системы при последовательном действии цепочки Т-дуальностей в различных направлениях, подробно разобраны в [42].

1.4 Абелева фермионная Т-дуальность

Бозонная Т-дуальность устанавливает важную связь между различными Э-бранами в теории струн типа II, поэтому она много лет была центральным местом изучения в теории струн. Для применения бозоной Т-дуальности необходимо наличие изометрии пространства-времени. Фермионная Т-дуальность, как симметрия на древесном уровне, подразумевает перенос этого принципа на суперпространство. Если мы рассматриваем сигма модель Грина-Шварца (ГШ),

(1.21)

(1.22)

описывающую вложение мирового листа струны в суперпространство типа II, тогда можно провести фермионный аналог процедуры Бушера, при этом также произойдет переобозначение констант связи в сигма модели. Необходимым условием для фермионной дуальности является сохранение суперсимметрии, параметризуемой спинорами Киллинга (е,е), генерирующими абелеву подгруппу группы суперсимметрии. Далее мы рассматриваем только N = 2 теории, поэтому используем пару генераторов суперсимметрии.

Фермионная Т-дуальность изначально была разработана как основа А(Б5 х Б5 самодуальности, при этом она является важной частью описания со стороны теории струн соответствия Амплитуда/Петля Вильсона, т.е. симметрии амплитуд рассеяния в N = 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса. С точки зрения теории струн это соответствие означает самодуальность А(Б5 х Б5 относительно определенного набора Т-дуальностей, переводящих струнную конфигурацию, соответствующую Амплитуде, в струнную конфигурацию, соответствующую Петле Вильсона [43]. Кроме бозонных Т-дуальностей в [43] понадобилось применить также абелевы фермионные Т-дуальности, чтобы достичь самодуальности [44,45].

Выделим некоторые свойства фермионной Т-дуальности. Во-первых, это не полная симметрия теории струны, так как она нарушается в первой петле по д8. Это происходит из-за наличия нулевых фермионных мод в континуальном интеграле при рассмотрении на топологически нетривиальных поверхностях, что приводит к занулению континуального интеграла. Квантовые особенности фермионной Т-дуальности были разобраны в [46]. Во-вторых, правила преобразования фоновых полей, следующие из фермионной процедуры Бушера, сильно отличаются от обычных правил бозонной Т-дуальности. Фермионная Т-дуальность не меняет N8^8 сектор полей, кроме дилатона, который получает добавку

Ф' = Ф + С, (1.23)

где С определяется парой спиноров Киллинга (е,е), параметризующих ферми-онные изометрии. Это преобразование очень похоже на то, как меняется дила-тон при бозонной Т-дуальности, но знак перед логарифмом противоположен. Именно эта разница и позволяет установить самодуальность А(Б5 хБ5, что было изначальной мотивацией для развития формализма фермионной Т-дуальности. Что касается бозонных полей в Я-Я секторе, их преобразование может быть записано в терминах биспинора Еав:

еФ' Г'ав = еФрав + тС-1еа Ф. (1.24)

Биспинор Еав есть сумма сверток всех Я-Я форм в теории с антисимметризо-ванными произведениями гамма-матриц. Далее мы более подробно рассмотрим это выражение в формализме чистых спиноров.

Важное свойство абелевой фермионной Т-дуальности заключается в том, что она может быть выполнена только с комплексными спинорами Киллинга. Это означает, что результирующий фон будет комплексным решением супергравитации. Это свойство справедливо и в неабелевом случае, что мы и будем наблюдать в главе (2).

Важным моментом для понимания фермионной Т-дуальности является её согласованная формулировка как групповой симметрии [47], по аналогии с группой 0((,() в представлении обычной бозонной Т-дуальности.

1.4.1 Фермионная процедура Бушера

Обсудим более подробно фермионную Т-дуальность в виде, сформулированном в [44]. Рассмотрим суперсимметричную сигма-модель, описывающую струну, распространяющуюся в суперпространстве с координатами (хт,ва), где хт и 9а есть бозонная и фермионная координаты соответственно. Пусть действие на мировом листе инвариантно относительно сдвига конкретной фермионной

координаты О1 на постоянный фермионный параметр р:

в1 ^ О1 + р, хт ^ хт, Оа ^ Оа, а Ф 1. (1.25)

Такая инвариантность подразумевает, что О1 входит в действие только через свои производные. Не акцентируя внимания на виде действия (Грина-Шварца или в формализме чистых спиноров), запишем его в схематическом виде, достаточном для наших целей:

5 = J ¿2х )дв1дв1 + Ьшдв1дZм + Ьм ^мдв1 + Ьмм(^)дZMдZN],

(1.26)

где Zм = (хт,ва),а Ф 1, а константы связи сигма-модели формируют суперполе ЬMN (X) = GMN (X) + БMN (X), где слагаемые являются тензорами со следующими правилами перестановки индексов:

GмN = (-)^ GNM, БмN = -(-)^ БNM

-1 М^ фермионные индексы, (1.27)

+1 остальные.

(-)

MN _

Все фоновые поля являются компонентами этих суперполей.

Это преобразование, действуя на суперполе ЬMN, приводит к преобразованию суперсимметрии его компонент с параметром суперсимметрии (спинором Киллинга) [48,49]. Поэтому мы можем думать о супергравитации, получающейся из решений полевых уравнений для компонент ЬмN с соответствующим спинором Киллинга еа. Это будет начальной точкой для фермионного аналога процедуры Бушера и, соответственно, для фермионного аналога Т-дуальности.

Мы предполагаем, что преобразование суперсимметрии действует простыми сдвигами определенной фермионной координаты в суперпространстве (1.25). Это означает, что спинор Киллинга постоянный. Однако, это не всегда выполнимо для нетривиальных супергравитационных фонов. Чтобы полностью убе-

диться в справедливости подхода выше, нужно продемонстрировать, что такой выбор координат допустим для более нетривиальных спиноров Киллинга. В общем случае фермионную процедуру Бушера нужно проводить с общим спинором Киллинга по аналогии с тем, как общий вектор Киллинга использовался для описания бозонной Т-дуальности в ковариантном виде в [41].

Для ненулевого Б11 в (1.26) мы можем использовать процедуру Бушера, применяя Т-дуальность вдоль фермионной координаты в1, действуя аналогично обычной Т-дуальности. Введем два дополнительных векторных поля (А, А) и скаляр в1, который является Лагранжевым множителем, накладывая зануление тензора напряженности потенциала А:

где мы заменили производные в1 на векторное поле так же, как и в бозонном случае. Заметим, что поле А является фермионным.

Интегрируя по Лагранжеву множителю, мы получаем эквивалентность действий Б' и Б, поскольку на топологически тривиальной римановой поверхности (А = 0 означает, что А = (в1. Здесь под топологически тривиальной поверхностью мы понимаем отсутствие не стягивающихся в точку петель, то есть мы рассматриваем древесный уровень теории струн. Рассмотрение поверхностей более высокого рода проблематично, поэтому существуют определенные трудности в определении фермионной Т-дуальности за пределами древесного уровня.

Проинтегрируем по фермионному векторному полю А, откуда получим такую же сигма-модель как в (1.26), но с дуальной фермионной координатой

Б' = (2х [Бп^ )АА + Ьш AдZм + Ьы )д2м А +Ьмм(^^мдZм + е\дА - дА)],

(1.28)

О1 ^ О1:

5'' = J £ г [Б'п^ )дв1дв1 + Ь1м дв1дZм + Ьм х(2 ^м ЗО1 + Ь'MN (Z )дZм дZN ]

Данные правила преобразования выглядят практически как правила для обычной Т-дуальности (1.20), но они теперь записаны в терминах суперполей, а не в терминах метрики и Ь-поля. Поэтому правила, записанные в терминах компонентов суперполей, будут сильно отличаться. Понятно, что это сильно зависит от действия сигма-модели, с которым мы работаем, и далее мы рассмотрим струну в формализме чистых спиноров.

Важные отличия от бозонной Т-дуальности возникают из-за фермионной природы дополнительного векторного поля и дуализируемой координаты. Во-первых, мы получаем противоположный знак (1.22) у добавки к дилатону:

Это ведет к возможности самодуальности Л(Б5 х 55, что и было изначальной мотивацией введения фермионной Т-дуальности: сдвиг дилатона от серии бо-зонных Т-дуальностей сокращается с аналогичным сдвигом от серии ферми-онных Т-дуальностей [44, 45]. Во-вторых, имеется важная разница в знаке в уравнениях движения для поля Л, следующих из (1.28):

(1.29)

и с новыми Т-дуальными полями

(1.30)

(1.31)

дв1 = БпЛ + Ьм lдZм,

ддв1 = Б11Л - (-1)*(м)Ь1мдzм,

(1.32)

где в(Ы) равна нулю, когда М-бозонный индекс, и единице, если он ферми-

Далее, когда мы рассмотрим формализм чистых спиноров, мы увидим важные следствия этого различия в знаке. А именно, что в отличие от бозонной Т-дуальности фермионная не меняет местами IIA и IIB теории, и, как следствие, не изменяет размерность D-бран в этих теориях.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Астраханцев Лев Николаевич, 2023 год

Литература

[1] M. B. Green, J. Schwarz, and E. Witten, Superstring theory. Vol. 1: Introduction. Cambridge University Press, Cambridge, England, 1987.

[2] M. B. Green, J. Schwarz, and E. Witten, Superstring theory. Vol. 2: Loop amplitudes, anomalies and phenomenology. Cambridge University Press, Cambridge, England, 1987.

[3] C. Hull and P. Townsend, "Unity of superstring dualities," Nucl.Phys. B438 (1995) 109-137, arXiv:hep-th/9410167 [hep-th].

[4] E. Witten, "String theory dynamics in various dimensions," Nucl.Phys. B443 (1995) 85-126, arXiv:hep-th/9503124 [hep-th].

[5] C. Vafa, "Lectures on strings and dualities," arXiv:hep-th/9702201 [hep-th].

[6] J. Polchinski, "Dirichlet branes and Ramond-Ramond charges," Phys.Rev.Lett. 75 (1995) 4724-4727, arXiv:hep-th/9510017 [hep-th].

[7] C. Johnson, D-branes. Cambridge University Press, Cambridge, England, 2002.

[8] A. Giveon, M. Porrati, and E. Rabinovici, "Target space duality in string theory," Phys.Rept. 244 (1994) 77-202, arXiv:hep-th/9401139 [hep-th].

[9] K. Kikkawa and M. Yamasaki, "Casimir effects in superstring theories," Phys.Lett. B149 (1984) 357.

[10] N. Sakai and I. Senda, "Vacuum energies of string compactified on torus," Prog.Theor.Phys. 75 (1986) 692.

[11] K. Narain, "New heterotic string theories in uncompactified dimensions < 10," Phys.Lett. B169 (1986) 41.

[12] K. Narain, M. Sarmadi, and E. Witten, "A note on toroidal compactification of heterotic string theory," Nucl.Phys. B279 (1987) 369.

[13] A. Giveon, E. Rabinovici, and G. Veneziano, "Duality in string background space," Nucl.Phys. B322 (1989) 167.

[14] A. D. Shapere and F. Wilczek, "Selfdual models with theta terms," Nucl.Phys. B320 (1989) 669.

[15] T. Buscher, "Quantum corrections and extended supersymmetry in new sigma models," Phys.Lett. B159 (1985) 127.

[16] T. Buscher, "Path integral derivation of quantum duality in nonlinear sigma models," Phys.Lett. B201 (1988) 466.

[17] T. Buscher, "A symmetry of the string background field equations," Phys.Lett. B194 (1987) 59.

[18] S.-J. Rey, "The confining phase of superstrings and axionic strings," Phys.Rev. D43 (1991) 526-538.

[19] A. Font, L. E. Ibanez, D. Lust, and F. Quevedo, "Strong - weak coupling duality and nonperturbative effects in string theory," Phys.Lett. B249 (1990) 35-43.

[20] A. Sen, "Electric magnetic duality in string theory," Nucl.Phys. B404 (1993) 109-126, arXiv:hep-th/9207053 [hep-th].

[21] J. H. Schwarz, "Covariant field equations of chiral N=2 D=10 supergravity," Nucl.Phys. B226 (1983) 269.

[22] E. Bergshoeff, C. M. Hull, and T. Ortin, "Duality in the type II superstring effective action," Nucl.Phys. B451 (1995) 547-578, arXiv:hep-th/9504081 [hep-th].

[23] D. H. Friedan, "Nonlinear models in two + epsilon dimensions," Annals Phys. 163 (1985) 318. Ph.D. Thesis.

[24] E. S. Fradkin and A. A. Tseytlin, "Renormalizable Asymptotically Free Quantum Theory of Gravity," Phys. Lett. B 104 (1981) 377-381.

[25] E. S. Fradkin and A. A. Tseytlin, "One Loop Beta Function in Conformal Supergravities," Nucl. Phys. B 203 (1982) 157-178.

[26] E. Fradkin and A. A. Tseytlin, "Effective field theory from quantized strings," Phys.Lett. B158 (1985) 316. Revised version of Print-84-0928.

[27] E. S. Fradkin and A. A. Tseytlin, "CONFORMAL SUPERGRAVITY," Phys. Rept. 119 (1985) 233-362.

[28] E. S. Fradkin and A. A. Tseytlin, "Effective Action Approach to Superstring Theory," Phys. Lett. B 160 (1985) 69-76.

[29] E. S. Fradkin and A. A. Tseytlin, "Quantum String Theory Effective Action," Nucl. Phys. B 261 (1985) 1-27. [Erratum: Nucl.Phys.B 269, 745-745 (1986)].

[30] C. G. Callan, Jr., E. Martinec, M. Perry, and D. Friedan, "Strings in background fields," Nucl.Phys. B262 (1985) 593.

[31] J. Polchinski, String theory. Vol. 1: An introduction to the bosonic string. Cambridge University Press, Cambridge, England, 1998.

[32] T. Ortin, "Gravity and strings,". ISBN: 0521824753.

[33] N. Obers and B. Pioline, "U duality and M theory," Phys.Rept. 318 (1999) 113-225, arXiv:hep-th/9809039 [hep-th].

[34] J. M. Maldacena and J. G. Russo, "Large N limit of noncommutative gauge theories," JHEP 9909 (1999) 025, arXiv:hep-th/9908134 [hep-th].

[35] M. Alishahiha, Y. Oz, and M. Sheikh-Jabbari, "Supergravity and large N noncommutative field theories," JHEP 9911 (1999) 007, arXiv:hep-th/9909215 [hep-th].

[36] R.-G. Cai and N. Ohta, "On the thermodynamics of large N noncommutative superYang-Mills theory," Phys.Rev. D61 (2000) 124012, arXiv:hep-th/9910092 [hep-th].

[37] O. Lunin and J. M. Maldacena, "Deforming field theories with U(1) x U(1) global symmetry and their gravity duals," JHEP 0505 (2005) 033, arXiv:hep-th/0502086 [hep-th].

[38] U. Gursoy and C. Nunez, "Dipole deformations of N=1 SYM and supergravity backgrounds with U(1) x U(1) global symmetry," Nucl.Phys. B725 (2005) 45-92, arXiv:hep-th/0505100 [hep-th].

[39] D. S. Berman and L. C. Tadrowski, "M-theory brane deformations," Nucl.Phys. B795 (2008) 201-229, arXiv:0709.3059 [hep-th].

[40] D. Tong, "String theory," arXiv:0908.0333 [hep-th].

[41] E. Alvarez, L. Alvarez-Gaume, J. Barbon, and Y. Lozano, "Some global aspects of duality in string theory," Nucl.Phys. B415 (1994) 71-100, arXiv:hep-th/9309039 [hep-th].

[42] J. Shelton, W. Taylor, and B. Wecht, "Nongeometric flux compactifications," JHEP 0510 (2005) 085, arXiv:hep-th/0508133 [hep-th].

[43] L. F. Alday and J. M. Maldacena, "Gluon scattering amplitudes at strong coupling," JHEP 0706 (2007) 064, arXiv:0705.0303 [hep-th].

[44] N. Berkovits and J. Maldacena, "Fermionic T-duality, dual superconformal symmetry, and the amplitude/Wilson loop connection," JHEP 0809 (2008) 062, arXiv:0807.3196 [hep-th].

[45] N. Beisert, R. Ricci, A. A. Tseytlin, and M. Wolf, "Dual superconformal symmetry from AdS(5) x S**5 superstring integrability," Phys.Rev. D78 (2008) 126004, arXiv:0807.3228 [hep-th].

[46] P. Grassi and A. Mezzalira, "Aspects of quantum fermionic T-duality," JHEP 1105 (2011) 019, arXiv:1101.5969 [hep-th]. * Temporary entry *.

[47] P. Fre, P. A. Grassi, L. Sommovigo, and M. Trigiante, "Theory of superdualities and the orthosymplectic supergroup," Nucl.Phys. B825 (2010) 177-202, arXiv:0906.2510 [hep-th].

[48] J. Wess and J. Bagger, Supersymmetry and supergravity. 1992.

[49] M. Blau, J. M. Figueroa-O'Farrill, C. Hull, and G. Papadopoulos, "A new maximally supersymmetric background of IIB superstring theory," JHEP 0201 (2002) 047, arXiv:hep-th/0110242 [hep-th].

[50] N. Berkovits, "ICTP lectures on covariant quantization of the superstring," arXiv:hep-th/0209059 [hep-th].

[51] L. J. Romans, "Massive N=2a Supergravity in Ten-Dimensions," Phys. Lett. B 169 (1986) 374.

[52] O. A. Bedoya and N. Berkovits, "GGI Lectures on the Pure Spinor Formalism of the Superstring," arXiv:0910.2254 [hep-th].

[53] Y. Oz, "The pure spinor formulation of superstrings," Class.Quant.Grav. 25 (2008) 214001, arXiv:0910.1195 [hep-th].

[54] L. Mazzucato, "Superstrings in AdS," arXiv:1104.2604 [hep-th]. * Temporary entry *.

[55] P. Grassi, G. Policastro, and P. van Nieuwenhuizen, "An introduction to the covariant quantization of superstrings," Class.Quant.Grav. 20 (2003) S395-S410, arXiv:hep-th/0302147 [hep-th].

[56] X. C. de la Ossa and F. Quevedo, "Duality symmetries from nonAbelian isometries in string theory," Nucl.Phys. B403 (1993) 377-394, arXiv:hep-th/9210021 [hep-th].

[57] E. Alvarez, L. Alvarez-Gaume, and Y. Lozano, "An Introduction to T duality in string theory," Nucl. Phys. B Proc. Suppl. 41 (1995) 1-20, arXiv:hep-th/9410237.

[58] Y. Lozano, "NonAbelian duality and canonical transformations," Phys.Lett. B355 (1995) 165-170, arXiv:hep-th/9503045 [hep-th].

[59] K. Sfetsos and D. C. Thompson, "On non-abelian T-dual geometries with Ramond fluxes," Nucl.Phys. B846 (2011) 21-42, arXiv:1012.1320 [hep-th].

[60] R. Benichou, G. Policastro, and J. Troost, "T-duality in Ramond-Ramond backgrounds," Phys.Lett. B661 (2008) 192-195, arXiv:0801.1785 [hep-th].

[61] C. Klimcik, "Poisson-Lie T duality," Nucl. Phys. B Proc. Suppl. 46 (1996) 116-121, arXiv:hep-th/9509095.

[62] C. Klimcik and P. Severa, "Dual nonAbelian duality and the Drinfeld double," Phys. Lett. B 351 (1995) 455-462, arXiv:hep-th/9502122.

[63] C. Klimcik and P. Severa, "Poisson-Lie T duality and loop groups of Drinfeld

doubles," Phys. Lett. B372 (1996) 65-71, arXiv:hep-th/9512040 [hep-th].

[64] E. Cremmer, B. Julia, H. Lu, and C. Pope, "Dualization of dualities. 1.," Nucl.Phys. B523 (1998) 73-144, arXiv:hep-th/9710119 [hep-th].

[65] E. Cremmer, B. Julia, H. Lu, and C. N. Pope, "Dualization of dualities. 2. Twisted self-duality of doubled fields, and superdualities," Nucl. Phys. B 535 (1998) 242-292, arXiv:hep-th/9806106.

[66] K. Dasgupta, O. J. Ganor, and G. Rajesh, "Vector deformations of N=4 superYang-Mills theory, pinned branes, and arched strings," JHEP 04 (2001) 034, arXiv:hep-th/0010072.

[67] K. Dasgupta and M. M. Sheikh-Jabbari, "Noncommutative dipole field theories," JHEP 02 (2002) 002, arXiv:hep-th/0112064.

[68] A. Bergman, K. Dasgupta, O. J. Ganor, J. L. Karczmarek, and G. Rajesh, "Nonlocal field theories and their gravity duals," Phys. Rev. D 65 (2002) 066005, arXiv:hep-th/0103090.

[69] M. Alishahiha and O. J. Ganor, "Twisted backgrounds, PP waves and nonlocal field theories," JHEP 03 (2003) 006, arXiv:hep-th/0301080.

[70] A. Hashimoto and N. Itzhaki, "Noncommutative Yang-Mills and the AdS / CFT correspondence," Phys. Lett. B 465 (1999) 142-147, arXiv:hep-th/9907166.

[71] E. Imeroni, "On deformed gauge theories and their string/M-theory duals," JHEP 0810 (2008) 026, arXiv:0808.1271 [hep-th].

[72] I. Bakhmatov and E. T. Musaev, "Classical Yang-Baxter equation from в-supergravity," JHEP 01 (2019) 140, arXiv:1811.09056 [hep-th].

[73] D. Orlando, S. Reffert, Y. Sekiguchi, and K. Yoshida, "O(d,d) transformations preserve classical integrability," Nucl. Phys. B 950 (2020) 114880, arXiv:1907.03759 [hep-th].

[74] I. Bena, J. Polchinski, and R. Roiban, "Hidden symmetries of the AdS(5) x S**5 superstring," Phys. Rev. D69 (2004) 046002, arXiv:hep-th/0305116 [hep-th].

[75] C. Klimcik, "Yang-Baxter sigma models and dS/AdS T duality," JHEP 12 (2002) 051, arXiv:hep-th/0210095 [hep-th].

[76] C. Klimcik, "On integrability of the Yang-Baxter sigma-model," J. Math. Phys. 50 (2009) 043508, arXiv:0802.3518 [hep-th].

[77] F. Delduc, M. Magro, and B. Vicedo, "On classical q-deformations of integrable sigma-models," JHEP 11 (2013) 192, arXiv:1308.3581 [hep-th].

[78] F. Delduc, M. Magro, and B. Vicedo, "An integrable deformation of the AdS5 x S5 superstring action," Phys. Rev. Lett. 112 no. 5, (2014) 051601, arXiv:1309.5850 [hep-th].

[79] G. Arutyunov, R. Borsato, and S. Frolov, "S-matrix for strings on n-deformed AdS5 x S5," JHEP 04 (2014) 002, arXiv:1312.3542 [hep-th].

[80] G. Arutyunov, R. Borsato, and S. Frolov, "Puzzles of n-deformed AdS5x S5," JHEP 12 (2015) 049, arXiv:1507.04239 [hep-th].

[81] G. Arutyunov, S. Frolov, B. Hoare, R. Roiban, and A. Tseytlin, "Scale invariance of the n-deformed AdS5 x S5 superstring, T-duality and modified type II equations," Nucl. Phys. B 903 (2016) 262-303, arXiv:1511.05795 [hep-th].

[82] B. Hoare and A. A. Tseytlin, "Type IIB supergravity solution for the T-dual of the n-deformed AdSsx S5 superstring," JHEP 10 (2015) 060, arXiv:1508.01150 [hep-th].

[83] B. Hoare and A. A. Tseytlin, "On integrable deformations of superstring sigma models related to AdSn x Sn supercosets," Nucl. Phys. B897 (2015) 448-478, arXiv:1504.07213 [hep-th].

[84] Y. Sakatani, S. Uehara, and K. Yoshida, "Generalized gravity from modified DFT," JHEP 04 (2017) 123, arXiv:1611.05856 [hep-th].

[85] D. S. Berman, M. Cederwall, A. Kleinschmidt, and D. C. Thompson, "The gauge structure of generalised diffeomorphisms," arXiv:1208.5884 [hep-th].

[86] O. Hohm and B. Zwiebach, "On the Riemann Tensor in Double Field Theory," JHEP 1205 (2012) 126, arXiv:1112.5296 [hep-th].

[87] O. Hohm, S. K. Kwak, and B. Zwiebach, "Double Field Theory of Type II Strings," JHEP 09 (2011) 013, arXiv:1107.0008 [hep-th].

[88] R. Borsato and L. Wulff, "Non-abelian T-duality and Yang-Baxter deformations of Green-Schwarz strings," JHEP 08 (2018) 027, arXiv:1806.04083 [hep-th].

[89] M. Hatsuda, K. Kamimura, and W. Siegel, "Superspace with manifest T-duality from type II superstring," JHEP 06 (2014) 039, arXiv:1403.3887 [hep-th].

[90] I. Bandos, "Superstring in doubled superspace," Phys. Lett. B 751 (2015) 408-412, arXiv:1507.07779 [hep-th].

[91] I. Bandos, "Type II superstring in doubled superspace," Fortsch. Phys. 64 (2016) 361-362.

[92] P. S. Howe and P. C. West, "The Complete N=2, D=10 Supergravity," Nucl. Phys. B 238 (1984) 181-220.

[93] J. L. Carr, S. J. Gates, Jr., and R. N. Oerter, "D = 10, N=2a Supergravity in Superspace," Phys. Lett. B 189 (1987) 68-74.

[94] L. Wulff, "The type II superstring to order 94," JHEP 07 (2013) 123, arXiv:1304.6422 [hep-th].

[95] O. Hohm, C. Hull, and B. Zwiebach, "Generalized metric formulation of double field theory," JHEP 1008 (2010) 008, arXiv:1006.4823 [hep-th].

[96] F. J. Rudolph, Duality Covariant Solutions in Extended Field Theories. PhD thesis, Queen Mary, U. of London, 2016. arXiv:1610.03440 [hep-th].

[97] G. Dibitetto, J. Fernandez-Melgarejo, D. Marques, and D. Roest, "Duality orbits of non-geometric fluxes," arXiv:1203.6562 [hep-th].

[98] G. W. Gibbons and C. M. Hull, "A Bogomolny Bound for General Relativity and Solitons in N=2 Supergravity," Phys. Lett. B 109 (1982) 190-194.

[99] K. p. Tod, "All Metrics Admitting Supercovariantly Constant Spinors," Phys. Lett. B 121 (1983) 241-244.

[100] K. Lee and J.-H. Park, "Covariant action for a string in "doubled yet gauged" spacetime," Nucl. Phys. B 880 (2014) 134-154, arXiv:1307.8377 [hep-th].

[101] K. Morand and J.-H. Park, "Classification of non-Riemannian doubled-yet-gauged spacetime," Eur. Phys. J. C 77 no. 10, (2017) 685, arXiv:1707.03713 [hep-th]. [Erratum: Eur.Phys.J.C 78, 901 (2018)].

[102] G. Dibitetto, A. Guarino, and D. Roest, "Exceptional Flux Compactifications," JHEP 1205 (2012) 056, arXiv:1202.0770 [hep-th].

[103] I. Jeon, K. Lee, and J.-H. Park, "Stringy differential geometry, beyond Riemann," Phys.Rev. D84 (2011) 044022, arXiv:1105.6294 [hep-th].

[104] I. Bakhmatov and D. S. Berman, "Exploring fermionic T-duality," Nucl.Phys. B832 (2010) 89-108, arXiv:0912.3657 [hep-th].