Аспекты д-бран в теории струн тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Барабанщиков, Александр Владимирович

• Барабанщиков, Александр Владимирович
• кандидат наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат наук Барабанщиков, Александр Владимирович

СОДЕРЖАНИЕ

Благодарность IV

Содержание V

Список Рисунков УИ

1 Введение

1.1 Немного истории

1.2 Квантовая теория поля как наиболее подходящий формализм для описания фундаментальных взаимодействий

1.3 Почему теория струн?

2 Теория Струн

2.1 Бозонные струны

2.2 Фермионные струны

2.3 Масштабная инвариантность и конформная симметрия

2.4 Суперсимметрия

2.5 Взаимодействия струн

2.6 Дуальности и Д-браны

2.7 Низкоэнергетическое эффективное действие

2.8 АдС/КТП соответствие

2.9 Действие для Д-бран, диэлектрический эффект и гигантские гравитоны

3 Сигма Модели

3.1 Струны в фоновых полях

3.2 Ковариантное разложение по фоновым полям

3.3 Вычисление бета-функции

3.4 Сигма модели с фермионами

3.5 Двухпетлевые гравитационные поправки

3.6 Случай N совпадающих Д-бран

3.7 ЯФ4 поправки к эффективному действию

3.8 Заключение

Список литературы

УИ

СПИСОК РИСУНКОВ

Рисунок 1. Константы связи и(1), 811(2) и 811(3) как функции энергии

Рисунок 2. Движение струны в пространстве

Рисунок 3. Открытая струна с кварком и анти-кварком на концах

Рисунок 4. Взаимодействие струн

Рисунок 5. Процесс рассеяния струн:

а) на мировой поверхности

б) в представлении вертексными операторами

Рисунок 6. Струны заканчивающиеся на Д-бране

Рисунок 7. Струны заканчивающиеся на разных Д-бранах

Рисунок 8. Эмиссия закрытой струны с Д-браны

Рисунок 9. Однопетлевые поправки к вершине на границе

Рисунок 10. Двухпетлевая диаграмма с ненулевым вкладом по 1пЛ

Рисунок 11 Двухпетлевая диаграмма с фермионами с ненулевым вкладом

1пЛ

Рисунок 12. Однопетлевая диаграмма с граничными фермионами

Рисунок 13. Двухпетлевой вклад в 7>^ДФ'',ФУ][Ф*,Ф/]

Рисунок 14. Двухпетлевая диаграмма с фермионами дающая вклад в

ТгЯт1[Ф\Ф]][Фк,Ф'\

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аспекты д-бран в теории струн»

1 Введение

1.1 Немного истории

Объединение фундаментальных взаимодействий в непротиворечивую и экспериментально проверяемую "теорию всего"— это очень амбициозная задача современной физики. Сегодня мы различаем четыре основных взаимодействия в природе: гравитационное, электромагнитное, сильное и слабое. Гравитационные силы действуют на массивные объекты и были первыми силами доступными эксперименту и наблюдению. Они довольно просто описываются в рамках классической механики Ньютона. Электромагнитные силы действуют на заряженные объекты и описываются классической электродинамикой созданной в 19-ом веке. Остальные два взаимодействия: сильное и слабое были открыты в 20-ом веке при изучении радиоактивного распада. В отличие от гравитационного и электромагнитного, сильное и слабое взаимодействия существенны только на малых расстояниях.

Квантовая механика и Эйнштейновская теория относительности позволили более глубокое понимание фундаментальных сил. Сильные, электромагнитные и слабые взаимодействия теперь хорошо изучены. В 1970-ых годах они были объединены в рамках единой квантовой теории поля с локальной калибровочной инвариантностью, стандартной модели (см. [1],[2] для обзора). Гравитация, в отличие от трех других фундамепталь-

I

ных взаимодействий, является свойством самого пространства-времени

(см. [3],[4] для обзора). Объединение гравитации с другими силами оказалось исключительно сложной задачей. Мир теории относительности-это мир массивных объектов и больших расстояний. Три остальные взаимодействия в основном проявляются в системах атомов и элементарных частиц на малых расстояниях. Их разделяют много порядков. Поэтому, трудно даже придумать эксперименты которые бы протестировали единую теорию всех взаимодействий. Оказывается, это не единственное препятствие. Все попытки создать математически непротиворечивую квантовую теорию одной гравитации до сих пор не привели к успеху. Теория струн является наиболее сильным кандидатом на единую квантовую теорию гравитации и других взаимодейсвий.

1.2 Квантовая теория поля как наиболее подходящий формализм для описания фундаментальных взаимодейсвий.

Обычно при построении конкретной квантовой теории поля выбирают поля, то есть функции коордииат пространства-времени, а также лагранжиан, функционал из полей и их производных. Поля соответствуют элементарным частицам, а лагранжиан описывает их динамику. Априори лагранжиан может быть произвольным, но чтобы получить реалистичную и математически непротиворечивую теорию нужно наложить определенные ограничения на лагранжиан. Процесс квантования и вычисление

различных процессов содержат много тонкостей, но в конце концов приводят к точным значениям для экспериментально измеряемых величин, таких как сечение рассеяния или время полураспада.

Поля соответствующие элементарным частицам могут быть разных видов. Они могут быть скалярными, векторными, спинорными или даже принимать значения в алгебре Ли. Точнее, они преобразуются по определенным представлениям группы Пуанкаре (симметрия пространства-времени) и, возможно, также по представлению группы скрытой симметрии. Эти представления определяют массу, спин и другие квантовые числа частиц. Симметрии играют ключевую роль в этом формализме. Особенно важными являются так называемые калибровочные преобразования. Различаются глобальные и локальные калибровочные преобразования. Глобальные калибровочные преобразования оставляющие инвариантным лагранжиан динамической системы приводят к существованию сохраняющихся величин, зарядов. Здесь заряды могут означать энергию, импульс, или обычные заряды определяющие интенсивность взаимодействия. Именно эта связь между сохраняющимися квантовыми величинами и глобальными симметриями лагранжиана привела в 1960-ых к поискам теории с глобальной калибровочной инвариантностью описывающей все фундаментальные взаимодействия. Локальная калибровочная инвариантность означает инвариантность лагранжиана с параметром зависящим от координат пространства-времени и требует введения дополнительного поля, калибровочного потенциала.

В 1960-ых Глэшоу, Вайнберг и Салам предложили объединенную теорию слабого и электромагнитного взаимодействий основанного на группе £[/(2) х [¡( 1). Необходимые в этом случае калибровочные потенциалы соответствуют фотону, И/г± и бозонам. Все они были экспериментально обнаружены подтверждая модель. Первая теория объединяющая сильное, слабое и электромагнитное взаимодействия была предложена в 1974-ом году и включала в себя дополнительную группу симметрий, 517(3). Соответствующие калибровочные частицы были названы глюонами.

В заключение, четыре фундаментальные взаимодействия описываются сравнительно несложной стандартной моделью, квантовой теорией основанной на группе Яи (3) х Би (2) х и(1) и общей теорией относительности. Кроме калибровочных бозонов 5£/(3) х Б11(2) х 17(1) со спином 1 определяющих сильные, слабые и электромагнитные взаимодействия в теории есть Хиггсовский бозон со спином 0 нужный для нарушения симметрии, 15 мультиплетов фермионов со спином 1/2 и гравитон со спином 2 определяющий гравитационное взаимодействие. Лагранжиан задающий динамику зависит от двадцати свободных параметров определяемых экспериментально. Эта теория не противоречит ни одному физическому эксперименту вплоть до масштабов 10~16 см. доступных на ускорителе. Почему же ученые продолжают поиски лучшей теории? Во-первых, стандартная модель плюс гравитация не исследованы до конца. Например, не ясно что определяет параметры лагранжиана и возникновение именно таких мультиплетов фермионов и калибровочных полей.

Во-вторых, гравитация как квантовая теория содержит противоречия. Это означает, что лучше понимать ее как низкоэнергетическую эффективную теорию некоторой более фундаментальной непротиворечивой теории с новыми физическими явлениями возникающими при более высоких энергиях. В-третьих, даже в классическом случае теория не работает в сингулярностях общей теории относительности.

Множество идей было предложено чтобы обойти указанные трудности. Одна из теорий, называемая Теорией Великого Объединения, совмещает три калибровочных поля в одном и уменьшает количество независимых параметров. Если мы будем рассматривать константы связи калибровочных групп (7(1), Яи(2) и 81/(3) как функции энергии (для низких энергий) и экстраполируем на экспериментально недостижимый на сегодня участок высоких энергий мы увидим что они пересекаются около 1016 ГэВ (см. Рисунок 1). Это указывает, что, возможно, существует единое объединяющее поле при высоких энергиях. 1016 ГэВ только на несколько порядков меньше, чем масштаб на котором эффекты квантовой гравитации (и теории струн) начинают играть важную роль.

Константа связи

811(3)

п>- 1 о! Iо- ; Энергия,

[ГэВ]

Рисунок 1. Константы связи 11(1), Яи(2) и £77(3) как функции энергаи.

Вторая идея состоит в том что наше пространство-время может иметь более чем четыре измерения. Добавочные измерения могут быть сильно искривлены и ненаблюдаемы при доступных энергиях. Это открывает возможность объединения калибровочных теорий и гравитации с помощью механизма Калуцы и Клейна.

Космологические модели с добавочными измерениями привлекли много внимания (см., например, [5]). Многие модели с добавочными измерениями рассматривают калибровочные поля как живущие на 3+1 мерном подпространстве или бране в пространстве большего числа измерений, в

то время как гравитация действует во всем пространстве.

Еще одним объединяющим принципом служит суперсимметрия (см. [6],[7],[8] для обзора) которая вводит эквивалентность бозонов и фермио-нов. Тем не менее, приложение этих идей не привело к созданию теории более привлекательной чем стандартная модель.

1.3 Почему теория струн?

Сильный прогресс на пути объединения фундаментальных взаимодействий был достигнут при изучении теории с элементарными объектами более высоких измерений, такими как струны и браны. Теория струн (см. [9],[10] для обзора) возникла из так называемых дуальных моделей [11] предложенных в конце 1960-ых для объяснения поведение амплитуд рассеяния адронов. У этой теории одномерных объектов оказалось много достоинств. Несмотря на то, что дуальные модели были заменены в 1970-ых более успешной квантовой хромодинамикой, было открыто, что теория струн содержит безмассовое состояние со спином 2 и является (пертурбативно) непротиворечивой квантовой теорией гравитации. В низкоэнергетическом пределе она сводиться к теории гравитации Эйнштейна. Хорошо известно, что обычная квантовая теория гравитации подвержена расходимостям на малых расстояниях. Струна движущаяся в пространстве заметает поверхность и взаимодействия нескольких струн размазаны в некоторой области устраняя расходимость. Теория струн имеет достаточно сложную структуру и, в частности, содержит калибровочные груп-

пы и представления частиц входящих в стандартную модель. Теория струн не содержит свободных параметров, и, как выяснилось, является единственной теорией такого типа!

В течение долгого времени наше понимание теории струн ограничивалось теорией возмущений. Были известны пять непротиворечивых суперсимметричных теорий струн существовавших в десяти измерениях. Много нового было открыто в этой области за последние несколько лет. Оказалось, что все пять теорий струн на самом деле эквивалентны. Более того, лучше думать о них как об определенных точках в пространстве модулей единственной (скорее всего, 11-мерной) М-теории. Было также открыто, что одномерные объекты не являются единственными фундаментальными объектами в теории. Существуют также протяженные объекты разных размерностей. В частности, Д-браны открытые Польчинс-ким [12], [13] сыграли очень важную роль в нашем понимании дуальностей и непертурбативной динамики теории струн, а также квантовой механики черных дыр.

Долгое время полагалось, что теория струн не представляет интереса для экспериментов и наблюдений. В самом деле, энергетический масштаб теории струн, то есть масштаб массивных частиц равняется примерно 1019 ГэВ. Единственный "ускоритель"который позволяет нам изучать явления при таких энергиях это наша Вселенная! Действительно, космология скорее всего является ключем к проверке теории струн. Теория всех фундаментальных взаимодействий должна была бы, в принципе,

объяснить происхождение Большого взрыва и другие загадки в космологии, такие как исключительная малость космологической постоянной.

Многие космологические модели с добавочными измерениями которые содержат браны могут быть рассмотрены в рамках теории струн. Браны могут быть отождествлены с протяженными солитонными объектами открытыми в теории струн. Следовательно, понимании их динамики имеет большую важность. Одной из целей данной диссертации является изучение гравитационных поправок к низкоэнергетическому эффективному действию для так-называемых Д-бран.

Еще один важный прорыв который стал возможен благодаря открытию Д-бран это АдС/КТП соответствие. Теория струн сначала возникла как теория сильных взаимодействий. Впоследствии, было открыто, что существует другое описание сильных взаимодействий подтверждаемое всеми экспериментальными данными-квантовая хромодинамика (КХД), калибровочная теория основанная на группе Яи(3). КХД особенно полезна в изучении высокоэнергетического поведения сильных взаимодействий, по менее успешна в объяснении низкоэнергетических явлений, таких как конфайнмент. Долгое время существовало подозрение, что вариант теории струн может быть более полезным в объяснении таких явлений [14]. Знаменитое АдС/КТП соответствие предложенное Мальдасеной [15] стало первым примером когда пертурбативно недоступный режим калиб-ровочной теории (при большой величине константы связи) имеет альтер-нативное описание как теория струн с малой константой связи.

2 Теория Струн

2.1 Бозонные струны

В данном разделе мы изложим стандартные идеи описания бозонных и фермионных струн в калибровке светового конуса. Рассмотрим движение струны в пространстве. Струны это одномерные объекты. Двигаясь в пространстве большего числа измерений они заметают двумерную поверхность (Рисунок 2). В этой секции мы ограничемся бозонными струнами.

Рисунок 2. Движение струны в пространстве.

Как и в квантовой теории поля, сначала нужно попытаться написать действие для струны. Вспомним действие описывающее массивную точечную частицу. Как хорошо известно, оно пропорционально собственному

т

времени вдоль мировои линии частицы:

S = —т

ds = —т

I dry/^F*

(1)

Изначально, действие для струны было предложено Намбу [16] и Гото [17] в форме инвариантной площади мировой поверхности струны движущейся в пространстве Минковского:

Здесь Т означает натяжение струны, г = ст0 и а = координаты на мировой поверхности и а), ц = 0,..., Б — 1 определяют отображение двумерного пространства струны в /^-мерное объемлющее "физическое" пространство. Это действие не полиномиально и его не так легко прокван-товать. Вместо этого лучше рассмотреть более простое, но, в некотором смысле, эквивалентное действие Полякова [18], [19],[20].

Здесь Gfll/(X) метрика (не обязательно плоская) в пространстве в котором распространяется струна, haß метрика на мировой поверхности струны и п = 1. Легко видеть, что если GßV(X) метрика Минковского, то это действие сводится к действию Намбу-Гото если воспользоваться уравнениями движения. Действие (3) инвариантно относительно группы Пуанка-

(3)

ре и группы диффеоморфизмов. При п — 1 оно также инвариантно относительно так-называемых преобразований Вейля = Ака/3. Именно эти свойства отличают теорию струн от других теорий протяженных объектов двигающихся в объемлющем пространстве. При п = 1 мы можем использовать инварианитности относительно преобазований Вейля и диффеоморфизмов чтобы привести метрику к простому виду к"13 = = сИад(—1,1). При данном выборе метрики действие для струны движущейся в пространстве Минковского становится особеннно простым:

Уравнения движения для X следующие из данного действия являются волновыми уравнениями

В случае открытых струн мы также должны рассматривать поверхностный член при вариации действия

[Э1 - д2т)Х» = 0.

(5)

(6)

Для струны движущейся свободно в пространстве мы накладываем краевые условия Неймана, и общее решение выглядит так

Х*{а, тг) = х" + /Уг + ilY, -a»e-inTcosna. (7)

пфО п

Здесь I — \/2а' Hi^fiaJ координаты и импульс центра масс струны и осцилляторные моды которые станут операторами после квантования. В случае закрытой струны мы накладываем периодические краевые условия Х^(т, а) = Х^(т, а + тт) и общее решение может быть записано так:

Х»(т, а) = + Х£(а+) = Х^т - а) + ХЦт + о), (8)

Ч = + hV(r + (9)

Z Z Z пф 0П

П = + + ст) + il £ (10)

пфО ^

Хд и X£ описывают моды движущиеся вправо и влево соответственно.

Есть несколько подходов к квантованию теории струн. Каждый из этих подходов имеет свои преимущества и недостатки. Здесь я буду использовать квантование на световом конусе, который не является самым последовательным из методов, но легко приводит к спектру возбуждений. Гамильтониан, следующий из (4), записывается так

Г 1 Т

Н = I da^—P^P, + -д.Х^Х,). (И)

Здесь Р^ = Тд0Х'\ Заменим скобки Пуассона на коммутаторы: [...]рв —» —г[...]. При равных временах коммутационные соотношения становятся

[Р"(а0, а1),Х"((То, °[)] = -г6(аг - (12)

<п), Р"(ао, = [Х»(а0, п), Х"(<70, <,[)} = 0. (13)

Теперь мы можем считать координаты Xм и импульсы квантовыми операторами. Из коммутационных соотношений при равных временах следует что

= (14)

К, ¿¡£] = К, <] = т5т+пг]^ (15)

и

[<,<} = 0- (16)

Естественно проинтерпретировать операторы ам (а также а*1 в случае закрытых струн) с положительными и отрицательными т как понижающие и повышающие операторы. Основное состояние > аннигилируется всеми понижающими операторами и имеет импульс центра масс струны р1*.

Пространство Фока построенное таким образом не является положительно определенным: есть состояния с отрицательной нормой. Чтобы получить физическое пространство состояний нужно уменьшить про-

странство Фока наложив определенные ограничения. Мы начали с теории с локальной калибровочной инвариантностью (диффеоморфизмы и инвариантность Вейля). Самый последоватальный путь квантования систем с калибровочной инвариантностью это, технически довольно сложный метод БРСТ[21],[22]. Вместо этого, мы наложим условия вытекающие из фиксирования калибровки сразу на пространство состояний.

Рассмотрим тензор энергии-импульса полученный из действия (3). По определению

2 1 S 9 1

Taß ее -^j^ß = daX»dßX, - -haßha'P'da,X»dß,X,. (17)

Из уравнений движения 5S/8haii — 0 мы получаем Taß — 0. В пашем случае haß = diag(—1,1) и различные компоненты Taß в системе (<т0, ci) даются

Т00 = Тп = 1(Х2 + Х'2) (18)

Toi — Т\о — X ■ X',

(19)

и в системе (сг+, ст_)

= ■ д-Ха,

т++ = д+х» ■ д+х,

(20) (21)

и

Т+_ = Т_+ = 0. (22)

Давайте теперь рассмотрим разложение по модам связей Та/3 — 0. На самом деле, более удобно анализировать их Фурье компоненты. В случае закрытой струны при сто = 0 получаем

у ртг \ °°

Ьт = - / е"2™-Т__ = - £ ат_п ■ ап + а5т0, (23)

1 ",0 ^ -ос

-Тс* 1 00

е~2™°Т++ = ~ £ йгп-п ■ &П + а6т0. (24)

1 •/0 1 -оо

Для открытой струны эти формулы изменятся. Хь и Хя были определены на интервале (0,7г). Удобно продолжить эту область следующим образом: + тг) = ^¿(и), Хь(а + 7г) = Хц(сг). Теперь X£ и Хц периодичны с периодом 2-к. Для Фурье компонент связей имеем:

("К 1 оо

Ьт = Т у (е™"1 Г++ + = - £ ат_„ • а„ + а<5т0. (25)

^ —оо

Новая константа а зависит от упорядочивания осцилляторных мод Для открытой струны простое следствие уравнения Ь0 = 0 это связь между массой струны в каком-либо состоянии и осцилляторных мод:

оо

-р" ■ Рр = М2 = - (£ а_„а,г - а) (26)

а п= 1

Для закрытых струн аналогичное соотношение

(27)

Следует добавить, что мы еще не использовали все калибровочные симметрии. Остается еще определенная комбинация репараметризации и преобразования Вейля

которая не меняет метрики haß (в нашем случае rjaß). Генераторы этой симметрии это £,+(а+)д/до+ и £+(сг+)9/<9<т+, где and произвольные функции. Остаточная калибровочная симметрия может быть использована чтобы наложить очень удобное дополнительное условие. Сначала введем пространственно-временные координаты светового конуса.

Остаточная симметрия позволяет нам привести Х+ к простому виду

dae,ß + dßia = Krfß,

(28)

Х+ = {Х° + Х°-1)/у/21

(29)

X" = (Х° - XD-l)/y/2.

(30)

Х+{а0,аг) = х+ + р+т.

(31)

Используя связи (18) и (19) мы можем выразить через поперечные Хг. Также, используя разложение по модам для Х~

Х~ = х~ + р~т + г ~а~е-™тсозпсг (32)

пфО П

мы можем выразить а~ через поперечные осцилляторы:

^ ^ £>-2 со

ап= 2 Е И а'п-та'ш ■ ~а6п). (33)

" г=1 т=—оо

Опять неопределенная константа а зависит от упорядочивания. Уравнение для массы принимает вид:

оо

М2 = (2р+р- - рУ) = 2(ЛГ - а) = 2(53 (¿п< - а). (34)

п=1

Фактически, в калибровке светового конуса все возбужденные состояния генерируются поперечными осцилляторными модами агп. Требование инвариантности по отношению к группе Лоренца приводит к а = 1 и И = 26. Таким образом, мы получаем замечательный результат: размерность пространства-времени определяется из непротиворечивости теории!

Основное состояние открытой бозонной струны это тахион поскольку М2 = — 1 /а'. Первое возбужденное состояние это безмассовый вектор «1^0; р > с 24-мя поперечными поляризациями. То, что вакуумное состояние является тахионом обычно свидетельствует о его неустойчивости. Мы увидим далее как избавится от тахионов посредством введения в

теорию фермиоиов. Вакуумное состояние закрытой струны также является тахионом М2 = —А/а'. Из условия Ьо = ¿о которое может быть записано в виде

оо оо

Е = Е й-п«п (35)

п=1 п=1

следует что первый возбужденный уровень имеет массу ноль и имеет следующую форму:

>=а11аг11|0 > . (36)

Это тензорное произведение векторных представлений группы ¿70(24), которое может быть разложено на бесследовую симметричную часть соответствующую гравитону со спином 2, антисимметричную часть соответствующую полю В^ и скал ар соответствующий дилатону Ф. Таким образом, еще одна привлекательная черта теории струн это появление частицы со спином 2.

Поля, которые мы встречали до сих пор были Абелевы. Если мы хотим вывести стандартную модель электромагнитных и сильных взаимодействий, мы должны иметь не-Абелеву симметрию в теории. Один способ ввести не-Абелеву симметрию это добавить новые степени свободы находящиеся на концах открытой струны (Рисунок 3). В самом деле, изначально, в теории струн струна рассматривалась как соединяющая кварк и анти-кварк. Эти новые степени свободы на концах струны называются факторами Чана-Патона [25]. Они могут быть в одном из п состояний обозначенных г и ] на Рисунке 3. Таким образом, у нас появляются п2

тахионов, векторных бозонов и так далее. Каждое состояние может быть разложено через полный базис состояний на концах струны как

|ЛГ;М>= £ (37)

Где А?- эрмитовы матрицы. Оказывается, что безмассовые вектора соответствуют и(п) симметрии.

Рисунок 3. Открытая струна с кварком и анти-кварком на концах. 2.2 Фермионные струны

Как было замечено в предыдущей секции, теория бозонных струн содержит в спектре тахион. Этого можно избежать введя в теорию фермион-

пые поля. Простейшим обобщением такого рода является свободная теория поля со следующим действием

—5

(38)

Здесь ра это двумерные матрицы Дирака удовлетворяющие условию

{/Л/} = -2

(39)

Мы можем выбрать их в слеующей форме

р° =

'о

г О

и г х

,Р =

V

г О

(40)

У

В этом базисе компоненты спинора -0 будут записываться как .

Обе компоненты действительны и антикоммутируют. Уравнением движения для фермионов является уравнение Дирака рада'ф = 0. В компонентах ^ оно запишется так:

да ^ дт } ^ \ до дт;

(41)

Таким образом, и ф+ описывают моды движущиеся вправо и влево соответственно. Если мы введем а± — т±а жд± = |(<9Т±<ЭСТ), то действие

для фермионов может быть записано в следующем виде:

БР = - [ + ф+д-ф+). (42)

7Г ]

Ненулевые (анти-)коммутаторы при равных временах для фермионов вытекающие из действия даются

Ш<у)А+{°')} = ш= ~ Л (43)

Пространственно-временные координаты X^ удовлетворяют таким же уравнениям как и в бозонном случае и имеют такое же разложение по модам. Приравнивая к нулю фермионный поверхностный член в уравнениях Эйлера-Лагранжа, получаем ф+ = ±1/л_ на концах открытой струны. Более того, без потери общности мы можем положить ^>+(0, г) = гр-(0, т). Теперь у нас есть две совершенно разные возможности. Первая, ф+(тг,т) = т) (краевое условие Рамона (И)) приводит к следующему разложению по модам

= 4=£ = ± £ (44)

V1 пег V ^ пег

где сумма берется по всем целым п. Во-втором случае Ы,т) = —фЧ (ж, т) (краевое условие Неве-Шварца (N8)), и разложение по модам принимает

вид

= Е = ^ Е Ке~'п(-т+а) (45)

V 2 пег+1/2 V 2 пе2+1/2

Для замкнутых струн поверхностные члены равны нулю когда краевые условия периодичны или анти-периодичны. Таким образом мы имеем

= (46)

или

и

или

= £ ^е-мкг-.) (47)

V ^ гег+1/2

= (48)

У1

= ± Е (49)

По аналогии с открытыми струнами, можно рассмотреть четыре различных случая, обозначенных N8-11, И,-^ и 11-11 в зависимости от краевых условий для мод движущихся влево и вправо.

Из (анти-) коммутаторов при равном времени для фермионов мы можем вывести

{К,Ъ») = 7Г*г+в, к, <0 - гГдп+т (50)

и похожие выражения для мод движущихся влево.

Пространство Фока строится как и в бозонном случае. Вакуумное состояние удовлетворяет

<|0>=^|0>=0,т>0 (51)

или

о£|0>=6?|0>=0,т,г>0. (52)

Оказывается, что масса состояния определяется уровнем

М2 - —И. (53)

а'

Здесь N = № + Л^ или N = N° + № - 1/2 где

оо оо оо

Ма = 53 а.гпат, ^ = = 53 Ь.ГЬГ. (54)

771=1 ТО= 1 г=1/2

Мы видим, что вакуумное состояние не вырождено для полу-целых мод. Для целых мод операторы <1$ удовлетворяют — и коммути-

руют с оператором М2. Таким образом, вакуумное состояние должно преобразовываться по неприводимым (спинорным) представлениям группы 50(1,9). В результате, спектр суперструн имеет не только бозоны, но и фермионы в пространстве-времени.

Эта теория непротиворечива только в десятимерном пространстве-времени. Также как и в бозонном случае, спектр должен быть ограничен.

В калибровке светового конуса только восемь поперечных осцилляторов являются независимыми. Кроме того, условие модулярности или непротиворечивости (еще не обсужденной) алгебры вершинных операторов требует наложения так называемой ОЭО [23] проекции на спектр. Чтобы описать эту проекцию, введем два оператора Г и С

Операторы Г и С представляют оператор (—1)р в фермионном и бозонном секторах соответственно. Проекция ОБО заключается в наложении условий >= \-ф > и С\ф >— |чр > на физические состояния \-ф >.

Единственное возможное тахионное состояние это вакуум в бозонном секторе, но оно запрещено ОБО проекцией. Давайте опишем теперь массивные состояния в спектре построенной таким образом суперструны. Рассмотрим сначала открытые струны. В фермионном секторе вакуумное состояние это спинор 50(8). Есть два типа спинорных представлений группы ¿>0(8) обозначенных 8С и 85. В бозонном секторе мы имеем состояния > преобразующиеся как вектор 8„ группы 50(8). Таким образом, безмассовый бозон это вектор АТакая теория открытых струн называется теорией типа I. В случае закрытых струн мы должны взять тензорное произведение представлений соответствующих модам движущимся влево и вправо. Если в этом тензорном произведении взять спино-

(55)

С = Ь-гЪГ

(56)

ры противоположной киральности, то безмассовый спектр примет вид:

(8„ + 8с)*(8„ + 85) = (1 + 28 + 35„ + 8„ + 56„)в + (8<, + 8С + 56й + 56с)р. (57)

Соответствующие бозонные поля в десяти измерениях это КЭ-МЭ дилатон Ф, антисимметричный тензор В^, гравитон и ГШ, 1-форма Ар и антисимметричная 3-форма С^р. Эта теория называется теорией типа ПА. Если же мы возьмем спиноры одинаковой киральности, то безмассовый спектр имеет вид

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Барабанщиков, Александр Владимирович, 2004 год

Список литературы

[1] Т.-Р. Cheng and L.-F. Li, Gauge theory of elementary particle physics, Oxford University Press, 1991.

[2] S. Weinberg, The quantum theory of fields, Cambridge University Press, vol.1 (1995) and vol. 2 (1996).

[3] K.S. Thorne, C.W. Misner and J.A. Wheeler, Gravitation, W.H. Freeman, 1973.

[4] S. Weinberg, Gravitation and cosmology: principles and applications of the general theory of relativity, Wiley, 1972.

[5] L. Randall and R. Sundrum, An alternative to the compactification, Phys. Rev. Lett. 83 (1999) 4690, hep-th/9906064.

[6] S. Weinberg, The quantum theory of fields, vol. 3, Cambridge University Press, 2000.

[7] J.Wess and J. Bagger, Supersymmetry and supergravity, Princeton University Press, 2nd ed., 1992.

[81 M.F. Sohnius, Introducing supersymmetry, Phys. Rept. 128 (1985) 39.

[9] M.B. Green, J.H. Schwarz and E. Witten, String theory, vol. 1 and 2, Cambridge University Press, 1987.

[10] J. Polchinski, String theory, vol. 1 and 2, Cambridge University Press, 1998.

[11] M. Jacob, editor, Dual theory, Physics Reports Reprint vol. 1, 1974.

[12] J. Dai, R.G. Leigh and J. Polchinski, New connections between string theories, Mod. Phys. Lett. A4 (1989) 2073.

[13] J. Polchinski, Dirichlet-branes and Ramond-Ramond charges, Phys. Rev. Lett. 75 (1995) 4724, hep-th/9510017.

[14] G. 't Hooft, A planar diagram theory for strong interactions, Nucl. Phys. В72 (1974) 461.

[15] J. Maldacena, The large N limit of superconformal field theories and supergravity, Adv. Theor. Math. Phys. 2 (1998) 231, hep-th/9711200.

[16] Y. Nambu, Duality and Hydrodynamics, Lectures at the Copenhagen Symposium, 1970.

[17] T. Goto, Relativistic quantum mechanics of one-dimensional mechanical continuum and subsidiary condition of dual resonance model, Prog. Theor. Phys. 46, 1560.

[18] A.M. Polyakov, Quantum geometry of bosonic string, Phys. Lett. 103B (1981) 207; Quantum geometry of fermionic string, Phys. Lett. 103B (1981) 211.

[19] L. Brink, P. Di Vecchia and P. Howe, A locally supersymmetric and reparametrization invariant action for the spinning string, Phys. Lett. 65B (1976) 471.

[20] S. Deser and B. Zumino, A complete action for the spinning string, Phys. Lett. 65B (1976) 369.

[21] C. Becchi, A. Rouet and R. Stora, The Abelian higgs Kibble model, uni-tarity and the S-operator, Phys. Lett. 52B (1974), 344; Renormalization of gauge theories, Ann. Phys. 98 (1976) 287; I.V. Tyutin, Gauge invariance in field theory and statistical physics in the operator formulation, FIAN preprint 39, 1975.

[22] M. Kato and K. Ogawa, Covariant quantization of string based on BRS invariance, Nucl. Phys. B212 (1983) 443.

[23] F. Gliozzi, J. Scherk and D. Olive, Supergravity and the spinor dual model, Phys. Lett. 65B (1976) 282; supersymmetry, supergravity theories and the dual spinor model, Nucl. Phys. B122 (1977) 253.

[24] F.A. Dolan and H. Osborn, On short and semi-short representations for four dimensional superconformal symmetry, Annals. Phys. 307 (2003) 41, hep-th/0209056.

[25] J.E. Paton and H.M. Chan, Generalized Veneziano model with isospin, Nucl. Phys. BIO (1969) 516.

[26] G. Mack and A. Salam, Finite component field representations of the conformal group, Ann. Phys. 53 (1969) 174.

[27] D. Berenstein, J. Maldacena and H. Nastase, Strings in flat space and pp-waves from Я = 4 Super Yang Mills, JHEP 0204 (2002) 013, hep-th/0202021.

[28] H.J. Kim, L.J. Romans and P. van Nieuwenhuizen, The mass spectrum of chiral Я = G d = 10 supergravity on S5, Phys. Rev. D32 (1985) 389.

[29] J. McGreevy, L. Susskind and N. Toumbas, Invasion of the giant gravitons from Anti-de Sitter space, JHEP 0006 (2000) 008, hep-th/0003075.

[30] V. Balasubramanian, M. Berkooz, A. Naqvi and M.J. Strassler, Giant gravitons in conformal field theory, JHEP 0204 (2002) 034, hep-th/0107119.

[31] S. Corley, A. Jevicki and S. Ramgoolam, Exact Correlators of Giant Gravitons from dual N=4 SYM, Adv.Theor.Math.Phys. 5 (2002) 809, hep-th/0111222.

[32] A. Barabanschikov, Boundary cr-model and corrections to D-brane actions, Phys.Rev. D67 (2003) 106001, hep-th/0301012; Boundary cr-model and corrections to D-brane actions, talk at SUGRA 20 Conference, Northeastern University, Boston, March 17-21, 2003 in "Twenty Years of SUGRA: Search for SUSY and Unification ed Pran Nath.

[33] E.S. Fradkin and A. Tseytlin, Non-linear electrodynamics from quantized strings, Phys. Lett. B163 (1985) 123.

[34] R.G.Leigh,Dirac-Born-Infeld action from Dirichlet sigma model, Mod. Phys. Lett. A4 (1989) 2767.

[35] J. Polchinski, Dirichlet-Branes and Ramond-Ramond Charges, Phys. Rev. Lett. 75, (1995) 4724 , hep-th/9510017; M.B. Green, J.A. Harvey and G. Moore, I-brane inflow and anomalous couplings on D-branes, Class. Quant. Grav. 14 (1997) 47, hep-th/9605033; Y-K. E. Cheung and Z. Yin, Anomalies, branes and currents, Nucl. Phys. B517 (1998) 69, hep-th/9710206.

[36[ J. Polchinski, TASI Lectures on D-Branes, hep-th/9611050; C.P. Bachas, Lectures on D-branes, hep-th/9806199.

[37] R.R. Metsaev and A. A. Tseytlin, Order a' (two-loop) equivalence of the string equations of motion and the (j-model Weyl invariance conditions, Nucl. Phys. B293 (1987) 385.

[38] C.P. Bachas, P. Bain and M.B. Green, Curvature terms in D-brane actions and their M-theory origin, JHEP 05 (1999) Oil, hep-th/9903210; A. Fotopoulos, On (a')2 corrections to the D-brane action for non-geodesic world-volume embeddings, JHEP 09 (2001) 005, hep-th/0104146.

[39] S. Corley, D. Lowe and S. Ramgoolam, Einstein-Hilbert action on the brane for the bulk graviton, JHEP 0107 (2001) 030, hep-th/0106067.

[40] C.G. Callan, D. Friedan, E. Martinec and M.J. Perry, Strings in background fields, Nucl. Phys. B262 (1985) 593.

[41] L. Alvarez-Gaumé, D.Z. Freedman and S. Mukhi, The background field method and the ultraviolet structure of the supersymmetric nonlinear cr-model, Ann. of Phys. 134 (1981) 85; S. Mukhi, The geometric background-field method, renormalization and the Wess-Zurnino term in non-linear cr-models, Nucl. Phys. B264 (1986) 640.

[42] P. Khorsand and T.R. Taylor, Renormalization of boundary fermions and world-volume potentials on D-branes, Nucl. Phys. B611 (2001) 239, hep-th/0106244.

[43] H. Dorn and H.-J. Otto, Open bosonic strings in general background fields, Z. Phys. C-Particles and Fields 32 (1986) 599.

[44] D. Brecher and M.J. Perry, Bound states of D-branes and the non-Abelian Born-Infeld action, Nucl. Phys. B527 (1998) 121, hep-th/9801127.

[45] E. D'Hoker and D.G. Gagné, Worldline path integrals for fermions with scalar, pseudoscalar and vector couplings, Nucl. Phys. B 467 (1996) 272, hep-th/9508131; H. Dorn, Non-Abelian gauge field dynamics on matrix

D-branes in curved space and two-dimensional cr-models, Fortsch.Phys. 47 (1999) 151, hep-th/9712057.

[46] R.C. Myers, Dielectric branes, JHEP 9912 (1999) 022, hep-th/9910053.

[47] A. Abouelsaood, C.G. Callan, C.R. Nappi and S.A. Yost, Open strings in background gauge fields, Nucl. Phys. B280 (1987) 599.

[48] F. Ardalan, H. Arfaei, M.R. Garousi and A. Ghodsi, Gravity on noncom-mutative D-branes, Int. J. Mod. Phys. A18 (2003) 1051, hep-th/0204117.

[49] G. Dvali, G. Gabadadze and M. Porrati, 4-D gravity on a brane in 5-D Minkowski Space, Phys. Lett, В 485 (2000) 208, hep-th/0005016; G. Dvali an G. Gabadadze, Gravity on a brane in infinite volume extra space, Phys. Rev. D 63 (2001) 065007, hep-th/0008054.