«Симметрии пространства решений уравнений 11-мерной супергравитации» тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Губарев Кирилл Алексеевич

• Губарев Кирилл Алексеевич
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Губарев Кирилл Алексеевич

1.3 10ё супергравитация

1.4 10ё обобщенная супергравитация

1.5 Симметрии суперструн и 10ё супергравитации

1.6 Двойная теория поля

2 Методы описания вакуумов М-теории

2.1 М-теория

2.2 Супермембрана Грина-Шварца и 1Ы супергравитация

2.3 Скрытые симметрии 1Ы супергравитации и М-теории

2.4 Исключительные теории поля

2.5 Исключительная теория поля БЬ(5)

2.6 Основы исключительной теории поля Е6(6)

3 Поливекторные деформации решений супергравитации

3.1 Интегрируемые деформации сигма-моделей

3.2 Деформации Янга-Бакстера решений 10ё супергравитации

3.3 Обобщенные деформации Янга-Бакстера решений 1Ы супергравитации

4 Обобщение супергравитации

4.1 Обобщенная 10ё супергравитация из деформаций

4.2 Обобщенние 1Ы супергравитации из деформаций

4.3 Примеры решений обобщения 1Ы супергравитации

5 Заключение

A Индексы и соглашения

B Тензор Риччи и скаляр Риччи через коэффициенты анголономии

C Свойства SL(5) ИТП

C.1 SL(5) алгебра

C.2 Обобщенные диффеоморфизмы и веса

D Вывод тождеств Бьянки в плоских индексах

E Вложение 11d супергравитации в SL(5) ИТП

E.1 Действие 11d мерной супергравитации

E.2 Действие Эйнштейна-Гильберта

E.3 Кинетический член 3-формы

E.4 Построение вложения

F Моновекторные деформации в GL(4) симметричной теории

0 Вывод обобщенного классического уравнения Янга—Бакстера в 8Ь(5) ИТП 150 Н Вывод обобщенных классических уравнений Янга—Бакстера в Е6(6) ИТП

1 Сравнение обобщенного уравнения Янга—Бакстера с результатами ИДА

Л Линейная часть тождеств Бьянки для Зтп

К Уравнения интергрируемости

К.1 Уравнения Янга-Бакстера

К.2 Уравнения Френкеля-Мура-Замолодчикова

Введение

Двумя из наиболее интригующих проблем современной физики являются построение самосогласованной теории квантовой гравитации и теории, которая позволила бы описать все наблюдаемые нами фундаментальные взаимодействия единым образом. Одним из наиболее перспективных кандидатов на решение этих двух задач является М-теория1.

M-теория была предложена Эдвардом Виттеном, как мембранная теория, объединяющая пять непротиворечивых теорий суперструн: типа I, типа IIA/IIB, гетеротической SO(32) и Е8хЕ8 [4-6]. Она позволяет смотреть на теории струн как на различные пределы одной теории. Низкоэнергетический предел М-теории описывается фоновыми полями gßß, Cßpß и tß (метрика, 3-форма и 32-компонентное майорановское гравитино соответственно), которые решают уравнения 11d супергравитации, впервые построенной в [7]. Не смотря на то, что М-теория зародилась еще в 1995 году, на текущий момент она не имеет завершенной стройной формулировки. Одной из ключевых задач на пути её полного построения является исследование структуры её вакуумов — низкоэнергетических состояний. Для решения этой задачи наиболее эффективными инструментами оказываются методы явно ковариантные относительно скрытых симметрий теории.

Теория струн и её вакуумы обладают огромным количеством различных симметрий, которые наследуются М-теорией и оказываются полезными для лучшего понимания её структуры. Это симметрии T-дуальности: абелева [8,9], неабелева [10], дуальность Пуассона-Ли [11-13], которые связывают фоны, неотличимые с точки зрения пертурбативной теории струн; и S-дуальность, которая не является пертурбативной и связывает сильно- и слабосвязанные режимы теории [14]. На мембранном уровне Т- и S-дуальности образуют новую U-дуальность, которую можно понимать как трансформацию, связывающую эквивалентные с мембранной точки зрения фоны [15, 16]. Эта дуальность описывается исключительными группами Ed(d)2. Определенный прогресс в определении неабелевого обобщения U-дуальности

1 Отметим, что еще одним перспективным кандидатом на роль квантовой теории гравитации является петлевая квантовая гравитация, педагогическое рассмотрение основ которой может быть найдено в обзорах [1-3].

2Обозначение d(d) означает, что необходимо взять максимальную вещественную подгруппу комплекси-

был достигнут недавно в [17-21].

Симметрия и-дуальности наследуется 1Ы супергравитацией. Эта скрытая симметрия была впервые обнаружена в [22-24]. Сделать явной Т- и И-дуальность в супергравитации, позволяет переход к двойной и исключительной теориям поля. Ключевым моментом этих подходов является наличие в них нового класса решений супергравитации, так называемых Т-образий и И-образий — которые не допускают глобального и даже локального описания на языке дифференцируемых многообразий, а также решений, выходящих за рамки обычной супергравитации. Тем не менее, фоновые поля отвечающие таким решениям, могут быть согласованными с точки зрения М-теории. Так например в формализме Грина-Шварца, описывающем М2-браны и суперструны, для согласованности подхода достаточно того, чтобы в нём присутствовала локальная фермионная симметрия, называемая каппа-симметрией.

Формулировка супергравитации в терминах двойной и исключительной теорий поля позволяет деформировать некоторый исходный фон, осуществляя локальное преобразование группами И-дуальности. Поскольку такое преобразование не является симметрией М-теории и супергравитации, это преобразование должно удовлетворять некоторым ограничениям, чтобы деформированный фон был решением супергравитации и, следовательно, непротиворечивым фоном для М-теории. В теории струн и 10ё супергравитации роль такой скрытой симметрии играет группа и аналогичным образом может быть использована для по-

строения новых решений.

Особенно интересные примеры обсуждаемых деформаций основаны на многообразиях с фактором AdS, который известен как голографически дуальный суперконформным теориям поля. Хотя в целом конформные теории представляют собой изолированные точки на пространстве констант связей, соответствующие фиксированным точкам ренормгруппового потока, суперконформные теории принадлежат семейству теорий, связанных изменяющимися константами связи. Добавление в теорию маргинальных операторов сохраняет конформную симметрию на квантовом уровне и перемещает соответствующую точку в пространстве связей вдоль так называемого конформного многообразия [25]. Голографическая дуальность позволяет исследовать структуру конформного многообразия с гравитационной стороны. Буквально каждый точно маргинальный оператор, деформирующий суперконформную теорию, и удерживающий её на конформном многообразии, двойственен некоторой гравитационной деформации на стороне AdS.

Для 10d случая хорошо известным примером являются в- [26], некоммутативные [27,28] и дипольные деформации [29-32] В=4 N=4 теории супер Янга-Миллса, которые гравита-

фикации Е^.

ционно дуальны би-векторным абелевым ТяТ преобразованиям. ТяТ означает следующую последовательность действий: Т-дуальность, сдвиг, Т-дуальность вдоль двух из трех И(1) изометрий 85 (см. обзор [33]).

Подобным образом мы можем рассмотреть 1Ы случай. Мы можем выбрать три направления И(1) семьсферы в AdS4 х 87, чтобы построить три-векторную деформацию теории АБЛМ [33]. Более того, исследование таких гравитационных деформаций AdS и их связи с деформациями суперконформных теорий можно рассматривать как игрушечную модель для понимания голографического принципа, выходящего за рамки соответствия AdS/CFT [34].

Как мы упоминали выше, деформация должна удовлетворять некоторым ограничениям для генерации решений супергравитации. В 10d случае с анзацем Киллинга для деформации было показано, что таким ограничением является классическое уравнение Янга-Бакстера (КУЯБ) [35]. Появление этого уравнения не случайно и согласуется с тем, что сигма-модель на деформированном фоне сохраняет интегрируемость [36]. Ту же логику можно повторить и в случае 1Ы теории, и, как мы показываем (положение 3 выносимое на защиту), ограничения будут выглядеть как некоторое обобщение КУЯБ. Тогда возникает интересный вопрос: действительно ли это какое-то уравнение из интегрируемых систем? Есть ли связь этого уравнения с некоторыми интегрируемыми свойствами сигма-модели/М-теории? Ответы на эти вопросы потенциально позволят построить теорию трехмерных интегрируемых систем и понять их свойства, в частности в применении к теории М2-бран.

Наконец как было отмечено выше, согласованные фоны теории суперструн и М-теории не ограничиваются пространством решений супергравитации. В формализме Грина-Шварца для суперструн и супермембран для согласованности достаточно того, чтобы в нём присутствовала локальная фермионная симметрия, называемая каппа-симметрией. Для каппа-инвариантности суперструны достаточно выполнения уравнений обобщенной 10d супергравитации для фоновых полей [37]. Более того двойная теория поля оказывается удобным инструментом для построения уравнений 10d обобщенной супергравитации. Для этого используются неунимодулярные деформации Янга-Бакстера. Такой способ построения обобщенных уравнений супергравитации легко и естественно обобщается на 1Ы случай. Интересный вопрос возникающий здесь заключается в том существует ли обобщенная 1Ы супергравитация, аналогичная 10d, также обеспечивающая каппа-инвариатность мембран в М-теории, но содержащая несупергравитационные решения? В представляемой работе предлагается кандидат на такое обобщение (положение 5).

Цели и задачи диссертационного исследования

Настоящая диссертация посвящена исследованию пространства вакуумов М-теории и теории струн при помощи ковариантных методов. А именно, в работе рассматриваются следующие задачи:

• развитие методов описания вакуумов М-теории явно ковариантыми относительно И-дуальности методами;

• развитие методов построения новых вакуумов М-теории при помощи поливекторных деформаций решений 11-мерной супергравитации, обладающих векторами Киллинга;

• поиск деформаций супергравитационных решений для конкретных примеров вакуумов, представляющих интерес с точки зрения голографического соответствия;

• построение уравнений обобщенной 10-мерной супергравитации новым способом, а именно при помощи неунимодулярных би-векторных деформаций Янга-Бакстера;

• построение аналогичных уравнений обобщающих 11-мерную супергравитацию при помощи обобщенных неунимодулярных поливекторных деформаций Янга-Бакстера.

Основные положения, выносимые на защиту диссертации

1. Построена полная потоковая формулировка и получен полный набор тождеств Бьянки для БЬ(5) исключительной теории поля

2. Разработан метод построения 3- и 6-векторных деформаций 11-мерной супергравитации при помощи исключительных теорий поля.

3. Найдены достаточные условия на поливекторные параметры деформации, гарантирующие генерацию решений супергравитации.

4. Построены поликиллинговые деформации фона AdS4 х

5. Предложено обобщение уравнений 11-мерной супергравитации. В явном виде найдены некоторые решения полученных уравнений.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему ««Симметрии пространства решений уравнений 11-мерной супергравитации»»

Актуальность

Развитый в работе метод построения поливекторных деформаций решений 1Ы супергравитации обобщает подход основанный на исключительных алгебрах Дринфельда [18], который применим лишь для групповых многообразий. Предлагаемый нами подход применим для произвольных многообразий и воспроизводит результат ИДА для групповых многообразий. Найденные условия на параметр деформаций, достаточные для генерации новых решений супергравитации, являются обобщением классического уравнения Янга-Бакстера, появляющегося в качестве условия на деформации двумерных сигма-моделей, сохраняющих их интегрируемость. Поэтому полученные условия представляют особый интерес с точки зрения исследования интегрируемости М-теории и трехмерных систем типа М2-бран, что является на сегодняшний момент открытым вопросом. Предложенный способ построения деформаций применен для построения деформаций фона AdS4 х 87, которые представляют особый интерес с точки зрения голографического соответствия, так как предлагаемые деформации на стороне гравитации отвечают добавлению операторов на стороне суперконформных теорий, что открывает новые перспективы для изучения пространства конформных (суперконформных) теорий. Наконец предложенное обобщение 1Ы супергравитации является перспективным кандидатом, на достаточные условия для каппа-инвариантности супермембраны ГШ на фоне, решающем её уравнения. Поиск таких условий представляет ценность с точки зрения полного описания пространства возможных фонов (вакуумов) М-теории.

Научная новизна

Все основные результаты диссертации являются оригинальными и впервые получены в ходе научной работы автора диссертации. В частности, предложен и разработан метод построения поливекторных деформаций 1Ы супергравитации при помощи исключительных теория поля SL(5) и Е6(6), а также построены примеры деформаций для фона AdS4 х 87 [1,2]. Найдены условия на поливекторные параметры деформации достаточные для генерации новых супергравитационных решений [1,2]. Полученные условия являются естественным обобщением классического уравнения Янга-Бакстера, возникающего как достаточное условие генерации решений 10d супергравитации при би-векторных деформациях. Возникновение обобщения классического уравнения Янга-Бакстера интерпретируется с точки зрения интегрируемости, а также обсуждается его потенциальная связь с механикой Намбу [7]. Развита потоковая формулировка SL(5) исключительной теории поля, найден полный набор тождеств Бьянки. Предложен способ построения уравнений обобщенной 10d супергравитации

при помощи неунимодулярных би-векторных деформаций Янга-Бакстера [3-6]. Предложенный способ имеет естественное обобщение на случай 11d супергравитации и поливекторных деформаций. С его помощью построено обобщение уравнений 11d супергравитации [3-6].

Практическая и научная ценность

Исследования, представленные в диссертационной работе, носят теоретический характер. Полученные результаты могут иметь применение в построении М-теории, как теории, которая бы позволила описать квантовую гравитацию, а также объединить все наблюдаемые нами фундаментальные взаимодействия единым образом. Также результаты диссертации и разработанные в ней подходы позволяют более детально изучать низкоэнергетическую структуру М-теории, строить семейства вакуумов теории по одному известному вакууму, обладающему векторами Киллинга. Полученные результаты находятся в соответствии с результатами полученными другими авторами в этой области, и могут быть применены для дальнейших теоретических исследований.

Степень достоверности и апробация работы

Результаты исследований вошедших в диссертацию многократно представлялись соискателем на отечественных и международных конференциях и семинарах. В частности на семинарах отделения теоретической физики ФИАН им. П.Н. Лебедева (г. Москва), кафедры теоретической физики МФТИ (г. Долгопрудный), лаборатории физики высоких энергий МФТИ (г. Долгопрудный), лаборатории математической и теоретической физики МФТИ (г. Долгопрудный), института теоретической и математической физики МГУ (г. Москва), института теоретической и экспериментальной физики им. Алиханова (НИЦ Курчатовский институт) (г. Москва), институт теоретической физики им. Ландау (г. Москва), а также на следующих международных конференциях: "Júnior duality and integrability workshop" (on-line, 2021), "A Mini Workshop on String Dualities" IMBM (Стамбул, Турция, 2022), "Ломоносов" (Москва, 2022, 2023), "Quantum Field Theory and Gravity" (Томск, 2023), "Петровские чтения" (Казань, 2022, 2023), "Supersymmetry in Integrable Systems" (Дубна, 2023), "Supersymmetries and Quantum Symmetries" (г. Дубна, 2022), XVII DIAS - TH Winter School "Supersymmetry and Integrability" (Дубна, 2022), SYMPHYS-XVIII (Ереван, Армения, 2022), VII International Conference "Models in Quantum Field Theory" (Санкт-Петербург, 2022), — и отечественных конференциях: "Молодежная конференция по теоретической и экспериментальной физике" (Москва, ИТЭФ, 2020, 2021), 63- и 64-я "Всероссийская научная конференция МФТИ" (Дол-

гопрудный, МФТИ, 2020, 2021), "Летний струнный семинар 2021" (Долгопрудный, МФТИ, 2021), "Физика элементарных частиц и космология" (Москва, ФИАН, 2020, 2022), "Зимний семинар ЛФВЭ 2022" (Долгопрудный, МФТИ, 2022). Результаты находятся в соответствии с результатами, полученными другими авторами.

По материалам диссертации опубликовано 7 статей в международных реферируемых журналах, индексируемых базами данных Web of Science и Scopus.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения (Введение), четырех глав основного текста (Главы 1 -4), заключения (Глава 5) и одиннадцати приложений (A - K). Общий объем диссертации составляет 184 страницы, включая 7 рисунков и 11 таблиц. Список литературы содержит 191 ссылку.

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы; сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований; представлены выносимые на защиту научные положения.

В главе 1 приведен краткий обзор необходимых основ из теории суперструн, после чего обсуждаются три способа описания вакуумов теории суперструн: 10d супергравитация, обобщенная 10d супергравитация, двойная теория поля. Обсуждаются три основных подхода к описанию суперструны которые отличаются реализацией суперсимметрии. Первый из них носит название струны Рамона-Невё-Шварца, и описывает струну с суперсимметрией на мировом объёме. Второй называется подходом Грина-Шварца и описывают суперструну в суперсимметричном объемлющем пространстве. Последний подход называется дважды суперсимметричной струной с суперсимметрией на мировом объёме струны и в объемлющем пространстве.

В разделе 1.1 сформулировано действие струны Рамона-Невё-Шварца, а также рассматриваются его симметрии: суперсимметрия, Вейлевское и супер-Вейлевское преобразования, двумерные репараметризации и преобразование Лоренца. Обсуждается действие струны Рамона-Невё-Шварца на произвольном неплоском фоне, для сокращения Вейлевской аномалии в однопетлевом приближении достаточно выполнения уравнений 10d супергравитации для фоновых полей.

В разделе 1.2 сформулировано действие струны Грина-Шварца, а также рассматриваются его симметрии: супердиффеоморфизмы и преобразования Лоренца объемлющего суперпространства, калибровочные преобразования 2-формы, двумерные диффеоморфиз-

мы, каппа-симметрия. Для каппа-инвариантности струны Грина-Шварца на произвольном неплоском фоне, достаточно выполнения уравнений обобщенной 10d супергравитации для фоновых полей.

В разделе 1.3 рассматривается бозонный сектор 10d супергравитации. Обсуждаются пять различных случаев (типов) супергравитации: I, IIA, IIB, гетеротические SO(32) и E8xEg, — и соответсвующие им действия для бозонного сектора.

В разделе 1.4 сформулированы уравнения обобщенной 10d супергравитации (тип IIB). Их отличие от уравнений обычной супергравитации заключается в явной зависимости уравнений от дополнительного вектора Im, являющегося вектором Киллинга для описываемого фона.

В разделе 1.5 обсуждаются скрытые симметрии теории суперструн и супергравитации, а именно T- и S-дуальности и их геометрический смысл, а также правила преобразований полей супергравитации при преобразованиях Т-дуальности (правила Бушера).

В разделе 1.6 приводится обзор явно ковариантной относительно Т-дуальности двойной теории поля. Рассматривается её формулировка в терминах геометрии на обобщенном пространстве преобразующемся в фундаментальном представлении группы Т-дуальности 0(10,10). Действие для двойной теории поля удобно записывается в терминах потоков — обобщенных тензоров напряженности полей теории, для которых также выполнены тождества Бьянки. В завершении раздела обсуждается вложение 10d супергравитации в двойную теорию поля.

В главе 2 приведен краткий обзор необходимых основ из М-теории, после чего рассматриваются два метода описания вакуумов М-теории: 11d супергравитация и исключительная теория поля.

В разделе 2.1 обсуждаются три основных подхода к описанию супермембраны которые отличаются реализацией суперсимметрии, а именно с суперсимметрией на мировом листе, в объемлющем пространстве, на мировом листе и в объемлющем пространстве.

В разделе 2.2 сформулирован подход Грина-Шварца для описания супермембран с суперсимметрией в объемлющем пространстве и рассмотрены его симметрии, главную роль из которых в дальнейшем играет каппа-симметрия. Приведены примеры действий для М2- и М5-бран. Обсуждается супермембрана на произвольном фоне, для её каппа-инвариантности достаточно выполнения уравнений 11d супергравитации для фоновых полей. Приводится полный полевой состав 11d супергравитации и её действие.

В разделе 2.3 обсуждается скрытая симметрия М-теории и 11d супергравитации, называемая U-дуальностью. Она объединяет T- и S-дуальности теории суперструн и описывается

исключительными группами.

В разделе 2.4 приведен краткий обзор исключительных теорий поля явно инвариантных относительно И-дуальности. Обсуждается их построение при помощи геометрии на обобщенном пространстве. Такой подход однозначно фиксирует полевой состав теории (тензорная иерархия) и лагранжиан.

В разделе 2.5 детально разобрана исключительная теория поля SL(5). Приводятся полная тензорная иерархия теории, и полный набор преобразований полей при обобщенных диффеоморфизмах, внешних диффеоморфизмах и калибровочных преобразованиях. Построен полный набор потоков теории, в их терминах записан лагранжиан. Найден полный набор тождеств Бьянки. Полученные тождества Бьянки проинтерпретированы с точки зрения описания магнитно дуальных степеней свободы теории и экзотических мембран, являющихся объектами М-теории. Частично сформулировано вложение 1Ы супергравитации в исключительную теорию поля SL(5).

В разделе 2.6 приведен краткий обзор исключительной теории поля Е6(6).

В главе 3 формулируется метод построения поливекторных деформаций решений 10d и 1Ы супергравитации при помощи двойной и исключительных теорий поля. Выводятся достаточные условия на поливекторные параметры позволяющие генерировать новые решение супергравитации.

В разделе 3.1 описана историческая хронология изучения деформаций сигма-моделей. Обсуждается как при помощи деформаций впервые был получен каппа-инвариантный, но несупергравитационный фон, решающий уравнения обобщенной супергравитации.

В разделе 3.2 описан способ построения би-векторных деформаций решений 10d супергравитации при помощи двойной теории поля. Из сохранения минимальности действия в потоковой формулировке после деформации получены достаточные условия на параметр деформации, а именно классическое уравнения Янга-Бакстера и унимодулярность.

В разделе 3.3 описан способ построения поливекторных деформаций решений 1Ы супергравитации при помощи исключительных теорий поля SL(5) и Е6(6). Из сохранения минимальности действия в потоковой формулировке после деформации получены достаточные условия на параметр деформации, а именно обобщение классического уравнения Янга-Бакстера и обобщенные условия унимодулярности. Приводятся конкретные примеры построения деформаций для фона AdS4 х 87.

В главе 4 обсуждается обобщенная 10d супергравитация и её построение при помощи неунимодулярных деформаций Янга-Бакстера. При помощи неунимодулярных обобщенных деформаций Янга-Бакстера строится аналог обобщенной 1Ы супергравитации.

В разделе 4.1 сформулирован способ построения уравнений обобщенной 10d супергравитации при помощи потоковой формулировки двойной теории поля и неунимодулярных деформаций Янга-Бакстера.

В разделе 4.2 сформулирован способ построения аналогичных уравнений обобщающих 1Ы супергравитацию при помощи потоковой формулировки исключительной теории поля и неунимодулярных обобщенных деформаций Янга-Бакстера.

В разделе 4.3 приводятся конкретные примеры решений обобщенных уравнений 1Ы супергравитации.

В главе 5 (Заключение) сформулированы основные результаты диссертации, выносимые на защиту, обсуждается их связь с интегрируемыми структурами и голографическим соответствием.

В приложении А сформулированы индексные соглашения и обозначения.

В приложении В приведен вывод выражений для тензора и скаляра Риччи через коэффициенты анголономии.

В приложении С приведены основы алгебры SL(5), а именно генераторы, проектор, инвариантный антисимметричный тензор и их свойства, необходимые для построения исключительной теории поля. Также рассматриваются основные свойства обобщенных диффеоморфизмов и обобщенной производной Ли.

В приложении Ю приводится детальный вывод тождеств Бьянки для SL(5) исключительной теории поля.

В приложении Е обсуждается вложение 1Ы супергравитации в SL(5) исключительную теорию поля.

В приложении Е обсуждаются моновекторные деформации в GL(4) инвариантной теории гравитации, как простой пример иллюстрирующий основные идеи построения поливекторных деформаций супергравитации.

В приложениях О, Н приводится детальный вывод достаточных условий на поливекторные параметры деформации для генерирования решений супергравитации.

В приложении I проводится сравнение обобщенного уравнения Янга-Бакстера с результатами получающимися в подходе исключительных алгебр Дринфельда.

В приложении Л приводится вывод условий на параметр ,]тп обобщения 1Ы супергравитации из линейной части тождеств Бьянки.

В приложении К обсуждаются квантовые уравнения интегрируемости Янга-Бакстера и Френкеля-Мура-Замолодчикова, — а также классический предел для первого и проблемы при взятии наивного классического предела для второго.

Публикации по теме диссертации

1. K. A. Gubarev, I. V. Bakhmatov, E. T. Musaev. Non-abelian tri-vector deformations in d = 11 supergravity // J. High Energ. Phys. 2020, 113 (2020).

2. K. A. Gubarev, E. T. Musaev. Polyvector deformations in eleven-dimensional supergravity // Phys. Rev. D103 066021 (2021).

3. К. А. Губарев. Обобщенная супергравитация из поливекторных деформаций // Учен. зап. физ. фак-та Моск. ун-та. N 4, (2022).

4. К. А. Губарев, Э. T. Мусаев. Обобщение обобщенной супергравитации // Particles and Nuclei, Letters. Т 20, 3(248) (2023).

5. K. A. Gubarev, I.V. Bakhmatov, A. Çatal-Ozer, N. S. Deger, E. T. Musaev. Generalizing eleven-dimensional supergravity // Phys. Rev. D105 L081904 (2022).

6. K. A. Gubarev, I. V. Bakhmatov, A. Çatal-Ozer, N. S. Deger, E. T. Musaev. Generalized 11D supergravity equations from tri-vector deformations // The European Physical Journal C. 83 37 (2023) .

7. K. A. Gubarev, E. T. Musaev. Integrability structures in string theory // Phys. Usp.

Глава 1

Методы описания вакуумов теории струн

1.1 Суперструна Рамона—Невё—Шварца и 10d супергравитация

Фундаментальными объектами в теории суперструн являются суперструны, обозначаемые И. Существует несколько различных подходов для их описания:

1. вращающаяся струна — описание с явной суперсимметрией на мировом объёме струны [38-42],

2. суперструна — описание с явной суперсимметрией в объемлющем пространстве [43,44],

3. дважды суперсимметричная струна — описание с явной суперсимметрией на мировом объёме струны и в объемлющем пространстве [45],

которые друг другу классически эквивалентны. Наиболее удобными и широко распространенными являются первые два подхода.

Вращающаяся суперструна — формализм известный как действие Рамона-Невё-Шварца (РНШ) [38,39]*, которое записывается на плоском фоне с метрикой Отп = г/тп как

^рнш = -/ Птп |ад13д1 хтдихп + 21фтр1 дгфт - XIР3Р1 Фт д]хп - ^ХзФг

(1.1)

где хт — координаты описывающие вложение струны в объемлющее 10d пространство, фт — двумерные Майорановские спиноры ф* = ф с Дираковским сопряжением ф = ф+р0, р1 — криволинейные двумерные гамма матрицы, ди — вспомогательная двумерная метрика (на мировом объёме) с соответствующим ей двумерным репером е11 для которого е11 е3 и пи = ди,

1 Подробное педагогическое рассмотрение можно найти в [46-52].

а XI — двумерный гравитино, а' — константа, называемая наклоном Редже, через которую натяжение струны выражается как Т = ^¡ар 2. Действие РНШ инвариантно относительно

1. локальной суперсимметрии действующей на мировом объёме струны следующим образом

02' ==2 р1 и ад1 хт - 2X1 фт I

со спин-связностью

2. Вейлевского преобразования с бозонным параметром Л

дАхт = 0, 8лфт = - 1лфт, блв11 = Ле11, 6АХ1 = \>Лх1;

:1.2)

8ее I = гер XI, &еХ1 = 2П1е, где е — Майорановский спинор, а двумерная ковариантная производная

Б1 е = 81 е - 2Ш1 ре, (1.3)

1 -г

Ш1 = — е-1 е77 дЛ е1 ^ + - Х1рр3Х-1; (1.4)

е 4

:1.5)

3. супер-Вейлевского преобразования с Майорановским спинором п в качестве параметра, под действием которого преобразуется только

8п XI = р1 п; (1.6)

4. двумерного преобразования Лоренца с бозонным параметром I

81 хт = 0, 8^фт = -1 ¡р0р1фт,

- - - 12 (1.7)

81с}I = ¡е-е-1, 8^1 = -1 ¡р0р1XI;

5. двумерных репараметризаций с двумя бозонными параметрами ^

85 хт = ^ дI хт, 85 фт = ^ дI фт,

5 * (1.8) 8* е-1 = £7д-е11 + е -&£7, 85 XI = £7д-XI + X-дЬ£7.

2Подробное описание индексных соглашений содержится в Приложении А.

Существенная особенность подхода РНШ заключается в использовании двумерного репера и гравитино на мировом листе струны, которые несут 4 + 4 = 8 дополнительных степеней свободы. Однако эти степени свободы являются нефизическими и должны компенсироваться симметриями действия. При помощи локальной суперсимметрии, 2d диффеоморфизмов и преобразования Лоренца можно привести двумерный репер и гравитино к виду

е1 I = еЧ11, XI = Р1 А, (1.9)

называемому суперконформной калибровкой. Более того, на классическом уровне при помощи Вейлевского и супер-Вейлевского преобразований можно избавиться от оставшихся степеней свободы репера и гравитино А, ф

е1 I = 5Т1, XI = 0. (1.10)

Для того чтобы нефизические степени свободы сокращались и на квантовом уровне необходимо сохранение симметрий на квантовом уровне. Это означает, что для согласованности теории необходимо обнуление Вейлевской аномалии для струны, что накладывает два условия. Первое условие на размерность пространства в котором формулируется теория, а именно что пространство 10-мерное. Второе — это требование обнуления бета функций для фоновых полей на фоне которых распространяется струна. Для того, чтобы понять последнее утверждение рассмотрим струну с Евклидовой двумерной метрикой на неплоском фоне построенном из НШ-НШ сектора спектра квантовой замкнутой суперструны, то есть произвольной метрики Отп, антисимметричного поля Кальба-Рамона Втп и дилатона Ф

5 = Г ¿2а^д(Отпдзхтд3хп + гВтп^идIхтдихп + а'ФЯ(2)), (1.11)

4па' и

Для сокращения Вейлевской аномалии

1 г 1

< Т33 >= - — втп(0)дзхтд3хп - — втп(ВУ3дIхтдзхп - 1 в(Ф)Я(2) = 0, (1.12)

необходимо обнуление бета функций для фоновых полей Отп, Втп, Ф, что в однопетлевом приближении, лидирующем в пределе сильного натяжения струн эквивалентно уравнениям

НШ-НШ сектора 10d супергравитации3 [53-57]

в11о°р(ф) = a'(R - 1 H2 + 4 УтУтФ - 4 (УФ)2) = 0 ,

ßllnop(G) = a'(Rmn - 4HmklHnkl + 2УтУпФ) = 0 , (1.13)

(B) = а' (1 УкHkmn - HkmnVkФ ) = 0 .

,2

где Hmnk = 3У [mBnk] и Ут ковариантная по отношению к Gmn. Это означает что в низкоэнергетическом пределе а' ^ 0 уравнения супергравитации описывают вакуумы теории струн — то есть фоновые поля на которых струна РНШ является согласованной, так как сохраняет все свои симметрии на квантовом уровне.

1.2 Суперструна Грина—Шварца и обобщенная 10d супергравитация

Альтернативный подход к описанию суперструн — действие Грина-Шварца (ГШ) [43,44, 58]4, в рамках которого струна распространяется в суперсимметричном объемлющем пространстве. Мы рассмотрим случай суперсимметрии N = 2 для которого суперсимметричное пространство состоит из 10 бозонных xm и 32 антикомутирующих спинорных координат Qß1 = (в^1,в^2) вместе образующих координаты zM = (xm,9^1) в суперпространстве. Суперсимметрия N = 2 подразделяется на два типа: IIA — когда разных киральностей, поэтому для её суперсимметрии используют обозначение N = (1,1), и IIB — когда их ки-ральность одинакова, соответственно N = (2,0), что означает

Г11в-- = (-1)-+1вг- тип 11А , Г110г- = ег- тип 11В ,

а Майорано-Вейлевские спиноры, Гт, Г11 — гамма-матрицы.

Действие ГШ

?гш = f - £ В2 , G = GIJ ,

П-14)

Spitt = I dW-G - | B2 , G = det Gjj, (1.15)

Gjj = EIaEjbVab , EjA = djzMEAM (z), (1.16)

описывает суперструну с координатами zM(aJ) в суперспространстве на фоне суперрепера

3IIA/IIB в зависимости от суперсимметрии РНШ струны, но для нашего рассмотрения только в НШ-НШ секторе IIA и IIB эквивалентны.

4Подробное педагогическое рассмотрение можно найти в [46,49,51,52,59,60].

E(z) и супер 2-формы Кальба-Рамона Bab, которая индуцирована на мировой объем струны следующим образом

B2: Bij = EiaEJbBab. (1-17)

Действие ГШ инвариантно относительно симметрий объемлющего суперпространства, которые представляют собой супер диффеоморфизмы, преобразования Лоренца, а также относительно калибровочных преобразований 2-формы. Симметрии на мировом объёме струны — это обычные диффеоморфизмы- Более того для струны ГШ необходима еще одна симметрия, так как на уравнениях движения струна ГШ имеет 8 бозонных и 16 фермионных степеней свободы. 8 лишних нефизических фермионных степеней свободы должны быть скомпенсированы локальной фермионной симметрией, называемой каппа-симметрией, приведем пример её действия для теории типа IIB

5KzMEaM = 0 , SKzMEm-M = 2(1 + Гк)аг:в3, Гк = £IJEIaEjblaba3 . (1-18)

Критическая размерность пространства 10 получается аналогично струне РНШ из требования отсутствия аномалиq в квантовой теории.

Требование каппа-инвариантности действия накладывает условия на суперкручение TA = dEA + EB a Qba и супернапряженность H = dB для суперполя Кальба-Рамона

Нв11112аг(1 + Гк)а1$13 = 0 , (1.19)

\/-0 С13Татв^а - £13Иаагв1 ] (^ + ^к)™^ = 0 , (1.20)

которые помимо этого также должны удовлетворять тождествам Бьянки. Совместное решение этих условий является набором уравнений на фоновые поля теории.

Я - 1 И2 + 4 УтХт - 4 ХтХт = 0 , (1.21)

Ятп - 4Итк1 Ип + VтХп + VпХт = 0 , (1.22)

1 VkИктп - ИктпХк - VmXп + VnХт = 0 , (1.23)

где Хт = 1т + VmФ - Втп1п и 1т вектор Киллинга, Vm ковариантная по отношению к Стп. Эти уравнения являются обобщением обычной 10d супергравитации и были названы уравнениями обобщенной 10d супергравитации. Их отличие заключается в явной зависимости уравнений на фоновые поля от дополнительного вектора Iт, являющегося вектором Кил-

линга для метрики и поля Кальба-Рамона. В случае 1т = 0 уравнения обобщенной супергравитации совпадают с уравнениями обычной супергравитации (1.13). Стоит отметить, что впервые уравнения (1.21) - (1.23) были получены не из решения условий (1.19), (1.20) и тождеств Бьянки, а из неунимодулярных деформаций Янга-Бакстера в [61,62], к чему мы вернемся в Главе 3. И лишь после открытия явного вида обобщенных уравнений в [37] было показано, что суперструна ГШ на фонах, решающих обобщенные уравнения, является каппа-инвариантной.

Здесь логично задать следующий вопрос. А что же означают уравнения обобщенной супергравитации с точки зрения струны РНШ? Ответ заключается в том, что выполнение уравнений обобщенной супергравитации для фоновых полей нарушает Вейлевскую симметрию струны РНШ до масштабной [62]. Недавно были предприняты попытки восстановить симметрию Вейля путем обобщения соответствующего контрчлена Фрадкина-Цейтлина, который, однако, может быть нелокальным [63,64].

1.3 10d супергравитация

10ё супергравитация является суперсимметричной теорией гравитации в 10 измерениях. Её полевой состав зависит от типа супресимметрии и совпадает с безмассовым спектром соответствующей замкнутой суперструны. Полевой состав супергравитации делится на сектора: бозонные НШ-НШ и Р-Р, и фермионные НШ-Р и Р-НШ. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением лишь бозонных секторов.

НШ-НШ сектор для N = 2 состоит из метрики Gmn, поля Кальба-Рамона Втп и дилатона Ф, действие для которых выглядит следующим образом

Ж-НШ = 2^ / (я + 4дтФдтФ -112НтпкНтпк) , (1.24)

вариация которого воспроизводит

^нш-нш = 2К2а'

/ итп^ - ¿Втп взтпр(В )

- 2(45Ф + GmnSGmn)(вlloopkk- 4/Зцоор(Ф))). (1.25)

Отметим, что существует два эквивалентных способа для записи действия супергравитации, отвечающие разным параметризациям. Описанная выше параметризация называется струнной. Альтернативный подход — Эйнштейновская параметризация, поля Ф, Gтп, Нтпк

в которой связаны с полями Ф, Отп, Нтпк струнной параметризации следующим образом

е две ■ ^тп е 2 тп ■ Нтпк е 2 Нтпк ■

где д8 — струнная константа связи, ассоциированная с постоянной частью дилатона. В Эйнштейновской параметризации действие (1.24) примет вид

Ж™т = / ddx^\Ö\ (r - - дтФдтФ - -2HmnkHmnk) . (1.27)

Р-Р сектор зависит от типа суперсимметрии

• тип IIA, Р-Р сектор состоит из 1-формы Cm и 3-формы Cmnk с соответствующими напряженностями F(2) и F(4), действие для которых выглядит следующим образом

= - ¿2 / 1 F(2) + ^ F24)) - ^ / B(2) Л F(4) - F(4) > (^

где Н(4) = б,С(з) - С(1) л Н(з).

тип 11В, Р-Р сектор состоит из скаляра С(о), 2-формы С(2) и 4-формы С(4) с калибро-вочно инвариантными тензорами напряженности

-Н(1) = ЛС(о)^

Н(33) = (1С(2) - С(о) л Н(3), (1.29)

-Н(5) = (С(4) - 2 С(2) Л Н(3) + 2Ь(2) Л -(3).

тензор F(4) является самодуальным F(5) = * Я(5). Соответствующее действие для IIB Р-Р сектора

SPIBP = ^ / + j-j^(23) + ^(5)) - f dC(4) Л dC(2) Л В(2), (1.30)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Губарев Кирилл Алексеевич, 2024 год

Литература

[1] Ashtekar Abhay, Bianchi Eugenio. A short review of loop quantum gravity // Rept. Prog. Phys. — 2021. — Vol. 84, no. 4. — 042001 P. — 2104.04394.

[2] Dona Pietro, Speziale Simone. Introductory lectures to loop quantum gravity // Gravitation: Theory and Experiment, 3rd School on Theoretical Physics.— 2010. — 7.— P. 89-140.— 1007.0402.

[3] Bilson-Thompson Sundance, Vaid Deepak. LQG for the Bewildered.— 2014.— 2.— 1402.3586.

[4] Witten Edward. String theory dynamics in various dimensions // Nuclear Physics B. — 1995. — Vol. 443, no. 1. — P. 85 - 126. — URL: http://www.sciencedirect.com/science/ article/pii/055032139500158Q.

[5] Obers N.A., Pioline B. U-duality and M-theory // Physics Reports. — 1999.— Vol. 318, no. 4.— P. 113 - 225.— URL: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/ S0370157399000046.

[6] Townsend P. K. Four lectures on M theory // ICTP Summer School in High-energy Physics and Cosmology. — 1996. — 12. — P. 385-438. — hep-th/9612121.

[7] Cremmer E., Julia B., Scherk Joel. Supergravity theory in eleven-dimensions // Phys.Lett. — 1978.— Vol. B76. — P. 409-412. DOI: 10.1016/0370-2693(78)90894-8.

[8] Buscher T. H. A Symmetry of the String Background Field Equations // Phys. Lett. — 1987.— Vol. B194. — P. 59-62. DOI: 10.1016/0370-2693(87)90769-6.

[9] Buscher T. H. Path Integral Derivation of Quantum Duality in Nonlinear Sigma Models // Phys. Lett. — 1988. —Vol. B201. — P. 466-472. DOI: 10.1016/0370-2693(88)90602-8.

[10] de la Ossa Xenia C., Quevedo Fernando. Duality symmetries from nonAbelian isometries in string theory // Nucl.Phys. — 1993. — Vol. B403. — P. 377-394. — hep-th/9210021.

[11] Klimcik C., Severa P. Poisson-Lie T duality and loop groups of Drinfeld doubles // Phys. Lett. — 1996. — Vol. B372. — P. 65-71. — hep-th/9512040.

[12] Klimcik C., Severa P. Dual nonAbelian duality and the Drinfeld double // Phys. Lett. B. — 1995. — Vol. 351. — P. 455-462. — hep-th/9502122.

[13] Klimcik C. Poisson-Lie T duality // Nucl. Phys. B Proc. Suppl. — 1996. — Vol. 46. — P. 116121. — hep-th/9509095.

[14] Strong - weak coupling duality and nonperturbative effects in string theory / A. Font [et al.] // Phys.Lett. — 1990.— Vol. B249. — P. 35-43. DOI: 10.1016/0370-2693(90) 90523-9.

[15] Hull C.M., Townsend P.K. Unity of superstring dualities // Nucl.Phys. — 1995.— Vol. B438. — P. 109-137. — hep-th/9410167.

[16] Witten Edward. Some comments on string dynamics // STRINGS 95: Future Perspectives in String Theory. — 1995. — 7. — P. 501-523. — hep-th/9507121.

[17] Sakatani Yuho. U-duality extension of Drinfel'd double // PTEP. — 2020.— Vol. 2020, no. 2. — 023B08 P. — 1911.06320.

[18] Malek Emanuel, Thompson Daniel C. Poisson-Lie U-duality in Exceptional Field Theory // JHEP. — 2020. — Vol. 04. — 058 P. — 1911.07833.

[19] Sakatani Yuho, Uehara Shozo. Non-Abelian U-duality for membranes // PTEP. — 2020. — Vol. 2020, no. 7. — 073B01 P. — 2001.09983.

[20] Musaev Edvard T. On non-abelian U-duality of 11D backgrounds // Universe. — 2022.— Vol. 8. — 276 P. — 2007.01213.

[21] Sakatani Yuho. Extended Drinfel'd algebras and non-Abelian duality // PTEP.— 2021.— Vol. 2021, no. 6. — 063B02 P. — 2009.04454.

[22] Dualization of dualities. 1. / E. Cremmer [et al.] // Nucl.Phys.— 1998.— Vol. B523. — P. 73-144. —hep-th/9710119.

[23] Dualization of dualities. 2. Twisted self-duality of doubled fields, and superdualities / E. Cremmer [et al.] // Nucl. Phys. B. — 1998. — Vol. 535. — P. 242-292. — hep-th/9806106.

[24] Pope C.N. Lectures: Kaluza-Klein Theory.— http://people.physics.tamu.edu/pope/ ihplec.pdf. URL: http://people.physics.tamu.edu/pope/.

[25] Cordova Clay, Dumitrescu Thomas T., Intriligator Kenneth. Deformations of Superconformal Theories // JHEP. — 2016. — Vol. 11. — 135 P. — 1602.01217.

[26] Lunin Oleg, Maldacena Juan Martin. Deforming field theories with U(1) x U(1) global symmetry and their gravity duals // JHEP. — 2005. — Vol. 05. — 033 P. — hep-th/0502086.

[27] Hashimoto Akikazu, Itzhaki N. Noncommutative Yang-Mills and the AdS / CFT correspondence // Phys. Lett. B. — 1999. — Vol. 465. — P. 142-147. — hep-th/9907166.

[28] Maldacena Juan Martin, Russo Jorge G. Large N limit of noncommutative gauge theories // JHEP. — 1999. — Vol. 09. — 025 P. — hep-th/9908134.

[29] Dasgupta K., Sheikh-Jabbari M. M. Noncommutative dipole field theories // JHEP.— 2002. — Vol. 02. — 002 P. — hep-th/0112064.

[30] Dasgupta Keshav, Ganor Ori J., Rajesh Govindan. Vector deformations of N=4 superYang-Mills theory, pinned branes, and arched strings // JHEP.— 2001.— Vol. 04.— 034 P.— hep-th/0010072.

[31] Nonlocal field theories and their gravity duals / Aaron Bergman [et al.] // Phys. Rev. D. — 2002. — Vol. 65. — 066005 P. — hep-th/0103090.

[32] Alishahiha Mohsen, Ganor Ori J. Twisted backgrounds, PP waves and nonlocal field theories // JHEP. — 2003. — Vol. 03. — 006 P. — hep-th/0301080.

[33] Imeroni Emiliano. On deformed gauge theories and their string/M-theory duals // JHEP. — 2008. — Vol. 0810. — 026 P. — 0808.1271.

[34] Apolo Luis, Detournay Stephane, Song Wei. TsT, TT and black strings // JHEP. — 2020. — Vol. 06.— 109 P. — 1911.12359.

[35] Bakhmatov Ilya, Musaev Edvard T. Classical Yang-Baxter equation from ^-supergravity // JHEP. — 2019. — Vol. 01. — 140 P. — 1811.09056.

[36] O(d,d) transformations preserve classical integrability / Domenico Orlando [et al.] // Nucl. Phys. B. — 2020. — Vol. 950. — 114880 P. — 1907.03759.

[37] Wulff L., Tseytlin A. A. Kappa-symmetry of superstring sigma model and generalized 10d supergravity equations // JHEP. — 2016. — Vol. 06. — 174 P. — 1605.04884.

[38] Ramond P. Dual Theory for Free Fermions // Phys. Rev. D.— 1971. — May.— Vol. 3.— P. 2415-2418. DOI: 10.1103/PhysRevD.3.2415.

[39] Neveu A., Schwarz J.H. Factorizable dual model of pions // Nucl. Phys. B. — 1971. — Vol. 31, no. 1. —P. 86-112. DOI: https://doi.org/10.1016/0550-3213(71)90448-2.

[40] Friedan Daniel, Martinec Emil, Shenker Stephen. Conformal invariance, supersymmetry and string theory // Nuclear Physics B. — 1986.— Vol. 271, no. 3.— P. 93-165. DOI: 10.1016/S0550-3213(86)80006-2.

[41] Deser Stanley, Zumino Bruno. A complete action for the spinning string // Phys. Lett. B. — 1976.— Vol. 65. —P. 369-373. DOI: 10.1016/0370-2693(76)90245-8.

[42] Brink L., Di Vecchia P., Howe Paul S. A Locally Supersymmetric and Reparametrization Invariant Action for the Spinning String // Phys. Lett. B. — 1976. — Vol. 65. — P. 471-474. DOI: 10.1016/0370-2693(76)90445-7.

[43] Green Michael B., Schwarz John H. Covariant Description of Superstrings // Phys. Lett. B. — 1984. — Vol. 136. —P. 367-370. DOI: 10.1016/0370-2693(84)92021-5.

[44] Green Michael B., Schwarz J.H., Witten Edward. Superstring theory. Vol. 1: Introduction. — Cambridge University Press, Cambridge, England, 1987.

[45] Superstrings and supermembranes in the doubly supersymmetric geometrical approach / Igor A. Bandos [et al.] // Nucl. Phys. B. — 1995. — Vol. 446. — P. 79-118. — hep-th/9501113.

[46] Blumenhagen Ralph, Lüst Dieter, Theisen Stefan. Basic concepts of string theory. Theoretical and Mathematical Physics. — Heidelberg, Germany : Springer, 2013. — ISBN: 978-3-642-29496-9. DOI: 10.1007/978-3-642-29497-6.

[47] Tong David. String theory. — 2009. — 0908.0333.

[48] Arutyunov Gleb. Lectures on String Theory.— 2009.— URL: https://www2. physik.uni-muenchen.de/lehre/vorlesungen/wise_19_20/TD1_- String-Theory-1/ arutyunov_notes.pdf.

[49] West Peter. Introduction to strings and branes. — Cambridge University Press, 2012. — 7. — ISBN: 978-0-521-81747-9, 978-1-139-41529-3, 978-0-521-81747-9.

[50] Zwiebach B. A first course in string theory. — Cambridge University Press, 2006.— 7.— ISBN: 978-0-521-83143-7, 978-0-511-20757-0.

[51] Polchinski J. String theory. Vol. 1: An introduction to the bosonic string. Cambridge Monographs on Mathematical Physics. — Cambridge University Press, 2007. — 12.— ISBN: 978-0-511-25227-3, 978-0-521-67227-6, 978-0-521-63303-1. DOI: 10.1017/ CBO9780511816079.

[52] Polchinski J. String theory. Vol. 2: Superstring theory and beyond. Cambridge Monographs on Mathematical Physics.— Cambridge University Press, 2007. — 12.— ISBN: 978-0-51125228-0, 978-0-521-63304-8, 978-0-521-67228-3. DOI: 10.1017/CBO9780511618123.

[53] Callan Jr. Curtis G., Thorlacius Larus. Sigma Models and String Theory // Theoretical Advanced Study Institute in Elementary Particle Physics: Particles, Strings and Supernovae (TASI 88). — 1989.—3.

[54] String loop corrections to beta functions / C.G. Callan [et al.] // Nucl. Phys. B. — 1987. — Vol. 288.— P. 525-550. DOI: https://doi.org/10.1016/0550-3213(87)90227-6.

[55] Strings in background fields / C.G. Callan [et al.] // Nucl. Phys. B. — 1985.— Vol. 262, no. 4.— P. 593-609. DOI: https://doi.org/10.1016/0550-3213(85)90506-1.

[56] String Loop Corrections to beta Functions / Curtis G. Callan, Jr. [et al.] // Nucl. Phys. B. — 1987. — Vol. 288. —P. 525-550. DOI: 10.1016/0550-3213(87)90227-6.

[57] Strings in background fields / Curtis G. Callan, Jr. [et al.] // Nucl.Phys. — 1985.— Vol. B262. — 593 P. DOI: 10.1016/0550-3213(85)90506-1.

[58] N=2 Superstrings in a Supergravity Background / Marcus T. Grisaru [et al.] // Phys. Lett. B. — 1985. — Vol. 162. —P. 116-120. DOI: 10.1016/0370-2693(85)91071-8.

[59] Becker K., Becker M., Schwarz J. H. String theory and M-theory: A modern introduction. — Cambridge University Press, 2006. —12. — ISBN: 978-0-511-25486-4, 978-0-521-86069-7, 978-0-511-81608-6. DOI: 10.1017/CBO9780511816086.

[60] Duff M. J. Supermembranes // Theoretical Advanced Study Institute in Elementary Particle Physics (TASI 96): Fields, Strings, and Duality. — 1996. — 6. — hep-th/9611203.

[61] Arutyunov Gleb, Borsato Riccardo, Frolov Sergey. Puzzles of n-deformed AdS5x S5 // JHEP. — 2015. — Vol. 12. — 049 P. — 1507.04239.

[62] Scale invariance of the n-deformed AdS5 x S5 superstring, T-duality and modified type II equations / G. Arutyunov [et al.] // Nucl. Phys. — 2016. — Vol. B903. — P. 262-303. — 1511.05795.

[63] Weyl invariance of string theories in generalized supergravity backgrounds / Jose J. Fernandez-Melgarejo [et al.] // Phys. Rev. Lett.— 2019.— Vol. 122, no. 11.— 111602 P. — 1811.10600.

[64] Muck Wolfgang. Generalized Supergravity Equations and Generalized Fradkin-Tseytlin Counterterm // JHEP. — 2019. — Vol. 05. — 063 P. — 1904.06126.

[65] Bergshoeff E. A., de Roo M. The Quartic Effective Action of the Heterotic String and Supersymmetry // Nucl. Phys. B. — 1989.— Vol. 328.— P. 439-468. DOI: 10.1016/ 0550-3213(89)90336-2.

[66] Sakatani Yuho, Uehara Shozo, Yoshida Kentaroh. Generalized gravity from modified DFT // JHEP. — 2017. — Vol. 04. — 123 P. — 1611.05856.

[67] Buscher T.H. Path-integral derivation of quantum duality in nonlinear sigma-models // Physics Letters B. — 1988.— Vol. 201, no. 4.— P. 466-472.— URL: https://www. sciencedirect.com/science/article/pii/0370269388906028.

[68] Buscher T.H. A symmetry of the string background field equations // Physics Letters B. — 1987. — Vol. 194, no. 1.— P. 59-62.— URL: https://www.sciencedirect.com/science/ article/pii/0370269387907696.

[69] Compactification of type IIB string theory on Calabi-Yau threefolds / Robert Bohm [et al.] // Nucl. Phys. B. — 2000. — Vol. 569. — P. 229-246. — hep-th/9908007.

[70] Hull Chris, Zwiebach Barton. Double field theory // JHEP. — 2009. — Vol. 0909. — 099 P. — 0904.4664.

[71] Hull Chris, Zwiebach Barton. The Gauge algebra of double field theory and Courant brackets, // JHEP. — 2009. — Vol. 0909. — 090 P. — 0908.1792.

[72] Hohm Olaf, Hull Chris, Zwiebach Barton. Background independent action for double field theory // JHEP. — 2010. — Vol. 1007. — 016 P. — 1003.5027.

[73] Hohm Olaf, Hull Chris, Zwiebach Barton. Generalized metric formulation of double field theory // JHEP. — 2010. — Vol. 1008. — 008 P. — 1006.4823.

[74] Berman David S., Thompson Daniel C. Duality Symmetric String and M-Theory // Phys. Rept. — 2014. — Vol. 566. — P. 1-60. — 1306.2643.

[75] Hohm Olaf, Lust Dieter, Zwiebach Barton. The Spacetime of Double Field Theory: Review. Remarks, and Outlook // Fortsch. Phys. — 2013. — Vol. 61. — P. 926-966. — 1309.2977.

[76] Aldazabal Gerardo, Marques Diego, Nunez Carmen. Double Field Theory: A Pedagogical Review // Class. Quant. Grav. — 2013. — Vol. 30. — 163001 P. — 1305.1907.

[77] Siegel W. Two vierbein formalism for string inspired axionic gravity // Phys. Rev. — 1993. — Vol. D47. — P. 5453-5459. — hep-th/9302036.

[78] Siegel W. Superspace duality in low-energy superstrings // Phys.Rev. — 1993. — Vol. D48. — P. 2826-2837. — hep-th/9305073.

[79] Fradkin E.S., Tseytlin Arkady A. Quantum Equivalance of Dual Field Theories // Annals Phys. — 1985. — Vol. 162. —31 P. DOI: 10.1016/0003-4916(85)90225-8.

[80] Tseytlin Arkady A., West Peter C. Two Remarks on Chiral Scalars // Phys.Rev.Lett. — 1990.— Vol. 65.— P. 541-542. DOI: 10.1103/PhysRevLett.65.541.

[81] Tseytlin Arkady A. Duality symmetric formulation of string world sheet dynamics // Phys.Lett. — 1990. —Vol. B242. — P. 163-174. DOI: 10.1016/0370-2693(90)91454-J.

[82] Hohm Olaf, Kwak Seung Ki, Zwiebach Barton. Double Field Theory of Type II Strings // JHEP. — 2011. — Vol. 09. — 013 P. — 1107.0008.

[83] Exploring Double Field Theory / David Geissbuhler [et al.] // JHEP. — 2013. — Vol. 06. — 101 P. — 1304.1472.

[84] Hull C M. Finite Gauge Transformations and Geometry in Double Field Theory // JHEP. — 2015. — Vol. 04. — 109 P. — 1406.7794.

[85] Sazdovic B. Open string T-duality in double space // Eur. Phys. J. C. — 2017.— Vol. 77, no. 9. — 634 P. — 1704.01163.

[86] Aldazabal Gerardo, Marques Diego, Nunez Carmen. Double Field Theory: A Pedagogical Review // Class. Quant. Grav. — 2013. — Vol. 30. — 163001 P. — 1305.1907.

[87] Berman David S., Thompson Daniel C. Duality Symmetric String and M-Theory // Phys. Rept. — 2014. — Vol. 566. — P. 1-60. — 1306.2643.

[88] Hohm Olaf, Lust Dieter, Zwiebach Barton. The Spacetime of Double Field Theory: Review. Remarks, and Outlook // Fortsch. Phys. — 2013. — Vol. 61. — P. 926-966. — 1309.2977.

[89] The gauge structure of generalised diffeomorphisms / David S. Berman [et al.] // JHEP. — 2013. — Vol. 1301. — 064 P. — 1208.5884.

[90] Borsato Riccardo, Vilar Lopez Alejandro, Wulff Linus. The first a'-correction to homogeneous Yang-Baxter deformations using O(d, d) // JHEP. — 2020. — Vol. 07, no. 07. — 103 P. — 2003.05867.

[91] Bakhmatov Ilya, Catal Ozer Aybike, Deger Nihat Sadik [et al.]. GenGenSugra GitHub.— 2022.—8. — URL: https://github.com/emusaev/gengensugra/wiki.

[92] Howe Paul S., Tucker R. W. A Locally Supersymmetric and Reparametrization Invariant Action for a Spinning Membrane // J. Phys. A. — 1977.— Vol. 10.— P. L155-L158. DOI: 10.1088/0305-4470/10/9/003.

[93] Bergshoeff E., Sezgin E., Townsend P. K. Supermembranes and Eleven-Dimensional Supergravity // Phys. Lett. — 1987. — Vol. B189. — P. 75-78. DOI: 10.1016/0370-2693(87) 91272-X.

[94] Bergshoeff E., Sezgin E., Townsend P. K. Properties of the Eleven-Dimensional Super Membrane Theory // Annals Phys.— 1988.— Vol. 185.— 330 P. DOI: 10.1016/ 0003-4916(88)90050-4.

[95] Sorokin Dmitri P. Superbranes and superembeddings // Phys. Rept. — 2000. — Vol. 329. — P. 1-101. — hep-th/9906142.

[96] Simon Joan. Brane Effective Actions, Kappa-Symmetry and Applications // Living Rev. Rel. — 2012. — Vol. 15. — 3 P. — 1110.2422.

[97] Ortin Tomas. Gravity and Strings. Cambridge Monographs on Mathematical Physics. — 2nd ed. edition. — Cambridge University Press, 2015. — 7. — ISBN: 978-0-521-76813-9, 9780-521-76813-9, 978-1-316-23579-9. DOI: 10.1017/CBQ9781139019750.

[98] Bergshoeff E. p-branes, D-branes and M-branes // Strings 96: Current Trends in String Theory. — 1996. — 7. — P. 210-217. — hep-th/9611099.

[99] Covariant action for the superfive-brane of M theory / Igor A. Bandos [et al.] // Phys. Rev. Lett. — 1997. — Vol. 78. — P. 4332-4334. — hep-th/9701149.

[100] Pasti Paolo, Sorokin Dmitri P., Tonin Mario. Covariant action for a D = 11 five-brane with the chiral field // Phys. Lett. B. — 1997. — Vol. 398. — P. 41-46. — hep-th/9701037.

[101] Freedman Daniel Z., Van Proeyen Antoine. Supergravity.— Cambridge, UK : Cambridge Univ. Press, 2012. —5.— ISBN: 978-1-139-36806-3, 978-0-521-19401-3. DOI: 10.1017/ CBO9781139026833.

[102] Tanii Y. N=8 Supergravity in Six Dimensions // Phys.Lett. — 1984. — Vol. B145. — P. 197200. DOI: 10.1016/0370-2693(84)90337-X.

[103] de Wit B., Nicolai H. d = 11 Supergravity With Local SU(8) Invariance // Nucl. Phys. B. — 1986.— Vol. 274.— P. 363-400. DOI: 10.1016/0550-3213(86)90290-7.

[104] Musaev Edvard T. U-Dualities in Type II and M-Theory: A Covariant Approach // Symmetry. — 2019. —Vol. 11, no. 8. — 993 P. DOI: 10.3390/sym11080993.

[105] Berman David S., Perry Malcolm J. Generalized Geometry and M theory // JHEP. —

2011. — Vol. 06. — 074 P. — 1008.1763.

[106] The Local symmetries of M-theory and their formulation in generalised geometry / David S. Berman [et al.] // JHEP. — 2012. — Vol. 1201. — 012 P. — 1110.3930.

[107] Duality Invariant Actions and Generalised Geometry / David S. Berman [et al.] // JHEP. —

2012. — Vol. 1202. — 108 P. — 1111.0459.

[108] Berman David S., Musaev Edvard T., Thompson Daniel C. Duality Invariant M-theory: Gauged supergravities and Scherk-Schwarz reductions // JHEP. — 2012.— Vol. 1210.— 174 P. — 1208.0020.

[109] Hohm Olaf, Samtleben Henning. Exceptional Field Theory I: E6(6) covariant Form of M-Theory and Type IIB // Phys.Rev. — 2014. — Vol. D89. — 066016 P. — 1312.0614.

[110] Abzalov Aidar, Bakhmatov Ilya, Musaev Edvard T. Exceptional field theory: SO(5,5) // JHEP. — 2015. — Vol. 06. — 088 P. — 1504.01523.

[111] Musaev Edvard T. Exceptional field theory: SL(5) // JHEP. — 2016. — Vol. 02. — 012 P. — 1512.02163.

[112] Musaev Edvard, Samtleben Henning. Fermions and supersymmetry in E6(6) exceptional field theory // JHEP. — 2015. — Vol. 1503. — 027 P. — 1412.7286.

[113] Blair Chris D. A., Malek Emanuel. Geometry and fluxes of SL(5) exceptional field theory // JHEP. — 2015. — Vol. 03. — 144 P. — 1412.0635.

[114] Hohm Olaf, Samtleben Henning. Exceptional field theory. II. E7(7) // Phys. Rev. D.— 2014. — Vol. 89. — 066017 P. — 1312.4542.

[115] Supersymmetric E7(7) Exceptional Field Theory / Hadi Godazgar [et al.] // JHEP. — 2014. — Vol. 09. — 044 P. — 1406.3235.

[116] Butter Daniel, Samtleben Henning, Sezgin Ergin. E7(7) Exceptional Field Theory in Superspace // JHEP. — 2019. — Vol. 01. — 087 P. — 1811.00038.

[117] Hohm Olaf, Samtleben Henning. Exceptional field theory. III. E8(8) // Phys. Rev. D.— 2014. — Vol. 90. — 066002 P. — 1406.3348.

[118] Baguet Arnaud, Samtleben Henning. E8(8) Exceptional Field Theory: Geometry, Fermions and Supersymmetry // JHEP. — 2016. — Vol. 09. — 168 P. — 1607.03119.

[119] Eg exceptional field theory. Part I. The potential / Guillaume Bossard [et al.] // JHEP.— 2019. — Vol. 03. — 089 P. — 1811.04088.

[120] Bossard Guillaume, Kleinschmidt Axel, Sezgin Ergin. A master exceptional field theory // JHEP. — 2021. — Vol. 06. — 185 P. — 2103.13411.

[121] Malek Emanuel. U-duality in three and four dimensions // Int. J. Mod. Phys. A. — 2017. — Vol. 32, no. 27. — 1750169 P. — 1205.6403.

[122] Samtleben Henning, Weidner Martin. The Maximal D=7 supergravities // Nucl.Phys. — 2005. — Vol. B725. — P. 383-419. — hep-th/0506237.

[123] de Wit Bernard, Samtleben Henning. Gauged maximal supergravities and hierarchies of nonAbelian vector-tensor systems // Fortsch.Phys. — 2005. — Vol. 53. — P. 442-449. — hep-th/0501243.

[124] de Wit Bernard, Nicolai Hermann, Samtleben Henning. Gauged Supergravities, Tensor Hierarchies, and M-Theory // JHEP. — 2008. — Vol. 0802. — 044 P. — 0801.1294.

[125] Hohm Olaf, Samtleben Henning. Exceptional Form of D=11 Supergravity // Phys.Rev.Lett. — 2013. — Vol. 111. — 231601 P. — 1308.1673.

[126] Wang Yi-Nan. Generalized Cartan Calculus in general dimension // JHEP.— 2015.— Vol. 07. — 114 P. — 1504.04780.

[127] Berman David S., Blair Chris D.A. The Geometry, Branes and Applications of Exceptional Field Theory // Int. J. Mod. Phys. A. — 2020. —6.— Vol. 35, no. 30.— 2030014 P.— 2006.09777.

[128] Gubarev Kirill, Musaev Edvard T. SL5 flux formulation.— 2023.— 11.— URL: https: //github.com/emusaev/sl5flux/wiki.

[129] Gubarev Kirill, Musaev Edvard T. Polyvector deformations in eleven-dimensional supergravity // Phys. Rev. D. — 2021. — Vol. 103, no. 6. — 066021 P. — 2011.11424.

[130] Generalized 11D supergravity equations from tri-vector deformations / Ilya Bakhmatov [et al.] // Eur. Phys. J. C. — 2023. — Vol. 83, no. 1. — 37 P. — 2209.01423.

[131] Bakhmatov Ilya, Catal Ozer Aybike, Deger Nihat Sadik [et al.]. ExFTSugra. — 2022. — 8. — URL: https://github.com/K1rux4/kgubarev-exftsugra-wiki/wiki.

[132] Musaev Edvard T. Gauge Field Fluxes and Bianchi Identities in Extended Field Theories // Theor. Math. Phys. — 2019. — Vol. 200, no. 2. — P. 1158-1170. — 1907.12222.

[133] Hohm Olaf, Samtleben Henning. The dual graviton in duality covariant theories // Fortsch. Phys. — 2019. — Vol. 67, no. 5. — 1900021 P. — 1807.07150.

[134] Kleinschmidt Axel. Counting supersymmetric branes // JHEP.— 2011.— Vol. 10.— 144 P. — 1109.2025.

[135] Bergshoeff Eric A., Riccioni Fabio. D-Brane Wess-Zumino Terms and U-Duality // JHEP. — 2010. — Vol. 11. — 139 P. — 1009.4657.

[136] Baguet Arnaud, Hohm Olaf, Samtleben Henning. E6(6) Exceptional Field Theory: Review and Embedding of Type IIB // PoS. — 2015. — Vol. CORFU2014. — 133 P. — 1506.01065.

[137] Musaev Edvard T. Gauged supergravities in 5 and 6 dimensions from generalised Scherk-Schwarz reductions // JHEP. — 2013. — Vol. 1305. — 161 P. — 1301.0467.

[138] de Wit Bernard, Samtleben Henning, Trigiante Mario. The Maximal D=5 supergravities // Nucl.Phys. — 2005. — Vol. B716. — P. 215-247. — hep-th/0412173.

[139] Le Diffon Arnaud, Samtleben Henning. Supergravities without an Action: Gauging the Trombone // Nucl.Phys. — 2009. — Vol. B811. — P. 1-35. — 0809.5180.

[140] Bakhmatov Ilya, Gubarev Kirill, Musaev Edvard T. Non-abelian tri-vector deformations in d = 11 supergravity // JHEP. — 2020. — Vol. 05. — 113 P. — 2002.01915.

[141] Bena Iosif, Polchinski Joseph, Roiban Radu. Hidden symmetries of the AdS(5) x S**5 superstring // Phys. Rev. D. — 2004. — Vol. 69. — 046002 P. — hep-th/0305116.

[142] Klimcik Ctirad. Yang-Baxter sigma models and dS/AdS T duality // JHEP.— 2002.— Vol. 12. — 051 P. — hep-th/0210095.

[143] Klimcik Ctirad. On integrability of the Yang-Baxter sigma-model //J. Math. Phys. — 2009. — Vol. 50. — 043508 P. — 0802.3518.

[144] Delduc Francois, Magro Marc, Vicedo Benoit. On classical q-deformations of integrable sigma-models // JHEP. — 2013. — Vol. 11. — 192 P. — 1308.3581.

[145] Delduc Francois, Magro Marc, Vicedo Benoit. An integrable deformation of the AdS5xS5 superstring action // Phys. Rev. Lett. — 2014. — Vol. 112, no. 5. — 051601 P. — 1309.5850.

[146] van Tongeren Stijn J. Integrability of the AdS5 x S5 superstring and its deformations //J. Phys. A. — 2014. — Vol. 47. — 433001 P. — 1310.4854.

[147] Arutyunov Gleb, Borsato Riccardo, Frolov Sergey. S-matrix for strings on n-deformed AdS5 x S5 // JHEP. — 2014. — Vol. 04. — 002 P. — 1312.3542.

[148] Yang-Baxter a-models, conformal twists, and noncommutative Yang-Mills theory / T. Araujo [et al.] // Phys. Rev. — 2017. — Vol. D95, no. 10. — 105006 P. — 1702.02861.

[149] Conformal twists, Yang-Baxter a-models, holographic noncommutativity / Thiago Araujo [et al.] // J. Phys. — 2018. — Vol. A51, no. 23. — 235401 P. — 1705.02063.

[150] Seiberg Nathan, Witten Edward. String theory and noncommutative geometry // JHEP. — 1999. — Vol. 9909. — 032 P. — hep-th/9908142.

[151] Classical Yang-Baxter Equation from Supergravity / I. Bakhmatov [et al.] // Phys. Rev.— 2018. — Vol. D98, no. 2. — 021901 P. — 1710.06784.

[152] Yang-Baxter Deformations Beyond Coset Spaces (a slick way to do TsT) / I. Bakhmatov [et al.] // JHEP. — 2018. — Vol. 06. — 161 P. — 1803.07498.

[153] Andriot David, Betz Andre. ß-supergravity: a ten-dimensional theory with non-geometric fluxes, and its geometric framework // JHEP. — 2013. — Vol. 12. — 083 P. — 1306.4381.

[154] Tri-vector deformations in d = 11 supergravity / Ilya Bakhmatov [et al.] // JHEP. — 2019. — Vol. 08. — 126 P. — 1906.09052.

[155] A Noncommutative M theory five-brane / E. Bergshoeff [et al.] // Nucl. Phys. — 2000. — Vol. B590. — P. 173-197. — hep-th/0005026.

[156] Deformation independent open brane metrics and generalized theta parameters / David S. Berman [et al.] // JHEP. — 2002. — Vol. 02. — 012 P. — hep-th/0109107.

[157] Catal-Ozer Aybike, Deger Nihat Sadik. Beta, Dipole and Noncommutative Deformations of M-theory Backgrounds with One or More Parameters // Class. Quant. Grav. — 2009. — Vol. 26. — 245015 P. — 0904.0629.

[158] Deger Nihat Sadik, Kaya Ali. Deformations of Cosmological Solutions of D=11 Supergravity // Phys. Rev. — 2011. — Vol. D84. — 046005 P. — 1104.4019.

[159] I in generalized supergravity / T. Araujo [et al.] // Eur. Phys. J. — 2017. — Vol. C77, no. 11. — 739 P. — 1708.03163.

[160] Kosmann Yvette. Derivees de Lie des spineurs // Annali di Matematica Pura ed Applicata. — 1971. —Vol. 91. —P. 317-395. DOI: 10.1007/BF02428822.

[161] Figueroa-O'Farrill Jose Miguel. On the supersymmetries of Anti-de Sitter vacua // Class. Quant. Grav. — 1999. — Vol. 16. — P. 2043-2055. — hep-th/9902066.

[162] Killing spinors from classical r-matrices / Domenico Orlando [et al.] //J. Phys. A. — 2018. — Vol. 51, no. 39. — 395401 P. — 1805.00948.

[163] SUSY and the bi-vector / Domenico Orlando [et al.] // Phys. Scripta. — 2019. — Vol. 94, no. 9. — 095001 P. — 1811.11764.

[164] Yang-Baxter deformations and generalized supergravity—a short summary / Domenico Orlando [et al.] // J. Phys. A.— 2020.— Vol. 53, no. 44.— 443001 P.— 1912.02553.

[165] Malek Emanuel, Sakatani Yuho, Thompson Daniel C. E6(6) exceptional Drinfel'd algebras // JHEP. — 2021. — Vol. 01. — 020 P. — 2007.08510.

[166] Hoare B., Tseytlin A. A. Type IIB supergravity solution for the T-dual of the n-deformed AdS5x S5 superstring // JHEP. — 2015. — Vol. 10. — 060 P. — 1508.01150.

[167] Hoare B., Tseytlin A. A. On integrable deformations of superstring sigma models related to AdSn x Sn supercosets // Nucl. Phys. — 2015. — Vol. B897. — P. 448-478. — 1504.07213.

[168] Sakamoto Jun-ichi, Sakatani Yuho, Yoshida Kentaroh. Weyl invariance for generalized supergravity backgrounds from the doubled formalism // PTEP. — 2017. — Vol. 2017, no. 5. — 053B07 P. — 1703.09213.

[169] Sakamoto Jun-ichi. Integrable deformations of string sigma models and generalized supergravity : Ph.D. thesis / Jun-ichi Sakamoto ; Kyoto U. — 2019.— 1904.12827.

[170] Catal-Ozer Aybike, Tunali Secil. Yang-Baxter Deformation as an O(d,d) Transformation // Class. Quant. Grav. — 2020. — Vol. 37, no. 7. — 075003 P. — 1906.09053.

[171] Baguet Arnaud, Magro Marc, Samtleben Henning. Generalized IIB supergravity from exceptional field theory // JHEP. — 2017. — Vol. 03. — 100 P. — 1612.07210.

[172] Ciceri Franz, Guarino Adolfo, Inverso Gianluca. The exceptional story of massive IIA supergravity // JHEP. — 2016. — Vol. 08. — 154 P. — 1604.08602.

[173] Generalizing eleven-dimensional supergravity / Ilya Bakhmatov [et al.] // Phys. Rev. D. — 2022. — Vol. 105, no. 8. — L081904 P. — 2203.03372.

[174] Wulff Linus. Trivial solutions of generalized supergravity vs non-abelian T-duality anomaly // Phys. Lett. B. — 2018. — Vol. 781. — P. 417-422. — 1803.07391.

[175] Gubarev Kirill, Musaev Edvard. Integrability structures in string theory // Usp. Fiz. Nauk. — 2023. — 1. — 2301.06486.

[176] Bagger Jonathan, Lambert Neil. Modeling Multiple M2's // Phys. Rev. — 2007.— Vol. D75. — 045020 P. — hep-th/0611108.

[177] Bagger Jonathan, Lambert Neil. Gauge symmetry and supersymmetry of multiple M2-branes // Phys. Rev. — 2008. — Vol. D77. — 065008 P. — 0711.0955.

[178] N=6 superconformal Chern-Simons-matter theories, M2-branes and their gravity duals / Ofer Aharony [et al.] // JHEP. — 2008. — Vol. 0810. — 091 P. — 0806.1218.

[179] van Tongeren Stijn J. Yang-Baxter deformations, AdS/CFT, and twist-noncommutative gauge theory // Nucl. Phys. — 2016. — Vol. B904. — P. 148-175. — 1506.01023.

[180] Martin Carmelo P., Trampetic Josip, You Jiangyang. Quantum noncommutative ABJM theory: first steps // JHEP. — 2018. — Vol. 04. — 070 P. — 1711.09664.

[181] Thompson Daniel C. Duality Invariance: From M-theory to Double Field Theory // JHEP. — 2011. — Vol. 1108. — 125 P. — 1106.4036.

[182] Howe Paul S. Weyl superspace // Phys. Lett. — 1997. — Vol. B415. — P. 149-155. — hep-th/9707184.

[183] Majer Imre. Superstrings.— URL: https://ncatlab.org/nlab/files/ MajerSuperstrings.pdf.

[184] Nilsson Bengt E. W. Simple Ten-dimensional Supergravity in Superspace // Nucl. Phys. B.—1981. —Vol. 188. —P. 176-192. DOI: 10.1016/0550-3213(81)90111-5.

[185] Peeters Kasper. A field-theory motivated approach to symbolic computer algebra // Comp. Phys. Comm. — 2007. — Vol. 176. — P. 550-558.

[186] Peeters Kasper. Introducing Cadabra: A Symbolic computer algebra system for field theory problems. — 2007. — hep-th/0701238.

[187] Peeters Kasper. Cadabra2: computer algebra for field theory revisited //J. Open Source Softw.— 2018. — Vol. 3, no. 32.— 1118 P. DOI: 10.21105/joss.01118.

[188] Gubarev Kirill, Musaev Edvard T. Github repository: emusaev/genYB_E6. — 2020. — URL: https://github.com/emusaev/genYB_E6.

[189] Kulish P.P., Sklyanin E.K. Solutions of the Yang-Baxter equation // Journal of Soviet Mathematics. — 1982. DOI: 10.1007/BF01091463.

[190] Belavin A. A., Drinfel'd V. G. Solutions of the classical Yang - Baxter equation for simple Lie algebras // Functional Analysis and Its Applications. — 1982. DOI: 10.1007/BF01081585.

[191] Bazhanov Vladimir V., Sergeev Sergey M. Zamolodchikov's tetrahedron equation and hidden structure of quantum groups //J. Phys. A. — 2006. — Vol. 39. — P. 3295-3310. — hep-th/0509181.