Нахождение статистических характеристик решения уравнения диффузии со случайными коэффициентами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Хребтова, Светлана Сергеевна

• Хребтова, Светлана Сергеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Хребтова, Светлана Сергеевна

Введение.

Глава 1. Основные понятия.

§1.1. Определение и свойства обобщенных функций.

§1.2. Свертка обобщенных функций.

§1.3. Преобразование Фурье и его свойства.

§1.4. Вариационная производная.

§1.5. Некоторые факты из теории вероятностей.

§1.6. Простейшие формулы численного вариационного дифференцирования.

Глава 2. Уравнение теплопроводности со случайными коэффициентами.

§2.1. Постановка задачи.

§2.2. Нахождение решения задач с вариационной производной.

2.2.1. Уравнение первого порядка с вариационной производной.

2.2.2. Уравнение третьего порядка с вариационной производной.

§2.3. Математическое ожидание решения уравнения теплопроводности со случайными коэффициентами.

2.3.1. Вспомогательная детерминированная задача для нахождения математического ожидания.

2.3.2. Формула математического ожидания решения задачи (2.1), (2.2).

§2.4. Частные случаи нахождения математического ожидания.

2.4.1. Случай независимых процессов е и /.

2.4.2. е - гауссовский случайный процесс.

2.4.3. е - равномерно распределенный случайный процесс.

2.4.4. Случай распределения Лапласа.

§2.5. Оценка погрешности при замене коэффициентов уравнения их средними значениями.

§2.6. Вторая моментная функция решения уравнения теплопроводности.

2.6.1. Вспомогательная задача Коши.

2.6.2. Формула второй моментной функции решения задачи (2.1), (2.2).

§2.7. Вторая смешанная функция решения уравнения теплопроводности.

§2.8. Частные случаи нахождения второй моментной функции решения уравнения теплопроводности со случайными коэффициентами.

2.8.1. Случай независимых случайных процессов.

2.8.2. Случай нормально распределенного случайного процесса.

§2.9. Дисперсионная функция решения уравнения теплопроводности со случайными коэффициентами.

§2.10. Частные случаи нахождения дисперсионной функции.

2.10.1. Случай независимых случайных процессов.

2.10.2. е - гауссовский случайный процесс.

Глава 3. Моментные функции решений дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами.

§3.1. Уравнение диффузии с пятью случайными коэффициентами.

3.1.1. Постановка задачи.

§3.2. Решение задач с вариационными производными.

3.2.1. Линейное дифференциальное уравнение,первого порядка с вариационными производными.

3.2.2. Линейное дифференциальное уравнение третьего порядка с вариационными производными.

§3.3. Математическое ожидание решения уравнения диффузии с пятью случайными коэффициентами.

3.3.1. Переход к детерминированной задаче.

3.3.2. Вывод формулы для математического ожидания решения задачи (3.1), (3.2).

§3.4. Частные случаи нахождения первой моментной функции решения задачи (3.1), (3.2).

3.4.1. Случай независимых случайных процессов.

3.4.2. Случай гауссовских случайных процессов.

§3.5. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка со случайными коэффициентами.

3.5.1. Постановка задачи.

3.5.2. Переход к детерминированной задаче.

§3.6. Разностные методы отыскания математического ожидания.

§3.7. Исследование на устойчивость.

§3.8. Нахождение математического ожидания решения задачи (3.20) - (3.22).

§3.9. Примеры вычисления математического ожидания.

3.9.1. Случай нормально распределенного случайного процесса.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нахождение статистических характеристик решения уравнения диффузии со случайными коэффициентами»

Реальные процессы подвержены влиянию различных факторов, которые при математическом моделировании можно считать случайными процессами. Актуальной является задача оценки степени влияния случайных факторов на изучаемый процесс. В диссертации рассматриваются математические модели-диффузии в виде дифференциальных уравнений теплопроводности, коэффициенты которых являются случайными процессами. Решение таких уравнений также является случайным процессом. Многие авторы, например, Гель-фанд И.М. [10], Шилов Г.Е. [74,75], Монин А.С., Яглом A.M. [49,50], Вишик М.И. [5,6], Фурсиков А.В. [62-64], Кляцкин В.И. [39], Адомиан Дж. [1], Хопф Е. [77] и др. рассматривали задачу нахождения моментных функций решений дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами. Однако, задачу удается решить только в отдельных случаях. Ранее, в работе Боровиковой М.М. [3], рассматривалось двумерное уравнение теплопроводности со случайными коэффициентами. Диссертация посвящена нахождению формул для вычисления моментных функций решений дифференциальных уравнений диффузии с тремя фазовыми переменными, коэффициенты которых являются случайными процессами.

Задорожний В.Г. [20-36] развил метод нахождения статистических характеристик решений путем построения вспомогательных детерминированных дифференциальных уравнений с обычными и вариационными производными.

Тема диссертации связана с направлением научных исследований кафедры нелинейных колебаний.

Целью работы является разработка методов нахождения моментных функций решения задачи Коши для уравнения диффузии, коэффициенты которого являются случайными процессами.

Общий подход исследования состоит в сведении исходной задачи со случайными коэффициентами к вспомогательной детерминированной задаче Ко-ши с обычными и вариационными производными. Из решения такой вспомогательной задачи можно легко получать выражения для моментных функций.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Получены формулы для решения задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений с обычными и вариационными производными.

2. Описан метод сведения задачи нахождения моментных функций решений линейных дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами к детерминированным дифференциальным уравнениям с обычными и вариационными производными.

3. Для дифференциального уравнения' диффузии с тремя фазовыми переменными получены формулы для нахождения математического ожидания решения.

4. Получено симметрическое решение детерминированного дифференциального уравнения с обычными и вариационными производными, получающегося при нахождении второй моментной функции решения уравнения диффузии.

5. Найдены формулы для нахождения моментных функций первого и второго порядков, смешанной и дисперсионной функций решений уравнения диффузии.

6. Получена оценка погрешности при замене коэффициентов уравнения диффузии со случайными коэффициентами их средними значениями.

7. Рассмотрен разностный метод для вычисления математического ожидания решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка со случайными коэффициентами. 8. Получены условия устойчивости разностного метода. Все вышеперечисленные результаты являются новыми. В первой главе представлен обзор понятий, используемых в работе. Даны определения обобщенных функций, свертки и преобразования Фурье, вариационной (функциональной) производной, математического ожидания, дисперсионной функции и характеристического функционала случайных процессов. Рассмотрены свойства и частные случаи нахождения преобразования Фурье и вариационной производной.

Во второй главе рассмотрена задача Коши для уравнения теплопроводности со случайными коэффициентами du{t, х) d2u{t,x) d2u{t,x) d2u(t,x) u(t0,x) = щ(х), (2) где t G [to, = Т С Е, х е К3, и : Т х Е3 Е - искомая функция, e(t) > О - случайный процесс, / : Т х Е3 —у Е - случайный процесс, щ : Е3 —>• R - случайное поле, независимое от е и /. Предполагается, что случайные процессы ей/ заданы характеристическим функционалом, т.е. известно p(v(.), О) = Me(v(-),w{-)), где e(s)v(s)ds + % J J f(s,r)w(s,r)dsdr), (3) т г к3

М - знак математического ожидания по функции распределения процессов и s е Г, г £ К3, v{-) £ L\(Т) - элемент пространства суммируемых на отрезке Т функций, w(-) £ L\{T х Е3) - элемент пространства суммируемых функций на множестве Т х Е3. e(v(-), w{-)) = exp(i J

Основной характеристикой случайного процесса являются математическое ожидание и дисперсионная функция [32, 39].

Решением задачи Коши со случайными коэффициентами является случайный процесс. Задача состоит в нахождении моментных функций решения (1), (2).

В пункте 2.2.1 главы 2 найдено решение задачи Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка с вариационной производной.

Рассмотрена задача вида y(t0,x,v(')) = yo(x,v(-)). (5)

Здесь t Е [to,ti] = ГсК, v(-) G Li(T), сц : T ->• С, г - 1, 2 - непрерывные на отрезке Т функции, у0 : Ш3 х Ь\(Т) С, Ъ : Т х R3 х Li(T) -> С - заданы, у : Т х R3 х Li(T) —» С - неизвестное отображение. 1

Через х(а) •) обозначим функцию, определяемую по следующему правилу: x(a:b,s) = sign(s — а) при s, лежащем в отрезке с концами а и Ь, и х(а, s) = 0 в противном случае.

Теорема 1. Пусть функции щ : Т —> С, г = 1,2 непрерывны на Т, Уо(х> v(-) + ai(-)x(^0) ')) имеет в некоторой окрестности Г2 С -^i(T) точки ?;(•).= О суммируемую вариационную производную, b : Т х М3 х Li(T) —> С суммируемо на Т по первому переменному, существует суммируемая по т вариационная производная

6b(s,x,v{-) + ai(-)x(s,t, •)) Sv(t)

Тогда t y{t, X, «(■)) = J a2(s)ds)y0(x, v(-) + ai(-)x(*o, t, •))+ to t t J exp(j a2{T)dr)b(s,x,v(-) ± ai(-)x{s,t, -))ds (6) to s является решением задачи (4)-(5) в окрестности Q,.

В пункте 2.2.2 главы 2 рассматривается задача Коши для дифференциального уравнения третьего порядка dt §v(t) dxf^' ' 1 + dxf[ ' ! 1))+

-f~—у(Ьх,у(-)) + Ь{Ьх,у{-)), (7) 3 y{t0, x, v('))= yo(x,v(-))} (8) где t в T С Ж, X e M3, v(-) в £i(T), b : T x M3 х Li(Т) С - заданное отображение, у0 : М3 х L\(T) С- задано, у : Т х М3 х Ь\{Т) —С - искомое отображение.

Введем обозначения

Fx[f (х, у)](£) - преобразование Фурье по переменному х, Р^1[ф(^,г))](х) - обратное преобразование Фурье по переменному * - обозначает свертку по переменному х.

Определим через Ust(i£)y(t, х, v(-)) - отображение, применяемое по переменному и('), следующим образом

Ust(i£)y(t,x,v(-)) = y{t,x,v(-) +

В формулировке следующей теоремы у отображений уо и b опущены обозначения аргументов, соответственно x,v(-) + i£,\X(tУ Уо и + i£iX(s-,t, •) у Ь, обозначает дельта-функцию.

Теорема 2. Пусть существует окрестность Q, С L\(T) точки v(-) = О, такая, что при всех v(-) G функции

6у0 буо Syo 5уо ттт)\,

Sb Sb Sb

Ь|. 1€1^х[щ](01,

Sb ограничены при t Е Т, s Е Т суммируемыми на М3 функциями. Тогда решение задачи (7), (8) находится по формуле

1 X^ -f" X^ expC-^--)^!) % (9) to

В пункте 2.3.1 изложена методика перехода к детерминированной задаче и найдено решение этой задачи. Введем в рассмотрение вспомогательное отображение Y(t, x,v(-),w(-)) = M(u(t,x)e(v(-),w(•))).

Для отображения У получается детерминированная задача, допускающая явное решение. При этом M(u{t, х)) = Y(t, х, 0,0).

Умножим обе части уравнений (1)-(2) на e(v(-), w(-)), которое задано формулой (3), и найдем математическое ожидание по функции распределения процессов е, f и щ. Если существуют соответствующие производные отображения У, то последние равенства формально можно записать в виде

- ,,.(■),Ч)) + ^(t,„„(.),Ч)Н

Y(t0, х, v(.),w(-)) = M{u0(x))ip{v(-), <)), (И) где ip - характеристический функционал процессов е и /. При этом использовано свойство независимости случайного поля щ с е и /.

В дальнейших рассуждениях для более короткой записи формул будем использовать обозначения v и w вместо v(-) и -ш(-) соответственно.

Определение 1. Математическим ожиданием решения задачи (1), (2) называется

Mu(t, х) = Y(t,x, 0,0), (12) где Y - решение задачи (10), (11) в некоторой окрестности нулевой точки (0,0) G L\(T) х L\(T х R3). Если Y является решением (10), (11) в смысле обобщенных функций, то (12) называется обобщенным математическим ожиданием решения задачи (1), (2).

Теорема 3. Пусть (функция М(щ{х)) суммируема на М3 и при каою-дом w из некоторой окрестности нуля в L\(T х М3) выполняются условия теоремы 2, тогда решение задачи (10), (11) находится по формуле

ЛуГ/. \ 1 / х2 + х\ \ Yit, х. v. w) = -—;-г ехр( — —.-г) *

ХТ (М(щ(х)) 2 F^[Utot(^Mv:

Ч^г^-Щ) - da) to

В пункте 2.3.2 получена формула математического ожидания решения задачи Коши для уравнения теплопроводности (1), (2).

Теорема 4. При выполнении условий теоремы 3 математическое ожидание решения задачи (1), (2) находится по формуле

Л/Г /, ч 1 / х% + х\ . х2х3

Mu(t, х) = —-г ехр(——^

4тг(* —10) 4(f-f0)'

2*3 (М(щ(х)) V ^-'Ш^МО^Жхг))t г

В параграфе 2.4 второй главы рассмотрены частные случаи нахождения математического ожидания решения задачи (1), (2).

В пункте 2-4-1 рассмотрен случай независимых случайных процессов е и

Теорема 5. Пусть в задаче (1), (2) случайные процессы е и f независимы, характеристический функционал процесса е <р£ : Ь\(Т) —> С имеет вариационную производную по v € L\{T), функции М(щ(х)) и M(f(t,x)) локально суммируемы. Тогда обобщенное математическое оэюидание решения задачи Коши (1), (2) находится по формуле л г Г л \ 1 / х2 + хз \ Х2Х3

Mu(t, х) = -—-г ехр(——г-т) * 4тг(*-*о) ^ 4(t — to) t

М(и0(х))^ + I в) X to

2 2

X ° (^Л^ЫОЖ^) * M(f(s, x)))ds. (15)

Заметим, что для нахождения математического ожидания решения задачи (1), (2) по формуле (15) достаточно знать характеристический функционал процесса е и математические ожидания М(щ(х)) и M(f(t,x)).

В пункте 2.4-2 найдено математическое ожидание решения задачи Коши (1), (2) для случая, когда е имеет нормальное распределение.

Гауссовский случайный процесс определяется характеристическим функционалом ipe(v) = ехр(г J Me(s)v(s)ds - ~ J J 6(si, s2)v(sl)v(s2)dsids2), (16) т T T где Me(s) - математическое ожидание e и b(s1:s2) = M(e(si)e(s2)) - Me(si)Me(s2)

- ковариационная функция процесса е.

Теорема 6. Пусть гауссовский случайный процесс е независим с процессом f, Me(t) > 0, Ме(-) е Loo(T), v G £i(T), функция Ь:ТхТ->1 измерима и ограничена, функции М(щ(-))} M(f(t, •)) локально суммируемы. Тогда обобщенное математическое ожидание решения задачи (1), (2) вычисляется по формуле

Mu{t, х) = -г exP(-f + Х\) %хз х2х3 , 1 X? . . xi (--exp(---t-i-)) *

2^тг fMe(s)ds 4 fMs(s)ds

00 -y r r Q^k

J K^S2)dslds2)k^kM{uQ(x))^

Xl * ^ tQ to t

2, 7TjMe{r)dr 4 jMe(r)dr S

V 0 i £ x 00 1 С С д^

Т,ШЧ J 6(Sb (17) fc=0 5 e

В пунктах 2.4-3 и 2-4-4 второй главы получены формулы нахождения математического ожидания решения задачи (1), (2) для случая равномерно распределенного случайного процесса и случая распределения Лапласа.

В параграфе 2.5 главы 2 получена оценка погрешности при замене коэффициентов уравнения их средними значениями.

Заменим в задаче (1), (2) случайные процессы е, /, щ их средними значениями. Получим детерминированную задачу Коши ди&>х) м(г(Л\д2и^ 1 д2ц(*»ж) I , NN /1йх эГ - + -Щ- + —ш- + м(/(*' (18) u(t0,x) = M{uo(x)). (19)

Теорема 7. Пусть гауссовский случайный процесс е независим с процессом f, Me(t) > 0, Ме(-) 6 LP(T), р > 1, функция 6 : Т х Т —> R измерима и ограничена, Мщ{-) £ Соо(М3); существуют постоянные с > Q, q > О, ci > Qi > 0; при которых выполняются неравенства dik щ~кМ(щ(х))\ < ck\q\ х£Ж\к = 0,1, 2,(20) я4к kMf{t, х)\ < С1к\д1 te Т, х Е К3, к = 0,1, 2,., (21) qj J b(sus2)ds1ds2 < 2. (22)

Т Т

4i J J b(si,s2)ds1ds2 < 2. (23) г т и Mu(t,x) - математическое ожидание решения задачи (1), (2), тогда справедлива оценка t t

2 2 J J b(si, s2)dsids2 \Mu{t, x) - Ul(t, x) | < ^ (СЧ . exp( Ж2 + Жз > <0 ^ 2 - q f f b(si, s2)ds1ds2 to to t t

Г CiOi Z2 + Z2 ffb(si,S2)ds1d32 + / ——- exp(——--ds: (24)

J 4TTt-5 PV t t [ J t0 2-9i J J b(si,s2)dsids2 s s

2deu\(t,x) -решение задачи (18), (19).

В параграфе 2.6 главы 2 получена формула для нахождения второй мо-ментной функции решения задачи (1), (2).

Введем в рассмотрение вспомогательное отображение

Z{t, t', х, х\ v, w) = M(u(t, x)u(tx')e(v, w)), (25) где e(v,w) имеет вид (3).

Из определения отображения Z следует, что оно симметрично по переменным (t, х) и х'). т.е.

Z(t, t', х, хг;, u>) = х', х, v, w).

Умножим на u(t', х')е(у, и>) уравнение (1) и усредним по функции распределения процессов е. f и г^о- Формально это равенство можно записать в виде dZ(t,t',x,x',v:w) 5 д2 . . д2 , . . . — г „ ,——t^Z[t} t, х, х , v, w) + t ,x,x ,v, w)~\dt 5v{t)dx\ '

Э2 . , 5Y(t':x',v,w)

Щ Z(t,t, -г • (26)

Здесь x, v, ги) - обобщенное решение задачи (5)-(6).

К сожалению, из условия (2) не удается получить начальное значение

Z(to, t'} х, ж', г;, ги).

Однако, если умножить (2) на u(to, x')e(v, w) и усреднить по функции распределение процессов г, / и щ, то получим

Z(t0, t0, х, х', v, гу) = ги). (27)

Определение 2. Обобщенной второй моментной функцией решения задачи (1), (2) называется

M(u(t, x)u(t', х')) = Z(t, х, t', х', 0, 0), где Z - обобщенное симметричное по (t,x) и (t',xf) решение задачи (26), (27).

Используя симметричность отображения Z можно выписать решения задачи (26), (27).

Теорема 8. Пусть М{щ{х)), М{щ{х')), М(щ(х)щ(х')) локально суммируемы в некоторой окрестности точки (0,0) G L\{T) х L\(T х М3) и существуют вариационные производные

6(p(v,w) 6(p(v,w) S2ip(v,w)

5w(s,x')'' 8w(s,x)' 6w(s,x)5w(Q,x') Тогда симметричное no переменным (£, x) и (t',x') обобщенное решение задачи (26), (27) находится по формуле п/ , ,/ / \ 1 / + Х\ \ Х2Х3

2 2

3 ^'[^^^HywCiO^.u,)]^)]^!))) - ii<t to) t7 ^ ъ/г ( t w Xl f 1 < X2 + \ X2X3 {МЫх)) * J m^T^-W^^ * tQ

X0 "t- X"\ \ X2X3 / Л /г / / /\ N f 1 / \ X2X3 x-p(-i^y) * * J i^)-p(-i^) to m t t1 f f 1 , A + x\ \ x*x* t 1 t x2 + x'i Л х2х'з

J ds J Mt^)exp("4(^)) * (M^loexp(-4(F-^)) * to to

X2X>3

F4:1 [Uet,(iV)Uai№(41)]КЖ&)]ЫШ

Теорема 9. Пусть выполняются условия теоремы 6, тогда обобщенная вторая моментная функция решения задачи (1), (2) находится по формуле

M* - *0) t' to w-co)* / мЬу-(-i^) to

29) t и ,

1 / + Ж3 \ ^zzs / 1 ( + x\ X'2x jds] * to to

2X3 *

XoX

2 3 *

В параграфе 2.7 найдена вторая смешанная функция решения задачи Ко-ши для уравнения диффузии (1), (2).

В пункте 2.8.1 получена формула второй моментной функции решения задачи (1), (2), когда случайный процесс е, заданный характеристическим функционалом <pe(v), независим со случайным процессом /.

В пункте 2.8.2 рассмотрен случай нормально распределенного случайного процесса е и получена формула для вычисления второй моментной функции.

В параграфе 2.9 главы 2 получена формула для вычисления дисперсионной функции решения задачи (1), (2).

Определение 3. Дисперсионной функцией решения задачи (1), (2) называется

Du(t, х) = Mu2(t, х) - (Mu{t, ж))2, где Mu(t,x) - обобщенное математическое ожидание решения задачи (1), (*)■

Теорема 10. Пусть М(щ(х)), M(uq(x)) локально суммируемы в некоторой окрестности точки (0,0) G L\(T) х L\{T х R3) и существуют вариационные производные

6(p(v,w) 82ip(v,w) 5w{s,x): Sw(s,x)2 Тогда обобщенная дисперсионная функция решения задачи (1), (2) имеет вид

Du(t'x) = to)2 ~ * 0)]Ы) + у exp(-f^) ^ t

2 2

1 х2 + Х3 N х2х3 to

1 t f [ 1 / + х3 л х2^3 J J !6л»(«-а)»ехр("4^1)) * to io

В пункте 2.10.1 получена формула для нахождения дисперсионной функции решения задачи Коши (1), (2) в случае независимости случайного процесса е от случайного процесса /.

Теорема 11. Пусть выполняются условия теоремы 10, функция M(f(s,x)) локально суммируема, кроме того, случайные процессы £ и f независимы, тогда обобщенная дисперсионная функция решения задачи (1), (2) имеет вид

Xi to

F^l[Ust{ifi)ve(0)](si) - * M{f(s,x))ds+ t t J J - sf 6XP( 4(t-5)j * io to

3 ^[ЪгШ^ОЫОЖШх!) * (M(f(s,x)) - (M(/(S,X)))2)^S. (31) В пункте 2.10.2 второй главы получена формула для вычисления дисперсионной функции в случае нормально распределенного случайного процесса е.

В параграфе 3.1 третьей главы диссертации рассматривается задача Ко-ши для уравнения диффузии с пятью случайными коэффициентами du(t,x) d2u(t,x) d2u{t,x) d2u(t,x) . du(t}x) ~~дГ~= £l[t) дх2 + дх\ + дх\ + £2{t)~d^T+ ^(t)u(t, x) + /(*, x), (32) u(t0, x) = u0(x). (33)

Здесь t e T = [t0,С К, ж e E3, и : Т х Е3

М - искомая функция, £j(t) > 0, j = 1,4 - случайные процессы, / : Т х М3 —> Е - случайный процесс, wo : R3 Е - случайное поле, независимое с j = 1, 4 и /. Предполагается, что случайные процессы j = 1,4 и / заданы характеристическим функционалом, т.е. известно где

О? w(')) = ехр(г J Y^£j(s)vj(s)ds + J J f(s,r)w{s,r)dsdr), (34) т i=1 т m3

М - знак математического ожидания по функции распределения процессов £j, j = 174 и /, 5 е Т, т £ К3, Vj(') £ Li(T), j = 174 - элементы пространства суммируемых на отрезке Т функций, w(-) £ L\{T х Ж.3) - элемент пространства суммируемых на множестве Т х I3 функций.

Задача состоит в нахождении математического решения задачи (32), (33).

В параграфе 3.2 главы 3 находится решение линейных дифференциальных уравнений первого и третьего порядка, содержащих вариационные производные.

В параграфе 3.3 третьей главы получена формула для нахождения вычисления математического ожидания решения задачи (32), (33).

Теорема 12. Пусть существует окрестность Q, С L\{T) х Ь\{Т) х

L\(T) х L\{T) точек Vj = 0, j = 1,4, такая, что при всех Vj из О, и при каждом w из некоторой окрестности нуля в L\{T х М3) функции

Syv $Уо $Уо уо1' 'мо1' '^й1, '^W1, 'м*)1, буо <ЗЧ/о $У{) $Уо

Syo Sy$ Sb ■ Sb

L<M*) |Si XL5v3{ty^Mi 1 " *6v!(*)" ]Sv2(ty, Sb Sb Sb Sb Sb Sb l^fer^KOI. l^br^KOI, I^IxTT^KOI. l^b^KOI.

ЗЙ" Vl(*)j^М*) xlSv4(t)

Sb Sb itf^t^Koi. m+&)Fxma

Sb Sb ограничены при t £ Т, s £ Т суммируемыми на М3 функциями. Пусть, кроме того, функция М(щ(х)) суммируема на Ж3. Тогда математическое ожидание решения задачи (32), (33) находится по формуле

Mu{t'x) = % МЫх)) * F^GUitf, -гЩО, 0)]Wt to F^mc^i -a, -6, (35) где Gst(ai, a2, аз, w) - это отображение применяемое по переменным

V\, v2, V4 следующим образом

Gst(ai, а2, а3, a4)ip(v, w) = ф(уi + aix(s, t, -),v2 + a2x(s, t, •),

Щ + a3x(s, t, ■), v4 + a4x{s, t, -),w),

В пункте 3.4-1 третьей главы найдена формула вычисления математического ожидания решения задачи (32), (33) для случая независимых случайных процессов £j, j = 1,4 и /.

В пункте 3-4-2 главы 3 получена формула для нахождения первой мо-ментной функции решения задачи (32), (33) для случая, нормально распределенных случайных процессов ej, j = 1, 4.

В параграфе 3.5 третьей главы диссертации рассматривается задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка со случайными коэффициентами х + q{t)x + e{t)x = f(t), (36) x(t0) = xQ) (37) ж (to) = (38) где t G T = [to,ti] С М, х 6 М, /, g - заданные функции, жо, Xi - случайные величины, - случайный процесс, заданный характеристическим функционалом cp£(v) = М(ехр(г J £(s)v(s)ds)), (39) т v - элемент пространства L\(T) суммируемых на отрезке Т функций, М -математическое ожидание по функции распределения процесса е. Предполагается, что случайный процесс e(t) независим со случайными величинами xq, х\. Задача состоит в нахождении первой моментной функции решения задачи (36)-(38).

В пункте 3.5.2 третьей главы задача (36) - (38) сведена к детерминированной задаче.

Введем в рассмотрение вспомогательное отображение у : Т х L\{T) —У С y(t,v) = M(x(t) ехр(г J e(s)v(s)ds)), т v(-) Е. L\(T) - элемент пространства суммируемых на отрезке Т функций. Заметим, что y(t, 0) = M(x(t)).

Умножим (36)-(38) на ехр(г f s(s)v(s)ds) и усредним по функции распрет деления е(£), xq, гсь Получим d2y{t,v) , ,.^dy(t,v) 15y(t,v)

5Г" + q{t)+ = (40) y(tQ,v) = M(x0)if£(v), (41) = («)

Недостатком этой задачи является то, что в уравнение входит комплексный коэффициент и это несколько усложняет расчеты на вычислительной машине. Сведем задачу к вещественной, сделав замену

Y(t,w)=y{t,iw),w{-)£L1(T), тогда

SY(t,w) .8y{t,iw) .Sy(t,v), 18y(t,v) i~rr.—rrr = г

5w(s) "S(iw{s)) " 5v(s) |г1 w г <k>(s) u гги' и (40)-(42) преобразуется к виду

-•■- ««•> М

44)

45)

Мы получили детерминированную вещественную задачу (43)-(45) для задачи Коши (36)-(38), при этом M(x(t)) = Y(t, 0).

В параграфе 3.6 главы 3 выписывается система разностных уравнений для задачи (43)-(45).

Выберем т - шаг по переменному t, а > 0 - шаг по переменному w. Введем обозначения tm = to + тт> wn(m) = nax(to + mr, t0 + mr + Д, •), m = Y(tm,Wn(rri)), qm - q{k + ГПт),

Ki ~ f{tо + mr)(fe{nax{to + mr, t0 + mr + Д, ■)), где x(^0) + A, s) - характеристическая функция отрезка с концами to, А, т.е. + A? s) — 1 при s, принадлежащему этому отрезку и +

A, s) = 0 в противном случае. Перейдем от задачи (43)-(45) к разностной задаче, yn 9Yn 4- Yn Yn — Yn yn+l yn

1m+1 m ' m-1 j m+1 m—1 JшJm in Mf^ r2 +Ятп 2r аД -&m, W

Y? = M(x0)<pe(iwn(0)), (47)

Yi = V + тМ(Ж1)^(шп(1)), (48) причем </?e(wun(0)) и (p£(iwn( 1)) вещественные функции.

В параграфе 3.7 проведено исследование на устойчивость полученной разностной схемы.

Решение разностного уравнения будем искать в виде

У£ = Апехр(гт7). (49)

Подставляя выражение вида (49) в соответствующее однородное разностное уравнение (46), получим

2а А . . . Л = 1 Н--7Г- (cos 7 — 1) И--г sin 7. tz т

Для устойчивости разностной схемы (46) необходимо выполнение условия

I А(7) |< 1.

Таким образом, разностная схема устойчива при выполнении условий: аД 1 г- 2' (50)

-2 aAqlm < 2.

В параграфе 3.8 получена разностная формула для нахождения математического ожидания решения задачи (36)-(38).

Получили, что условие (50) обеспечивает устойчивость разностной схемы, которую можно записать в виде уП ЯгпТ — 2 4а?Л — 2г2 ^^2т2 +1 m+1 qmr + 2 m-1^aA(2 + gmr) m + «Д(2 + gmr) m

2r2

51)

2 +

Кроме этого, получены начальные значения (47), (48).

Математическое ожидание решения задачи (36)-(38) в узлах tm имеет вид

Mxm = Y*. (52)

В параграфе 3.9 приведены примеры вычисления математического ожидания решения задачи Коши для обыкновенного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка со случайными коэффициентами для случая нормально распределенного случайного процесса е.

В заключении диссертации сделаны выводы о проделанной работе.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Хребтова, Светлана Сергеевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты, полученные в работе, являются новыми. Решения дифференциальных уравнений с частной и вариационной производными позволили найти выражения для моментных функций решений дифференциальных уравнений, коэффициенты которых являются случайными процессами.

Эти результаты устанавливают связь континуального интеграла с уравнениями в вариационных производных. Разработанная методика перехода от задачи Коши для дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка со случайными коэффициентами к детерминированной задаче может быть применена и к другим дифференциальным уравнениям, коэффициенты которых являются случайными процессами. Полученные формулы для нахождения первых двух моментных функций, дисперсионной функции и второй смешанной функции могут быть использованы в практических расчетах.

Полученные формулы являются обобщением известных результатов для детерминированных уравнений, поскольку при стремлении к нулю ковариационной матрицы в пределе получаются известные формулы для решений детерминированных уравнений.

Эти результаты являются перспективными и могут быть использованы для нахождения моментных функций решений и других дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами, являющихся моделями различных процессов. Полученные результаты позволяют находить моментные функции высокого порядка решений дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка для случая п - мерного фазового пространства.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Хребтова, Светлана Сергеевна, 2009 год

1. Адомиан Дж. Стохастические системы / Дж. Адомиан. М. : Мир, 1987.- 376 с.

2. Боголюбов Н.Н. Введение в теорию квантовых полей / Н.Н. Боголюбов, Д.В. Ширков. М.: Наука, 1976 .- 479 с.

3. Боровикова М.М. Моделирование диффузии вещества в плоской случайно-неоднородной среде / М.М. Боровикова, В.Г. Задорожний // Вести. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Системный анализ и информационные технологии. Воронеж, 2006 - №2.-С. 10-18.

4. Вентцель Е.С. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения / Е.С. Вептцель, J1.A. Овчаров. Учеб. пособие для втузов. - 2-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2000: - 383 с.:ил. М.: Наука, 1986 - 431 с.

5. Вишик М.И. Аналитические решения уравнения Хопфа, соответствующего квазилинейным параболическим уравнениям или системе Навье-Стокса / М.И. Вишик // Задачи механики и математической физики. М., 1976 .С. 69-97.

6. Вишик М.И. Трансляциоино-однородные статистические решения и индивидуальные решения с бесконечной энергией системы уравнений Навье-Стокса / М.И. Вишик, А.В. Фурсиков // Сиб. мат. журн. 1978 .- Т. 19, №5- С. 1005-1031.

7. Владимиров B.C. Уравнения математической физики, изд. 3-е / B.C. Владимиров. М.: Наука, 1976 528 с. с илл.

8. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике / B.C. Владимиров. М.: Наука, 1976 .- 280 с.

9. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро дифференциальных уравнений / В. Вольтерра. - М.: Наука, 1982 .- 304 с.

10. Гельфанд И.М. Интегрирование в функциональных пространствах и его применение в квантовой физике / И.М. Гельфанд, A.M. Яглом // Успехи мат. наук. 1956 .- Т. 11, № 1(67). - С. 77-114.

11. Гихман И.И. Введение в теорию случайных процессов / И.И. Гихман, А.В. Скороход. М.: Наука, 1977 .- 568 с.

12. Годунов С.К. Разностные схемы / С.К. Годунов, B.C. Рябенький. М.: Наука, 1973 400 с.

13. Далецкий Ю.Л. Дифференциальные уравнения с функциональными производными и стохастические уравнения для обобщенных случайных процессов / Ю.Л. Далецкий // Докл. АН СССР. Т. 166, №5. - С. 1035-1038.

14. Далецкий Ю.Л. Эллиптические операторы в функциональных производных и связанные с ними диффузионные уравнения /Ю.Л. Далецкий // Докл. АН СССР. 1966 Т. 171, №1. - С. 21-24.

15. Далецкий Ю.Л. О некоторых задачах, связанных с интегрированием в функциональных пространствах и дифференциальными уравнениями в функциональных производных / Ю.Л. Далецкий // Труды симпозиума по механике сплошных сред. Тбилиси, 1973 .- С. 78-88.

16. Далецкий Ю.Л. Уравнения первого порядка с функциональными производными / Ю.Л. Далецкий, И.М. Кухарчук // УМЖ. 1965 .-№6. - С. 114117.

17. Далецкий Ю.Л. Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах / Ю.Л. Далецкий, С.В. Фомин. М.: Наука, 1983 .383 с.

18. Диментберг М.Ф. Нелинейные стохастические задачи механических колебаний / М.Ф. Диментберг. М.: Наука, 1980 .- 368 с.

19. Дуб Дж. Л. Вероятностные процессы / Дж. Л. Дуб. М. : ИЛ, 1956 .605 с.

20. Задорожний В.Г. Вполне интегрируемые уравнения с вариационными производными / В.Г. Задорожний // Wissenchfftliche Haupttagung. Hauptfor-trage, Vortragauszuge. Martin-Luther Uniwersitat. Halle. - 1974 .- pp. 172-173.

21. Задорожний В.Г. Вполне интегрируемые уравнения с вариационными производными / В.Г. Задорожний // Диф. уравнения. 1975 .- №11- С. 2027-2039.

22. Задорожний В.Г. Решение некоторых уравнений с вариационными производными / В.Г. Задорожний. Препринт 87.34, Киев : Институт математики АН УССР. - 1987 52 с.

23. Задорожний В.Г. Вычисление моментов решения линейной неоднородной стохастической системы дифференциальных уравнений / В.Г. Задорожний // Математическая физика, Киев. 1988 .- №9,(43). - С. 9-13.

24. Задорожний В.Г. О разложении характеристического функционала линейной стохастической системы в степенной ряд / В.Г. Задорожний // УМЖ. 1989 .- Т.41, №9. - С. 1207-1214.

25. Задорожний В.Г. О дифференциальных уравнениях второго порядка в вариационных производных / В.Г. Задорожний // Диф. уравнения. 1989 Т.25, №10. - С. 1679-1683.

26. Задорожний В.Г. О задаче Коши, соответствующей линейной системе дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами / В.Г. Задорожний // Диф. уравнения. 1990 .- Т. 26, №3. - С. 545-546.

27. Задорожний В.Г. Дифференциальное уравнение в банаховом пространстве, содержащее вариационную производную / В.Г. Задорожний // Сиб. мат. ж. 1992 .- Т.ЗЗ, №2. - С. 80-93.

28. Задорожний В.Г. Моментные функции решений стохастических дифференциальных уравнений / В.Г. Задорожний. Препринт: Воронеж, ВГУ. -1992 30 с.

29. Задорожний В.Г. О линейном дифференциальном уравнении первого порядка с обычной и вариационной производными / В.Г. Задорожний // Ма-тем. заметки РАН. 1993 .- Т.53, Вып. 4. - С. 36-44.

30. Задорожний В.Г. Отыскание моментных функций решения задачи Коши для дифференциального уравнения второго порядка / В.Г. Задорожний, Т.И. Смагина // Вестник факультета ПММ. Воронеж, ВГУ. - 1998 С. 5256.

31. Задорожний В.Г. Моментные функции решения задачи Коши стохастического уравнения теплопроводности / В.Г. Задорожний // Докл. Академии Наук. 1999 .-Т.364, №6. - С. 735-737.

32. Задорожний В.Г. Дифференциальные уравнения с вариационными производными / В.Г. Задорожний. Воронеж : Изд-во Воронеж, гос. ун-та, 2000 .- 327 с.

33. Задорожний В.Г. Моментные функции решения уравнения теплопроводности со случайными коэффициентами / В.Г. Задорожний // Фундаментальная и прикладная математика. 2001 Т.7, №2. - С. 351-371.

34. Задорожний В.Г. О нахождении моментных функций решения задачи Коши уравнения диффузии со случайными коэффициентами / В.Г. Задорожний // Известия АН РАН. 2002 Т.66, №4. - С. 119-136.

35. Задорожний В.Г. Методы вариационного анализа / В.Г. Задорожний. М. - Ижевск: НИЦ РХД, 2006 .- 316 с.

36. Задорожний В.Г. О моментных функциях решения начальной задачи линейного дифференциального уравнения первого порядка со случайными коэффициентами / В.Г. Задорожний, JI.H. Строева // Диф. уравнения. -2000 .- Т.36, №3. С. 377-385.

37. Задорожний В.Г. Первые моментные функции решения уравнения теплопроводности со случайными коэффициентами В.Г. Задорожний, С.С. Хребтова // Журнал вычислительной математики и математической физики. -2009 .- Т. 49, № 11. С. 1-16.

38. Иосипчук М.Д. Решение одного уравнения с функциональной производной / М.Д. Иосипчук // В1сник Льв1вск. полггехн. шст-та. 1970 .- №44.- С. 106-108.

39. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно неоднородных средах / В.И. Кляцкин. - М.: Наука, 1980 .- 333 с.

40. Ковальчик И.М. Задача Коши для одного уравнения в функциональных производных / И.М. Ковальчик // Докл. АН УССР. 1966. - №3. -С. 284-286.

41. Ковальчик И.М. О приближенном решении некоторых уравнений с функциональными производными / И.М. Ковальчик // Bichhk JIbBiBCK. поль техн. шст-та. 1967 .- №18. - С. 13-23.

42. Ковальчик И.М. Линейные уравнения с функциональными производными / И.М. Ковальчик // ДАН СССР. 1970. - Т.194, №4. - С. 763-766.

43. Ковальчик И.М. Представление решений некоторых уравнений с функциональными производными с помощью интегралов Винера / И.М. Ковальчик // ДАН УССР. 1976 .-сер. А, №12. - С. 1078-1082.

44. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. М.: Наука, 1976 С. 405-406.

45. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Кори. М.-Наука, 1984 .- 832 с.

46. Леви П. Конкретные проблемы функционального анализа / П. Леви.- М.-Наука, 1967 .- 510 с.

47. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики / Г.И. Марчук. -М.: Наука, 1977 .-454 с.

48. Мельничак Н.П. Неоднородные линейные уравнения с функциональными производными / Н.П. Мельничак // Матем. физика, Респ. Межвед. сб.- 1977. N119. - С. 146-149.

49. Монин А.С. Статистическая гидродинамика ч.1 / А.С. Монин, A.M. Яглом. М.: Наука, 1965 .- 639 с.

50. Монин А.С. Статистическая гидродинамика ч.2 / А.С. Монин, A.M. Яглом. М.: Наука, 1967 .- 720 с.

51. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики : Пер. с англ. / Р. Рихтмайер. М.: Мир, 1982 .- 488 с. с ил.

52. Розанов Ю.А. Введение в теорию случайных процессов / Ю.А. Розанов.- М.: Наука, 1982 .- 182 с.

53. Самборский С.Н. О существовании решений нелинейных уравнений в вариационных производных / С.Н. Самборский // Труды Моск-го ин-тахим. машиностроения. 1974. - вып. 53. - С. 57-59.

54. Скороход А.В. Интегрирование в гильбертовом пространстве / А.В. Скороход. М.: Наука, 1975 .- 232 с.

55. Сумера С.С. Нахождение математического ожидания решения стохастического дифференциального уравнения второго порядка со случайными коэффициентами / С.С. Сумера // Вестник факультета прикладной математики и механики. Воронеж, 2007. - вып.6. - С. 161-169.

56. Сявавко М.С. О теореме Коши-Ковалевской для уравнений с функциональными производными / М.С. Сявавко // ДАН УССР. 1968 .- А, №1. -С. 32-35.

57. Сявавко М.С. Об одном классе уравнений с функциональными производными / М.С. Сявавко, И.П. Мельничак // УМЖ. 1974 .- Т.26, №6. -С. 836-841.

58. Татарский В.И. Распространение волн в турбулентной атмосфере / В.И. Татарский. М.: Наука, 1979 286 с.

59. Тихонов В.И. Статическая радиотехника / В.И. Тихонов. М.: Сов. радио, 1966 .- 678 с.

60. Тихонов В.И. Воздействие флуктуаций на простейшие параметрические системы / В.И. Тихонов // Автоматика и телемеханика. 1958 .- Т. 19, №8. - С. 717-723.

61. Фурсиков А.В. О проблеме замыкания цепочки моментных уравнений в случае больших чисел Рейнольдса / А.В. Фурсиков // Неклассические уравнения и уравнения смешанного типа, Новосибирск: Ии-т математики СО АН' СССР. 1990 С. 231-250.

62. Фурсиков А.В. Проблема замыкания цепочек моментных уравнений, соответствующих трехмерной системе уравнений Навье-Стокса в случае больших чисел Рейнольдса / А.В. Фурсиков // ДАН СССР. 1991 .- Т.319, №1. - С. 83-87.

63. Фурсиков А.В. Моментная теория для уравнений Навье-Стокса со случайной правой частью / А.В. Фурсиков // Изв. АН СССР, Сер. математическая. 1992 Т.56, №6. - С. 1273-1315.

64. Шерстнев А.Н. О решении уравнений в функциональных производных / А.Н. Шерстнев // Изв. Вузов. Математика. 1961 .- №6. - С. 155-158.

65. Шварц J1. Анализ / JI. Шварц. М.: Мир, 1972 824 с.

66. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс / Г.Е. Шилов // Под ред. О.А. Олейник, В.П. Паламодова, Б.П. Панеяха. 2-е перераб. изд., М.: МГУ, 1984 .- 208 с.

67. Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс / Г.Е. Шилов. М.: Изд-во физ.-мат. лит-ры, 1960 388 с.

68. Hopf Е. Statistical hydromechanics and functional calculus / E. Hopf // J. Rat. Mech. Anal. 1952. - V.87, №1. - p. 19-43.