Моментные функции решений уравнения диффузии тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Беседина, Татьяна Владимировна

• Беседина, Татьяна Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Беседина, Татьяна Владимировна

Введение

Глава 1. Вариационная производная и характеристики случайных процессов.

§ 1.1. Вариационная производная.

§ 1.2. Обобщенные функции

1.2.1. Свертка

1.2.2. Преобразование Фурье.

§ 1.3. Случайные процессы и их характеристики

§ 1.4. Вспомогательные утверждения

Глава 2. Дифференциальные уравнения с вариационными производными.

§ 2.1. Обратная задача вариационного исчисления для систем дифференциальных уравнений второго порядка

2.1.1. Условия существования решения обратной задачи

2.1.2. Нахождение вариационного интеграла.

2.1.3. Интегрирующий множитель

§ 2.2. Дифференциальные уравнения с обычными и вариационными производными

2.2.1. Уравнение первого порядка с обычной и вариационными производными.

2.2.2. Уравнение третьего порядка с обычными и вариационными производными.

Глава 3. Моментные функции решения задачи Коши для уравнения диффузии.

§ 3.1. Постановка задачи.

§ 3.2. Переход к детерминированным задачам

3.2.1. Математическое ожидание .ТО

3.2.2. Вторая моментная функция

3.2.3. Дисперсионная функция

3.2.4. Частные случаи

3.2.4.1. Случай независимости процесса / от процессов е, /

3.2.4.2. Случай независимых процессов при конкретных законах распределения

3.2.4.3. Случай зависимых процессов при конкретных законах распределения

3.2.4.4. Случай дискретных случайных величин

§ 3.3. Характеристический функционал дифференциального уравнения

3.3.1. Разложение характеристического функционала в степенной ряд

3.3.2. Моментная функция п-го порядка решения задачи Коши.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моментные функции решений уравнения диффузии»

Многие процессы в природе, технике и экономике описываются с помощью дифференциальных уравнений в частных производных. Если эти уравнения детерминированные, то такие задачи достаточно изучены, и иногда могут быть/найдены точные решения. Часто реальные процессы зависят от влияния случайных факторов и детерминированные модели не подходят. В этом случае рассматриваются дифференциальные уравнения, коэффициенты которых являются случайными, процессами, при этом решения уравнений также являются случайными процессами; При исследовании' случайных процессов наиболее важными характеристиками являются моментные функции.

Задачу нахождения моментных функций; решений уравнений со случайными коэффициентами рассматривали: Дж. Адомиан, [1], Вент-цель Л.Д. [19], Кляцкин В.И: [39], Татарский В:И. .[511, Тихонов В.И. [52], Фурсиков A.B. [54, 55], Монин A.G., Яглом A.M. [43, 44]; и другие. Применяют различные4подходы. Строят цепочки уравнений для моментных функций, используют метод последовательных приближений, при малых случайных возмущениях строят асимптотическое приближение; для некоторых задач значение моментных функций можно получить из явного вида решения. В случае линейных дифференциальных уравнений применим метод, рассмотренный Задорожним В.Г. в работах [27, 29], [30]-[33] j [36, 38]. Данный метод основан на сведении поставленной задачи к нахождению решений детерминированных дифференциальных уравнений с обычными и вариационными производными. В работах Строевой; Л.Н. [35, 48, 50] рассматривается дифференциальное уравнение первого порядка в частных производных, в [49] получена формула момент-ной функции; п-го порядка. Боровикова М.М. [13]-[16] и Хребтова С.С.

34, 37, 56, 57] рассматривали частные случаи уравнения теплопроводности с двумя и тремя, соответственно, фазовыми переменными, получены формулы для первой, второй, дисперсионной и смешанных моментных функций.

Целью данной работы является нахождение решений дифференциальных уравнений с вариационными производными и моментных функций решения задачи Коши для -уравнения переноса и диффузии с тремя фазовыми переменными.

Перечисленные ниже основные результаты диссертации являются новыми. В работе выведены необходимые и достаточные условия существования решения обратной задачи вариационного исчисления для систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка; найдена формула для нахождения вариационного интеграла от систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка; выведены необходимые и достаточные условия существования интегрирующего множителя обратной задачи для линейных систем дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами при производных и искомой функции; получены следующие формулы: решения задачи Коши для неоднородных уравнений первого и третьего порядков с обычными и вариационными производными; математического ожидания, второй моментной и дисперсионной функций решения задачи Коши для урав нения диффузии с тремя фазовыми переменными; первых моментных функций при конкретных законах распределения, как в случае независимых между собой случайных процессов, так и зависимых; коэффициентов разложения характеристического функционала дифференциального уравнения диффузии в степенной ряд; моментной функции п-го порядка для решения уравнения диффузии.

Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты

- б могут использоваться в вариационном исчислении, теории дифференциальных уравнений с вариационными производными. Полученные формулы моментных функций могут применяться для расчетов конкретных процессов диффузии.

Основные результаты докладывались и обсуждались на семинарах и научных конференциях Воронежского государственного университета; на Крымской осенней математической школе-симпозиуме "КРОМШ XX" - 2009 (Украина, Крым); на международной конференции "Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики" -2009, 2010, 2011 (Воронеж); на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения XX, XXI, XXII" - 2009, 2010, 2011 (Воронеж); workshop "Deterministic and stochastic variational methods and application" - 2010 (Германия, Галле).

Основные результаты работы опубликованы в [2]—[12]. Из совместных публикаций в диссертацию вошли результаты, принадлежащие лично автору. Работа [5] опубликована в издании, соответствующему списку ВАК РФ.

Работа состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и списка цитируемой литературы, содержащего 61 наименование. Общий объем диссертации - 130 страниц.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Беседина, Татьяна Владимировна, 2011 год

1. Адомиан Дж. Стохастические системы / Дж. Адомиан. - М. : Мир, 1987. - 376 с.

2. Беседина Т.В. Вторая моментная функция решения уравнения диффузии со случайными коэффициентами / Т.В. Беседина // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения XXI". -2010. С. 32-33.

3. Беседина Т.В. Дисперсионная функция решения уравнения диффузии со случайными коэффициентами / Т.В. Беседина // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики: сборник трудов Международной конференции. 2010. - С. 55-57.

4. Беседина, Т.В. Интегрирующий множитель обратной задачи вариационного исчисления для систем дифференциальных уравнений / Т.В. Беседина // Вестник факультета прикладной математики, информатики и механики. 2009. - Выш 7. - С. 15-19.

5. Беседина Т.В. Моментные функции решения уравнения переноса и диффузии / Т.В. Беседина, В.Г. Задорожний // Вестник Воронежского государственного университета. Серия Физика. Математика.2010. № 2. - С. 15-25.

6. Беседина Т.В. Моментная функция п-го порядка решения уравнения диффузии со случайными коэффициентами /Т.В. Беседина // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения XXII".2011. С. 34.

7. Беседина Т.В. О математическом ожидании решения трехмерного стохастического уравнения диффузии /Т.В. Беседина // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения XX". 2009. -С. 24-25.

8. Беседина Т.В. О математическом ожидании решения уравнения диффузии со случайными коэффициентами /Т.В. Беседина // Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики. 4.1: сборник трудов Международной конференции. 2009. -С. 55-58.

9. Беседина Т.В. О трехмерном стохастическом уравнении диффузии / Т.В. Беседина, В.Г. Задорожний // Spectral and evolution problems. -2009. Vol. 19. - P. 13-20.

10. Беседина Т.В. Условия существования решения обратной задачи вариационного исчисления для систем дифференциальных уравнений / Т.В. Беседина // Черноземный альманах научных исследований. 2007. - № 2(6). - С. 18-25.

11. Беседина Т.В. Характеристический функционал дифференциального уравнения диффузии со случайными коэффициентами /Т.В. Беседина // Крымская осенняя математическая школа (КРОМШ2011). 22-я ежегодная международная конференция. Тезисы докладов. 2011. - С. 9.

12. Боровикова М.М. Дисперсионная функция решения стохастической задачи Коши для уравнения теплопроводности / М.М. Боровикова // Вестник Ижевского государственного технического университета. 2008. - Т. 4 (40). - С. 195-198.

13. Боровикова М.М. Моделирование диффузии вещества в плоской случайно-неоднородной среде / М.М. Боровикова, В.Г. Задорож-ний // Вестник ВГУ. Серия Системный анализ и информационные технологии. 2006. - № 2. - С. 10-18.

14. Боровикова М.М. Нахождение моментных функций решения двумерного уравнения диффузии со случайными коэффициентами/Боровикова М.М., Задорожний В.Г.// Известия РАН. Серия Математическая. 2010. - Т. 74, Ш. - С. 3-29.

15. Булинский A.B. Теория случайных процессов / A.B. Булинский, А.Н. Ширяев. М. : Физматлит, 2003. - 400 с.

16. Бутковский А.Г. Характеристики систем с распределенными параметрами / А.Г. Бутковский. М. : Наука, 1979. - 224 с.

17. Вентцель А.Д. Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных величин / А.Д. Вентцель, М.И. Фрейдлин. М. : Наука, 1979 - 424 с.

18. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике /B.C. Владимиров. М.: Наука, 1979. - 320 с.

19. Владимиров В. С. Уравнения математической физики / B.C. Владимиров. М. : Наука, 1967. - 436 с.

20. Гельфанд И. М. Вариационное исчисление / И.М. Гельфанд,C.B. Фомин. М. : Гос. изд-во физ-мат. лит-ры, 1961. - 228 с.

21. Гельфанд И.М. Обобщенные функции и действия над ними / И.М. Гельфанд, Г.Е. Шилов. М. : Добросвет, 2000. - 412 с.

22. Гихман И.И1. Введение в теорию случайных процессов / И.И. Гих-ман, A.B. Скороход. М. : Наука, 1977. - 567 с.

23. Дьедонне Ж. Основы современного анализа / Ж. Дьедонне. М. : Мир, 1964. - 432 с.

24. Задорожний В. Г. Вполне интегрируемые уравнения в вариационных производных / В.Г. Задорожний // Дифференциальные уравнения. 1975. - T.XI, №.11. - С. 2027-2039.

25. Задорожний В. Г. Дифференциальные уравнения с вариационными производными / В.Г. Задорожний. — Воронеж : Изд-во Воронеж, гос. ун-та, 2000. 368 с.

26. Задорожний В.Г. Интегрирующий множитель для системы дифференциальных уравнений первого порядка / В.Г. Задорожний // Вестник факультета прикладной математики, информатики и механики. 2007. - Вып. 6. - С. 42-44.

27. Задорожний В. Г. Методы вариационного анализа / В.Г. Задорожний. М. - Ижевск : НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2006. - 316 с.

28. Задорожний В.Г. Моментные функции решения задачи Коши уравнения переноса с диффузией и случайными коэффициентами / В.Г. Задорожний // Доклады академии Наук. 2001. - т. 377, № 5. - С. 588-590.

29. Задорожний В.Г. Моментные функции решения задачи Коши стохастического уравнения теплопроводности / В.Г. Задорожний // Доклады академии Наук. 1999. - Т. 364, № 6. - С. 735-737.

30. Задорожний В.Г. Моментные функции решения уравнения теплопроводности со случайными коэффициентами / В.Г. Задорожний // Фундаментальная и прикладная математика. 2001. - Т. 7, № 2. -С. 351-371.

31. Задорожний В.Г. О линейном дифференциальном уравнении первого порядка с обычной и вариационной производными / В.Г. Задорожний // Математические заметки. 1993. - Т. 53, вып. 4. - С. 36-44.

32. Задорожний В.Г. О моментных функциях решения начальной задачи линейного дифференциального уравнения первого порядка со случайными коэффициентами / В. Г. Задорожний, Л.Н. Строева // Дифференциальные уравнения. 2000. - Т. 36, № 3. - С. 377-385.

33. Задорожний В.Г. О нахождении моментных функций решения задачи Коши уравнения диффузии со случайными коэффициентами /В.Г. Задорожний // Известия АН РАН. Серия математическая. -2002. Т. 66, № 4. - С. 119-136.

34. Задорожний В.Г. Первые моментные функции решения уравнения теплопроводности со случайными коэффициентами / В.Г. Задорожний, С.С. Хребтова // Журнал вычислительная математика и математическая физика. 2009. - Т. 49., № 11. - С. 1-16.

35. Задорожний В.Г. Уравнение теплопроводности со случайными коэффициентами / В.Г. Задорожний // Вестник ВГУ. Серия Физика. Математика. 2000. - Вып. 1. - С. 119-121.

36. Кляцкин В.И. Динамика стохастических систем / В.И. Кляцкин. -М. : ФИЗМАТЛИТ, 2003. 240 с.

37. Кострикин А.Н. Введение в алгебру. Часть II. Линейная алгебра / А.Н. Кострикин. М. : Физико-математическая литература, 2000. -368 с.

38. Курант Р. Уравнения с чсатными производными / Р. Курапт. М. : Мир, 1964.-830 е.

39. Миллер Б.М. Теория случайных процессов в примерах и задачах / Б.М. Миллер, А.Р. Панков. М. : Физматлит, 2002. - 320 с.

40. Монин A.C. Статистическая гидродинамика. Часть 1 / A.C. Монин, A.M. Яглом. М.: Наука, 1965. - 640 с.

41. Монин A.C. Статистическая гидродинамика. Часть 2 / A.C. Монин, A.M. Яглом. М.: Наука, 1967. - 720 с.

42. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям / П. Олвер. М. : Мир, 1989. - 639 с.

43. Пугачев B.C. Теория вероятностей и математическая статистика / B.C. Пугачев. М. : Физматлит, 2002. - 496 с.

44. Рапопорт И.М. Обратная задача вариационного исчисления / И.М. Рапопорт // Известия физико-математического общества. -1939. № И. - С. 47-69.

45. Строева J1.H. Линейная задача переноса со случайными коэффициентами / J1.H. Строева // Вестник факультета прикладной математики и информатики. 2003. - Вып. 4. - С. 124-135.

46. Татарский В.И. Распространение волн в турбулентной атмосфере / В.И. Татарский. М. : Наука, 1979. - 286 с.

47. Тихонов В.И. Воздействие флуктуаций на простейшие параметрические системы / В.И. Тихонов // Атоматика и телемеханика. 1958. -Т. 19, № 8. - С. 717-723.

48. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 2 / Г.М. Фихтенгольц. СПб. : Лань, 1999. - 464 с.

49. Фурсиков A.B. Проблема замыкания цепочек моментных уравнений, соотвествующих трехмерной системе уравнений Навье-Стокса в случае больших чисел Рейнольдса / A.B. Фурсиков // ДАН СССР. -1991. Т. 319, № 1. - С. 83-87.

50. Фурсиков A.B. Моментная теория для уравнений Навье-Стокса со случайной правой частью / A.B. Фурсиков // Изв. АН СССР. Сер. Математическая. 1992. - Т.56, № 6. - С. 1273-1315.

51. Хребтова С.С. Вторая смешанная моментная функция решения задачи Коши для уравнения теплопроводности со случайными коэффициентами / С.С. Хребтова // Материалы 3 международной научной конференции, Воронеж. 2009. - С. 104 - 105.

52. Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс / Г.Е. Шилов. М. : Гос. изд-во физ-мат. лит-ры, 1961. - 436 с.

53. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс / Г.Е. Шилов. М. : Наука, 1965. - 328 с.

54. Anderson I. The inverse problem of the calculus of variations for ordinary differential equations / I. Anderson, G. Thompson // Memoirs of the American mathematical society. 1992. - № 473. - 110 p.

55. Weisstein E.W. Convolution / E.W. Weisstein // MathWorld. -(http://mathworld.wolfram.com/Convolution.html).