Моментные функции решений интегро-дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Сирота, Екатерина Александровна

• Сирота, Екатерина Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сирота, Екатерина Александровна

Введение

I. Глава 1. Задача оптимального управления с интегро-дифференциальными ограничениями

1. Задача оптимального управления с интегро-дифференциальными ограничениями

1.1. Теорема существования и единственности решения задачи

Коши для интегро-дифференциального уравнения

1.2. Теорема о непрерывной зависимости решения интегро-дифференциального уравнения от начальных данных

1.3. Необходимые условия оптимальности

1.4. Формальное применение метода динамического программирования Р.Беллмана

2. Нахождение оптимального управления в задаче о вложении инвестиций

2.1. Нахождение оптимального управления и оптимальной траектории

2.2. Задача с постоянными параметрами

2.3. Примеры

2.4. Задача с невырожденным ядром

2.5. Оптимальное регулирование системой с интегро-дифференциальными ограничениями

II. Глава 2. Моментные функции решений интегро-дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами 48 1. Детерминированное интегро-дифференциальное уравнение

1.1. Постановка задачи

1.2. Решение задачи

1.3. Исследование решения задачи

2. Моментные функции I и II порядка решения интегро-дифференциального уравнения со случайными коэффициентами

2.1. Постановка задачи

2.2. Решение детерминированной задачи

2.3. Вспомогательная детерминированная задача для нахождения математического ожидания

2.4. Решение вспомогательной задачи для нахождения математического ожидания

2.5. Вспомогательная детерминированная задача для нахождения моментной функции второго порядка

2.6. Решение детерминированной задачи для нахождения моментной функции второго порядка

2.7. Частные случаи

3. Система интегро-дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами

3.1. Постановка задачи

3.2. Вспомогательная детерминированная задача для нахождения математического ожидания

3.3. Решение вспомогательной задачи для нахождения математического ожидания

3.4. Пример

4. Нахождение моментных функций высшего порядка

4.1. Вспомогательная задача с параметром

4.2. Нахождение моментных функций высшего порядка

Глава 3. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве 97 I. Дифференциальное уравнение в банаховом пространстве, содержащее вариационную производную

1.1. Линейное однородное уравнение

1.2. Линейное неоднородное уравнение

2. Дифференциальное уравнение в банаховом пространстве со случайными коэффициентами

2.1. Переход к детерминированным уравнениям

2.2. Решение детерминированных задач 105 IV. Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моментные функции решений интегро-дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами»

Обыкновенные дифференциальные уравнения или уравнения с частными производными возникают при математическом моделировании реальных процессов, которые связывают с понятием причинности, т.е. что процесс зависит только от настоящего состояния. Однако существуют модели, учитывающие поведение системы в предшествующие моменты. При этом обычно приходят к дифференциальным уравнениям с запаздыванием, которые трактуют как интегро-дифференциальные уравнения или как дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. Процессы, подверженные влиянию случайных факторов, моделируют уравнениями, со случайными коэффициентами, при этом наибольший интерес представляют моментные функции решений таких уравнений.

Диссертационная работа посвящена изучению моментных функций интегро-дифференциальных уравнений, коэффициенты которых являются случайными процессами. Существует ряд монографий, например Боголюбова Н.Н., Ширкова Д.В., Кляцкина В.И., Монина А.С., Татарского В.И. и др., которые посвящены методам нахождения статистических характеристик случайных процессов в прикладных задачах.

Метод нахождения моментных функций решений задач с начальными условиями, основанный на построении вспомогательной детерминированной задачи, разработан Задорожним В.Г. Вспомогательная детерминированная задача представляет собой задачу Коши для дифференциального уравнения с обычными и вариационными производными. Распространение метода исследования моментных функций решений на случай интегро-дифференциальных уравнений является актуальной задачей, которой и посвящена диссертационная работа.

Диссертационная работа включает три главы. Первая глава посвящена получению необходимых условий оптимальности для непрерывных систем, описываемых интегро-дифференциальными уравнениями. Формулируется и доказывается теорема существования и единственности решения задачи

Коши для интегро - дифференциального уравнения, а также теорема о непрерывной зависимости решения от начальных данных. В качестве примера изучается задача оптимального управления с линейными интегро-дифференциальными ограничениями и квадратичным критерием качества, являющаяся математической моделью процесса инвестиций в развитие производства. Рассмотрен метод приближенного нахождения решения в случае невырожденного ядра интегрального оператора.

Во второй главе предлагается методика для нахождения моментных функций решений интегро-дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами. Полученная методика обобщается на случай системы интегро-дифференциальных уравнений. Получены формулы для нахождения моментных функций высшего порядка.

В третьей главе методика нахождения статистических характеристик решений интегро-дифференциальных уравнений обобщается на линейные уравнения в банаховом пространстве.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сирота, Екатерина Александровна, 2006 год

1. Афанасьев В.Н. Математическая теория конструирования систем управления / В.Н. Афанасьев, В.Б. Колмановский, В.Р. Носов. - М. : Высш. шк., 1989.-447 с.

2. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа /A.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. М.: Наука, 1976. - 542 с.

3. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория / М. Интрилигатор. М.: Прогресс, 1975. - 605 с.

4. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс / Г.Е. Шилов. М.: Наука, 1965. - 327 с.

5. Задорожний В.Г. Дифференциальные уравнения с вариационными производными / В.Г. Задорожний. Воронеж : Изд-во Воронеж, гос. ун-та, 2000. - 368 с.

6. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике / B.C. Владимиров. М.: Наука, 1976. - 280 с.

7. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. М. : Наука, 1968. - 720 с.

8. Математическая теория оптимальных процессов / JI.C. Понтрягин и др.. -М.: Наука, 1969.-402 с.

9. Ахмедова Д.Д. Математическая модель функционирования страховой компании с учетом расходов на рекламу / Д.Д. Ахмедова, А.Ф. Терпугов // Изв. вузов. Физика. 2001. - № I. - С. 25-29.

10. Ахмедова Д.Д. Оптимизация расходов на рекламу при деятельности страховой компании / Д.Д. Ахмедова, О.А. Змеев // Изв. Вузов. Физика. 2001. -№ 6. С. 3-7.

11. Ахмедова Д.Д. Оптимизация деятельности страховой компании с учетом расходов на рекламу / Д.Д. Ахмедова, О.А. Змеев, А.Ф. Терпугов // Вестн. Томск, гос. ун-та. Томск, 2002. - № 275. - С. 271-275.

12. Panjer Н.Н. Insurance Risk Models / Н.Н. Panjer, G.E. Willmot // Society of Actuaries. 1992. - P. 1-442.

13. Маталыцкий M.A. Анализ вероятностной модели обработки однотипных рисков в страховой компании в нестационарном режиме / М.А. Маталыц-кий, Т.В. Романюк // Вестн. ГрГУ. Сер. 2. 2002. - № 1. - С. 17-24.

14. Змеев О.А. Математическая модель функционирования страховой компании с учетом банковского процента / О.А. Змеев. // Изв. вузов. Физика. -2001.-№ 1.-С. 19-24.

15. Змеев О.А. Математическая модель фонда социального страхования с детерминированными расходами на социальные программы (диффузионное приближение) / О.А. Змеев // Изв. вузов. Физика. 2003. - № 3. - С. 83-87.

16. Змеев О.А. Математическая модель фонда социального страхования со случайными расходами на социальные программы (диффузионное приближение) / О.А. Змеев // Изв. вузов. Физика. 2003. - № 3. - С. 88-93.

17. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений / В. Волтерра. М.: Наука, 1982. - 304 с.

18. Леви П. Конкретные проблемы функционального анализа / П. Леви. М. : Наука, 1967.-510 с.

19. Боголюбов Н.Н. Введение в теорию квантовых полей / Н.Н. Боголюбов, Д.В. Ширков. М.: Наука, 1976. - 479 с.

20. Монин А.С. Статистическая гидромеханика / А.С. Монин, A.M. Яглом -М.: Наука, 1965. -Ч. 1.-639 с.

21. Монин А.С. Статистическая гидромеханика / А.С. Монин, A.M. Яглом -М.: Наука, 1967. Ч. 2. - 720 с.

22. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах / В.И. Кляцкин. М. : Наука, 1980. - 333 с.

23. Татарский В.И. Распространение волн в турбулентной атмосфере / В.И. Татарский. М.: Наука, 1979. - 286 с.

24. Тихонов В.И. Стохастическая радиотехника / В.И. Тихонов. М. : Сов. радио, 1966. - 678 с.

25. Вишик М.И. Аналитические решения уравнения Хопфа, соответствующего квазилинейным параболическим уравнениям или системе Навье-Стокса / М.И. Вишик // Задачи механики и математической физики. М., 1976. -С. 69-97

26. Вишик М.И. Трансляционно-однородные статистические решения с бесконечной энергией системы уравнений Навье-Стокса / М.И. Вишик, А.В. Фурсиков // Сиб. мат. журн. 1978. - Т. 19. - № 5 - С. 1005-1031.

27. Гельфанд И.М. Интегрирование в функциональных пространствах и его применение в квантовой физике / И.М. Гельфанд, A.M. Яглом // Успехи мат. наук. 1956. - Т. 11, № 1 (67). - С. 77-114.

28. Далецкий Ю.Л. Дифференциальные уравнения с функциональными производными и стохастические уравнения для обобщенных случайных процессов / Ю.Л. Далецкий // Докл. АН СССР. Т. 166, № 5. - С. 1035-1038.

29. Далецкий Ю.Л. Эллиптические операторы в функциональных производных и связанные с ними диффузионные уравнения / Ю.Л. Далецкий // Докл. АН СССР.- 1966.-Т. 171,№ 1.-С.21-24.

30. Далецкий Ю.Л. О некоторых задачах, связанных с интегрированием в функциональных пространствах и дифференциальными уравнениями в функциональных производных / Ю.Л. Далецкий // Труды симпозиума по механике сплошных сред. Тбилиси, 1973. - С. 78-88.

31. Далецкий Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн. М. : Наука, 1970. - 534 с.

32. Ковальчик И.М. Задача Коши для одного уравнения в функциональных производных / И.М. Ковальчик // Докл. АН УССР. 1966. - № 3. - С. 284286.

33. Ковальчик И.М. О приближенном решении некоторых уравнений с функциональными производными / И.М. Ковальчик // Вюник Льв1вск. по-лггехн. iH-та. 1967. - № 18. - С. 13-23.

34. Ковальчик И.М. Функциональные производные и одно вариационно-дифференциальное уравнение в пространстве многих переменных / И.М. Ковальчик // BicHHK Льв1вск. полггехн. iH-та. — 1967. № 16. - С. 3-12.

35. Ковальчик И.М. Линейные уравнения с функциональными производными / И.М. Ковальчик // Докл. АН СССР. 1970. - Т. 194, № 4. - С. 763-766.

36. Ковальчик И.М. Об одном классе линейных уравнений с функциональными производными / И.М. Ковальчик // Укр. мат. журн. 1975. - Т. 27. - № З.-С. 373-378.

37. Ковальчик И.М. О линейных уравнениях с функциональными производными / И.М. Ковальчик // Укр. мат. журн. 1977. - Т. 29. - № 1. - С. 99105.

38. Ковальчик И.М. Представление решений некоторых уравнений с функциональными производными с помощью интегралов Винера / И.М. Ковальчик II Докл. АН УССР. Сер. А. 1976. - № 12. - С. 1078-1082.

39. Ковальчик И.М. О некоторых свойствах линейных однородных уравнений с функциональными производными / И.М. Ковальчик // Математические методы и физико-механические поля. Киев, 1979. - С. 28-31.

40. Ковальчик И.М. Об одном классе линейных уравнений с функциональными производными высшего порядка / И.М. Ковальчик, И.П. Медынский // Докл. АН УССР. Сер. А. 1978. - № 12. - С. 1083-1086.

41. Мельничак Н.П. Неоднородные линейные уравнения с функциональными производными / Н.П. Мельничак // Математическая физика : респ. межвед. сб.- 1977.-№ 119.-С. 146-149.

42. Новиков Е.А. Решение некоторых уравнений с вариационными производными / Е.А. Новиков // Успехи мат. наук. 1961. - Т. 16, № 2 (98). - С. 135-141.

43. Самборский С.Н. О существовании решений нелинейных уравнений в вариационных производных / С.Н. Самборский // Труды Московского института химического машиностроения. М., 1974. - Вып. 53. - С. 57-59.

44. Сявавко М.С. О теореме Коши-Ковалевской для уравнений с функциональными производными / М.С. Сявавко // Докл. АН УССР. Сер. А.1968.-№ 1.-С. 32-35.

45. Сявавко М.С. Функциональный аналог уравнения Бесселя / М.С. Сявавко // Вестн. Львов, политех, ин-та. 1967. - № 18. - С. 24-28.

46. Сявавко М.С. Об аналитических решениях некоторых уравнений в функциональном пространстве / М.С. Сявавко // Вестн. Львов, политех, ин-та.1969.-№31.-С. 96-100.

47. Сявавко М.С. Об одном классе уравнений с функциональными производными / М.С. Сявавко, И.П. Мельничак // Укр. мат. журн. 1974. - Т. 26, № 6.-С. 836-841.

48. Феллер М.И. Бесконечномерные эллиптические уравнения и операторы типа П. Леви / М.И. Феллер // Успехи мат. наук. 1986. - Т. 41, № 4 (250). -С. 97-140.

49. Филиппов В.М. К вариационным принципам для гипоэллиптических уравнений / В.М. Филиппов // Докл. АН СССР. 1985. - Т. 285, № 2. - С. 302-305.

50. Филиппов В.М. Вариационные принципы для непотенциальных операторов / В.М. Филиппов. М.: Изд-во Ун-та дружбы народов, 1985. - 206 с.

51. Филиппов В.М. О Квазиклассических решениях обратной задачи вариационного исчисления / В.М. Филиппов // Докл. АН СССР. 1985. - Т. 285, № 1.-С. 53-56.

52. Филиппов В.М. О существовании решения обратной задачи вариационного исчисления для нелинейных непотенциальных операторов / В.М. Филиппов //Численные методы в задачах математической физики. М., 1985. -С. 147-155.

53. Филиппов В.М. К вариационному методу для ультрапараболических уравнений / В.М. Филиппов // Анализ информационно-вычислительных систем.-М., 1986.-С. 107-111.

54. Филиппов В.М. О классах операторов в вариационном методе решения нелинейных уравнений / В.М. Филиппов // Анализ информационно-вычислительных систем. М., 1986. - С. 98-106.

55. Филиппов В.М. О полуограниченных решениях обратных задач вариационного исчисления / В.М. Филиппов // Диф. уравнения. 1987. - Т. 23, № 9.-С. 1599-1607.

56. Фурсиков А.В. Свойства решений некоторых экстремальных задач, связанных с системой Навье-Стокса / А.В. Фурсиков // Мат. сборник. 1982. - Т. 118 (160), №3 (7). - С. 323-349.

57. Задорожний В.Г. Об одной математической модели развития производства в условиях нестабильности / В.Г. Задорожний, Е.А. Сирота // Региональный межвузовский сборник статей по итогам научно-практической конференции. Воронеж, 2003. - С. 133-135.

58. Задорожний В.Г. Об оптимальном управлении процессом инвестиций / В.Г. Задорожний, Е.А. Сирота // Труды молодых ученых Воронежского государственного университета. Воронеж, 2002. - Вып. 2. - С. 17-24.

59. Сирота Е.А. Оптимальное регулирование системой с интегро-дифференциальными ограничениями / Е.А. Сирота // Вестн. факультета прикладной математики и механики / Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 2003. -Вып. 4.-С. 185-199.

60. Сирота Е.А. Модели и решения задачи оптимального управления с интег-ро-дифференциальными ограничениями / Е.А. Сирота // Кибернетика и технологии XXI века : материалы 5-й международ, науч.-техн. конф. Воронеж, 2004. - С. 1-13.

61. Сирота Е.А. Интегро-дифференциальное уравнение развития экономики с накоплением / Е.А. Сирота // Региональный межвузовский сборник статей по итогам научно-практической конференции. Воронеж, 2005. - С. 201205.

62. Сирота Е.А. Об оптимальном управлении в задаче с интегро-дифференциальными ограничениями / Е.А. Сирота // Сборник трудов студентов и аспирантов / Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 2003. - Вып. 3. - С. 116-125.О