Моментные функции решений уравнения теплопроводности со случайными коэффициентами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Боровикова, Марина Михайловна

• Боровикова, Марина Михайловна
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Боровикова, Марина Михайловна

Введение

Глава 1. Основные понятия

§1.1. Преобразование Фурье и его свойства.

§1.2. Понятие вариационной производной.

§1.3. Случайный процесс и его характеристики.

§1.4. Детерминированное уравнение теплопроводности с переменными коэффициентами.

Глава 2. Моментные функции решений уравнения теплопроводности со случайными коэффициентами

§2.1. Постановка задачи.

§2.2. Нахождение решения задачи Коши для дифференциального уравнения с частными и вариационными производными

2.2.1. Решение однородного дифференциального уравнения первого порядка

2.2.2. Решение неоднородного дифференциального уравнения первого порядка.

2.2.3. Решение дифференциального уравнения третьего порядка

§2.3. Нахождение математического ожидания решения задачи (2.1), (2.2).

2.3.1. Переход к детерминированной задаче.

2.3.2. Математическое ожидание решения задачи (2.1), (2.2)

2.3.3. Случай независимости случайного процесса от случайных процессов £].(£), £2^), ^з(^)

§2.4. Нахождение второй моментной функции

2.4.1. Переход к детерминированной задаче.

2.4.2. Вторая моментная функция решения задачи (2.1), (2.2)

2.4.3. Случай независимых случайных процессов.

§2.5. Нахождение дисперсионной функции

2.5.1. Дисперсионная функция в общем случае.

2.5.2. Случай независимости процесса от

СО.езф.

§2.6. Вторая смешанная моментная функция.

§2.7. Моментные функции к-го порядка.

Глава 3. Частные случаи

§3.1. Случай равномерно распределенных случайных коэффициентов теплопроводности.

3.1.1. Математическое ожидание решения задачи (2.1), (2.2)

3.1.2. Оценка погрешности, возникающей при замене коэффициентов их средними значениями.

§3.2. Случай нормально распределенных случайных коэффициентов теплопроводности.

3.2.1. Математическое ожидание решения задачи (2.1), (2.2)

3.2.2. Вторая моментная функция решения задачи (2.1), (2.2)

3.2.3. Вторая смешанная моментная функция решения задачи (2.1), (2.2).

3.2.4. Дисперсионная функция решения задачи (2.1), (2.2)

3.2.5. Оценка погрешности, возникающей при замене коэффициентов их средними значениями.

§3.3. Случай пуассоновского закона распределения случайных коэффициентов теплопроводности

3.3.1. Математическое ожидание решения задачи (2.1), (2.2)

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моментные функции решений уравнения теплопроводности со случайными коэффициентами»

При изучении явлений окружающего мира мы часто сталкиваемся с процессами, течение которых заранее предсказать в точности невозможно. Эта непредсказуемость вызвана влиянием случайных факторов, воздействующих на ход процесса. Многие физические, химические, биологические и другие процессы, возникающие на практике, подвержены случайному воздействию. Математическими моделями таких процессов являются дифференциальные уравнения, коэффициенты которых являются случайными процессами, или стохастические дифференциальные уравнения. При этом решения таких уравнений также являются случайными процессами.

Строго говоря, в природе не существует совершенно не случайных, в точности детерминированных процессов, но есть процессы, на ход которых случайные факторы влияют так слабо, что при изучении явления ими можно пренебречь. Тогда рассматривают детерминированные задачи, в которых случайные коэффициенты заменены своими средними значениями.

Однако существуют и такие процессы, где случайность играет основную роль.

По мере углубления и уточнения наших знаний об окружающем мире, по мере усложнения технических устройств все большее число процессов приходится рассматривать как случайные, учитывая не только их поведение «в среднем», но и случайные отклонения от этого среднего [14].

Таким образом, оценка влияния случайных воздействий является актуальной задачей. С этой целью изучают статистические характеристики случайных процессов, являющихся решениями стохастических задач.

В настоящее время изучению схожих проблем посвящены работы За-дорожнего В.Г. [26, 27, 33], Кляцкина В.И. [36, 37], Фурсикова A.B. [51 -53], Смагиной Т.Н. [34], Строевой Л.Н. [30, 31, 46].

Целью данной работы является исследование статистических характеристик решения задачи Коши для двумерного неоднородного уравнения теплопроводности, коэффициенты которого являются случайными процессами, а также получение оценок погрешности, возникающей при замене случайных процессов, входящих в дифференциальное уравнение, их математическими ожиданиями.

Для достижения поставленной цели необходимо решение следующих задач:

1. Сведение исходной задачи, коэффициенты которой являются случайными процессами, к вспомогательным детерминированным задачам.

2. Решение начальной задачи для дифференциального уравнения первого порядка с частными и вариационными производными.

3. Нахождение решения задачи Коши для дифференциального уравнения третьего порядка с частными и вариационными производными.

4. Решение вспомогательных детерминированных задач.

5. Вычисление моментных функций решения исходной задачи.

6. Оценка погрешности, обусловленной заменой в дифференциальном уравнении случайных коэффициентов их средними значениями.

Первая глава диссертации носит вспомогательный характер и содержит обзор основных понятий, используемых в работе. Приведены определения и свойства преобразования Фурье, вариационной производной, случайного процесса и его характеристик. Рассмотрено решение начальной задачи для двумерного уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами.

Во второй главе рассмотрена задача Коши для двумерного неоднородного уравнения теплопроводности со случайными коэффициентами д д2 д2 х, у) = бгф—^и^, ж, у) ж, у) ж, ?/)+/(*, ж, у),

У (1) х,у) = д(х,у), (2) где г (Е [¿о, Ь] = т - время, х е К, у € М, £1: Т Ж, е2: Т Ж, £3: Т М, /:Тх12-^К- случайные процессы, д : К2 —> Ж. - независящий от £1(2), езМ и f(t?x)У) случайный процесс, и: Т х Ж2 —Ж - решение задачи (1), (2).

Предполагается, что £\(t) > О, £2(¿) > 0 при í 6 Т, реализации случайных процессов £2СО) ^з(^) принадлежат пространству Loo(T), реализации процесса f(t,x,y) принадлежат пространству L^iT X М2), случайные процессы si(t), £2{t), £3(¿), f(t,x,y) заданы характеристическим функционалом ф(уъ v2, v3, w) = M(h(vi, v2, w3j«;)), (3) где M - знак математического ожидания по функции распределения случайных процессов £i(t), £2{t), f(t,x,y) и h(v 1, v2, w) = exp(г J [ei(s)vi(s) + s2(sWs) + £3(s)u3(s)](¿s+ (4) f(s,TljT2)w(s1T1,T2)dT1dT2ds),

Jt J r2 vi 6 Li(T), f2 G Li(T), г;3 G ¿i(T), w G LX(T x R2).

В этой главе получены формулы для математического ожидания, второй моментной и дисперсионной функций решения задачи (1), (2) в общем случае и в случае независимости случайного процесса f(t,x,y) от процессов £i(t), £2(í), £з(£), а также рекуррентные соотношения для нахождения моментных функций любого порядка.

В параграфе 2.2 второй главы получены явные формулы для решений начальных задач с частными и вариационными производными первого и третьего порядков.

Рассмотрена начальная задача для линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка с частными и вариационными производными д S и {уъ V2, V3, t) = í)+ (5)

5 ó a2^5v2{t)U V2'V3' ^ + a^Sv3(t)U V2'

1,^2,^3, ¿o) = (>1,^2,^3), (6) где t G T,v 1 € Li(T), v2 G Li(T), <u3 G Ьг(Т), аг: T С, а2: Т С, а3: Т С - непрерывны на отрезке Т, ¿i(T) х LX{T) х Li(T) х Т -ь С - искомое отображение, Uq: L\{T) х L\(T) х Za(T) —С - задано.

Обозначим через х(а> Ь, -) функцию, определяемую по следующему правилу: х(а, 6, я) = sign(s — а) при я, принадлежащем отрезку с концами а и Ь, и 6, й) = 0 в противном случае.

Теорема 1. Пусть ух е Ьг(Т), у2 € Ьг(Т), у3 е Ьг{Т), аг: Т С, а,2'. Т —> С, аз: Т —> С - непрерывны на Т и в некоторой окрестности точки ')> ^ •)» ^з+азх(*0> •)) существуют непрерывные по У2, vз вариационные производные о^1 + ^')' + а2х(*о,•), ^з + «зХ^о, = 1, 2,3, туш t £Т, тогда и(^ь У2, и3,0 = + ахх^о, •), + «2X^0, •)> + азх(*о, •)) (7) имеет частную производную ди(у1,У2,пз,{)/&, причем д а^-^щЩ^ + агх^о, •), + а2х(*о, ■)> ^з + •))+ а1Х^0' ^ + 0> уз + азХ^о, •))■

Теорема 2. В условиях теоремы 1 отображение (7) является решением задачи (5), (6).

Найдено решение начальной задачи для линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка с частными и вариационными производными д 8 и(VI, у2, = агМ ¿^¿у^ь ^з, (8)

2^ + и(VI, «2, ^3, ¿) + .В(VI, «2, «3, <), и(V!, У21 V?,, *0) = и0(уь У2, (9) где ¿ет,1) 1 е Ьг(Т), у2 е Ьг(Т), у3 (Е Ьг(Т), ац Т С, а2: Т ^ С, аз: Т —> С - непрерывные на отрезке Т функции, V: £х(Т) х Ь\{Т) X Ьх(Т) хТ-^С - искомое отображение, 170: ¿^(Т) X (Т) х ^(Т) € и Б: Ьг(Т) х £х(Т) х £х(Т) х Т С - заданы.

Теорема 3. Пусть выполняют,ся условия теоремы 1 и в некоторой окрестности точки (^х + ахх(з, •), у2 + •), г>з + азх^, •), в) существуют непрерывные по у\, у2, уз вариационные производные В(VI + 01х(в, •)» у2 + •)> + •)> 5)>.7 = 2> 3> при в Е Т, Ь € Т, тогда и(VI, у2, «з, £) = + •)> + а2х{1 о, ■)> ^з + азх(*о, •))+ [ В(у1 + а1х{8,Ъ-),У2 + а2х(8,Ъ-),Уз + азх(8,*,-),8)<18 (10)

Л0 является решением задачи (8), (9).

Рассмотрена задача Коши для дифференциального уравнения третьего порядка с частными и вариационными производными

9 г . б д2 , г, X, у) = X, 2/)- (11)

8 д2 , . 5 , \ т / \

Ъ6у2(г) Эу2 ' 173'^ 2'^ ^'г'3'

У2, Уз, ¿о, я, 2/) = ж, ?/), (12) где г <Е Т, ж € Ж, у е ж, VI € 1а(Т), ^2 £ ^(Т), е ¿хСП, г: Ьг(Т) X ЬХ(Т) X ^(Г) хТхЖЧС - искомое отображение, Ь: ^(Т) X £х(Т) X Ь\{Т) хТх1Ч€ и 1а(т) X Ьх(Т) X £х(Т) хМЧС - заданные функции.

Обозначим через FXy[f)(^r¡) преобразование Фурье по переменным (ж,у), через обратное преобразование Фурье по переменным

77), знак * обозначает свертку функций по переменным (х,у).

В формулировке следующей теоремы отображение го и его производные вычисляются в точках (г;х + •)> Щ + •), уз ~~

•), х, у), а отображение 6 и его производные вычисляются в точках («1 + «£2х(т, •), + ')> уз ~ ■), г, ж, г/).

Теорема 4. Пусть существует окрестность У{г) нуля радиуса г в Ь\(Г) х Ь\(Т) х Ьх(Т) такая, что при всех (г?1,г?2,г?з) Е У(г) в окрестности точки (и! + г£2х{к, 0^2 + гг}2х&о, •), г>з - гх(£0, ■)» 3/) су^е-ствуютп непрерывные по г>2, ^з вариационные производные

-),у2 + гг^х^о, -),у3 - у), 3 = 2,3, при £ Е Т, в окрестности точки (у\ + -),г>2 + Щ2х{Т: ')»^з — х(т, •), г, ж, у) существуют непрерывные по У\, у2, г>з вариационные производные Ч2х(т, ■), У2 + гт;2х(г, ■), *>3 - гХ{т, •), г, ж, ?/), = 1, 2,3, Е Т, т Е Т, и функции у] (С, ч) I, КХЫК, ч) 1, к, I?) |, . 8Ъ . 5Ъ . . 5Ъ . . Г 5Ъ ч. . г 5Ъ .

4)" 1 х"Л1)Оу(Ц^ "" 1 ^¿„аф^' "" при Ь Е Т, г Е Т ограничены суммируемыми на М2 функциями. Тогда решение задачи (11), (12) находится по формуле г(уъу2,у3,г,х,у) = ^[^[¿оК + •)> (13) [' РьЫЧъ + ХЫ-гЛ-), о

У2 + "72х(т, г, •), у3 - гх(т, •), г, х, 2/)]К, г})](х, у) (¿т.

В параграфе 2.3 второй главы задача (1), (2) сводится к вспомогательной детерминированной задаче, которая представляет собой дифференциальное уравнение с частными и вариационными производными, рассмотренное в параграфе 2.2.

Для этого вводится вспомогательное отображение

У(щ, «2, «з, ги, ж, у) = М(и(г, х, у)к(уь ^з, ш)), (14) где* е Т, Ж е Ж, 2/ е К, уг е ^(т), е 1а(т), е Ыт), т е ^(ТхМ2), М - знак математического ожидания по функции распределения случайных процессов £1^), £2СО, £зС0 и /(£,ж,2/)> и(1,х,у) - решение задачи (1), (2), 11(у1,У2,Уз,и)) определяется формулой (4).

Умножив уравнение (1) и начальное условие (2) на /г(г>1, у2, Щ, м) и усреднив по функции распределения процессов £].(£), £2СО: £з(^), терминах функционала У(г>1, г>2, ^з,ж, у) получим детерминированную задачу

5 6 д2

У(г71, V), ж, г/) = «2, из, ж, 2/)- (15) 5 д2 , . (5 ч гбу2^) ду2 ^ х' ^ ~ х'

-г-т-тг-т^ъ ^2, ^з, дю(г,х,у)

У (уъ vi, уз, и¿о, ж, ?/) = М(д(ж, 2/)Ж^ъ у2, уз, ги). (16)

Причем, если известно У(г>1, г>з> ^ 2/)> т0 математическое ожидание х,у)) решения задачи (1), (2) вычисляется по формуле

М(«(*, ж, у)) = У(0, 0, 0, 0, *, ж, 2/). (17)

Определение 1. Пусть У(^1,и2,г;з,ги,£, ж, 2/) является решением задачи (15), (16) в смысле обобщенных функций (в классическом смысле), тогда У (О, О, О, О, х, у) называется математическим ожиданием решения задачи (1), (2) в смысле обобщенных функций (в классическом смысле).

Так как М(и(Ь,х,у)) = У(0,0, О, О, х, у), то важно найти решение задачи (15), (16) в малой окрестности точки (0,0,0,0) переменных К, ги).

Теорема 5. Пусть функция М(д(х,у)) суммируема на М2; при малых и> 6= Ь^ТхК2) выполнены условия теоремы 4, е окрестности точки {vl-^-i{,2x{to,t,'),V2 + irl2x(to,t,■),v3-ix(tQ,t, существуют непрерывные по VI, и<2, г>з вариационные производные

-Щ^'ФЫ + + М72Х(*оЛ 0^3 = 1,2,3, при Ь Е Т, в окрестности точки (г>1 + «£2х(т, ■), г?2 + ^2х(т, •), г>з — ?х(т, -),ш) существуют непрерывные по У\, У2, вариационные производные

52 с МГ /-t, -),У2+гт]2х(г, •), ^з-гх(г, •), «>), = 1> 2> 3' дVj{t)OW{T, х: у) при £ е Т. т еТ, тогда

У (у 1, ^з, ги, ж, у) = М(д(х, у))* (18)

Г»/.Л,.

Р?ЛФ(У 1 + t, •), + «Л^о, 0)^3- ■), 2/) з - ■)>«>)](£, 77)](ж, г/)</т

Г4 5 является обобщенным решением задачи (15), (16).

Из решения вспомогательной задачи (15), (16) получено выражение для математического ожидания решения задачи (1), (2). Теорема 6. При выполнении условий теоремы 5

М(и(г,х,у)) = М(д(х,у))* (19)

С 5 является обобщенным математическим ожиданием решения задачи (1), (»)■

Когда случайные процессы €\{Ь), £2(2), £зОО не зависят от случайного процесса /(£, ж,у) и заданы характеристическим функционалом ь у2, уз) = М(ехр(г / [^(«^(в) + £2(5)^2(5) + £3(5)^3(5)]^)), (20)

Зт справедлива следующая теорема.

Теорема 7. Если случайный процесс х,у) не зависит от случайных процессов £].(£), £2^); £з(^); функция М(/(£, х, у)) суммируема на ТхМ?, в окрестности точки (г?1+г£2х(т, •)> ^з+^хО") ^ •)> ^з-«х(т) ")) характеристический функционал <р(у1,у2,Уз) случайных процессов £].(£), £2(^)7 £зОО имеет непрерывные по У\, у2, вариационные производные г£2х(т, Ъ + 1Г12х{т, 0^3- = 1, 2, 3, гфм £ £ Т, т Е Т, и выполнены условия теоремы 5, то обобщенное математическое ожидание решения задачи (1), (2) имеет вид

М{и{г,х,у)) = М(д{х,у))* (21) [ •), гг]2х(т, 4, ■), -*х(т, •))](*, 2/) * М(/(г, ж, о ¿0

Отметим, что в случае независимости случайного процесса f(t,x^y) от процессов £х(£), £2(^), £з00 для нахождения математического ожидания М(и(Ь, ж, у)) решения задачи (1), (2) достаточно знать математическое ожидание М(д(х,у)) случайного процесса д(х,у), математическое ожидание М(/(£, ж, г/)) случайного процесса /(¿,ж,у) и характеристический функционал <р(у\,у2,уз) случайных процессов £х(£), £2^), £з(^)

12

Параграф 2.4 посвящен нахождению второй моментной функции решения задачи (1), (2).

Вводится отображение

Z(v 1, v2, v3, w, t, s, x, X, у, у) = M(u(i, ж, Ж, U2, V3, w)), (22) где i 6 T, s G T, ж 6 R, у G К, ж G №, £ G R, 6 £i(T), v2 G Li(T), ^з G Li(T), w G Li(T x R2), M - знак математического ожидания по функции распределения случайных процессов е\(t), £2 СО? £3(t), f{t,x,y), h(vi,V2,v3,w) имеет вид (4).

Отметим, что Z(yi,V2,vs,w,t,s,x,x,y,y) симметрично по переменным (t,x,y) и {s,x,y).

Умножив обе части уравнения (1) и начального условия (2) на u(s:x,y)h(vi,v2,v3,w) и усреднив по функции распределения процессов £i(i), £2(t), £3(^)5 f(t,%,y)> получим следующую детерминированную задачу относительно функционала Z(v\, V2> w, t, s, ж, ж, у, у) д

Z(vi, v2, v3, w, t, s, x, x, у, y) = (23) S d2 Ä дх2 V2' V3j W' X' Xj У'

Z{vi, v2, v3, w, t, s, x, ж, y, y)ду2'

-i-—7-cz{yъ у3, v), в, ж, ж, у, у)

-г, -Уз, ш, в, ж, у),

2{VI, у2, Уз, ги, ¿о, 5, ж, ж, у, у) = М(д(х, у)и(з, ж, -и2, ^з, И)- (24)

Причем,

М ж, ж, £)) = 0, 0, 0, 5, ж, ж, 2/, т/). (25)

Найдено решение вспомогательной задачи (23), (24), позволяющее получить формулы для второй моментной функции решения задачи (1), (2).

Обозначим через ^су [/](£> ?7) преобразование Фурье по переменным (х,у), через ^^ [/](£) 2/) обратное преобразование Фурье по переменным (£,77), через * свертку по переменным (х,у).

Теорема 8. Пусть уг € Ьг(Т), у2 е ЬХ(Т), уъ Е Ьг(Т), V) £ Ьг(Т х К2), характеристический функционал имеет непрерывные по VI, г>з вариационные производные

6 62 Щ^Ф^г, «з, Ч

5у^(1)8уо(т,х,у)5и)(а,х,уУ ' ' ' при М(д(х,у)) и М(д(х,у)д(х,у)) суммируемы на

М2 и М2 х соответственно, тогда, г(VI, У2, Уз, V), ¿, 5, ж, ж, у, у) = (26) М(д(х, у)д(х, у)) *' ^^ + ■) + ¿£2х(*о, •). г^Х^О: •) + гг]2х(^ t, •), ^з - ■) - •)> «>)](£, уЖх> У)~

-г £ г,)) * + •) + ■)>

2 + ^ О + •)>

- •) - ¿Х(*0, •)> 3/)](£

-г £ у))*-^1^!^1!^^ + 5, •) + г<£2х(т, •),

2 + гт)2х(^ в, •) + гг]2х(т, t, •), ^3 - ¿х(*0, ■) - г'х(т, •), и')](ж, #)] (£, г/)с2т

- Г Г т"7-^ , . + ХК •)+

2х(т, + м?2х(а, 5, •) + щ2х(т, г, •), з - «Х(«, 0 - гх(т, •), «;)](£, 77)](х, £)](£, т])}(х, у)дадт является симметричным, по переменным (¿, х,у) и (з,х,у) решением задачи (23), (24) в обобщенном смысле.

Определение 2. Пусть Z(v\, v2, w, i, s, x, x, у, у) является симметричным no переменным (t,x,y) и (s,x,y) решением задачи (23), (24) в смысле обобщенных функций (в классическом смысле), тогда Z(О, О, О, О, t, s, ж, у, у) называется втюрой моментной функцией решения задачи (1), (2) в смысле обобщенных функций (в классическом смысле).

Теорема 9. Пусть выполняются условия теоремы 8. Тогда обобщенная вторая моментная функция решения задачи (1), (2) находится по формуле

M(u{t,x,y)u{s,x,y)) = (27) M(g(x, y)g(x, у)) *' 0 + ■). ir}2x(tО, S, ■) + ir)2x(to, t, •), -ix(to, S, •) - ix(to: t, •), 0)](ж, y)](x, y)--i f M(g(x, y)) * ^ W^ftl^^ 8, •) + t, •), itfxi^s,') + г?/2х(*оЛ •)> -«x(t, S, •) - ¿x(io, i, ■)> °)](ж' 2/)](l> y)dr~ -i j* M(g(x, ') + /e2x(r, t, •),

5, •) + iri2x(T, t, •), -ix(to, S, •) - ix(r, t, •), 0)](ж, $](£, т/)](ж, y)dr

- f ГW^W^t-?—u r - v^2^ •) + ¿e2x(r,■),

Ло Ло 5w{T,x,y)6w{a,x,y) ifj2x(oi,s} •) + irt2x(r,t,-), гх(а, s, •) - ¿x(r,i, •), 0)](f, т})] (ж, у)] (С, ??)](a;, y)dft(ir.

В случае, когда процесс f(t,x,y) не зависит от случайных процессов

2(t), доказана следующая теорема.

Теорема 10. Если случайный процесс f(t, ж, у) не зависит от случайных процессов exit), е2(i); £%(t), функции M(f'(t,x,y)) и

М(/(£, ж, ж, з/)) суммируемы наТ хМ.2 и Т х Г х I2 х К2, соответственно, характеристический функционал у?(г>1, Уз) случайных процессов £\{€), £2^), £з{ъ) имеет непрерывные по у\, уз вариационные производные при Ь Е т, и выполнены условия теоремы 8, то

М(и&х,у)и(з,х,у)) = (28) М(д(х, у)д(х, у)) *' •) + г^о, •), гт}2х(^о, •) + М72Х(*0, ■), -х(*о, О - ?:х(*о, •))]2/)+ Г М(^(ж, 2/)) * ^[^[^хСт, •) + ■). о

-¿х(т> •) - гх^о, Ъ -))](ж, у)](х, Й*М(/(г, ж, ¿о г»)2х(т, г, •), -гх(<0>«, 0 - «хО,-)Ж®> 3»](®> у) * м(1(т,х, у))^т+ I' Г+¿ех(г,г,-),

JtQ J ¿0

И?х(а, в, •) + {т]2х(т,г, •),

•) - гх(т,£, •))](£,$] (ж, у) *' M(f(т}x,y)f(a,x,y))dadт является второй моментной функцией решения задачи (1), (2) в обобщенном смысле.

В параграфе 2.5 главы 2 получены выражения для дисперсионной функции решения задачи (1), (2) в общем случае и в случае независимости процесса /(£, ж,у) от процессов £г(£), £2^), £з(^)

Теорема 11. Пусть выполнены условия теоремы 8, тогда обобщенная дисперсионная функция решения задачи (1), (2) имеет вид ж, у)) = М(и2& х, у)) - (М(«(*, ж, у)))2 = (29) [М(д(х, у)д(х, у)) *' Ff^F^m^xito, в, •) + ■). wpxfo, s, ■) + ir}2x(t0, t, •), -ix(tQ, s, ■) - ¿xfah t, •), 0)](ж, у)](я;, y)~ -г j* M(g(x, у)) * ^Ыт, s, •) + i£2x(f0, ■), ifpxfas,-) +ir)2x{to,tr), -«х(т, 5, .) - ¿х(*0, ■)> °)КЖ> 2/)](IJ о, S, ■) + irfx(T, t, •), s, •) - ■)> у)Ш, v)](x, y)dr

- JC £ 0+гЛ(т'^ г/)) * i, ■), ^2x(*o, i, •), -¿х(*о, •)> 0)](®, y))2+ ' x £ ~'X(T' °)](e'ч)](г'y)dT+

Теорема 12. Пусть выполнены условия теоремы 10, тогда

D(u(t, х, у)) — (30) 1М(д(х,у)д(х,У)) *' ■) + i£2xfo,t, •),

2х(*о, «5, •) + irfxfa, t, •), -x(to, S, •) - ix(to, t: ■))](£, y)](x,y)+ Г M(g(x, у)) * ^[^[^(¿^(r, s, •) + '¿ex(to, t, •), J to 4 ifFxfas, ■) + ir)2x(to,t, •)> -¿xO", s, ") ~ «x(*(h "))](ж> 2/)](®> £)*M(/(г? s,

J to

-гх(а, б, •))](£, у)](х, т/)*'М(/(т, ж, у)/(а, ж, у))в,а(1т\\3=^=х,у=у

-(М(д{х, у)) * ^[^х^о, •)» •), ■))](*. 2/))2

-2(М(р(®,у)) * •)> -«х(*оЛ •))](*» У))* х [ (р&[<р№2х(т>■)»•)> —'))](*> 2/) * ми(71 ®>2/)))<*г

•//о является обобщенной дисперсионной функцией решения задачи (1), (2).

Вариационным дифференцированием решения детерминированной задачи (15), (16), рассмотренной в параграфе 2.3, найдены формулы для смешанных моментных функций М{и(1,х,у)е^(з))) ^ — 1, 2, 3.

Теорема 13. Пусть случайные процессы е2(¿), не зависят от процесса f(t,x,y), характеристический функционал ^(^1,^2,^3) процессов £2^), £зОО имеет непрерывные по у2, из вариационные производные до второго порядка включительно, М(д(х,у)) суммируемо на М2, М(/(£,ж,?/)) суммируемо наТ х Ж2. Тогда

М(и^,х,у)ф)) = (31) -гМ(д(х, у)) * О, "?2х(*о, •)> "«Х^о, -))10,

М(/(т, ж, у))йт, 3 = 1,2,3, является второй смешанной моментной функцией М(и(£, ж,y)£j(s)), ^ = 1,2, 3; ^в смысле обобщенных функций) решения задачи (1), (2).

В параграфе 2.7 получена рекуррентная последовательность детерминированных задач для нахождения моментных функций любого порядка.

Введем отображения р(уi, V2, w, z) = ехр(г J [£l(s)^l(s) + e2(s)v2(s) + £3(s)v3(s)]ds+ s' ть T2)w(s, Ti, r2) + u(s, n, r2)z(s, n, T2)]dT1dT2ds)

Jt jr2 и

Q(vi,V2,í73,W,2:) = M(p(vi,V2,V3,W,z)), где vi E Li(T), v2 e Ьг(Т), v3 G ¿i(T), w G Zq(T x M2), г G Li(T x R2),

M - знак математического ожидания по функции распределения процессов i(í)> W, £3(*), f{t,x,y), u(t,x,y).

Умножив обе части уравнения (1) и начального условия (2) на p(vi,v2,V2iW, z) и переходя к средним значениям, получим д 5Q = , <5 д2 SQ , <У д2 5Q dt5z(t,x,y) Svi(t) дх2 5z(t,x,y) Sv2(t) ду2 Sz(t,x,y)

5 5Q 5Q

-^ ^-= гМ(д{х, у)р{иь г;2, Ш, г?)). (33)

Получили детерминированную задачу относительно <3(г>1, г>2, причем коэффициенты уравнения (32) не зависят от статистических характеристик процессов £1(4), е2(£), е3(£), /&,х,у), д(х,у).

Если известно <5(г;1, и2, г>3, -ш, .г), то легко находятся моментные функции решения задачи (1), (2) и даже корреляционные функции процессов е2(*), езМ, f(t,x,y), и(^х,у). Например,

М{и(г,Х,у)) - ---к=0,«2=0,г;з=0,и»=0,г=1Ь

М{и^х,у)ф)) = - км)Л=оЛ=о,»=о^о= 1,2,3.

Решение задачи (32), (33) ищется в виде степенного ряда

Я - Яо{^1,У2,У3,ш)-\ гк [ Г ¿2 / • • • / <Э*(иь 173' ги» 51> ■ • ■ > ■ • ■ , хк, Уъ • • • , Ук) X с=1

Ъ шМ«2, ж2,2/2) •■ ■ ¿(«Ь • • • ¿в^Хг . йхк<1у1. (IУк, где интегралы по переменным 51,.,вк вычисляются по промежутку Т, по переменным ., Хк - по М и по переменным у\,., у к - по К, отображения Як симметричны по тройкам переменных (я/, жг-, у{), г = 1, 2,., к.

Подставив разложение для <3(г>1, ъ2, ^з, %) в уравнение (32) и приравняв степени по переменной г, получим д у2, у3, 'IV, г, з2,., вк, ж, ж2,., хк, у,у2,., Ук) = (34) • 8 д2 Л ,

2, .3, «2,• • • , Ж, Ж2, . . . , ЖЛ, у, у2, . . . , З/й)

1^2, IV, t,S2,., X, Ж2, . ■ ■ , Хк, У,У2,-., Ук)~

5у2^) ду2

-К илЯкЫ, г)2, У3, и), г, 32,., вк, Х,Х2,., Хк, у,у2,., Ук)~ £ х у)^*"1^1' ги' '''' ^ • • •'2/2, • • •, 2Ль)> при Л; = 1,2,.

Вычислив вариационную производную (А; — 1) -го порядка по £ от равенства (33) в точке (VI, г>2, г>3, т, 0, ¿0, • • •, ¿о, ж, ж2,., ж*, у,у2,., Ук), находим

Як{у ь г>2, «з, ги^о,., ¿о, ж, ж2,., жЛ, у,у2,., у к) = М(#(ж, 2/)р(ж2> 2/2) •• • 2Ль)Ж*>1, ^з, -ш), (35)

Л; = 1,2,.

Таким образом, получена рекуррентная последовательность детерминированных задач (34), (35) для нахождения коэффициентов Як

Определение 3. Пусть Qk(vь v2, v3, ад, si,., ., а*, уи ., является симметричным по переменным (Si,Xf,yiг = 1,2, решением в смысле обобщенных функций (в классическом смысле) задачи (34), (35). Тогда Qk(0,0,0,0,si,. ,sk,xb . ,xk,yi, ■. ,Ук) называется моментной функцией k-го порядка решения задачи (1), (2) в смысле обобщенных функций (в классическом смысле).

В третьей главе рассмотрены частные случаи законов распределения случайных коэффициентов уравнения (1) в предположении, что случайные процессы е\ (t), £-2(t), не зависят от случайного процесса f(t,x,y).

В параграфе 3.1 получена формула для математического ожидания решения задачи (1), (2) в случае равномерно распределенных случайных коэффициентов и оценена погрешность, возникающая при замене случайных процессов их средними значениями.

Предполагается, что случайные процессы £i(¿), £2(t), £з(Х) независимы и распределены по равномерному закону распределения с характеристическими функционалами . sin L aj(s)v(s)ds , í lf/ , NW , , , , ч ¡X¿Hs)L = 1.2,3, (36) где v G Li(T), a,j G Loo(T), M(ej) G L^T), M(sj{t)) - математическое ожидание случайного процесса £j(t) (j = 1, 2, 3).

Вводятся следующие обозначения

Aj{t0,t)= í aj(s)ds,Mj(to,t) = í M(£j(s))dsJ = 1,2, J to j to

37) 4

D(to,t)= ;tto "V exp(/ M(£3(s))ds). sllIt0aÁs)ds f¿a3(s)ds ±KJt0

Теорема 14. Пусть выполнены условия теоремы 1, случайные процессы £\(Ь), £2^); £з(-0 независимы и распределены по равномерному закону распределения с характеристическими функционалами (36). Тогда

М(«(4, *.»)) = Е Е + + У))* (38)

•4 00 00 А{к{т,1)А*п{т,€) д4^

А А{ {т, (г, £) / 2212 Го1 шо Л 1Я 4А;Я 4тМ(^ Т'*

Л0 ^^ + 1)К2™ + х)! дх*кду*т

Е(т,г,х,у)Р(т, ¿) ^ *--=ат

4тт л/М\ (т, М2 (г, £) является обобщенным математическим ожиданием решения задачи (1), (2).

Теорема 15. Пусть случайные процессы £2СО, распределены по равномерному за,кону распределения, выполнены условия теорем,ы 7; функции М(д(х, у)) и М(/(£, а;, у)) имеют частные производные любого порядка по переменным х и у, существуют неотрицательные постоянные с\, д и неотрицательная на отрезке Т функция при которых выполняются неравенства

4(к+т) дх[кду4 дЦк+т)

М(д{х,у)) с\{2к + 1)!(2т + 1)!д^+т,

М(№,х,у))

Сй(*)(2А; + 1)!(2т+1)!д к+т дх4кду4т' яЛ^о^) < 1,7 = 1,2.

Тогда (38) определяет, математическое ожидание решения задачи (1), (2) и справедлива оценка /"с2(т)р(т,у 10 (1-дА1(т,т-дА1{т,Ь))аТ

Заменив в задаче (1), (2) случайные процессы е^), £2^), ез(£), /^,х,у),д(х,у) их средними значениями, получим детерминированную задачу д д2 д2 х, у) = х, у) + ж, </)+

М(е3ММ*, ж, у) + М(/(г, ж, у)), (40) М(д{х,у)). (41)

Ее решение, с учетом обозначений (37), имеет вид ехр( Г/ М(е3(в)Ш -(«,.,„) = М{д(х,у)) * (42) Г м{Пт, х,у))* Е{т, ¿г.

Ло 47Гу/М1(г,*)М2(т,*)

Справедлива следующая теорема.

Теорема 16. Пусть выполнены условия теоремы 15, функция и(Ь,х,у) - решение детерминированной задачи (40), (41)> М(и№,х,у)) ~ математическое ожидание решения задачи (1), (2), определяемое формулой (38), тогда справедлива следующая оценка

М(и&х,у))-и{Ь,х,у)\ < (43) С1 ехр( / М{ъ(8))Ь)( - 1)+

-АЦЪ,ад -1)+ Г с2(т)ехр( Г - 1)ат+

Jt0 ¿т }т а3(в)йв ( <а(т) Л(г, " ЦЧг.

Заметим, что при а, = 0, ^ — 1,2,3, процессы являются детерминированными и равными М(е1(£)), М(е3(£)). Из формулы (43) видно, если а^ стремятся к нулю, то математическое ожидание (38) решения задачи (1), (2) стремится к решению детерминированной задачи (40), (41), полученной при замене случайных процессов математическими ожиданиями.

В параграфе 3.2 рассмотрен случай нормального распределения случайных коэффициентов уравнения (1). Найдены математическое ожидание, вторые моментные и дисперсионная функции решения задачи (1), (2). Оценена разность между математическим ожиданием решения задачи со случайными коэффициентами и решением детерминированной задачи, в которой коэффициенты заменены их средними значениями.

Теорема 17. Пусть выполнены условия теоремы 1, случайные процессы £\{Ь), £2^); распределены по нормальному закону распределения с характеристическим функционалом

61(51, «2)^1(51)^1(52) + 62(^1, 32>2($1)^2(52)+ (44) где «1 е ЬХ(Т), и2 е и (Г), «з € ЬХ{Т), М(е5) е ^ е

Ьоо(Т X Т), - математическое ожидание случайного процесса з^)> ^(<51, ^2) = М(£у(з1)£у(з2)) — M(£j(sl))M(£j(<S2)) - ковариационная функция случайного процесса £¿(1) (з = 1,2,3,). Тогда обобщенное математическое ожидание решения задачи (1), (2) имеет вид

М(и(^ х, у)) = ^212 дх^тМУ)> (45) к=о 771 = 0 ' ' и / 2(к+т)к\т\ дх4кду4тЩПг,Х'У))* с0 ¿=о тп=0 "

-. -.ат.

4-7г-у/М\ (г, €) М2 (т, £) где Bj(to, ¿) = ЬДвх, «2)^1^2, *) = //0 ^ = 1, 2, Щр'- (4б)

ТУ^о,£) = ехр( [ + | [ ( &з(*ъ £2)^1^2).

Теорема 18. Пусть выполнены условия теоремы 10, случайные процессы £1(1), е2(£), £з(^) распределены по нормальному закону распределения с характеристическим функционалом (44)- Тогда

М(и{1,х,у)и(з,х,у)) = (47)

4тг)2^(¿о, *)М2(*0,в)М2(*0> в)

МяОММ®»?/))*' оо оо

А;=0 т=0 у °° В^^о 5)В2г(^о х X) 1 2^)к\т\ дх4кду^Е^0' *> к (4тг)2л/М\(¿п, *Ш2(*п, ¿ШЛг, вШ2(т, 5) v ^ (47г)2у/М1(^о, *)М2(*0| 4)М1(г, в)М2(г, в)

2(к+т) к\т!ъ\ дх4кду4

А—О т=0 оо оо х №л, Й« е Е ¿(^м(/(г

А;=0 ш=0 ' ' и к (4тг) VMlfa), з)ММп, з)М1Ст, €)Мо{т, г)

Чо (4тг)2^(¿о, в)М2(*о, в)М1(г, ¿)М2(т, ¿) 53 53 1 Ык+тп) Ъ\т Р>*4каМтМ(3&у))) Х г=0 т=0

А;=0 гп=0 ^ ' У [* Гх к к (4тг)2л/М1(г, г)М2(т, *)М1(а, в)М2(а, в)

2(Ь+Ш)к\т\ Зх^Зу4'" к=о т=О у к=0 т=О у

М(/(г, ж, 2/)/(а, ж, у))(1а(1т является обобщенной второй момептной функцией решения задачи (1), (*)■

Теорема 19. Пусть вы/полнены условия теоремы 13, случайные процессы е1е2(£), распределены по нормальному закону распределения с характеристическим функционалом (44)- Тогда вторая смешанная моментная функция решения задачи (1), (2) (в смысле обобщенных функций) имеет вид

М(и(1,х,у)ф)) = ,,-У',^. =(М(£1(,))Д(г„,«,*,»)+ (48) к=0 т=0 ' ' у Жт ^ д2 ' ' ' 'дх

2 {к+тп)к\т\ дх4кду4 Е Е

0 т=О где / 61(7-,

Л)

Теорема 20. Пусть выполнены условия теоремы 12, случайные процессы £2(£); распределены по нормальному закону распределения. Тогда г=Ю т=0 ' у

Ло (4тг)*)М2(*о, Ъ)М\{т, ¿)М2(т, *)

А;=0 то—О оо оо

0 ТО=0 ^ Г ГЩт^Ща^)х

Л, Ло (4тг)2у/Мг(т, *) М2 (т, *) Мх (а, *) М2 (от, *) к=0 771=0 00 оо пк ^ (а, Я

Х> > Л, о и л Е(а^,х,у))*

А,-=0 ш=0

М(/(г, ж, 2/)/(аг, ж, у))<1сх(1т

00 оо ¿=0 то=0 ^

47Гу/М1(т,$М2(т,$ Т) 7 даРду*™ {П ' >У)) г° &=0 т=0 у является дисперсионной функцией решения задачи (1), (2) (в смысле обобщенных функций).

Теорема 21. Пусть случайные процессы £\{Ь), ^з(^) распределены по нормальному закону распределения, выполнены, условия теоремы 7, функции М(д{х, г/)) г/ ж, ?/)) имеют частные производные любого порядка по переменным х и у, существуют неотрицательные постоянные с\, д и неотрицательная на отрезке Т функция С2(Ь), при которых выполняются неравенства д4(к+т) дх4кду4т к+тп)

М(д{х,у)) акШд**™, С2^)к\т\д

1т.1 пк+т дх4кду4т' дВ;{1 0>*)< 2,^ = 1,2.

Тогда (45) определяет математическое ожидание решения задачи (1), (2) и справедлива оценка

4 Г<*Ш(т,г)

Теорема 22. Пусть вы,полнены условия теоремы 21, и(Ь,х:у) - решение детерминированной задачи (40), (41)> М(и(Ь,х,у)) - математическое ожидание решения задачи (1), (2), определяемое формулой (45), тогда справедлива следующая оценка

М{и&х,у))-и&х,у)\ < (51)

С1вхр(/ М(ез(5))^)(ехр(^ I I Ьз(з1,з{)(1з1(182) - 1)+ о ¿п

C2(т)ex.p(J M(£5(s))ds)(exp{^J ^ 51)^1^2) — 1)йа(1(3(1т+

При Ъ^ = 0, з = 1,2,3, процессы £2^), являются детерминированными и равными М^^)), М(е2^)), М(£%(6)), соответственно.

Если в (51) устремить bj к нулю, то математическое ожидание (45) решения задачи (1), (2) будет стремиться к решению детерминированной задачи (40), (41), полученной при замене случайных процессов их средними значениями.

В параграфе 3.3 вычислено математическое ожидание решения задачи (1), (2) в случае пуассоновского закона распределения случайных коэффициентов.

Пусть случайные процессы е\(t), s2(t), £з(t) заданы характеристическими функционалами rh roo rt-L pej(v) =exp(i/j / (/ p(qj)e¡xp(iqj v(s)lj(s - r1)ds)dqj - l)dn), (52) j to J —OO J T\ j = 1,2,3, где p(qj) - плотность распределения случайной величины qj, функция lj(t) описывает форму импульса и является детерминированной (.lj(t) = 0 при t < 0), Vj - параметр (j = 1, 2, 3).

Теорема 23. Пусть выполнены условия теоремы 1, случайные процессы £\{t), £2{t), £3(t) независимы и распределены по пуассоновскому закону распределения с характеристическими функционалами (52). Тогда обобщенное математическое ожидание решения задачи (1), (2) имеет вид

M{u(t,x,y))= (53) ехР(^з Ц1 M(exp(g3 lL{nM ~ ri)ds))dri) exp(^i(íi - ¿0)) exp(z/2(íi - t0)) exp(z/3(íi - t0))

M{g(x:y))* pt р(ц / M(exp(—£ gi / h{s - n)ds))dn)x

Jto J max{ri,io} exp(z/2i M(exp(-7y2g2 Í h(s - ri)ds))dri)](a;, y)+

Jt0 ^max{ri,io} [* 6XP^3 ^ /max{n,r} ~ T^ds^dn)

Jto exp(i/i(íi - ¿0)) exp(z/2(ii - t0)) exp(z/3(ii - t0)) xF^[exp(i/i [ M(exp(-^2gi Í h(s - n)ds))dn)x io J maxfri ,r} М(ехр(-Л2 /" /2(5-п)сг5))сгг1)](а;,2/)* п ./тах/п ,т)

-Ь1 х ехт ; тах{т1,т} м(/(т,х,у))(1т.

В заключении перечислены основные результаты диссертации.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Боровикова, Марина Михайловна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Выделим основные новые результаты, полученные в диссертации:

1. Получена явная формула для решения начальной задачи для дифференциального уравнения с частными и вариационными производными первого порядка.

2. Найдено решение задачи Коши для дифференциального уравнения третьего порядка с частными и вариационными производными.

3. Получены формулы для нахождения математического ожидания, вторых моментных функций, дисперсионной функции решения уравнения теплопроводности в общем случае и в случае независимости случайных коэффициентов от случайного внешнего воздействия.

4. Построены рекуррентные соотношения для вычисления последовательных моментных функций.

5. Получены выражения для математического ожидания, второй мо-ментной функции, дисперсионной функции решения для частных законов распределения случайных коэффициентов.

6. В случае нормального и равномерного распределения случайных коэффициентов оценена погрешность, обусловленная заменой случайных процессов, входящих в уравнение, их математическими ожиданиями.

7. Доказано, что формула для математического ожидания решения является обобщением известной формулы Пуассона для решения уравнения теплопроводности.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Боровикова, Марина Михайловна, 2008 год

1. Адомиан Дж. Стохастические системы / Дж. Адомиан. М. : Мир, 1987. - 376 с.

2. Бахвалов Н.С. Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи механики композиционных материалов / Н.С. Бахвалов, Г.П. Панасенко. М. : Наука, 1984. - 352 с.

3. Боровикова М.М. Дисперсионная функция решения стохастической задачи Коши для уравнения теплопроводности /М.М. Боровикова // Вестник Ижевского государственного технического университета. 2008. -№ 4. - С. 195 - 198.

4. Бутковский А.Г. Характеристики систем с распределенными параметрами / А.Г. Бутковский. М. : Наука, 1979. - 224 с.

5. Вентцель А.Д. Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений / А.Д. Вентцель, М.И. Фрейдлин. -М. : Наука, 1979. 424 с.

6. Вентцель Е.С. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения / Е.С. Вентцель, JI.A. Овчаров. М. : Высш. шк., 2000. - 383 с.

7. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике / B.C. Владимиров. М. : Наука, 1979. - 320 с.

8. Владимиров B.C. Уравнения математической физики / B.C. Владимиров, В.В. Жаринов. М. : Физматлит, 2003. - 400 с.

9. Волков И.К. Случайные процессы / И.К. Волков, С.М. Зуев, Г.М.

10. Цветкова. М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. - 448 с.

11. Гельфанд И.М. Обобщенные функции и действия над ними / И.М. Гельфанд, Г.Е. Шилов. М. : Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1959. - 470 с.

12. Гихман И.И. Введение в теорию случайных процессов / И.И. Гих-ман, A.B. Скороход. М. : Наука, 1977. - 568 с.

13. Гихман И.И. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения / И.И. Гихман, A.B. Скороход. Киев : Наук, думка, 1982. -612 с.

14. Данфорд Н. Линейные операторы. Общая теория / Н. Данфорд, Дж. Шварц. М. : ИЛ, 1962. - 896 с.

15. Задорожний В.Г. Дифференциальное уравнение в банаховом пространстве, содержащее вариационную производную / В.Г. Задорожний // Сиб. матем. журнал. 1992. - Т. 33. - № 2. - С. 80 - 93.

16. Задорожний В.Г. Дифференциальные уравнения с вариационными производными / В.Г. Задорожний. Воронеж : ВГУ, 2000. - 368 с.

17. Задорожний В.Г. Методы вариационного анализа / В.Г. Задорожний. М. - Ижевск : НИЦ "Гегулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований, 2006. - 316 с.

18. Задорожний В.Г. Моментные функции решения задачи Коши для уравнения переноса с диффузией и случайными коэффициентами / В.Г. Задорожний // Докл. РАН. 2001. - Т. 377. - № 5. - С. 588 - 590.

19. Задорожний В.Г. Моментные функции решения задачи Коши стохастического уравнения теплопроводности / В.Г. Задорожний // Докл. РАН. 1999. - Т. 364. - № 6. - С. 735 - 737.

20. Задорожний В.Г. Моментные функции решения уравнения теплопроводности со случайными коэффициентами / В.Г. Задорожний // Фундаментальная и прикладная математика. 2001. - Т. 7. - № 2. - С. 351 -371.

21. Задорожний В.Г. О линейном дифференциальном уравнении первого порядка с обычной и вариационной производными / В.Г. Задорожний // Матем. заметки РАН. 1993. - Т. 53. - Вып. 4. - С. 36 - 44.

22. Задорожний В.Г. О моментных функциях решения начальной задачи линейного дифференциального уравнения первого порядка со случайными коэффициентами / В.Г. Задорожний, Л.Н. Строева // Дифференциальные уравнения. 2000. - Т. 36. - № 3. - С. 377 - 385.

23. Задорожний В.Г. О нахождении моментных функций решения задачи Коши уравнения диффузии со случайными коэффициентами / В.Г. Задорожний // Изв. РАН. Сер. матем. 2002. - Т. 66. - № 4. - С. 119 - 136.

24. Задорожний В.Г. Отыскание моментных функций решения задачи Коши для дифференциального уравнения второго порядка / В.Г. Задорожний, Т.И. Смагина // Вестник факультета прикладной математики и механики. 1998. - С. 52 - 56.

25. Каменский М.И. О принципе усреднения для квазилинейных параболических уравнений с запаздыванием / М.И. Каменский // Докл. РАН. 1994. - Т. 337. - № 3. - С. 304 - 306.

26. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайнонеоднородных средах / В.И. Кляцкин. М. : Наука, 1980. - 336 с.

27. Кляцкин В.И. Когерентные явления в стохастических динамических системах / В.И. Кляцкин, Д. Гурарий // Успехи физических наук. -1999. Вып. 2. - С. 171 - 208.

28. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А.Н. Колмогоров, C.B. Фомин. М. : Наука, 1976. - 544 с.

29. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. М. : Наука, 1970. - 720 с.

30. Кузнецов Д.Ф. Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений / Д.Ф. Кузнецов. СПб. : Изд-во Политехи, ун-та, 2006. - 762 с.

31. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных / В.П. Михайлов. М. : Наука, 1983. - 424с.

32. Монин A.C. Статистическая гидромеханика / A.C. Монин, A.M. Яглом. М. : Наука, 1965. - Ч. 1. - 640 с.

33. Монин A.C. Статистическая гидромеханика / A.C. Монин, A.M. Яглом. М. : Наука, 1967. - Ч. 2. - 720 с.

34. Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения / Б. Оксендаль. М. : Мир, ООО "Изд-во ACT", 2003.- 408 с.

35. Свешников A.A. Прикладные методы теории случайных функций / A.A. Свешников. М. : Наука, 1968. - 464 с.

36. Строева JI.H. Линейная задача переноса со случайными коэффициентами / JI.H. Строева // Вестник факультета прикладной математики и механики. 2003. - Вып. 4. - С. 124 - 135.

37. Татарский В.И. Распространение волн в турбулентной атмосфере / В.И. Татарский. М. : Наука, 1967. - 548 с.

38. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики /А.Н. Тихонов, A.A. Самарский. М. : Наука, 1977. - 736 с.

39. Тихонов В.И. Воздействие флуктуаций на простейшие параметрические системы / В.И. Тихонов // Автоматика и телемеханика. 1958. -Т. 19. - № 8. - С. 717 - 723.

40. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника / В.И. Тихонов. М. : Радио и связь, 1982. - 624 с.

41. Фурсиков A.B. Моментная теория для уравнений Навье-Стокса со случайной правой частью / A.B. Фурсиков // Изв. РАН. Сер. матем. -1992. Т. 56. - № 6. - С. 1273 - 1315.

42. Фурсиков A.B. О проблеме замыкания цепочки моментных уравнений в случае больших чисел Рейнольдса / A.B. Фурсиков // Неклассические уравнения и уравнения смешанного типа. 1990. - С. 231 - 250.

43. Фурсиков A.B. Проблема замыкания цепочек моментных уравнений, соответствующих трехмерной системе уравнений Навье-Стокса в случае больших чисел Рейнольдса / A.B. Фурсиков // ДАН СССР. 1991. - Т. 319. - № 1. - С. 83 - 87.

44. Шапиро В.Е. Динамические системы при случайных воздействиях / В.Е. Шапиро, В.М. Логинов. Новосибирск : Наука, 1983. - 160 с.

45. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс / Г.Е. Шилов. М. : Наука, 1965. - 328 с.

46. Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс / Г.Е. Шилов. М. : Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1961. - 436 с.