Оптимизация структуры моментных оценок точности нормальной аппроксимации для распределений сумм независимых случайных величин тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, доктор физико-математических наук Шевцова, Ирина Геннадьевна

• Шевцова, Ирина Геннадьевна
• доктор физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Шевцова, Ирина Геннадьевна

Содержание

Список сокращений и условных обозначений

Введение

Содержание работы

Глава 1. Аналитические методы теории вероятностей

1.1. Элементарные неравенства

1.2. Улучшение моментного неравенства Эссеена

1.3. Точная мажоранта третьего центрального момента в терминах абсолютного третьего центрального момента

1.4. Точная мажоранта абсолютного третьего центрального момента

в терминах нецентрального

1.5. Преобразование смещения квадрата и его свойства

1.6. Оценки точности аппроксимации характеристической функции первыми членами её разложения в ряд Тейлора

1.7. Оценки действительной части и абсолютного значения характеристической функции

1.8. Улучшение моментного неравенства Мизеса для решётчатых распределений

1.9. Оценки характеристической функции и её производных в окрестности нуля

1.10. Неравенства сглаживания

Глава 2. Оценки остаточного члена в ЦПТ для сумм независимых

случайных величин

.2.1. История. Классификация асимптотически правильных констант

2.2. Асимптотические равномерные оценки

2.3. Нижние оценки. Значения асимптотически правильных констант

2.4. Абсолютные равномерные оценки

2.5. Абсолютные неравномерные оценки

Глава 3. Оценки точности нормальной аппроксимации для обобщённых пуассоновских распределений

3.1. Исторический обзор

3.2. Верхние асимптотические оценки

3.3. Нижние оценки

3.4. Абсолютные равномерные и неравномерные оценки

Заключение

Литература

Публикации автора по теме диссертации

Список сокращений и условных обозначений

• ЦПТ — центральная предельная теорема;

• в.п. — вероятностное пространство;

• с.в. — случайная(-ые) величина(-ы);

в о.р.(с.в.) — одинаково распределённые (случайные величины);

• p.p.(с.в.) — разнораспределённые (случайные величины), случай одинакового распределения при этом не исключается;

• н.о.р.с.в. — независимые одинаково распределённые случайные величины;

• ф.р. — функция распределения;

• х.ф. — характеристическая функция;

• п.н. — почти наверное (с вероятностью единица);

• □ — конец доказательства;

• C,R, Z,N — соответственно множества всех комплексных, действительных, целых, натуральных чисел;

• V — операция максимума, а V Ъ = тах{а, 6};

• А — операция минимума, a A b = min{a, 6};

• х+ = х V 0, х G R;

• х~ = (-х) V О, X е R;

• signa: — знак вещественного числа х\

• — наибольшее целое, не превосходящее х € R;

• [ж] — наименьшее целое, не меньшее х G R;

• Ss z, 2: G С — соответственно действительная и мнимая части 2;

• z — число, комплексно сопряжённое к z £ С;

• д(х) х h(x), х -» £о, — означает, что 0 < liminf

X-^Xq

/ V 3(Х)

^ lim sup

X-^Xq tl{X

< оо

где д(х) и h{x) — положительные функции или последовательности, а xq может быть бесконечностью;

• д(х) ~ h(x), х —> хо, — означает, что lim —= 1, где д(х) и

• Х->Х0 h\x)

h(x) — положительные функции или последовательности, а xq может быть бесконечностью;

• % — т, п — г пробегает множество всех целых чисел от т до п включительно, ш, п Е Z, т ^ щ

• (Г2, Л, Р) — вероятностное пространство (в.п.);

• Е — математическое ожидание (м.о.);

• D — дисперсия;

• 1(А) — индикаторная функция события А;

• f(x) = e-*2/2/V^, = (p(t) dt, х G R, — соответственно плотность и ф.р. стандартного нормального закона;

• п! = Г(п + 1) = п • (п — 1) • • • 2 • 1, п Е 14, — факториал;

• = — совпадение распределении;

• X, Хх, Х2

• 5П = Х\ +

• F(x) = Р{Х < х), Fj(x) = P{Xj < х), Fn{x) = Р{Sn - ЕSn < х^Щг) ~

• f(t) = Eeitx, fj(t) = Eeitxi, fn(t) = - х.ф. c.b. X, xj,

• Г(а)

ta 1e idt, а. > 0, — гамма-функция Эйлера;

о

ф.р. с.в. X, Xj, (Sn — ESn)/\/DSn соответственно;

(Sn — ESn)/y/DSn соответственно;

• Ап(х) = An(x; Fi,..., Fn) = \En{x) - Ф(ж)|, x G R;

• Дп = An (Fi,

• CTj = DXj — дисперсия c.b. Xj, j = 1, n;

• ßrj = E\Xj\2+5, 0 < r ^ 2 + — абсолютные моменты порядка г с.в. Xj;

• tn = ßn(2+5) J2j=i ß2+s,j — ляпуновская дробь;

• тп = ßn(2+5) если Xi,..., Xn - о.р.с.в., то rn = n-*/2;

• ^2+j ~ множество всех ф.р. F с.в. X с EX = 0 (в главах 1, 2) и Е|Х|2+5 < < оо, <5 ^ 0, в главе 3 требование центрированности (ЕХ = 0) опускается;

• ^2+S, s множество ВСеХ СИММвТрИЧНЫХ ф.р. ИЗ ^2+5]

• — множество всех решётчатых ф.р. из Тч+ь с максимальным шагом h > 0;

• Vis ~~ множество всех решётчатых ф.р. из ^2+6,s с максимальным шагом h > 0;

• LS(X,Y) = inf{E|X' - Y'\8: X' = X, Y' = Y} - расстояние между случайными величинами X, Y в метрике 0 < ö ^ 1;

• X* — с.в., имеющая распределение Х-объёмного смещения;

• X^ — с.в., имеющая распределение Х-нулевого смещения;

• Ха — с.в., имеющая распределение смещения квадрата Х\

• CKHÇF) — sup lim sup An(F)/4 — асимптотически наилучшая константа

FeJ" n-> oo в классе T Ç F2+0, 0 ^ ö ^ 1;

• Сап (Л = lim sup lim sup sup A n{F)/£ — нижняя асимптотически

£->0 n->oo FeT: tn=l

правильная константа в классе T Ç J^+j, 0 < <5 ^ 1;

• СлпОП = lim sup sup An(F)/£ — асимптотически правильная кон-

Є-+0 п, FEJ-: tn=t станта в классе Т С h 0 < 5 ^ 1;

• ^ап(J7) = sup lim sup sup An(F)/£ — условная верхняя асимптотиче-

е>0 п-юо FeT": tn=i

ски правильная константа в классе Т С F2+5, 0 ^ 5 ^ 1;

• СапС^*) = lim sup sup An(F)/£n — верхняя асимптотически правильная

п-> оо F67"

константа в классе Т С Т^л-ь-, 0 ^ <5 ^ 1.

Всюду в диссертации под возрастающими (убывающими) функциями подразумеваются функции неубывающие (невозрастающие). Если необходимо подчеркнуть свойство именно строгой монотонности, то используются термины: строго возрастает, строго убывает и т.п.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Оптимизация структуры моментных оценок точности нормальной аппроксимации для распределений сумм независимых случайных величин»

Введение

Актуальность темы исследования. Задача изучения скорости сближения распределений сумм независимых случайных величин с нормальным законом, возможность которой предоставляется центральной предельной теоремой (ЦПТ) теории вероятностей, является одной из ключевых проблем теории вероятностей, имеет солидную историю и богата многими, в том числе выдающимися, именами. В разное время в этой области работали А. М. Ляпунов,

A. Я. Хинчин, П. Леви, А. Н. Колмогоров, Г. Крамер, С. Н. Бернштейн, Б. В. Гне-денко, Ю. В. Прохоров, К.-Г. Эссеен, И. А. Ибрагимов, Ю. В. Линник, Я. Лин-деберг, В.Феллер, С.В.Нагаев, В.М.Золотарев, В.В.Сазонов, В.В.Петров, Л.В.Осипов, К.Хейди, X. Правитц, Р. Михель, П. Холл и другие выдающиеся математики. Оценкам точности нормальной аппроксимации для распределений сумм независимых случайных величин уделено большое внимание в основополагающей книге Б. В. Гнеденко и А. Н. Колмогорова [11], в ставших классическими монографиях И. А. Ибрагимова и Ю.В. Линника [19], В. В. Петрова [52, 54] и

B.М. Золотарева [17]. Более того, этой проблематике посвящены специальные глубокие монографии Р. Н. Бхаттачария и Р. Ранга Pao [8], П. Холла [127], В.В.Сенатова [67, 183].

В 1901 г. А. М. Ляпунов [32] доказал современный вариант ЦПТ для сумм независимых случайных величин, удовлетворяющих условию Ляпунова и установил первую оценку скорости сходимости. Оценка Ляпунова была дана в терминах специальной функции (называемой ляпуновской дробью) числа случайных слагаемых в сумме и их первых моментов. Подобные оценки в дальнейшем будут называться моментными. С тех пор моментные оценки скорости сходимости в ЦПТ стали традиционными, а в наше время их можно смело называть классическими. Однако, моментные оценки не безупречны. Современная критика моментных оценок основана на том, что моменты распределений слагаемых игнорируют информацию о близости исходного распределения к предельному закону, и потому в некоторых случаях такие оценки могут быть довольно грубыми. Безусловно, оценки в терминах псевдомоментов (см., например, работы В.М.Золотарёва [14], В. И. Паулаускаса [49], В.В.Ульянова [76], С.В.Нагаева и В. И.Ротаря [39]), или, скажем, «хвостов» распределения слагаемых (см., например, работы К.-Ч. Хейди [130], Л. В. Осипова [46], Л. В. Розовского [59, 60], П. Холла и А. Д. Барбура [126, 128]) могут быть точнее моментных, более того,

самой точной и неулучшаемой оценкой рассматриваемой величины является сама эта величина. Однако оценка, по своему смыслу, должна иметь более простой вид по сравнению с оцениваемой величиной и эффективно вычисляться, требуя лишь наиболее доступную информацию об исходном распределении. Как правило, альтернативы моментным оценкам, изучаемые в литературе, такими свойствами не обладают, что затрудняет их практическое применение. Моменты же, являясь интегральными характеристиками, могут быть эффективно оценены по выборке при помощи стандартных статистических процедур, особенно, в случае одинаково распределённых слагаемых. Другими словами, моменты являются наиболее простыми, удобными, доступными и потому наиболее привлекательными характеристиками распределения слагаемых, позволяющими делать выводы о точности нормальной аппроксимации для распределения их суммы. Однако при этом естественно возникает задача о наиболее эффективном использовании информации, содержащейся в первых моментах распределений слагаемых, с целью повышения точности итоговых оценок. Данная диссертация посвящена исследованию именно этой задачи — задачи оптимизации структуры моментных оценок. При этом основное внимание уделено оценкам равномерной метрики, не такой удобной с математической точки зрения, как, например, идеальные метрики, но очень популярной в разнообразных приложениях.

Наиболее простая и общая равномерная оценка скорости сходимости распределений нормированных сумм

FnО) = Р(Хг + ... + Хп< хВп), х е R,

независимых центрированных случайных величин (с.в.) Xi,...,Xn с В\ =

= > °> aJ = EXj> fo+M = E\XJ\2+5 < oo, О < 5 ^ 1,

j = 1 устанавливается неравенством Эссеена [114] (при <5 = 1 —

Берри-Эссеена [95, 112]), согласно которому

Дп = sup |Fn(x) - Ф(х)| < Со{5)£п,

х

где Ф(:с) — функция распределения (ф.р.) стандартного нормального закона, =i /^2+<5,j) Со(£) зависит только от 5. Отметим, что в случае одинаково распределённых (о.р.) с.в.

и, согласно оценке Эссеена, скорость сходимости в ЦПТ возрастает с ростом Однако так происходит только до тех пор, пока £ ^ 1: при 5^1 скорость

сходимости остаётся в общем случае такой же, как и при 5 — 1, а именно 0(п-1/2), поэтому случай 5 = 1 представляет наибольший интерес. Более того, при 5 = 1 известна [115] положительная нижняя оценка абсолютной константы

С0(1):

Для случая 5 < 1 и о.р.с.в. в 1966г. Л.В.Осипов и В.В.Петров [47] доказали, что если распределение слагаемых фиксировано (не зависит от п), то Ап = o(n~ö/2), что ставит под сомнение «правильность» (точность) оценок типа Дп = 0(п~6/2), в т.ч. оценки Эссеена, и вызывает вопрос об эффективности и целесообразности их использования. В диссертации же впервые показано, что неравенство Эссеена устанавливает точный порядок для специальной схемы серий, т.е. оно не может быть улучшено равномерно в классе рассматриваемых распределений. Кроме того, в диссертационной работе впервые найдены положительные нижние оценки абсолютных констант Со(5), а также нижние оценки аналогичных асимптотических констант (когда в оценке допускается наличие дополнительного слагаемого порядка о(£п), £п 0), справедливые и для бесконечно малых значений ляпуновской дроби £п.

В случае 5 = 1, как отмечалось многими исследователями, неравенство Берри-Эссеена даже с теоретически наилучшим возможным значением (ч/Н) + + 3)/(6\/27г) абсолютной константы Со(1) зачастую устанавливает довольно грубую оценку скорости сходимости в ЦПТ. Известные к настоящему времени способы устранения этого недостатка, сохраняющие моментную форму итоговой оценки, можно условно разделить на три группы:

• на распределения слагаемых накладываются дополнительные ограничения моментного и/или структурного типа в виде требований конечности моментов четвёртого порядка и выше и/или предположения о «гладкости» или, наоборот, решётчатости исходного распределения. В таком случае выписываются асимптотические разложения типа Эджворта-Кра-мера или Грама-Шарлье и др., позволяющие получить оценку скорости сходимости порядка 0(п-1) и выше, определяемого максимальным порядком абсолютного момента, существующего у слагаемых (см., например, работы В. В. Сенатова [67-70]);

• происходит замена изучаемого объекта (равномерной метрики) более

«удобным»: так, например, в случае решётчатого распределения слагаемых вместо равномерной метрики более эффективно удаётся оценить максимальное расстояние в точках решётки, сдвинутой на половину её шага (грубо говоря, в серединках интервалов постоянства допредельной решётчатой функции распределения) [67], а для средней и дзета-метрик в работах Л. Гольдстейна [119] и И.С.Тюрина [192] недавно были найдены точные оценки;

• рассматриваются довольно конкретные частные случаи: так, например, в работе К. Хиппа и Л. Маттнера [79] для симметричных слагаемых с одинаковым распределением Бернулли найдена точная оценка, в работах С.В.Нагаева и В.И.Чеботарёва [41, 42] изучается точность нормальной аппроксимации для сумм независимых одинаково распределённых бернул-лиевских случайных величин (не обязательно симметричных) и получены оценки, более точные по сравнению с общими.

Возникает естественный вопрос: можно ли уточнить неравенство Бер-ри-Эссеена, не накладывая никаких дополнительных ограничений на распределения слагаемых? Результаты, полученные в диссертации, позволяют дать конструктивный положительный ответ на этот вопрос. А именно, в диссертации показано, что если использовать не только информацию ограничительного характера о моментах максимального порядка распределения слагаемых, аккумулируемую в ляпуновской дроби но и дополнительную информацию неограничительного характера о моментах младшего порядка, аккумулируемую в таких функциях, как, например,

^ п 1 П

г- = шЕ^Гили =

п 3=1 п 3=1

где = ] = 1,... ,п, — абсолютные моменты порядка 5 (существо-

вание которых вытекает из существования моментов более старшего порядка 2 + 5), то оценки вида

Дп ^ Оп + Ктп (*)

и

Ап^Сеп + Ктп + о(еп), 0, (**)

с некоторыми (вообще говоря, различными) С > 0 и К = К (С) £ И могут быть существенно точнее оценок, не содержащих второго слагаемого

с тп. Дело в том, что величина тп в ряде случаев оказывается существенно меньше ляпуновской дроби £п и даже может быть величиной более высокого порядка малости, чем £п, при £п —0. Оценки типа (*) и (**) будем называть моментными оценками с уточнённой структурой, при этом оценки типа (*), не содержащие остаточного члена о(£п), будем называть абсолютными, а оценки типа (**) — асимптотическими, даже если остаточный член о(£п) указан в явном виде вплоть до значений абсолютных констант и формально такая оценка верна при любых значениях ляпуновской дроби £п. Если при этом доказана неулучшаемость коэффициента К ф 0 при некотором С, то соответствующую оценку будем называть моментной оценкой с оптимальной структурой. Процесс минимизации правой части по С будем называть оптимизацией структуры моментных оценок. Если К — 0, т.е. в оценке участвует только ляпуновская дробь £п, то такие оценки будем называть оценками с простой структурой (соответственно абсолютными и асимптотическими), даже если доказана неулучшаемость константы С.

На практике часто возникает ситуация, когда количество п слагаемых в сумме заранее не известно. Такая ситуация характерна, например, для медицинской статистики или страховой практики, когда фиксируется не число наблюдений (страховых случаев), а период времени для сбора информации. В таком случае естественно предположить, что индекс суммирования (число слагаемых в сумме) является целочисленной случайной величиной. В диссертации также изучается точность нормальной аппроксимации для распределений пуассонов-ских случайных сумм (обобщённых пуассоновских распределений), т.е. сумм независимых одинаково распределённых случайных величин, в которых индекс суммирования не зависит от слагаемых и имеет распределение Пуассона. Выбор именно пуассоновского распределения для числа слагаемых в сумме обусловлен тем, что, во-первых, пуассоновский процесс является математической моделью потока событий, абсолютно хаотично рассредоточенных во времени (т.е. характеризует максимальную неопределённость исследователя в отношении моментов наступления наблюдаемых событий), а, во-вторых, на основе оценок скорости сходимости пуассоновских случайных сумм по известному алгоритму можно конструировать оценки скорости сходимости случайных сумм с произвольным безгранично делимым асимптотически вырожденным индексом и смешанных пуассоновских случайных сумм, в частности, обобщённых процессов Кокса, способных отразить дополнительную информацию о характеристиках процесса

наступления наблюдаемых событий (см., например, [233]).

Асимптотической теории случайного суммирования посвящены монографии А.Гута [124], В.М.Круглова и В.Ю.Королева [29], Б.В.Гнеденко и В.Ю. Королева [117], В.В.Калашникова [138], В.Ю.Королева, В.Е. Бенинга и С.Я.Шоргина [23, 88] и другие. Полученные в данной диссертации оценки скорости сходимости дополняют результаты, приведённые в указанных источниках.

Цели и задачи диссертационной работы. Целью работы является разработка нового направления в области предельных теорем теории вероятностей для сумм независимых случайных величин — построение моментных оценок скорости сходимости, имеющих оптимальную структуру. Для достижения указанной цели были решены следующие задачи:

• усовершенствованы аналитические методы теории вероятностей: доказаны новые точные моментные неравенства и оценки для характеристических функций;

• построены новые асимптотические равномерные оценки скорости сходимости распределений сумм детерминированного числа независимых случайных величин, имеющие оптимальную структуру главного члена, а также их. абсолютные аналоги с уточнённой, структурой, которые явились основой нового метода построения неравномерных оценок скорости сходимости в ЦПТ и точных моментных оценок скорости сходимости обобщённых пуассоновских распределений;

• предложена детальная классификация асимптотически правильных констант в ЦПТ и впервые найдены нижние асимптотические моментные оценки скорости сходимости для распределений с тяжёлыми «хвостами».

Методы исследования. В работе используются современные методы теории вероятностей (метод характеристических функций, методы сглаживания), различные численные методы, методы оптимизации и выпуклого анализа, методы математического и функционального анализа, а также оригинальные методы и инструменты, разработанные в диссертации:

• новые точные моментные оценки для характеристических функций;

• новые неулучшаемые моментные неравенства, в частности, оптимальным образом реструктуризированное моментное неравенство Эссеена;

• метод вычисления абсолютных констант в неравенствах типа Берри-Эссе-ена и их структурных уточнениях;

• метод сглаживания, основанный на расширении класса ядер в неравенствах сглаживания;

• метод получения неравномерных оценок с помощью оптимально реструктуризированных равномерных оценок;

• метод построения оценок скорости сходимости для сопровождающих безгранично делимых распределений, основанный на оптимально реструктуризированных оценках скорости сходимости исходных распределений.

Научная новизна. В диссертации предложено и разработано новое направление в области предельных теорем теории вероятностей — оптимизация структуры моментных оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме для сумм независимых случайных величин. В рамках этого нового направления получены следующие основные результаты:

1. Построены равномерные оценки с оптимальной^ структурой, учитывающие не только информацию о моментах старшего порядка, но и дополнительную информацию неограничительного характера о моментах младших порядков, для чего доказаны новые точные оценки для характеристических функций и неулучшаемые моментные неравенства.

2. На основе полученных результатов предложен новый метод построения оценок скорости сходимости в предельных теоремах для сумм независимых случайных величин, позволивший получить:

• неравномерные моментные оценки скорости сходимости в классической ЦПТ, существенно уточняющие известные;

• точные моментные оценки скорости сходимости обобщённых пуассо-новских распределений.

3. Впервые поставлена и решена задача о нахождении асимптотически правильной константы в ЦПТ для пуассоновских случайных сумм. Построены асимптотические равномерные оценки в явном виде, эквивалентные верхней грани нижних оценок, а также абсолютные равномерные и неравномерные оценки. Впервые показано, что скорость сходимости сопровождающих безгранично делимых распределений выше, чем исходных.

4. Предложена детальная классификация асимптотически правильных констант в ЦПТ. Введены понятия верхней, условной верхней и нижней асимптотически правильных констант. Найдены их точные значения и/или двусторонние оценки, получены соотношения между новыми и ранее введёнными константами. Впервые найдены нижние асимптотические моментные оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме для распределений с тяжёлыми «хвостами».

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации имеют теоретический характер и одновременно допускают удобное применение к решению различных практических задач, связанных с использованием нормальной аппроксимации, например, в страховании, финансовой математике, теории управления запасами, шифровании, при прогнозировании надёжности сложных инфотелекоммуникационных систем и других областях.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах «Теория риска и смежные вопросы» кафедры математической статистики факультета ВМК МГУ, Международных семинарах по проблемам устойчивости стохастических моделей (2005, 2006, 2007, 2009, 2011, 2012гг.), Международном конгрессе по прикладной и промышленной математике (Цюрих, 16-20 июля 2007г.), Барселонской конференции по асимптотической статистике «BAS-2008» (Беллатерра, Барселона, 1-5 сентября 2008г.), Международной конференции «European Meeting of Statisticians» (Тулуза, Франция France, 20—24 июля 2009г.), Российско-японском симпозиуме «Стохастический анализ сложных статистических моделей» (Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 16 сентября 2009 г.), Международной научной конференции «Актуальные проблемы математики и механики» НИИ математики и механики Казанского университета (Казань, 9 октября 2009г.), Большом семинаре кафедры теории вероятностей механико-математического факультета МГУ под руководством академика РАН А. Н. Ширяева (21 октября

2009г. и 18 ноября 2009г.), 10-й Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике (Вильнюс, 28 июня - 02 июля 2010 г.), Международной конференции «Prague Stochastics-2010» (Прага, 30 августа - 2 сентября 2010 г.), 2-м Международном конгрессе «Ультрасовременные телекоммуникации и системы управления ICUMT-2010» (2010), научной конференции «Тихоновские чтения» (ВМК МГУ, Москва, 25-29 октября 2010), 14-й Международной конференции «Applied Stochastic Models and Data Analysis» (Рим, 7-10 июня 2011г.), Международной конференции по стохастическим моделям и их применению, посвящённой 80-летнему юбилею М. Арато (Дебрецен, Венгрия, 22-24 августа 2011г.), научной конференции «Ломоносовские чтения» (МГУ, 24 апреля 2012 г.), Международной конференции «Теория вероятностей и её приложения» в честь 100-летия со дня рождения Б. В. Гнеденко (МГУ, Москва, 26-30 июня 2012 г.), 8-м Всемирном конгрессе по вероятности и статистике (Стамбул, 9-14 июля 2012 г.), Городском семинаре по теории вероятностей и математической статистике ПОМИ РАН под руководством академика РАН И.А.Ибрагимова (Санкт-Петербург, 16 ноября 2012г.), семинаре «Oberseminar Math. Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie» под руководством Ф. Гётце в Университете г. Билефельд (Билефельд, Германия, 3 декабря 2012 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 32 статьи, из которых 27 — в центральных математических журналах (Доклады Академии наук, Теория вероятностей и её применения, Scandinavian Actuarial Journal) и журналах из перечня ВАК «Перечень российских рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание учёных степеней доктора и кандидата наук». Список публикаций по теме диссертации помещён в конце списка литературы.

Личный вклад автора. Основные результаты диссертации получены лично автором.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из оглавления, перечня сокращений и условных обозначений, введения, трёх глав, заключения и списка литературы, насчитывающего 238 наименований. Используется двойная нумерация формул, теорем, лемм, следствий и замечаний: через точку указывается номер главы и номер объекта внутри главы. Общий объём работы составляет 354 страницы.

Содержание работы

В первой главе разработаны аналитические методы теории вероятностей, с помощью которых в последующих главах решены задачи и достигнуты цели данной работы. Кроме того, эти методы можно использовать при построении моментных оценок скорости сходимости в разнообразных предельных теоремах для сумм независимых случайных величин. А именно, в первой главе доказаны новые точные моментные оценки для характеристических функций, в т.ч. числе оценки близости к характеристической функции рассматриваемого в данной работе предельного нормального закона, получены некоторые точные моментные неравенства, а также доказано новое неравенство сглаживания.

Востребованность оценок для характеристических функций при изучении скорости сходимости в предельных теоремах связана с теоремой непрерывности, формализованной в виде разнообразных неравенств сглаживания, с помощью которых остаточный член в предельной теореме удаётся оценить в терминах интегралов от модуля разности допредельной и предельной характеристических функций, а также их абсолютных значений. Поэтому основное внимание в первой главе уделено моментным оценкам для характеристических функций: оценкам абсолютного значения характеристической функции и оценкам точности аппроксимации характеристической функции полиномами (первыми членами разложения в ряд Тейлора) и её производными. С помощью и на основе последних можно получать оценки близости допредельной и (известной) предельной характеристических функций, поскольку поведение их разности в окрестности нуля, как правило, определяется поведением допредельной функции. В диссертации отдельное внимание уделено оценкам близости к характеристической функции нормального закона, занимающего здесь центральное место.

Пусть X — с.в., заданная на некотором вероятностном пространстве (в.п.) (Г2,Д, Р) и такая, что Е|Х|Г < оо для некоторого вещественного г > 0. Обозначим

ак = ЕХк, к — 1,2,.... [г\, Р3 = Е\Х\3, 0 < з ^ г, а0 = = 1.

Приведём сначала несколько моментных неравенств, полученных в первой главе.

Если распределение с.в. X является решётчатым с шагом К > 0 и а\ = 0,

(Зп < оо при некотором п е N5 то в силу неравенства Мизеса

к = 2, п.

В теореме 1.12 это неравенство уточнено для п = 3 и обобщено на случай дробного к £ (2,3): если распределение с.в. X является решётчатым с шагом /г и с*1 = О, (З2+6 < оо для некоторого 0 < 5 ^ 1, то

если вдобавок распределение с.в. X симметрично, то

При решении задачи об асимптотически наилучшей постоянной в ЦПТ в 1956 г. К.-Г. Эссеен [115] доказал фундаментальное для этой задачи неравенство

Ы + 3/1^ (х/10 + 3)/33,

справедливое для любой решётчатой с шагом Н > 0 с.в. X и удовлетворяющей условиям = 0,/?2 = 1- Равенство в неравенстве Эссеена достигается на специальном двухточечном распределении, для которого /?з = у^20(л/10 — 3)/3 = = 1.0401.... Как вытекает из теоремы 1.12, К ^ /З3 + /З1, и задача оценивания левой части неравенства Эссеена сводится к построению оценок выражения |о?з| + З/З1 в терминах /З3. В теореме 1.4 для этого выражения получена оценка с оптимальной структурой, учитывающая в каждом случае конкретное значение /Зз: если «1 = 0, 02 = 1, то при всех А ^ 1 справедливо неравенство

Ы + ЗА^А/33 + М(р(А),А),

где

Р(Л) = V Ш'3111 б - 5 агсип Г2 + 2Ы)'

лч 1 — А + 2(А + 2)р — 2(А + 3)р2 л 1 х

М(р, А) =-^ , * . ^-—, 0 <р< А ^ 1,

л/Я1 ~ Р) 2

причём равенство достигается при каждом А ^ 1 на специальном двухточечном

распределении. Теорема 1.4 и определяет структуру «главного» члена в оценках

точности нормальной аппроксимации для распределений сумм независимых

случайных величин, полученных в диссертационной работе.

В теореме 1.5 установлена точная мажоранта третьего алгебраического

момента в терминах абсолютного: для любого Ь ^ 1 и произвольной с.в. X с

EX = О, EX2 = 1, E\X\3 = b доказано неравенство

І ЕХ31 < А(Ь) Е\Х\\ где А(Ь) = уі>/і + 8 Ь~2 + і - 26~2 < 1,

равенство в котором достигается при каждом Ь ^ 1 на специальном двухточечном распределении.

В теореме 1.6 установлена точная оценка третьего абсолютного центрального момента в терминах нецентрального: если Аз < оо, то

Е\Х -аг\3 ^

з 17 + 7л/7 27

& < 1-3156 • Аз,

с равенством, достигающимся на специальном двухточечном распределении. Эта теорема полезна для метода урезаний и в диссертации используется при построении неравномерных оценок скорости сходимости в ЦПТ.

В первой главе, в частности, доказаны следующие моментные оценки точности аппроксимации характеристических функций в окрестности нуля (см. теоремы 1.9, 1.10, 1.13). Обозначим ¡(г) = ЕегЬХ, { £ Я, характеристическую функцию с.в. X. Если ах = 0 и ¡32+б < 00 ПРИ некотором 0 < 5 ^ 1, то при всех Ь £ К справедливы оценки

\f(t)\ < \/l — 2lps(t, ^2 + S + AO;

где

t2/2 - b1/^! < 0*+Si

М*>Ъ) = b-2/5{l - cos (Ъ1/Ч)), 9*2+6 < fc^lil < 2тг, b > 0,

0, bl/6\t\ > 2тг,

@2+s ~ единственный корень уравнения 592 + 29 sin 9 = 2(2 + 5)(1 — cos0) на интервале 7г < 9 < 2-к,

cos х - 1 + х2¡2 cos 9*2+s - 1 + (9*2+s)2/2

я2+6 = sup £>0

,2+6

(0*2+5)2+5

Если ai = 0 и Аз < со, то при всех t Є R справедливы оценки

(Мл!

/3? Ы V2/32A2

|/(i)-l + a2i2/2| < 7з(АЗМ3/2)-^ЗИ3А

./^/YAM \+\2

)

\f(t) - 1 + a2i2/2| ^ хзАзИ3 < 0.0992 • если a3 = 0;

+

. ^ /а уд3/2ч о .2 л Г8& • 2 (НА А , 2^2\

|/'(i) + a2i| ^ тГ1/^2 ^ 0.3184 • /%í2, еслиа3 = 0; |/"(í) + а2| ^ 7i (/5з//3|/2) • /ЗзИ A 2/32 sin (Ml д , |/"(í) + a2| < xi/33|i| < 0.7247 • если a3 = 0;

где

1 — COS X__

Xi = sup-= 0.7246 ...,

z>0 x

. A A(b) + qn( A) n\

In (b) = mf-:-, qn(X) = sup —

a^O n! x>o

(ix) x ("0"

Ei^; i ТГ"А"

/с! n!

k=0

, A^O.

Также получен ряд оценок для производных х.ф. и для остаточного члена в формуле Тейлора произвольного порядка (см. теорему 1.13, п. 5°).

Во второй главе построены моментные оценки точности нормальной аппроксимации для распределений сумм детерминированного числа независимых случайных величин.

Обозначим множество всех ф.р. F с.в. X с ЕХ = 0 и Е\Х\3 < оо. Пусть Хх, ..., Хп - независимые с.в., заданные на некотором в.п. (Г2, Л, Р) и имеющие функции распределения ^£ Ръ, 3 — 1>п- Обозначим 5П = Х\ + ... + Хп,

чт? = ЕХ?, /З3),- = Е|^|3, /З^ = Е\Ху\, .7' = 1,... ,п,

п п п

В1 = ^]> о, ¿. = в„-2-'1>,, =

7=1 7=1 7=1

^„(а:) = Р(5П < = * ... * х <Е Я,

где * означает свёртку. Положим

Дп = Дп(^ь ..., = вир - Ф(я)|, п ^ 1,

где Ф(ж) — ф.р. стандартного нормального закона. Несложно убедиться, что в сделанных выше предположениях для любого п ^ 1

В разделе 2.2 (см. следствие 2.1 и теоремы 2.3, 2.4) для всех п ^ 1 доказаны следующие моментные оценки с оптимальной структурой главного члена:

Д" - + 2^53 ЬЬ'* + | Р1 = ,,, = Рпе ъ,

24 /2\/3 — 3 j ЗЙ/6, Fi,..,F„64

Дп < с£„ + К(с)тп + < _

Л(с)С Fi = ... = Fn € Tb,

где Л (с) — монотонно убывающая функция с lim Л (с) = оо, но принимаем 2/(3

ющая конечные значения при всех с > 2/(3\/27г) и указанная в диссертации в явном виде,

М(р(Л), А)

Jf(c) =

Л=6\/2тгс-3

р(Л), М(р, Л) определены выше. Кроме того, показано, что значение коэффициента при £п в первом слагаемом каждой из приведённых оценок не может быть выбрано меньшим нижней асимптотически правильной константы

А (F) 2

Сап(Т-з) = lim sup lim sup sup —^— = —-= 7 0.2659 ...,

n-> oo 3\/27Г

и что значения коэффициентов во вторых слагаемых не могут быть уменьшены. Первые две оценки уточняют неравенства В. Бенткуса [90, 91] и Х.Правитца [178], а третья — неравенство Г.П.Чистякова [81-84]: из третьей оценки при с

= (л/lö + 3)/(6л/27г) вытекает, что для всех п ^ 1

VTÖ + 3 J 4ä\ 6V27T ^ Fi = = Fn G JT3.

Кроме того, в главе 2 получены уточнённые оценки для случая симметричного распределения слагаемых, обобщения на случай, когда слагаемые имеют конечные моменты порядка лишь 2 + 5с0<5<1,и аналогичные абсолютные равномерные и неравномерные оценки (не имеющие последнего слагаемого порядка о{1п) при

В третьей главе изучается точность нормальной аппроксимации для обобщённых пуассоновских распределений.

Пусть X, Xi, ... — н.о.р.с.в. с общей ф.р. F(x) — Р(Х < х), х Е R. Предположим, что ЕХ2 > 0, ß2+s = Е|Х|2+<5 < оо при некотором 0 < 6 ^ 1. Множество всех ф.р. с.в. X, удовлетворяющих указанным условиям, обозначим T2+S- Пусть N\ — с.в., имеющая распределение Пуассона с параметром Л > 0 :

\ к —А

Р№ = = * = 0,1,2,...,

и такая, что при каждом Л > 0 с.в. ЛГд, Х2,... независимы. С.в. 5л = Х\ + ... + называется пуассоновской случайной суммой (для определённости полагаем = 0), а её распределение — обобщённым пуассоновским.

Положим

/¿а - Е^д

ДА = Aa(F) = sup

zeR

£х = ¿а (¿4 =

VD5л

E|X|2+5

< x - Ф(я)

Л > 0,

В теоремах 3.1, 3.8 для всех А > 0 и F G 7з доказаны оценки

2£\ £\

АЛ ^ 0.3031 • £х,

и показано, что коэффициент 2/(2,у/Ъх) при ляпуновской дроби в первой оценке не может быть уменьшен. Таким образом, впервые поставлены и решены задачи об асимптотически правильной и нижней асимптотически правильной константах для пуассоновских случайных сумм: оказалось, что их значения совпадают и равняются

lim sup sup —-— = e^O A,FgJ-2+5: lx=t £

= lim sup lim sup sup = —= 0.2659 ....

0 A—>oo FeT2+s-" 3V27T

Кроме того, в главе 3 получены уточнённые оценки для случая симметричного распределения слагаемых, обобщения на случай, когда слагаемые имеют конечные моменты порядка лишь 2 + Ö с О < Ö < 1, а также абсолютные неравномерные оценки.

Заключение диссертации по теме «Теория вероятностей и математическая статистика», Шевцова, Ирина Геннадьевна

Основные результаты диссертационной работы. Предложено новое направление в области предельных теорем теории вероятностей — оптимизация структуры моментных оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме для сумм независимых случайных величин. В рамках этого направления получены следующие основные результаты:

1. Построены оптимальные асимптотические равномерные оценки скорости сходимости с остаточным членом, указанным в явном виде, а также абсолютные равномерные оценки с уточнённой структурой (типа неравенства Берри-Эссеена), учитывающие не только информацию о моментах старшего порядка, но и дополнительную информацию неограничительного характера о моментах младших порядков, для чего усовершенствованы аналитические методы теории вероятностей, в частности:

• доказано новое неравенство сглаживания;

• предложен новый подход к построению моментных оценок для характеристических функции в окрестности нуля, позволяющий вместо степенных использовать более естественные для этой задачи тригонометрические функции; впервые изучены свойства преобразования смещения квадрата; доказаны неулучшаемые моментные оценки для характеристических функций;

• решены некоторые экстремальные задачи теории вероятностей и доказаны новые точные моментные неравенства, в частности, улучшено моментное неравенство Эссеена и моментное неравенство Мизеса для решётчатых распределений.

2. На основе полученных оценок предложен новый метод построения оценок скорости сходимости в предельных теоремах для сумм независимых случайных величин, позволивший получить:

• неравномерные моментные оценки скорости сходимости в ЦПТ (типа неравенства Нагаева-Бикялиса и его структурных улучшений), существенно уточняющие известные;

• точные моментные оценки скорости сходимости обобщённых пуассо-новских распределений.

3. Впервые поставлена и решена задача о нахождении асимптотически правильной константы в аналоге неравенства Берри-Эссеена для пуас-соновских случайных сумм. Построены асимптотические равномерные оценки в явном виде, эквивалентные верхней грани нижних оценок, а также абсолютные равномерные и неравномерные оценки. Впервые показано, что скорость сходимости сопровождающих безгранично делимых распределений выше, чем исходных.

4. Предложена детальная классификация асимптотически правильных констант в неравенства Берри-Эссеена. Введены понятия верхней, условной верхней и нижней асимптотически правильных констант. Найдены их точные значения и/или двусторонние оценки, получены соотношения между новыми и ранее введёнными константами.

5. Впервые найдены нижние асимптотические моментные оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме для распределений с тяжёлыми «хвостами».

Область применения. Полученные результаты могут быть использованы как при решении ряда задач асимптотической теории вероятностей и математической статистики (в оценках скорости сходимости нелинейных статистик, в оценках скорости сходимости случайных сумм к смесям нормальных законов, в методе урезаний, в частности, при построении оценок скорости сходимости в ЦПТ при ослабленных моментных условиях, в методах Монте-Карло, при построении доверительных интервалов), так и в различных практических задачах, связанных с использованием нормальной аппроксимации, например, в страховании, финансовой математике, теории управления запасами, при прогнозировании надёжностных характеристик сложных инфотелекоммуника-ционных систем и в других областях.

Перспективы дальнейших исследований. В рамках предложенного в диссертации направления перспективными задачами представляются следующие:

Оптимизация структуры моментных оценок скорости сходимости пуас-соновских случайных сумм, выписанных в терминах центральных моментов. В диссертации для пуассоновских случайных сумм исследована структура оценок в терминах нецентральных моментов и доказана оптимальность построенных оценок с одним слагаемым (нецентральной ляпуновской дробью) в «главной» части. Однако может оказаться, что для оценок в терминах центральных моментов наличие второго слагаемого (аналога функции дисперсий или первых абсолютных центральных моментов) в «главной» части окажет влияние на оптимальность первого и тем самым позволит провести оптимизацию структуры рассматриваемых оценок.

Оптимизация структуры моментных оценок скорости сходимости случайных сумм с различными безгранично делимыми асимптотически вырожденными индексами. Здесь за исключением пуассоновского индекса не известны даже значения асимптотически правильных констант в оценках с «простой» структурой.

Вычисление точных (неулучшаемых) значений констант в абсолютных равномерных оценках с уточнённой структурой (нахождение оптимальной структуры). В настоящее время неизвестно даже точное значение константы в оценках простой структуры (неравенстве Берри-Эссеена). Аналогичная задача для неравномерных оценок: асимптотических и абсолютных.

Построение абсолютных равномерных и неравномерных моментных оценок скорости сходимости сумм детерминированного числа независимых случайных величин, дополнительно учитывающих информацию о первых абсолютных моментах, и оптимизация их структуры.

Оптимизация структуры моментных оценок для других метрик, таких, например, как средние и различные дзета-метрики.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Шевцова, Ирина Геннадьевна, 2013 год

Литература

1. Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. Москва: Наука, 1979.

2. Артюхов С. В., Королев В. Ю. Оценки скорости сходимости распределений обобщённых дважды стохастических пуассоновских процессов с ненулевым средним к сдвиговым смесям нормальных законов // Обозрение прикл. и промышл. матем. 2008. Т. 15, № 6. С. 988-998.

3. Ахиезер Н. И. Классическая проблема моментов и некоторые вопросы анализа, связанные с нею. Москва: Физматлит, 1961.

4. Ахиезер Н. И., Крейн М. Г. О некоторых вопросах теории моментов. Харьков: Государственное научно-техническое издательство Украины, 1938.

5. Бенткус В., Кирша К. Оценки близости функции распределения к нормальному закону // Лит. матем. сб. 1989. Т. 29, № 4. С. 657-673.

6. Бикялис А. Оценки остаточного члена в центральной предельной теореме // Литое, матем. сб. 1966. Т. 6, № 3. С. 323-346.

7. Бикялис А. О точности аппроксимации распределений сумм независимых одинаково распределённых случайных величин нормальным распредеде-нием // Литое, матем. сб. 1971. Т. 11, № 2. С. 237-240.

8. Бхаттачария Р. Н., Ранга Pao Р. Аппроксимация нормальным распределением и асимптотические разложения. Москва: Наука, 1982.

9. Гавриленко С. В. Уточнение неравномерных оценок скорости сходимости распределений пуассоновских случайных сумм к нормальному закону // Информ. и её примен. 2011. Т. 5, № 1. С. 12-24.

10. Гавриленко С. ВКоролев В. Ю. Оценки скорости сходимости смешанных пуассоновских случайных сумм // Системы и средства информатики. Специальный выпуск. 2006. С. 248-257.

И. Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. Москва-Ленинград: ГИТТЛ, 1949.

12. Григорьева М. Е., Попов С. В. О верхней оценке абсолютной постоянной в неравномерном аналоге неравенства Берри-Эссеена для неодинаково распределённых слагаемых // ДАН. 2012. Т. 445, № 4. С. 380-382.

13. Григорьева М. Е., Попов С. В. О неравномерных оценках скорости сходимости в центральной предельной теореме // Системы и средства информатики. 2012. Т. 22, № 1. С. 180-204.

14. Золотарёв В. М. О близости распределений двух сумм независимых случайных величин // Теория вероятн. примен. 1965. Т. 10, № 3. С. 519-526.

15. Золотарёв В. М. Абсолютная оценка остаточного члена в центральной предельной теореме // Теория вероятн. примен. 1966. Т. 11, № 1. С. 108-119.

16. Золотарёв В. М. Некоторые неравенства теории вероятностей и их применение к уточнению теоремы А.М.Ляпунова // Докл. АН СССР. 1967. Т. 177, № 3. С. 501-504.

17. Золотарёв В. М. Современная теория суммирования независимых случайных величин. Москва: Наука, 1986.

18. Ибрагимов И. А. О точности аппроксимации функций распределения сумм независимых величин нормальным распределением // Теория вероятн. примен. 1966. Т. И, № 4. С. 632-655.

19. Ибрагимов И. А., Линник Ю. В. Независимые и стационарно связанные величины. Москва: Наука, 1965.

20. Карлин С., Стадден В. Чебышевские системы и их применение в анализе и статистике. Москва: Наука, 1976.

21. Колмогоров А. Н. Некоторые работы последних лет в области предельных теорем теории вероятностей // Вестник Моск. ун-та, сер. физ.-матем. и естеств. наук. 1953. Т. 10, № 7. С. 29-38.

22. Кондрик А. С., Михайлов К. В., Чеботарев В. И. О равномерной оценке разности функций распределения // Тез. докл. XXXI Дальневосточной школы-семинара им. акад. Е. В. Золотова. Владивосток: 2006. С. 16-17.

23. Королев В. Ю., Бенинг В. Е., Шоргин С. Я. Математические основы теории риска. 2 изд. Москва: Физматлит, 2011.

24. Королев В. Ю., Попов С. В. Уточнение оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме при отсутствии моментов порядков, больших второго // Теория вероятн. примен. 2011. Т. 56, № 4. С. 797-805.

25. Королев В. Ю., Попов С. В. Уточнение оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме при ослабленных моментных условиях // ДАН. 2012. Т. 445, № 3. С. 265-270.

26. Крамер Г. Случайные величины и распределения вероятностей. Москва: ИЛ, 1947.

27. Крейн М. Г. Идеи П.Л.Чебышева и А.А.Маркова в теории предельных величин интегралов и их дальнейшее развитие // Успехи матем. наук. 1951. Т. 6, № 4(44). С. 3-120.

28. Крейн М. Г., Нуделъман А. А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. Москва: Наука, 1973.

29. Круглое В. М., Королев В. Ю. Предельные теоремы для случайных сумм. Москва: МГУ, 1990.

30. Лукач Е. Характеристические функции. Москва: Наука, 1979.

31. Ляпунов А. М. Об одной теореме теории вероятностей // Известия Академии Наук, V серия. 1900. Т. 13, № 4. С. 359-386.

32. Ляпунов А. М. Новая форма теоремы о пределе вероятности // Записки Академии Наук по физико-математическому отделению, VIII серия. 1901. Т. 12, № 5. С. 1-24.

33. Мацкявичюс В. К. О нижней оценке скорости сходимости в центральной предельной теореме // Теория вероятн. примен. 1983. Т. 28, № 3. С. 565-569.

34. Мешалкин Л. Д., Рогозин Б. А. Оценка расстояния между функциями распределения по близости их характеристических функций и её применение к центральной предельной теореме // В сб. «Предельные теоремы

, теории вероятностей». Ташкент: Изд-во АН УзССР, 1963. С. 49-55.

35. Милъман Д. П. Граневая характеристика выпуклых множеств; экстремальные элементы // Труды Моск. матем. общества. 1970. Т. 22. С. 63-126.

36. Мирахмедов Ш. А. Об абсолютной постоянной в неравномерной оценке скорости сходимости в центральной предельной теореме // Изв. АН УзССР, сер. физ.-мат. наук. 1984. № 4. С. 26-30.

37. Нагаев С. В. Некоторые предельные теоремы для больших уклонений // Теория вероятн. примен. 1965. Т. 10, № 2. С. 231-254.

38. Нагаев С. В. Новое доказательство абсолютной сходимости ряда Спицера // Теория вероятн. примен. 2009. Т. 54, № 1. С. 149-152.

39. Нагаев С. В., Ротарь В. И. Об усилении оценок типа Ляпунова (случай близости распределений слагаемых к нормальному) // Теория вероятн. примен. 1973. Т. 18, № 1. С. 109-121.

^ 40. Нагаев С. В., Чеботарев В. И. Новый подход к оценке абсолютной кон-

станты в неравенстве Берри-Эссеена // Тез. докл. XXXI Дальневосточной школы-семинара им. акад. Е. В. Золотова. Владивосток: 2006. С. 19.

41. Нагаев С. В., Чеботарев В. И. Об оценке близости биномиального распределения к нормальному // ДЛЯ-2011. Т. 436, № 1. С. 26-28.

42. Нагаев С. В., Чеботарев В. И. Об оценке близости биномиального распределения к нормальному // Теория вероятн. примен. 2011. Т. 56, № 2. С. 248-278.

43. Нефедова Ю. С. Уточнение структуры моментных оценок скорости сходимости в предельных теоремах для сумм независимых случайных величин: Дисс. канд. физ.-мат. наук / МГУ имени М.В.Ломоносова. Москва, 2011.

44. Никулин В. Н. Неравномерные оценки остаточного члена в центральной предельной теореме // Теория вероятн. примен. 1991. Т. 36, № 4. С. 799-800.

45. Осипов Л. В. Уточнение теоремы Линдеберга // Теория вероятн. примен. 1965. Т. 11, № 2. С. 339-342.

46. Осипов Л. В. О точности приближения распределения суммы независимых случайных величин к нормальному распределению // Докл. АН СССР. 1968. Т. 178, № 5. С. 1013-1016.

47. Осипов Л. В., Петров В. В. Об оценке остаточного члена в центральной предельной теореме // Теория вероятн. примен. 1967. Т. 12, № 2. С. 322-329.

48. Падитц Л., Мирахмедов Ш. А. Письмо в редакцию (Замечание к оценке абсолютной постоянной в неравномерной оценке скорости сходимости в ц.п.т.) // Изв. АН УзССР, сер. физ.-мат. наук. 1986. № 3. С. 80.

49. Паулаускас В. И. Об одном усилении теоремы Ляпунова // Лит. матем. сб. 1969. Т. 9, № 4. С. 323-328.

50. Паулаускас В. И. О неравенстве сглаживания // Лит. матем. сб. 1971. Т. 11, № 4. С. 861-866.

51. Петров В. В. Одна оценка отклонения распределения суммы независимых случайных величин от нормального закона // Докл. АН СССР. 1965. Т. 160, № 5. С. 1013-1015.

52. Петров В. В. Суммы независимых случайных величин. Москва: Наука, 1972.

53. Петров В. В. Одна предельная теорема для сумм независимых неодинаково распределённых случайных величин // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1979. Т. 85. С. 188-192.

54. Петров В. В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. Москва: Наука, 1987.

55. Петров В. В. Об оценке остаточного члена в центральной предельной теореме // Зап. научн. сем. ПОМП. 2007. Т. 341. С. 142-146.

56. Попов С. В. Уточнение неравноменых оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме при существовании моментов не выше второго // Информ. и её примен. 2012. Т. 6, № 1. С. 7-11.

57. Прудников А. П., Врычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. Москва: Наука, 1981.

58. Рогозин Б. А. Одно замечание к работе Эссеена «Моментное неравенство с применением к центральной предельной теореме» // Теория вероятн. примен. 1960. Т. 5, № 1. С. 125-128.

59. Розовский Л. В. О точности оценки остаточного члена в центральной предельной теореме // Теория вероятн. примен. 1978. Т. 23, № 4. С. 744-761.

60. Розовский Л. В. Об оценке снизу остаточного члена в центральной предельной теореме // Матем. заметки. 1978. Т. 24, № 3. С. 403-410.

61. Розовский Л. В. О точности аппроксимации характеристической функции полиномами // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1985. Т. 142. С. 141—144.

62. Розовский Л. В. Об асимптотическом разложении преобразования Фу-рье-Стилтьеса конечной меры в некоторой окрестности нуля // Матем. заметки. 1988. Т. 43, № 4. С. 558-572.

63. Розовский Л. В. О неравенстве Дж. Дуба для характеристических функций // Теория вероятн. примен. 1999. Т. 44, № 3. С. 650-652.

64. Розовский Л. В. Одна неравномерная оценка остаточного члена в центральной предельной теореме // Зап. научн. сем. ПОМП. 2007. Т. 351. С. 238-241.

65. Ротаръ Г. В. Об одной задаче управления резервами // Эконом, матем. методы. 1976. Т. 12, № 4. С. 733-739.

66. Рыхлик 3. Неравномерные оценки в центральной предельной теореме и их приложения к изучению вероятностей уклонений // Теория вероятн. примен. 1983. Т. 28, № 4. С. 646-652.

67. Сенатов В. В. Центральная предельная теорема: точность аппроксимации и асимптотические разложения. Москва: УРСС, Книжный дом Либроком, 2009.

68. Сенатов В. В. О реальной точности аппроксимаций в центральной предельной теореме // Сиб. матем. журн. 2011. Т. 52, № 4. С. 913-935.

69. Сенатов В. В. Об одном асимптотическом разложении в центральной предельной теореме // Теория вероятн. примен. 2011. Т. 56, № 2. С. 384-391.

70. Сенатов В. В. О неулучшаемых оценках для асимптотических разложений в центральной предельной теореме // Теория вероятн. примен. 2012. Т. 57, № 4. С. 649-666.

71. Смелянский Р. Л. Об оценке частоты выполняемого кода последовательных программ // Программирование. 2011. № 4. С. 28-38.

72. Тюрин И. С. О точности гауссовской аппроксимации // ДАН. 2009. Т. 429, № 3. С. 312-316.

73. Тюрин И. С. О скорости сходимости в теореме Ляпунова // Теория вероятн. примен. 2010. Т. 55, № 2. С. 250-270.

74. Тюрин И. С. Уточнение верхних оценок констант в теореме Ляпунова // Успехи матем. наук. 2010. Т. 65, № 3. С. 201-202.

75. Тюрин И. С. Уточнение остаточного члена в теореме Ляпунова // Теория вероятн. примен. 2011. Т. 56, № 4. С. 808-811.

76. Ульянов В. В. К уточнению оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме // Теория вероятн. примен. 1978. Т. 23, № 3. С. 684-688.

77. Ушаков В. Г., Ушаков Н. Г. Нижние оценки для характеристических функций и их приложения // Вестник Московсковского университета. Серия 15: Вычислительная математика и кибернетика. 2007. Т. 31, № 1. С. 33-36.

78. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения. Москва: Мир, 1984.

79. Хипп К., Маттнер Л. On the normal approximation to symmetric binomial distributions // Теория вероятн. примен. 2007. Т. 52, № 3. С. 610-617.

80. Чистяков Г. П. Об одной задаче А. Н. Колмогорова // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1990. Т. 184. С. 289-319.

81. Чистяков Г. П. Асимптотически наилучшие постоянные в теореме Ляпунова // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1996. Т. 228. С. 349-355.

82. Чистяков Г. П. Новое асимптотическое разложение и асимптотически наилучшие постоянные в теореме Ляпунова. I. // Теория вероятн. примен. 2001. Т. 46, № 2. С. 326-344.

83. Чистяков Г. П. Новое асимптотическое разложение и асимптотически наилучшие постоянные в теореме Ляпунова. II. // Теория вероятн. примен. 2001. Т. 46, № 3. С. 573-579.

84. Чистяков Г. П. Новое асимптотическое разложение и асимптотически наилучшие постоянные в теореме Ляпунова. III. // Теория вероятн. примен. 2002. Т. 47, № 3. С. 475-497.

85. Шиганов И. С. Об уточнении верхней константы в остаточном члене центральной предельной теоремы // Проблемы устойчивости стохастических моделей. Труды ВНИИСИ 1982. С. 109-115.

86. Barbour A. D., Hall P. Stein's method and the Berry-Esseen theorem // Australian Journal of Statistics. 1984. Vol. 26. P. 8-15.

87. Bendlin R., Nielsen J. B., Nordholt P. S., Orlandi C. Lower and upper bounds for deniable public-key encryption // Lecture Notes in Computer Science. 2011. Vol. 7073. P. 125-142.

88. Bening V. E., Korolev V. Y. Generalized Poisson Models and their Applications in Insurance and Finance. Utrecht, The Netherlands: VSP, 2002.

89. Bening V. E., Korolev V. Y., Shorgin S. Y. On approximations to generalized Poisson distribution //J. Math. Sei. 1997. Vol. 83, no. 3. P. 360-373.

90. Bentkus V. On the asymptotical behaviour of the constant in the Berry-Esseen inequality: Preprint 91-078. Bielefeld: Universität Bielefeld, 1991.

91. Bentkus V. On the asymptotical behavior of the constant in the Berry-Esseen inequality //J. Theoret. Probab. 1994. Vol. 7, no. 2. P. 211-224.

92. Bentkus V.; Dzindzalieta D. A tight Gaussian bound for weighted sums of Rademacher random variables: Technical report: Vilnus University, 2012.

93. Bergström H. On the central limit theorem // Skand. Aktuarietidskr. 1944. Vol. 27. P. 139-153.

94. Bergström H. On the central limit theorem in the case of not equally distributed random variables // Skand. Aktuarietidskr. 1949. Vol. 32. P. 37-62.

95. Berry A. C. The accuracy of the Gaussian approximation to the sum of independent variates // Trans. Amer. Math. Soc. 1941. Vol. 49. P. 122-136.

96. Bertail P., Clemengon S. A renewal approach to Markovian [/-statistics // Mathematical Methods of Statistics. 2011. Vol. 20, no. 2. P. 79-105.

97. Bobkov S. G., Chistyakov G. P., Götze F. Bounds for characteristic functions in terms of quantiles and entropy // Electron. Commun. Probab. 2012. Vol. 17, no. 21. P. 1-9.

98. Brown B. M. Characteristic functions, moments, and the central limit theorem // Ann. Math. Statist. 1970. Vol. 41, no. 2. P. 658-664.

99. Chebotarev V. I., Kondrik A. S., Mikhailov K. V. On an extreme two-point distribution // arXiv:0710.3456. 2007.

100. Chen L. H. Y., Goldstein L., Shao Q.-M. Normal approximation by Stein's method. Berlin, Heidelberg: Springer, 2011.

101. Chen L. H. Y., Shao Q. M. A non-uniform Berry-Esseen bound via Stein's method // Probab. Theory Relat. Fields. 2001. Vol. 120. P. 236-254.

102. Choquet G. Existence des représentations intégrales au moyen de points extrémaux dans les cônes convexes // C. R. Acad. Sei. Paris. 1956. Vol. 243. P. 699-702.

103. Costa R. A. Network Coding for Delay Constrained Wireless Systems with Feedback: Ph. d. thesis / Universidade do Porto. Porto, Portugal, 2012.

104. Cramer H. Das Gesetz von Gauss und die Theorie des Risikos // Skand. Aktuarietidskr. 1923. Vol. 6. P. 209-237.

105. Cramér H. On the composition of elementary errors // Skand. Aktuarietidskr. 1928. Vol. 11. P. 141-180.

106. Cramér H. Sur un nouveau théorèm-limite de la théorie des probabilités // Actualités Sei. Indust. 1938. Vol. 736. P. 5-23.

107. de Haan L., Peng L. Slow convergence to normality: an Edgeworth expansion without third moment // Probab. Math. Statist. 1997. Vol. 17, no. 2. P. 395-406.

108. Dreier I. Inequalities between the second and fourth moments // Statistics.

1998. Vol. 32, no. 2. P. 189-198.

109. Dreier I. Ungleichungen für Reelle Charakteristische Funktionen und Zugehörige Momente: Ph.D. Thesis / Technische Universität Dresden. Dresden,

1999.

110. Dunnage J. E. A. Review of: Prawitz H. On the remainder in the central limit theorem // Mathematical Reviews on the Web, Amer. Math. Soc. 1977.

111. Englund G. Оценка остаточного члена в центральной предельной теореме для случайного числа слагаемых // Теория вероятн. примен. 1983. Т. 28, № 1. С. 143-149.

112. Esseen C.-G. On the Liapounoff limit of error in the theory of probability // Ark. Mat. Astron. Fys. 1942. Vol. A28, no. 9. P. 1-19.

113. Esseen C.-G. Determination of the maximum deviation from the Gaussian law // Ark. Mat. Astron. Fys. 1943. Vol. A29, no. 20. P. 1-10.

114. Esseen C.-G. Fourier analysis of distribution functions. A mathematical study of the Laplace-Gaussian law // Acta Math. 1945. Vol. 77, no. 1. P. 1-125.

115. Esseen C.-G. A moment inequality with an application to the central limit theorem // Skand. Aktuarietidskr. 1956. Vol. 39. P. 160-170.

116. Feller W. On the Berry-Esseen theorem // Z. Wahrsch. verw. Geb. 1968. Bd. 10. S. 261-268.

117. Gnedenko В. V., Korolev V. Y. Random Summation: Limit Theorems and Applications. Boca Raton: CRC Press, 1996.

118. Goldstein L. Ll bounds in normal approximation // Ann. Probab. 2007. Vol. 35, no. 5. P. 1888-1930.

119. Goldstein L. Bounds on the constant in the mean central limit theorem // Ann. Probab. 2010. Vol. 38, no. 4. P. 1672-1689. arXiv:0912.0726, 2009.

120. Goldstein L., Reinert G. Stein's method and the zero bias transformation with application to simple random sampling // Ann. Appl. Probab. 1997. Vol. 7, no. 4. P. 935-952.

121. Goldstein L., Reinert G. Distributional transformations, orthogonal polynomials, and Stein characterizations //J. Theor. Probab. 2005. Vol. 18, no. 1. P. 237-260.

122. Goldstein L., Rinott Y. On multivariate normal approximations by Stein's method and size bias couplings //J. Appl. Probab. 1996. Vol. 33. P. 1-17.

123. Goldstein L., Shao Q.-M. Berry-Esseen bounds for projections of coordinate symmetric random vectors // Elect. Comm. in Probab. 2009. Vol. 14. P. 474-485.

124. Gut A. Stopped Random Walks. New York: Springer, 1988.

125. Hall P. On the rate of convergence in the central limit theorem for distributions with regularly varying tails // Z. Wahrsch. verw. Geb. 1979. Vol. 49, no. 1. P. 1-11.

126. Hall P. Characterizing the rate of convergence in the central limit theorem // Ann. Probab. 1980. Vol. 8, no. 6. P. 1037-1048.

127. Hall P. Rates of Convergence in the Central Limit Theorem. Boston-London-Melbourne: Pitman, 1982. Vol. 62 of Res. Notes Math.

128. Hall P., Barbour A. D. Reversing the Berry-Esseen inequality // Proc. Amer. Math. Soc. 1984. Vol. 90, no. 1. P. 107-110.

129. Heyde C. C. On the influence of moments on the rate of convergence to the normal distribution // Z. Wahrsch. verw. Geb. 1967. Vol. 8, no. 1. P. 12-18.

130. Heyde C. C. A nonuniform bound on convergence to normality // Ann. Probab. 1975. Vol. 3, no. 5. P. 903-907.

131. Hoeffding W. The extrema of the expected value of a function of independent random variables // Ann. Math. Statist. 1955. Vol. 26, no. 2. P. 268-275.

132. Hoeffding W., Shrikhande S. S. Bounds for the distribution function of a sum of independent, identically distributed random variables // Ann. Math. Statist. 1955. Vol. 26, no. 3. P. 439-449.

133. Hoermann S., Swan Y. A note on the normal approximation error for randomly weighted self-normalized sums // arXiv: 1109.5812. 2011.

134. Hsu P. L. The approximate distributions of the mean and variance of a sample of independent variables // Ann. Math. Statist. 1945. Vol. 16, no. 1. P. 1-29.

135. Hu C. Y., Lin G. D. Some inequalities for characteristic functions // J. Math. Anal. Appl. 2005. Vol. 309, no. 1. P. 336-352.

136. Hu C. Y., Lin G. D. Some inequalities for characteristic functions. II // J. Math. Anal. Appl. 2007. Vol. 328, no. 1. P. 201-219.

137. Ikeda S. A note on the normal approximation to the sum of independent random variables // Ann. Inst. Stat. Math. 1959. Vol. 11. P. 121-130.

138. Kalashnikov V. V. Geometric Sums: Bounds for Rare Events with Applications. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1997.

139. Karlin S., Shapley L. S. Geometry of moment spaces // Memoirs Amer. Math. Soc. 1953. Vol. 12. P. 1-93.

140. Katz M. L. Note on the Berry-Esseen theorem // Ann. Math. Statist. 1963. Vol. 34. P. 1107-1108.

141. Kontoyiannis I., Verdu S. Lossless data compression at finite blocklengths // arXiv:1212.2668. 2012.

142. Korolev V. Y., Shorgin S. Y. On the absolute constant in the remainder term estimate in the central limit theorem for Poisson random sums // Probabilistic Methods in Discrete Mathematics, Proceedings of the Fourth International Petrozavodsk Conference. VSP, Utrecht, 1997. P. 305-308.

143. Krein M. G., Milman D. P. On extreme points of regular convex sets // Studia Math. 1940. Vol. 9, no. 1. P. 133-138.

144. Kumagai W., Hayashi M. Quantum hypothesis testing for quantum Gaussian states: quantum analogues of chi-square, t and F tests // arXiv:1110.6255. 2011.

145. Li K. Second order asymptotics for quantum hypothesis testing // arXiv:1208.1400. 2012.

146. Luo S., Wang Z., Q. Z. An inequality for characteristic functions and its applications to uncertainty relations and the quantum Zeno effect //J. Phys. A: Math. Gen. 2002. Vol. 35, no. 28. P. 5935-5941.

147. Maejima M. A note on the nonuniform rate of convergence to normality // Yokohama Math. J. 1980. Vol. 28, no. 1-2. P. 97-106.

148. Matysiak W., Szablowski P. J. Some inequalities for characteristic functions // J. Math. Sci. 2001. Vol. 105, no. 6. P. 2594-2598.

149. Michel R. On the accuracy of nonuniform Gaussian approximation to the distribution functions of sums of independent and identically distributed random variables // Z. Wahrsch. verw. Geb. 1976. Vol. 35, no. 4. P. 337-347.

150. Michel R. On the constant in the nonuniform version of the Berry-Esseen theorem HZ. Wahrsch. verw. Geb. 1981. Vol. 55, no. 1. P. 109-117.

151. Michel R. On Berry-Esseen results for the compound Poisson distribution // Insurance: Mathematics and Economics. 1993. Vol. 13, no. 1. P. 35-37.

152. Mulholland H. P., Rogers C. A. Representation theorems for distribution functions // Proc. London Math. Soc. 1958. Vol. 8, no. 2. P. 177-223.

153. Nagaev S., Chebotarev V., Mikhailov K. On the Gaussian asymptotics of the binomial distributions // XXX International Seminar on Stability Problems for Stochastic Stochastic Models. Abstracts of Communications. Svetlogorsk, Kaliningrad region of Russia: Publishing House of the Institue for Informatics Problems of the Russian Academy of Sciences, Moscow, 2012. —24-30 Sep. P. 54-55.

154. Neammanee K. On the constant in the nonuniform version of the Berry-Esseen theorem // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. 2005. Vol. 12. P. 1951—1967.

155. Neammanee K., Thongtha P. Improvement of the non-uniform version of Berry-Esseen inequality via Paditz-Siganov theorems // J. Inequal. Pure and Appl. Math. 2007. Vol. 8, no. 4.

156. Nikulin V. N. On finite deviations // In: 5th Vilnius Conference on Probability Theory and Mathematical Statistics. Abstracts of Communications. Vol. 4. Vilnius: 1989.-June 26 - July 1. P. 105-106.

157. Nikulin V. N. An algorithm to estimate a nonuniform convergence bound in the central limit theorem // arXiv:1004-0552. 2010.

158. Nikulin V. N.; Paditz L. A note on nonuniform CLT-bounds // 7th Vilnius Conference on Probability Theory and 22nd European Meeting of Statisticians. Abstracts. Vilnius: 1998. P. 358-359.

159. Paditz L. Abschätzungen der Konvergenzgeschwindigkeit im zentralen Grenzwertsatz // Wiss. Z. der TU Dresden. 1976. Vol. 25. P. 1169-1177.

160. Paditz L. Uber die Annäherung der Verteilungsfunktionen von Summen unabhängiger Zufallsgrößen gegen unbegrenzt teilbare Verteilungsfunktionen unter besonderer beachtung der Verteilungsfunktion der standardisierten Normalverteilung: Dissertation A / Technische Universität Dresden. Dresden, 1977.

161. Paditz L. Abschätzungen der Konvergenzgeschwindigkeit zur Normalverteilung unter Voraussetzung einseitiger Momente // Math. Nachr. 1978. Vol. 82. P. 131-156.

162. Paditz L. Uber eine Fehlerabschätzung im zentralen Grenzwertsatz // Wiss. Z. der TU Dresden. 1979. Vol. 28, no. 5. P. 1197-1200.

163. Paditz L. Bemerkungen zu einer Fehlerabschätzung im zentralen Grenzwertsatz // Wiss. Z. Hochschule für Verkehrswesen "Friedrich List". Dresden. 1980. Vol. 27, no. 4. P. 829-837.

164. Paditz L. On error-estimates in the central limit theorem for generalized linear discounting // Math. Operationsforsch, u. StatistSer. Statistics. 1984. Vol. 15, no. 4. P. 601-610.

165. Paditz L. Uber eine Fehlerabschätzung im zentralen Grenzwertsatz // Wiss. Z. Hochschule für Verkehrswesen "Friedrich List". Dresden. 1986. Vol. 33, no. 2. P. 399-404.

166. Paditz L. On the analytical structure of the constant in the nonuniform version of the Esseen inequality // Statistics (Berlin: Akademie-Verlag). 1989. Vol. 20, no. 3. P. 453-464.

167. Pekdz E., Rollin A., Ross N. Degree asymptotics with rates for preferential attachment random graphs // Ann. Appl. Probab. 2013. Vol. 23, no. 3. P. 1188-1218.

168. Pinelis I. An asymptotically Gaussian bound on the Rademacher tails // Electron. J. Probab. 2012. Vol. 17, no. 35. P. 1-22.

169. Pinelis I. On the Berry-Esseen bound for the Student statistic // arXiv:1101.3286. 2012.

170. Pinelis I. On the supremum of the tails of normalized sums of independent Rademacher random variables // arXiv:1204-1761. 2012.

171. Pinelis I. On the nonuniform Berry-Esseen bound // arXiv:1301.2828. 2013.

172. Pinelis I., Molzon R. Berry-Esseen bounds for general nonlinear statistics, with applications to Pearson's and non-central Student's and Hotelling's // arXiv:0906.0177. 2012.

173. Pitman E. J. G. On the derivatives of a characteristic function at the origin // Ann. Math. Statist. 1956. Vol. 27, no. 4. P. 1156-1160.

174. Pitman E. J. G. Some theorems on characteristic functions of probability distributions // Proc. Fourth Berkeley Symp. on Math. Statist, and Prob. Vol. 2. Berkeley, California: University of California Press, 1961. P. 393-402.

175. Prawitz H. Limits for a distribution, if the characteristic function is given in a finite domain // Skand. Aktuarietidskr. 1972. Vol. 55. P. 138-154.

176. Prawitz H. Remainder term estimation for convolution of identical components. Unpublished manuscript of the lecture given on 16 June, 1972, at the Summer School of the Swedish Statistical Society, Lottorp, Sweden.

177. Prawitz H. Ungleichungen fur den absoluten Betrag einer charackteristischen Funktion // Skand. Aktuarietidskr. 1973. no. 1. P. 11-16.

178. Prawitz H. On the remainder in the central limit theorem. I: One-dimensional independent variables with finite absolute moments of third order // Scand. Actuar. J. 1975. no. 3. P. 145-156.

179: Prawitz H. Weitere Ungleichungen für den absoluten Betrag einer charakteristischen Funktion // Scand. Actuar. J. 1975. P. 21-28.

180. Prawitz H. Noch einige Ungleichungen für charakteristische Funktionen // Scand. Actuar. J. 1991. no. 1. P. 49-73.

181. Roßberg H.-J. Positiv definite Verteilungsdichten. Appendix to: B.W. Gne-denko. Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie (1991). 9-th edition. Berlin: Akademie-Verlag, 1991.

182. Sakovic G. N. Pro sirinu spectra // Dopovidi AN URSR. 1965. no. 11. P. 1427-1430.

183. Senatov V. V. Normal Approximation: New Results, Methods and Problems. Utrecht, Netherlands: VSP, 1998.

184. Shiganov I. S. Refinement of the upper bound of the constant in the central limit theorem // J. Soviet Math. 1986. Vol. 35, no. 4. P. 2545-2550.

185. Shohat J. A., Tamarkin J. D. The Problem of Moments. New York: American Mathematical Society, 1943. Vol. 1 of Mathematical Surveys.

186. Stein C. Estimation of the mean of a multivariate normal distribution // Ann. Statist. 1981. Vol. 99, no. 6. P. 1135-1151.

187. Takano K. A. A remark on Berry's paper // Kakyuraku Inst. Statist. Math. (in Japanese). 1950. Vol. 6.

188. Takano K. A. Remark to a result of A. C. Berry // Res. Mem. Inst. Math. 1951. Vol. 9, no. 6. P. 4.08-4.15.

189. Thongtha P., Neammanee K. Refinement on the constants in the non-uniform version of the Berry-Esseen theorem // Thai Journal of Mathematics. 2007. Vol. 5. P. 1-13.

190. Tysiak W. Gleichmäßige und nicht-gleichmäßige Berry-Esseen Abschätzungen: Dissertation / Gesamthochschule Wuppertal. Wuppertal, 1983.

191. Tyurin I. New estimates of the convergence rate in the Lyapunov theorem // arXiv:0912.0726. 2009.

192. Tyurin I. S. Some optimal bounds in CLT using zero biasing // Stat. Prob. Letters. 2012. Vol. 82, no. 3. P. 514-518.

193. Ushakov N. G. Selected Topics in Characteristic Functions. Utrecht: VSP, 1999.

194. Vaaler J. D. Some extremal functions in Fourier analysis // Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). 1985. Vol. 12, no. 2. P. 183-216.

195. van Beek P. Fourier-analytische Methoden zur Verschärfung der Berry-Esseen Schranke: Doctoral dissertation / Friedrich Wilhelms Universität. Bonn, 1971.

196. van Beek P. An application of Fourier methods to the problem of sharpening the Berry-Esseen inequality // Z. Wahrsch. verw. Geb. 1972. Vol. 23. P. 187-196.

197. von Chossy R., Rappl G. Some approximation methods for the distribution of random sums // Insurance: Mathematics and Economics. 1983. Vol. 2, no. 4. P. 251-270.

198. von Mises R. An inequaltiy for the moments of a discontinuous distribution // Skand. Aktuarietidskr. 1939. Vol. 22, no. 1. P. 32-36.

199. Wallace D. L. Asymptotic approximations to distributions // Ann. Math. Statist. 1958. Vol. 29. P. 635-654.

200. Wallace D. L. A corrected computation of Berry's bound for the central limit theorem error: Tech. rep. Chicago: Statist. Res. Center, University of Chicago, 1959.

201. Wua Y., Noonana J. P., Agaian S. Shannon entropy based randomness measurement and test for image encryption // arXiv:1103.5520. 2011.

202. Yang E., Meng J. New non-asymptotic random channel coding theorems // arXiv:1303.0572. 2013.

203. Zahl S. Bounds for the Central Limit Theorem Error: Ph.D. Thesis / Harward University. Cambridge, MA, 1963.

204. Zahl S. Bounds for the central limit theorem error // SI AM J. Appl. Math. 1966. Vol. 14, no. 6. P. 1225-1245.

205. Zolotarev V. M. A sharpening of the inequality of Berry-Esseen // Z. Wahrsch. verw. Geb. 1967. Vol. 8. P. 332-342.

206. Zygmund A. A remark on characteristic functions // Ann. Math. Statist. 1947. Vol. 18, no. 2. P. 272-276.

Публикации автора по теме диссертации

207. Гапонова М. ОШевцова И. Г. Асимптотические оценки абсолютной постоянной в неравенстве Берри-Эссеена для распределений, не имеющих третьего момента // Информ. и её примен. 2009. Т. 3, № 4. С. 41-56.

208. Григорьева М. Е., Шевцова И. Г. Уточнение неравенства Каца-Берри-Эссеена // Информ. и её примен. 2010. Т. 4, № 2. С. 78-85.

209. Королев В. Ю., Шевцова И. Г. О точности нормальной аппроксимации. I. // Теория вероятн. примен. 2005. Т. 50, № 2. С. 353-366.

210. Королев В. Ю., Шевцова И. Г. О точности нормальной аппроксимации. II. // Теория вероятн. примен. 2005. Т. 50, № 3. С. 555-564.

211. Королев В. Ю., Шевцова И. Г. О верхней оценке абсолютной постоянной в неравенстве Берри-Эссеена // Теория вероятн. примен. 2009. Т. 54, № 4. С. 671-695.

212. Королев В. Ю., Шевцова И. Г. Новая моментная оценка скорости сходимости в теореме Ляпунова // Теория вероятн. примен. 2010. Т. 55, № 3. С. 577-582.

213. Королев В. Ю., Шевцова И. Г. Уточнение верхней оценки абсолютной постоянной в неравенстве Берри-Эссеена для смешанных пуассоновских случайных сумм // ДАН. 2010. Т. 431, № 1. С. 16-19.

214. Королев В. Ю., Шевцова И. Г. Уточнение неравенства Берри-Эссеена // ДАН. 2010. Т. 430, № 6. С. 738-742.

215. Королев В. Ю.; Шевцова И. Г. Уточнение неравенства Берри-Эссеена с приложениями к пуассоновским и-смешанным пуассоновским случайным суммам // Обозрение прикл. и промышл. матем. 2010. Т. 17, № 1. С. 25-56.

216. Нефедова Ю. С., Шевцова И. Г. О точности нормальной аппроксимации для распределений пуассоновских случайных сумм // Информ. и её примен. 2011. Т. 5, № 1. С. 39-45.

217. Нефедова Ю. С., Шевцова И. Г. Уточнение структуры неравномерных оценок скорости сходимости в центральной предельной теореме с приложением к пуассоновским случайным суммам // ДАН. 2011. Т. 440, № 5. С. 583-588.

218. Нефедова Ю. СШевцова И. Г. О неравномерных оценках скорости сходимости в центральной предельной теореме // Теория вероятн. примен. 2012. Т. 57, № 1. С. 62-97.

219. Шевцова И. Г. Уточнение верхней оценки абсолютной постоянной в неравенстве Берри-Эссеена // Теория вероятн. примен. 2006. Т. 51, № 3. С. 622-626.

220. Шевцова И. Г. О точности нормальной аппроксимации для распределений пуассоновских случайных сумм // Обозрение прикл. и промышл. матем. 2007. Т. 14, № 1. С. 3-28.

221. Шевцова И. Г. Об абсолютной постоянной в неравенстве Берри-Эссеена // Сборник статей молодых ученых факультета ВМиК МГУ. Москва: МАКС пресс, 2008. Т. 5. С. 101-110.

222. Шевцова И. Г. Некоторые оценки для характеристических функций с применением к уточнению неравенства Мизеса // Информ. и её примен. 2009. Т. 3, № 3. С. 69-78.

223. Шевцова И. Г. Нижняя асимптотически правильная постоянная в центральной предельной теореме // ДАН. 2010. Т. 430, № 4. С. 466-469.

224. Шевцова И. Г. О неравенстве сглаживания // ДАН. 2010. Т. 430, № 5. С. 600-602.

225. Шевцова И. Г. Об асимптотически правильных постоянных в неравенстве Берри-Эссеена // Теория вероятн. примен. 2010. Т. 55, № 3. С. 619-621.

226. Шевцова И. Г. Об асимптотически правильных постоянных в неравенстве Берри-Эссеена-Каца // Теория вероятн. примен. 2010. Т. 55, 2. С. 271-304.

227. Шевцова И. Г. Уточнение оценок скорости сходимости в теореме Ляпунова // ДАН. 2010. Т. 435, № 1. С. 26-28.

228. Шевцова И. Г. Моментные оценки точности нормальной аппроксимации с уточнённой структурой для сумм независимых симметричных случайных величин // Теория вероятн. примен. 2012. Т. 57, № 3. С. 499-532.

229. Шевцова И. Г. О точности нормальной аппроксимации для сумм независимых симметричных случайных величин // ДАН. 2012. Т. 443, № 6. С. 671-676.

230. Шевцова И. Г. О точности нормальной аппроксимации для сумм независимых случайных величин // ДАН. 2012. Т. 443, X® 5. С. 555-560.

231. Шевцова И. Г. О точности нормальной аппроксимации для обобщённых пуассоновских распределений // Теория вероятн. примен. 2013. Т. 58, № 1. С. 152-178.

232. Шевцова И. Г. Об абсолютных константах в неравенстве Берри-Эссеена и его структурных и неравномерных уточнениях // Информ. и её примен. 2013. Т. 7, № 1. С. 124-125.

233. Korolev V., Shevtsova I. An improvement of the Berry-Esseen inequality with applications to Poisson and mixed Poisson random sums // Scand. Actuar. J.

2012. Vol. 2012, no. 2. P. 81-105. Available online since 04 June 2010.

234. Nefedova Y., Shevtsova I. On the constants in the uniform and non-uniform versions of the Berry-Esseen inequality for Poisson random sums // Ultra Modern Telecommunications and Control Systems and Workshops (ICUMT), 2010 International Congress / IEEE. 2010. P. 1141-1144.

235. Shevtsova I. On the absolute constants in the Berry-Esseen type inequalities for identically distributed summands // arXiv:111 1.6554- 2011.

236. Shevtsova I. Moment-type estimates with asymptotically optimal structure for the accuracy of the normal approximation // Annales Mathematicae et Informaticae. 2012. Vol. 39. P. 241-307.

237. Shevtsova I. A square bias transformation: properties and applications // arXiv:1212.6775. 2013.

238. Shevtsova I. On the accuracy of the approximation of the complex exponent by the "first terms of its Taylor expansion with applications // arXiv:1301.2783.

2013.