Наилучшее приближение периодических функций двух переменных и значения квазипоперечников некоторых классов функций в L2 тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Акобиршоев, Мухиддин Отамшоевич

• Акобиршоев, Мухиддин Отамшоевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Акобиршоев, Мухиддин Отамшоевич

Введение.

Глава I. Наилучшее приближение дифференцируемых периодических функций двух переменных обобщенными полиномами в гильбертовом пространстве

Ь2(<2),д = {0

§1.1. Основные определения и вспомогательные факты.

1.1.1. Необходимые обозначения.

1.1.2. Приближение двумерных фуикций обобщенными полиномами

1.1.3. Смешанные модули непрерывности в пространстве 1/2((5)

1.1.4. Основная лемма.

§1.2. О приближении непрерывно-дифференцируемых периодических функций двух переменных обобщенными тригонометрическими полиномами в 5).

§1.3. О наилучшем приближении функций /(ж,у) € ^^{О) обобщенными полиномами, структурные свойства которых определяются усредненными значениями модулей непрерывности старшей частной производной.

§1.4. О наилучшем приближении дифференцируемых функций обобщенными полиномами, структурные характеристики которых задаются обобщенными модулями гладкости

Глава II. Квазипоперечники некоторых классов дифференцируемых периодических функций двух переменных

§2.1. Постановка задач и необходимые определения.

§2.2. Квазипоперечники некоторых классов функций, определяемые усредненными модулями непрерывности высших порядков

§2.3. Квазипоперечники классов функций, определяемые обобщенными модулями непрерывности в 1/2((5)

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Наилучшее приближение периодических функций двух переменных и значения квазипоперечников некоторых классов функций в L2»

Среди экстремальных задач теории приближения функций многих переменных наиболее трудными являются задачи нахождения точных оценок приближения на классах функций, связанные с отысканием значений поперечников и квазипоперечников в различных банаховых функциональных пространствах. В связи с этим исследования задач, связанных с приближением функций п (п > 2) переменных, продвинуто не так далеко, как в одномерном случае.

Определения понятий различных квазипоперечников компактов дало возможность перейти к изучению тех экстремальных задач теории приближений функций многих переменных, круг которых для обычных поперечников очертил А.Н.Колмогоров [35].

При решении экстремальных задач теории приближения функций многих переменных одной из важных является задача о приближении заданной функции Х2,. ■., хп) суперпозициями функции меньшего числа переменных, то есть требуется построить такой полином, в котором коэффициенты определяются по заданным п (п > 2) переменным каким-либо процессом приближения и являются функциями не более к (О < < к < п — 1) переменных. При этом указанный полином должен иметь лучшие аппроксимативные свойства по сравнению с любой другой линейной формой полиномов, содержащих функции не более к переменных. Такой постановке задачи приближения функций многих переменных отвечают обобщенные полиномы (так называемые квазиполиномы), порожденные тензорным произведением одномерных функций.

Вопросами приближения функций многих переменных суперпозициями функций меньшего числа неременных в разное время занимались Б.Б^апси [43], Н.П.Корнейчук [29], А.И.Вайндинер [14], М.К.Потапов [40], В.Ю.Брудный [11], В. Н. Те мл яков [49], М.-Б.А.Бабаев [7], А.Н.Литвин [37], В.В.Федько [52], С.В.Переверзев [39], С.Б.Вакарчук [16-18], С.Б.Вакарчук и М.Ш.Шабозов [19,20] и многие другие.

Дальнейшему развитию указанной тематики и посвящена данная работа, целью которой является решение следующих задач:

1. Получить неравенства типа Джексона-Стечкина для дифференцируемых периодических функций двух переменных, связывающие наилучшее приближение функций обобщенными полиномами с усредненными модулями непрерывности высших порядков частных производных функций в пространстве £2(<2), Я —{{я,у)'. 0 < х,у < 27г}.

2. Вычислить точные значения колмогоровских и линейных квазипоперечников классов дифференцируемых периодических функций, определяемых усредненными модулями непрерывности высших порядков частных производных в пространстве 1/2 ((5).

В работе широко использованы общие методы функционального анализа, методы решения экстремальных задач функции многих переменных, а также некоторые подходы к решению многомерных задач вариационного содержания. В диссертационной работе:

- найдены новые точные неравенства, связывающие наилучшие приближения обобщенными полиномами функций двух переменных с усредненными модулями непрерывности высших порядков частных производных функций В ¿2((5);

- вычислены точные значения колмогоровских и линейных квазипоперечников классов функций, определяемых усредненными модулями непрерывности высших порядков частных производных функций в 1/2(ф) с положительными весами.

Полученные в диссертации результаты носят в основном теоретический характер. Установленные в ней факты могут быть использованы при построении методов решения прикладных задач, связанных с интегральными уравнениями.

Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах по теории приближения функций в Хорогском госуниверситете (Хорог, 2002-2005 гг.), на международной конференции „Развитие горных регионов в XXI веке"(Хорог, Таджикистан 26-29 августа 2001 г.), на научно-теоретической конференции, посвященной 10-летию Хорогского госуниверситета (Хорог, , 26-28 октября 2002 г.), на республиканской научной конференции "Комплексный анализ и неклассические системы дифференциальных уравнений", посвященной 75-летию со дня рождения академика АН РТ А.Д.Джураева (Душанбе, 16-17 октября 2007 г.), па международной , конференции "Сингулярные дифференциальные уравнения и сингулярный анализ", посвященной 80-летию академика АН РТ Л.Г.Михайлова (Душанбе, 29-30 мая 2008 г.), на международной конференции „Современные проблемы математического анализа и их приложений", посвященной 60-летию академика АН РТ К.Х.Бойматова (Душанбе, 23-24 июня 2010 г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [3-5,54,56]. В работах [54,56], выполненных в соавторстве с М.Ш.Шабозовым, последнему принадлежат постановки задач и выбор объекта исследований.

Диссертация состоит из введения, двух глав, списка цитированной

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Акобиршоев, Мухиддин Отамшоевич, 2010 год

1. Авакян А.Н. О приближении функций двух переменных линейными методами //Укр. мат. журнал, 1983, т. 35, №4, с. 409 - 414.

2. Айнуллоев Н. О поперечниках дифференцируемых функций в Ь2 //ДАН Тадж. ССР, 1985, т.28, №6, с.309-313.

3. Акобиршоев М.О. Точные значения квазипоперечники некоторых классов функций в Z/2 //Вестник ХоГУ. Естест. науки, 2003, №6, с. 20-29.

4. Акобиршоев М.О. О наилучшем приближении периодических функций двух переменных обобщенными полиномами //Докл. АН Респ. Таджикистан, 2006, т. 49, №3, с. 210-214.

5. Арнольд В.И., Колмогоров А.Н. Представление функций многих переменных суперпозициями функций меньшего числа переменных //УМН, 1958, с.71-111.

6. Бабаев М.-Б.А. Приближение соболевских классов функций суммами произведений функций меньшего числа переменных //Труды МИАН СССР, т. 180. М.: Наука, 1987, с. 30 - 32.

7. Бабепко В.Ф., Лигун A.A. Об интерполяции многогранными функциями //Мат. заметки, 1975, т.18, №6, с. 803 814.

8. Бабенко В.Ф. Интерполяция непрерывных отображений кусочно-линейными //Мат. заметки, 1978, т.24, el, с. 43 51.

9. Бердышев В.И. О теореме Джексона в Lp //Тр. Матем. ин-та АН СССР, 1967, т.88, с. 3 16.

10. Брудный Ю.А. Приближение функций п-переменных квазимногочленами //Изв. АН СССР, сер. матем., 1970, т.34, №3, с. 564 584.

11. Вайндинер А.И. Об одной новой форме рядов Фурье и выбора наилучших полиномов Фурье //ЖВМ и МФ, 1967, т.7, №1, с. 177 185.

12. Вайндинер А.И. К оценке остатка обобщенного ряда Фурье дифференцируемых функций двух переменных //Докл. АН СССР, 1969, т. 184, №3, с. 511 513.

13. Вайндинер А.И. Приближение непрерывных и дифференцируемых функций многих переменных обобщенными полиномами (конечной линейной суперпозицией функций меньшего числа переменных) //ДАН СССР, 1970, т. 192, с. 483 486.

14. Вайндинер А.И. Некоторые вопросы приближения функций многих переменных и эффективные прямые методы решения задач теории упругости //Упругость и неупругость. Изд-во Московского ун-та, 1973, вып. 3, с. 16 46.

15. Вакарчук С.Б. О точных значениях квазипоперечников некоторых периодических функций двух переменных //Теория приближений и смежные вопросы анализа и топологии. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1987, с. 15 - 20.

16. Вакарчук C.B. О приближении дифференцируемых функций многих переменных //Мат. заметки, 1990, т. 48, №3, с. 37 44.

17. Вакарчук C.B. Квазипоперечники функциональных классов некоторых банаховых пространствах аналитических функций многих комплексных переменных //ДАН Украины, серия А, 1992, №3, с. 26 31.

18. Вакарчук C.B., Шабозов М.Ш. О точных значениях квазипоперечников некоторых функциональных классов //Укр. мат. журн., 1996, т.48, №3, с. 301 308.

19. Вакарчук C.B., Шабозов М.Ш. Квазипоперечники и оптимизация методов смешанной аппроксимации многомерных сингулярных интегралов с ядрами типа Гильберта //Укр. матем. жунал., 1996, т.48, №6, с.753-770.

20. Вакарчук С.Б. О наилучших полиномиальных приближениях в Ь2 некоторых классов 27г-периодических функций и точных значениях их п-поперечников //Мат. заметки, 2001, т.70, №3, с. 334-345.

21. Vakarchuk S.В. Exact constant in an inequality of Jackson type for L2 approximation on the line and exact values of mean widths of functional classes //East Journal on Approximation, 2004, т. 10, №1-2, p. 27-39.

22. Вакарчук С.Б. Точные константы в неравенствах типа Джексона и точные значения поперечников функциональных классов азЬ2 //Матем.заметки, 2005, т.78, №5, с. 792-796.

23. Вакарчук C.B. Неравенства типа Джексона и поперечники классов функций в Ь2 //Матем. заметки, 2006, т.25, №1. с.11-19.

24. Vakarchuk S.B. and Zabutna V.l. Widths of function classes fromZ/2 and exact constants in Jackson type inequalities //East Journal on approximations, 2008, T.14, №4, p. 411-421.

25. Гильберт Д. Математические проблемы. Из-во иностр. литературы. М., 1958.

26. Ефимов A.B. О приближении периодических функций суммами Валле-Пусена II //ИАН СССР, сер. матем., 1960, т.24, №3, с. 431 468.

27. Корнейчук Н.П. Наилучшие кубатурные формулы для некоторых классов функций многих переменных //Мат. заметки, 1968, т.З, №5,-с. 565 -576.

28. Корнейчук Н.П. Экстремальные задачи теории приближения. М.: Наука, 1976, 320 с.

29. Корнейчук Н.П., Переверзев C.B. К вопросу о приближении функций двух переменных операторами, построенными на базе одномерных операторов //Теория функций и топология. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1983, с. 43 - 49.

30. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения. М.:Наука, 1984,352с.

31. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. М.: Наука, 1987, 424 с.

32. Корнейчук Н.П., Бабенко В.Ф., Лигун A.A. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов. Киев: Наукова думка, 1992, 304 с.

33. Kolmogoroff A.N. Über die besste Annäherung von Funktionen einer gegebenen Funktionklassen //Arm. Math., 1936, Bd.37, s.107-110.

34. Левин M.И., Гиршович Ю.М. Экстремальные задачи для кубатурных формул //ДАН СССР, 1977, т.236, №6, с. 1315 1318.

35. Литвин А.Н. IntennÍHau,ifl функцш. Харюв: Основа. 1992, 234 с.

36. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977, 474 с.

37. Переверзев C.B. Точная оценка приближения эрмитовыми сплайнами на одном классе дифференцируемых функций двух переменных //Изв. вузов. Матем., 1981, №12, с.58 66.

38. Потапов М.К. Изучение некоторых классов функций при помощи приближения „углом"//Тр. МИАН СССР, Т.117. М.: Наука, 1972, с. 256 - 291.

39. Pinkus A. 77,-widths in Approximation Theory. Berlin: Springer Verlag. 1985, 490 p.

40. Сенета E. Правильно меняющиеся функции. M.: Наука, 1985, 142 с.

41. Stancu D.D. The remainder of certain linear approximation formulas in two variables //Jounr. Soc. Indust. Appl. Math. Ser. В. Numer. Anal., 1964, v.l, pp. 137-163.

42. Степанец А.И. Равномерные приближения тригонометрическими полиномами. Линейные методы. Киев: Наукова думка, 340 с.

43. Стечкин С.Б. Наилучшие приближение линейных операторов //Мат. заметки, 1976, т.1, №2, с. 137 148.

44. Стороженко Э.А., Кротов В.Г., Освальд П. Прямые и обратные теоремы типа Джексона в пространствах Ьр //Матем. сб., 1975, вып. 98(140), №3(11), с. 395-415.

45. Тайков JI.B. Неравенства, содержащие наилучшие приближения и модуль непрерывности функций из Ь2 //Мат. заметки, 1976, т. 20, №3, с. 433 438.

46. Темляков В.Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной //Труды МИАН СССР, 1986, т.178, с. 3-12.

47. Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физматгиз, 1960, 624 с.

48. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М.: МГУ, 1976, 325 с.

49. Федько В.В. О погрешности блендинговых приближения //УМЖ, 1979, №6, с. 590-601.

50. Hardy G.H., Littlewood I.E., Polya G. Inequality. Cambridge University Press. 2nd ed. 1952, 346 p.

51. Шабозов М.Ш., Акобиршоев M. Квазипоперечники некоторых классов дифференцируемых периодических функций двух переменных //ДАН России, 2005, т.404, №4, с.460-464.

52. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. О поперечниках классов периодических функций в пространстве Ь20, 27т. //ДАН Респ. Таджикистан, 2006, т.49,с.111-116.

53. Шабозов М.Ш., Акобиршоев М.О. Точные значения квазипоперечников некоторых классов дифференцируемых периодических функций двухпеременных //Analysis Mathematica, 2009, т.35, с. 61-72.