Мультиреджевские амплитуды в неабелевых калибровочных теориях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Козлов, Михаил Геннадьевич

• Козлов, Михаил Геннадьевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Козлов, Михаил Геннадьевич

Содержание

Введение

Глава 1. Определения и обозначения

1.1. Теории Янга—Миллса

1.2. Суперсимметричная теория Янга—Миллса

1.3. Формулировка гипотезы реджезации и кинематика

1.4. Реджевские вершины и траектория

1.4.1. Вершины в главном приближении

1.4.2. Вершины в следующем за главным приближении

1.4.3. Вершина Г£,5

1.4.4. Вершина Г^

1.4.5. Вершина

1.4.6. Вершины двухчастичного рождения

1.4.7. Рождение в центральной области быстрот

1.4.8. Область расщепления начальной частицы

1.4.9. Вершина рождения пары глюонов

1.4.10. Вершина рождения пары фермионов

1.4.11. Вершина рождения пары скаляров из глюона»

1.4.12. Вершина рождения пары фермион и глюон

1.4.13. Вершина рождения пары скаляр и глюон

1.4.14. Вершина рождения пары фермионов из скалярной частицы

1.4.15. Вершина рождения пары фермиона и скаляра

1.5. Методика доказательства гипотезы о мультиреджевской форме амплитуды

1.5.1. Соотношения бутстрапа

1.5.2. Операторный формализм

1.5.3. Вычисление скачков амплитуды и основные компоненты условий бутстрапа

1.5.4. Условия бутстрапа

Глава 2. Условия бутстрапа для КМРК

2.1. Условия бутстрапа для рождения в области расщепления начальной частицы

2.1.1. Условия бутстрапа в области фрагментации

2.2. Условия бутстрапа для рождения в центральной области быстрот

2.2.1. Условие для рождения пары фермионов в центральной области быстрот

2.2.2. Условие для рождения пары глюонов в центральной области быстрот

2.2.3. Условие для рождения пары скаляров в центральной области быстрот

Глава 3. Условия бутстрапа для МРК

3.1. Условия, которые необходимо проверить

3.2. Условия бутстрапа для рассеяния частиц. Юкавовский вклад

3.3. Упругое условие бутстрапа для рассеяния фермиона. Скалярный вклад

3.4. Условие бутстрапа для рассеяния глюона. Скалярный вклад

3.4.1. Цветовые структуры

3.4.2. Вычисление импакт-фактора

3.4.3. Правая часть условия

3.5. Условие бутстрапа для рассеяния скаляра

3.5.1. Импакт-фактор скаляра

3.5.2. Правая часть условия бутстрапа

3.6. Условие для рождения глюона в МРК

3.6.1. Цветовые структуры условия бутстрапа

3.6.2. Глюонная часть

3.6.3. Вычисление компонент условия бутстрапа

3.6.4. Вклад древесных цветовых структур

3.6.5. Вклад симметричной цветовой структуры

3.6.6. Проверка условия бутстрапа

3.6.7. Фермионная часть

3.6.8. Матричный элемент оператора рождения глюона

3.6.9. Импакт-фактор рождения глюона

3.6.10. Правая часть условия бутстрапа

3.6.11. Проверка условия бутстрапа

3.6.12. Скалярная часть

3.6.13. Оператор рождения глюона

3.6.14. Импакт-фактор рождения глюона

3.6.15. Правая часть условия

3.6.16. Проверка условия бутстрапа

Заключение

Приложение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Мультиреджевские амплитуды в неабелевых калибровочных теориях»

Введение

С увеличением входной энергии доля многочастичных конечных состояний в общем числе событий увеличивается. Для процессов с множественным рождением при высоких энергиях важную роль играет мультиреджевская кинематика (МРК), поскольку она дает основной вклад в сечения [1], Мультиреджевской называется такая кинематика процессов множественного рождения при столкновении частиц большой энергии, в которой перпендикулярные к оси столкновения импульсы конечных частиц ограничены (не растут с энергией), а по продольным импульсам частицы разбиваются на группы (струи) с импульсами одного порядка в каждой из них и сильным упорядочением между ними. Сильное упорядочение по продольным импульсам, или по быстротам, делает эту кинематику чрезвычайно важной, что было осознано еще до создания современной теории сильных взаимодействий — квантовой хромодинамики (КХД). При вычислении сечений в теории возмущений КХД интегрирование по каждому интервалу быстрот между струями приводит к появлению логарифма энергии (большого логарифма). Поэтому в главном логарифмическом приближении (ГЛП), когда каждая константа связи в радиационных поправках сопровождается большим логарифмом, струи содержат только по одной частице. В следующем за главным логарифмическим приближении (СГЛП), когда малость одной из ая не компенсируется большим логарифмом, одна из струй может содержать две частицы. Такая кинематика называется квазимультиреджевской (КМРК).

В теориях Янга—Миллса (неабелевых калибровочных теориях, к которым относится и КХД) амплитуды в МРК имеют мультиреджевскую форму благодаря замечательному свойству этих теорий — реджезации калибровочных векторных бозонов. Для краткости в дальнейшем они называются глюонами, как и в КХД. Выполнение необходимых условий для реджезации продемонстрировано еще в начале 70-х годов прошлого

века [2,3]. В высших порядках теории возмущений в рамках ГЛП реджезация глюона и мультиреджевская форма амплитуд с глюопными обменами исследовалась в работах [4-6] и была доказана в этом приближении в работе [7]. Мультиреджевская форма замечательна тем, что все амплитуды в ней имеют простой факторизованный вид и выражаются через реджевскую траекторию глюона и эффективные вершины взаимодействия реджеонов (реджезованных глюонов) и частиц.

Мультиреджевская форма амплитуд служит краеугольным камнем так называемого подхода Балицкого—Фадина—Кураева—Липатова (БФКЛ), являющегося основой теории полужестких процессов в КХД. В главном логарифмическом приближении этот подход сформулирован и развит в работах [5,6,8,9]. Уравнение БФКЛ было выведено в предположении (называемом гипотезой реджезации), что амплитуды рождения любого числа частиц в МРК во всех порядках теории возмущений имеют мультиреджевскую форму. Это одно из фундаментальных уравнений КХД, определяющее энергетическую зависимость сечений полужестких процессов. Оно является уравнением для связанного состояния двух реджезованных глюонов — померона в КХД. На гипотезе реджезации основано и уравнение Бартелса—Квичипского—Прашаловича (БКП) [10-13], обобщающее уравнение БФКЛ на связанные состояния трех и более реджезованных глюонов. С-иечетное трехглюонное состояние в КХД играет роль оддерона, ответственного за разность сечений рассеяния частиц и античастиц при большой энергии.

В главном логарифмическом приближении была полученная сначала асимптотика решений уравнения БФКЛ [6] и асимптотика сечений о ос в"", где Шр = 4Дгс^1п2 называют интерсептом померона. Уравнение БФКЛ в главном логарифмическом приближении решено с помощью собственных функций ядра БФКЛ, полученных благодаря его конформной инвариантности [14]. В следующем за главным логарифмическом приближении было написано уравнение БФКЛ, получено ядро в следующем приближении, но пока уравнение не решено. В главном приближении ядро БФКЛ конформно-инвариантно, это значит, что за собственные функции ядра можно взять собственные функции операторов Казимира конформной группы. В следующем за главным логарифмическим приближением синглетное ядро БФКЛ в квантовой хромодинамике не является конформно-инвариантным, даже после некоторых преобразований неконформность остается благодаря зависимости /3-функции от масштаба перенормировки [15-20].

В суперсимметричпой теории Янга—Миллса (СЯМ) Л/" = 4 синглетнос ядро БФКЛ в следующем за главным логарифмическим приближении можно сделать конформно-инвариантным благодаря отсутствию бега константы связи. Это означает, что в СЯМ N = 4 уравнение БФКЛ решается значительно проще случая КХД [21-23].

Подход БФКЛ естественно распространяется на суперсимметричные теории Янга— Миллса, в частности на СЯМ Л/* = 4, вызывающую в последнее время огромный интерес в связи гипотезой о соответствии этой теории теории струн [24] и надеждами на ее полную интегрируемость. Его мощь продемонстрирована в работах [25-31], где во всех порядках теории возмущении вычислена в ГЛП остаточная функция к амплитуде Берна-Диксона—Смирнова (БДС) [32] для процессов с максимальным нарушением спиральности в СЯМ N — 4 в пределе большого числа цветов. Предположение Бёрна— Диксона—Смирнова [32] состоит в том, что амплитуда с максимальным нарушением спиральности в N — 4 СЯМ и планарном пределе ЛГС —> оо имеет вид во всех порядках теории возмущений, зависящий от однопетлевой амплитуды [32] и коэффициентов, посчитанных во всех порядках теории возмущений. С помощью амплитуды в реджевском пределе в СЯМ для главного логарифмического приближения показано, что гипотеза Бёрна—Диксона—Смирнова нарушается для амплитуды 2 —> 4 с максимальным нарушением спиральности в мультиреджевской кинематике и найдена остаточная функция [26], на которую гипотеза БДС отличается от предсказания амплитуды в мультиреджевской кинематике в главном логарифмическом приближении.

В настоящее время подход Балицкого—Фадина—Кураева—Липатова интенсивно развивается в СГЛП. Ядро уравнения БФКЛ получено и в КХД, и в СЯМ в следующем за главным порядке как для рассеяния вперед [33-35], т. е. при передаче импульса £ = 0 и бесцветного состояния в ¿-канале, так и для любых передач импульса и всех возможных ¿-канальных цветовых состояний [36-41]. В СЯМ N = 4 это ядро уже использовалось для вычисления остаточной функции к амплитуде БДС [21]. Вывод уравнения также основан на гипотезе о мультиреджевской форме амплитуд (точнее, их реальных частей), теперь уже в СГЛП. Очевидно, что эта гипотеза нуждалась в доказательстве. До последнего времени такое доказательство отсутствовало. Широта применения мультиреджевской формы амплитуд делало задачу проведения доказательства чрезвычайно актуальной. К настоящему моменту эта задача решена как в квантовой хромодинамике, так и в

суперсимметричных теориях Янга—Миллса.

Доказательство гипотезы реджезации в главном логарифмическом приближении и СГЛП основано на проверке совместимости реджевской формы амплитуды и условия 5-канальной унитарности [36,42-47]. Эта совместимость записывается в виде "соотношений бутстрапа" на комбинацию б'-канальных скачков амплитуды и самой амплитуды. Соотношений бутстрапа бесконечно много, поскольку для одной амплитуды 2 —> 2 + п соотношений бутстрапа несколько, а амплитуд бесконечно много. Скачки амплитуды вычисляются с учетом реджевской формы. Таким образом, соотношения бутст рапа — это соотношения на эффективные вершины и траекторию. Бесконечное число соотношений трудно проверить, но их можно свести к конечному числу условий, при которых все соотношения будут выполнены. Эти условия называются "условиями бутстрапа". Проверка гипотезы реджезации сводится к проверке конечного числа условий бутстрапа на эффективные вершины и траекторию.

На защиту выносятся следующие положения:

Вычисление эффективных вершин и поправок к эффективным вершинам для теорий Янга—Миллса общего вида.

Проверка условий бутстрапа в квазимультиреджевской кинематике для теорий Янга—Миллса общего вида и произвольного цветового представления в ¿-канале.

Вычисление скалярных поправок к импакт-факторам глюона и фермиона. Вычисление импакт-фактора скаляра в следующем за главным приближении. Проверка условий бутстрапа в мультиреджевской кинематике в следующем за главным приближении для теорий Янга—Миллса общего вида и произвольного цветового представления в ¿-канале.

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [47-51] и в материалах конференций [52].

Глава 1. Определения и обозначения

1.1. Теории Янга—Миллса

В этой работе будут рассмотрены теории Янга—Миллса, такие как квантовая хро-модинамика и суперсимметричная теория Янга—Миллса с числом суперзарядов Л/* = 1, 2, 4. Наиболее общее рассмотрение таких теорий удобно делать на примере теории Янга—Миллса с различными представлениями калибровочной группы Зи(А^) для фер-мионов, скаляров и глюонов. Везде будем подразумевать произвольное число ароматов скаляров и фермионов. Также в теорию Янга—Миллса добавим взаимодействие типа Юкавы между скалярами и фермионами. Лагранжиан такой теории будет иметь вид

С = + +

+ Кжыи- Фг + [9^ КЖЫ)гФ* Фг] '+

+ С'дЬ.озг + >

= д,Л1 - д„А° - дГ"сЛ1Л1, -г/аЬс = Т£,

ЗД- = + гдА>;^'%а,1Р? , В^ = д,фаг + гдЛьХ,'Фг ■

Здесь Ф? — поля фермионов аромата г и цвета а; ф" — скалярные поля аромата г и цвета а; генераторы калибровочной группы в фермионном представлении обозначаются через Г, ав скалярном представлении — Та; СдИозг — часть лагранжиана, содержащая духи и члены, фиксирующие калибровку; С,ф\ — часть лагранжиана, содержащая член самодействия скалярного поля, входящего в четвертой степени (такой член не влияет на гипотезу реджезации, поэтому он не интересен); [75]г = 1, если г — аромат скаляра и [75]г = г'75 = —7°717273, если г — аромат псевдоскаляра.; — матрица констант взаимодействия разных ароматов фермионов и скаляров; ЯсаЬ — проектор прямого произведения фермионного представления и сопряженного ему на сопряженное представление скаляров; п/ — число ароматов фермнонов. п5 — число ароматов скаляров.

Для общпостн рассмотрения введем обозначения: к/. к.3 — снмметрппные факторы для фермионов п скаляров, к/ = | для майорановскпх фермнонов (к5 = | для

действительного скалярного поля) и к/ = 1 для дираковских фермнонов (ks = 1 для комплексного скалярного поля). Генераторы в разных представлениях имеют следующую нормировку:

KfTr[tatb] = Tföab, к3Тт[%%?} = Ts5ab,

где Tj/kj — | для фундаментального представления, Ts/ks = Nc для присоединенного представления. В общем случае подразумеваем разные цветовые представления для скаляров и фермионов. Проекторы Rs (Rs — для сопряженного члена в лагранжиане) удовлетворяют следующему коммутационному соотношению:

г, Rs} = Rs'Tsa,s , [ta,Rs] = -RS'Tsas,, KfTr[RsR5'} = TY5SS,. (2)

Для дальнейшего удобства введем следующие обозначения:

t4a = CF, ТаТа — Cs, ТаТа = Сд = Nc, = ^ = = (3)

Надо заметить, что цветовые представления скаляров и фермионов не могут быть совсем произвольными — их комбинации фиксирует юкавовский член в лагранжиане. Так как юкавовский член является инвариантом относительно калибровочной группы, прямое произведение фермионного представления и сопряженного ему в разложении на неприводимые представления должно содержать сопряженное скалярному представлению. Например, если фермионы преобразуются по фундаментальному представлению калибровочной группы, то прямое произведение фермионного и сопряженному ему имеет вид (для простоты возьмем Nc = 3): 3 ® 3 = 1 © 8, следовательно, скаляры могут быть только действительными и иметь либо единичное представление, либо присоединенное. В чуть более сложном случае, если фермионы майорановские и преобразуются по присоединенному представлению, то вариантов у скалярных представлений значительно больше: 8<g>8 = l©8®8el0®TÖ©27.

1.2. Суперсимметричная теория Янга—Миллса

В этой работе рассматривается суперсимметрпчная теория Янга—Миллса с числом суперзарядов N = 4 для эффективных реджевскнх вершин. Этот частный случай теории примечателен тем. что в нем отсутствует бег константы связи с энергией. СЯМ N = 4 в

пространстве с размерностью Б = 4 получается из СЯМ Л/" = 1 при размерности О = 10 с помощью размерностной редукции [53]. Лагранжиан СЯМ N = 4 имеет следующий вид:

С = -tC^G»"" + +

2 (4)

+ |/аЬсд^. А»ЫЛс # - g-lrbcГйЧЬгФсЛФ\ ■

Здесь А" — майорановские спиноры; ф^. — скаляры (псевдоскаляры); а, Ь, с, d, в = 1,..., Nc — цветовые индексы; г, j = 1,..., П/, (п/ = 4) — ароматы кварков; г, t = 1,... , ns, (ns = 6) — ароматы скаляров; fabc — структурные константы калибровочной группы SU(iVc);

[7б]г=1,2,з = 1, Ыг=4,5,б = г'75 = -7°717273;

га2 О

Д<=| 0 ,д._ 0 1 Г04 0

0 ) °/ \ 0 гсг2

Тг[Дг] = О, Ъ{АГА*} = пг6ги (Дг)2 = -1; С1„ = д»А1-диА1-дГЪсА1А1-, о^К = 9,К - дГЬсА№, = - •

Все квантовые поля в СЯМ Л/" = 4 преобразуются по присоединенному представлению калибровочной группы Зи(]Ус). В теории имеются векторное калибровочное поле А*, 4 типа (аромата) майорановских фермионых поля, 3 скалярных и 3 псевдоскалярных поля.

Все рассуждения ниже будут верны и для СЯМ N = 1, 2, поскольку в случае Л/* = 1 скаляров просто нет и можно положить п3 = 0 и исключить скалярные вершины. В случае N = 2 все вычисления будут аналогичны, с одним отличием, что матрицы

1.3. Формулировка гипотезы реджезации и

кинематика

Введем два светоконусных вектора щ, Пг, таких что

п\ = 0, п\ — 0, (пг, п2) — 1

Тогда две сталкивающиеся частицы А и В с импульсами рд и рв можно разложить по векторам П1, п-2'-

Здесь символ _1_ означает поперечные плоскости щ, п2 компоненты импульсов. Будем рассматривать реджевскую кинематику, когда инвариантная масса сталкивающихся частиц й = (Ра+Рв)2 Поперечные компоненты импульсов предполагаем нерастущими с увеличением инвариантной массы я —> оо. Будем использовать светоконусные обозначения

В работе рассматривается процесс многочастичного рождения А + В —> А' + «Д + ■' • + ¿п + В' в мультиреджевской кинематике. Обозначим импульсы конечных частиц Зг через к%\

1 к

тогда МРК означает строгое упорядочение конечных частиц по быстроте уг = ^ 1п ~:

рА =р\п1+ рАП2 + Ра± , Рв = Рвп 1 +Рвп2 + Рвх ■

р - р+пх +р п2+р±, 2р+р = р2 - р2± = р2 + р2 .

К = Кп1 + Кп2 + кг± , Ы'гК = кг - кг± = кг + Н

.2

'гЬ 1

Уо > У\ > • • • » Уп > Уп+1

где уо и уп+1 определяются как

, =РА- Рл> , <2п+1 = Рв> - Рв ,

квадрат инвариантных масс

= (*,_! + А;г)2 « 2кГ_,к; = к2 + к2,)

велик по сравнению с квадратом поперечного импульса'

з, » к2г1 ~ 1^1 = |гд2|. я2 ~ (12г1_ = -ц2г1. кг = с1г+1 - дг.

Гипотеза реджезации состоит в том, что реальная часть амплитуды А + В —>

А! + Л-----V 1п + В' в МРК в следующем за главным логарифмическом приближении

имеет следующий вид [54]:

_ pci •/Н-2->п+2— 1 А'А

Д l£c,+1 (Яг, Qi+l) -„,)

ru{qr, + l){yn-Vn + l)-Tcn + l /г\

2 е l в'в >

У(п+1)Л

где u(q) — так называемая траектория глюона (хотя обычно траекторией называют j(t) = l+a/(i)); Тд,А, Гд,^1 — вершины частица—струя—реджеон (эффективные вершины перехода А —> А', В —> В' через взаимодействие с реджезованным глюоном), С\, сп+1 — цветовые индексы этих реджеонов; 7^'Ci+1 (<&, 9i+i) ~ вершины реджеон—реджеон—струя (эффективные вершины рождения струй Jj с импульсами hi = q{ — qi+i при взаимодействии двух реджеонов с импульсами qi, —ql+1 и цветовыми индексами с,, ci+1).

1.4. Реджевские вершины и траектория

Траектория глюона представляется в виде разложения по петлям:

Траектория глюона в однопетлевом приближении:

т. ч Г дР~2г 2^сГ(1-е)Г2(е). 2,е 0 2[1 2л

-<■>(«) = = ^^^^АУ « -зд»[-+ь(-й)], (6)

где используем следующее краткое обозначение:

2 _ з2лдг(1 - £)

(47Г) 2

Известно двухпетлевое выражение для траектории глюона в произвольной размерности Б в виде интеграла по поперечным импульсам [55]. Выражение в разложении по б найдено в [56]. В работах [55, 57-59] в квантовой хромодинамнке получено выражение для кваркового вклада в траекторию в форме интеграла по поперечным импульсам, в котором подынтегральная функция выражается через кварковый поляризационный оператор. Вклад скаляров в траекторию [41] получается заменой кваркового поляризационного оператора на поляризационный оператор скалярных частиц, отличающийся от

кваркового только численным множителем. Поправка и^2'1 за счет скаляров в суперснм-

метричной теории Янга—Мпллса имеет вид

п3 Г2 (2 + б) 1 2 Г(4 + 2б)е(1 + б)

2Г2(е) 4Г(1 -2б)Г(е)Г(2е) . Г(2б) ~ Г2(1-е) Г(Зе)

(8)

1.4.1. Вершины в главном приближении

В суперсимметричной теории Янга—Миллса есть всего четыре вершины в главном приближении: вершина рождения глюона и вершины рассеяния глюона, кварка и скаляра на реджеоие.

Эффективная вершина рождения глюона с импульсом к = дх — <72 и цветовым индексом а при взаимодействии двух реджеонов [4] имеет вид

= -29я!±Т»дЛ(1(к) - |) • (9)

Здесь используется светоконусная калибровка (е(&)п2) = 0.

Вершина перехода глюона (? в глюон С при рассеянии на реджеоне Я с цветовым индексом Л в светоконусной калибровке

= (ю)

Эффективная вершина для перехода кварка (2 в кварк (2' с ароматами /, /' при рассеянии на реджеоне

г$$ = ■ (11)

Для антикварка вершина будет иметь вид соответственно

^о^-зЫрГ^МР1)^'. (12)

Реджевская вершина перехода скаляра .5' в скаляр 5" с ароматами г, г' при рассеянии на реджеоне [40] дается выражением

^ = дТу35тт' • (13)

1.4.2. Вершины в следующем за главным приближении

В этом подразделе приведены поправки к вершинам в главном приближении. Поскольку гипотезу реджезацип мы проверяем в СГЛП. следовательно, нам нужны вершины рождения одной частицы в следующем за главным приближении (СГП) и вершины

рождения пар частиц с близкими быстротами в главном приближении. Вершина рождения глюона в центральной области в СГП имеет вид

2грС

1Л

1

1,92) + ^/^(9ъ92) + ОТ(9ъ92)

(14)

^(91,92), 1//(9ь 9г)) К,'х(г/!, (/2) — глюонные, кварковые и скалярные радиационные поправки соответственно; здесь мы провели модификацию кваркового вклада для общего случая заменой -с нашей точностью

УЛдьЫ = {к1 - (НЯ^Ьфьф _ 1 1П2 ^Л _ ,,2 Г

1 7Г

2-,

2 ]

+

+

+

к\

3 (9?х-92\)'

9Гх + 92Л

29?±922л , <£±

2 2^2

V 3 9гл *?2Л

(15)

2 , 2 _ ^Л^Л , '

?12Л - 9г± ?22Л

£

<7?л ^лЛ912л-922л ^л (91±- 922л):

92л+ 922л"

Ч^ ^ , кЧ[ 2д1± ь д?± , к2

.2 111 „2

9Гл ~ 92± 92л-] к1{2к1-д\х-д1±)

ЧМ^-ч2^)2

+

л

к1 - 92± Ч±

(16)

9Г± - 92± 9гл ■

Вычисление кварковых и глюонных поправок к этой вершине в следующем приближении для произвольной размерности И = 4+2е очень сложное [60], и ответ поэтому приводится здесь в разложении по б. Вершина для КХД вычислена в работах [54,56,60-62].

Скалярные поправки пропорциональны Они вычислены в работе [40], 92) —

функция вершинных поправок, которая имеет вид

^(91,92) =

2Г2(1 + б) Г(4 + 2б)

1 ( $1(91,92)

л „2 9{91,"2)

е \92Х — Ч\х

+ -

2(9Ь91-92)Л /(91,92) 7 ^ (92\-^л);

^ (922Х"91\)2

для удобства мы используем обозначения из статьи [40]:

Фгг(9ь92) = (-9^)П+£-(-92лГ+£; /(9Ь92) - +922Л)Ф1(9Ь92) - 2(1 + б)912±922лфо(91,92),

9{д 1, 9г) = (91, 9г) + ^р92лФо(?1, 92) •

(91 +92)1+

\ я

«ягетг

У

I I I I

' 1 1 1

* * . ! *

| !«) I I (г) 1

У .5' У У

I 1 I I

А А А I '• '<'

гтаг ■

ЗТПЛГ § ктппяпг ВШЛ^ ^ 4 {5)

/

А Ж I

* (/; (5) , \'< >

^оаоо1у'

I 1

Рис. 1. Схематическое представление различных вкладов в (18): поляризации вакуума скалярами (а), фермионами (Ь), глюонами (с) и духами (с!) для вершинных поправок (е), (£), (g) для 8д и двух-глюонных (Ь) для ёд.

1.4.3. Вершина

В пространстве ароматов вершина перехода скаляра 5 в 5" при рассеянии на ре-джеоне Л пропорциональна единичной матрице, и в дальнейшем индексы ароматов опущены. Вершина записывается в виде

= + (17)

6$ - поправка, которую будем искать, используя схему вычисления реджеонных вершин, развитую в [63]. В этой схеме

<5 з = 6с3 + 6¥- + Г3 + 6$, (18)

где первое слагаемое является универсальным, т.е. не зависящим от от типа рассеиваемой частицы [63]:

и/^х)

6% = 5 2

1п[/52] + - - г/-(1) + ^(1 - е) - 2^(1 + с) + 2Ф(1 + 2с)

1

(19)

е

Здесь /30 ~ промежуточный параметр, | £ 1/й /Зо <С 1, сокращающийся в сумме (18).

Трём другим слагаемым в (18) сопоставляются диаграммы, изображенные на рис. 1. Слагаемое учитывает поляризацию вакуума (рис. 1(а)-(с1));

rs е

°s

LO

(1)Ы

19 + 126

■tr,

2

(1 + 6)

+

1

8(1+ 2е)(3 + 2е) 8(1 + 2е)(3 + 2е) 1

6

(20)

(1 + 2е)(3 + 2б) 2(1 + 2б)(3 + 2е)

Здесь первые три члена получаются из КХД (формула (55) в [63]) заменой п//]Ус а последний (вклад скаляров) получается из предыдущего заменой —> (2(1 + с:)) [64].

Слагаемое 6$ определяется вкладом вершинных поправок: рис. 1(е)-^):

¿5 =

V 4б 2(1 + 2е)/е \ Nc J\e 1 + 2eJ

+

(21)

2(1 + 2б)/е' V Мс 1 + 2е//' 1 + 2е

Четвертое слагаемое из (18) определяется формулой (18) из [63], в которой в качестве к;р3г, к — д) необходимо подставить амплитуду, отвечающую сумме двух

диаграмм рис. 1(11). В результате приходим к выражению для 5$, которое получается из формулы (50) в [63] для поправки к вершине рассеяния кварка на реджеоне заменой под интегралом 1 + /3 на (1 + |)

2.

8$ = g2qi

dD-2kx fd(sa)

2ттг

x

x

1

(22)

[saß + k\+io}\saß + (q - k)\ + q\/3+io][sa(l + ß) + k\+io]' Контурное интегрирование rio sa (ненулевой вклад возникает, когда ß меняется в пределах от —1 до —ßo), а также дальнейшее интегрирование по поперечным импульсам и, наконец, по ß дает

В итоге

Лл -°s —

РЯ _ rR(B) 1 s's ~ 1 s's

- In[ßl\ + 2ф{1) - 2ф{1 + 2e) +

i-S4-AYV4l + i)il

4е(1 + 2е) J

(23)

еТ(1 + 2е){-е+М1-£)+Н1)-2гЬ{1 + е) +

1 + б

_+ (?£i

2(3 + 2е)(1 + 2е) V Nc

1 + 2б

1 + 6

(1 + 2е)(3 + 2е)

6

1 -

2(1 + 2е) (3 + 2б)

+ 6"

1 + 2б

1.4.4. Вершина Гд,д

Так же как и для рассеяния скаляров, вершина перехода фермиона С} в фермпон ¿5' при рассеянии на реджеоне Я представляется единичной матрицей пространстве ароматов, и в дальнейшем индексы ароматов не указываются. Вершина представляется в виде [54,57,61,65]

Г§'С = Г?§(1 + <и (25)

где Г*(®> - борновское значение, а поправка записывается в форме, аналогичной 18):

¿о+*$е-+¿а(26)

Первые два слагаемых здесь. и совпадают с 6$ (19) и (20) соответственно. Поправка 5д разбивается на два вклада, первый получается из КХД, второй вклад зависит только от юкавовского взаимодействия и нам явно не нужен для доказательства гипотезы реджезации. Поправка вычислены в разделе 3.1 работы [63]. Используя эти результаты, получаем

1 Я'Я ~1 Я'Я

1 - 92(~&¥л(1 + 2е) (7 + Ф{1 Ф{1) " Щ1 + б)+ , 2 + е , (Ж? ЛП 3~2М . ! + ^ Г97ч

2(1 + 2е)(3 + 2е) \ А^ Де 2(1 + 2е)) (1 + 2е)(3 + 2е) { }

-е 1

2(1 + 2е)(3 + 2е)

Здесь — вклады в эффективную вершину за счет вершинных поправок от юкавов-

ского взаимодеиствия.

ГЯ(У) _ ГЩВ) МУ) <2'<2 — (3'<2 Я

Заметим, что в СЯМ имеет место сокращение вкладов скаляров и псевдоскаляров в вершинной поправке: вклад последних содержит две матрицы 75. разделенные нечетным числом гамма-матриц, что приводит к различным знакам вкладов. Поэтому вершинная поправка 6£ в СЯМ может быть получена из аналогичной поправки, найденной в КХД

Пои ^ ,„„тм, ттплтпплпп ( 1__, _

Ис > ~ ЛГ|

( [63], формула (48)), с помощью замены цветового фактора (1 — Щ1-) = 772 на —1. В

суперсимметричнон теории Янга—Мнллса Г^^ = 0.

Рис. 2. Диаграммы для вкладов скалярных частиц в (а) — с поляризацией ва:

(6) и (с) — с вершинными поправками

1.4.5. Вершина

Вершина перехода глюона (7 в глюон С в СГП имеет следующий вид:

вакуума;

■ра _ ра(В)

1 Сб — 1 Св

1 - (! + т + ^ " Ю " Ш1 + бЬ

9(1 + б)2 + 2 , (1 + е)3 + б2 . (1 + е)2 — 2е2

+ €/?V,-\2/1 , О \Го , О \ +

2(1 + б)(1 + 2е)(3 + 2е) (1 + е)2(1 + 2е)(3 + 2е) "" 2(1 + 2е)(1 + б)2(3 + 2е) - (й* - р - (1 - +

(28)

Эта вершина найдена в работах [54,57,61,65], ее выражения известны для произвольной размерности И в КХД. Для общего случая фермионные вклады мы должны модифицировать заменой ^ —> £/, поскольку фермионы преобразуются по произвольному представлению калибровочной группы. В формуле (28) эта замена проделана.

Далее приведем вычисление скалярных поправок к вершине. Вершину представим в виде

Г= Г2?(1 + ¿Г + ¿а + &Ь) + Г За > (29)

где е и е' — векторы поляризации глюонов С и С соответственно. Поправки и , не содержащие вкладов скалярных частиц, можно получить из результатов раздела 3.2 [63]. Скаляры дают вклад только в и в Г^!^. Поправка 53се- совпадает с 6$е' из (20). Диаграммы вершинных поправок рис. 26 и рис. 2с дают ( индекс (й) здесь и ниже

означает, что рассматривается только вклад скалярных частиц)

г£%в) = -^сд*ТЗсУ„ир(д,Рс)^е'*р, (30)

где рс — импульс начального глюона, а функция У(111р(д,ро), введенная в [40], представляется в виде

V ( \ - ■ [ а°р (?р + я)Л2Р + Рс)Л2р + Ро + д)р УцируЪРв) гJ (27г)С р2{р + (1Пр + рс)2

(31)

В результате вычислений в светоконусной калибровке имеем

г п^

+ 2

ям_0 си*-* Г(1-е)Г2(1 + е) ^ . ,

В итоге, поправки за счет скалярных частиц к вершине имеют вид:

я1

_ ог дг дзГ(1 - 0 Г2(1 + б) ,, ТК , п2у\ЛЖ ¡иЛ-^} (Ч9)

1.4.6. Вершины двухчастичного рождения

В квазимультиреджевской кинематике, которая наряду с МРК дает вклад в следующее за главным логарифмическое приближение, возможно рождение струи вместо рождения одной частицы. Струя в СГЛП может состоять из двух частиц. Конечная струя зависит от типа налетающих частиц. Струя, рожденная в центральной области от двух реджезованных глюонов, бывает из двух глюонов, двух скаляров и пары кварк-антикварк. Струя, рожденная в области фрагментации из начального глюона, может состоять из двух глюонов, двух скаляров, пары кварк-антикварк, для начального кварка струя состоит из кварк-глюоной пары и кварк-скалярной пары, для начального скаляра — из скаляр-глюонной пары и кварк-антикварковой пары.

1.4.7. Рождение в центральной области быстрот

В центральной области быстрот струи (в нашем случае пары частиц) рождаются при взаимодействии двух реджезованных глюонов Н2- Обозначим их импульсы как <71 и 42, а цветовые индексы как с1; с2. Судаковское разложение для импульсов реджеонов будет иметь вид

<71 = 1+Пг + д1Х , д2 = -Гп2 + д2± , 1 = д 1 - <?2 -

Импульсы пары рожденных частиц обозначим как ¿1, /2; их судаковское разложение

к = + Кп1 + к± , к + к = I = 91 - 42 ,

тогда доли продольных импульсов конечных частиц имеют вид

п

Вершина рождения кварк-антикварковой пары с ароматами /ъ /2 в центральной области найдена в работе [66]:

7Й?2} = 9%мЛк)^КЧ*Щд1- к, к) - ЛЯ1Ь(91; к, к))ьь(к) ■

(33)

Здесь мы сделали замену генераторов фундаментального представления на генераторы присоединенного представления, поскольку работаем в рамках общей теории (в частности, СЯМ Л/" = 4), также используем обозначение

ЛхС/ы - ¿1±) , хгх2 [92±(/и,УУ± -уУх/гх) _

А2Х + хгх2(к + к)\ ^2

Ь(дък,к)-

^1(91 -1\)\ + х21\1 А\

-1;

(34)

(35)

Вершина рождения пары глюонов при взаимодействии реджеонов получена в ка-либровочно инвариантном виде в работе [67], а в светоконусной калибровке [48] имеет вид

7н%?} = ^¡141x1 [Тп^Ьа0(д1; 1и 12) + Т^Тп%а(д1]12, , (36)

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Козлов, Михаил Геннадьевич, 2013 год

Литература

[1] К. A. Ter-Martirosyan, "Asymptotic behaviour of essentially inelastic collisions," Nucl. Phys. В 68 (1964) 591-608.

[2] M. T. Grisaru, H. J. Schnitzer, and H.-S. Tsao, "Reggeization of yang-mills gauge mesons in theories with a spontaneously broken symmetry," Phys. Rev. Lett. 30 (1973) 811.

[3] M. T. Grisaru, H. J. Schnitzer, and H.-S. Tsao, "Reggeization of elementary particles in renormalizable gauge theories - vectors and spinors," Phys. Rev. D 8 (1973) 4498.

[4] L. N. Lipatov, "Reggeization of the vector meson and the vacuum singularity in nonabelian gauge theories," Sov. J Nucl. Phys. 23 (1976) 338.

[5] V. S. Fadin, E. A. Kuraev, and L. N. Lipatov, "On the pomeranchuk singularity in asymptotically free theories," Phys. Lett. B 60 (1975) 50.

[6] E. A. Kuraev, L. N. Lipatov, and V. S. Fadin, "Multi - reggeon processes in the Yang-Mills theory," Sov. Phys. JETP 44 (1976) 443.

[7] Y. Y. Balitskii, L. N. Lipatov, and V. S. Fadin in Proceedings of Leningrad Winter School on Physics of Elementary Particles, p. 109. 1979. Leningrad.

[8] E. A. Kuraev, L. N. Lipatov, and V. S. Fadin, "The pomeranchuk singularity in nonabelian gauge theories," Sov. Phys. JETP 45 (1977) 199.

[9] Y. Y. Balitskii and L. N. Lipatov, "The pomeranchuk singularity in quantum chromoclynamics," Sov. J. Nucl. Phys. 28 (1978) 822.

[10] J. Bartels, "High-energy behaviour in a non-abelian gauge theory (II). first corrections to Tri->m beyond the leading In s approximation," Nucl. Phys. B 175 (1980) 365.

[11] J. Kwiecinski and M. Praszalowicz, "Three gluon integral equation and odd C singlet regge singularities in QCD," Phys. Lett. B 94 (1980) 413.

[12] J. Bartels, L. N. Lipatov, and G. P. Vacca, "A New odderon solution in pertubative QCD," Phys. Lett. B 477 (2000) 178-186, arXiv:hep-ph/9912423.

[13] J. Bartels, V. S. Fadin, L. N. Lipatov, and G. P. Vacca, "NLO Corrections to the kernel of the BKP-equations," Nucl. Phys. B 867 (2013) 827-854, arXiv: 1210.0797.

[14] L. N. Lipatov, "Bare pomeron in quantum chromodynamics," Sov. Phys. JETP 90 (1986) 1536. in russian.

[15] V. S. Fadin, R. Fiore, A. V. Grabovsky, and A. Papa, "The Dipole form of the gluon part of the BFKL kernel," Nucl. Phys. B 784 (2007) 49-71, arXiv:0705.1885.

[16] V. S. Fadin, R. Fiore, and A. Papa, "On the coordinate representation of NLO BFKL," Nucl. Phys. B 769 (2007) 108-123, arXiv:hep-ph/0612284.

[17] V. S. Fadin, R. Fiore, and A. Papa, "The Dipole form of the quark part of the BFKL kernel," Phys. Lett. B 647 (2007) 179-184, arXiv :hep-ph/0701075.

[18] V. S. Fadin, R. Fiore, and A. V. Grabovsky, "On the discrepancy of the low-x evolution kernels," Nucl. Phys. B 820 (2009) 334-363, arXiv:0904.0702.

[19] V. S. Fadin, R. Fiore, and A. V. Grabovsky, "Matching of the low-x evolution kernels," Nucl. Phys. B 831 (2010) 248-261, arXiv:0911.5617.

[20] V. S. Fadin, R. Fiore, A. V. Grabovsky, and A. Papa, "Connection between complete and moebius form of gauge invariant operators," Nucl. Phys. B 856 (2012) 111-124, arXiv:1109.6634.

[21] V. S. Fadin and L. N. Lipatov, "BFKL equation for the adjoint representation of the gauge group in the next-to-leacling approximation at N=4 SUSY," Phys. Lett. B 706 (2012) 470-476, arXiv:1111.0782.

[22] V. S. Fadin, R. Fiore, L. N. Lipatov, and A. Papa, "Mobius invariant BFKL equation for the adjoint representation in N=4 SUSY," Nucl. Phys. B 874 (2013) 230-242, arXiv:1305.3395.

[23] A. V. Kotikov and L. N. Lipatov, "Pomeron in the N=4 supersymmetric gauge model at strong couplings," Nucl. Phys. B 847 (2013) 889-904, arXiv: 1301.0882.

[24] J. M. Maldacena, "The large N limit of superconformal field theories and supergravity," Adv. Theor. Math. Phys. 2 (1998) 231.

[25] J. Bartels, L. N. Lipatov, and A. S. Vera, "N=4 supersymmetric Yang Mills scattering amplitudes at high energies: The Regge cut contribution," Eur. Phys. J. C 65 (2010) 587.

[26] J. Bartels, L. N. Lipatov, and A. S. Vera, "BFKL pomeron, reggeized gluons and Bern-Dixon-Smirnov amplitudes," Phys. Rev. D 80 (2009) 045002, arXiv:0901.0722.

[27] L. N. Lipatov and A. Prygarin, "Mandelstam cuts and light-like Wilson loops in N=4 SUSY," Phys. Rev. D 83 (2011) 045020.

[28] L. N. Lipatov and A. Prygarin, "BFKL approach and six-particle MHV amplitude in N=4 super Yang-Mills," Phys. Rev. D 83 (2011) 125001.

[29] J. Bartels, L. N. Lipatov, and A. Prygarin, "MHV amplitude for 3->3 gluon scattering in regge limit," Phys. Lett. B 705 (2011) 507.

[30] J. Bartels, L. N. Lipatov, and A. Prygarin, "Collinear and regge behaviour of 2->4 MHV amplitude in N=4 super Yang-Mills theory," (2011) arXiv: 1104.4709.

[31] J. Bartels, A. Kormilitzin, L. N. Lipatov, and A. Prygarin, "BFKL approach and 2->5 maximally helicity violating amplitude in N=4 super-Yang-Mills theory," Phys. Rev. D 86 (2012) 065026, arXiv:1112.6366.

[32] Z. Bern, L. J. Dixon, and V. A. Smirnov, "Iteration of planar amplitudes in maximally supersymmetric Yang-Mills theory at three loops and beyond," Phys. Rev. D 72 (2005) 085001.

[33] V. S. Fadin and L. N. Lipatov, "BFKL pomeron in the next-to-leading approximation," Phys. Lett. B 429 (1998) 127.

[34] M. Ciafaloni and G. Camici, "Energy scale(s) and next-to-leading BFKL equation," Phys. Lett. B 430 (1998) 349.

[35] A. V. Kotikov and L. N. Lipatov, "NLO corrections to the BFKL equation in QCD and in supersymmetric gauge theories," Nucl. Phys. B 582 (2000) 19.

[36] V. S. Fadin, R. Fiore, and A. Papa, "The Quark part of the nonforward BFKL kernel and the 'bootstrap' for the gluon Reggeization," Phys. Rev. D 60 (1999) 074025.

[37] V. S. Fadin and D. A. Gorbachev, "Nonforward color-octet kernel of the balitsky-fadin-kuraev-lipatov equation," Yad. Fiz. 63 (2000) 2253-2268.

[38] V. S. Fadin and R. Fiore, "Non-forward NLO BFKL kernel," Phys. Rev. D 72 (2005) 014018, hep-ph/0502045.

[39] V. S. Fadin and R. Fiore, "Non-forward BFKL pomeron at next-to-leading order," Phys. Lett. B 610 (2005) 61.

[40] R. E. Gerasimov and V. S. Fadin, "Scalar contribution to the BFKL kernel," Phys. Atom. Nucl. 73 (2010) 1214-1228.

[41] V. S. Fadin and R. Fiore, "The dipole form of the BFKL kernel in supersymmetric Yang-Mills theories," Phys. Lett. B 661 (2008) 139.

[42] V. S. Fadin and R. Fiore, "The Generalized nonforward BFKL equation and the 'bootstrap' condition for the gluon Reggeization in the NLLA," Phys. Lett. B 440 (1998) 359.

[43] V. S. Fadin, R. Fiore, and M. I. Kotsky, "The Compatibility of the gluon Reggeization with the s channel unitarity," Phys. Lett. B 494 (2000) 100, hep-ph/0007312.

[44] V. S. Fadin, R. Fiore, M. I. Kotsky. and A. Papa, "Strong bootstrap conditions," Phys. Lett. B 495 (2000) 329, arXiv:hep-ph/0008057.

[45] V. S. Fadin and A. Papa, "A Proof of fulfillment of the strong bootstrap condition," Nucl. Phys. В 640 (2002) 309, arXiv:hep-ph/0206079.

[46] J. Bartels, V. S. Fadin, and R. Fiore, "The bootstrap condition for the gluon reggeization," Nucl. Phys. В 672 (2003) 329, hep-ph/0307076. DESY-03-083, DFCAL-TH 03/4; Budker INP 2003-47.

[47] V. S. Fadin, R. Fiore, M. G. Kozlov, and A. V. Reznichenko, "Proof of the multi-regge form of QCD amplitudes with gluon exchanges in the NLA," Phys. Lett. B 639 (2006) 74-81, hep-ph/0602006.

[48] V. S. Fadin, M. G. Kozlov, and A. V. Reznichenko, "Radiative correction to QCD amplitudes in quasi-multi-regge kinematics," Yad. Fiz. 67 (2004), no. 2, 377-393, hep-ph/0302224.

[49] V. S. Fadin, M. G. Kozlov, and A. V. Reznichenko, "Check of the gluon reggeization condition in the next-to-leading order, quark part," Phys. Atom. Nucl. 74 (2011) 784-796.

[50] V. S. Fadin, M. G. Kozlov, and A. V. Reznichenko, "Check of the gluon reggeization condition in the next-to-leading order, gluon part," Phys. Atom. Nucl. 75 (2012) 529-542.

[51] M. Г. Козлов, А. В. Резниченко, and В. С. Фадин, "Мультиреджевская форма амплитуд с глюонным обменом в суперсимметричных теориях Янга—Миллса," Препринт ИЯФ 2012-32 (2012).

[52] М. Г. Козлов, "Проверка условия бутстрапа для рождения глюона в мультиреджевской кинематике," in 12-я Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых (ВНКСФ-12), р. 49. 2006.

[53] F. Gliozzi, J. Scherk, and D. Olive, "Supersymmetry, supergravity theories and the dual spinor model," Nucl. Phys. В 122 (1977) 253-290.

[54] V. S. Fadin and L. N. Lipatov, "Radiative corrections to QCD scattering amplitudes in a multi - regge kinematics," Nucl. Phys. В 406 (1993) 259-292.

[55j V. S. Fadin, "Regge trajectory of a gluon in the two loop approximation," JETP Lett. 61 (1995) 346-350.

[56] V. S. Fadin, R. Fiore, and M. I. Kotsky, "Gribov's theorem on soft emission and the reggeon-reggeon - gluon vertex at small transverse momentum," Phys. Lett. B 389 (1996) 737-741.

[57] V. S. Fadin, M. I. Kotsky, and R. Fiore, "Gluon reggeization in QCD in the next-to-leading order," Phys. Lett. B 359 (1995) 181-188.

[58] V. S. Fadin, R. Fiore, and A. Quartarolo, "Reggeization of quark quark scattering amplitude in QCD," Phys. Rev. D 53 (1996) 2729-2741.

[59] M, I. Kotsky and V. S. Fadin, "Reggeization of the amplitude of gluon-gluon scattering," Phys. Atom. Nucl. 59 (1996) 1035-1045.

[60] V. S. Fadin, R. Fiore, and A. Papa, "One-loop reggeon-reggeon-gluon vertex at arbitrary space-time dimension," Phys. Rev. D 63 (2001) 034001, hep-ph/0008006.

[61] V. S. Fadin, R. Fiore, and A. Quartarolo, "Radiative corrections to quark quark reggeon vertex in QCD," Phys. Rev. D 50 (1994) 2265-2276.

[62] V. Del Duca and C. R. Schmidt, "Virtual next-to-leading corrections to the lipatov vertex," Phys. Rev. D 59 (1999) 074004.

[63] V. S. Fadin and R. Fiore, "Calculation of reggeon vertices in QCD," Phys. Rev. D 64 (2001) 114012, arXiv:hep-ph/0107010.

[64] V. S. Fadin and R. Fiore, "The dipole form of the BFKL kernel in supersymmetric Yang-Mills theories," Phys. Lett. B 661 (2008) 139, arXiv:hep-ph/0712.3901.

[65] V. S. Fadin and R. Fiore, "Quark contribution to the gluon-gluon - reggeon vertex in QCD," Phys. Lett. B 294 (1992) 286-292.

[66] V. S. Fadin and L. N. Lipatov, "Next-to-leading corrections to the BFKL equation from the gluon and quark production," Nucl. Phys. B 477 (1996) 767.

[67] L. N. Lipatov and V. S. Fadin, "High-energy production of gluons in a quasimultiregge kinematics," JETP Lett. 49 (1989) 352.

[68] V. S. Fadin, R. Fiore, M. I. Kotsky, and A. Papa, "The gluon impact factors," Phys. Rev. D 61 (2000) 094005.

[69] 0. Steimann, "Wightman-funktionen und retardierte kommutatoren. II (german)," Helv. Phys. Acta 33 (1960) 347-362.

[70] V. S. Fadin, R. Fiore, A. Flachi, and M. I. Kotsky, "Quark - anti-quark contribution to the BFKL kernel," Phys. Lett. B 422 (1998) 287, hep-ph/9711427.

[71] V. S. Fadin, M. I. Kotsky, and L. N. Lipatov, "One-loop correction to the BFKL kernel from two gluon production," Phys. Lett. B 415 (1997) 97.

[72] V. S. Fadin, R. Fiore, M. I. Kotsky, and A. Papa, "The quark impact factors," Phys. Rev. D 61 (2000) 094006.

[73] V. S. Fadin, M. G. Kozlov, and A. V. Reznichenko, "Impact factor for gluon production in multi-regge kinematics in the next-to-leading order," Phys. Atom. Nucl. 75 (2012) 850-865.