Амплитуды КХД с глюонным обменом при высоких энергиях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Резниченко, Алексей Викторович

• Резниченко, Алексей Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Резниченко, Алексей Викторович

Введение

Глава 1. Общая схема доказательства мультиреджевской формы амплитуд с глюонным обменом в СГЛП

1.1. Мультиреджевская форма амплитуд КХД.

1.2. Сигнатуризация мультиреджевской амплитуды.

1.3. Соотношения бутстрапа в СГЛП.

1.4. Вычисление скачков амплитуды.

1.5. Условия бутстрапа.

Глава 2. Условие бутстрапа на неупругую амплитуду рождения струи в МРК

2.1. Основные компоненты реджевской амплитуды.

2.2. Условие бутстрапа для рождения струи в КМРК

2.3. Условие бутстрапа для рождения глюона в МРК

Глава 3. Импакт-фактор рождения глюона

3.1. Общая структура импакт-фактора.

3.2. Вклад вершинных поправок и редже-факторов.

3.3. Реальные глюонные поправки к импакт-фактору

3.4. Вклад цветовой структуры Тт[Т°Тд2Тд1ТК1]

3.5. Вклад симметричной цветовой структуры.

Глава 4. Проверка неупругого условия бутстрапа для произвольного цветового представления в ¿-канале

4.1. Оператор рождения глюона. Общая структура.

4.2. Матричный элемент оператора рождения глюона. Цветовая структура Тг

4.3. Матричный элемент оператора рождения глюона. Симметричная цветовая структура.

4.4. Проверка неупругого условия бутстрапа.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Амплитуды КХД с глюонным обменом при высоких энергиях»

Квантовая хромодинамика (КХД) в настоящее время является общепризнанной теорией сильных взаимодействий. Свойство асимптотической свободы позволяет использовать теорию возмущений при описании жестких процессов, т.е. процессов, для которых характерная передача импульса О;2 АдСП, где Адсб ~ 300 МэВ — масштаб мягкой стадии адрониза-ции. Больший интерес как с теоретической, так и с экспериментальной точек зрения представляют полужесткие процессы КХД, для которых члены ряда теории возмущений усилены логарифмами большого параметра Л. В главном логарифмическом приближении (ГЛП) теории возмущений удерживаются только радиационные поправки вида (а51п А)п. В следующем за главным приближении (СГЛП) учитываются также члены с дополнительным множителем а3, и т.д. Суммирование подобных рядов является сложной задачей, для решения которой было разработано несколько подходов. Бблыпую часть из них объединяет общий метод уравнений эволюции КХД.

Так уравнение Докшицера-Грибова-Липатова-Алтарелли-Паризи (ДГЛАП) [1-3] позволяет суммировать члены, усиленные в каждом порядке теории возмущений степенями больших логарифмов 1п С¡)2 характерной виртуальности процесса. Именно этот подход наиболее часто применяется для анализа экспериментальных данных в физике полужестких процессов.

Наряду с этими логарифмами как в партонных функциях распределения, так и в партонных сечениях при малых значениях отношения х Я2/в < 1 возникают так называемые "мягкие" логарифмы, которые "набираются" от интегрирования по относительным энергиям, или быстротам, партонов. В области малых х эти логарифмы играют более важную роль, чем 1п и возникает задача их суммирования. Одним из наиболее мощных инструментов суммирования рядов, усиленных степенями таких логарифмов, является подход Балицкого-Фадина-Кураева-Липатова (БФКЛ) [5-8]. В рамках описания с помощью уравнения (БФКЛ) эволюции по быстроте лежат, в первую очередь, процессы, в которых не происходит изменение характерных поперечных импульсов: например, процесс рассеяния глубоко виртуальных гамма-квантов с близкими масштабами виртуальностей, для описания которого неприменимо уравнение ДГЛАП. Практически для всех подобных процессов оказывается возможным сгруппировать диаграммы Фейнмана в калибровочно-инвариантные эффективные вершины таким образом, что основной вклад будут давать диаграммы лестничного типа с эффективными вершинами в определенной кинематической области. В подходе БФКЛ такой доминирующей областью является мультиперифериче-ская, или мультиреджевская (МРК), кинематика, в которой все конечные струи строго упорядочены в пространстве быстрот. Особая роль мультипе-риферической кинематики была осознана достаточно давно [4]. В частности, МРК дает основной вклад в полные сечения адронных процессов при высоких энергиях л/з. Наиболее "чистым" примером с точки зрения анализа с помощью подхода

БФКЛ является сечение сг^^^Найгопз, где виртуальности гамма-квантов одного порядка. Главный вклад в амплитуды подобных процессов дают диаграммы с глюонным обменом в каналах с фиксированной передачей импульса. Несмотря на огромное число фейнмановских диаграмм, дающих вклад в амплитуду, оказывается, что в каждом порядке теории возмущения амплитуда в МРК приобретают простую факторизованную форму. Это явление тесно связано с феноменом реджезации глюона.

Принята следующая терминология. Говорят, что частица с массой тр и спином ] реджезуется, если асимптотика амплитуды, которая содержит обмен в ¿-канале квантовыми числами данной частицы, при s —> со и фиксированной передаче t определяется факторами Редже Здесь функция j(t) такова, что j{m2p) = j. Она называется траекторией Редже данной частицы и описывает движение полюса парциальной амплитуды в комплексной плоскости углового момента j. Комплексные угловые моменты были введены в квантовой механике итальянским физиком Т. Редже. Движущиеся при изменении t полюса стали называть реджевскими, а саму частицу — редже-оном. В дальнейшем теория комплексных угловых моментов была развита В. Н. Грибовым для релятивистских частиц и сыграла выдающуюся роль в физике элементарных частиц.

Впервые явление реджезации элементарной частицы — электрона — было обнаружено в 1964 году М. Гелл-Манном, М. JL Голдбергером, Ф. Е. Jloy, Е. Марксом и Ф. Закарайзеном [9] в квантовой электродинамике (КЭД) в процессе комптоновского рассеяния на углы, близкие к тг. Замечательным свойством КХД как неабелевой калибровочной теории является то, что в ней реджезуются не только кварки, но и глюоны (в отличие от КЭД, где реджезуется только электрон, а фотон остается "элементарным"). Идея реджезации глюона возникла в результате вычислений амплитуд неабелевых калибровочных теорий в нескольких первых порядках теории возмущений. Чрезвычайно удобным для анализа этих амплитуд оказался дисперсионный метод [10], основанный на унитарности и аналитичности. Заметим, что ре-джезация частиц в КХД подразумевает не только существование реджеонов с квантовыми числами кварка и глюона, но и то, что все партонные амплитуды в мультиреджевской кинематике с несинглетными по цвету представлениями в ¿-канале определяются исключительно реджеонными обменами. То есть при s —> оо оказываются существенными только амплитуды с обменами квантовыми числами (в том числе сигнатурой) реджеонов. При этом поведение синглетных по цвету в ¿-канале амплитуд диктуется померонным либо одцеронным обменами. БФКЛ-померон представляет собой связанное состояние двух реджезованных глюонов с вакуумными квантовыми числами, положительной сигнатурой и интерсептом (положение ^'(0) реджевского полюса при t = 0), равным или большим единице. Померон определяет поведение полных сечений при больших энергиях. Первоначально он был введен (с интерсептом 1) В. Н. Грибовым для обеспечения постоянных полных сечений при асимптотически больших энергиях. Далее, оддерон, представляющий собой связанное состояние трех реджезованных глюонов, отличается от померона Р— и С—четностью. Он отвечает за разность сечений рассеяния частицы и античастицы на какой-либо мишени.

В отличие от обычных частиц реджеон обладает специфическим квантовым числом — сигнатурой. В КХД в простейшем случае упругой амплитуды это число описывает (анти)симметрию относительно замены кинематического инварианта в на инвариант и. Для реджезованных глюонов сигнатура отрицательна. Это следует уже из рассмотрения в пределе Редже —У оо при фиксированном £) упругой амплитуды с глюонным обменом в борновском приближении. Далее в каждом порядке теории возмущений амплитуды с отрицательной сигнатурой также оказываются доминирующими. Это происходит благодаря сокращению ведущих логарифмических членов в амплитудах с положительной сигнатурой. При этом сокращении амплитуды становятся чисто мнимыми в главном для них порядке (т.е. в порядке, являющемся следующим за главным логарифмическим для амплитуды с отрицательной сигнатурой, усиленной дополнительным большим логарифмом). Так, в пределе Редже вклад реджезованного глюона в упругую амплитуду антисимметричен относительно замены б и & —в:

Ла+б^А'+В' = Г2»л[(т?У - У ]?в'в> гДе ГЛ'Л эффективная вершина (т.е. нелокальная вершина, возникающая из суммы нескольких диаграмм Фейнмана) перехода начальной частицы А в конечную А' с испусканием ¿-канального реджеона Я, а j(t) — 1 + ш{{) — реджевская траектория. Вершины и траектория вычисляются по теории возмущений.

Теперь перечислим основные причины, по которым исследования ре-джезации глюона в СГЛП являются актуальными.

Во-первых, глюонная реджезация дает достаточно общий базис для описания полужестких процессов при высоких энергиях. В частности, один из наиболее мощных подходов для анализа таких процессов — подход БФ-КЛ — был впервые выведен на основе феномена глюонной реджезации. В оригинальных работах [5-8] Я. Балицкого, В. С. Фадина, Э. А. Кураева и Л. Н. Липатова именно предположение о реджезации глюона было центральным упрощающим моментом, позволившим получить уравнение эволюции БФКЛ. Уравнение БФКЛ дает возможность найти функцию Грина, которая, после свертки с импакт-факторами сталкивающихся частиц (зависящими лишь от сорта частиц), приводит к я-канальному скачку упругой амплитуды. Более подробно этот вопрос рассмотрен в первой главе диссертации.

Впервые факторизационная форма амплитуд КХД в МРК была доказана на борновском уровне с помощью аналитичности амплитуды и канальной унитарности в работе [10]. Предположение о реджезованной форме амплитуды в главном логарифмическом приближении было тогда впервые высказано на основе прямых вычислений на трехпетлевом уровне для упругой амплитуды и на однопетлевом уровне для неупругой амплитуды рождения одного глюона. Позднее в рамках ГЛП эта гипотеза была доказана [11] для всех амплитуд с произвольным числом петель с помощью подхода, основанного на совместимости реджевской формы с условием унитарности. Тем самым, в этом приближении подход БФКЛ получил твердый теоретический базис. В ГЛП одним из главных предсказаний подхода БФКЛ оказался степенной рост полных сечений с энергией: at ос sUp, где борновское значение интерсепта БФКЛ-померона Up ' = 4In 2.

Следует заметить, что уравнение БФКЛ приобрело широкую известность благодаря этому предсказанию, после того как рост сечений с энергией был экспериментально обнаружен в процессах глубоко неупругого е-р рассеяния на ускорительном комплексе HERA [12]. Асимптотическое проявление адроноподобных свойств глубоко виртуальных гамма-квантов, в частности, рост с энергией полного сечения а1Р ос аарр, соответствует предсказаниями теории Грибова-Померанчука. Тем не менее, степенное поведение сечения находится в серьезном противоречии с теоремой Фруасса-ра [14], ограничивающей рост полных сечений квадратом логарифма энергии: crtot < его In2 Фундаментальный характер ограничения Фруассара, являющегося следствием причинности и унитарности, приводит к пониманию степенного роста сечений как предасимптотического поведения, хотя область, где ^ а вир, может быть чрезвычайно широкой.

Для полного количественного описания экспериментальных данных точности ГЛП оказывается недостаточно, поскольку в ГЛП не фиксирован масштаб, на котором перенормированная константа связи входит в ряд теории возмущений, и не определен нормировочный множитель во в характерном редже-факторе — ] , входящем в мультиреджевскую амплитуду множе-Чйо/ ственного рождения струй ^ с импульсами кг', см. ниже формулу (1). Здесь же б* = 1 + к{)2. Это факт приводит к значительной неопределенности предсказаний подхода БФКЛ в ГЛП: он применим лишь для качественного понимания, скажем, роста сечения при малых х, который наблюдался на лептон-протонном ускорителе HERA в экспериментах по измерению структурной функции F2(x, Q2) [12] и глюонной плотности [13].

Развитие подхода БФКЛ в СГЛП, то есть вычисление различных импакт-факторов и получение в следующем за борновским порядке ядра уравнения БФКЛ как в импульсном, так и в координатном представлениях, явилось мощным стимулом проверки гипотезы реджезации в этом приближении. Проверка представляется особенно актуальной в свете недавнего непосредственного вычисления [15] в рамках подхода БФКЛ в СГЛП таких экспериментально наблюдаемых величин, как сечение фоторождения 7*7* —VV легких векторных мезонов (V = ш, ф) в столкновениях виртуальных гамма-квантов, сечение 7*7 —» VJ/ф, а также некоторых других сечений.

Во-вторых, наиболее общий подход к проблеме унитаризации в настоящее время состоит в переформулировке КХД в терминах калибровочно-инвариантной эффективной теории поля, в которой во взаимодействиях участвуют реджезованные глюоны [16,17]. Задача построения теории в терминах эффективного действия с участием полей обычных и реджезованных глюонов была успешно решена в главном логарифмическом приближении Л. Н. Липатовым [18] и близка к завершению в СГЛП.

В-третьих, реджезация глюона, по всей видимости, тесно связана с феноменом интегрируемости БФКЛ-динамики в суперсимметричных обобщениях КХД. Данное свойство теории было исследовано в главном логарифмическом приближении Л. Н. Липатовым [19]. Совсем недавно была обнаружена (планарная) интегрируемость N — 4 суперсимметричной теории Янга-Миллса (СЯМ). Свойство конформности данной теории позволило существенно развить в ней координатное представление подхода БФКЛ в СГЛП [20,21]. Доказательство реджезации глюона в СГЛП будет служить косвенным указанием на интегрируемость и в этом приближении.

Завершая перечисление причин, по которым исследование реджезации глюона является важной и актуальной задачей, отметим, что, по-видимому, феномен реджезации образует связующее звено между теорией комплексного углового момента Грибова-Редже и теорией супергравитации. В частности, гипотеза X. Малдасены [22] о соответствии предела сильной связи в конформной теории поля (Л/* = 4 суперсимметричная теория Янга-Миллса) и слабой связи в теории струн типа ПВ в пространстве анти-де Ситтера {АйБь х З5), принципиально позволяет провести соответствие между поме-роном и реджезованным гравитоном.

На защиту выносятся следующие положения.

1. Формулировка общей схемы доказательства мультиреджевской формы амплитуд КХД с глюонным обменом в приближении, следующем за лидирующим логарифмическим. Задача сведена к проверке бесконечного числа соотношений бутстрапа, которые, как показано, все выполняются, если справедливо конечное число условий бутстрапа.

2. Вычисление в следующем за главным порядке в пределе И —У 4 глю-онных поправок к компонентам последнего из непроверенных условия бутстрапа (условия на неупругую амплитуду рождения глюона в МРК): к импакт-фактору и к матричному элементу оператора рождения глюона.

3. Проверка справедливости условия бутстрапа на неупругую амплитуду в глюонном секторе поправок для произвольного цветового представления в ¿-канале.

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [46-49] и в материалах конференций [50,51].

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Резниченко, Алексей Викторович

Основные результаты, полученные в диссертации.

1. Сформулирована общая схема доказательства мультиреджевской формы амплитуды с глюонным обменом в СГЛП. Доказательство основывается на так называемых соотношениях бутстрапа, представляющих собой условия совместимости реджевской формы амплитуды с б-канальной унитарностью. Показано, что выполнение этих соотношений гарантирует мультиреджевскую форму во всех порядках теории возмущений в рамках СГЛП.

2. Продемонстрировано, что для выполнения бесконечного числа соотношений бутстрапа достаточно установить справедливость лишь нескольких условий бутстрапа — нелинейных связей между реджеонными вершинами и траекторией глюона. Проанализировано последнее из недоказанных условий — неупругое условие бутстрапа для рождения одного глюона в МРК.

3. Для различных цветовых представлений в ¿-канале в пределе И —> 4 вычислены глюонные поправки для всех основных компонент неупругого условия бутстрапа: для импакт-фактора и матричного элемента оператора рождения глюона в МРК.

4. В глюонном секторе проведена явная проверка справедливости неупругого условия бутстрапа для всех цветовых представлений в ^канале.

В заключение я хотел бы выразить свою благодарность всем тем, без чьей помощи диссертация едва ли была бы написана.

Работы, положенные в основу диссертации, было бы сложно выполнить без поддержки РФФИ (грант №10-02-01238), а также ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" (грант №14.740.11.0082)

Я испытываю чувство глубокой признательности моему научному руководителю профессору Виктору Сергеевичу Фадину за постоянное внимание, ценные указания и обсуждения, сопровождавшие работу над диссертацией. Следует подчеркнуть, что программа доказательства мультиреджевской формы амплитуды в СГЛП осуществлялась коллективом под руководством В. С. Фадина в течение многих лет. Автору выпала большая честь сделать свой скромный вклад в заключительный этап этого доказательства.

Я благодарен моему коллеге и соавтору М. Г. Козлову, при активном содействии которого была проделана значительная часть работы.

Хотелось бы поблагодарить профессора А. И. Милынтейна за моральную поддержку при написании диссертации.

Также я благодарю И. О. Орлова и А. В. Грабовского за помощь при редактировании текста диссертации и автореферата.

Наконец, я благодарю моих родителей, а также всех других, чье внимание, забота и помощь способствовали подготовке диссертации и организации защиты.

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Резниченко, Алексей Викторович, 2012 год

1. V. N. Gribov and L. N. Lipatov, "Deep 1.elastic E P Scattering In Perturbation Theory," Sov. J. Nucl. Phys. 15 (1972) 438; 675 Yad. Fiz. 15 (1972) 781; 1281].

2. L. N. Lipatov, "The Parton Model And Perturbation Theory," Sov. J. Nucl. Phys. 20 (1975) 94 Yad. Fiz. 20 (1974) 181].

3. G. Altarelli and G. Parisi, "Asymptotic Freedom In Parton Language," Nucl. Phys. В 126 (1977) 298.

4. К. A. Ter-Martirosyan, "Asymptotic behaviour of essentially inelastic collisions", Nucl. Phys. 68 (1965) 591.

5. V. S. Fadin, E. A. Kuraev and L. N. Lipatov, "On The Pomeranchuk Singularity In Asymptotically Free Theories", Phys. Lett. В 60 (1975) 50.

6. E. A. Kuraev, L. N. Lipatov and V. S. Fadin, "Multi Reggeon Processes In The Yang-Mills Theory," Zh. Eksp. Teor. Fiz. 71 (1976) 840 Sov. Phys. JETP 44 (1976) 443].

7. E. A. Kuraev, L. N. Lipatov and V. S. Fadin, "The Pomeranchuk Singularity In Nonabelian Gauge Theories," Zh. Eksp. Teor. Fiz. 72 (1977) 377 Sov. Phys. JETP 45 (1977) 199].

8. Я. Я. Балицкий, JI. H. Липатов, "О померанчуковской особенности в квантовой хромодинамике", Ядерная физика 28 (1978) 1597.

9. М. Gell-Mann, М. L. Goldberger, F. Е. Low, V. Singh and F. Zachariasen, "Elementary Particles of Conventional Field Theory as Regge Poles. IV," Phys. Rev. 133 В (1964) 161.

10. JI. Н. Липатов, "Реджезация векторного мезона и вакуумная особенность в неабелевых калибровочных теориях," Ядерная физика 23 (1976) 642.

11. Я. Я. Балицкий, Л. Н. Липатов, В. С. Фадин, "Реджевские процессы в неабелевых калибровочных теориях", Материалы XIV зимней школы ЛИЯФ, Ленинград (1979) 109.

12. I. Abt et al HI Collaboration], "Measurement of the proton structure function F2 (x, Q**2) in the low x region at HERA", Nucl. Phys. В 407 (1993) 515.

13. M. Derrick et al. |ZEUS Collaboration], "Extraction of the gluon density of the proton at small x", Phys.Lett. В 345, (1995) 576.

14. M. Froissart, "Asymptotic Behavior And Subtractions In The Mandelstam Representation", Phys. Rev. 123 (1961) 1053.

15. L. N. Lipatov, "Small-x physics in perturbative QCD", Phys. Rept. 286 (1997) 131.

16. E. N. Antonov, L. N. Lipatov, E. A. Kuraev and I. O. Cherednikov, "Feynman rules for effective Regge action," Nucl. Phys. В 721 (2005) 111.

17. L. N. Lipatov, "High energy asymptotics of multi-colour QCD and exactly solvable lattice models", Padova preprint DFPD/93/TH/70 (1993) arXiv:hep-th/9311037].

18. A. V. Kotikov and L. N. Lipatov, "NLO corrections to the BFKL equation in QCD and in supersymmetric gauge theories," Nucl. Phys. B 582 (2000) 19 arXiv:hep-ph/0004008].

19. V. S. Fadin and R. Fiore, "The dipole form of the BFKL kernel in supersymmetric Yang-Mills theories," Phys. Lett.B 661 (2008) 139 arXiv:hep-ph/0712.3901],

20. J. M. Maldacena, "The Large N limit of superconformal field theories and supergravity,"Advances in Theoretical and Mathematical Physics 2 (1998) 231 arXiv:hep-th/9711200].

21. D. Amati, S. Fubini, A. Stanghellini, "Asymptotic properties of scattering and multiple production", Phys. Lett. 1 (1962) 29.

22. S. Mandelstam, "Cuts In The Angular Momentum Plane. 1-2.", Nuovo cimento 30 (1963) 1127; 1148.

23. V. Del Duca, C. Duhr, E. Gardi et al., "The infrared structure of gauge theory amplitudes in the high-energy limit", to be published in JHEP arXiv:1109.3581 [hep-ph]].

24. E. Gardi, L. Magnea, "Factorization constraints for soft anomalous dimensions in QCD scattering amplitudes", JHEP 0903 (2009) 079 arXiv:0901.1091 [hep-ph]].

25. T. Becher, M. Neubert, "On the Structure of Infrared Singularities of Gauge-Theory Amplitudes" JHEP 0906 (2009) 081 arXiv:0903.1126 [hep-ph]].

26. G. Ossola, C. G. Papadopoulos, R. Pittau, "Reducing full one-loop amplitudes to scalar integrals at the integrand level", Nucl. Phys. B 763 (2007) 147 arXiv:0609007 [hep-ph]]

27. V. Hirschi, R. Frederix, S. Frixione, M.V. Garzelli, F. Maltoni, R. Pittau, "Automation of one-loop QCD corrections", preprint CERN-PH-TH/2011-031 arXiv: 1103.0621 [hep-ph]]

28. V.S. Fadin, "Justification of the BFKL approach in the NLA," Talk given at the NATO Advanced Research Workshop "Diffraction 2002 in Diffraction 2002, Ed. by R. Fiore et al., NATO Science Series, Vol. 101, p. 235.

29. V. S. Fadin and R. Fiore, "The generalized nonforward BFKL equation and the *bootstrap* condition for the gluon Reggeization in the NLLA," Phys. Lett. B 440 (1998) 359 arXiv:hep-ph/9807472].

30. M. Braun and G.P. Vacca, "The 2nd order corrections to the interaction of two reggeized gluons from the bootstrap", Phys. Lett. B 454 (1999) 319 arXiv:hep-ph /9810454].

31. M. Braun, "Comments on the 2nd order bootstrap relation", arXiv: hep-ph/9901447.

32. V.S. Fadin, R. Fiore, M.I. Kotsky and A. Papa, "Strong Bootstrap Conditions," Phys. Lett. B 495 (2000) 329.

33. V. S. Fadin, "Multi-Reggeon processes in QCD,"Phys. Atom. Nucl. 66 (2003) 2017 .

34. V. S. Fadin, D. A. Gorbachev, "Non-forward colour octet BFKL kernel", Phys. Atom. Nucl. 63 (2000) 2157 |Yad. Fiz. 63 (2000) 2253].

35. V. S. Fadin, R. Fiore, M. I. Kotsky and A. Papa, "Strong bootstrap conditions for the NLO gluon Reggeization in QCD," Nucl. Phys. Proc. Suppl. 99A (2001) 222.

36. V. S. Fadin, R. Fiore, M. I. Kotsky and A. Papa, "Strong Bootstrap Conditions," Phys. Lett. B 495 (2000) 329 arXiv:hep-ph/0008057].

37. V. S. Fadin, R. Fiore, M. I. Kotsky and A. Papa, "The Gluon Impact Factors," Phys. Rev. D 61 (2000) 094005.

38. V. S. Fadin, R. Fiore, M. I. Kotsky and A. Papa, "The quark impact factors," Phys. Rev. D 61 (2000) 094006.

39. M. Braun and G. P. Vacca, "The bootstrap for impact factors and the gluon wave function", Phys. Lett. B 477 (2000) 156 |arXiv:hep-ph/9910432.

40. V. S. Fadin, R. Fiore and A. Papa, "The Quark Part of the Non-forward BFKL Kernel and the Bootstrap for the Gluon Reggeization," Phys. Rev. D 60 (1999) 074025 arXiv:hep-ph/9812456].

41. V. S. Fadin, R. Fiore and M. I. Kotsky, "The compatibility of the gluon Reggeization with the s-channel unitarityPhys. Lett. B 494 (2000) 100.

42. V. S. Fadin and A. Papa, "A proof of fulfillment of the strong bootstrap condition," Nucl. Phys. B 640 (2002) 309 arXiv:hep-ph/0206079].

43. J. Bartels, V. S. Fadin and R. Fiore, "The bootstrap conditions for the gluon reggeization," Nucl. Phys. B 672 (2003) 329 arXiv:hep-ph/0307076|.

44. V. S. Fadin, R. Fiore, M. G. Kozlov and A. V. Reznichenko, "Proof of the multi-Regge form of QCD amplitudes with gluon exchanges in the NLA," Phys. Lett. В 639 (2006) 74 arXiv:hep-ph/0602006].

45. M. Г. Козлов, А. В. Резниченко, В. С. Фадин, "Квантовая хромодина-мнка при высоких энергиях", Вестник НГУ 2 (2007) 3.

46. М. Г. Козлов, А. В. Резниченко, В. С. Фадин, "Проверка условия ре-джезации глюона в следующем за главным порядке. Глюонная часть", Ядерная физика 75 (2012) 529 Phys.Atom.Nucl. 75 (2012) 493; Препринт ИЯФ 2011-24 (2011) 31 стр.].

47. М. Г. Козлов, А. В. Резниченко, В. С. Фадин, "Импакт-фактор для рождения глюона в мультиреджевской кинематике в следующем за борнов-ским приближении", Препринт ИЯФ 2011-23 (2011) 35 стр.

48. М. G. Kozlov and А. V. Reznichenko, "QCD amplitudes with the gluon exchange at high energies (and gluon reggeization proof)", Frascati Physics Series Vol. XLVIII (2009) 1.

49. А. В. Резниченко, "Доказательство гипотезы реджезации глюона в следующем за главным логарифмическом приближени", Материалы конференции ВНКСФ-12 (2006) 65.

50. V. S. Fadin, М. G. Kozlov and А. V. Reznichenko, "Radiative corrections to QCD amplitudes in quasi-multi-Regge kinematics," Yad.Fiz. 67 (2004) 377 Phys.Atom.Nucl. 67 (2004) 359; DESY preprint 03-25].

51. M. Г. Козлов, А. В. Резниченко, В. С. Фадин, "Проверка условия реджезации глюона в следующем за главным порядке. Кварковая часть",

52. Ядерная физика 74 (2011) 784 Phys.Atom.Nucl. 74 (2011) 758; Препринт ИЯФ 2010-26 (2010) 27 стр..

53. V. S. Fadin, "Regge trajectory of a gluon in the two loop approximation," Pisma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 61 (1995) 342 JETP Lett. 61 (1995) 346].

54. V. S. Fadin, M. I. Kotsky and R. Fiore, "Gluon Reggeization In QCD In The Next-To-Leading Order," Phys. Lett. В 359 (1995) 181.

55. V. S. Fadin, R. Fiore and A. Quartarolo, "Reggeization of quark quark scattering amplitude in QCD," Phys. Rev. D 53 (1996) 2729 arXiv:hep-ph/9506432].

56. M. I. Kotsky and V. S. Fadin, "Reggeization Of The Amplitude Of Gluon-Gluon Scattering," Phys. Atom. Nucl. 59 (1996) 1035.

57. V. S. Fadin, R. Fiore and M. I. Kotsky, "Gluon Regge trajectory in the two-loop approximation," Phys. Lett. В 387 (1996) 593 arXiv:hep-ph/9605357].

58. J. Blumlein, V. Ravindran and W. L. van Neerven, "On the gluon Regge trajectory in 0(a(s)2)," Phys. Rev. D 58 (1998) 091502.

59. V. Del Duca and E. W. N. Glover, "The high energy limit of QCD at two loops," JHEP 0110 (2001) 035 arXiv:hep-ph/0109028].

60. V. S. Fadin and L. N. Lipatov, "Radiative corrections to QCD scattering amplitudes in a multi Regge kinematics," Nucl. Phys. В 406 (1993) 259.

61. L.N. Lipatov and V.S. Fadin, "High-Energy Production Of Gluons In A Quasimultiregge Kinematics," JETP Lett. 49 (1989) 352 Sov. J. Nucl. Phys. 50 (1989) 712; Yad. Fiz. 50 (1989) 1141].

62. V. S. Fadin, R. Fiore, M. I. Kotsky and A. Papa, "The Gluon Impact Factors," Phys. Rev. D 61 (2000) 094005 arXiv:hep-ph/9908264].

63. V. S. Fadin, R. Fiore and A. Papa, "One-loop Reggeon-Reggeon-Gluon Vertex at Arbitrary Space-time Dimension," Phys. Rev. D 63 (2001) 034001 arXiv:hep-ph/0008006].

64. V. Del Duca and C. R. Schmidt, "Virtual next-to-leading corrections to the Lipatov vertex," Phys. Rev. D 59 (1999) 074004.

65. V. S. Fadin, R. Fiore and A. Quartarolo, "Quark contribution to the reggeon reggeon - gluon vertex in QCD," Phys. Rev. D 50 (1994) 5893.

66. V. S. Fadin, R. Fiore and M. I. Kotsky, "Gribov's theorem on soft emission and the Reggeon-Reggeon-gluon vertex at small transverse momentum," Phys. Lett. В 389 (1996) 737.

67. V. S. Fadin and R. Fiore, "Quark Contribution To The Gluon-Gluon -Reggeon Vertex In QCD," Phys. Lett. В 294 (1992) 286 .

68. О. Steinmann, "Wightman-Funktionen und retardierte Kommutatoren. II", Helv. Phys. Acta 33 (1960) 347.

69. J. Bartels, "Reggeon calculus for the production amplitude. I-II" Phys. Rev. D 11 (1975) 2977; 2989.

70. J. Bartels, "High-energy behaviour in a non-abelian gauge theory. I-II", Nucl. Phys. В 151 (1979) 293; Nucl. Phys. В 175 (1980) 365.