Инклюзивные сечения рождения глюона в формализме эффективного действия тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Салыкин, Михаил Юрьевич

• Салыкин, Михаил Юрьевич
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Салыкин, Михаил Юрьевич

Содержание

Введение

Обзор литературы

Глава 1. Амплитуда рождения глюона в процессах с двухре-джеонным обменом с мишенью

1.1. Общие замечания

1.2. Кинематика и линии мишеней

1.3. Формализм эффективного действия

1.4. Амплитуда рождения глюона в низшем порядке теории возмущений КХД

1.5. Амплитуда рождения в кинематической области дх_,(/2- >> v-

1.6. Выводы

Глава 2. Вклад в сечение рождения глюона с двухреджеонным обменом

2.1. Общие замечания

2.2. Вклад от Я—>Ш1Р вершины

2.3. Вклады от II—>-Г1Р вершины

2.4. Интерференция между И,—>11Р и И,—>-Ш1Р вершинами

2.5. Дифракционный вклад

2.6. Выводы

Глава 3. Амплитуда рождения глюона в процессах с трёхре-джеонным обменом с мишенью

3.1. Общие замечания

3.2. Эффективная И,—»КИПР вершина

3.3. Расчёт четырёхреджеонной вершины

3.4. Особые кинематические области

3.5. Двойное взаимодействие со снарядом

3.6. Тройное взаимодействие со снарядом

3.7. Восстановление обычных пропагаторов

3.8. Выводы

Глава 4. Вклад с трёхреджеонным обменом

4.1. Общие замечания

4.2. Вклад от И-^ЯР вершин

4.3. Вклад от К->ЯР и 11->Ш1Р вершин

4.4. Вклады от 11->11Р и 11->11Ш1Р вершин

4.5. Выводы

Глава 5. Анализ полученных результатов

Заключение

Литература

Приложение А. Об инклюзивном рождении глюона из ядра . 130 Приложение Б. Диаграммы на рисунках 2.7 и 2.8

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Инклюзивные сечения рождения глюона в формализме эффективного действия»

Введение

Актуальность, общая характеристика и цели работы

Одним из фундаментальных процессов в высокоэнергетических столкновениях является инклюзивное рождение глюона при рассеянии на тяжёлых ядерных мишенях. В рамках квантовой теории поля [1-5] на высоких энергиях в квантовой хромодинамике (КХД) [6] с большим количеством цветов А^с —> оо такой процесс может быть изучен как в приближении взаимодействия реджезованных глюонов [7, 8], так и в рамках дипольной картины, в которой взаимодействующие адроны представляются в виде цветных диполей [9]. Эти два подхода основываются на различных представлениях и приближениях, поэтому особый интерес представляет установление факта их эквивалентности или наличия существенных различий между ними. Хорошо известно, что полное сечение рассеяния диполя на диполе совпадает с найденным в технике реджезованных глюонов и оба подхода приводят к одинаковому уравнению БФКЛ (Балицкого-Фадина-Кураева-Липатова), хотя и в разных координатном и импульсном пространствах. Ситуация с инклюзивным сечением оказывается более сложной. В частности, в [8] утверждалось, что это сечение рассеяния на двух центрах, найденное в рамках дипольного подхода [9], является неполным и должно быть дополнено слагаемыми от обмена состояниями, составленными из трёх и четырёх реджезованных глюонов (так называемые БКП-состояния). С другой стороны, в [10] было показано, что, по крайней мере в низших порядках, вклады от таких состояний сокращаются, что приводит к совпадению результатов в двух подходах. Однако, следует заметить, что такой вывод был сделан на основе подсчётов в чисто поперечном приближении, в котором применимость стандартных правил АГК (Абрамовицкого-Грибова-Канчели) [11] для различных разрезов амплитуды рассеяния отдельно не доказывалась. Для того чтобы завершить сравнение

приближения реджезованных глюонов и дипольного приближения, необходимо найти вклады от всех возможных разрезов и проверить применимость указанных правил АГК. Этого нельзя сделать ни в чисто поперечной технике, использованной в [7, 10], ни в дипольном подходе, так как требуются знания амплитуды как функции продольных компонент импульса. Найти такую амплитуду не составляет особого труда в случае рассеяния на двух центрах, в то время как задача становится гораздо сложнее, если речь идёт о рассеянии на двух и более центрах.

В данной работе исследуется инклюзивное сечение рождения глюона на двух центрах в технике эффективного действия Липатова [12, 13], позволяющему расчитывать фейнмановские диаграммы в реджевской кинематике и учитывающему зависимость от существенных продольных компонент импульсов.

Для более чёткого уяснения целей работы рассмотрим из чего складываются амплитуды рассеяния в технике реджезованных глюонов. Рассмотрим сперва амплитуду упругого рассеяния на ядерной мишени (как было указано, результаты для такой амплитуды идентичны в обоих подходах). В целом амплитуду можно представить в виде померонов, распространяющихся от снаряда к центрам мишени, причём каждый из померонов распадается на два, образуя трёхпомеронные вершины (померонные веерные диаграммы).

Эти диаграммы также должны быть дополнены более простыми диаграммами с меньшим количеством померонов, что соответствует глауберовскому начальному условию для дипольно-ядерной амплитуды в дипольной картине (рис. 1).

Рис. 2. Вклады в инклюзивное сечение

Чтобы сосчитать инклюзивное сечение рассеяния, необходимо фиксировать реальный промежуточный глюон внутри начального померона или внутри трёхпомеронной вершины. Вклад от реальных глюонов внутри померонов ниже вершины распада отсутствует вследствие АГК-сокращений. Таким образом, инклюзивное сечение состоит из трёх слагаемых: испускание глюона из начального померона до его распада, испускание глюона из трёхпомеронной вершины и испускание глюона из померона, непосредственно соединённого с мишенями (рис. 2 А, В и С соответсвенно). Испускание глюона из померонной цепочки хорошо известно и описывается одинаково в рамках подхода редже-зованных глюонов и дипольной картине. И, фактически, сравнение подходов сводится к подсчёту вклада испускания глюона из трёхпомеронной вершины. Так как последняя не включает эволюцию и содержит только один промежуточный глюон, сравнение может быть проведено в низшем порядке по константе связи и, более того, для произвольного выбора снаряда и мишени. Это позволяет упростить задачу, которую, с учётом указанных замечаний, можно поставить следующим образом: найти инклюзивное сечение рассеяния только

на двух центрах в низшем порядке, взяв в качестве снаряда и мишени кварки или антикварки. На самом деле, в процессе подсчётов снаряд и мишени будут положены кварками, но отличия в результатах для кварка и антикварка не будет. Поэтому, моделируя снаряд и мишени кварк-антикварковыми парами, необходимо вставлять дополнительную 2 на каждую кварковую линию, что будет отдельно сделано при сравнении полученных результатов с уже известными.

Как было отмечено, основным инструментом расчётов будет эффективное действие Липатова, которое даёт возможность сосчитать вершины перехода реджезованного глюона (реджеона Ы) в один, два или три реджеона с испусканием реального глюона (частица Р), то есть вершины И —> ЯР, Я -> ЯЯР и Я —> Щ{11Р. В то время как И —> ИР вершина (Липатова) давно известна, вершина И, —» ЯЯР была сосчитана в [14], вершину Я —> ЯЯЯР необходимо найти.

Основными целями работы являются:

• анализ соотношений между продольными компонентами импульсов различных частиц при глауберовском рассеянии на двух центрах в формализме эффективного действия;

• нахождение эффективных вершин, необходимых для расчёта инклюзивного сечения в формализме эффективного действия в произвольной калибровке, и проверка их поперечности;

• подсчёт амплитуд рождения глюона с двухреджеонным и трёхредже-онным обменами с мишенью, анализ вкладов вершин и пропагатора снаряда с учётом кинематических ограничений, проистекающих из эффективного действия;

• сравнение амплитуды, полученной в формализме эффективного дей-

ствия, с результатами из обычной КХД и доказательство восстановления пропагаторов снаряда при условии отбрасывания полюсов по минусовым компонентам импульсов реджеонов в вершинах;

• подсчёт диаграмм инклюзивного сечения рождения глюона в формализме эффективного действия, редукция результатов к поперечному виду и выражение их через вершины Липатова и Бартельса (для установления соответствия полученных результатов поперечному формализму БФК Л-Бартельса);

• сравнение полученного результата с дипольным подходом.

Научная новизна

Научная новизна работы состоит в том, что, по крайней мере, для частных случаев двухреджеонных и трёхреджеонных обменов, на основе сравнительного анализа с результатами из КХД, были получены правила обращения с полюсами (принятие в смысле главных значений), возникающими в вершинах эффективного действия. При рассмотрении кинематических ограничений было показано, что только дельта-функциональные части пропагаторов снаряда должны быть учтены. Также была продемонстрирована эквивалентность метода расчёта диаграмм, при которой пропагаторы кварков берутся целиком, а главные значения вершин отбрасываются. На основе этого были получены результаты для инклюзивного рождения глюона на двух центрах в технике эффективного действия и было показано их соответствие другим подходам, что, в свою очередь, подтверждает применимость правил АГК для сечений, вычисляемых в поперечных формализмах.

Практическая значимость

Работа носит теоретический характер, однако методы и результаты, полученные в данной работе, могут использоваться при вычислении амплитуд

и сечений в формализме эффективного действия. Также косвенным образом была подтверждена применимость правил АГК в технике реджезованных глюонов.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. дустановлено, что при подсчёте амплитуд в технике эффективного действия необходимо

• либо брать полюса по минусовым компонентам импульсов реджео-нов в эффективных вершинах в смысле главного значения и учитывать только дельта-функциональные части попагаторов снаряда,

• либо отбрасывать указанные полюса, при этом целиком учитывая пропагаторы;

2. получено инклюзивное сечение рождения глюона в формализме эффективного действия при рассеянии на двух центрах, где мишени и снаряд моделируются кварк-антикварковыми парами;

3. результаты, получающиеся для инклюзивного сечения рождения глюона в рамках формализма эффективного действия, после интегрирования по продольным компонентам выражаются в поперечном пространстве через вершины Липатова и Бартельса и целиком повторяют результаты, получающиеся в поперечном формализме БФКЛ-Бартельса, потдверждая применимость в нём правил АГК;

4. полученное сечение может быть также сведено к результату, получающемуся в рамках дипольного подхода и совпадает с ним.

Апробации и публикации

Основные материалы диссертации опубликованы в 4 печатных работах в рецензируемых журналах [15-18].

Личный вклад автора

Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, обзора литературы, 5 глав, заключения, библиографии и 2 приложений. Общий объём диссертации 141 страница, из них 122 страницы текста, включая 33 рисунка. Библиография включает 41 наименований на 4 страницах.

В главе 1 проводится анализ применения эффективного действия для расчёта амплитуды рождения глюона в процессах с двухреджеонным обменом со снарядом. В разделе 1.2 рассмотрены соотношения между импульсами частиц в мультиреджевской кинематике. В разделе 1.3 кратко представлены основные сведения об эффективном действии. Также приводятся некоторые элементы диаграммной техники и вершины, необходимые для расчётов амплитуд в данной работе. Производится анализ амплитуды рождения глюона в процессе с двухреджеонным обменом в технике эффективного действия. Продемонстрировано восстановление полных пропагаторов снаряда. В разделе 1.4 приведён краткий анализ данной амплитуды в рамках обычной КХД и показана эквивалентность результатов. В разделе 1.5 отдельно рассмотрена область >> р-, существенная для расчёта искомого сечения. В рамках эффективного действия показан переход результатов подсчитанных диаграмм в значения диаграммы определённой конфигурации.

В главе 2 приводится расчёт части инклюзивного сечения, соответству-

ющий случаю, когда по обе стороны от разреза стоят амплитуды с двухре-джеонными обменами, рассмотренные в предыдущей главе. В разделе2.2 рассматривается вклад в сечение от амплитуд с вершинами II—>-Ш1Р по обе стороны разреза, в разделе 2.3 - от Я—>ИР вершин, а в 2.4 - вклады от диаграмм смешанного типа. Дифракционный вклад отдельно рассмотрен в разделе 2.5.

В главе 3 в рамках эффективного действия по аналогии с главой 1 производится анализ процесса испускания глюона в процессах с трёхреджеонным обменом с мишенью. В разделе 3.2 вычисляется эффективная Я,—»ШШР вершина в произвольной калибровке. Доказывается её поперечность и даётся выражение для неё в аксиальной калибровке. В разделе 3.3 вычисляется че-тырёхреджеонная вершина и в разделе 3.4 рассматриваются особые кинематические режимы и переход в особых пределах одних диаграмм эффективного действия в другие, как это было сделано в 1.5. В разделах 3.5 и 3.6 рассматриваются вклады в мультиреджевской кинематике в амплитуду от двух и трёхреджеонных обменов со снарядом. В разделе 3.7 доказывается восстановление полных пропагаторов снаряда за счёт добавления к дельта-функциональным частям пропагатора полюсов от эффективных вершин.

На основе результатов, полученных в главе 3, в главе 4 вычисляется вклад в сечение, соответствующий разрезу, с амплитудой с однореджеонным обменом с одной стороны и трёхреджеонным с другой. В разделе4.2 рассматриваются вклады от И—^ИР вершин, в 4.3 - от Я—>-Ш1Р, а в 4.4 - от II—»ШШ,Р вершины.

В главе 5 дан краткий анализ полученных результатов и приведена формула для сечения искомого процесса. Полученный результат сведён к виду, соответствующему результатам дипольного подхода.

В приложении А дан краткий обзор метода Глаубера и, отчасти, его приложение к рассматриваемой задаче. В приложении Б кратко подсчитана амплитуда рождения глюона в дифракционной конфигурации.

Обзор литературы

В рамках квантовой теории поля померанчуковская особенность была изучена в работах [19-21], где были рассмотрены свойства амплитуды рассеяния в неабелевом случае. На основе предположения о реджезации глюона были найдены амплитуды рассеяния 2—У 2,2 —3 и 2 —> пв борновском приближении. Амплитуда перехода 2 —> 3 в порядке дъ принимает мультиреджев-скую структуру. Этот результат был обобщён и было сделано предположение о мультиреджевском виде амплитуд перехода 2 —»2 + п. Как обобщение полученных результатов был рассмотрен случай рассеяния 2 —> 2 с произвольным количеством промежуточных частиц и путём суммирования лестничных диаграмм было получено интегральное уравнение для парциальных волн (так называемое уравнение БФКЛ).

Основной задачей, которая на протяжении долгого времени оставалась без решения, была проблема роста сечений, получающихся при рассмотрении процессов рассеяния, описывающихся в главном приближении обменом БФКЛ-помероном. При 5 —> оо решение уравнения БФКЛ растёт как с 5 > 0, что нарушает ограничение Фруассара на рост полного сечения и, по-видимому, требует учёта следующего за главным порядка и уточнения. Для нахождения поправок, которые могли бы приводить к унитаризации, нужно было найти выражение для трёхпомеронной вершины. Трёхпомеронная вершина была сосчитана в работах [22, 23].

В частности в работе [24] рассматривалось глубоко неупругое рассеяние фотона на ядре и путём пересуммации померонных обменов была найдена структурная функция В качестве основы была взята дипольная модель [23, 25], предложенная А.Мюллером, где фотон распадается на множество виртуальных кварк-антикварковых пар, при этом взаимодействие между фотоном и ядром описывается как взаимодействие между отдельными пара-

ми кварк-антикварков с разным цветом ("диполями") и "цилиндрическими "нуклонами посредством обмена двумя глюонами. Путём суммирования веерных диаграмм с распадами померонов (за счёт переходов померон —)• два померона) было получено интегральное уравнение (уравнение Балицкого-Ковчегова, далее БК) на амплитуду рассеяния вперёд кварк-антикварковой пары (диполя) на ядре.

Такие же результаты были получены Я.Балицким в работе [26]. Однако, методы получения БК уравнения были другими. БФКЛ уравнение было рассмотрено в качестве уравнения эволюции некоторых Вильсоновских операторов. Было найдено калибровочно-инвариантное обобщение уравнения БФКЛ, содержащее, в том числе, и информацию о тройной померонной вершине. В качестве базового был рассмотрен процесс глубоко неупругого рассеяния фотона на ядре.

Результаты, связанные с численным решением уравнения БК, можно найти в [27].

В оригинальных работах уравнение БК записывается в виде

М(хоиЬ0: У) = -7(хоь601)ехр-1—!- 1п (—)У+

7Г р

аСр

7Г2

у

О

х2 1 11

£х2 2 012 (2АГ(ж02, Ь0 + -Х12, у) - А^(ж02, Ьо + -х12, г/)ЛГ(:Ь0 - -х02, у)), Х02Х\2

4 аСг ^ог ¿г/ехр--1п(—)(У - у)-

7Г р

р

где хо и XI - поперечные координаты кварка и антикварка в диполе, хю = х\ — хо - разность координат кварка и антикварка, составляющих диполь, &о = \(^1 + х0) - координаты центра этой пары, У = 1п ф - переменная быстроты, р - параметр ультрафиолетового обрезания, Ср - множитель, равный в пределе больших а 7(0:01, Ы = — -^(^оь 0) - пропагатор диполя в ядерной среде.

Расчёты поправок следующего порядка в уравнение БФКЛ можно найти в работах [28, 29].

Особую важность в физике высоких энергий представляют инклюзивные сечения рассеяния, так как они также могут быть привязаны к экспериментально наблюдаемым явлениям. Одним из важнейших процессов является процесс инклюзивного рождения глюона в процессе столкновения ядра на ядре. Начало теоретического описания таких процессов с позиции поме-ронных обменов было положено в работе [30], где было выведено уравнение для структурной функции. Было получено упрощённое выражение для испускания глюона в процессе однопомеронного обмена и произведена оценка сечения рождения глюона. Однако, полученные результаты нуждались в уни-таризации, так как нарушали ограничение Фруассара. Инклюзивное сечение задавалось выражением

Ейсг 12

(Рр (1б7Г2)2^ с

фд(хи к\)фд{х2, (к -

где х\ и х2 - доли начальных импульсов партонов, участвующих в столкновении, а ф(х, к\) - неинтегрированная глюонная плотность мишени.

Дальнейший анализ инклюзивных сечений основывался на играющих важную роль в пертурбативных теориях так называемых правилах АГК [11], определяющих соотношения между различными разрезами диаграмм с поме-ронными обменами.

В статье [7] было найдено сечение рождения одного и двух глюонов в процессах рассеяния с обменом веерными диаграммами с трёхпомеронными вершинами. При этом испускание глюона происходило из начального поме-рона, так как вклады от диаграмм с испусканием глюона из померонов ниже первой трёхпомеронной вершины сокращались в силу правил АГК. Процесс испускания глюона описывался вставкой вершины в функцию Грина БФКЛ-

померона. Инклюзивное сечение давалось выражением

(2тг)2<9(7 д2кд2Ъйу

2 г', г)Ук(г)Ф(у, г, Ъ)

где

С(У, г, г') - функция Грина БФКЛ, а Ф(у,г,Ь) - решение БК уравнения.

В работе [9] на основе БК-уравнения в рамках дипольной модели было найдено выражение для сечения инклюзивного рождения глюона путём суммирования веерных диаграмм. Полученное выражение содержит два слагаемых, которые можно интерпретировать как отвечающие испусканию глюона из начального померона и из трёхпомеронной вершины. Наличие вклада в сечение рождения глюона от его непосредственного испускания из трёхпомеронной вершины, а также отсутствие учёта того, что померон может быть составлен не только из состояний с двумя глюонами, но также из трёх или четырёх глюонов (БКП-состояния), делало необходимым дальнейший сравнительный анализ этой техники с другими подходами.

В статье [8], в предположении о применимости правил АГК, была доказана эквивалентность результатов для инклюзивного сечения, полученных в [7] и в рамках дипольного подхода в [9], и сечение было представлено в виде, соответсвующем дипольной модели

где Ру-у - померон, прикреплённый к снаряду.

Позже в [10] было также доказано отсутствие вкладов в инклюзивное сечение от БКП-состояний в поперечной технике БФКЛ-Бартельса [31].

(2тг )2да д2кд2Ь(1у

<12п<12г(12ЪРУ-уУк(г){2Ф{у,г,Ъ) - Ф(у,г, б)2)

Однако, вопрос применимости правил АГК для поперечных формализмов оставался открытым в вышеописанных работах, так как изначально они были сформулированы для четырёхмерных пространств и не могут быть проверены только в поперечных двумерных. Для дополнительной проверки полученных результатов необходимо было использовать четырёхмерную технику. Использование базовой стандартной КХД представлялось затруднительным с точки зрения количества диаграмм и объёма необходимых вычислений. Самым подходящим инструментом оказался формализм эффективного действия.

Для описания процессов КХД при высоких энергиях в мультиреджев-ской кинематике Л.Н.Липатовым было предложено калибровочно-инвариант-ное эффективное действие [12, 13]. На основе известных вершин перехода ре-джеон —» глюон + реджеон (ИКР) и глюон —> реджеон + глюон (РР11), содержащих индуцированные слагаемые с полюсами по продольным компонентам импульсов, были рассмотрены амплитуды перехода 2 глюонов в 2 глюона. Эти вершины являлись калибровочно-инвариантными. Далее были рассмотрены процессы образования нескольких глюонов в области фрагментации одной из двух рассеивающихся частиц и в центральной области и получены вершины более высокого порядка. Накладывая требование выполнения тождеств Уорда для вершин более высокого порядка, были выведены рекуррентные соотношения на индуцированные составляющие. Обобщением полученных результатов стало калибровочно-инвариантное эффективное действие, представленное таким образом, чтобы правильно воспроизводить найденные вершины.

Далее калибровочно инвариантным образом было добавлено взаимодействие между реджеонами.

Отличительной особенностью эффективного действия является то, что, помимо обычного Янг-Миллсовского лагранжиана, в него входит также ин-

дуцированная часть, описывающая реджеоны в качестве независимых полей, а также их взаимодействие с другими частицами. Индуцированная часть содержит бесконечное количество вершин распада реджеонов, в том числе, с переходами в глюоны. При этом, глюоны описывают взаимодействие внутри кластеров частиц с приблизительно одинаковой быстротой, в то время как реджеоны описывают взаимодействие между частицами из разных кластеров и, фактически, имеют поперечные импульсы. При этом, путём рассмотрения вкладов, линейных по режеонным полям, было установлено, что для калибровочной инвариантности теории необходимо, чтобы поля частиц-глю-онов преобразовывались стандартным образом (присоединённое представление БЩЗ)), а реджеонные поля не преобразовывались.

Лагранжиан КХД £<300 имеет вид [12]:

IV ((Л-(Н? + А\) - А1)д\Ау_ + {А^{УУ + Ау_) - Ау_)д\Ау+),

где

1 1 00

Аь04) = —д±—д± * 1 = Т,(-д)пУ±(д?У±)п

= У±-дУ±д±1У± + д2У±д±1\+ ,

где V представляют глюонные поля, а А - реджеонные. Более подробный анализ эффективного действия представлен в разделе 1.3.

Фейнмановские правила для эффективного действия, а также вывод некоторых вершин перехода реджеонов и глюонов можно найти в работе [32]. В работе [33] был рассмотрен процесс рождения двух глюонов и показано, что главный вклад в этот процесс даётся вершиной перехода ИРРИ.

Учёт бегущей константы связи можно найти в работах [34-36].

Глава 1

Амплитуда рождения глюона в процессах с двухреджеонным обменом с мишенью

1.1. Общие замечания

Для того чтобы произвести расчёт инклюзивного сечения рождения глюона при рассеянии на двух центрах в рамках формализма эффективного действия, используя оптическую теорему, необходимо в первую очередь сосчитать амплитуды его рождения в соответствующих процессах. Однако, при вычислении таких амплитуд возникает необходимость правильного интерпретирования полюсов при использовании техники эффективного действия.

В данной главе изучается случай испускания глюона при рассеянии на двух различных центрах и обмена с ними двумя реджеонами. При этом, в низшем порядке, которым ограничивается данная работа, амплитуда испускания глюона в недифракционном случае сама по себе является древесной, без каких-либо внутренних интегрирований. Продольные интегралы возникают только при подсчёте инклюзивного сечения. Таким образом, перед непосредственным расчётом инклюзивных сечений необходимо решить две задачи. Во-первых, проанализировать применение формализма эффективного действия к процессам, в которых число реджеонов может меняться. Этот анализ окажется необходим для правильного понимания того, какие диаграммы эффективного действия или даже только части диаграмм должны приниматься в расчёт при рассмотрении тех или иных кинематических областей амплитуды. Отдельной задачей является задание правил обращения с полюсами минусовых компонент импульсов #1,2-, переданных мишеням. Она может быть решена посредством сравнения результатов в стандартной теории возмущений.

Следует отметить, что этот вопрос также был рассмотрен в [37], [38] для случая более простых диаграмм, где нет реджеонных переходов с увеличением их количества.

Во-вторых, необходимо получить подходящие удобные выражения для амплитуд рождения, которые можно будет впоследствии использовать для подсчёта инклюзивных сечений. Далее в этой главе будет показано, что кинематические области, существенные с точки зрения интегрирований по переданным импульсам, имеют вид <7^2- » р-, где р- - минусовая компонента импульса испускаемого глюона. Выражение для амплитуды при таких условиях кардинально упрощается и принимает форму, удобную для дальнейших интегрирований.

В общей сложности, существует четыре типа амплитуд рождения, которые необходимо рассмотреть. Они изображены на рис. 1.1. Тип 1.1.1 в рамках формализма эффективного действия описывает рождение глюона единственной вершиной Липатова, которая будет рассмотрена далее. Диаграммы, соответствующие амплитуде такого типа не содержат неоднозначности в выборе правил обхода полюсов или учёта кинематики при обращении с пропагатора-ми, поэтому для них не будет проводиться дополнительный анализ.

В этой главе будут решены две вышеуказанные задачи применительно к диаграммам амплитуд типа 1.1.2. Некоторые полученные выводы будут обобщены на случаи амплитуд других типов.

1.2. Кинематика и линии мишеней

Рассмотрим амплитуду испускания глюона на двух центрах, показанную на рис. 1.1.2 в реджевской кинематике. Для простоты будем брать в качестве налетающей частицы и мишеней кварки. В центральной области оба произведения (кр) и (1р) велики. То есть к+р- и 1~р+ гораздо больше, чем квадраты

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Салыкин, Михаил Юрьевич, 2013 год

Литература

1. К.Ициксон, Ж.Б.Зюбер. Квантовая теория поля. Москва: Мир, 1984.

2. П.Рамон. Теория поля. Современный вводный курс. Москва: Мир, 1985.

3. А.А.Славнов, Л.Д.Фаддеев. Введение в квантовую теорию калибровочных полей. Москва: Наука, 1978.

4. М.Б.Волошин, К.А.Тер-Мартиросян. Теория калибровочных взаимодействий элементарных частиц. Москва: Энергоатомиздат, 1984.

5. Н.Н.Боголюбов, Д.В.Ширков. Введение в теорию квантованных полей. Москва: Наука, 1976.

6. Ф.Индурайн. Квантовая хромодинамика. Москва: Мир, 1986.

7. M.A.Braun. Inclusive jet production on the nucleus in the perturbative QCD with Nc^oo // Phys.Lett. 2000. Vol. B483. P. 105.

8. M.A.Braun. On the inclusive gluon production from the triple pomeron vertex in the perturbative QCD // Eur.Phys.J.C. 2006. Vol. 48. P. 501.

9. Yu.V.Kovchegov, K.Tuchin. Inclusive gluon production in deep inelastic scattering at high patron density // Phys.Rev.D. 2002. Vol. 65. P. 074026.

10. M.A.Braun. BKP states in the inclusive gluon production // Eur.Phys.J.C. 2010. Vol. 70. P. 73.

11. В.А.Абрамовский, В.Н.Грибов, О.В.Канчели. Характер инклюзивных спектров и флуктуаций в неупругих процессах, обусловленных многопо-меронным обменом // Ядерная физика. 1973. Т. 18. С. 595.

12. L.N.Lipatov. Gauge invariant effective action for high energy processes in QCD // Nucl.Phys.B. 1995. Vol. 452. P. 369.

13. L.N.Lipatov. Small-x physics in perturbative QCD // Phys.Rep. 1997. Vol. 286. P. 131.

14. M.A.Braun, M.I.Vyazovsky. The reggeon —> 2 reggeons + particle vertex in the Lipatov effective action formalism // Eur.Phys.J.C. 2007. Vol. C51. P. 103.

15. M.A.Braun, L.N.Lipatov, M.Yu.Salykin, M.I.Vyazovsky. Gluon production on two centers and the effective action approach // Eur.Phys.J.C. 2011. Vol. C71. Pp. 1639-1650.

16. M.A.Braun, M.Yu.Salykin, M.I.Vyazovsky. On the inclusive gluon production in the Lipatov effective action formalism // Eur.Phys.J. Vol. C72:1864.

17. M.A.Braun, M.Yu.Salykin, S.S.Pozdnyakov, M.I.Vyazovsky. Production of a gluon with the exchange of three reggeized gluons in the Lipatov effective action formalism // Eur.Phys.J. 2012. Vol. C72. Pp. 2223-2238.

18. M.A.Braun, S.S.Pozdnyakov, M.Yu.Salykin, M.I.Vyazovsky. Gluon production in the Lipatov effective action formalism // Eur.Phys.J. Vol. C73:2572.

19. Л.Н.Липатов. Реджезация векторного мезона // Ядерная физика. 1976. Т. 23(3). С. 642-656.

20. E.A.Kuraev, L.N.Lipatov, V.S.Fadin. Multiregge processes in the Yang-Mills theory // Sov.Phys.JETP. 1977. Vol. 45. P. 199.

21. Я.Я.Балицкий, Л.Н.Липатов. О померанчуковской особенности в квантовой хромодинамике // Ядерная физика. 1978. Т. 28. С. 1597-1611.

22. J.Bartels, M.Wuesthoff. The triple regge limit of diffractive dissociation in deep inelastic scattering // Z.Phys.C. 1995. Vol. 66. P. 157.

23. A.H.Mueller, B.Patel. Single and double BFKL-pomeron exchange and a dipole picture of high energy hard processes // Nucl.Phys.B. 1994. Vol. 425. P. 471.

24. Yu.V.Kovchegov. Small-x F2 structure function of a nucleus including multiple pomeron exchange // Phys.Rev.D. 1999. Vol. 60. P. 034008.

25. A.H.Mueller. Soft gluons in the infinite-momentum wave function and the BFKL pomeron // Nucl.Phys.B. 1994. Vol. 415. P. 373.

26. I.Balitsky. Oprator expansion for high-energy scattering // Nucl.Phys.B. 1996. Vol. 463. P. 99.

27. M.A.Braun. Structure function of the nucleus in the perturbative QCD with Nc oo (BFKL pomeron fan diagrams) // Eur.Phys.J.C. 2000. Vol. 16. P. 337.

28. V.S.Fadin, L.N.Lipatov. BFKL pomeron in the next-to-leading approximation // Phys.Lett. 1998. Vol. B429. Pp. 127-134.

29. M.Ciafaloni, D.Colferai. The BFKL-equation at next-to-leading order and beyond // Phys.Lett. 1999. Vol. B452. Pp. 372-378.

30. L.V.Gribov, E.M.Levin, M.G.Ryskin. High-p^ hadrons in the pionozation region in QCD // Phys.Lett.B. 1981. Vol. 100. Pp. 173-176.

31. J.Bartels. The triple regge limit of diffractive dissociation in deep inelastic scattering // Z.Phys.C. 1995. Vol. 66. Pp. 157-179.

32. E.N.Antonov, L.N.Lipatov, E.A.Kuraev, I.O.Cherednikov. Feynman rules for effective Regge action // Nucl.Phys.B. 2005. Vol. 721. Pp. 111-135.

33. E.A.Kuraev, V.V.Bytev, S.Bakmaev, E.N.Antonov. Feynman rules for effective Regge action // Phys.Lett.B. 2008. Vol. 664. Pp. 274-278.

34. L.N.Lipatov. Pomeron in quantum chronodynamics // Ed. by A.H.Mueller. Advanced series on Directions in High Energy Physics. Singapore: World Scientific, 1989. P. 411. ISBN: 978-9971-5-0564-6.

35. Yu.Kovchegov, H.Weigert. Quark loop contribution to BFKL evolution: running coupling and leading-Nf NLO intercept // Nucl.Phys. 2007. Vol. A789. Pp. 260-284.

36. I.Balitsky. Quark contribution to the small-x evolution of color dipole. URL: http://arxiv.org/abs/hep-ph/0609105vl.

37. M.Hentschinski, J.Bartels, L.N.Lipatov. Longitudinal loop integrals in the gauge invariant effective action for high energy QCD. URL: http ://arxiv. org/abs/0809.4146.

38. M.Hentschinski. Unitarity corrections from the high energy QCD effective action // Acta Phys. Polon. 2008. Vol. B39. Pp. 2567-2570.

39. M.A.Braun. Loops in the gluon emission amplitude: reggeization from the Glauber scattering. URL: http://arxiv.org/abs/0908.3996.

40. П.Коллинз. Введение в реджевскую теорию и физику высоких энергий. Москва: Атомиздат, 1980.

41. V.N.Gribov. Glauber Corrections and the Interaction between High-energy Hadrons and Nuclei // Sov.Phys.JETP. 1969. Vol. 29. Pp. 483-487.

Приложение А Об инклюзивном рождении глюона из ядра

Рассмотрим кратко метод Глаубера для рождения глюона из ядра с атомным номером А в результате двойного рассеяния на ядерных компонентах. Приведённый здесь вывод близко следует оригинальному из [41], где дано детальное описание отделения ядерной части, кратко изложенное далее. В целях приложения полученных там результатов к изучаемым в данной работе сечениям, необходимо совершить переход к переменным светового конуса и системе центра масс для высокоэнергетической части и найти кинематические области импульсов, существенной для расчёта инклюзивного сечения рассеяния. В связи с этим этот вывод будет кратко переизложен с переадаптацией к рассматриваемой задаче.

Часть, относящаяся к ядру, показана в виде нуклонных пропагаторов, прикреплённых к высокоэнергетическому блобу. Для инклюзивного сечения рассеяния блоб Н должен быть разрезан по центру, и нужно взять его мнимую часть над разрезом, соответсвующим массовой переменной М2 = (к + к + ¿2 ~Р)2 > 0, имеющей значение квадрата недостающей массы для рождения глюона. Таким образом, можно начать с блоба самого по себе. Отделение ядерной части стандартно проводится в системе покоя (лабораторной системе), в которой полный трёхмерный импульс ядра А\ равен нулю. Импульсы отдельных составляющих имеют вид

Ь = 1 + 1[ = 1 + А;, I = (т — е, 0), (А.1)

где т - масса нуклона, е —» 0 - энергия связи на один нуклон и где Аг- = А^ при г > 3. В ядре Аго ~ е и Аг2 ~ ~ \/те. Таким образом, |Аго| << |Аг| << /о и так же для штрихованных импульсов.

Рис. А.1. Инклюзивное рождение глюона из ядра

Высокоэнергетическая часть H является лоренц-инвариантной функцией ядерных импульсов, зависящей от А2 и произведений kl\, kl2: кХ и pli,pl2:pX где А = l[ — li — — 12. В лабораторной системе находим, что произведения Ы\ ~ kl2 — kl, pl\ ~ pl2 ~ pl и вообще не зависят от ядерных импульсов. Единственная зависимость идёт от кХ, рХ и А2. Учитывая, что Ао << Xz —» О и что к±,р± « kz,pz —» сю, находим, что единственные существенные переменные это

кХ = -кгАг, рХ - -p2Xz, (А.2)

так что высокоэнергетическая часть зависит только от Xz через (кХ) и (рХ): H = H{XZ) — Н(рХ, кХ).

Отделение ядерной части, в таком случае, происходит легко. Имеются (А — 1) независимых ядерных импульсов, которые могут быть выбраны различным образом. Во-первых, проведём интегрирование по нулевым компонентам, взяв в качестве независимых переменных А20, Аэд, A¿o, г > 3. Интегрирование по A¿o, г > 3 выполнено автоматически, когда делается разрез, полагающий эти нуклоны на массовую поверхность. Предполагается, что зависимость от А20 и X'2q заключена в четырёх пропагаторах для активных

нуклонов 1 и 2. Вершина разложения ядра как целого на три нуклона предполагается независящей от нулевых компонент, что физически соответствует отсутствию существенного запаздывания в нуклон-нуклонных потенциалах. Тогда интегрирование по А20 и А^ выполняется тривиально и даёт два знаменателя, которые вместе с вышеуказанной вершиной формируют произведение волновых функций ядра в импульсном пространстве

±А(А - 1)М^(1Ь12| -1л)-

2 т

(А.З)

Интегрирование по трёхмерным импульсам пассивных нуклонов преобразует это выражение в матрицу плотности для двух активных нуклонов

1 (2тг)3

-АЦ-Ц^рЬМЪЛ).

£ I [ С

(А.4)

Следующий шаг - интегрирование по поперечным импульсам активных нуклонов ¿2±, и ¿21 С

Ь± + ¿2± — I + ¿2 1-

(А.5)

Высокоэнергетическая часть не зависит от этих поперечных импульсов. Пред-

ставим

2тгд2(11± + 12± - 1'1± - 1'2±) =

й2Ъ ,

,гЬ(11±+12±-1'1х-1'2±)

2гг

(А.6)

и перейдем в поперечное координатное пространство для матрицы плотности. Получаем (опуская зависимость от ¿-компонент)

1

(2тг)9 }

¿=1,2 ¿=1,2

а2ъ

(А.7)

2тг

р(М|М).

Остаются интегрирования по 2-компонентам 1\г^2г и Аг с высокоэнергетической частью, зависящей только от \2. Таким образом, выражение для

амплитуды

Л = А(А-1 [ Н(К)р(Ъ, ¡ь; ь, ЫЬ, 1и + К; Ь, кг - К).

лт J (¿7г~)

(А.8)

Вновь переходим к координатному представлению матрицы плотности как функции ¿-компонент импльсов, чтобы получить

А = А^ ~ ^ АЧА\гН(\Мг^г2е1ХЛг'-22)р(Ъ,г1;Ь,г2\Ь,гиЪ,г2). (А.9) Аттт J

Это окончательное выражение. Интегрирование по г\ — х2 выполняется вдоль траектории, проходящей через ядро характерного размера~ На ~ А1/3, большого в пределе А» 1. Соответственно, порядок существенных значений Хг - это приблизительно А-1/3. Взяв мнимую часть, получаем инклюзивное сечение в виде

(2тг)3Ж7 1 . А(А- 1)

= -1т А =

ЛАДт Н{\г)(1г1(1г2-

(А.Ю)

(Рр в Акте

В действительности, высокоэнергетическая часть должна содержать полюс в Хг — 0 [41], так что её мнимая часть может быть представлена в виде

1т Н(Хг) = Хг) + С{Хг). (А.11)

Член с 5(Хг) даёт стандартный глауберовский вклад, соотвествующий многократным столкновениям налетающей частицы с нуклонами, находящимися на большой дистанции один от другого. Интегрирование по Аг даёт:

— = сШгф2р{Ь, Ь, 02|6,Ъ, г2). (А.12)

№р Акте ]

Если пренебречь ядерными корреляциями и факторизовать матрицу плотности, (А.12) переходит в стандартное глауберовское выражение

¿2ЬТ2(6), (А.13)

(2тт)Ча А(А - 1)

-Г

(13р 47ГШ5

133

где Та (Ь) профиль ядра

Т(Ь)

¿гр{Ъ,х). (А. 14)

Для А >> 1 этот глауберовский вклад имеет порядок л4/3. Часть С(А2) даёт вклад, соответствующий рассеянию частицы на двух нуклонах, находящихся в одной точке. Действительно, в А2 —> 0 можно вынести С(\г) из под знака интегрирования по Х2 в (А.9), так что это интегрирование даёт 27г5(г1 — г2). При А » 1 получающийся вклад имеет порядок А и может быть отброшен в сравнении с (А.12). Таким образом, главный глауберовский вклад определяется вкладом Н(Аг), сингулярным в пределе \г —У 0.

В действительности, ситуация оказывается несколько более сложной. Многие из вкладов в 1т Н(Аг), как окажется, содержат члены, пропорциональные <5(Аг — /3(я±)) под знаком интегрирования по поперечному импульсу обмена между реджеонами. В пределе, когда энергии и снаряда, и реального глюона стремятся к бесконечности, все стремятся к нулю, так, что становится возможным, в конечном счёте, выделить ненулевой вклад в глау-беровское сечение рассеяния. Заметим, что /3 исчезает, если она много меньше или энергии снаряда, или энергии наблюдаемого глюона:

/?Ы ~ ^ (А.15)

Я

или

/3(?х) ~ ^ (А.16)

хв

с х — р+/к+ « 1. Подставив это в (А. 10), получаем множитель под интегралом

, то?

(А.17)

или

, . гпд2.

(А.18)

При больших я этот множитель переходит в единицу. Это происходит, когда

« 1. (А.19)

хз

Будем предполагать, что это условие выполнено. Тогда можно пренебречь всеми членами, зависящими от поперечных импульсов в сравнении с Л в интегралах. В частности, можно пренебречь = —р\/р+ в тех местах, где оно входит вместе с Л_ и переменными интегрирования.

Функция Н(Хг) = Н(рХ, кХ) может быть сосчитана в произвольной системе и в системе центра масс кг + 12 = к± = 1± — 0 в частности, учитывая тот факт, что искомые скалярные произведения лоренц-инвариантны. Для подсчёта полезно рассмотреть относительные порядки всех скалярных произведений, от которых зависит Н. Это (кр), (Ы), (р1), (А;А) и (рА). Здесь будем полагать = л/з. В лабораторной системе, обозначая ± импульсы тильдами, получаем 1± — т, А± = + А2, так что А_ — —А2(у/~з/т) Квадрат полной энергии 5 - 2(Ы) = к+1_ = к+т, откуда находим к+ = я/т и тогда р+ — хэ/т. Также имеем = 0 и — тр\/хв. Более того,

81 = (к + р)2 = 2(кр) = к+р_ = -—, з2 = (р + I)2 = = ж«, (А.20)

х

(как ожидалось = —р\з). Предполагается, что все три величины 5, и велики, что означает х « 1. Учитывая порядок А2 в лабораторной системе, находим А^ = 0 так что кя =~ и ря —~ Таким образом, имеем

относительные порядки

кХ ГТ кХ 1 ГТ кХ вх ГТ

- л I - - — Л I -- - -— ч I -

Ы У т' р1 х\ т' кХ р^ут' ,

/— /— /— V /

рХ е рХ е рХ е е

Ы у т' р1 у т' кр р2±ут

Во всех случаях предел А2 —» 0 получается взятием е/т —> 0 и, следовательно, отбрасыванием (кХ) и (рХ) в сравнении с (Ы), (р1) и (кр).

Это фиксирует правила для подсчёта высоко-энергетической части Н. Предполагая для простоты, что ядро состоит из кварков, можно положить начальные импульсы мишеней равными I, а два конечных импульса кварков-мишеней I + X и I — X с Х± = Х+ = 0. В предположении (А.19), можно пренебречь всеми членами, зависящими от поперечных импульсов (р~ в частности) в сравнении с Л_ и "-" компонентами импульсов интегрирования. Так как эти члены содержат к+ или р+ в знаменателе, это также соответствует взятию предела к+,р+ —» оо в конечных формулах. Таким образом, можно взять предел Л —> 0, оставляя только члены, сингулярные в этом пределе.

Приложение Б Диаграммы на рисунках 2.7 и 2.8

А"

Линия кварка снаряда даёт

(Б.1)

Линии мишеней дают

- й)^ = л

(Б.2)

Пропагаторы глюонов и вершина Липатова

Гц. Я1± (91

Ыд

цр, 91)/

аа с

Проекции на бесцветные состояния

1 г л+ъ _ _}_

2 _ ^а'ьг - ш ■

(Б.З)

(Б.4)

Цветовой множитель

1 /аЬсгЧъ = V.

2Ж

Продольное интегрирование

1 2

(—иг)2

-г7Г

¿91.

-1

[А;+91_ + г'О] 8тт2М1- 8М1-

(Б.5)

(Б.6)

Линия кварка-снаряда даёт

- й)^ =

гд

Ь+а

(Б.7)

Линии кварков-мишеней

Глюонные пропагаторы и вершина Липатова

Ыд

Я21±{91 +Р) Проекции на бесцветные состояния

аа с

-Г 6а'Ъ^а =

N¡-1

2ИГ

Цветовой множитель

_}_гаЬЧЬга = _ «¿с

2]У/ 4

Продольное интегрирование

1 2

(2тг)2 [(/с-^ + гО]

—гтг 8тг2/!_ ,

(-«г)£

-1

+ г'О] 8тг2А;+/1_ 8М1-

С'

(Б.9)

(Б.10)

(Б.11)

(Б.12)

Линия кварка-снаряда

-у-г г\к + = —^7+^7+^ * •

Линии кварков-мишеней

Глюонные пропагаторы и вершина Липатова

8*0

Проекции на бесцветные состояния

1

2 ^

А^2 - 1

За'ъЪ =

2ЫГ

(Б.13)

(Б.14)

(Б.15)

(Б.16)

Цветовой множитель

1 7

гаЬс±а±Ъ _ _л.с

2И/ ~ 4

Продольные интегрирования

1 2

(2тг)2 [(/с + д^ + гО]

—гтг

(-»тлУ^ + д1)2)) =

(—¿7г)2 -1

[к+д 1_ + гО] 87г2А;+/1_ 8/с+/ь

1)'

Линия кварка-снаряда

-

Линии кварков-мишеней

Глюонные пропагаторы и вершина Липатова

Щ

Проекции на бесцветные состояния

2. Ь{р,д1)Ге-

Щ-1

2К.

Цветовой множитель Продольное интегрирование

габс^а = _1гс

2ЛГ/ 4

1 2

(2тг)2 [(А: — дх)2 + гО]

-гтт

87Г2/х_

(-шбЩ

(-гтг)2

91)2)) -1

[—А;+дх_ + г'О] 8тт2М1- 8 к+к.

(Б.18)

(Б.19)

(Б.20)

(Б.21)

(Б.22)

(Б.23)

Е"

Линия кварка-снаряда

^г*. (Б.25)

Линии кварков-мишеней

^»4(11 - = -^-(л-М. (Б.26)

Глюонные пропагаторы

-2% -2% —2%

2 2 2 ' Ги

Проекции на бесцветные состояния

(Б.27)

1 = (Б.28)

М2 _ х 2]УС

II—¡►НИР-вершина V = V! + У2, где

гаМ £Ъ2сй п2 (п _ п \2

Как было отмечено, нужно взять только \У-части этой вершины. Также возьмём вместо двух слагаемых этой вершины одно и рассмотрим перестановку 91 <-» 92 вместе с индексами. Подразумевается, что 92+ 91 = А и единственное различие между этими двумя случаями заключено в интегралах, в то время как цветовые и прочие структуры совпадают

= гд\д^КгОГЬ1С11Ь2ЫВ{Р'ЯЪ Ч1)- (Б-30)

Цветовой множитель

1 ¿а^аМуЬю/ = _1гс

2ЯС

Интеграл в первом случае

1 2

* <¿91+^91-

(2тг)2 [(д-^ + Ю]

¿91_ НО2

—27Г

И в случае перестановки

-(-ш6((11 + д1)2)) = -1

[-9+91_ + ¿0] 87Г2д+/1_ ^д+Ь-

1

2

(2т)М(д- 91)2Т^01(-^((/1 -+ Л)2)) =

(-гтг)2

— 27Г

о?91_

-1

[-9+91- + г'0] 87г2д+/1_ 89+^.

Таким образом, результат для первого случая просто удваивается

(2т)5

гд'

(Б.33)

8г —1

-г 8/1_

■¿С[й(/с - р - Л)7+«(А;)] х [й^ + Л)7_г17_1б(г1)]

[<Рд

'1± 1

(2т)2 9^

-91,91)-(Б.34)