Моделирование замкнутых линейных систем в представлении полиномами Уолша в пространстве состояний тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Никоноров, Александр Валентинович

• Никоноров, Александр Валентинович
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Никоноров, Александр Валентинович

Введение.

Глава 1 Проблема синтеза систем управления.

1.1 Обзор современного состояния и развития методов синтеза систем управления с использованием ортогональных полиномов.

1.2 Современные системы управления процессами.

1.2.1 Математические модели динамических систем.

1.2.2 Представление математической модели динамической системы.

1.3 Оптимизация процессов с использованием математических моделей

1.3.1 Математические модели процессов и их роль в решении задач оптимизации

1.3.2 Характеристика методов решения задач оптимизации.

1.4 Постановка задачи синтеза оптимального управления с переменными параметрами.

1.5 Цель работы и задачи исследования.

Выводы.

Глава 2 Метод синтеза линейных систем управления.

2.1 Задача оптимальной стабилизации.

2.1.1 Постановка задачи об оптимальной стабилизации.

2.2 Метод замороженных коэффициентов.

2.3 Задача слежения.

2.4 Теоремы и их доказательства для систем с постоянными параметрами.

2.5 Устойчивость движения многомерных систем.

2.5.1 Устойчивость, управляемость и наблюдаемость объектов управления

Выводы.

Глава 3 Полиномы Уолша в задачах моделирования и синтеза многомерных динамических систем оптимального управления.

3.1 Использование ортогональных полиномов Уолша.

3.2 Свойства полиномов Уолша. Прямое и обратное интегрирование. Операционная матрица интегрирования.

3.3 Многомерные динамические модели в представлении рядами Уолша

3.4 Аппроксимация с применением функции Уолша.

Выводы.

Глава 4 Разработка численных методов решения и приложение к задачам управления химико-технологическими процессами.

4.1 Численный метод решения задач с постоянными параметрами.

4.2 Численный метод решения задач оптимизации для систем с постоянными параметрами.

4.3 Численный метод решения задач с переменными параметрами

4.3.1 Анализ оптимального управления линейной нестационарной системы с применением функций Уолша.

4.3.2 Моделирование замкнутой обратной связью линейной нестационарной системой с применением функций Уолша.

4.4 Алгоритмы решения задач управления химико-технологическими процессами.

4.4.1 Алгоритм задач управления химико-технологическими процессами с переменными параметрами.

4.4.2 Алгоритм решения системы дифференциальных уравнений с переменными параметрами.

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование замкнутых линейных систем в представлении полиномами Уолша в пространстве состояний»

Актуальность темы. В настоящее время интенсивно развиваются методы и средства информационного и математического обеспечения, среди которых важное значение отводится методам синтеза оптимальных систем управления.

Развиваются и совершенствуются методы синтеза и проектирования систем управления, основанные на применении современной технологии моделирования и оптимизации многомерных динамических процессов, математические модели которых в окрестности, допустимой технологическими ограничениями, молено описать системой обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными или медленно изменяющимися параметрами. Для такого класса моделей задача оптимизации интегрального квадра-тического критерия взвешенных отклонений относительно векторов состояния и управления при ограничениях заданными линейными дифференциальными уравнениями с изменяющимися параметрами имеет аналитическое решение относительно вектора управления. Однако получить решение относительно вектора переменных состояния не удается. Это имеет место и в случае постоянных параметров, так как для получения решения необходимо интегрировать систему уравнений с граничными условиями. Можно преобразовать полученную систему к задаче с начальными условиями, но при этом необходимо решить нелинейное матричное уравнение Риккати. На основе проведенных исследований, в работе предложен новый подход моделирования оптимальных систем стабилизации на основе аппроксимации системы дифференциальных уравнений, описывающих оптимальный динамический процесс с граничными условиями, алгебраическими уравнениями, с использованием обобщенных ортогональных полиномов Уолша. Положительным фактором применения полиномов Уолша является разработка типовой формализации решения задачи моделирования систем стабилизации для рассматриваемого класса моделей процессов. Преобразование в быстро сходящийся ряд Уолша системы дифференциальных уравнений осуществляется в вещественном пространстве, коэффициенты разложения представляются вещественными числами. Интегрирование выполняется матричным оператором и все последующие действия осуществляются простыми арифметическими операциями с действительными числами.

Диссертация выполнена в соответствии с планом НИР ГОУВПОВГТА № г.р.01960007315 по теме «Разработка и совершенствование математических моделей, средств и систем автоматического управления технологических процессов».

Цель и задачи исследования. Целью работы является разработка математического метода моделирования линейных многомерных систем стабилизации, на основе полиномов Уолша в пространстве состояний.

Для достижения поставленной цели сформулированы следующие задачи исследования: разработать метод моделирования многомерных линейных систем с постоянными и переменными параметрами, ортогональными полиномами Уолша; получить и обосновать метод моделирования линейных многомерных систем, замкнутых оптимальной обратной связью на основе принципа максимума; разработать методику получения устойчивого решения задачи оптимизации замкнутой системы; разработать алгоритмы и программы моделирования замкнутых систем, обеспечивающих устойчивые оптимальные решения с применением функций Уолша; выполнить численное моделирование полученных результатов проведение вычислительных экспериментов сравнительный анализ результатов с моделями различных порядков рассматриваемого класса уравнений.

Методы исследования. При выполнении диссертационной работы применялись: качественная теория дифференциальных уравнений, теория автоматического управления, алгебра матриц, системный анализ.

Научная новизна работы. В диссертационной работе получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной: метод решения задач моделирования оптимальной стабилизации многомерных стационарных и нестационарных линейных динамических систем на основе принципа максимума с применением ортогональных полиномов Уолша; метод решения граничной задачи оптимизации, без решения матричного уравнения Риккати; методика моделирования и синтеза оптимальной стабилизации с использованием инструментальных средств вычислительной техники; метод решения линейных дифференциальных уравнений с переменными параметрами на основе полиномов Уолша используя метод «замораживания» коэффициентов; алгоритмы и программы моделирования систем стабилизации, решение уравнений оптимальных траекторий моделей линейных систем с постоянными и переменными параметрами с применением полиномов Уолша.

Практическая значимость. Результаты работы могут быть использованы при модернизации существующих и проектировании новых систем управления многомерными стационарными и нестационарными процессами. Практическое значение имеет подход, позволяющий получать эффективные алгоритмы моделирования многомерных нестационарных систем стабилизации.

Комплекс алгоритмов и программ можно рекомендовать для разработки оптимальных замкнутых систем управления многомерными стационарными и нестационарными процессами, в различных предметных областях.

Апробация работы. Основные результаты по теме диссертационной работы доложены на международных конференциях «Научные исследования наносистемы и ресурсосберегающие технологии в стройиндустрии» (Белгород 2007 г.), «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (Воронеж 2007 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ, из которых 2 в изданиях, рекомендуемых ВАК и 2 программных продукта.

Личный вклад автора. Личный вклад автора заключается в постановке задач и их решении. Автором представлены математические модели [1,2,3,4,5] методы и алгоритмы их расчёта [6,7]. участие соавтора заключается в постановке задач, обсуждении и интерпретации результатов.

Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 100 страницах, включает 20 таблиц и 42 рисунка; состоит из введения, четырех глав, заключения и приложений. Библиография включает 110 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Никоноров, Александр Валентинович

Основные результаты исследований:

1. Разработана методика моделирования многомерных линейных динамических систем с постоянными и переменными параметрами, представленных ортогональными функциями Уолша.

2. Разработан метод моделирования линейных многомерных систем, замкнутых обратной связью с применением принципа максимума.

3. Получено явное решение для оптимальных уравнений и оптимальных траекторий в пространстве состояний с использованием ортогональных функций Уолша без введения компенсаторов перекрёстных связей.

4. Исследованы свойства блочной матрицы, выделены вещественные корни характеристического уравнения, обеспечивающие устойчивое решение исходной системы.

5. Разработаны и доказаны три теоремы, которые используются в процессе решения многомерных линейных динамических систем с переменными параметрами.

6. Разработан комплекс алгоритмов и программ моделирования систем оптимальной стабилизации для моделей различных порядков, позволяющий осуществлять вычислительные эксперименты в процессе модельного проектирования систем управления.

7. Выполнена модельная апробация и обоснование полученных результатов на основе численных экспериментов с моделями различных порядков.

Заключение

В диссертационной работе решена актуальная задача разработки математического метода моделирования линейных многомерных систем стабилизации, на основе полиномов Уолша в пространстве состояний.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Никоноров, Александр Валентинович, 2008 год

1. «Управление с использованием ЭВМ процессами полимеризации в произ-водстве синтетического каучука»/ Абрамзон И.М. Габбасов Р.К. Автоматизация и КИП М.: ЦНИИТ Энефтехим 1980 г. 203 с

2. Алексеев В.М., Галлеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации. М. - 1984.

3. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление.1. М. 1979

4. Александров А.Ю., Об устойчивости решений одного класса нелинейныхсистем с запаздыванием Текст. / А.Ю. Александров, А.П. Жабко// ж. Автоматика и телемеханика 2006. - № 9. - С. 3 - 12.

5. Аоки М. Введение в методы оптимизации. - М. - 1977.

6. Андреев Н.И. «Теория стахостических оптимальных систем управления»1. М.: Наука 1983 г.-415 с.

7. Астапов Ю.М. Медведев B.C. «Статическая теория систем автоматического регулирования и управления» М.: Наука 1982 г. 304 с.

8. М. Атанс и П. Фалб «Оптимальное управление». Из-во «Машиностроение», Москва 1968 г. 763 с.

9. Артюшенко М.В. «Специальные численные методы моделирования линейных САУ» // Инс-т кибернетики. Киев, 1982 г. 3-12 с.

10. Ахмед, Pao, Адиссаттар «Преобразование Адамара (BIFORE)» Зарубежная радиоэлектроника, 1972 г. №4, 62 с.

11. Батков A.M. Методы оптимизации в статистических задачах управления

12. Текст. / A.M. Батков и др. М.: Машиностроение, 1975.

13. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. - М.1987.

14. Бесекерский В.А. Теория систем автоматического управления Текст. /

15. В.А. Бесекерский, Е.П. Попов Спб.: Профессия, 2003. - 752 е.- (серия: специалист)

16. Болакирев B.C. «Принцип максимума в теории оптимальных систем второго порядка» Автоматика и телемеханика Т. 23, 1962 г., № 8 16141022 с

17. Бесветтер «Анализ и синтез сигналов с помощью функций Уолша» Зарубежная радиоэлектроника 1972 г., № 5, 18 с.16.