Моделирование решения задачи управления системой с программными связями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат физико-математических наук Шемелова, Ольга Васильевна

• Шемелова, Ольга Васильевна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шемелова, Ольга Васильевна

введение.

ГЛАВА I. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ И ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

§ 1. Унифицированное множество переменных.

§ 2. Кинетическая энергия и коэнергия.

§ 3. Потенциальная энергия и коэнергия.

§ 4. Диссипативная функция и кофункция.

§ 5. Диаграмма Пойнтера.

§ 6. Понятие пространства конфигураций и фазового пространства систем различной физической природы.

§ 7. Обобщенные координаты.

§ 8. Свободные и несвободные системы. Связи и их классификация.

§ 9. Вариационные понятия.

9.1. Классификация перемещений.

9.2. Виртуальная работа.

9.3. Идеальные связи.

9.4. Классификация усилий.

ГЛАВА II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

§ 1. Уравнения динамики в форме Лагранжа.

1.1. Построение уравнений динамики относительно обоб * щенных координат.

§ 2. Определение множителей Лагранжа.

2.1. Определение реакций голономных связей.

2.2. Определение реакций неголономных связей.

§ 3. Уравнения динамики в форме Гамильтона.

3.1. Уравнения динамики системы в канонических переменных.

§ 4. Определение реакций связей.

4.1. Определение реакций голономных связей в канонических переменных.

4.2. Определение реакций неголономных связей в канонических переменных.

ГЛАВА III. СТАБИЛИЗАЦИЯ СВЯЗЕЙ.

§ 1. Устойчивость многообразия. Основные определения.

§ 2. Условия устойчивости интегрального многообразия.

ГЛАВА IV. УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИКОЙ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ.

§ 1. Уравнения динамики системы.

§ 2. Приведение уравнений динамики к системе дифференциально-алгебраических уравнений.

§ 3. Решение системы дифференциально-алгебраических уравнений динамики.

§ 4. Результаты численных экспериментов.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование решения задачи управления системой с программными связями»

Актуальность темы. Физическое моделирование - научная задача, которая основывается на глубоком проникновении в явление (в процесс). Оно призвано разрабатывать экспериментальные и теоретические методы исследования с целью получения достоверных результатов и рекомендаций для решения практических задач. Альтернативой физическому моделированию является математическое моделирование, получившее интенсивное развитие в последние десятилетия XX века. Математическое моделирование - это, как правило, построение и численное решение алгебраических, дифференциальных или интегральных уравнений, вытекающих из применения законов механики, физики, химии, биологии, экономики к решению конкретных задач. Области математики, физики, информатики, вопросы обработки экспериментов, разделы вычислительной техники и другие вопросы математического моделирования довольно подробно освещены в [33]. О современном значении методов математического моделирования можно судить и по работам [14, 65]. Также в работах [10, 40, 45, 49, 50] предлагается решение задачи моделирования динамики управляемых систем, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями.

Среди разнообразных явлений различной физической природы нередко можно встретить похожие явления, обнаруживающие одинаковые признаки и закономерности. В таких случаях говорят о физических аналогиях, или аналогичных системах. Физические аналогии, существующие между электрическими, механическими, акустическими и другими системами, давно с успехом используются при исследованиях и расчетах. Методы, основанные на применении аналогий, в ряде случаев оказываются весьма плодотворными при решении задач. Они позволяют использовать методы аналитической механики для исследования систем различной физической природы.

Моделирование систем различной физической природы представляет собой построение аналитических выражений, которые в полной мере описывают изменение свойств фазового состояния таких систем. При моделировании различных явлений можно встретиться с полным или частичным совпадением математических моделей, описывающих поведение объектов различной физической природы методами аналитической механики [11, 17, 28, 54].

Более подробный обзор литературы, научное развитие применения "физических аналогий", а также проблемы, возникающие при систематизации физических величин, представлены в обзорных статьях Когана И.Ш. [26, 27].

При построении математических моделей существенное значение приобретает систематизация физических величин, характеризующих кинематику и динамику исследуемого процесса. Этой проблемой занимаются ученые, начиная с XIX века. В 30-х годах XX века быстрое развитие получила теория физических (динамических) аналогий, которая в основу систематизации физических величин положила основное уравнение движения, или, как его еще называют, уравнение динамики, откуда и появился термин "динамические аналогии". Физические аналогии предполагали механическое прямолинейное, механическое вращательное движение, акустические и электрические процессы. Они получили широкое практическое применение, особенно в прикладной акустике, в теории электрических и механических цепей, в аналоговой вычислительной технике. В дальнейшем динамические аналогии были распространены и на гидродинамику малых скоростей и давлений с добавлением гидродинамической формы, принимая в качестве изменения координаты состояния изменение объема, изменение массы или изменение веса протекающей жидкости или газа.

Исследование динамических аналогий с общей точки зрения было проведено американским акустиком Г. Ольсоном (1943) [52]. Основными физическими величинами в [52] предполагались механические показатели: масса, длина и время, имеющие соответствующие аналоги для электрических и акустических систем.

Использование физических (динамических) аналогий показывает, что явления различной физической природы могут рассматриваться в рамках единого математического аппарата.

На современном этапе приоритетной целью использования информации является управление. В общем плане управление можно трактовать как организацию целенаправленного взаимодействия информации, энергии и объекта управления. Универсальность принципов управления позволяет применять их к объектам любой природы: техническим, технологическим, производственным, экономическим, экологическим и социальным [22]. Автоматическое управление - это такая технология, которая использует обратную связь для улучшения функционирования объектов.

Вопросами управления занимались и занимаются множество ученых всего мира. В частности в [4] рассмотрены задачи управления системами при случайных возмущениях их параметров, современные численные методы теории управления, оптимальное управление детерминированными системами. В работе [44] устанавливается связь между решением задачи управления программным движением механической системы и задачей построения систем дифференциальных уравнений первого порядка, частные интегралы которой известны.

Изменение свойств фазового состояния многих механических, электрических систем и систем иной физической природы описывается системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Возможности и правила составления дифференциальных уравнений определяются знанием законов той области наук, с которой связана природа изучаемой задачи. Так, например, в механике могут использоваться законы Ньютона, в теории электрических цепей — законы Кирхгофа, в теории скоростей химических реакций - закон действия масс и так далее. В частности, в работе [56] рассматривается множество примеров моделирования систем различной физической природы. В работе [55] изложены методы и алгоритмы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Применение каждого метода также продемонстрировано на решениях типовых и нетиповых примеров, охватывающих различные приложения к задачам механики, экономики, расчета электрических цепей и биологических систем. В [43, 70, 71, 74] предлагается численный метод решения дифференциально-алгебраических уравнений индекса-2.

При исследовании качественных свойств систем различной физической природы, моделируемых обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка, большое теоретическое и прикладное значение имеет изучение свойств устойчивости динамики указанных систем.

Исследование проблем устойчивости является традиционным разделом математики. Это вызвано, прежде всего, большой важностью понятия устойчивости для прикладных наук. Так, решение различных задач по приближенным исходным данным, интерпретация решений и наблюдений, вопросы численного счета и другие прикладные проблемы непосредственно связаны с устойчивостью.

Исследованиями устойчивого или неустойчивого движения механической системы и построением устойчивых механических систем занимались многие механики и математики. Трудами Н.Е. Жуковского, A.M. Ляпунова, А. Пуанкаре [34, 35, 59, 69] были созданы основные методы современной теории устойчивости. В настоящее время теория устойчивости является таким разделом теоретической механики, методы которого применимы для исследования устойчивости не только механических систем, но и систем другой физической природы.

Для обеспечения устойчивости и асимптотической устойчивости вместо уравнений связей используются уравнения программных связей, уравнения возмущений связей. Основным методом изучения устойчивости систем является метод функций Ляпунова. Этот метод, созданный первоначально как метод анализа устойчивости движения систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, нашел затем более обширную сферу применения. В настоящее время он является основным строгим методом анализа разнообразных динамических свойств нелинейных систем самой различной природы и формы описания. Использование второго метода Ляпунова для исследования устойчивости позволило сформулировать достаточные условия устойчивости программных многообразий, условия равномерной устойчивости, условия устойчивости на конечном интервале времени, абсолютной устойчивости, условия устойчивости по части переменных и орбитальной устойчивости для механических систем, движение которых описывается дифференциальными уравнениями первого порядка. Результаты исследований по этим вопросам изложены в работах [16, 35, 37 - 39, 43, 44, 45, 47, 61, 62, 64]. В [43] устойчивость многообразия, соответствующего дифференциально-алгебраическим уравнениям, достигается введением уравнений программных связей и соответствующим построением уравнений возмущений связей.

Построение решения уравнений динамики систем различной физической природы предполагает использование численных методов [63, 66]. Построение и решение системы дифференциальных уравнений проводится с помощью интегрированной системы компьютерной символьной математики Марье 7 [20, 21], которая позволяет автоматизировать математические вычисления - как численные, так и символьные.

В последние годы развитие систем программирования в нашей стране и за рубежом привело к созданию различных систем автоматизации вычислений, позволяющих в значительной степени сократить объемную рутинную работу по проведению стандартных математических выкладок при разработке математических моделей материальных объектов. Успешно развиваются численные методы [63, 66, 74], методы решения инженерных и математических задач и методы выполнения аналитических выкладок с помощью компьютера в системе аналитических вычислений МАРЬЕ [20, 21]. Стали возможны вывод и анализ уравнений движения с помощью ЭВМ на качественно более высоком уровне. Множество литературы [15] посвящено применению численно-аналитических методов и систем аналитических вычислений (компьютерной алгебры) к получению и анализу уравнений движения, изучаемых в современном курсе теоретической механики.

В диссертации рассмотрены задачи, решение которых позволило выработать некоторые новые подходы к моделированию управления систем различной физической природы. Построение методов анализа таких систем требует некоторой систематической классификации физических составляющих объектов и процессов. Разработаны эффективные методы моделирования динамики систем различной физической природы. В системах управления возникает необходимость исследования устойчивости динамики систем относительно уравнений связей. Для решения проблем, возникающих при разработке методов, требуется широкий системный подход ко всему комплексу решаемых задач. Актуальность предложенных методов обусловлена тем, что они применимы к широкому классу систем.

Объект исследования. Моделирование и управление динамикой систем различной физической природы.

Предмет исследования. Системы, составленные из элементов различной физической природы.

Цель диссертации:

1. Анализ способов систематизации физических величин, характеризующих кинематическое состояние и динамические показатели систем различной физической природы.

2. Изучение возможностей применения методов аналитической механики для исследования динамики систем различной физической природы.

3. Построение уравнений динамики систем различной физической природы с голономными и неголономными программными связями в обобщенных координатах и в канонических переменных.

4. Определение условий стабилизации связей, определяющих программное изменение свойств фазового состояния систем различной физической природы.

5. Приведение кинематических соотношений и уравнений динамики систем различной физической природы к соответствующей системе дифференциально-алгебраических уравнений.

6. Разработка методов моделирования динамики электромеханической системы, обеспечивающих стабилизацию.

Методы исследования. В диссертации использовались методы классической и аналитической механики, теории устойчивости движения, численные методы и методы компьютерной алгебры.

Научная новизна. Разработаны методы моделирования динамики систем различной физической природы. Разработан эффективный в вычислительном плане метод составления уравнений динамики систем различной физической природы в форме уравнений Лагранжа и уравнений Гамильтона, обеспечивающих стабилизацию связей. Для интегрирования уравнений динамики разработаны эффективные алгоритмы, которые обеспечивают выполнение условий устойчивости. Разработан алгоритм моделирования динамики электромеханической системы, обеспечивающий устойчивость численного решения уравнений динамики.

Практическая значимость. Результаты диссертационной работы могут быть использованы при исследовании устойчивости динамики электромеханических систем аналитическими и численными методами, в механике управляемого движения, при решении задач управления динамикой систем различной физической природы, роботами-манипуляторами, транспортными и космическими системами.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались:

- на XXXVIII - ХЫ Всероссийских научных конференциях по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин (Москва, Российский университет дружбы народов, 2002 - 2005 г.г.);

- на межрегиональной научно-практической конференции "Инновационные процессы в области образования, науки и производства" (Нижнекамск, Нижнекамский химико-технологический институт, 2004 г.);

- на международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и механики" (Казань, Казанский государственный университет, 2004 г.).

Публикации: основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Уравнения динамики управляемых систем // Тезисы докладов XXXVIII Всероссийской научной конференции по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин. М, Изд-во РУДН, 2002 г., С.63.

2. Уравнения динамики управляемых систем // Вестник Российского университета дружбы народов, сер. Прикладная математика и информатика, № 1, 2002, С.80-82.

3. Управление динамикой электромеханических систем // Тезисы докладов XXXIX Всероссийской научной конференции по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин. М, Изд-во РУДН, 2003 г., С. 56-57.

4. Управление динамикой электромеханических систем // Вестник Российского университета дружбы народов, сер. Прикладная математика и информатика, № 1, 2003, С. 63-71.

5. Уравнения динамики электромеханических систем в канонической форме // Межвуз. сб. научных трудов. Проблемы механики и управления. Нелинейные динамические системы. Пермь, 2003, Вып. 35, СЛ 84—191

6. Составление уравнений динамики электромеханических систем // Инновационные процессы в области образования, науки и производства: Материалы Межрегиональной научно-практической конференции. - Нижнекамск, 2004.-С. 280-284.

7. Уравнения динамики электромеханических систем в канонической форме // Тезисы докладов ХЬ Всероссийской научной конференции по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин. М, Изд-во РУДН, 2004 г., С. 147-150.

8. Уравнения динамики управляемой системы в канонических переменных // Вестник Российского университета дружбы народов, сер. Прикладная математика и информатика, № 1, 2004, С. 63-71.

9. Составление уравнений динамики управляемых систем // Материалы международной научной конференции. Труды центра им. Н.И. Лобачевского, Т. 25. Казанское математическое общество. Актуальные проблемы математики и механики. Казань: Издательство Казанского математического общества, 2004. - С. 284-286.

10. Задача управления системой с программными связями // Тезисы докладов ХЫ Всероссийской научной конференции по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин. М, Изд-во РУДН, 2005 г., С. 72-73.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитированной литературы, содержащего 74 наименования. Объем диссертационной работы составляет 129 страниц, работа содержит 38 рисунков и 10 таблиц.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Шемелова, Ольга Васильевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На защиту выносятся следующие основные результаты работы:

1. Проведен анализ определений унифицированного множества физических величин, характеризующих кинематическое состояние и динамические показатели систем различной физической природы.

2. Разработан метод модификации уравнений динамики систем различной физической природы, обеспечивающих стабилизацию связей.

3. Разработан алгоритм приведения уравнений динамики систем различной физической природы к дифференциально-алгебраическим уравнениям с учетом стабилизации связей.

4. Сформулированы условия устойчивости многообразия, определяемого уравнениями связей различной физической природы.

5. Разработан метод решения задачи моделирования динамики электромеханической системы с особой матрицей кинетической коэнергии.

6. Проведен численный эксперимент решения задачи моделирования динамики электромеханической системы с голономными и дифференциальными связями.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шемелова, Ольга Васильевна, 2005 год

1. Айзерман М.А. Классическая механика: Учебное пособие. — 2-е изд., перераб. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980.-368 с.

2. Анищенко B.C. Динамические системы // Соросовский образовательный Журнал. Сер. Физика. 1997. -№ 11.- С. 77-84.

3. Аппель П. Теоретическая механика. Т. II.: Динамика системы. Аналитическая механика. пер. с 6-го фран. изд. — М.: Наука. Государственное издательство физико-математической литературы, 1960. - 488 с.

4. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления: Учеб. пособие для втузов. М. Высш. шк., 1989.-477 е.: ил.

5. Березкин E.H. Курс теоретической механики: Учебное пособие. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Изд-во Московского ун-та, 1974. - 645 с.

6. Брусин В.А. Устойчивые матрицы. Стабилизация линейных динамических систем // Соросовский образовательный журнал. Сер. Математика. 2001. -Том 7. -№ 1.-С. 122-127.

7. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. -2-е изд., перераб. и доп. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. - 464 с.

8. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. Учебник. Т. I.: Статика и кинематика. 2-е изд. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1976. - 272 с.

9. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. Учебник. Т. II.: Динамика. 3-е изд., исправленное. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. - 496 с.

10. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев H.A. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства "Наука", 1976. - 384 с.

11. Бутенин Н.В., Фуфаев H.A. Введение в аналитическую механику. 2-е изд., пер. и доп. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. - 256 с.

12. Бухгольц H.H. Основной курс теоретической механики. Ч. I.: Кинематика, статика, динамика материальной точки. 7-е изд., стереотипное. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1967. - 468 с.

13. Бухгольц H.H. Основной курс теоретической механики. Ч. II.: Динамика системы материальных точек. 4-е изд., пер. и доп. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1966. - 332 с.

14. Ватульян А.О. Математические модели и обратные задачи // Соросов-ский образовательный Журнал. Сер. Математика. 1998. -№ 11,- С. 143-148.

15. Веретенников В.Г., Карпов H.H., Маркеев А.П. и др. Теоретическая механика. Вывод и анализ уравнений движения на ЭВМ: Учеб. пособие для вузов. В 2 ч. Ч. I / Под ред. Веретенникова В.Г. М.: Высш. шк., 1990. - 174 е.: ил.

16. Галиуллин A.C. Аналитическая динамика. Учеб. пособие для ун-тов и втузов. М.: Высш. шк., 1989. - 264 с.

17. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике: Учебное пособие для вузов / Под ред. Е.С. Пятницкого. 3-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. -264 с.

18. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. 4-е изд. - М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.-552 с.

19. Гернет М.М. Курс теоретической механики: Учебник для вузов. 5-е изд., испр. - М.: Высш. шк., 1987. - 344 е.; ил.

20. Говорухин В., Цибулин В. Компьютер в математическом исследовании. Учебный курс. СПб.: Питер, 2001. - 624 е.: ил.

21. Дьяконов В.П. Мар1е7: учебный курс. СПб.: Питер, 2002. - 672 е.: ил.

22. Ерофеев А.А. Теория автоматического управления: Учебник для вузов.- 2-е изд., перераб. и доп. СПб.: Политехника, 2001. - 302 е.: ил.

23. Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. Изд. 2-е, перераб. -М.: Издательство Физико-математической литературы, 2001. 320 с.

24. Ишлинский А.Ю. Классическая механика и силы инерции. — М.: Наука, 1987.-320 с.

25. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. 6-е изд., стер. СПб.: Издательство «Лань», 2003. - 576 с.

26. Коган И.Ш., 2004, Пути решения систематизации физических величин.- http://www.sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/7073.html.

27. Коган И.Ш., 2004, "Физические аналогии" не аналогии, а закон природы. - http://www.sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/7438.htm 1.

28. Козел С. Физические аналогии // Квант. Физика. — 1975. — № 11-С. 50-55.

29. Кухлинг X. Справочник по физике: Пер. с нем. 2-е изд. Мир, 1985. -520 е., ил.

30. Лачин В.И., Савелов Н.С. Электроника: Учеб. пособие. Ростов н/Д: изд-во "Феникс", 2001. - 448 с.

31. Маркеев А.П. Теоретическая механика. Учеб. пособие для университетов. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. - 416 с.

32. Математическое моделирование. Современные проблемы математической физики и вычислительной математики. — М.: Наука. 1989. — 312 с.

33. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения, 4- изд., стер. -СПб.: Издательство «Лань», 2003. 304 с.

34. Метод функций Ляпунова в динамике нелинейных систем. — Новосибирск: Наука. 1983. 312 с.

35. Молодцов Д.А. Устойчивость принципов оптимальности. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. - 280 с. - (Оптимизация и исследование операций / Ред. сер. H.H. Мосеев).

36. Мухаметзянов И.А. Абсолютная устойчивость программного положения манипулятора при релейном управлении // В кн: Проблемы механики управляемого движения. Пермь. 1983. - С. 94 - 99.

37. Мухаметзянов И.А. Построение систем асимптотически устойчивого в целом программного движения // Вестник РУДН, сер. Прикладн. матем. и ин-форм. 1998. - № 1.- С. 16-21.

38. Мухаметзянов И.А. Построение систем с асимптотически устойчивыми программными связями // ПММ. 2001. Т. 65. Вып. 5. С. 822-830.

39. Мухарлямов Р.Г. Численное моделирование в задачах механики // Вестник РУДН, сер. Прикладн. матем. и информ. 1995. — № 1— С. 13-28.

40. Мухарлямов Р.Г. Математическое моделирование динамики несвободных механических систем // Вестник РУДН, сер. Прикладн. матем. и информ. -1996.-№ 1.-С. 31-37.

41. Мухарлямов Р.Г. Моделирование несвободных механических систем // Вестник РУДН, сер. Прикладн. матем. и информ. 1996. — № 2 — С. 34-37.

42. Мухарлямов Р.Г. О численном решении дифференциально-алгебраических уравнений // Вестник РУДН, сер. Прикладн. матем. и информ. -1999.-№ 1.-С. 33-37.

43. Мухарлямов Р.Г. Управление программным движением механических систем и обратные задачи динамики // Вестник РУДН, сер. Прикладн. матем. и информ.- 2000. -№ 1.-С. 17-27.

44. Мухарлямов Р.Г. Построение уравнений динамики механических систем с заданными свойствами движений // Вестник РУДН, сер. Прикладн. матем. и информ.-2001.-№ 1-С.21-31.

45. Мухарлямов Р.Г. Уравнения движения механических систем: Учеб. пособие. М.: Изд-во РУДН, 2001. - 99 е.: ил.

46. Мухарлямов Р. Г. Моделирование механических систем и обратные задачи дифференциальных уравнений // Вестник РУДН, сер. Прикладн. матем. и информ. 2002. - № 1.- С. 37-47.

47. Мухарлямов Р. Г. Редукция уравнений динамики системы с переменной массой // Вестник РУДН, сер. Прикладн. матем. и информ. 2003. - № 1 (11).-С. 34-38.

48. Мухарлямов Р. Г. О построении систем дифференциальных уравнений движения несвободных механических систем // Дифференциальные уравнения. 2003. - Вып. 39 № 3. - С. 343-353.

49. Мухарлямов Р. Г. Моделирование динамики физических систем и процессов // Инновационные процессы в области образования, науки и производства: Материалы Межрегиональной научно-практической конференции. -Нижнекамск, 2004. С. 288-291.

50. Нащокин В.В. Техническая термодинамика и теплопередача. Учеб. пособие для неэнергетических специальностей вузов. М.: «Высшая школа», 1975.-496 е.: ил.

51. Ольсон Г. Динамические аналогии. Пер. с англ. Б.Л. Коробочкина. Под ред. М.А. Айзермана. -М.: Гос. Изд. иностр. лит-ры, 1947.

52. Ольховский И.И. Курс теоретической механики для физиков. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1978. 575 с.

53. Осадченко Н.В. Лагранжев механизм в динамике термомеханических систем. // Сборник научно-методических статей по теоретической механике. Вып. 20 / Под ред. К.С. Колесникова. -М.: Изд-во МПИ, 1990. С. 43-51.

54. Пантелеев A.B., Якимова A.C., Босов A.B. Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах и задачах: Учеб пособие. М.: Высш. шк., 2001. -376 е.: ил.

55. Понтрягин JI.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — 2-е изд., перераб. М.: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1965. - 331 с.

56. Понтрягин J1.C., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. 4-е изд. - М.: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1990. - 176 с.

57. Раус Э. Динамика системы твердых тел: Пер. с англ. В 2-х томах. T. I, T. II / Под ред. Ю.А. Арханельского и В.Г. Демина. — М.: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1983. 464 е., 544 с.

58. Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости. М.: «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1971. - 288 с.

59. Сабирова В.Р. Синтез управления элементом адаптивной оптической системы // Вестник РУДН. Сер. Прикладн. матем. и информ. 2002. - № 1С. 48-55.

60. Сабирова В.Р. Исследование устойчивости численного решения дифференциальных уравнений движения второго порядка // Вестник РУДН, сер. Прикладн. матем. и информ. 2003. - № 1.- С. 39-45.

61. Сабирова В.Р. Уравнения устойчивого движения неголономных систем // Вестник РУДН, сер. Прикладн. матем. и информ. 2004. - № 1. - С. 45-50.

62. Самарский A.A. Введение в численные методы. М.: Наука. - 1997. -239 с.

63. Соколов A.B. Исследование условий асимптотической устойчивости движения управляемого электромеханического манипулятора. // Проблемы механики и процессов управления. Пермь, Межвуз. сборник, 2004, вып. 36. -2004.

64. Тирский Г.А. Подобие и физическое моделирование // Соросовский образовательный Журнал. Сер. Математика. 2001. — Т.7, № 8.- С. 122-127.

65. Турчак Л.И. Основы численных методов: Учеб. пособие. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит. - 1987. - 320 с.

66. Уиттекер Э. Аналитическая динамика. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. шт. - 1964.-586 с.

67. Четаев Н.Г. Теоретическая механика / Под ред. В.В. Румянцева, К.Е. Якимовой. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит. - 1987. - 368 с.

68. Четаев Н.Г. Устойчивость движения: Учеб. руководство. 4-е изд., лепр. - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит. - 1983. - 392 с.

69. Ascher U.M., Hongsheng Chin, L.R. Petzold, S. Reich. Stabilization of constrained Mechanical systems with DAEs and invariant manifolds // J. Mechanics of Structures and Machines. 1995. -V. 23. - P. 135-158.

70. Baumgarte J. Stabilization of constraints and integrals of motion in dynamical systems // Comp. Math. Appl. Mech. Eng. 1972. - Vol. 1 - P. 1-16.

71. Layton, Richard A. Principles of analytical system dynamics. SpringerVerlag New-York, Inc. - 1998. - 156 p.

72. Paynter H.M. Analysis and Design of Engineering Systems. MIT Press, 1961.

73. Rentrop P., Strehmel K. and Weiner R. Ein Uberblick über Einschrittverfaren zur numerschen Integration in der technischen Simulation // GAMM-Mitteilungen. 1966. - Band 19. - Heft 1. - S. 9-43.