Моделирование кинематики и динамики механической системы со связями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат наук Бешау Ассайе Валелгу

• Бешау Ассайе Валелгу
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Бешау Ассайе Валелгу

ВВЕДНИЕ ..................................................................................................................4

ГЛАВА 1. КИНЕМАТИКА ОТКРЫТОЙ СТРУКТУРЫ

МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ СИСТЕМ...............................................15

§1. Уравнения кинематики взаимосвязанных твердых тел......................15

1.1. Конфигурация системы................................................................16

1.2. Векторы угловых скоростей.........................................................19

1.3. Векторы скоростей и ускорений центра масс............................21

§2. Численное решение уравнений кинематики механических систем ...24

§3. Стабилизация многообразия связей.......................................................32

ГЛАВА 2. УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ КИНЕМАТИКИ

ПО ОТНОШЕНИЮ К УРАВНЕНИЯМ СВЯЗЕЙ..............................38

§2.1 Численные методы решения систем дифференциальных

уравнений............................................................................................38

2.1.1. Устойчивость метода Эйлера.....................................................38

2.1.2. Устойчивость метода Рунге-Кутта.............................................42

2.1.3. Изложение методов Рунге-Кутта...................................................43

I. Метод Рунге-Кутта второго порядка........................................46

II. Метод Рунге-Кутта третьего порядка.........................................49

III. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.....................................52

ГЛАВА 3. ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКОЙ

СИСТЕМЫ С УЧЕТОМ СТАБИЛИЗАЦИИ СВЯЗЕЙ.......................56

§1. Построение уравнений динамики........................................................56

3.1.1. Основные принципы динамики..................................................56

3.1.2. Уравнения динамики механической системы с

неголонмными связями...............................................................59

3.1.3.Уравнения динамики механической системы с неидеальными

Связями.....'....................................................................................63

§2. Устойчивость динамических систем с программными связями.......66

§3. Определение множителей Лагранжа и управляющих сил.................72

§4. Численное решение уранений динамики.............................................73

ГЛАВА 4. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ МЕХАНИЧЕСКОЙ

СИСТЕМЫ В КАНОНИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ..........................79

§1. Построение уравнений Гамильтона........................1............................79

§2. Уравнения Гамильтона механической системы со связями..............82

§3. Отношения между формами энергии в механике Лагранжа и

Гамильтона............................................................................................85

§4. Уравнения динамики системы с программными связями..................87

§5. Численное решение...............................................................................89

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.........................................................................................................96

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ........................................................................................97

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование кинематики и динамики механической системы со связями»

Актуальность темы. Классическая механика, как указано в [34,40,69,70,71] изучает движение тел в результате их взаимодействия. Кинематика исследует геометрические свойства движения, такие как форма траекторий, скорости, ускорения и другие кинематические характеристики. Кинетика изучает равновесие тел и изменение состояния механической системы во времени, связанного с законами, соответствующими движению тел под действием системы сил. Основы механики разработаны Галилеем, Ньютоном, Лагранжем, Гамильтоном.

Задача теоретической механики состоит в создании и разработке математической структуры, описывающей механические явления. Она может быть использована для описания и предсказания результатов экспериментов на основе минимального числа гипотез. Требование точности может" быть смягчено необходимостью разумной простоты. Аналитическое описание физической ситуации может быть упрощено для удобства численного решения.

Математическая модель представляет описание [52,58,62,74,747,83,84] системы, использующее математические понятия и язык. Процесс разработки математической модели составляет основное содержание математического моделирования. Математическая модель позволяет выяснить процессы, происходящие в системе, и исследовать влияние различных параметров, а также делать прогнозы о поведении системы. Математические модели могут принимать различные формы, к которым относятся динамические системы, дифференциальные уравнения, статистические модели, или теоретико-игровые модели. Во многих случаях, качество модели зависит от того, насколько хорошо математические модели согласуются с результатами проводимых опытов.

Математическое моделирование механической системы предполагает исследование кинематики или динамики механической системы. Кинематика изучает движения механических систем (положения, скорости и ускорения точек) во .времени без учета их масс и сил, которые действуют на них. Кинематика, однако, в течение многих лет используется для установления кинематических отношений при проектировании связей и решения ряда сложных технических проблем. Для описания движения, кинематика изучает траектории точек и геометрических объектов, их дифференциальные свойства, таких как скорость и ускорение. Кинематика используется в астрофизике для описания движения небесных тел и систем, а также в машиностроении, робототехнике и биомеханике для описания движения систем, состоящих из связанных между собой деталей, таких как двигатель, робот, антропоморфный механизм и так далее.

Динамика в отличие от кинематики - раздел механики, связанный с изучением сил и их влияния на движение. Динамика предназначена исследовать, как физическая система может изменяться с течением времени и изучить причины этих изменений. Динамика определяет отношения между движенииями тел и причинами, вызывающими эти движения, а именно силами, действующими на тела. Современную динамику составляют [43] классическая механика Ньютона, механика Лагранжа, механика Гамильтона и механика Гельмгольца, представляющая ее развитие.

Одним из основньлх проблем механики является построение уравнений

/

движения системы, решения которых удовлетворяют уравнениям связей. Создание аналитической механики систем со связями начинается от известного трактата Лагранжа, опубликованного в 1788 году. Проблема исследования движения системы с голономными и неголономными связями в дальнейшем была исследована такими учеными, как Вольтерра, Больцман, Гамель,

Уиттекер, Сингх. Гиббс (1879) и Аппель (1899) независимо друг от друга разработали метод построения уравнений движения механических систем, стесненных неинтегрируемыми связями, получивший название метода Гиббса-Аппеля. Метод требует удачного выбора квазикоординат и усложняется в случае систем с большим числом степеней свободы и числом неинтегрируемых уравнений связей. Гауссом был предложен (1829) общий принцип механики для получения уравнений движения несвободной системы. Дирак (1969) предложил формулировку принципа для для составления уравнений гамильтоновых систем с сингулярным лагранжианом, когда уравнения связей не зависят явно от времени.

Использование принципа Даламбера-Лагранжа позволяет получить -уравнения движения системы используя функции энергий с последующим вычислением ускорений в виде функций от положения системы и обобщенных скоростей. Для построения уравнений движения системы с идеальными связями используются множители Лагранжа.

Удойда и Калаба [77] в 2001 г. и в 2002 г. использовали псевдообраные матрицы для исследования систем с неидельными связями. Далее Удойда [75] получил уравнения динамики с неидельными связями без использования псевдообратных матриц

!

Уравнения динамики описывают реальные движения системы, но не могут обеспечить устойчивость по отношению к уравнениям связей, что важно при численном решении уравнений движения. В связи с этим, возникает проблема устойчивости и стабилизации связей. Исследованию устойчивости движения посвящены работы многих механиков и математиков. Трудами Н.Е.

Жуковского, A.M. Ляпунова, А. Пуанкаре созданы основные методы

%

современной теории устойчивости [13,29]. Теория устойчивости неголономных

систем рассматривалась в работе Неймарка и Н. А. Фуфаева [23]. В работе A.C. Галиуллина [9] установлена возможность построения целевых показателей для изучения устойчивости движения механических систем, использования метода характеристических чисел и метода функций Ляпунова для определения критериев устойчивости.

Созданный изначально как метод анализа устойчивости решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, метод функций Ляпунова приобрел более широкий размах. В настоящее время он является основным методом тщательного анализа различных динамических свойств нелинейных систем самой различной природы и формы описания. В [21,16,63,65] с использованием второго метода Ляпунова определены достаточные условия устойчивости, асимптотической устойчивости, устойчивости многообразия, устойчивости на конечном интервале времени, условия абсолютной устойчивости и устойчивости по части переменных для механических систем, движения которых описываются дифференциальными уравнениями первого порядка.

Связи обычно ограничивают положения и скорости точек механической системы. При наложении голономных или неголономных связей на механическую систему важно, чтобы решение удовлетворяло ограничениям на всех уровнях. Для того, чтобы предотвратить численные нарушения и отклонения решения от уравнений связей, должны быть обеспечены условия устойчивости решений уравнений движения по отношению к выбранным показателям. Известен ряд методов, (которые призваны компенсировать

отклонения решения вследствие численного интегрирования уравнений

* « 4 •

движений. Метод стабилизации связей, предложенный Baumgarte, является одним из известных методов [39,40,42,44,63-66], который использует производные от уравнений связей на уровне ускорений и обеспечивает

асимптотическую. устойчивость решения по отношению к уравнениям связей, выбором соответствующих коэффициентов. Другое направление представляет распространенный метод пенальти [46]. Применяется путем формирования уравнений Лагранжа системы с' фиктивными функциями потенциала, диссипативных сил и кинетической энергии. Метод обычно применяется для механических систем с ограничением отклонений от уравнений связей.

Стабилизация уравнений связей может быть осуществлена различными способами. Мухарлямов Р.Г. [17,21,22,66,67] использовал метод построения систем дифференциальных уравнений, имеющих заданные частные интегралы в качестве уравнений связей, и расширение за счет дополнительных переменных, вводимых в выражения потенциальной энергии, диссипативной функции и кинетической энергии. Устойчивость численного решения относительно уравнений связей достигается при использовании метода Эйлера, метода Рунге-Кутта второго порядка « методов Рунге-Кутта в случае уравнений вомущений .. связей с постоянными коэффициентами.

В общем случае аналитическое решение дифференциальных уравнений не может быть получено. Для ' практических целей, однако, например, в инженерно-числовой практике часто бывает достаточно получение приближенного решения. При этом могут быть использованы численные методы решения дифференциальных уравнений. Численные методы решения систем дифференциальных уравнений первого порядка с заданными начальными условиями часто попадают в одну из двух больших категорий [40,46,51,63,69,71]: линейные многошаговые методы или методы Рунге-Кутта.

Дальнейшее разделение можно осуществить путем деления на явные методы и

1 • ,

неявные методы. Неявные линейные многошаговые методы включают методы Адамса-Моултона, в то время как неявные методы Рунге-Кутта [50] включают диагонально-неявные методы Рунге-Кутта и Гаусса-Радо. К линейным явным

многоступенчатым мнтодам относятся методы Адам-Башфорз [69], и методы Рунге-Кутта.

Объект исследования. Построение уравнений динамики механических систем, обеспечивающих устойчивость и стабилизацию связей при численном решении уравнений движения.

Предмет исследования. Математическое моделирование кинематики и динамики механической системы с программными связями.

Цель исследования:

(

1. Разработка методов построения кинематических соотношений для системы со связями.

2. Построение уравнений динамики связанной механической системы на основе принципа Даламбера-Лагранжа и принципа Гамильтона.

3. Определение условий устойчивости и стабилизации связей при численном решении методом Рунге-Кутта системы дифференциальных уравнений первого порядка.

4. Разработка алгоритмов моделирования уравнений динамики, обеспечивающих стабилизацию связей при численном решении.

Методы исследования. В диссертации используются классические методы исследования, такие как анализ, синтез, обобщение, сравнение, методы классической механики, аналитические методы качественной теории

•г

дифференциальных уравнений, теории устойчивости движения и численные методы решения дифференциальных уравнений.

4

Научная новизна. Разработан метод построения дифференциальных уравнений, описывающих динамику механических систем. Модифицированные

уравнения движения механических систем со связями получаются на основе

принципа Даламбера-Лагранжа и принципа Гамильтона. Формулируется ,условия устойчивости кинематических уравнений относительно уравнений связей и определяются условия стабилизации связей применительно к численному решению методом Рунге-Кутта. Разработаны алгоритмы для построения кинематических и динамических уравнений механических систем со связями.

. Достоверность результатов. Достоверность результатов диссертации устанавливается на основе строгих математических выводов, доказательств и "численных экспериментов. •

' ' Практическая значимость. Результаты диссертации могут быть использованы для описания движения систем, состоящих из твердых тел и систем с элементами различной физической природы, таких как транспортные и авиационно-космические системы,,робототехнические системы, скелетоны, для

••> ' ■ .-»,.'' у '•■ ■ : . 1..'' " . , ■' ; ■ * ■

■ ■•>.• .■.'),■• '-. ■■••'• ■ ■ • * ' V' ' . ' ' ■ !•-.:. ■

исследования устойчивости'.движения механических "систем относительно ^ уравнений связей, для разработки численных методов, и алгоритмов решения .уравнений;.- динамики. Известные динамические аналогии позволяют использовать разработанные в диссертации методы для моделирования

динамики экономических объектов и производственных систем.

" . ■ .V'," 'V-. У г..... ■ •' " .

: / Апробация работы!: Результаты диссертационной работы докладывались:

' "' • ' .'■ . ' : ' ■ • ' ■

■ на Ь Всероссийской конференции ; по : проблемам динамики, физики частиц,/ физики ; плазмы " и; оптоэлектроники (Москва, -Российский

' V университет дружбы народов, 13-16 мая 2014 г.);

■ " на -Международной научно-практической конференции, «Современные "Л1, -тенденции', общественного развития: ■ теория ' и практика» в. г.

;Нижневартовске (Филиал ГОУ ВПО ЮУрГУ в г) Нижневартовске, 22

* ч • , " • - 4

, : февраля 2013 г.), . ' ? ' ' - •

. .ч ■ ■ ' ю

■ на заседаниях научного семинара «Математическое моделирование процессов механики», руководитель профессор Мухарлямов Р.Г. (Москва, Российский университет дружбы народов, 2013-2015 г.г.).

■ на LI Всероссийской конференции по проблемам Динамики, физики частиц, Физики плазмы и оптоэлектроники (Москва, Российский университет дружбы народов, 12-15 мая 2015 г.)

Степень личного участия. Основные результаты, представленные в диссертации, получены самостоятельно.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы были опубликованы в работах:

1. Beshaw A.W. Numerical solution of differential equations with constraints /Численное решение дифференциальных уравнений с ограничениями // «Современные тенденции общественного развития: теория и практика».. Международная научно-практическая конференция, посвященная 15-летию филиала ЮурГУ в г. Нижневартовске, 22 февраля 2013 г. Нижневартовск; Издательство НВГУ, 2013. С. 63-71. .

2. Mukharlyamov R.G., Beshaw A.W. Solving differential equations of motion for constrained mechanical systems / Решение дифференциальных

уравнений движения для механических систем со связями // Вестник

_ >

РУДН, серия математика, информатика, физика, № 3, 2013, С. 81-9К

3. Beshaw A.W. Modified formulation for dynamic equations of constrained-mechanical system / Модифицированная формулировка для динамических* уравнений с ограничениями механических систем // L Всероссийская конференция по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы й, оптоэлектроники: тезисы докладов. Москва, РУДН, 13-16 мая 2014 г. Москва: РУДН. 2014. С. 243-247.

4. Beshaw A.W. Dynamic equation of constrained mechanical system/Уравнения

■ " * . ' ' '

динамики несвободной механической системы // Вестник РУДН, сер.

математика, информатика, физика, № 3, 2014 , С. 115-124.

5. Beshaw A.W. On solving differential kinematic equations for mechanical systems /

Численное решение уравнений кинематики механических систем // Вестник

РУДН, сер. математика, информатика, физика, № 2 ,2015 , С. 19-27.

■ 1 _ .

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, Четырех

глав, заключения, списка литературы из 32 наименований. Объем диссертации

» . *

составляет 103 страниц, 17 рисунков.

Во введении обосновывается актуальность выбора темы, приводится обзор литературы, относящейся к теме диссертации. Формулируется цель работы, отмечается ее научная новизна и практическая значимость. Кратко

излагается содержание/ диссертации по главам, и приводятся основные

1 ■ ' ■ г» •1 ■' " ' '. ■ '

результаты, полученные в работе." . '

В первой главе излагаются методы построения системы дифференциальных уравнений первого порядка, имеющих заданные частные интегралы. Разработан метод построения уравнений возмущений связей, позволяющий ограничить отклонения от уравнений голономных связей при использовании численного метода Эйлера и метода Рунге-Кутта. Приводится пример, иллюстрирующий эффективность методов. Вычислительный эксперимент показывает, что применение метода Рунге-Кутта может обеспечить стабилизацию связей в случае, когда метод Эйлера приводит к неустойчивости.

« • » , I»

Во второй главе . разработан аналитический метод построения дифференциальных " уравнений . . движения , л со' стабилизацией связей.

Разработанные численные методы, и алгоритмы решения уравнений динамики

■•',•" '•.'■'• i\ ' , . ' . . . •. сводятся,к определению решения системы обыкновенных дифференциальных

уравнений при' известных начальных условиях. Построенные методы и

алгоритмы решения позволяют обеспечивать стабилизацию связей в случае, когда коэффициенты линейной части уравнений возмущений связей зависят от обобщенных координат и скоростей исследуемой системы. Установлена устойчивость численного решения при использовании метода Рунге-Кутта третьего, четвертого порядка и в общем случае произвольного порядка.

• В третьей главе на основе принципа Лагранжа построены расширенные уравнения динамики механических систем, включающие уравнения возмущений связей. Получены уравнения движений механических систем с идеальными связями с учетом стабилизации связей. Построены уравнения динамики механических систем с неидеальными связями. Устойчивость уравнений динамики по отношению к уравнениям связей осуществляется путем введения программных связей. Для определения решений уравнений динамики используются численные методы и алгоритмы, установленные в первых двух главах. Приводится пример построения и численного решения уравнений динамики.

Четвертая глава. Основное внимание уделяется построению уравнений

движения в форме уравнений Гамильтона. Задача стабилизации связей решается

с использованием уравнений программных связей и уравнений возмущений

связей. Уравнения программных связей и уравнения возмущений связей

/

используются для обеспечения устойчивости. Строится расширенная система уравнений Гамильтона, которая включает модифицированные уравнения динамики и уравнения возмущений связей. Определяются условия, накладываемые на правые части уравнений возмущений связей для обеспечения устойчивости движения по отношению к уравнениям связей и стабилизации связей при численном решении уравнений динамики. »

В заключении представлены основные результаты диссертации: методы построения уравнений движения с программными связями, определение условий устойчивости по отношению к уравнениям связей, стабилизации связей при решении уравнений динамики численными методами.

Автор выражает глубокую благодарность и признательность своему научному руководителю профессору Р.Г. Мухарлямову за постоянное внимание к работе, терпение и доброту, мудрые советы, замечания и пожелания, полученные во время консультаций и оказавшие большую пользу в ходе написания диссертационной работы.

Автор посвящает диссертацию своей семье.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Бешау Ассайе Валелгу

Сформулированы условия устойчивости решений кинематических уравнений относительно связей при использовании метода Рунге-Кутта;

Разработаны численные методы решения задачи стабилизации связей, накладываемых на уравнения кинематики ;

Построены алгоритмы решения задачи стабилизации с определением управляющих реакций связей и проведены численные эксперименты, подтверждающие эффективность предлагаемых методов;

Построены уравнения динамики несвободной системы с учетом стабилизации связей в форме уравнений Лагранжа.

Построены уравнения динамики несвободной системы с учетом стабилизации связей в форме уравнений Гамильтона;

Определены условия стабилизации связей, наложенных на динамическую систему, при численном решении уравнений динамики.

Решены здачи управления движением диска по плоскости и управления динамикой двузвенного манипулятора.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Бешау Ассайе Валелгу, 2015 год

1. Абрамов Н.В., Мухарлямов Р.Г., Киргизбаев Ж.К. Управление динамикой систем с программными связями: Монография. - Нижневартовск. Изд-во Нижневарт. гос. ун-та, 2013.

2. Альмухамедов М.И. О конструировании дифференциального уравнения, имеющего своими предельными циклами заданные кривые. // Изв. вузов, математика. № 1 (44). 1965. С. 12-16.

3. Альмухамедов М.И. Обратная задача качественной теории дифференциальных уравнений. // Изв. высш. школы. Сер. Математика. 1963. №4. С. 3-6.

4. Аппель П. Теоретическая механика:динамика системы. Аналитическая механика. Издательство физико-математической литературы. Москва. 1960.

5. Аппель П. Теоретическая механика: Статика, динамика точки. Изд-во физико-математической литературы. Москва. 1960.

6. Бухгольц H.H. Основной курс теоретической механики: Кинематика, статика, динамика материальной точки. Изд-во наука. Москва. 1965.

7. Бухгольц H.H. Основной курс теоретической механики: Динамика системы материальных точек. Изд-во наука. Москва. 1966.

8. Ибушева О.В. Математическое моделирование кинематических свойств и управление динамикой систем с программными связями: Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. 2009.

9. Галиуллин, А. С. Аналитическая динамика: Учебное пособие для университетов и высших тузов. Высш. школы. 1989.

. > «V

Ю.Гашенееко И.Н., Горр Г.В., Ковалев A.M. Клласические задачи динамики твердого тела. // Киев наукова думка. 2012. С. 54-64.

П.Докшевич А.И. Решения в конечном виде уравнений Эйлера-Пуассона. // Киев наукова думка. 1992. С. 45-48.

12. Ковалев A.M., Щербак В.Ф. Управляемость, наблюдаемость,

идентифицируемость динамических систем. // Киев наукова думка. 1993. С.

- t

44-48.

13.Ляпупов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Госуд. изд-во , технико-теоретической литратуры. Москва. 1950.

14.Маркеев А.П. Теоретическая механика. Редакция журнала: Регулярная и хаотическая динамика. Москва. 1999.

15.Мухаметзянов И.А. Уравнение процессом приведения механических систем за конечное время в неголономное многообразие в условиях неопределенности. // Вестник РУДН, сер. Математика, информатика. Физика. 2012. № 2. С.89-95.

16.Мухаметзянов И. А. Построение систем асимптотически устойчивого в целом программного движения. // Вестник РУДН, сер. Прикладн. матем. и информ. 1998. № 1.С. 16-21.

' * V

. 17.Мухарлямов P.F. К Обратным задачам качественной теории > дифференциальных уравнений. // Дифференц. уравнения. 1967. Т.З. № 10. С. • 1 1673-1681. '

18.Мухарлямов Р.Г. Принципы и уравнения динамики механических систем: Учебное пособие. - Нижневартовск. Изд-во Нижневарт. гос. ун-та, 2013. 135 с. ' .

19.Мухарлямов Р.Г. Моделирование процессов управления,устойчивость и

стабилизация систем с программными связями. // Известия РАН. Теория и системы управления. 2015. №.1. С. 15-28. • •

20.Мухарлямов Р.Г. О численном решении уравнений экстремалей вариационной задачи с ограничениями. // Известия вузов. Математика. 2002. 4(479)! С. 36-43.

21.Мухарлямов Р.Г. Уравнения движения механических систем. Изд-во РУДН. 2001. ;

22.Мухарлямов Р.Г. Управление динамикой систем с программными связями. // Механика тевердого тела. 2007. 37. С. 164-174.

23.НеймаркЮ. И. Фуфаев Н.А. Динамика неголономных систем. Главная редакция физико-математической литратуры. Изд-во Наука. 1967.

24.Розенблат Г. М. Вибрационная стабилизация неустойчивых систем, описываемых дифференциальным уравнением произвольного порядка / Г. М. Розенблат // Автоматика и телемеханика. - 1985. - № 4. - С. 41-48.

25.Розенблат Г. М. О параметрической стабилизации многозвенного • обращенного маятника / Г. М. Розенблат // Автоматика и телемеханика. -

1985. -№3.- С. 162-165.

26.Розенблат Г. М. Оптимальная параметрическая стабилизация обращенного маятника / Г. М. Розенблат // Applied mathematics and mechanics. - 1981. — Т. 45. - №. 1.-C.63.

27. Суслов Г.К. Теоретическая механика. Государственное изд-во технико-теоретической литературы. Москва. 1946.

28.Четаев Н.Г. Теоретическая механика. Москва. Изд-во «Наука». 1987. 29.Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Изд-во «Наука». Москва. 1965.

30.Alexei Deriglazov. Classical Mechanics: Hamiltonian and Lagrangian Formalism. Springer-Verlag. Berlin. 2010.

31.Arabyan A., F. Wu. An Improved Formulation for Constrained Mechanical Systems. // Multibody System Dynamics. 1998. №.2. Pp. 49-69.

32. Ardema M.D. Analytical Dynamics: Theory and Applications. Kluwer Academic. Plenum Publishers. New York. 2005.

33.Borisov A.V., Mamaev I.S. Conservation Laws: Hierarchy of Dynamics and Explicit Integration of Nonholonomic Systems. // Journal of Regular & Chaotic Dynamics. Vol. 13. №.5, 2008. Pp. 443-490.

34.Brian Fabien. Analytical System Dynamics: Modeling and Simulation. Springer - New York. 2009.

35.'Christo Boyadjiev. Theoretical Chemical Engineering. Springer-Verleg Berlin Heidelberg. 2010.

f ■ . _ ' • < ■ ■

36.De'Jalon J.G., Bayo E. Kinematic and Dynamic Simulation of Multibody Systems. Springer-Verlag. 1988; . •:.

37.Dieter Strauch. Classical Mechanics: An Introduction. Springer-Verlag. Berlin. 2009.

38.Edwadia F.E. Recent Advances in Multi-body Dynamics and Nonlinear Control. // ABCM. Vol. 28. №.3,2006. Pp. 311-315. 1 ;

39.Farid Amirouche. Fundamentals of Multibody Dynamics: Theory and Applications. Birkha user Boston. 2006.

40.Fenton J.D. Numerical methods..// Vienna U. T. Karlsplatz 13/222. Vienna. Austria. 2010. Pp. 19-22.

41.Flannery M.R. D'Alembert-Lagrange Analytical Dynamics for Nonholonomic Systems. // Journal of mathematical physics. 2011. 52.032705(1-29).

42;Flores P., Pereira R., Machado M. and Seabra E. Investigation on the Baumgarte Stabilization Method for Dynamic Analysis of Constrained Multibody Systems. // ■ Proceedings of EUCOMES 08. Springer Science+Business Media B.V. 2009. Pp. • 305-312. , ■ •

*' th

43.Florian Scheck. Mechanics: From Newton's Laws to Deterministic Chaos. 5 edition. Springer-Verlag. 2007. ' /

44.Gonzalez F., Kovecsces J. Use of Penalty Formulations in Dynamic Simulation and Analysis of Redundantly Constrained Multibody Systems. Springer Science + Business Media. 2012. . •

45.Gonzalez O. Mechanical Systems Subjected to Holonomic Constraints: Differential-Algebraic Formulations and Conservative Integration. II Elsevier. Physics Journal. 1999: 132 165-174. ■ '

*46.Gorize D. Numerical Methods to Solve Ordinary Differential Equations. // P.J.

Brief Bioinform. 2009. 10:53-64. ' ' •

■47.Jorge A.C. Advances in Computational Multibody Systems. Springer Netherlands.

/2005. : • ; ; * •

• ' ' ' . , - * 1 • 100 " '

48.Joris Naudet and Dirk Lefeber. Recursive Algorithm based on Canonical Momenta for Forward Dynamics of Multibody Systems. // Numerical Results: Proceedings of IDETC/CIE. 2005. Pp. 24-28.

49. Krupkova O. Nonconservative Mechanical Systems with Nonholonomic Constraints. // Science China; Physics, Mechanics & Astronomy. 2012. Vol. 55 № .8. Pp. 1475-1484.

50. Kutta_Methods, http://en.wikinedia.org/wiki/Runge%E2%80%93.

51.Lakoba T. Runge-Kutta Methods. // University of Vermont. 2006. Pp. 15-20.

52.Lam S.H. On Lagrangian Dynamics and its Control Formulations. Princeton University New Jersey. 1998.

53.Lawrence Perko. Differential Equations and Dynamical Systems. // SpringerVerlag. New York. 2001. Pp. 105-116.

54.Layton R.A. Principles of Analytical System Dynamics. Springer. 1998.

55.Leonard Meirovitch. Methods of Analytical Dynamics. MeGram-Hill Book Company. 1970.

56.Liejun Xie. A Criterion for Hurwitz Polynomials and its Applications. // I.J.Modern Education and Computer Science. 2011. №. 1. Pp. 38-44.

57. Liu C. Q. Huston R. L. Another Form of Equations of Motion for Constrained Multibody Systems. Springer Science+Business Media B.V. 2007.

58.Magnitskii N.A. New Approach to the Analysis of Hamiltonian and Conservative Systems, Differential Equations. // Moscow. 2008. Vol.44. №.12. Pp. 1618-1627.

59.Magnitskii N.A. Nonclassical Approach to the Analysis of Hamiltonian and Conservative Systems. Springer New Work. 2008.

60.Martynyuk A.A. Stability by Liapunov's Matrix Function Method with Applications. Macel Dekker. 1998.

61.Maruskin, J.M. On the Dynamical Propagation of Subvolumes and on the. Geometry and Variational Principles of Nonholonomic Systems: PHD thesis. University of Michigan (Applied and Interdisciplinary Mathematics). 2008.

62.Mathematical Model. http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical model. -

101

63. Mukharlyamov R. G., Beshaw A. W. Solving Differential Equations of Motion for Constrained Mechanical Systems. // Bulletin of PFUR. Series Maths. Info. Sc. Phy.№. 3,2013. Pp. 13-23.

64.Mukharlyamov R. G. On the Construction of Differential Equations of Motion of Constrained Mechanical Systems. // Differential Equations. Springer Vol. 39. №. 3, 2003. Pp. 369-380.

65.Mukharlyamov R. G. On the Equations of Kinematics and Dynamics of Constrained Mechanical Systems. // Multibody System Dynamics. №. 6, .2001. Pp. 17-28.

66.Mukharlyamov R. G. Stabilization of the Motions of Mechanical Systems in Prescribed Phase-Space Manifolds. // Applied Mathematics and Mechanics. 2006. Pp. 210-222.

67.Mukharlyamov R.G. Differential-Algebraic Equations of Programmed Motions of Lagrangian Dynamical System. // ISSN 0025-6544. Mechanics of Solids. Vol. 46. №. 4, 2011. Pp. 534-543.

68.Musa H., Ibrahim Saidu, M. Waziri Y. A Simplified Derivation and Analysis of Fourth Order Runge-Kutta Method. // International Journal of Computer Applications (0975 - 8887). Vol. 9. №.8,2010. Pp. 51-55. ^

69.Numerical Methods for Ordinary Differential Equations. http://en.wikipedia.org/wiki/Numerical methods for ordinary differential equati ons.

70. Robinson J.C. An Introduction to Ordinary Differential Equations. I I Cambridge University Press. 2004. Pp. 314-316. •

71.Siili E. Numerical Solution of Ordinary Differential Equations. Geometric Tools. LLC. 2008. v ' .

72.Teodorescu P.P. Mechanical Systems; Classical Models. • Volume I: Particle

• i,«. • ' ■ ' • - . ■•'•.''.■.,' • ■'.' ■ ,.

Mechanics. Springer. 2007. •

73.Teodorescu P.P. Mechanical Systems: Classical Models. Volume II: Mechanics of

• Discrete and Continuous Systems. Springer Science+Business Media B.V. 2009.'

• : 102 v

74.Teodorescu P.P. Mechanical Systems: Classical Models, Volume III: Analytical Mechanics. Springer Science+Business Media B.V. 2009.

75.Udwadia F. E. Equations of Motion for Constrained Multibody Systems and their Control. // Springer Science+Business Media. Journal of Opt. Theory and App.: Vol. 127. №. 3, 2005. Pp. 27-638.

76.Udwadia F.E., Kalaba R.E. Explicit Equations of Motion for Mechanical Systems with Nonideal Constraints. //Journal of Mechanics. Vol. 68, 2001. Pp. 462-467. •

77.Udwadia F.E., Kalaba R.E. Nonideal Constraints and Lagrangian Dynamics. // Journal of Aerospace Engineering. 2000. Pp. 17-22.

78.Udwadia F.E., Schutte A. D. Equations of Motion for General Constrained Systems in Lagrangian Mechanics. // Springer-Verlag. 2010. Pp. 111-129.

79.Udwadia F.E., Wanichanon T. On General Nonlinear Constrained Mechanical Systems. //Journal of Control and Optimization. Vol.3. №.3, 2001. Pp.425-443.

80. Vladimir G.I., Tijana T.I. Geometrical Dynamics of Complex Systems. Springer Netherlands. 2006.

81.Voskrenskii E.V. On Stability of Programmed Motion. // Ukrainian Mathematical Journal. Vol.55. №.11,2003. Pp. 1742-1753.

82.Walter Greiner. Classical Mechanics: Point Particles and Relativity. SpringerVerlag. 2004.

83.Walter Greiner. Classical Mechanics: Systems of Particles and Hamiltonian Dynamics. Springer-Verlag. Berlin. 2010.

84.Wu F., Arabyan A. An Improved Formulation for Constrained Mechanical Systems. // Kluwer Academic Pub. 1998. Pp. 49-69.

85.Zhao Weijia, Pan .Zhenkuan, Wang Yibing. An Automatic Constraint Violation Stabilization Method for Differential-Algebraic Equations of Motion in Multibody System, Dynamics. // Journal of Applied Mathematics and Mechanics. Vol. 21. №.1,2000. Pp. 103-108.