Моделирование динамики и управление механической системой со связями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат наук Дересса Чернет Туге

• Дересса Чернет Туге
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Дересса Чернет Туге

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ГОЛОНОМНОЙ СИСТЕМЫ С СИНГУЛЯРНОЙ МАТРИЦЕЙ ЯКОБИ И СИНГУЛЯРНОЙ МАТРИЦЕЙ ИНЕРЦИИ

1.1. Постановка Задачи

1.2. Построение уравнений движения голономных систем

1.2.1. Определение ускорений и множителей Лагранжа

1.3. Выводы

Глава 2 СТАБИЛИЗАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С СИНГУЛЯРНОЙ МАТРИЦЕЙ ЯКОБИ И СИНГУЛЯРНОЙ МАТРИЦЕЙ ИНЕРЦИИ

2.1. Постановка Задачи-------------------------

2.2. Основные понятия теории устойчивости

2.2.1. Прямой метод Ляпунова

2.2.2. Косвенный метод Ляпунова

2.3. Стабилизация связей динамической системы

2.3.1 Модификация метода стабилизации связей Баумгарта

2.4.Модификация уравнений Лагранжа для стабилизации связей

2.5.Вывод ы

Глава 3. НЕГОЛОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ И ДИНАМИКА

МОБИЛЬНОГО РОБОТА

3.1. Неголономные системы и управляемость

3.2. Двухколёсный мобильный робот и его связи.—

3.3. Кинематические уравнения двухколёсного мобильного робота

3.4.Приведение уравнений динамики связанной динамической системы

к уравнениям управляемой системы

3.5. Уравнение дунамики двухколёсного мобильного робота

3.6. Выводы--------------------------------------------------------------------—

Глава 4. УПРАВЛЕНИЕ ПРОГРАММНЫМ ДВИЖЕНИЕМ НЕГОЛОНОМНОЙ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА ВДОЛЬ

ТРАЕКТОРИИ

4.1.Постановка задачи

4.2.Уравнения динамики системы с неголономными связями

высшего порядка

4.3.У правление программным движением по траектории слежения

4.4. Выводы-

Основные результаты работы

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование динамики и управление механической системой со связями»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. В современном мире предъявляются высокие требования к быстродействию и качеству работы управляемых систем. Разработка рекомендаций к проектированию динамических систем, удовлетворяющих этим условиям, является одним из существенных потребностей современной механики и теории управления. Решение этих задач сводится к проектированию динамической системы как управляемой системы и обеспечивается методами прикладной математики и механики.

В целом конструкция управляемой системы включает:

❖ идентификацию входных и выходных параметров. ♦> моделирование процессов функционирования системы. ♦> ограничения, накладываемые на фазовые координаты и управляющие параметры.

Идентификация входных и выходных параметров относится к физическим величинам, которые характеризуют поведение управляемой системы. Например, этими переменными могут быть перемещение, скорость и др. Кроме того, должны быть идентифицированы те переменные, которые влияют на поведение системной продукции. Эти переменные рассматриваются как входные воздействия и идентифицируются как усилия, например, вращающий момент, сила, и др.

Моделирование процессов функционирования системы сводится к построению уравнений динамики, связывающих входные воздействия и выходные переменные, а также исследование и решение построенной системы уравнений. Модели сосредоточенных динамических систем в

аналитической форме описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, полученными на основе принципов механики.

Ограничения, накладываемые на фазовые координаты и управляющие параметры, составляют требования, предъявляемые к системе управления, и представляют собой неизбежные особенности системы, которые необходимо учитывать для достижения целей управления, таких как:

❖ обеспечение заданного режима работы (управление

движением),

♦♦♦ обеспечение устойчивости функционирования системы.

Требование устойчивости режима работы системы важно как для функционирования системы, так и для моделирования динамики. Это фундаментальное понятие теории управления в основном сводится к обеспечению работы системы в заданном режиме или с заданными пределами отклонения от него. Таким образом, процесс управления сводится к исследованию динамики и конструированию управляющих воздействий при различных ограничениях.

Уравнения динамики механической системы следуют из принципов динамики с учётом связей, ограничивающих перемещения ее точек. В случае, когда уравнения связей допускает выражение фазовых координат системы через обобщённые координат и скорости, уравнения динамики могут быть описаны системой дифференциальных уравнений относительно этих обобщённых координат, и проблема стабилизации связей не возникает. В случае, когда уравнения динамики записываются непосредственно через координаты системы и в случае связей, наложенных на обобщённые координаты и скорости, используются множители Лагранжа.

В этом случае при численном решении уравнений динамики возникают погрешности в выполнении уравнений связей, что приводит к проблеме стабилизации связей. Задача стабилизации связей была сформулирована в работе [9] J.Baumgart в 1972 г. и сводилась к использованию линейной комбинации левых частей уравнений связей и их производных.

Последующие модификации метода, предложенные U.Ascher, H.Chin, L. R. Petzold, S. Reich, [30], [31] F.Amiroche, E.Bayo, R.Lendesma [10], [29] и др. состояли в подборе постоянных коэффициентов этой комбинации. Р.Г. Мухарлямовым было [1], [2], [18], [23], [69] предложено для решения задачи стабилизации связей исходить из рассмотрения уравнений связей как частных интегралов уравнений динамики и использовать для определения множителей Лагранжа методы построения дифференциальных уравнений по известным интегралам и их численного решения. А.С.Галиуллиным было подчёркнуто, что [13], [62], [68], [76] неоднозначное решение задачи построения дифференциальных уравнений позволяет накладывать дополнительные условия на правые части уравнений динамки.

Различные направления решения обратных задач динамики были исследованы в работах А.С.Галиуллина, И.А.Галиуллина, И.А.Мухаметзянова, Р.Г.Мухарлямова и их [13], [12], [76] последователей. Необходимым условием задачи стабилизации связей является требование асимптотической устойчивости решений уравнений динамики по отношению к уравнениям связей и соответствующие оценки отклонений. Решение задачи стабилизации связей приводит к удовлетворительному результату в случае, когда матрица инерции и матрица Якоби, соответствующая уравнениям связей, имеют полный ранг. В сингулярных

случаях задача требует разработки соответствующих методов. Разработке общей теории систем дифференциально-алгебраических уравнений, составленных из уравнений динамики и уравнений связей, посвящены работы [25], [27] Ю.Е.Бояринцева, В.А.Данилова, А.А.Логинова, В.Ф. Чистякова , S.L.Campbell и др.

Исследованию уравнений движения механических систем с сингулярными матрицами инерции, посвящены работы [10], [17] F.E.Udwadia, Е.Вауо, R.Lendesma, и.др. Для разработки методов и построения алгоритмов решения задачи стабилизации связей требуется развитие численных методов, особенно в сингулярных случаях.

Принцип Даламбера-Лагранжа позволяет построить уравнения динамики голономных и неголономных систем произвольного порядка.На практике использование этого принципа ограничивается идеальными голономными и линейными неголономными связями первого порядка. В 2011 году принцип Даламбера-Лагранжа непосредственно был использован для построения уравнений динамики системы со связями, зависящими от скоростей и ускорений в работах [71] M.R.Flannery. Задачами, связанными с программным движением [11], [35], [62], [63], [65], [66], [67], занимались А.С.Галиуллин, Р.Г.Мухарлямов, И.А. Мухаметзянов, Н.В.Абрамов, E.Jarzebowska и др.

Формирование механизма управления траекторией слежения неголономной системы, уравнения связей которой содержат вторые производные координат, остаются мало изученными. Решению совокупности описанных актуальных задач и посвящена данная диссертационная работа

В диссертации исследуются задачи динамики и управления механическими системами, на которые наложены голономные и неголономные связи. Работа направлена на решение трёх основных задач: моделирование динамики, определение условий устойчивости и конструирование управления, обеспечивающего стабилизацию связей. Для построения аналитической модели динамической системы используются уравнения Лагранжа. Тщательно исследуется задача стабилизации связей и определяются способы решения этой проблемы. Предлагается модификация метода Баумгарта, направленного на ограничение погрешностей выполнения уравнений связей при численном решении уравнений движения в форме уравнений Лагранжа. Модификация заключается в использовании параметров, оценивающих отклонения от уравнений связей, и построения дифференциальных уравнений возмущений связей, обеспечивающих асимптотическую устойчивость и ограниченность тривиального решения при численном решении уравнений динамики.

В научной литературе широко рассмотрены вопросы динамики систем с линейными относительно скоростей неголономными связями. Эти исследования позволяют решать задачи управления движением по траектории. В данной работе предлагается решение задачи управления по траектории, на которую накладываются ограничения по ускорениям. Методы моделирования, предлагаемые в работе, направлены на обеспечение устойчивости численного решения уравнений динамики по отношению к уравнениям связей, что составляет актуальную задачу современной механики, теории управления и вычислительной математики.

Таким образом, актуальность темы диссертации может быть основана на следующих положениях:

♦> потребность современной науки и техники в исследованиях динамики и решении задачи динамики механических систем со связями.

❖ установление способов построения уравнений динамики голономной системы с сингулярной матрицей Якоби и сингулярной матрицей инерции.

♦> установление способов построения траекторий посредством связей, зависящих от производных второго порядка, и решение задачи управления движением по этой траектории.

❖ потребность в решении прикладных задач управления системами различной физической природы по аналогии с решением задач динамики механических систем.

Целью диссертационной работы является: моделирование динамики управляемой системы с ограничениями на фазовые координаты в случае особой матрицы Якоби и особой матрицы инерции; модификация уравнений Лагранжа, обеспечивающих стабилизацию связей при численном решении уравнений динамики; решение задачи управления динамикой системы с ограничениями, зависящими от производных второго порядка; динамическое моделирование манипуляторов и двухколёсных мобильных роботов.

Методы исследования:

❖ использование принципов и способов составления уравнений движения механических систем для построения уравнений динамики систем различной физической природы.

❖ современных методы и алгоритмы построения уравнений динамики с учётом стабилизации связей.

❖ основные положения теории дифференциальных уравнений и теории устойчивости. Методы решения обратных задач

качественной теории дифференциальных уравнений и их применение для построения уравнений неголономных связей.

❖ методы и алгоритмы определения управляющих воздействий.

Достоверность полученных результатов: определяется подтверждением правильности построения математических моделей и их модификации, точностью разработанных методов решения задачи стабилизации и управления. Полученные результаты математически доказаны на основе известных положений механики и математики. Более того, моделирование, проведённое в работе, основано на общепринятых правилах механики и математики с использованием известного программного обеспечения системы МАТЪАВ 2012а.

Личный вклад автора состоит в формулировке задач и целей исследования; в разработке модифицированных способов стабилизации; в моделировании динамических систем с сингулярной матрицей Якоби и сингулярной матрицей инерции; в разработке новых способов управления программным движением и численного моделирования аналитических результатов.

Научная новизна:

❖ сформулированы необходимые и достаточные условия разрешимости уравнений динамики относительно ускорений и множителей Лагранжа в сингулярных случаях.

❖ разработаны методы составления уравнений динамики с учётом стабилизации связей в случае голономной системы с сингулярной матрицей Якоби и сингулярной матрицей инерции.

♦♦♦ предложены новые методы построения уравнений связей, соответствующих требованиям программы функционирования системы.

♦ построен алгоритм решения задачи управления, обеспечивающего стабилизацию связей. Предложенный алгоритм охватывает метод Баумгарта и его модификации в формализме Лагранжа.

♦ разработаны методы синтеза управления движением по траектории, определяемой связями, зависящими от производных второго порядка.

Практическая ценность работы:

I* разработанные в работе методы построения уравнений связей и уравнений динамики позволяют моделировать динамику управляемых систем, содержащих элементы различной природы, предложенные методы решения задачи управления позволяют построить эффективный алгоритм решения задачи управления динамикой робототехнических, транспортных, технологических и других систем

предлагаемые алгоритмы стабилизации решения системы по отношению к уравнениям связей позволяют использовать сравнительно простые численные методы решения уравнений динамики связанных систем, обеспечивающих заданную точность на всем промежутке времени функционирования, решение задачи управления программным движением с уравнениями неголономных связей, содержащих производные второго порядка, существенно расширяет сферу приложения результатов исследований по управлению программным движением.

в целом, результаты диссертации могут быть использованы при исследовании систем управления, решении задач моделирования и стабилизации систем различной природы.

Реализация результатов: обеспечивается:

❖ использованием допустимых математических моделей, основанных на теории нелинейных дифференциальных уравнений, обыкновенных дифференциальных уравнений, принципов механики, управления и теории устойчивости.

♦♦♦ предоставлением математических доказательств результатов.

❖ моделированием результатов аналитических исследований с использованием современных программных систем МАТЪАВ 2012а.

Апробация работы: основные результаты диссертационной работы были представлены и обсуждались на:

❖ научных семинарах в Российском университете дружбы народов, организованных кафедрой теоретической механики и кафедрой теоретической физики и механики. ♦> на Международной научной конференции, посвященной 15-

летию Филиала ЮУРГУ в г. Нижневартовске, 22 фев.2013 г. ♦> на Ь Всероссийской конференции по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и оптоэлектроники. Россия, г. Москва, 13-16 мая 2014 г.

Публикации: по теме диссертации опубликовано 6 статей, 4 из которых - в журналах, рекомендованных ВАК, 2 - обсуждались на международных конференциях и опубликованы в материалах конференций.

Структура и объём диссертации: диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы из 78 наименований, 13 рисунков. Полный объём диссертации составляет 100 страниц машинописного текста.

Глава 1.

УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ГОЛОНОМНОЙ СИСТЕМЫ С СИНГУЛЯРНОЙ МАТРИЦЕЙ ЯКОБИ И СИНГУЛЯРНОЙ

МАТРИЦЕЙ ИНЕРЦИИ

В первой главе излагается решение задачи построения уравнений динамики голономной системы с особой матрицы Якоби и с особой матрицы инерции. В работе проведено исследование различных методов решения задач, связанных с особыми случаями матрицы Якоби и с особыми случаями матрицы инерции. Установлены необходимые и достаточные условия приведения особых уравнений динамики к случаю не особых уравнений динамики. Приводятся результаты исследований и пример, демонстрирующий применение разработанных методов.

1.1. Постановка задачи

Рассмотрим механическую [1], [2] систему, конфигурация которой описывается вектором обобщённых координат q = ( , ц2 ,..., qn )теЖ. Здесь Ж - п-мерное пространство конфигураций. Обобщённые скорости в точке траектории определяются вектором д = (¿¡1, ц2, •■•, ¿¡п)Т>

принадлежащим пространству, касательному к пространству Ж. Движения механической системы обычно непрерывно ограничиваются связями во все время движения. Связи имеют форму алгебраических соотношений между положениями и скоростями точек системы. Иначе говоря, связи ограничивают набор путей, по которыми система может следовать [2]. Известно, что существует [2], [3], [4], [ 5] два типа связей, которые называются голономными и неголономными связями.

Голономные связи могут быть естественными, то есть ограничениями со стороны внешних условий или могут быть наложены на

механическую систему искусственно [2], [5] в качестве цели управления. Они определяются аналитически в виде соотношений, накладываемых на координаты системы:

01 (<?) = 0; ¿ = 1,2,...,т, т < п. (1.1)

Если система подвергается т голономным независимым связям п — т обобщенных координат являются достаточными для обеспечения полного описания конфигурации системы. То есть, т обобщенные координаты могут быть устранены и степень свободы системы становится равной п — т. В этом случае матрица Якоби, приведённая ниже, имеет полный ранг,

-дф! Эфг-1

дф _ дq1 дЦп

Зфт дфт

дЯ\ -

Общая форма представления неголономных связей обсуждаются в последующих главах. Здесь мы вводим линейные неголономные связи первого порядка.

Линейные неголономные связи первого порядка представлены [2], [5] аналитическими соотношениями между координатами q и скоростями ¿¡:

п

(д)с7у + а< = 0,1 = 1,..., к < п (1.2)

7=1

и ограничивают мгновенное допустимое движение механической системы, уменьшая набор обобщённых скоростей, которые могут соответствовать каждой конфигурации. Связи, зависящие от скоростей, в классической механике делятся на две части: геометрические связи и кинематические связи.

Определение 1.1. Связи (1.2), которые могут [1], [2] быть проинтегрированы, чтобы получить ограничения на положения системы, то есть ограничения могут быть приведены к виду (1.1), являются геометрическими связями. Связи, для которых интегрирование невозможно, называются кинематическими связями, и соответствующая система является неголономной системой.

Моделирование движения механической системы может быть сделано несколькими эквивалентными методами. Например, метод множителей Лагранжа и метод нуль - пространства (пиНзрасе) являются некоторыми из них [6], [7], [8]. Каждый из этих методов приводит к множеству дифференциально-алгебраических уравнений. Множество дифференциально-алгебраических уравнений, связывающих координаты и скорости системы, и учёт этих ограничений при решении уравнений движения приводят к проблеме устойчивости и стабилизации связей. Для решения этих проблем обычно используются различные стратегии: метод разделения координат [7], метод стабилизации Баумгарта [9] и масс -ортогональные проекции положений и скоростей векторов [10].

В дополнение к задачам устойчивости связанных механических систем, возникают проблемы, связанные с особыми матрицами Якоби и с особыми матрицами инерции, что также является актуальным при решении конкретных задач.

Ранг матрицы Якоби становится дефицитным в случае, когда:

❖ некоторые из уравнений связей [7], [10] зависят от остальных.

❖ число уравнений связей больше чем число неизвестных, и уравнения связей зависимы между собой, особенно в прямоугольных координатах.

❖ механическая система достигает [7], [10] конфигурации, в которой происходит резкое изменение числа степеней свободы (увеличение степени свободы системы). Например, кривошипно-шатунный

механизм достигает сингулярной конфигурации, когда два звена

находятся в вертикальном положении.

Сингулярные1 матрицы инерции могут также появиться, когда для определения положения твёрдого тела в П&3 используется более шести координат [7], [10]. Далее будет показано, что случай, когда матрица Якоби и матрица инерции не имеют полного ранга, не так уж редко встречается в реальности.

Таким образом, становится очевидной необходимость разработки методов исследования проблем, связанных с изменением числа степеней свободы при решении системы уравнений движения механической системы. В случае особых матриц инерции и особых матриц Якоби определение ускорений и решение уравнений динамики может оказаться невозможным.

Поэтому главной целью этой главы является исследование различных методов решения задач, связанных с особыми матрицами инерции и с особыми случаями матрицы Якоби. Кроме того, сформулированы необходимые и достаточные условия разрешимости уравнений динамики относительно ускорений и множителей Лагранжа в сингулярных случаях.

1.2. Построение уравнений движения голономных систем

Рассматривается механическая система, положение которой определяется обобщёнными координатами Ч\,Ч2> — >Чп и на которую наложено т голономных связей, т < п. Уравнения связей записаны в векторном виде:

Ф(д, 0=0, я = [цъ <?2>..., цп]Т . (1.5)

Пусть динамика системы описывается уравнениями Лагранжа [1], [8], [11], [12], [13], [14]:

'В этом документе прилагательные "сингулярный" и "особый" используются как синонимы.

d [dL\ di _

Здесь! = L(q,q) = T(jq,q)- V (q)- лагранжиан системы,

Т{ч,ч)=\чтмш, (1.7)

кинетическая энергия, V = V (qr) - потенциальная энергия системы, Qex — вектор обобщённых внешних сил, Л - вектор множителей Лагранжа. Будем считать, что М = M(q) - матрица инерции является квадратной, симметричной и положительно определённой. Так как L = Т — V имеем:

Тогда уравнение (1.6) можно записать в виде :

Mq + фтдА = Lq + Qex - Mq , (1.9)

_ dL L4 ~д~q

Перепишем (1.9), обозначив Q = Lq + Qex — Mq ,

Mq + (¡)Tq¿ = Q (1.10)

Векторы положения, скорости и ускорения в уравнении (1.9) должны удовлетворять уравнениям, соответствующим связям (1.5):

0(q,t)=O (1.11а)

<¿> = <M + 0t =0 . (1.11b)

Ф = ФчЯ + Фч<1+Фь =0 . (1.11с)

Уравнения (1.11а) - (1.11с), (1.10) вместе [15] составляет п + m дифференциально - алгебраические уравнения индекса 3 относительно неизвестных вьгражений векторов, q и Я. Однако если используются только уравнения (1.11с) и (1.10), они составляют систему дифференциально-алгебраических уравнений, что эквивалентно обычной системе дифференциальных уравнений. Эта система называется [2], [3], [7] системой уравнений Лагранжа:

м ч т

Фя 0 ш к]

(1.12)

где ^ = -фí - фд ({.

Система дифференциальных уравнений (1.12) приводит к проблеме стабилизации связи. Введение ограничений на положения, скорости и ускорения, приводит к явлению накопления ошибок при численном интегрировании уравнений динамики. Одним из решений проблем стабилизации является метод Баумгарта. Приведём краткое обсуждение метода Баумгарта, и в главе 2 будет предложена некоторая его модификация.

Для обеспечения стабилизации уравнений связей Баумгарт [9] предлагает заменить ф в уравнении (1.11с) выражением:

ф + 2аф + ¡32ф = 0 , (1.13)

где, а и Р положительные константы. После замены ф получаем:

ФцЧ = ~М<М + Ф( ) - Р2Ф ~ Фч Ч~Фь ■

Подставляя Е = —+ ф^ — (32ф — фд Ц—ф1, имеем

ФЧЯ = 5 • (1-14)

Учитывая уравнения (1.10) и (1.14), получаем уравнения динамики системы, приведённые к виду:

М 0ФцУ Фа О

и - ®

(1.15)

Уравнения (1.15) составляют систему т + п обыкновенных дифференциальных уравнений индекса 1 с неизвестными выражениями векторов д и Л. В случае, когда матрица инерции М является особой, и матрица Якоби не имеет полного ранга, условия существования и единственности выражения векторов д и Л не становятся очевидными.

1.2.1. Определение ускорений и множителей Лагранжа

Если матрица инерции М является положительно определенной, и матрица Якоби фя имеет полный ранг,

М = Мт Е е M.mxn,paHr(M) = п,ранг(фд) = т, то значение q

определяется из уравнения (1.10):

q = М_1<? - (1.16)

Подставляя (1.16) в (1.14), получаем:

(ФЧМ-1Ф5)Я = фчМ-^ - Е . (1.17)

Из (1.17) получим :

Л = [^М-^ГЧ^М-1«? - S] . (1.18)

Определяя величину Л из (1.18) и подставляя в уравнение (1.16), можно определить соответствующую величину q\

q = [M-XQ - М^фЦ^М-1 ф^ФдМ-^]

+ М~1фТч(фС1М-1фТчу1Е. (1.19) В сингулярных случаях для определения ускорения и множителей Лагранжа используются различные способы.

Способ I: Если матрица Якоби, соответствующая уравнению (1.5), не обладает полным рангом, можно определить результирующую силу реакции связи Фтч Л. Однако, вследствие сингулярности матрицы Якоби не представляется возможным найти выражения [7], [16], [17], [18] каждого из множителей Лагранжа,ц = 1,2,...,т.

В этом случае для определения множителей Лагранжа \¡1> ¡i = 1,2, ...,т, предлагается использовать следующий алгоритм. Пусть, фд Е Шпхт, рангфТц = г < т, и произведение фТцЛ представляет некоторый вектор Н:

ф\Л = Н. (1.20)

Общее решение, определяемое методом [16] минимальной нормы решения уравнения (1.20) с использованием обобщённой обратной матрицы, определяется по формуле:

я = {фтчун + [/ - 0£)+(Ф;)] л. (1.21)

Здесь / - п х л — единичная матрица, rj £ Enxl - произвольный вектор, и

ФТа[1-(ФТя)+(ФТя)] = °-

С другой стороны, равенство (1.21) можно разложить [15],[16] в качестве:

X = ?L0 + NT], (1.22)

где Я0 = ~ минимальная норма решения, которое минимизирует

||0;Яо - Н\\2 и ||Яо1|2, N = I — 0$)+(Ф5) 6 kerOJ).

Так как матрица В = фтц не имеет полного ранга (ранг(В) < min(rn,ri)), применяется метод сингулярного разложения (англ. singular value decomposition, SVD), и в этом случае, В+ можно определить следующим образом. Применяя сингулярное разложение, матрицу В можно представить как:

В = USVT,

где U — п х п и V — m х m квадратные ортогональные матрицы и 5 имеет размер п х т. Прямоугольная матрица 5 имеет ненулевые элементы только по направлению диагонали и, следовательно, вычисление обобщенной обратной матрицы 5+, является тривиальным [16]. Обобщённая обратная матрица определяется [15] как: В+ = VS+UT, где отношение UT = t/_1, VT = Vсправедливо для ортогональных матриц, и:

=

т уг)

sri о

О о

Матрица содержит обратные ненулевые собственные значения вдоль главной диагонали. В этом случае, матрица В является ранг дефицитной, и уравнение (1.20) имеет бесконечное число решений, которые выражаются равенствами (1.21).

Применяя описанный выше метод, к уравнению (1.17), предполагая, что фтч является ранг дефицитной, получаем значение Я, которое определяется выражением:

+ [/ - (фдМ-^ - Е)+(фчМ~^ - Я)] и. (1.23)

Здесь, и - произвольный вектор.

Используя различные значения и можно получить бесконечное множество значений Я. Подставляя и = О в уравнение (1.23), получим решение минимальной нормы:

Я =

Соответствующее значение д определяется из уравнения (1.16).

Замечанием: Если В имеет полный ранг (ранг(Я) = т) затем, В+ = Вт (ВВ7)-1 и, следовательно, уравнение (1.21) сводится к виду, Я = Я0 = В1 (ВВТ ) Н = В+ Н , поскольку I - В+ В = 0. Поэтому, в данном случае имеем единственное решение Я = Я0 и если В- квадратная матрица и имеет полный ранг, то В+ = В~г и в этом случае нуль-пространство фтц содержит только нулевой вектор.

Способ II. Значение д может быть определено из уравнения (1.19) следующим образом. Исследование уравнения (1.19) показывает, что в случае, когда матрица Якоби, фя имеет максимальный ранг, обратная

матрица (фдМ_1(фч)г) 1 существует и значение ф может быть получено. В случае, когда ранг матрицы Якоби фч не является

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Дересса Чернет Туге, 2015 год

Список литературы

1. Mukharlyamov R.G. Stabilization of the motion of mechanical systems in prescribed phase- space manifolds. //Applied Mathematics and Mechanics. 2006. №. 70. C.210-222.

2. Мухарлямов P. Г. О построении систем дифференциальных уравнений движения несвободных механических систем . // Дифференциальные уравнения. 2003. Вып. 39. № 3. С. 343-353.

3. Абрамов Н.В., Мухарлямов Р.Г., Киргизбаев Ж.К.. Управление динамикой систем с программными связями: Монография. -Нижневартовск. Изд-во Нижневарт. гос. ун-та, 2013. 202 с.

4. Мухарлямов Р. Г. Моделирование несвободных; механических систем, // Вестник РУДН, сер. Прикладн. матем. и информ. -1996.-№2,-С. 34-37.

5. Pars L. A. A. Treatise on analytical dynamics. Heinemann London. 1965.

6. Мухарлямов Р.Г., Матухина O.B. Моделирование процессов управления, устойчивость и стабилизация // Вестник КГТУ, 2012. Т. 15, В. 12. С. 220-224.

7. Garcia de Jalon, Bayo E. Kinematic and Dynamic Simulation of Multi- body Systems: The Real-Time Challenge. Springer,Berlin, 1994.

8. Мухарлямов Р.Г. Принципы и уравнения динамики механических систем: учебное пособие. Изд-во ИВГУ 2013.

9. Baumgarte J. Stabilization of constraints and integrals of motion in dynamical system. //Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1972. №1:1-16.

Ю.Вауо E., Lendesma R. Augmented lagrangian and massorthogonal projection methods for constrained multibody dynamics. / / Applied Mathematics and Mechanics. 1996.№9,113-130.

11 .Мухарлямов Р.Г., Иоро Г., Абрамов Н.В., Уравнения программных Движений манипулярционных. //вестник РУДН.Серия Математика, информатика,физика. 2009. №.2.С. 79-89.

12.Галиуллин И.А. Построение динамических систем на многообразиях. //Дифференц. уравнения.1991.Т.27,№12.С.2053-2058.

13.Галиуллин А.С. Метод решения обратных задач динамики.М.:Наука,1986. Теоретическая механика. Т.1,2. М.: Физматгиз. 1960.

14.Маркеев А. П. Линейные гамильтоновы системы и некоторые задачи об устойчивости движения спутника относительно центра масс. М.Ижевск: НИЦ «РХД», 2009.

15.Мухарлямов Р.Л Уравения дивижения механических систем. М.: Изд-во РУДН 2001.

16.Abdi-Ben-Isrrael, Thomas Greville N.E. Generalized Inverse, Theory and Applications. Springer, New York, 2003.

17.Edwardian F.E., Phohomsiri P. (ed.). Explicit Equation of Motion for Constrained Mechanical Systems with Singular Mass matrices and Applications to Multibody Dynamics, London, 2006. //The Royal society ofLondon. Series A, №462, pp. 2097-2117.

18.Мухарлямов P. Г. Построение уравнений динамики механических систем с заданными свойствами движений. // Вестник РУДН, сер. Прикладн. матем. и информ. 2001. № 1.С. 21-31.

19.Mukharlyamov R.G., Deressa С. Т. Dynamic Equations of Controlled Mechanical System with Redundant Holonomic Constraints //Вестник Казанского технологического университета. 2014. Т.17. №.11. С.236-243.

20.Deressa С. Т. Equations of Mechanical Systems with Singular Coefficient Matrix. // Материалы Международной научно-практической конференции, посвященной 15 летию филиала ЮУРГУ в. Г. Нижневартовске; изд.-во НВГУ.2013. С.56-63.

21.Goldstein Н. Classical mechanics. Addison-Wesley, Massachusetts, 3rd edition, 2001.

22.Shabana A.A. Computational Dynamics, John Wiley and sons, INC, New York, 2001.

23.Мухарлямов P. Г. Численное моделирование в задачах механики // Вестник РУДН, сер. Прикладн. матем. и информ. 1995.№ 1.С. 13-28.

24.Mukharlyamov R.G. On the Equations of Kinematics and Dynamics of Constrained Mechanical Systems. // Multibody System Dynamics. 2001. № 6. C.17-28.

25. Campbell S.L. Canonical Forms and Solvable Singular Systems of Differential Equations // SIAM J. Alg. Discrete Methods. 1983. № 4. Pp. 517-521.

26.Маркеев А.П. Теоретическая механика: Учебник для высших учебных заведений.М.; Ижевск,2007.

27.Бояринцев Ю.Е., Данилов В.А., Логинов А.А., Чистяков В.Ф. . Численные методы решения сингулярных систем. Новосибирск: Наука, 1989.

28.Deressa С. Т. Constructing dynamic equations of constrained mechanical systems. //Bulletin of PFUR. Series Mathematics, Information Science, Physics, 2013. №3, pp 92-104.

29.Amiroche F. Fundamentals of Multibody Dynamics: Theory and Applications. Boston: Birkhauser.2006.

30.Ascher U. M., Petzold L. R. Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential Algebraic Equations. SIAM. 1999.

31.Ascher U., Chin H., Petzold L. R., Reich S. Stabilization of Constrained mechanical systems with DAEs and invariant manifolds. // Mechanics of structures and Machines. Math.67. 1994.pp. 131-149.

32.Красинская Э.М., Красинский А.Я. Об устойчивости и стабилизации неизолированных установившихся движений механических систем. Голономные http://technomag.bmstu.ru/doc/541146.html 371 системы // Прикладная математика и механика: сборник научных трудов. Ульяновск: УлГТУ, 2011. С. 301-322.

33.Мухаметзянов И. А. Абсолютная устойчивость программного положения манипулятора при релейном управлении // Проблемы механики управляемого движения. Пермь, 1983. С. 94 - 99.

34. Murray R. М., Zexiang Li. Shankar Sastry S. Mathematical Introduction to Robotic Manipulation. CRC Press, http://www.cds.caltech.edu/ murray/mlswiki. 1994.

35.Мухаметзянов И. А. Построение систем с асимптотически: устойчивыми программными связями // Прикладная математика и механикам 200г. Т.65. Вып. 5. С. 822-830.

36.Khalil Н. К. Nonlinear Systems.(3rd.ed.) . Prentice Hall. New Jersey. 2002.

37.Четаев Н.Г. Устойчивость движения. M.: Наука. 1965.

38.Красинский А .Я. Об устойчивости и стабилизации положений равновесия неголономных систем // Прикладная математика и механика. 1988. Т. 52. С. 194-202.

39.Marquez H.J. Nonlinear Control Systems,Analysis and Design. John Wiley & Sons, Inc. 2003.

40.Mukharlyamov R.G., Deressa С. T. Stabilization of Redundantly Constrained Dynamic System // Bulletin of PFUR. Series Mathematics, Information Science, Physics. 2015. No.l, Pp.60-72.

41.Borisov A.V., Mamaev, I.S. On the history of the development of the nonholonomic mechanics. //Regul.Chaotic Dyn. 2002. №.7 (l).pp. 43^7.

42.Bloch A.M. Nonholonomic mechanics and control, Interdisciplinary Applied Mathematics Series, vol. 24, Springer-Verlag, New York, 2003.

43.Arnold V.I., Kozlov, V.V., Neishtadt, A.I: Dynamical Systems III. Springer, Berlin. 1988.

44.Bruno Siciliano, Lorenzo Sciavicco, Luigi Villani, and Giuseppe Oriolo. Robotics - Modelling, Planning and Control. Springer-Verlag, London, 2009.

45.Mark W. Spong, Seth Hutchinson , Vidyasagar M. Robot Modeling and Control. John Wiley and Sons, Inc., New York. 2005 .

46.Мухарлямов Р.Г. О решении систем нелинейных уравнений. //Журнал выч.математики и матем. физики. 1971. Т.П. №4. С.688-699.

47.Матюхин В.И. Универсальные закон управления механическими системами. М.: МАКС Пресс.2001.

48.Ortega R., Loria A., Nicklason P.J., Sira-Ramirez H. Passivity based Control of Euler-Lagrange Systems Mechanical, Electrical and Electro mechanical Application. London:Springer- verlag 1998.

49.Cortés J. Geometric, control and numerical aspects of nonholonomic systems. Volume 1793 of Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin. 2002.

50.Sastry S. Nonlinear Systems Analysis, Stability and Control, Interdisciplinary Applied Mathematics, Volume 10, Springer-Verlag, New York. 1999.

51 .Mukharlyamov R. G. Simulation of control processes, stability and stabilization of systems with program constraints. // Journal of computer and systems sciences International. 2015. Vol. 54, No. 1, pp. 13-26.

52. Zhijun Li. Sam Ge Shuzhi. Fundamentals in Modeling and Control of Mobile Manipulators. CRC Press, Boca Raton , London New, York 2013.

53.Alexander J. C. , Maddocks J. H. On the kinematics of wheeled mobile robots. //Int. J. of Robotics Research 1989. №.8(5). pp. 15-27.

54. Campion G., Bastin G., d'Andréa Novel B. Structural properties and classification of kinematic and dynamic models of wheeled mobile robots, //IEEE Trans, on Robotics and Automation. 1996. №12(1). pp.47-62.

55. Siciliano В, Khatib О. Springer handbook of robotics: Springer-Verlag New York Inc,2008.

56.Campion G., d'Andrea Novel В., Bastin G. Controllability and state feedback stabilization of nonholonomic mechanical systems. In C. Canudas de Wit, editor, Lecture Notes in Control and Information Science. Pp. 106124, Springer-Verlag. 1991.

57. Rajankumar M. Bhatt, "Towards Modular Cooperation between Multiple

Nonholonomic Mobile Manipulators",Ph.D.dissertation, Univ. of New York at Buffalo, USA 2007. 58.3енкевич С.JT., Ющенко А. С. Основы управления манипуляционными роботами. Москва: Изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 480 с. 59.Spyros G. Tzafestas. Introduction to Mobile Robot Control. Elsevier London NW1 7BY.2014.

60.Bloch A.M., Marsdeny J.E., Zenkovz D.V. Nonholonomic dynamics.// Notices of the American Mathematical Society. 2005. №52. Pp. 324-333.

61.Manuel de León. A historical review on nonholomic mechanics. //H. RACSAM. 2012. №106.C.191-224.DOI 10.1007/sl3398-011-0046-2.

62. Галиуллин A.C., Мухаметзянов И.А. , Мухарлямов Р.Г., Фурасов В.Д. Построение систем программного движения.М.:Наука.1971.

63.Jarzebowska Е. "Dynamics modeling of nonholonomic mechanical systems: theory and applications." //Nonlinear Analysis. 2005. vol. 63, № 5(63). pp. el85-el97.

64. Bajodah A. Acceleration Constraints in Modeling and Control of Nonholonomic Systems: PHD Thesis, Georgia Institute of Technology. 2003.

65.Jarzebowska E. "On derivation of motion equations for systems with nonholonomic high-order program constraints." // Multibody System Dynamics. 2002. №3 (7). pp. 307-329.

66.Абрамов H. В. Управление системой с программными связями. М.: РУДН, 2008. - 105 с.

67.Jarzebowska Е. Stabilizability and Motion Tracking Conditions for Mechanical Nonholonomic Control Systems, //Mathematical Problems in Engineering.2007. №. 31267 (2007). 20 pages doi: 10.1155/2007/31267.

68.Галиуллин A.C. Аналитическая динамика.М.,1998.

69.Мухарлямов P. Г. Управление программным движением механических систем и обратные задачи динамики . // Вестник РУДН, сер. Прикладн.

матем. и информ. 2000. - № 1- С. 17-27.

70.Мухаметзянов И.А. Об оценке максимальных отклонений координат нелинейных возмущаемых систем автоматического управления//Автоматика и телемеханика. 1965.Т.26, №2. С.350-358.

71.Flannery M. R. d'Alembert-Lagrange analytical dynamics for nonholonomic systems. // Journal Of Mathematical Physics 52, 032705 (2011). 0022-2488/2011/52(3)/032705/29/$30.00.

72.Deressa C. T.Trajectory tracking control of programmed motion in Second Order nonholonomic systems. //Bulletin of PFUR. Series Mathematics, Information Science, Physics.2014. №4. Pp.95-105.

73.Deressa C. T.Control of programmed motion in higher order nonholonomic Systems//L Всероссийская конференция по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и оптоэлектроники Россия, г. Москва, 13-16 мая 2014 г. рр235-238.

74.Мухаметзянов И.А.Самонастраиваемое управление процессом безударного приведения состояния механических систем в заданное многообразие. //Вестник РУДН сер. Матем. Информ.2013. И Физика.2013. №3. С. 105-112.

75.Мухарлямов Р.Г. , Абрамов Н.В. Управление движением по заданной кривой и обратные задачи динамики. //Вестник РУДН сер. Матем. Информ. и Физик.2011. №2. С. 104-110.

76. Галиуллин А.С., Мухаметзянов И.А., Мухарлямов Р.Г.,Фурсов В.Д. Построение систем программного движения.МУДН им.П.Лумумбы,1972.

77.Борисов А.В., Мамаев И.С. Неголономные динамические системы. Интегрируемость, хаос, странные аттракторы //Сборник статей.Москва-Иженвск: Институт компьютерных исследований. 2002,238 стр.

78.Kolmanovsky I., Мс Clamroch N.H. Developments in nonholonomic control problems. //IEEE Contr Sys Magaz. 1995. №15(6).C.20-36.